proraČun, sklopovno oblikovanje i...

PRORAČUN, SKLOPOVNO OBLIKOVANJE I ARMIRANJE LUKOVA1 UvodLuk se sve češće primjenjuje kao glavni nosivi sklop mosta.Želimo li najbolje iskoristiti prednosti luka, moramo dobro

poznavati njegove osobitosti, s obzirom na zakrivljenost.Pri tomu nam nije od velike koristi analogija sa svodom, budući

da se danas rabe vrlo vitki lukovi, pa više nije stalni teretkao prevladavajuće opterećenje njegovo glavno obilježje.

Uporabom betona kao gradiva do najveće mjere iskorišćujemo njegovu glavnu prednost – homogenost – što osobito dolazi do izražaja u upetih lukova.

Luk ima vrlo male momente savijanja od vlastite mase.1

1 UvodNačelno se os luka oblikuje po tzv. potpornoj krivulji.Međutim, odstupanja su od nje neizbježiva, zbog elastičnoga

skraćenja luka (iako se ono može djelomice nadoknaditi nadvišenjem), ali i zbog dugotrajnih izobličenja (od skupljanja i puzanja betona), te zbog toplinskih djelovanja.

Ipak, najveća odstupanja potječu od pojedinačnog unošenja silaod prometnog opterećenja (na mjestu stupova).

1.1 Djelovanje lukaVisoka sklopovna učinkovitost luka potječe od

iskorištenosti njegova presjeka u kojemu prevladava tlak. Za to je nužno ispuniti važnu pretpostavku: visok stupanj

punoće plohe tlačnih naprezanja, što je moguće jedino pri maloj mimoosnosti tlačne sile.

Lukovi imaju još jedno ograničenje: ispunjenje uvjeta stabilnosti.

2

1 Uvod1.1 Djelovanje lukaKako bismo postigli da tlačna krivulja bude što bliže osi luka,

nužna je ravnoteža s poprečnim opterećenjima od vanjskih djelovanja, što se može očekivati samo za strogo određen razmještaj (konstelaciju) opterećenja.

Posljedak je toga da su lukovi osobito prikladni za one mostove u kojih prevladava stalno opterećenje, dakle za mostove velika raspona.

Potporna krivulja za približno jednoliko raspodijeljeno vlastitoopterećenje ima tijek blizak paraboli.

Pri tomu se mogu pojaviti različiti omjeri strjelice i raspona luka, f/l, što proistječu iz obrisa prepreke, ali i iz uvjeta temeljenja.

Odnos potporne krivulje i osi luka za slučaj luka opterećena pojedinačnom silom u tjemenu predočen je na slici 1.1.

3

1 Uvod1.1 Djelovanje luka

Rastavljanjem sile u sastavnice po paralelogramu sila dobivamo prav-častu potpornu crtu, s njezinim mimoosnostima u odnosu na os luka, a onda i s pripadnim momen-tima savijanja.Momenti mijenjaju predznak duž osi luka, pa zbog toga treba težiti da mimoosnosti budu što manje.Veći su momenti dopustivi samo

na onim mjestima gdje ih je moguće preuzeti, s obzirom na izmjere presjeka (npr. pri peti luka).

Silu što djeluje duž potpornoga pravca rastavljamo u dvije sastavnice: u smjeru osi luka i okomito na nju.

Slika 1.1: Odnos osi luka i potporne crte

4

1 Uvod1.1 Djelovanje luka

Dakle, N· eN predstavlja moment savijanja što djeluje u promatranomu presjeku.

Budući da je u lukova uzdu-žna sila mjerodavna rez-na sila, a i s obzirom na to da su lukovi općenito vit-kiji od greda, mora se iz-vijanju posvetiti osobita pozornost.

Na slici 1.2 zorno je predo-čeno djelovanje luka i uvri-ježena mogućnost procjenereznih sila.

Uočimo da momenti savijanjapotječu samo od antimetri-čne sastavnice opterećenja.

Slika 1.2: Procjena stabilnosti luka pri izvijanju

5

1 Uvod1.1 Djelovanje lukaBudući da je duljina između peta luka nepromjenjiva, može se

pretpostaviti antimetričan lik izvijanja, određen trima prijevoj-nim točkama (slika 1.3).

Dokaz obično ograničavamo na pro-vjeru presjeka u četvrtinskoj točkiluka uz prometno opterećenje najednoj polovici luka.

Zgodno je opterećenje rastaviti u simetrični udio (gd + 0,5qd) i u antimetrični udio ( 0,5qd).

Prvi izaziva u luku samo uzdužne sile, dok drugi daje i momente savijanja, pri čemu je najveći moment u polju:

M(v) = qd· l 2/128

Za duljinu izvijanja možemo, po slici 2.3, uzeti da je ~ 70 % duljine polovice luka. 6

Slika 1.3: Krivulja izvijanja luka

1 Uvod1.1 Djelovanje lukaTako se za kritičnu silu pri izvijanju dobije:

Na slici 1.4 predočene su kritične razuporne sile, Hki, u zavisnosti od sploštenosti luka, f/l.

