prost i složen kamatni račun

8/18/2019 Prost i Složen Kamatni Račun

1/21

SEMINARSKI RAD-MATEMATIKA ZA EKONOMISTE-

Prost i složen kamatni račun

Predmetni nastavnik Autor

SADRŽAJ

Kamatni račun ………………………………………………...………………… 3


2/21

______________________________________________________________________

1. Prost kamatni račun …………………………………………………………. 4

1.1. Neke primene prostog kamatnog računa ……………………………… 4

1.1.1. Terminski račun ………………………………………………….. 4

1.1.2. skonto!an"e ……………………………………………………... #

1.1.2.1. Komer$i"a%ni eskont ……………………………………... #

1.1.2.2. Ra$iona%ni eskont ………………………………………... &

1.1.2.3. 'e(a i(me)u komer$i"a%nog i ra$iona%nog eskonta ……. 1*

2. S%o+eni kamatni račun ……………………………………………………….. 11

2.1. Dekur(i!ni s%o+eni kamatni račun ……………………………………... 11

2.1.1. Kon,ormna kamatna stopa ……………………………………… 1-

2.1.2. Račun u%oga ko ekur(i!nog s%o+enog kamatnog računa ……. 1/

2.1.3. Račun u%oga ko neprekinog kapita%isan"a …………………… 2*

3. 0iteratura ……………………………………………………………………... 21

!


3/21

______________________________________________________________________

KAATN RAN

Kamatni račun "e račun ko"i odre#u"e odnose ko"i se us$ostavl"a"u i%me#u dužnika i $overio&a' Naime( dužnik $o%a"ml"u"e odre#eni nova& od $overio&a na odre#eno vreme

i $la)a odre#enu novčanu nadoknadu $overio&u( kao naknadu %a kori*)en"e $o%a"ml"eno+ nov&a' Suma ko"u dužnik $o%a"ml"u"e od $overio&a na%iva se kapita% i%ig%a!ni$a i na"če*)e se o%načava sa K.

I%nos ko"i dužnik goi5n"e $la)a %a svaki, .. novčani, "edini&a od $o%a"ml"eno+nov&a na%iva se kamatna stopa ili interesna stopa. Kamatna /interesna0 sto$a se /istokao i $ro&entna sto$a0 može i%ražavati i u pro$entua%nom i u e$ima%nom (apisu.1e%a i%me#u de&imalno+ i $ro&entualno+ %a$isa kamatne sto$e p "e ista kao i kod

$ro&entne sto$e( t"

$/de&imalni %a$is0 2 $/$ro&entualni %a$is3..0 '

4ku$na suma ko"u dužnik is$la)u"e $overio&u( kao nadoknadu %a $o%a"ml"eni nova& naodre#eno vreme( u% kamatnu sto$u p( na%iva se kamata ili interes i na"če*)e seo5eležava sa .

1reme t %a ko"e dužnik koristi nova& $overio&a i %a ko"e se i računa kamata se možedati u +odinama 6 tg 7 ( u mese&ima 6 tm 7 i u danima 6 t 7. Ako "e vreme %a ko"e seračuna kamata dato u danima( onda se ono može računati ili $o kalendaru u%

$ret$ostavku da +odina ima 67. ili 678 dana( *to se o5eležava sa /k(67.0 ili /k(6780( iliu% $ret$ostavku da svaki mese& ima 6. dana( a +odina 67. ili 678 dana( *to se

o5eležava /6.(67.0 ili /6.(6780'Kamatna sto$a p se može vremenski men"ati i može 5iti ra%ličita %a ra%ličite i%nose+lavni&e( *to "e $redmet do+ovora i%me#u dužnika i $overio&a'

Kamata se i%računava u nekim vremenskim intervalima( ko"i se odre#u"u do+ovoromi%me#u dužnika i $overio&a' Ta" vremenski interval u kome se i%računava kamata se%ove o8računski perio.

Kamata se može računati na istu osnovi&u u svim o5računskim $eriodima i tada setakav račun na%iva prost kamatni račun( a može se računati i tako *to se osnovi&a( na

ko"u se kamata računa u datom o5računskom $eriodu( uve)ava %a kamatu i% $ret,odno+ o5računsko+ $erioda i tada se takav račun na%iva s%o+en kamatni račun.

