propuesta de una secuencia de actividades sobre...
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PROPUESTA DE UNA SECUENCIA DE ACTIVIDADES SOBRE
INTERPRETACIÓN DE LA FRACCIÓN COMO PARTE - TODO EN
CONTEXTOS CONTINUOS Y DISCRETOS, A PARTIR DE LA PROPUESTA
DE SAENZ
DIANA PAOLA PRIETO HERNÁNDEZ
MAICOL STIFF VÁSQUEZ GONZÁLEZ.
DIRECTOR
MAURICIO BECERRA
CO-DIRECTOR
JORGE RODRIGUEZ
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Facultad Ciencias y Educación
Licenciatura en Educación Básica con Énfasis En Matemáticas
2015
TABLA DE CONTENIDO
Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 5 CAPÍTULO 1: .................................................................................................................. 7 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................... 7
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................... 7
1.2 OBJETIVOS ........................................................................................................... 9 1.2.1 General............................................................................................................. 9 1.2.2 Específicos ....................................................................................................... 9
1.3 JUSTIFICACIÓN ................................................................................................. 10 1.4 ANTECEDENTES ............................................................................................... 11 1.5 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN .................................................... 14
1.5.1 FASES ........................................................................................................... 15 1.5.2 INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN ................. 15
1.5.3 INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ..................... 16 CAPÍTULO 2 ................................................................................................................. 19 MARCO TEÓRICO ....................................................................................................... 19
2.2 REFERENTE DIDÁCTICO ................................................................................ 19
2.2.1 Actividades de Adalira Sáenz (2010) ........................................................... 19 1) FRACCIONES EQUIVALENTES. ....................................................................... 19
2) FRACCIÓN PARTE 1:1 ........................................................................................ 20
3)FRACCIÓN PARTE-TODO CONEXTO DISCRETO. ......................................... 20
4) FRACCIÓN PARTE-TODO CONEXTO DISCRETO. ........................................ 21 5) FRACCIÓN PARTE-TODO. COMO PARTE DE UN NÚMERO. ..................... 21
6) FRACCIÓN PARTE-TODO REPARTO. ............................................................. 22 7) LA FRACCIÓN COMO PARTE DE UN NÚMERO CONTEXTO CONTINUO.
.................................................................................................................................... 23
8) REPRESENTACIÒN FRACCIÒN PARTE TODO CONTEXTO DISCRETO. .. 23 2.3 METODOLOGÍA DE LAS ACTIVIDADES ...................................................... 28
CAPÍTULO 3: ................................................................................................................ 29 DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA .............................................................. 29
3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICO ............................................................................ 33 3.2 ACTIVIDAD DE INTRODUCCIÓN “EL TANGRAM”.................................... 34
3.3 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1 “HABLEMOS DE ÁREAS” .................... 37 3.4 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2“IDENTIFICANDO LA PARTE”............. 41 3.5 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3 “CUANDO ES MAYOR QUE LA
UNIDAD” ................................................................................................................... 50 3.6 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 1. “REPARTIENDO
EQUITATIVAMENTE” ............................................................................................ 55 3.7 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 2 “AHORA LA UNIDAD ES UN
NÚMERO” ................................................................................................................. 60 3.8 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 3 “ENCONTRANDO LA UNIDAD” 63
CAPÍTULO 4: ................................................................................................................ 67
ANÁLISIS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA ........................................................... 67 4.1 DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA ................................................................... 67
4.3 ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES DE LA SECUENCIA. ....................... 68 4.4 Adaptación de las actividades. ............................................................................ 72
ACTIVIDAD 1. .......................................................................................................... 72
ACTIVIDAD 2. ......................................................................................................... 73 ACTIVIDAD 3. .......................................................................................................... 75 ACTIVIDAD 4. ......................................................................................................... 77
ACTIVIDAD 5. .......................................................................................................... 78 ACTIVIDAD 6. ......................................................................................................... 80 ACTIVIDAD 7. .......................................................................................................... 81 ACTIVIDAD 8. .......................................................................................................... 83 ACTIVIDAD 9 ........................................................................................................... 85
ACTIVIDAD 10 ......................................................................................................... 87 4.3.1 Análisis actividad de introducción “EL TANGRAM” ...................................... 89 4.3.2Análisis actividad de desarrollo 1 “HABLEMOS DE ÁREAS” ........................ 90 4.3.3Análisis actividad de desarrollo 2 “IDENTIFICANDO LA UNIDAD
FRACCIONARIA” .................................................................................................... 91 4.3.4 Análisis actividad de desarrollo 3“CUANDO ES MAYOR QUE LA UNIDAD”
.................................................................................................................................... 94
4.3.5 Análisis actividad de profundización 1. “REPARTIENDO
EQUITATIVAMENTE” ............................................................................................ 97
4.3.6 Análisis actividad de profundización 2 “AHORA LA UNIDAD ES UN
NÚMERO” ................................................................................................................ 99
4.3.7Análisis actividad de profundización 3 “ENCONTRANDO LA UNIDAD” 101 CONCLUSIONES ........................................................................................................ 102 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 104
PROTOCOLOS DE LA SECUENCIA DE ACTIVIDADES. ..................................... 131 PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ ........................................................................ 148
LISTA DE TABLAS
Tabla 1: Matriz de análisis. ..................................................................................... 18
Tabla 2: Matriz general de la secuencia de actividades. .......................................... 32
Tabla 3: Relación entre contenidos, sesiones y descripción de las actividades.¡Error!
Marcador no definido.
Tabla 4: Relación entre las actividades adaptadas y la propuesta de Sáenz. ........... 68
Tabla 5: Análisis de las actividades. ........................................................................ 71
Tabla 6: Convenciones de la matriz de análisis. ...................................................... 71
5
INTRODUCCIÓN
En tercero de primaria, generalmente se introduce la idea de fracción, mediante repartos
equitativos, utilización de figuras estándar: cuadrados, rectángulos y círculos. La
fracción como relación parte todo es un concepto importante para el desarrollo del uso
de la fracción en otros campos, por ejemplo, como razón y proporción, como numero
racional…etc. También ejercicios de la fracción como relación parte todo propone
reconstrucción de la unidad y definición de la unidad fraccionaria que es muy útil en
muchos aspectos de la matemática en general y al introducirlos al aula de clase se
convierte en un proceso de cuidado.