Moment s obzirom na izvijenu os luka (tzv. teorija II. reda) jednak je prema tome osnovnom momentu (po teoriji I. reda) pomnoženu s čimbenikom povećanja:

MII = [1/(1 – Hd/Hki)]· MI

7

( )

2

2 2 2

1; 80

cos cos0,5 0,7s s

ki ki kiB B

I EIEN H H

l l

πψ ψ

= ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ ⋅⋅

Slika 1.4: Kritične razuporne sile Hkr u zavisnosti od sploštenosti luka f/l

1 Uvod1.1 Djelovanje lukaMoguće izvedbene nesavršenosti uzimaju se u obzir na način

dan u normama, a utjecaj dugotrajnih djelovanja – malim povećanjem izračunanog momenta.

Budući da dijelovi luka mogu pri djelovanju velikih momenata savijanja prijeći u stadij II (raspucalost), treba odmjeriti i odgovarajuće smanjenje krutosti, EIs.

U lukova (L) spregnutih s kolničkim sklopom (KS) luk sudjeluje u prenošenju ukupnog opterećenja srazmjerno svojoj krutosti.

Tako je moment što ga preuzima luk:

8

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi lukaLukovi betonskih mostova danas se najčešće oblikuju tako da

im os ima tzv. verižni oblik.Današnjim naraštajima ova riječ zvuči pomalo strano, a radi se o

verigama, o lancu.Prisjetimo se kako je u visećih mostova najpovoljniji oblik osi

nosivog užeta lančanica – ovdje je to pak obrnutalančanica iliti verige.

Danas je taj pojam poopćen, pa tako verižnim lukom nazivamo luk čija os ne odstupa bitno od rezultantnog pojasa kroz koji prolaze sve tlačne (potporne) krivulje za najnepovoljnije slučajeve opterećenja.

Ovaj pojas bit će to uži što je omjer promjenjivoga (prometnog) i stalnog opterećenja (q/g) niži i što je manjiukupni učinak štetnih (parazitnih) djelovanja (skupljanje i puzanje betona itd.).

9

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi lukaOpćenito se za mjerilo najpovoljnijeg oblika osi luka uzima

stupanj odstupanja od potporne krivulje za ukupno stalno opterećenje.

Određivanje izmjera poprečnoga presjeka upetog luka na osnovi momenata savijanja i uzdužne sile dovodi do toga da presjek bude jači u petama nego u tjemenu.

Do pojave računala inženjeri su nastojali prilagoditi oblik osi luka lakšemu proračunu – danas za to više nema potrebe.

Danas je odlučujuće mjerilo – jednostavnost izvedbe.Lukovi većih raspona u pravilu su sandučasta presjeka, pa su

redovito vanjski obris i debljine hrptova nepromjenjivi, a samo se pojasne ploče podebljavaju pri petama.

Vlastita težina luka i oblik potporne krivulje uzajamno su zavisni. 10

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi lukaNe može se odrediti potporna krivulja ako nije poznato

opterećenje, a opterećenje (vlastita težina) ne može se odrediti ako nije poznat oblik osi luka.

Dakle nizbježivo je postupno približavanje u proračunu: pretpostavimo oblik osi luka, izračunamo težine, pa određujemo potpornu krivulju.

Ona će nakon prvoga koraka možda i znatno odstupati od osi luka, pa je nuždan drugi pokušaj, pa treći itd.

S pomoću računala to ide brzo i bez većih napora.Može se ići i obrnutim slijedom: zada se zakon promjene

opterećenja (uz stanovite pretpostavke), pa se određuje oblik osi luka po mjerilima povoljnosti.

U svakom slučaju danas pri određivanju oblika osi luka pretežu oblikovna (estetska) mjerila. 11

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi lukaUkupno okomito opterećenje po jedinici duljine, gξ, sastoji se

od (slika 1.5):težine kolničkoga sklopa i pomosta, g1,težine luka, g2 itežine ispune između luka i kolničkoga sklopa, γ· yξ:

Polazeći od vlastitosti potporne krivulje da je: tanφx = Vx/H = dy/dx, dobit će se, nakon uvrštavanja gornjih vrijednosti za

opterećenje gξ = gx, ordinate luka u obliku diferencijalne jednačbe drugog reda za slučaj nepromjenjiva poprečnoga presjeka luka:

12

21 cos

gg g yξ ξ

ξ

γφ

= + + ⋅

Slika 1. 5: Opterećenje luka

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka

Rješenje je ove diferencijalne jednačbe moguće u zatvorenu obliku samo uz tri pretpostavke:1) g2 = 0 i γ= 0