6


4/21

______________________________________________________________________

1. PR9ST KAATN RAN

Prost kamatni račun "e račun ko"i odre#u"e %avisnosti i%me#u ka$itala /+lavni&e0 K (

interesa /kamate0 ( interesne /kamatne0 sto$e p 6ko"a "e ata na goi5n"em ni!ou7 ivremena %a ko"e se računa kamata t( +de se kamata o5računava uvek na istu osnovi&u'Ove %avisnosti odre#u"e slede)a teorema'

Teorema 1. 6osno!na teorema prostog kamatnog računa7

Ako "e dužnik $o%a"mio +lavni&u K od $overio&a $od kamatnom /interesnom0 sto$omp( onda kamata /interes0 ko"u on mora da $lati $overio&u $osle vremena t atog ugoinama 6t:tg7 i%nosi

g t p K I ⋅⋅=

a n"e+ov uku$ni du+ $rema $overio&u $osle vremena t atog u goinama 6t:tg7 i%nosi

0-/ g g t p K t p K K I K ⋅+⋅=⋅⋅+=+

Ako "e vreme t dato u mese&ima tm ili u danima t 6 $od uslovima /k(67.0 ili /k(67807onda važi

678

0678(/

67.

067.(/

-!

k t k t t t d d m g ===

$a "e kamata

678

0678(/

67.

067.(/

-!

k t p K k t p K t p K I d d m

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

a uku$ni du+ "e

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅=+

678

0678(/-

67.

067.(/-

-!-

k t p K

k t p K

t p K I K d d m

1.1. Neke primene prostog kamatnog računa

1.1.1. Terminski račun

9esto se de*ava da "e dužnik od $overio&a $o%a"mio vi*e ra%ličiti, suma /+lavni&a0 $odra%ličitim kamatnim sto$ama u ra%ličitim vremenima i da želi da se u nekomvremenskom trenutku od"ednom ra%duži i to ili $od istim kamatnim uslovima/kamatnim sto$ama0 $od ko"im se %adužio( ili $od nekim novim( sa $overio&emdo+ovorenim( kamatnim uslovima i%raženim $reko neke nove sredn"e kamatne sto$e ps'

:


5/21

______________________________________________________________________

Pitan"e "e kako na)i vremenski $eriod /odnosno vremenski trenutak0 kada dužnik tre5ada se ra%duži( a da ni on ni $overila& ne 5udu o*te)eni' Ta" vremenski $eriod se %ovesren"i rok p%a;an"a( i način na ko"i se on nala%i odre#u"e slede)a teorema'

Teorema 2. 6sren"i rok p%a;an"a7

Ako "e dužnik u%eo od $overio&a na %a"am sume K ( K !( ;( K n na vremenske $eriodet( t!( ;( tn ( u% kamatne sto$e $( $!( ;( $n( ( +de "e +lavni&a K i $o%a"ml"ena na vreme ti

$od kamatom $i( tada se ove o5ave%e mo+u od"ednom vratiti u vreme ts ko"e "e

a0 %a ne$romen"ene uslove ra%duživan"a

∑

∑

−

−

⋅

⋅⋅=

n

k

k k

n

k

k k k

s

p K

t p K

t

-

-

50 %a nove( do+ovorene uslove ra%duživan"a( i%ražene kro% $rosečnu kamatnu sto$u $s

∑

∑

−

−

⋅

⋅⋅=

n

k

k s

n

k

k k k

s

K p

t p K

t

-

-

4 ovim


6/21

______________________________________________________________________

∑ ∑∑

∑− −

−

−

⋅

⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅

n

k

n

k

n

k

k k

n

k

k k k

sk k sk k k

p K

t p K

t p K t t p K - -

-

-

50 %a nove( do+ovorene uslove ra%duživan"a( i%ražene kro% $rosečnu kamatnu sto$u $sn"i,ov i%nos "e

∑ ∑− −

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅n

k

n

k

k s s s sk s sn s s s s K pt t p K t p K t p K t p K - -

!- '''

Ove o5ave%e ko"e se vra)a"u u trenutku ts mora"u 5iti "ednake sa uku$nim o5ave%amadužnika( "er samo tada ni $overila& ni dužnik ne)e 5iti o*te)eni' Dakle(

∑ ∑∑

∑− −

−

−

⋅

⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅

n

k

n

k

n

k

k s

n

k

k k k

sk s sk k k

K p

t p K

t K pt t p K - -

-

-

Kra" oka(a.