El primer capítulo presenta el planteamiento del problema; teniendo como comienzo la
fracción como uno de los conceptos en matemáticas en el que se puede establecer que
los estudiantes presentan dificultades para su comprensión. como Fandiño (2009)
evidencia dificultades relacionadas con las diversas representaciones de la fracción, así
como dificultades relacionas a la forma como el docente introduce la fracción en el aula;
“La introducción del concepto de fracción parece ser igual en todo el mundo; una
determinada unidad concreta es dividida en partes iguales, luego, de dichas unidades
se toman algunas” (Fandiño, 2009, p.81), esta forma de introducir la fracción a partir de
la unidad concreta tiene la ventaja de ser clara y fácil de comprender por los estudiantes,
porque se relaciona con objetos (pizza, tortas, manzanas, etc…) de la vida cotidiana.
Partiendo de este punto el docente de matemáticas desde su concepción de la fracción
trasmite unas definiciones y representaciones que acercan a sus estudiantes a la
construcción de un conocimiento de la fracción. Desde dicha práctica en el aula se debe
reflexionar si estas construyen un verdadero conocimiento o simplemente favorecen un
ejercicio rutinario en el que el estudiante por medio de la repetición logre representar
fracciones en determinado contexto, mas no favorece la comprensión de la fracción,
generando en él un obstáculo didáctico.
El segundo capítulo se presenta el marco teórico de la fracción. Mediante los atributos
propuestos por Suydam (1979) y se presentan conceptos que constituyen la base para la
construcción de las actividades y organización de estas, en las que se incluye el
referente didáctico para la construcción y adecuación de las actividades, los elementos y
herramientas conceptuales utilizadas para el diseño y aplicación de esta, así como
también los autores que se toma para definir algunos obstáculos que se tuvo en cuenta
dentro de cada una de las actividades.
Ahora bien, al estudiar la fracción como parte todo, es necesario estudiar los
significados de cada uno de sus aspectos. Estos aspectos van desde las representaciones
pictóricas, numéricas y verbales de la fracción, hasta el análisis de cómo se llega al
concepto o Noética; Según los estudios de Duval (1999) se pueden abordar tres
6
actividades cognitivas ligadas a la Semiosis y que en este trabajo de grado contextualiza
con el tema de las fracciones.
En el tercer capítulo se presenta el diseño de las actividades desde la propuesta de
Adalira Sáenz (2010), cada una contiene nombre de la actividad, el objetivo general,
hipótesis de aprendizaje y descripción de esta durante el desarrollo en clase.
El cuarto capítulo presenta el correspondiente análisis. Se parte de lo obtenido en la
prueba piloto; dentro de este análisis se incluyen tablas de análisis y una matriz
comparativa que permite evidenciar los resultados obtenidos con lo que se había
planeado, se anexan fotografías y registros realizadas por los estudiantes en los que se
evidencian algunos procesos y obstáculos presentados durante la aplicación de la prueba
piloto.
Finalmente se presentan las conclusiones a partir de los resultados obtenidos durante la
aplicación, luego se especifican algunos obstáculos y estrategias que fueron tomadas,
también se destaca el orden y estructura en que se presentaron los contenidos.
7
CAPÍTULO 1:
DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En nuestras prácticas como docentes de matemáticas, percibimos que la enseñanza de
las fracciones es uno de los temas difíciles de introducir en el aula de básica primaria.
Esto lo ha constatado Fandiño (2009), no solo en su experiencia particular: ) “Entre
todos los argumentos de matemática que tuve posibilidad de enseñar y de hacer
aprender a mis estudiantes, puedo decir con seguridad que uno de los más complejos
fue siempre el de las fracciones” (p. 29), si no con su trabajo investigativo sobre la
fracción. En efecto, plantea complejidades importantes respecto a la fracción:
Dificultades en el reconocimiento de esquemas.
Dificultad en la gestión del adjetivo “igual”.
Dificultades en la gestión de equivalencia.
Dificultad en la gestión de figuras no estándar.
Dificultades al pasar de una fracción a la unidad que lo genero.
Confusión en la idea de que a/a=1 (Escolano & Gairin, 2005 p. 23 y 24 )
No existen las fracciones impropias (Bonotto, 1993).
El “todo” o unidad no es número (Gairin, 2001).
Ahora bien, el docente de matemáticas dentro del aula de clase tiende a incluir ciertas
prácticas que desconocen las dificultades mencionadas anteriormente y que en cambio
no favorecen a la comprensión de la fracción parte-todo, ni de la fuerza del concepto
mismo, lo que conlleva estrictamente a un manejo tecno-algorítmico de la fracción
finalmente originando un obstáculo didáctico (Brousseau, 1993).
En este sentido, Giménez y Rico (2003), plantean obstáculos didácticos como el de la
interpretación del concepto, que se refiere al énfasis que el docente hace al introducirlo
en el aula; un ejemplo de éste es cuando el docente puede decir que cierto objeto es la
tercera parte de un todo, pero no dice cómo puede obtener esa parte mediante la división
del todo en tres partes equivalentes y que se tome una de ellas, estableciendo de esta
manera una interpretación de parte-todo igual a la interpretación como operador,
generando así una confusión en las distintas interpretaciones de la fracción: parte-todo,
razón, cociente y operador establecidas por Llinares y Sanchez (1997).
Un obstáculo didáctico muy frecuente que se presenta en el aula de clase, se da cuando
el docente no tiene en cuenta los registros semióticos al introducir el concepto de la
fracción, ya que las representaciones pictóricas, numéricas y verbales de la fracción
tienen una conexión y generan la comprensión de éste, así como lo establece Duval
(1999), en forma general, al plantear que “la comprensión conceptual […] y el dominio
de las diferentes formas de razonamiento […] están íntimamente ligados a la
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movilización y a la articulación cuasi-inmediatas de algunos registros de representación
semiótica” (p. 18).