Ovo je slučaj jednoliko rasprostrtog opterećenja. Uz tu pretpo-stavku slijedi da potporna krivulja ima oblik parabole:

y = (4f/l2)· x2

2) g2 = 0Slučaj luka bez težine, teorijski granični slučaj. Dobije se Legay-

Strassnerova diferencijalna jednačba, čije je rješenje:y = [f/(m - 1)]· (chßk – 1)

gdje su: m = gk/gs; ß = 2x/l; 13

22

12

11 1

d y dyg y

dx H dxα γ

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

( )2ln 1k m m= + −

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi luka

3) g1 = 0 i γ = 0. Slučaj kada djeluje samo vlastita težina luka. Rješenjem osnovne

diferencijalne jednačbe dobije se izraz za obrnutu lančanicu, uvjetno rečeno nepromjenjiva presjeka:

y = (1/a)· [ch(ax) – 1]Koeficijent a = g2/H određuje se iz rubnih uvjeta: y = f i x = l/2.

* * * * *

Najpovoljniji oblik osi luka može se odrediti i iz uvjeta da moment savijanja iščezava u svim presjecima:

Kada se u njih uvrste vrijednosti za gξ, pa se iz rubnih uvjeta odredi nepoznata sila H, dobit će se integro-diferencijalna jednačba prikladna za numeričko integriranje.

14

( ) ( )0 0

10

x x

H y x g d y x g dHξ ξξ ξ ξ ξ⋅ − − = ⇒ = −∫ ∫

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi lukaMeđutim, i ona se dâ pojednostavniti tako da se dobiva

razmjerno jednostavan analitički izraz:

Pri čemu se koeficijent A dobije iz izraza:

Još ima prostora za pojednostavnjivanje: uzimamo da se opterećenje gξ može izraziti jednačbom:

gξ = a + bξ + cξ2,

u kojoj su koeficijenti a, b, c i ω dani ovim izrazima:

15

( ) ( )2 2 4

32 2 2 2 2 22

1

1 11 ln 1 1

2 2 2 3 3 24

f x x x xy a x ax a x a x a

A a a a g

γα⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪= + + + + + − + + + ⋅ ⋅⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

( )32 2 2 2 4

2 2 2 22 2

1

1 1 14 ln 4 1

8 16 4 2 3 4 3 384

l l l a l lA a l al a l a

a a a g

γα⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= + + + + + − + + +⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

( ) ( ) ( )2

1 1 1 2 2

1 1 161 , 1 , 2 1 4 , 1

fa g b g c g f

l l lα α ω α ω γ ω= + = − = − + = +⎡ ⎤⎣ ⎦

1 Uvod1.2 Određivanje najpovoljnijeg oblika osi lukaTako jednačba osi luka poprima vrlo prikladan oblik:y = Ax2 + Bx3 + Cx4

jer se koeficijenti polinoma mogu izračunati iz jednostavnih izraza:

A = a/2H; B = b/6H; C = c/12H

Praksa je pokazala da ovi približni izrazi dostatno točno određuju oblik verižne krivulje za ukupno stalno opterećenje.

16

2 2

8 6 24

l bl clH a

f

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 Proračun lukova s kolnikom gorePri građenju betonskih lučnih mostova s kolnikom gore danas

se rabe ova tri sklopovna sustava:

upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom,vitak luk pod krutom gredom (Maillartov luk) iupet kruti luk s krutim nadlučnim sklopom.

Ipak, nesrazmjerno se najčešće rabi prvo sklopovno rješenje.

2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopomOvaj se sklopovni sustav ubraja u jednostavne, jer ukupno

opterećenje na potezu među petnim stupovima prenosi sâm luk.

Pri proračunu upetih lukova na djelovanja u vlastitoj ravnini uzima se da prekobrojne statičke veličine djeluju u elastičnom težištu (slika 2.1).

17

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopom

To je težište udaljeno od tjemena luka za:

Zahvaljujući ovakvu izboru hvatišta prekobrojnih sila, vrijednosti nepoznanica X1, X2 i X3 mogu se odrediti nezavisno jedne od drugih:

Pri određivanju pomakâ nipošto se ne smije zanemariti utjecaj uzdužnih sila:

18

0

0

's

ss s

s

dsy

EIy

ds

EI

=∫

∫

1 2 31 2 3

11 22 33

, i v v vx x xδ δ δδ δ δ

= − = − = −

0 0

s s

ik i k i ks s

ds dsM M N N

EI EAδ = +∫ ∫

Slika 2.1: Elastično težište luka

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopomPošto se izračunaju vrijednosti nepoznanica, rezne se sile dobiju

iz ovih izraza:Mx = Mx

0 – X1· y – X2· x + X3

Vx = Vx0 - X1· sinφx – X2· cosφx

Nx = Nx0 + X1· cosφx – X2· sinφx

Najveće vrijednosti reznih sila od prometnog opterećenja određuju se iz utjecajnih krivulja.