Rok /datum0 $la)an"a odre#u"e se dodavan"em i%računato+ vremena ts onom vremenuod dos$e)a o5računa u odnosu na ko"i smo odre#ivali vremena t i /i2(!(;(n0' To vreme/ta" datum0 u odnosu na ko"i smo odre#ivali vremena t i /i2(!(;(n0( se na%iva e$o,a'

Na"če*)e se %a e$o,u u%ima $rvo dos$e)e'

Tako#e se u $raksi često de*ava da su dužničko $overilački odnosi i%me#u dva su5"ektau%a"amni( odnosno da $osto"e i du+ovan"a dužnika $rema $overio&u( ali i $otraživan"aod strane dužnika ka $overio&u' Postavl"a se $itan"e kako odrediti vreme kada se možeis$latiti ra%lika i%me#u du+ovan"a i $otraživan"a( a da ni dužnik ni $overila& ne 5uduo*te)eni' Ovo vreme se na%iva rok sa%a ugo!an"a i nala%i se na način ko"i odre#u"eslede)a teorema'

Teorema 3. 6rok sa%a ugo!an"a7

Ako su K ( K !( ;( K n novčane o5ave%e neko+ dužnika u terminima t( t!( ;(tn sakamatnim sto$ama $( $!( ;($n res$ektivno i ako su n"e+ova $otraživan"a P( P!( ;( Pmu teminima t. ( t!. (;( tm. u% kamatne sto$e $. ( $!.(;($m. res$ektivno( tada "e saldodu+ovan"a ts( dat sa

a0 %a ne$romen"ene dužničko $overilačke uslove

∑ ∑

∑ ∑

− −

− −

−⋅

⋅⋅−⋅⋅=

n

k

m

k k k k k

n

k

m

k

k k k k k k

s

p P p K

t p P t p K

t

- -

.

- -

..

7


7/21

______________________________________________________________________

50 %a nove( do+ovorene uslove ra%duživan"a i%ražene kro% $rosečnu kamatnu sto$u $s

−⋅

⋅⋅−⋅⋅=

∑ ∑

∑ ∑

− −

− −n

k

m

k

k k s

n

k

m

k

k k k k k k

s

P K p

t p P t p K

t

- -

- -

..

I%ra%

∑ ∑− −

−n

k

m

k

k k P K - -

"e uku$ni saldo du+ovan"a i o5ično se o5eležava sa S'

Doka(


8/21

______________________________________________________________________

S pt P K pt t p P t p K s s

n

k

m

k

n

k

m

k

k k s s s sk s sk ⋅⋅=

−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅∑ ∑ ∑ ∑

− − − −- - - -

Dakle( ima"u)i u vidu da ni dužnik ni $overila& ne sme"u 5iti o*te)eni važi

s

n

k

m

k

k k k k k k

n

k

m

k

k k s

n

k

m

k

k k k k k k

s

n

k

m

k

k k s sk

n

k

m

k

k k k k k

pS

t p P t p K

P K p

t p P t p K

t

P K pt t p P t p K

⋅

⋅⋅−⋅⋅=

−⋅

⋅⋅−⋅⋅=

⇒

−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

− −

− −

− −

− −− −

- -

..

- -

- -

..

- -

.

- -

.

Kra" oka(a

1.1.2. Eskontovanje

4 $latnom $rometu du+ovan"a i $otraživan"a /meni&e( ,arti"e od vrednosti( krediti( i sl'0često se $lanirane o5ave%e ne i%vr*ava"u u u+ovorenim rokovima( ve) kasni"e ili rani"eod $lanirano+' Naravno( mo+u nastu$iti slede)i sluča"evia0 o5ave%a se reali%u"e tačno u roku $a se onda $la)a samo o5ave%a?