En “primaria las fracciones se centra principalmente en identificar las partes en las que
se ha dividido la unidad y las partes que de él se toma, basada en su mayoría en
representaciones gráficas que se ocupan primordialmente en el aspecto parte-todo”
(Llinares & Sánchez, 1997, p. 37), pero el tipo de representación gráfica que es más
utilizada en la enseñanza de la fracción corresponde a un mismo prototipo,
habitualmente el cuadrado, el rectángulo y el círculo; es decir que se trabaja sobre
contextos continuos y no en contextos discretos.
Al proponer tareas al estudiante como: Expresa la fracción de la parte sombreada
(coloreada) de la siguiente figura
Exige al estudiante realizar transformaciones de conversión entre la representación
gráfica y simbólica, generando inicialmente la interpretación de la representación
gráfica con respecto a lo que representa el “todo” y lo que representan las partes
coloreadas, para después establecer las partes iguales que forman el todo y el de las
partes coloreadas y por último se representa de forma simbólica: se escribe debajo de
una raya el número que es el resultado de contar el “todo”, y sobre la raya se escribe el
número que es el resultado de contar las partes coloreadas, así: 1
4.
En consecuencia tal como lo plantea Escolano y Gairin (2004), la construcción del
significado parte-todo mediante tareas como la descrita anteriormente, tienen las
siguientes características: 1) La mayor parte del conocimiento se obtiene de forma
visual. 2) Indefinición de la unidad. 3) Promueve el aprendizaje pasivo. 4) Se
obstaculiza la formación de concepciones adecuadas.
Ahora bien, al pasar la fracción de un registro de representación a otro (conversión) o al
pasarlo en el mismo registro de representación (tratamiento), se presentan dificultes para
los estudiantes, como el problema de no-congruencia propuesto por Duval (1999), el
cual
Aumenta el tiempo de tratamiento, si no que la conversión puede resultar
imposible de efectuar, o incluso de comprender, si no ha habido un aprendizaje
previo concerniente a las especificidades semióticas de formación y de
tratamiento de la representación, propias a cada uno de los registros presentes
(Duval, 1999, p.48).
Dichas representaciones que se presentan en las tareas, además apartan contextos como
los discretos que propician la interpretación de las fracciones, cuyo camino es necesario
para que los estudiantes se aproximen a la construcción del concepto de fracción.
Por último, se genera un obstáculo didáctico al exigirle a los estudiantes reconstruir la
unidad a partir de alguna de sus partes, ya que habitualmente se trabaja desde la unidad,
pero son pocas las propuestas que exigen la reconstrucción de la misma, pues hasta el
9
momento se le proporcionaba fracciones unitarias y el estudiante a través de la
secuencia de contar, reconstruía la unidad (Llinares & Sánchez, 1997).
Dado los anteriores argumentos sobre obstáculos didácticos para la enseñanza y
aprendizaje de las fracciones en el aula, se plantea la siguiente pregunta de
investigación:
¿QUÉ ESTRUCTURA HA DE TENER UNA SECUENCIA DIDÁCTICA QUE
CONTRIBUYA A UNA INTERPRETACIÓN DE LA FRACCIÓN COMO PARTE
TODO EN CONTEXTOS CONTINUOS Y DISCRETOS EN ESTUDIANTES DE
GRADO CUARTO, A PARTIR DE UNA ADAPTACIÓN REALIZADA DEL
TRABAJO DE ADALIRA SÁENZ?
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 General
Estructurar una secuencia de actividades a partir de la propuesta de Sáenz y de los
registros semióticos de Duval, que tenga como finalidad la comprensión de la
fracción parte todo en contextos continuos y discretos, en estudiantes de cuarto
grado.
1.2.2 Específicos
Adaptar los ejercicios de la propuesta de Sáenz en el diseño de la secuencia de
actividades teniendo en cuenta los tipos de representación semióticas de Duval,
que permitan la comprensión de la fracción en contextos continuos y discretos.
Caracterizar los registros semióticos de representación, las transformaciones
entre registros de representación y la conversión entre el mismo registro de
representación, que permitan el análisis de la secuencia de actividades de la
fracción en contextos continuos y discretos.
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1.3 JUSTIFICACIÓN
Por la importancia social de las matemáticas, es preciso decir que la contextualización
de las mismas es uno de los objetivos más importantes de la matemática en general,
tanto así, que en todo momento de la vida se hace necesario mejorar procesos generales
como lo son la comunicación y la ejercitación de procedimientos de tal manera que se
obtenga un pensamiento lógico-matemático. Ahora bien, en acuerdo con los
lineamientos curriculares de matemáticas (Ministerio de Educación Nacional [MEN],
1998), uno de los objetivos de las matemáticas es el de desarrollar los procesos
generales para que los estudiantes razonen al momento de abordar situaciones y las
modele, con medios de comunicación para la socialización y la institucionalización de
cada parte del proceso, para llevar finalmente a cabo la ejercitación del uso de las
matemáticas en otros contextos.
En la matemática se ve la importancia de las fracciones, puesto que su uso en la vida
cotidiana es más común de lo que se puede imaginar, por el simple hecho de repartir se
maneja implícitamente el concepto de fracción, por ejemplo cuando se relaciona un
objeto con otro de mayor o menor tamaño para observar la equivalencia o la relación
entre una parte y el todo. El estudiante está notablemente inmerso en las fracciones en la
vida diaria, en momentos tan comunes como repartir algo en tantas partes (ya sean
objetos en contextos continuos o discretos) realizar sumatorias de partes o unidades
fraccionarias… etc. De esta manera el concepto de fracción en la escuela es uno de los
tópicos en el que el docente debe hacer más énfasis.
Por lo anterior, al desarrollar en los estudiantes la apropiación y reconocimiento de la
fracción como relación parte-todo, su aplicación en contextos cotidianos. De esta
manera y a partir de las experiencias de los trabajos de grado sobre fracciones, se llega a
la hipótesis que es un tema muy investigado en la didáctica de las matemáticas, por su
nivel de complejidad, lo que nos motiva a proponer este trabajo de grado.
Al adaptar las actividades propuestas por la profesora Adalira Sáenz, se busca que las
actividades se guíen por situaciones de contexto, para generar un espacio que permita
desarrollar y aprender de forma natural los conceptos y procedimientos matemáticos.