Pri tomu treba svaki presjek provjeriti na dva slučaja opterećenja, što daju:

najveći moment savijanja i pripadnu uzdužnu silu inajveću uzdužnu silu i pripadni moment savijanja.

19

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopomOsim na stalno i prometno opterećenje treba pri proračunu

luka na djelovanja u vlastitoj ravnini uzeti u obzir i:

skupljanje i puzanje betona,jednoliko i nejednoliko toplinsko djelovanje,nejednoliko slijeganje i zaokretanje potpora.

Valja provjeriti i djelovanje optere-ćenja izvan ravnine luka (slika 2.2), u što pripada:a) vjetar okomito na most,b) potres ic) mimoosan položaj prometnog

opterećenja na kolniku.20

Slika 2.2: Opterećenja izvan ravnine luka

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.1 Upet kruti luk s vitkim nadlučnim sklopomZahvaljujući simetriji sustava i opterećenja, jedina je prekobro-

jna veličina moment Xs u vodoravnoj ravnini u tjemenu luka, koji se određuje iz jednačbe elastičnosti:

Xs = -(δsv/δss)pri čemu su:

21

sv s v Ts Tvs T

ds dsM M M M

EI GIδ = − −∫ ∫

2 2ss s Ts

s T

ds dsM M

EI GIδ = +∫ ∫

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.2 Vitak luk pod krutim nadlučnim sklopomMaillartov se luk ubraja u složene sklopove, jer opterećenje

što djeluje na potezu među krajevima nadlučnoga sklopa prenose zajedno luk i greda.

Lukovi su mnogokutna oblika (slika 2.3), a u njima zapravo djeluju samo uzdužne sile, jer se momenti savijanja, što se javljaju u luku zbog

krutosti čvorova, najčešće mogu zanemariti. Sustav je po teoriji jednom statički neodređen, a prekobrojna se

vodoravna sila računa iz izraza:

22

2 2

x vxv

xxx x

dsM M

EIXds ds

M NEI EA

δδ

= − =+

∫

∫ ∫

Slika 2.3: Maillartov luk

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.2 Vitak luk pod krutim nadlučnim sklopomPri tomu se obično zanemaruje utjecaj uzdužnih sila u

stupovima, ali se ne smije zanemariti njihov utjecaj u luku.Rezne sile u gredi određuju se iz izrazâ:

Mx = Mx0 - x· y

Vx = Vx0 - x· tanαm

Sile u odsječcima luka jednake su:Sm = X / cos αm,

a u stupovima:Vm = X· (tanαm – tanαm+1)

Ako točke mnogokuta leže na paraboli, vrijedi:

Vm = X· (8f / l 2)· λ

23

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopomKruti lukovi s krutim gredama višestruko su statički

neodređeni sustavi, u kojih se omjer momenata tromosti luka i grede (n = Il /Ig) kreće u području n = 1÷10.

Zbog visoka stupnja statičke neodređenosti vlastitosti ovoga sustava bilo je moguće istražiti tek pošto su razvijena moćna računala. Prikazat ćemo rezultate do kojih je došao Vinko Čandrlić.

Složeni se sklop sastoji od protežna (kontinuirana) grednoga sklopa na stu-povima i luku (slika 2.4).

Prije istraživanja vlastitostisloženog sustava odvo-jeno je razmatrana pro-težna greda na nepopus-tljivim stupovima, a zatim luk.

24

osnovni sustav KS

osnovni sustav L

složeni sustav LKS

Slika 2.4: Razlaganje složenog nosivogasustava na dva osnovna

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopomPri tomu se uzimalo da se prometno opterećenje s kolničkoga

sklopa posredno prenosi na luk preko stupova. Ova ispitivanja dvaju osnovnih statičkih sustava od kojih se

sastoji složeni sklop provedena su radi utvrđivanja praktičnih granica omjera n pri kojem se ovi sustavi mogu promatrati odvojeno.

Na slici 2.5 predočene su utje-cajne krivulje za momente učetvrtinskoj točki luka.

Pri tomu brojke na apscisi označuju stupna mjesta.

Na slici 2.6 prikazana je odgo-varajuća utjecajna krivulja za moment u gredi.

25

položaji potpora

ordi

nata

u m

Slika 2.5: Utjecajne krivulje za momentu četvrtini luka; f/l = 1/6.5

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopom

Uočavamo da su pri n = 40 utjecajne krivulje na složenom sustavu istovjetne s onima na osnovnomu (L i KS).

Iz toga slijedi da je n = 40 približno granica pri kojoj se u složenih sustava luk i greda mogu promatrati odvojeno.