50 o5ave%a se reali%u"e $osle dos$e)a /kasni0( $a se onda ona $ove)ava %a interes %a $eriod %aka*n"en"a?&0 o5ave%a se reali%u"e $re dos$e)a /rani"e0( $a se onda ona sman"u"e %a interes $eriodarani"e reali%a&i"e'

Ako "e u $itan"u reali%a&i"a $re dos$e)a( onda se ova o$era&i"a na%iva eskonto!an"e.Interes %a ko"i se o5ave%a sman"u"e( a ko"i se o5računava od dana $reu%iman"a o5ave%edo dana n"eno+ dos$e)a na%iva se eskont. 4man"ena vrednost o5ave%e %a i%nos eskontana%iva se eskonto!ana !renost. Sto$a ko"om se računa interes na%iva se eskontnastopa. 4 $raksi se koriste dve vrste eskonta( komer$i"a%ni i ra$iona%ni eskont.

1.1.2.1. Komercijalni eskont

Interes /eskont0 i%računat na nomina%nu !renost o8a!e(e 6neuman"enu7 $rostim

kamatnim računom od dana eskontovan"a do dana dos$e)a o5ave%e( na%iva sekomer$i"a%ni eskont i o%načava sa k .

Način i%računavan"a komer&i"alno eskontovane vrednosti odre#u"e slede)a teorema'

Teorema 4. 6komer$i"a%no eskonto!ana !renost7

Ako "e K n nominalna vrednost o5ave%e( K .(k komer&i"alno eskontovana vrednosto5ave%e u trenutku t2.( d- 5ro" dana od dana eskontovan"a do dana dos$e)a o5ave%e i $eskontna sto$a data u de&imalnom %a$isu( tada "e komer&i"alno eskontovana vrednostK .(k data sa

@


9/21

______________________________________________________________________

⋅−⋅=

67.-

(.

pd K K nk

Doka(


10/21

______________________________________________________________________

67.-

67.-

67. (.(.

(.

(. pd

K K K

pd K

pd K K E K K nr nr

r

nr nr ⋅+

=⇒=

⋅+⋅⇒

⋅⋅−=−=

dok "e vrednost ra&ionalno+ eskonta

pd

K pd

pd

K pd K E nnr r

⋅+

=⋅

⋅⋅

+=

⋅⋅=

67.-

67.

67.-

67.

(.

Kra" oka(a

1.1.2.. !e"a i"me#u komercijalnog i racionalnog eskonta

Komer&i"alni i ra&ionalni eskont su ne"ednaki usled to+a *to se u komer&i"alnom

eskontu interes računa na nominalnu vrednost( *to "e sa matematičke strane $ot$unoneo$ravdano( "er "e nominalna vrednost realno ve)a od stvarne' 1e%u i%me#ukomer&i"alno+ i ra&ionalno+ eskonta odre#u"e slede)a teorema'

Teorema -. 6!e(a i(me)u komer$i"a%nog i ra$iona%nog eskonta7

Ako su Ek i Er komer&i"alni i ra&ionalni eskonti res$ektivno( i%računati %a d-5ro" dana oddana eskontovan"a do dana dos$e)a i %a eskontovanu sto$u $ datu u de&imalnom %a$isu(onda "e

r k E

d p

E ⋅

⋅

+= 67.-

Doka(< Kako "e

67.

pd K E nk

⋅⋅=

a

67.

(. pd K

E

r

r

⋅⋅

=

sledi da "e

( ) r r nr k E pd

K K pd

E E ⋅⋅

=−⋅⋅

=−67.67.

(.

"er "e

r r n E K K =− (.

Sada "e oči+ledno da važi

.