Las preguntas estructuradas en cada actividad buscan la generalización de las soluciones
y estrategias con el fin de poder aplicarlas en otras situaciones; de esta manera se
fomenta la confianza en el uso significativo de las matemáticas, se muestra así que de
igual manera las actividades serán adaptadas para que los ejercicios propuestos cumplan
con lo requerido en el orientador curricular. Estas actividades que propone la profesora
Adalira Sáenz fueron publicadas en el año 2010 y solo fueron prestadas exclusivamente
para la estructuración de este trabajo de grado el cual tendrá la exclusividad de aplicar
estas actividades por primera vez.
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1.4 ANTECEDENTES
A continuación se presentan algunos trabajos de grado (pregrado) y artículos de revistas
de educación matemática, relacionados con la enseñanza y aprendizaje de las fracciones
como interpretación parte-todo, la representación de la unidad en contextos continuos y
discretos, y la relación de la parte con el todo en los cuales se desarrollan una serie de
dificultades o limitaciones.
En cuanto se refiere a la relación parte todo se han realizado investigaciones como la de
las profesoras Lazcano y Martínez (2001) titulada “ACERCA DE DIFICULTADES
PARA LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS FRACCIONES”, en la que se
detectaron algunos problemas en los estudiantes para el reconocimiento de los atributos:
1. Considera las partes como totalidad y 2. El reconocimiento de las subdivisiones
equivalentes, que fueron objetos de análisis para este artículo. A través del desarrollo de
las actividades (propuestas en el artículo) solo en las respuestas de tres estudiantes se
observaron evidencias del reconocimiento del primer atributo y en la respuesta de un
estudiante se evidencio el reconocimiento del segundo. Por lo que se verifico que dichas
dificultades persisten.
Así pues, los resultados a los que se llegan muestran la necesidad de efectuar una labor
didáctica aún más profunda, de manera que se aborde más específicamente estos dos
atributos de la fracción como relación parte todo y de esta forma permitir que los
estudiantes los reconozcan, y se apropien de ellos. Por consiguiente se requiere afrontar
preguntas como: ¿Cuáles son los elementos que subyacen en estos atributos?, ¿Qué
destreza o habilidades necesita el estudiante para reconocerlos y apropiarse de ellos?,
¿Cuáles son las actividades que permiten superar en los estudiantes las dificultades en
torna al reconociendo y apropiación de los mismos?
En este mismo sentido, reflexiones posteriores emergen algunas ideas que podrían
contribuir para la estructuración de actividades que aborden estos atributos. Por ejemplo
tener en cuenta que una de los problemas relevantes para reconocer subdivisiones
equivalentes puede ser que el significado de los números está directamente relacionado
a la cantidad de elementos, dado que los estudiantes tienen como referente el universo
de los números naturales, y en la fracción para simbolizar la cantidad hay que utilizar
dos números que representen la relación entre la parte y le todo.
En cuanto a la fracción en contexto discreto, el escenario es más complejo para ser
enseñado. Esto debido a que el estudiante tendría que reagrupar para ver 3 en donde hay
6 o 9 o 12 y conservar de esta manera la congruencia en este contexto (la misma
cantidad de elementos en cada subgrupo).
Ahora bien, el trabajo de Jiménez, Yasmin y Rico (2003) titulado: “BUSQUEDA DE
UNA PROPUESTA DE ENSEÑANZA DE FRACCIONES EN LA ESCUELA
BÁSICA”, plantea una propuesta para la enseñanza de fracción que permita al
estudiante construir conceptos mediante un proceso de enseñanza basado en la
propuesta de Kieren (1981), tomando como objetivo principal el desarrollo de la
concepción de fracción como relación parte todo y fracción como razón. De esta manera
surge la pregunta general: ¿la propuesta internet – Thompson es una respuesta al
12
problema?, debido a que la problemática que encontraron giraba en torno a las
dificultades que se tienen en procesos de enseñanza y de aprendizaje en el ámbito
escolar (Maza y Arce 1991, Llinares y Sánchez 1997).
En el trabajo de Beltrán (2005) llamado: “UNA SECUENCIA DIDÁCTICA PARA LA
ENSEÑANZA DE LA FRACCIÓN: RELACIÓN PARTE-TODO GRADO SÉPTIMO”
Presenta una problemática que surge en la publicación del archipiélago de los
fraccionarios publicado por Vasco (1994). Se hace una alusión a la falta de comprensión
en el concepto. Los siguientes son algunos ítems de problemáticas y limitaciones
encontradas según los autores:
Falta de consideración de las distintas interpretaciones del concepto de fracción.
El aislamiento de representaciones y modelos.
Ausencia de contextos significativos.
Para la introducción a fracciones no se comienza por la relación – parte todo que
es muy importante.
Los autores finalmente concluyen que la secuencia contribuyó a que los estudiantes
comprendieran los atributos de las fracciones en la experimentación parte – todo, ya que
la secuencia permitió que los estudiantes aprendieran a escribir la fracción según la
gráfica, además identificaron la congruencia entre las partes de una figura a partir de la
representación gráfica y simbólica.
Ahora bien Moreno y Caballero (2009) con su trabajo “PROPUESTA DIDÁCTICA
PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA FRACCIÓN COMO RELACIÓN
PARTE-TODO EN EL MODELO DE SUB-ÁREA CON ESTUDIANTES DE TERCER
GRADO DE EDUCACIÓN BÁSICA PRIMARIA MEDIANTE EL USO DE
ROMPECABEZAS”, proponen una secuencia didáctica que busca acercar a los
estudiantes a la comprensión y aprendizaje de la fracción tomando como referencia
principal a Vicenc Fond (2009), indicando que la fracción “es una situación que supera
el aprendizaje pasivo gracias a la incorporación del proceso enseñanza-aprendizaje,
entre otras”.
Los autores del anterior trabajo de grado también toman algunos de los siguientes
aspectos: actividad del estudiante, el uso de materiales, problemas contextualizados,
grupos de trabajos, uso de diferentes representaciones, las relaciones entre diferentes
contenidos. etc.
Los objetivos que se plantean en este trabajo de grado es proponer una secuencia de
actividades para una aproximación comprensiva de la noción de fracción, como la
relación parte todo mediante el rompecabezas como herramienta heurística que
represente el modelo sub-área.