Smanjenjem vrijednosti n momenti u gredi rastu.Pri n < 1/80 utjecajne krivulje poprimaju oblik sličan onom u

slobodno poduprte grede raspona jednaka rasponu luka.26

položaji potpora

ordi

nata

u m

Slika 2.6: Utjecajne krivulje za momenteu gredi (KS) u četvrtini raspona luka


Slika 2.7 predočuje utjeca-jne krivulje za momente u gredi u četvrtini raspona luka složenih sklopova, pri čemu se promatraju tri sploštenosti luka (f / l = 1/3, 1/6,5 i 1/10) i to za dva skrajnja omjera krutosti: n = 80 i n = 1.Odmah se uočava da mo-menti savijanja u gredama zavise u prvom redu od omjera n, a znatno manje od sploštenosti luka, te da momenti savijanja rastu sa smanjenjem vrijednosti n.

27

položaj potpora

položaj potpora

ordi

nata

u m

ordi

nata

u m

Slika 2.7: Utjecajne krivulje zamomente u gredi učetvrtini raspona lukapri n = 80 (gore) ipri n = 1 (dolje)


Valja još obratiti pozornost na približnu ujednačenost pozitivnih i negativnih vrije-dnosti utjecajnih krivulja pri n = 1.Utjecajne krivulje za mo-mente u četvrtinskoj točki luka, opet za dva omjera n predočene su na slici 2.8.Uočljivi su potpuno analo-gni odnosi kao na slici 2.7.

28

položaji potpora

položaji potpora

ordi

nata

u m

ordi

nata

u m

Slika 2.8: Utjecajne krivulje zamomente u luku učetvrtini raspona lukapri n = 80 (gore) ipri n = 1 (dolje)


Na slici 2.9 predstavljeni su progibi u tjemenu luka pod silom F = 1 MN u polovištu raspona.Na apscisi su naneseni omjeri n u logari-tamskomu mjerilu, a na ordinati progibi u mm.Na lijevom dijelu slike naneseni su progibi Maillartovih lukova (MB A 30), a na des-nom progibi parabolastih lukova s protež-nim gredama (BDB).

Iz slike se vidi:Progibi u tjemenu lukova uglavnom su srazmjerni sa strjelicama.U području n > 1 promjene pomaka tjemena nisu velike, za razliku od područja n < 1.

29

vrijednost n [log]

prog

ibi u

mm

Slika 2.9: Progibiu tjemenu luka

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.3 Upet krut luk s krutim nadlučnim sklopomPrikazana istraživanja pokazala su u sustavu krutog luka s

krutim nadlučnim sklopom (kao i u Maillartova luka) grede prenose znatne momente savijanja.

Osim toga, budući da su prilično izjednačene pozitivne i negativne vrijednosti momenata savijanja, može se primijeniti osno (centrično) prednapinjanje.

Lukovi su pak u odgovarajućoj mjeri rasterećeni.Iz toga slijedi da bi se moglo očekivati kako će ovi sustavi imati

veću primjenu nego što je to bio slučaj do sada.

30

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.4 Ispravljanje naprezanja u lukuNi pri najpovoljnije odabranoj osi luka po verižnoj krivulji

najveća naprezanja na gornjem (σg) i donjem rubu luka (σd) ne će nikada biti posve izjednačena za ukupna djelovanja (slika 2.10).

Tako je u tjemenomu presjeku tlačno naprezanje na gornjem rubu redovito veće od onoga na donjemu dok je u petnomu presjeku stanje obrnuto.

31

Slika 2.10: Naprezanja u tjemenu i peti luka podekstremnim opterećenjima

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.4 Ispravljanje naprezanja u lukuS obzirom na to da su lukovi velika raspona redovito dvostruko

simetrična presjeka, a i armiraju se simetrično, valja nastojati da se rubna naprezanja ujednače.

To se najjednostavnije postiže s pomoću hidrauličkih tijesaka (preša) postavljenih u tjemenomu presjeku u točkama Pg i Pd, na međusobnom razmaku 2r (slika 2.10).

S pomoću njih se tako uvodi u presjek tlačna sila i odgovarajući moment savijanja.

Za ujednačivanje naprezanja nužni su u promatranim presjecima ovi momenti:negativni moment u tjemenu:

pozitivni moment u peti:32

2 / 2g d s

ss

IM

d

σ σ−= ⋅

2 / 2g d k

kk

IM

d

σ σ−= ⋅

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.4 Ispravljanje naprezanja u lukuOba ova momenta može izazvati jedna vodoravna sila sa

hvatištem udaljenim za ed od tjemena luka.Vrijednosti Hd i ed mogu se odrediti iz ovih dviju jednačbâ:

Hd· ed = Ms

Hd· (f – ed) = Mk

U trenutku ispravljanja naprezanja u osi luka u tjemenu djeluju vodoravna sila Hg i moment savijanja Mg.