11/21

______________________________________________________________________

⋅+⋅=⋅

⋅+=

67.-

67.

pd E E

pd E E r r r k

Kra" oka(a

Anali%ira"u)i re%ultat ove teoreme %akl"uču"emo da "e komer&i"alni eskont uvek ve)i odra&ionalno+( odnosno Ek BEr ( *to sa svo"e strane uslovl"ava da "e komer&i"alna vrednostneke o5ave%e uvek man"a od n"ene ra&ionalne vrednosti( tako da $rilikom otku$l"ivan"ao5ave%a $re roka ku$a& o5ave%a ima interesa da insistira na komer&i"alno" vrednostio5ave%a dok to $rodav&u ne od+ovara' Matematički realna vrednost o5ave%e "era&ionalno eskontovana vrednost'

2. S09ŽN KAATN RAN

Kao *to "e ve) rečeno( osnovna ra%lika i%me#u $rosto+ i složeno+ kamatno+ računa "e u

tome *to se kod $rosto+ kamatno+ računa kamata u svim o5računskim $eriodimao5računava na istu sumu /$očetnu +lavni&u0( a kod složeno+ kamatno+ računa( usvakom o5računskom $eriodu( kamata se računa na sve ve)u +lavni&u( odnosno na+lavni&u i% $ret,odno+ $erioda uve)anu %a i%nos kamate i% $ret,odno+ $erioda' Z5o+ovakvo+ $ove)an"a +lavni&e i% $erioda u $eriod( ve)i su i%nosi kamate kod složeno+kamatno+ računa od kamata ko"e da"e $rost kamatni račun'

4 $raksi se kamata na"če*)e o5računava i doda"e ka$italu /ka$itali*e0 +odi*n"e( $olu+odi*n"e( kvartalno /tromesečno0 i ne$rekidno u% kamatnu sto$u p/de&imalni %a$is0ko"a se odre#u"e na +odi*n"em nivou'

Ako se i%računavan"e kamate i n"eno dodel"ivan"e ka$italu vr*i na kra"u svako+o5računsko+ $erioda( tada se takvo račun"an"e kamate na%iva ekur(i!nim i o5eležavase slovom u% kamatnu sto$u( na $rimer 8C/d0'

Ako se i%računavan"e kamate i n"eno dodel"ivan"e ka$italu vr*i na $očetku svako+o5računsko+ $erioda /una$red0( tada se takvo račun"an"e kamate na%iva anti$ipati!nimi o5eležava se slovom a u% kamatnu sto$u( na $rimer 8C/a0'

2.1. Dekurzivni složeni kamatni račun

1eličine ko"e


12/21

______________________________________________________________________

m - 8ro" o8računski? perioa u toku "ene goine /ova" 5ro" "e o5ično &eo 5ro"0

tm@ !reme o8računskog perioa( odnosno vremenski interval o5računavan"a kamate in"e+ovo+ dodavan"a ka$italu

% - ukupan 8ro" o8računski? perioa u toku ukupnog !remena t na ko"e "e u+nik po(a"mio no!a$ /ova" 5ro" ne mora 5iti &eo 5ro"0

Naravno( $roi%vod uku$no+ 5ro"a o5računski, $erioda i vremena o5računsko+ $erioda $redstavl"a uku$no vreme na ko"e "e dužnik $o%a"mio nova&( odnosno

mt l t ⋅=

odnosno

mt

t

l =

Tako#e( ako "e vreme o5računsko+ $erioda /tm0 dato u +odinama( i%me#u 5ro"ao5računski, $erioda u toku "edne +odine /m0 i vremena o5računsko+ $erioda dato+ u+odinama /tm0 važi slede)a rela&i"a

-=⋅ mt m

9nos i(me"u kra"n"e i početne !renosti kapita%a ko s%o+enog kamatnogračuna= (a ate us%o!e kama;en"a= kaa "e !reme na ko"e "e u+nik po(a"mio

no!a$ "enako $e%om 8ro"u o8računski? perioa 6% "e $eo 8ro"7 "e odnos i%me#ukra"n"e i $očetne vrednosti ka$itala i odre#u"e +a slede)a teorema'

Teorema /. 6s%o+en kamatni račun= !reme ukama;i!an"a "e "enako $e%om 8ro"uo8računski? perioa7

Ako "e dužnik u%eo od $overio&a na %a"am ka$ital K * $od +odi*n"om dekur%ivnomkamatnom sto$om p /de&imalni %a$is0( u% +odi*n"e ka$italisan"e u m o5računski,

$erioda( onda $osle vremena t ko"e "e "ednako % o5računski, $erioda( +de "e % $eo 8ro"(kra"n"a vrednost ka$itala K t i%nosi

l

t m

p K K

+⋅= -.