El planteamiento del problema se enfoca desde la perspectiva de Payne:
La conservación de la unidad que es atributo indispensable.
Comprensión de la necesidad de áreas de igual tamaño.
Transición de un diagrama hasta la expresión verbal o simbólica.
13
No reconocimiento de la igualdad de las partes en la división de la unidad.
Dificultad de la representación gráfica y simbólica de la fracción.
En el trabajo de grado se presentan las siguientes afirmaciones:
“La enseñanza usual alrededor de la fracción en los primeros cursos de básica primaria
no es significativa para los estudiantes, debido a que este proceso está centrado en la
adquisición y uso mecánico de algoritmos que no permiten a los niños comprender,
interiorizar y expresar la relación entre el todo y sus partes en situaciones cotidianas”,
luego la pregunta orientadora dice ¿Qué características debemos tener en cuenta en el
diseño de la secuencia de actividades de modo que nos proporcione elementos que
enriquezcan el proceso de enseñanza y aprendizaje de la fracción como relación parte-
todo en contextos de sub-áreas?, dicho trabajo de grado muestra los obstáculos que
tienen los estudiantes en el reconocimiento de subdivisiones equivalentes.
El trabajo de grado presentado por Fernández y Ortiz (2010), LA FRAGMENTACIÓN
DE LA MATEMÁTICA ESCOLAR EN LOS PENSAMIENTOS. ELEMENTOS
PARA LA REFLEXIÓN ENTORNO AL TRATAMIENTO DE LA FRACCIÓN, es un
estudio de caso basado en la interpretación de la fracción en la escuela y los errores
usuales que se presentan durante el proceso de aprendizaje; se centran especialmente
sobre los errores cometidos por los estudiantes que están relacionados con el
tratamiento algorítmico excesivo que se suele dar en los procesos de enseñanza
iníciales.
Los autores mencionan que durante el proceso de aprendizaje de las fracciones los
estudiantes presentan diferentes dificultades, algunas asociadas al entendimiento mismo
del concepto de la fracción a partir de los atributos y las representaciones, y otros
asociados a la forma como se enseñanza la fracción en la formación inicial. Por lo tanto
es muy importante que los estudiantes construyan elementos pertinentes para entender
la fracción a partir de procesos en los que se incluyan actividades orientadas a la
estimación, como el desarrollo del sentido del orden y tamaño, y el desarrollo de las
representaciones. Por tal razón se concluye que las dificultades que muestran los
estudiantes son a causa de la familiaridad entre el paso de los números naturales a los
fraccionarios, ya que no es fácil romper con la idea de número natural.
Ahora bien, un antecedente tomado para la estructuración de las actividades es la
propuesta de la profesora Adalira Sáenz (1998), que se enfatiza en ejercicios para
fortalecer la concepción de las relaciones parte-todo en contextos discretos y continuos
en representaciones gráficas y numérica, así pues, Sáenz propone una interpretación de
la relación parte-todo para que el estudiante de cuenta del proceso de reconstrucción de
la unidad, mediante la translación de la parte, (en la representación gráfica) y su
respectivo algoritmo (en la forma numérica). Dichas representaciones también están en
forma propia e impropia de tal manera que se evidencia su implicación en la forma
numérica al ser el numerador mayor que el denominador.
14
1.5 METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
La metodología de la investigación se sustenta desde la ingeniería didáctica, de acuerdo
con Artigue (1998, p.36) “la ingeniería didáctica se caracteriza en primer lugar por un
esquema experimental basado en las “realizaciones didácticas” en clase, es decir,
sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza”.
De hecho según Douady (1996), el término “ingeniería didáctica”, es usada en el área de
las matemáticas para dos funciones, una de ellas es como metodología de investigación,
la cual se propone como:
un conjunto de secuencias de clase concebidas, organizadas y articuladas en el
tiempo de forma coherente por un profesor-ingeniero para efectuar un proyecto
de aprendizaje de un contenido matemático dado para un grupo concreto de
alumnos. A lo largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el
proyecto evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en función de las
decisiones y elecciones del profesor. Así, la ingeniería didáctica es, al mismo
tiempo, un producto, resultante de un análisis a priori, y un proceso, resultante
de una adaptación de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con
las condiciones dinámicas de una clase (Douady, 1996, p. 241).
En los procesos de construcción de las ingenierías didácticas se encuentran varias
dimensiones relacionadas como lo son:
a) la dimensión epistemológica: se relacionan estrechamente, con las
características del saber puesto en funcionamiento.
b) la dimensión cognitiva: se asocia a las características cognitivas de los
estudiantes.
c) la dimensión didáctica: se observan las características del funcionamiento del
sistema enseñanza (Artigue, 1998, p. 40).
En la ingeniería didáctica como metodología de investigación De Faria (2006) distingue
dos niveles, que son:
1. Nivel de micro-ingeniería: Son las que tienen como objetivo el estudio de un
determinado tema. Ellas son locales y toman en cuenta principalmente la
complejidad de los fenómenos en el aula.
2. Nivel de macro-ingeniería: Tienen como objetivo permitir ajustar la
complejidad de las investigaciones de micro ingeniería con las de los fenómenos
asociados a la duración de las relaciones entre enseñanza y aprendizaje (Faria,
2006, párr 6)
Este trabajo de grado se desarrolló en el nivel de micro-ingeniería, pues se tuvo en
cuenta el estudio de las fracciones y los fenómenos presentados por los estudiantes en el
aula al aplicar la secuencia de actividades, para desarroolar la comprensión del concepto
de fracción en su interpretación de parte-todo en los contextos continuos y discretos.
15
1.5.1 FASES
FASE 1. Diseño de la investigación:
En esta fase se realizó el análisis preliminar de los conocimientos teóricos y didácticos
de la fracción. Las condiciones bajo las cuales se presentara la situación didáctica
efectiva y los objetivos de la investigación, entre otros.
En esta fase se incluyó la búsqueda y estudio de los referentes teóricos, y la
construcción del marco teórico.
FASE 2. Construcción y adaptación de las actividades
En esta fase se realizó el análisis a priori en la ingeniería didáctica, donde se hizo el
diseño y la organización de la secuencia de actividades; en esta incluimos:
a) Elaboración de objetivos para cada actividad
b) Creación de los criterios de evaluación.
c) Adaptación de la propuesta de Sáenz con los objetivos generales del trabajo de
grado.
d) Estructuración de las actividades mediante las fases DECA.