Vodoravna sila od stalnog opterećenja, Hg, djeluje tako na kraku eg = Mg/ Hg, a vodoravna sila Hd na kraku ed (vidi sliku 2.10).

Naravno, ova je sila Hd zamišljena sila, a njezino djelovanje treba izazvati djelovanjem hidrauličkih tijesaka.

33

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.4 Ispravljanje naprezanja u lukuTijesci proizvode sile Pg i Pd, pri čemu mora biti ispunjen uvjet:

Pg + Pd = Hg + Hd.

Mimoosnost rezultante vodoravnih sila (Hg + Hd) iznosi:

Razmak među tijescima, 2r, određuje se na osnovi izmjera njihova presjeka i drugih tehničkih podataka, a kada ga znamo, možemo postaviti jednačbu momenata:

(Pg – Pd)· r = - (Hg + Hd)· e

Iz gornjih se jednačbâ mogu lako izračunati nepoznate sile u tijescima, Pg i Pd.

34

g g d d

g d

H e H ee

H H

⋅ − ⋅=

+

2 Proračun lukova s kolnikom gore2.4 Ispravljanje naprezanja u lukuNa izneseni se način potporna krivulja postaviti točno u položaj

koji je u skladu s proračunskim pretpostavkama.Međutim, valja još provjeriti jesu li izračunane vrijednosti

uzdužne sile, Ns0 = Pg – Pd, i momenta, Ms

0 = (Pg – Pd)· r, doista i unesene.

U tu se svrhu uspoređuju prora-čunske i izmjerene vrijednosti pomakâ krajeva poluluka u tje-menu (slika 2.11) na osnoviizmjerenih vrijednosti modulaelastičnosti betona luka.

Danas se ispravljanje naprezanjau luku radi samo iznimno.

35

Slika 2.11: Proračunski i izmjerenipomaci krajeva polulukau tjemenu

3 Armiranje lučnih sklopovaLukovi se armiraju:

uzdužnim šipkama, blago savijenima usporedno s vanjskim i unutarnjim obrisom luka,poprečnim razdjelnim šipkama istremenovima.

U početnom razdoblju građenja AB lukova poprečne šipke i stremenovi nadomještani su vijugama (češljevima).

Poprečne šipke dolaze s vanjske strane u odnosu na uzdužne (bliže površini betona), a isto tako stremenovi obuhvaćajuuzdužne šipke.

Poprečne se šipke, čija ploština mora biti najmanje 20 % ploštine glavnih uzdužnih šipaka, razmještaju se po načelima armiranja pločastih sklopova.

S druge strane, budući da je luk zakrivljeni tlačni štap, za streme-nove vrijede načela armiranja stupova i stijena (zidova).

36

3 Armiranje lučnih sklopovaPri osnom opterećenju (zanemarivi momenti savijanja u luku)

najmanji je postotak armiranja luka 0,8 % ploštine poprečnog presjeka luka ako naprezanje u betonu doseže dopustivo.

Ako je to naprezanje niže, postotak se srazmjerno snizuje, ali ne smije biti manji od 0.4 %.

Najveći promjer uzdužnih šipaka ne bi smio biti veći od 32 mm, a njihov razmak od 30 cm.

Tlačne se šipke mogu sve nastaviti preklapanjem u jednomu presjeku, dok se vlačnih smije nastaviti samo 50 %.

Lukovi većeg raspona (l ≥ 120 m) u pravilu su sandučastapresjeka, s dvjema ili trima klijetkama (komorama), što znači da imaju jedan ili dva unutarnja hrpta.

Unutarnji hrptovi ne pridonose torzijskoj krutosti luka (kao ni grede), otežavaju izvedbu, ali znatno smanjuju poprečne momente savijanja od vlastite težine i skretnih sila.

37

Na slici 3.1 shematski su predočeni odsječak i poprečni presjek luka s prikazom skretnih sila.

Skretne sile (rasprostrte) što djeluju na pojasne ploče luka usmjerene su prema vani (od središta zakrivljenosti) i tako smanjuju momente savijanja od stalnog i uporabnog opterećenja.

3 Armiranje lučnih sklopova

38

Slika 3.1: Djelovanje skretnih sila u luku

3 Armiranje lučnih sklopovaNa slici 3.2 predočena je armatura luka sandučasta presjeka

(luk mosta preko Krke kod Skradina na AC Zagreb – Split).

39

Slika 3.2: Poprečni presjekarmature luka


40

Slika 3.2a: Uzdužni presjek armatureodsječka luka

3 Armiranje lučnih sklopovaPri proračun luka na djelovanja okomita na njegovu srednju

ravninu svakako treba uzeti u obzir toplinske razlike između nutrine i vanjštine luka, te razlike između osunčane strane luka i one u hladu.

Poprečne ukrute (prepone iliti dijafragme) izvode se u petama, u tjemenu i pod nadlučnim stupovima.