Primena ove teoreme u sluča"u kada "e ka$italisan"e +odi*n"e /m20( a vreme %a ko"e seračuna kra"n"a vrednost ka$itala dato u +odinama /t 2 n +odina0 da"e slede)e

( ) nn

p K K +⋅= -.

4 sluča"u kada se m $uta u toku +odine vr*i ka$italisan"e( a vreme %a ko"e se računakra"n"a vrednost ka$itala "e takod"e dato u +odinama / t 2 n +odina0( tada "e

nml ⋅=

!


13/21

______________________________________________________________________

$a "e

nm

mnm

p K K

⋅

+⋅= -.

I%ra%

( )n

n p p

+=+

-..

C--

se vrlo često koristi u složenom kamatnom računu %a ra%ličite vrednosti $C i n ( $a su(%5o+ n"e+ove lak*e i 5rže $rimene( i%računate vrednosti to+ i%ra%a %a ra%ne vrednosti $C i n( i date u vidu ta5li&e n p I C '

Re&i$ročna vrednost ta5lični, vrednosti ta5li&e n p I C "e data u vidu ta5li&en

p II C '

Dakle( važi

n

p

n

p II

I C

C

-=

Teorema >' de


14/21

______________________________________________________________________

- u mese&ima( o5eležavamo +a sa tost /m0

- u +odinama( o5eležavamo +a sa tost /+0

Tako( na $rimer ako "e t 2 >+odina i @ mese&i /odnosno ! mese&a0( a t m2 7 mese&i

onda "e

666(-87

A!

7

@-!>==

+⋅=

mt

t

-87

A!=

=

mt

t

( )7-8A! ⋅−=⋅

−=⇒+⋅

= m

m

ost ost m

m

t t

t t t t t

t

t t meseci $ ! meseca

Metode prekinog kapita%isan"a su

- ra$iona%ni meto

- komer$i"a%ni meto.

Način i%računavan"a kra"n"e vrednosti ka$itala ra&ionalnom metodom $rekidno+ka$italisan"a( odre#u"e slede)a teorema'

Teorema #. 6ra$iona%ni meto7


$erioda( onda $osle vremena t kra"n"a vrednost ka$itala K t ( po ra$iona%nom metouprekinog kapita%isan"a= i%nosi

mt

t

t m

p K K

+⋅= -.

+de "e tm vreme o5računsko+ $erioda'

Način i%računavan"a kra"n"e vrednosti ka$itala komer&i"alnim metodom $rekidno+ka$italisan"a( odre#u"e slede)a teorema'

Teorema &. 6komer$i"a%ni meto7


$erioda( onda $osle vremena t kra"n"a vrednost ka$itala K t( po komer$i"a%nommetou prekinog kapita%isan"a= i%nosi

a0 ako "e tost u +odinama

:


15/21

______________________________________________________________________

( )( ) g t pm

p K K ost

t

t

t

m ⋅+⋅

+⋅=

--.

50 ako "e tost u mese&ima

( )

⋅+⋅

+⋅=

-!--.

mt p

m

p K K ost

t

t

t

m

&0 ako "e tost u danima

( )

⋅+⋅

+⋅=

67.--.

d t p

m

p K K ost

t

t

t

m

+de "e tm vreme o5računsko+ $erioda'

Oči+ledno "e da komer&i"alna metoda $redstavl"a kom5inovan"e složeno+ i $rosto+kamatno+ računa( na način( +de se %a deo vremena t( ko"i $redstavl"a &eo 5ro"

o5računski, $erioda

mt

t ( kamata o5računava $ravilima složeno+ kamatno+ računa(

dok se %a ostatak vremena tost( kamata o5računava $ravilima $rosto+ kamatno+ računa'

Metod neprekinog kapita%isan"a odre#u"e kra"n"u vrednost ka$itala kao graničnu!renost kra"n"e vrednosti ka$itala do5i"ene $omo)u metoa ra$iona%nog prekinogkapita%isan"a= kada 5ro" o5računski, $erioda u toku "edne +odine te+i u 8eskonačnost

6m 7.