FASE 3. Análisis de las actividades
En esta fase se realizó el análisis a posteriori y validación; donde se analizó el conjunto
de datos recogidos en la aplicación de la secuencia de enseñanza mediante los
instrumentos de recolección de información, para poder establecer su validación o
reestructuración de la propuesta.
FASE 4. Propuesta final.
En esta fase se presentó la propuesta final con los respectivos ajustes para adaptar la
propuesta en el aula, basados en el análisis de información, la formación como docentes
en el área de las matemáticas, el desarrollo y construcción del concepto.
1.5.2 INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN
1.5.2.1 Entrevista
La entrevista basada en tareas:
[…] hace posible poner el foco de interés de la investigación más directamente en
los procesos del sujeto al enfrentar la tarea matemática, más que sólo en los
patrones de las respuestas correctas o incorrectas que ellos producen, por lo
tanto hay la posibilidad de ahondar en una variedad de tópicos importantes con
más profundidad de la que es posible por otros medios experimentales (Goldin,
2000, p. 520).
16
Las tareas están en el marco de unas actividades que se conformaron por un objetivo
general, y dos específicos, además de una guía de tareas a desarrollar con sus
respectivas indicaciones; para cada actividad se realizó una hipótesis de aprendizaje y se
especificó el recurso que se utilizó, (la guía o algún material didáctico) que permitió el
buen desarrollo de las tareas en particular y las actividades en general.
1.5.2.2 Protocolos de clase
Cada una de las actividades presentó un análisis y su debido registro, así como la
evaluación de la pertinencia de la tarea y actividad. Esto se registró por medio de
escritos y fotos que permitieron evidenciar algunos esquemas pictográficos, el lenguaje
utilizado y el proceso empleado por los estudiantes para desarrollar las guías, así como
también obstáculos que presentan los estudiantes en el momento de enfrentar las
situaciones puestas.
1.5.2.3 Observación participante.
Cada una de las actividades constó de una aplicación e intervención participativa por
parte de los practicantes, con el fin de orientar a los estudiantes a desarrollar las tareas
propuestas atendiendo a los objetivos fijados.
1.5.3 INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
2.2.4.1 Matriz de análisis.
Como método de análisis se planteó una matriz (Tabla 1), en la primera columna se
ubicaron las actividades basadas en la propuesta del grupo DECA, que se establecen con
las siguientes fases: Introducción, desarrollo, restructuración, profundización; en la
segunda columna se proponen las representaciones semióticas propuestas por Duval
(1993) y que son utilizadas en cada una de las actividades de cada una de las fases, las
representaciones a analizar son las de lenguaje común, lenguaje aritmético y el registro
pictográfico, además se observara si los estudiantes realizan transformaciones de
conversión de: 1) lenguaje común al lenguaje aritmético, 2) esquema pictográfico a
lenguaje aritmético y 3) esquema pictográfico a lenguaje común; en la tercera columna
se tienen en cuenta los siete atributos propuestos por Suydam (1979) y Payne (1976)
que son:
1. El todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie
podría ser divisible.
2. La separación de las partes se pueden desarrollar por medio de una división de
números determinados de partes, la suma total de estas partes forman el todo o la
unidad (en el caso que se están manejando fracciones propias).
3. Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño- congruentes o
equivalentes.
4. El todo o la unidad se conserva.
5. El control simbólico de las fracciones.
6. Las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos.
7. las fracciones mayores que la unidad y las subdivisiones equivalentes.
17
Estos atributos se analizaron en cada una de las tareas de las actividades establecidas; en
la última columna se presentaron las observaciones de cada una de las actividades, en
las fases y su relación con los obstáculos didácticos planteados en la aplicación de la
actividad.
1.5.4 POBLACIÓN
El pilotaje de la secuencia de actividades se realizó en el colegio nombre Francisco José
De Caldas, en el año 2011 durante la práctica intensiva, con 45 estudiantes de cuarto
grado, con edades entre 8 y 9 años.
18
Tabla 1: Matriz de análisis.
ACTIVIDADES REPRESENTACIONES (Duval, 1993) ATRIBUTOS
(Suydam y Payne, )
OBSERVACIONES
DE LAS
ACTIVIDADES
1. Introducción
2. Desarrollo
3.
Restructuración
4.
Profundización
1. Lenguaje
común.
2. Lenguaje
aritmético.
3. Registro
pictográfico.
Transformación de
conversión.
1. lenguaje
común al
lenguaje
aritmético.
2. Esquema
pictográfico
a lenguaje
aritmético.
3. Esquema
pictográfico
a lenguaje
común.
Transformación de
tratamiento.
Conversión
(Dentro de un
mismo registro)
1. Esquema
pictográf
ico.
2. Lenguaje
común.
3. Lenguaje
aritmétic
o.
1. El todo se compone por elementos
separables, es decir que una superficie
podría ser divisible.
2. La separación de las partes se pueden
desarrollar por medio de una división de
números determinados de partes, la suma
total de estas partes forman el todo o la
unidad (en el caso que se están manejando
fracciones propias).
3. Las partes de la unidad deben ser del
mismo tamaño- congruentes o
equivalentes.
4. El todo o la unidad se conserva.
5. El control simbólico de las fracciones.
6. Las relaciones parte-todo en contextos
continuos y discretos.
7. las fracciones mayores que la unidad y
las subdivisiones equivalentes.
1. Obstáculos
Didácticos.
2. Ambigüedad en los
ítems de la actividad.
19
CAPÍTULO 2
MARCO TEÓRICO
La teoría que respalda este trabajo se orienta según tres vías: 1) la histórica que permite
evidenciar la evolución del concepto del objeto matemático (la fracción), 2) la didáctica
la cual tiene su soporte en la teoría de las representaciones de Duval (1999) y 3) la
metodología propia de la construcción e implementación de las actividades.
Números Racionales se establece como teoría estructural que se conoce hoy día. (Rico,
1984).
2.2 REFERENTE DIDÁCTICO
2.2.1 Actividades de Adalira Sáenz (2010)
1) FRACCIONES EQUIVALENTES.