U petama i tjemenu one su pravokutne na os luka, a pod stupovima su najčešće okomite.

Preporučljivo je ove ukrute betonirati istodobno s dotičnim odsječkom, a iznimno se rade nakon dovršetka betoniranja luka.

Prepone imaju otvore za prolaz ljudi i različitih vodova, a gdjekada se izvode u obliku okvira – obodnih pojačanja.

U vrlo širokih lukova preporučljivo je prednapeti prepone, a ako se izvodi ispravak (kompenzacija) naprezanjahidrauličkim tijescima (prešama), svakako treba prednapeti tjemenu preponu.

41

3 Armiranje lučnih sklopovaNa slici 3.3 predočena je armatura jednoga Maillartova trozglo-

bnog luka raspona 80 m.

42Slika 3.3: Armatura Maillartova trozglobnog luka!


43Slika 3.3: Armatura Maillartova trozglobnog luka!

3 Armiranje lučnih sklopovaOvaj luk, širine 2,2 m, nosi jedan kolnik autoceste, širine 10,5 m.Luk je oblika žabljih krakova, dakle vrlo promjenjiva presjeka

duž luka, što se vidi po presjecima A-A do G-G. Uzdužna je armatura nastavljana na prijeklop i to 100 % u

jednomu presjeku.Na mjestu spoja luka i grede ugrađena je osobita kosa armatura

i stremenovi radi preuzimanja posmičnih sila što se javljaju zbog skokovite promjene visine rebara luka u tom presjeku.

Posmična naprezanja što djeluju po gornjem oplošju luka bila su izračunana uz pretpostavku da se beton što se nalazi iznad tog oplošja uključuje u rad presjeka luka na duljini oko 2,5 m.

Na taj je način u poprečni presjek luka uključena i kolnička ploča na duljini oko 3,5 m.

Ovaj je primjer pokazan kako bi se vidjelo da prije 80-ak godina ljudi nisu štedjeli truda kako bi uštedjeli na gradivu.

44

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopova

Češki inženjer i učenjak, Jiři Stráský, domišljato uvodi nova polja primjene lučnih sklopova u mostova malih do srednjih raspona.

Osobito su zanimljive njegove kombinacije luka s prednapetom betonskom vrpcom:prednapeta vrpca poduprta lukom (stress ribbon /SR/ suported by arch) iprednapeta vrpca ovješena o luk (SR suspended on arch).

Prednapeta se vrpca odlikuje iznimno velikom vitkošću, a prikladna je za izvedbu od predgotovljenih odsječaka položenih na nosiva užeta u obliku lančanice.

Prednapinjanjem se povećava krutost sklopa i stabilnost užetâ.

45


Prednapeta vrpca sama po sebi ima razmjerno velik provjes (prirodni progib), što može biti nedostatak, osobito pri većim rasponima.

Umetanjem luka ovaj se nedostatak znatno ublažava; dapače, dobije se obris prometne plohe sastavljen od uzastopnih glatkih krivulja, što se izvrsno uklapaju u okoliš.

S inženjerskoga stajališta ovakav je sklop uzorno “čitljiv”, jer je zbroj dvaju nosivih sustava što se odlikuju jasnim tijekom unutarnjih sila.

Glavna im je prednost u najmanjemu mogućem remećenju okoliša, jer iziskuju malo gradiva i mogu se izvesti bez uporabe skele.

Kako nemaju ležajeva ni prijelaznih naprava, uzdržavanje je ovih mostova vrlo mala opsega.

46


Prednapeta vrpca kao nosivi sklop ima krupan nedostatak: velike vodoravne pridržajne sile na upornjacima.

To nerijetko utječe nepovoljno na gospodarnost ovoga rješenja.

Prednapeta vrpca poduprta lukom ili ovješena o luk predstavlja novo sklopovno rješenje, sa samousidrenim sustavom u kojem se vodoravna sila s prednapete vrpce prenosi s pomoću kosih AB članaka u temelj, gdje se uravnotežujes vodoravnom sastavnicom pridržajne sile luka.

Statička shema ovoga sustava za prednapetu vrpcu poduprtu lukom predočena je na slici 4.1.

47


48Slika 4.1: Prednapeta betonska vrpca poduprta lukom


Međupotpora prednapete vrpceobično ima oblik čekića (slika4.2). Međutim, očito je da se pritjemeni potez luka možetako oblikovati da mu se obrispotpuno prilagodi ovoj svrsi,tj. da služi kao sedlo predna-pete vrpce (slika 4.1a).

Za vrijeme prednapinjanja i pri vanjskom zahladnjenju vrpca će se odići od sedla, a pri zatopljenju naleći će na nj.