Način i%računavan"a kra"n"e vrednosti ka$itala ne$rekidnim ka$italisan"em odre#u"eslede)a teorema'

Teorema 1*. 6neprekino kapita%isan"e7

Ako "e dužnik u%eo od $overio&a na %a"am ka$ital K * $od +odi*n"om dekur%ivnomkamatnom sto$om p /de&imalni %a$is0( u% uslove ne$rekidno+ ka$italisan"a( onda $oslevremena t dato+ u goinama( kra"n"a vrednost ka$itala K t i%nosi

t p

t e K K ⋅⋅= .

Doka(< Po*to "e vreme t dato u +odinama( onda u


16/21

______________________________________________________________________

ra&ionalno+ $rekidno+ ka$italisan"a( kada 5ro" o5računski, $erioda u toku "edne +odineteži u 5eskonačnost /m→∞0( važi slede)e

t p

t p

p

m

m

t m

m

t

t

mt

e K m

p K

m

p K

m

p K K

m ⋅

⋅

∞→

⋅

∞→∞→⋅=

+⋅=

+⋅=

+⋅=

.... -lim-lim-lim

Kra" oka(a.

2.1.1. Kon%ormna kamatna stopa

Mo+u)e "e $oka%ati da se $ove)an"em 5ro"a ka$italisan"a u toku "edne +odine/$ove)an"em m0( u% uslov ne$romen"enosti kamatne sto$e $( $ove)ava"u i%nosi kamate ii%nosi kra"n"e vrednosti ka$itala K t' Ovu čin"eni&u %a"modava& /re&imo *tedi*a0 možeiskoristititi tako( *to 5i $odi%ao svo"e ulo+e %a"edno sa $ri$ada"u)om kamatom rani"e odo5računsko+ $erioda( i ta" ulo+ %a"edno sa $ri$ada"u)om kamatom $onovo $o istim

uslovima oročavao' Ponavl"an"em ovakvo+ $ro&esa( *tedi*a 5i $osti+ao da mu se+lavni&a vi*e $uta ka$itali*e od una$red do+ovoreno+ 5ro"a ka$italisan"a i samim timmno+o vi*e uve)a od očekivano+'

Ovakve o$era&i"e $osta"u 5eskorisne ako 5anka uvede novu kamatnu sto$u ko"a 5i( i $ored ve)e+ 5ro"a ka$italisan"a u toku "edne +odine( davala %a +odinu dana iste i%nosekamate kao i +odi*n"a kamatna sto$a sa "ednim ka$italisan"em' Takva kamatna sto$ana%iva se kon


17/21

______________________________________________________________________

2.1.2. Račun uloga kod dekur"ivnog slo&enog kamatnog računa

Dosada*n"a anali%a dekur%ivno+ složeno+ kamatno+ računa $odra%umevala "e

"ednokratni $očetni ulo+ /$očetni ka$ital K . 0( 5e% dodatni, ula+an"a' Naravno( ovakvasitua&i"a "e veoma retka( "er se često uka%u"e $otre5a %a dodatnim ula+an"ima'

Dodatna ula+an"a mo+u 5iti u istim ili ra%ličitim i%nosima( u istim ili ra%ličitimvremenskim intervalima( ko"i se mo+u $okla$ati sa vremenskim intervalimaka$italisan"a( a mo+u 5iti če*)i ili re#i od $erioda vremena ka$italisan"a'

Doatni u%o(i su u istim i(nosima i istim !remenskim inter!a%ima= ko"i sepok%apa"u sa !remenskim inter!a%ima goi5n"eg ekur(i!nog kapita%isan"a< ako sedodatni ulo%i ulažu u istim i%nosima na $očetku svako+ o5računsko+ $erioda /na

$očetku svake +odina0( onda %a takva ula+an"a kažemo da su anti$ipati!na.