Esta actividad presenta los
siguientes elementos:
SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico, lenguaje
aritmético.
REPRESENTACIÓN:
Transformación de tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
El número de partes
forman el todo.
subdivisiones
equivalentes.
Las partes de la unidad
deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área.
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos, triángulos.
20
2) FRACCIÓN PARTE 1:1
Esta actividad presenta los siguientes elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema
Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de
tratamiento.
CONTEXTO: Continuo.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo.
subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo
tamaño congruentes o equivalentes.
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos, triángulos.
3)FRACCIÓN PARTE-TODO
CONEXTO DISCRETO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema
Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de
tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
El número de partes forman el todo.
FIGURAS: objetos.
21
4) FRACCIÓN PARTE-TODO CONEXTO DISCRETO.
Esta actividad presenta los siguientes elementos: SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico,
lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de
tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo.
subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo
tamaño congruentes o equivalentes en área.
FIGURAS: Objetos y conjunto de objetos.
5) FRACCIÓN PARTE-TODO. COMO PARTE DE UN NÚMERO.
Esta actividad presenta los siguientes
elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN: REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema
Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de
conversión.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
El número de partes forman el todo.
FIGURAS: Sin figuras.
22
6) FRACCIÓN PARTE-TODO REPARTO.
Esta actividad presenta los siguientes
elementos:
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN: REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema
Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación
de tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo.
FIGURAS: Sin figuras.
23
7) LA FRACCIÓN COMO
PARTE DE UN NÚMERO
CONTEXTO CONTINUO.
SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico, lenguaje
aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
CONTEXTO: Continuo.
ARIBUTO:
Las partes de la unidad deben ser del
mismo tamaño congruentes o
equivalentes en área.
FIGURAS:
8) REPRESENTACIÒN FRACCIÒN PARTE TODO CONTEXTO
DISCRETO.
SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN:
REGISTRO
SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico,
lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de
conversión.
CONTEXTO: Continuo-
Discreto. ARIBUTO:
Las partes de la unidad
deben ser del mismo
tamaño congruentes o
equivalentes en área.
El todo se conserva.
24
2.2.2 Atributos de la fracción
Las fracciones vistas como una relación parte-todo se desemboca en los atributos que se
ven deben tener en cuenta como punto de partida al momento de trabajar con los
fraccionarios. Lo que conlleva a la utilización de atributos necesarios para llegar al
manejo de los contextos (continuo y discreto de la fracción) se basa en el conocimiento
de los atributos en una relación parte-todo. De esta manera el estudiante debe conocer
que el todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie podría ser
divisible, además la separación de las partes se pueden llevar a cabo por medio de una
división de números determinados de partes y que la suma total de estas partes forman
el todo o la unidad (en el caso que se están manejando fracciones propias), las partes de
la unidad deben ser del mismo tamaño, y algo que es muy importante es que el todo o la
unidad se conserva.
Estos atributos que fueron propuestos por Suydam (1979) no demoraron mucho en ser
ampliadas por Payne (1976) quien agrega algunos atributos: el control simbólico de las
fracciones, las relaciones parte-todo en contextos continuos y discretos, las fracciones
mayores que la unidad y las subdivisiones equivalentes.
De la misma manera dichos atributos se ven representados en la utilización de contextos
(forma de representación de la unidad), hacen que el estudio de las fracciones se
convierta en una materia con una forma de análisis un poco más delicada. Debido a lo
anterior se describen dos formas de representar la una unidad, “continua y discreta”. Por
las primeras se refiere a las formas de representar la unidades de forma cerrada única, la
idea de única se da cuando se dice que la unidad no está compuesta por varios
elementos de igual o diferente especie, es decir que se toma como una unidad una hoja,
una tira de papel… etc., y por las discretas se toman como ejemplos los conjuntos o
grupos de elementos que forman la unidad, como por ejemplo: canicas, caramelos o un
grupo de personas…etc. Cada parte de la representación numérica de la fracción tiene
como fin ver que para cualquier número a/b, a y b pertenecen a los números naturales.
Según Novillis (1976) el trabajo con los contextos continuos y discretos son base
importante para poder trabajar la recta numérica. Frente al manejo eficaz de dichos
contextos Payne (1976) argumenta que tiene mayor grado de dificultad los contextos
discretos puesto que el manejo de las fracciones ocasiona una desintegración de la
unidad. Así pues si se va a realizar secuencias didácticas para el desarrollo de la
fracción como parte de un todo, es necesario optar por un contexto continuo en primer
lugar e integrar gradualmente mediante el proceso, actividades que contengan objetos
articulados (como nivel intermedio entre los dos contextos) para así de esa manera
poder pasar a manejar unidades (todos) formado por elementos discretos.
25
Figura
2.2.3 Representaciones semióticas
Al estudiar la fracción como parte todo, es necesario estudiar los significados de cada
uno de sus aspectos. Estos aspectos van desde las representaciones pictóricas, numéricas
y verbales de la fracción, hasta el análisis de cómo se llega al concepto o Noética;
Según los estudios de R. Duval (1999) se pueden abordar tres actividades cognitivas
ligadas a la Semiosis y que en este trabajo de grado contextualiza con el tema de las
fracciones:
La formación de una representación identificable: Para conseguir la formación de una
representación identificable, debe hacer una selección de rasgos y de datos de tema de
las fracciones. Tal selección depende de unidades y reglas de formación y
características especiales que son propias del campo semiótico en el cual se produce la
representación.
Esta formación respetará las reglas del registro y así estas asegurarán “en primer lugar,
las condiciones de identificación y de reconocimiento de la representación y, en
segundo lugar, la posibilidad de su utilización para los parámetros. Son reglas de
conformidad, no son reglas de producción efectiva de un sujeto.” (Duval, 1993)
El tratamiento de una representación
Al pensar en el tratamiento de una representación, se debe pensar en una transformación
que se lleva a cabo dentro del mismo registro donde ha sido formada la representación
de la fracción. El tratamiento es una transformación interna a un registro.