49

Slika 4.2: Međupotpora prednapete betonske vrpce

Slika 4.1a: Pritjemeni potez lukakao međupotporaprednapete vrpce


U početku vrpca se ponaša kao uže preko dvaju polja poduprto sedlom i pričvršćeno za krajnje upornjake (slika 4.1b).

Tada je luk opterećen vlastitom težinom, težinom predgotov-ljenih odsječaka što sjede na sedlu i skretnim (radijalnim) silama kojima djeluju nosiva užeta (slika 4.1c).

Nakon prednapinjanja vrpce nategama za prednapinjanje ona i luk djeluju kao jedinstven sklop.

Oblik i početna naprezanjau vrpci i u luku mogu seodabrati tako da vodo-ravne sile u vrpci, HSR, i u luku, HA, budu jednake. 50

Slika 4.1b: Statički sustav same vrpce poduprte sedlom na luku

Slika 4.1c: Statički sustav samoga luka sa sedlom


Sada se prednapeta vrpca i temelji luka mogu povezati kosnicima što uravnotežuju vodoravne sile.

Moment što ga tvore vodoravne sile, HSR· h, uravnotežuje se momentom ∆V· LP .

Na ovaj je način ostvaren sustav sa samo okomitim pridržajnim silama (slika 4.1d).

51

Slika 4.1d: Složeni statički sustav s okomitim pridržajnim silama


Sličnim slijedom razmišljanja došli bismo do zaključka da se prednapeta vrpca može i ovjesiti o luk.

Na slici 4.3 prikazane su tritakve mogućnosti.Slika 4.3a predočuje lukupet u sidrene blokovevitka PB kolničkoga sklopa.Luk je opterećen ne samovlastitom težinom i teži-nom vrpce, nego i skretnimsilama natega u vrpci.

52

Slika 4.3: Prednapeta betonska vrpcaovješena o luk


Na slici 4.3b prikazan je sklop slična statičkoga djelovanja onomu na slici 4.1d.

Radi smanjenja vlačne sile u sidre-nomu bloku prednapete vrpce, može se vrpca povezati s teme-ljima luka s pomoću tlačnih kos-nika što uravnotežuju (potpuno ili

djelomice) vodoravnu silu vrpce.Sličan sklop predočen je na slici 4.3c – tu vitke PB rubne grede

ukrućuju neovješeni dio vrpce.

53

Slika 4.3b: Složeni statički sustav s okomitim pridržajnim silama( vrpca ovješena o luk)

Slika 4.3c: Složeni statički sustav kao na slici 4.3b;neovješeni dijelovi vrpce ukrućenirubnim gredama


Prikazat ćemo tri primjera ovoga sklopovnog sustava.Prvi je nadhodnih nad brzom cestom kod Olomouca u Češkoj

(slike 4.4a ÷ 4.4c).

54

Slika 4.4: Nadvožnjak nad brzomcestom kod Olomoucaa) uzdužni rasporedb) detalj uza sidreni blokc) detalj uz sedlo luka


Na predhodnoj su slici prikazani, osim uzdužnog rasporeda mosta, detalji sidrenoga bloka vrpce i nadtjemenog dijela luka.

Slika 4.4b predočuje poprečni presjek mosta, a slika 4.4c prizor građenja: polaganje predgotovljenih odsječaka vrpce na nosiva užeta.

55

Slika 4.4b Slika 4.4c:


Drugi je primjer pješački most preko rijeke Svratke u Brnu (slike 4.5a ÷ 4.5d).

56

Slika 4.5a: Uzdužni raspored pješačkog mosta preko rijeke Svrátke u Brnu

Slika 4.5b Slika 4.5c: Shema nosivoga sklopa


Na slici 4.5d predočen je prizor građenja. Uočimo da se predgotovljena polovica luka privremeno pridržava nosivim užetima vrpce!

57Slika 4.5d: Shema građenja mosta. Gore: predgotovljeni dijelovi luka; dolje: odsječci vrpce


Na kraju i primjer vrpce ovješene o luk: pješački most preko McLoughlinove ul. u Portlandu, država Oregon, SAD. (slike 4.6a ÷ 4.6d).

Luk je upet, čelični, oblika košarine ručke.Uočimo da nosivi sklop mosta pripada tipu predočenu na slici

4.3c.

58

Slika 4.6a: Pješački most prek McLoughlinove u Portlandu, u državi Oregon, SAD


Na slici 4.6b predočeni su poprečni presjeci mosta.

59Slika 4.6b: Poprečni presjeci mosta sa slike 4.6a

4 Suvremene novìne u primjeni lučnih sklopovaUočimo da su rubna ukrućenja neovješe-nog dijela vrpce izvedena s pomoću obe-toniranih čeličnih valjanih nosača. Na slici 4.6c predočeni su detalji ovješenjaa na slici 4.6d – izgled dovršena mosta.

60

Slike 4.6c i d

c

c d

proraČun, sklopovno oblikovanje i...

Documents