Teorema 12. 6anti$ipati!ni u%o(i ko"i se pok%apa"u sa !remenskim inter!a%imagoi5n"eg ekur(i!nog kapita%isan"a7

Ako se $očetkom svake +odine ulaže suma od K dinara u% +odi*n"u dekur%ivnukamatnu sto$u p /de&imalni %a$is0 i +odi*n"e dekur%ivno ka$italisan"e( onda )e stan"euku$no+ ka$itala anS %a n +odina 5iti

-

-

−−

⋅⋅=r

r r K S

na

n

+de "e

pr += -

Doka(< Po*to se suma od K dinara ulaže na $očetku svake +odine( to )e na kra"u n-te+odine $rvi ulo+ od K dinara da naraste na

( ) nn r K p K ⋅=+⋅ -

dinara /odnosno $rvi ulo+ )e imati n o5računa0( dru+i ulo+ )e narasti na

( ) --- −− ⋅=+⋅ nn r K p K

dinara /ima)e n- o5računa0 i tako redom sve do $osledn"e+ ulo+a ko"i )e imati samo "edan o5račun i ko"i )e da naraste na

( ) r K p K ⋅=+⋅ -

dinara'

4ku$an ka$ital nakon ovi, n +odina "e naravno suma svi, ovi, i%nosa i on i%nosi

>


18/21

______________________________________________________________________

( )-

-'''-'''

-!-

−−

⋅⋅=++++⋅⋅=⋅++⋅+⋅= −−r

r r K r r r r K r K r K r K S

nnnna

n

"er "e r r ! ; r n- suma konačno+ +eometri"sko+ reda'

Kra" oka(a.

I%ra%-

-

−−

⋅r

r r

n

se na%iva


19/21

______________________________________________________________________

( )-

-'''-''' -!!-

−−

⋅=++++⋅=++⋅+⋅= −−−r

r K r r r K K r K r K S

nnnnd

n

"er "e r r ! ; r n- suma konačno+ +eometri"sko+ reda'

Kra" oka(a.

Po*to "e

( )--

-

-

-

--

-

-

-

- -C

--

+=+−

−⋅=

−−+−⋅

=−

−+−=

−− −

−−n

p

nnnn

III r

r r

r

r r r

r

r r r

r

r

važi da "e

( )--C +⋅= −n

p

d

n III K S

Doatni u%o(i su u istim i(nosima i u%a+u se u istim !remenskim inter!a%ima= mputa u toku goine= u( primenu goi5n"eg ekur(i!nog kapita%isan"a< oči+ledno "eda "e u ovom sluča"u ula+an"e če*)e od ka$italisan"a( /odnosno ulažemo m $uta u toku

"edne +odine( a ka$itali*emo samo "ednom0' Me#utim( $rimenom kon


20/21

______________________________________________________________________

50 %a sluča" dekur%ivno+ ula+an"a

-

-

−−

⋅=⋅

k

nm

k a

nr

r K S

+de "e

--( −+= mmk p p

a

mk k pr (- +=

2.1.. Račun uloga kod neprekidnog kapitalisanja

Prilikom kori*)en"a ne$rekidno+ ka$italisan"a mno+i $ro5lemi $ri i%računavan"u seu$ro*)ava"u( a neki od n"i, +u5e i smisao( $o$ut( re&imo anti&i$ativno+ i dekur%ivno+ula+an"a' Ne$rekidno ka$italisan"e dosta "ednostavno i%računava stan"e ulo+a %a sluča"ne"ednaki, ulo+a u ne"ednakim vremenskim intervalima ula+an"a( *to odre#u"e slede)ateorema'

Teorema 1>. 6račun u%oga pri neprekinom kapita%isan"u7

Ako su uložene sume K ( K !( ;( K n u vremenima t( t!( ;( tn ( $ri ne$rekidnomka$italisan"u u% +odi*n"u kamatnu sto$u p( onda stan"e svi, ulo+a u trenutku t s /+de "e

ti≤

ts %a i2(!(;(n0 i%nosi

( )∑−

−⋅⋅=n

k

t t p

k t i s

se K S

-

+de "e vreme t dato u +odinama'

1remenski interval ts-tk ( k2(!(;(n $redstavl"a vremenske ra%make od trenutkaula+an"a tk do trenutka i%računavan"a stan"a na računu ts( i(ra+ene u goinama.

3. 0TRATRA

F =ranislav Ivanovi)( Matematika %a ekonomiste( Naučna kn"i+a( =eo+rad( 7'

!.


21/21

______________________________________________________________________

!F Kočovi) Gelena( Hinansi"ska matematika( Ekonomski

prost i složen kamatni račun

Documents