“Naturalmente, existen reglas de tratamiento propias de cada registro (o campo). Su
naturaleza y su número varían considerablemente de un registro a otro” (Duval, 1999-b,
p. 178). Así, tomando como ejemplo el lenguaje aritmético, tenemos por ejemplo, [dos
tercios de la unidad] el cual está en un campo matemático como un número
fraccionario. La fracción puede verse siguiendo con el mismo campo como: expresión
aritmética; o bien con la división de una unidad o una medida o una razón
permaneciendo con el número fraccionario en el mismo campo de representación,
provocando transformaciones de tratamiento.
La Conversión de una representación.
Esto se refiere a la transformación de dicha representación a una representación de otro
registro. La conversión es una transformación externa al registro de partida.
26
Con el lenguaje gráfico podemos considerar la representación numérica de la parte de
un todo, vemos que es una expresión aritmética que al ser transformada a otro registro
puede representar una razón entre dos medidas, o bien, transformarla a un registro
geométrico como la medida de lados menores que uno. Así, se puede notar que a pesar
que los registros de representación sean diferentes, la idea es que allí hay una relación
entre dos números a y b que pertenecen a los naturales tal que a/b, no se abandona.
Así pues: “La conversión es una actividad cognitiva diferente e independiente de la del
tratamiento” (Duval, 1999-b, p. 178).Para Duval, en el momento en que los pasos de
una representación a otra se dan de manera espontánea, son congruentes y deben
cumplir con tres condiciones:
Correspondencia semántica entre las unidades significantes que las constituyen.
Igual orden posible de aprehensión de estas unidades en las dos representaciones,
Convertir una unidad significante en la representación de partida de una sola unidad
significante en la representación de llegada.
Pero cuando no se cumple alguna de las tres condiciones, entonces diremos que las
representaciones no son congruentes entre ellas y el pasar de una a la otra no es
espontáneo.
Igualmente puede ocurrir que dos representaciones sean congruentes en un sentido de
conversión y no congruentes en la conversión inversa. Por ejemplo la representación
gráfica cartesiana de dos cuadrantes determinados respectivamente por los semi-ejes y
positivos, y negativos, son congruentes si se pasa de la escritura algebraica al gráfico,
pero ya no lo son en el plano inverso. (Duval, 1999-a, p. 16).
Antes de continuar, merece atención destacar algo que es importante. Como ya hemos
visto, las transformaciones de tratamiento y de conversión son independientes; sin
embargo, la última puede confundirse con actividades que se encuentran relacionadas a
ella: la codificación y la interpretación.
Duval (1999-b, p. 179) plantea que la interpretación requiere un cambio de marco
teórico, o de un cambio de contexto. Este cambio no implica un cambio de registro, sino
que con frecuencia moviliza analogías; en cuanto a la codificación menciona que es la
trascripción de una representación en otro sistema semiótico distinto de aquél donde
está dada.
Existen dos razones que justifican la introducción y consolidación de la relación parte-
todo y su representación según Escolano (2004):
Eludir el proceso de medida con objetos tangibles (dificultad del propio proceso de
medida, gestión del aula por la utilización de material, control de la diversidad de
resultados obtenidos, prioridad de la enseñanza del sistema métrico decimal etc.).
Abreviar los periodos de instrucción: el significado parte-todo permite una introducción
rápida de la representación simbólica de la fracción y además con elevados niveles de
éxito a corto plazo.
Tomando los lineamientos curriculares referentes a los procesos de visualización y de
razonamiento discursivo en la actividad matemática, tomaremos los siguientes:
La resolución de problemas: La actividad de resolver problemas ha sido considerada
como un elemento importante en el desarrollo de las matemáticas y en el estudio del
conocimiento matemático.
En diferentes propuestas curriculares recientes se afirma que la resolución de problemas
debe ser eje central del currículo de matemáticas. Por esto, debe ser un objetivo
primario de la enseñanza y de la actividad matemática. Pero esto no quiere decir que se
27
constituya aparte del currículo, deberá cubrirlo en su totalidad y propiciar un contexto
en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos.
A medida que los estudiantes van resolviendo problemas van ganando confianza en el
uso de las matemáticas, desarrollando una mente constante que van aumentando su
capacidad de comunicar matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de
pensamiento de más alto nivel.
El razonamiento: En el razonamiento matemático es necesario tener en cuenta dos
aspectos: el primero la edad de los estudiantes y su nivel de desarrollo, y el segundo,
que cada logro alcanzado en un conjunto de grados se retome y amplíe en los conjuntos
de grados siguientes. Así mismo, se debe partir de los niveles informales del
razonamiento en los conjuntos de grados inferiores, hasta llegar a niveles más
elaborados del razonamiento, en los conjuntos de grados superiores.
Además, conviene enfatizar que el razonamiento matemático debe estar presente en
todo el trabajo matemático de los estudiantes y por consiguiente, este eje se debe
articular con todas sus actividades matemáticas.
La comunicación: Una necesidad común que tenemos todos los seres humanos en todas
las actividades, disciplinas, profesiones y sitios de trabajo es la habilidad para
comunicarnos. Los retos que nos plantea el siglo XXI requieren que en todas las
profesiones científicas y técnicas las personas sean capaces de:
Expresar ideas hablando, escribiendo, demostrando y describiendo visualmente de
diferentes formas.
Comprender, interpretar y evaluar ideas que son presentadas oralmente, por escrito y en
forma visual.
Construir, interpretar y ligar varias representaciones de ideas y de relaciones.
Hacer observaciones y conjeturas, formular preguntas, y reunir y evaluar información.
Producir y presentar argumentos persuasivos y convincentes.
En los últimos años se ha incrementado el interés de los investigadores por estudiar
cómo comunican ideas matemáticas los alumnos y qué factores facilitan o impiden el
desarrollo de habilidades comunicativas.
La modelación: Los elementos básicos de la construcción de modelos son evidenciados
por la propuesta del matemático holandés Hans Freudenthal, quien considera que el
núcleo básico del currículo de matemáticas en la escuela debe ser el aprendizaje de las
estrategias de matematización, además para contribuir al sustento de Freudenthal se
presenta un cuadro propuesto por Blum (1985) y Skovsmose (1994) sobre el proceso de
modelación:
28
El punto de partida de la modelación es una situación problemática real. Esta situación
debe ser simplificada, idealizada, estructurada, sujeta a condiciones y suposiciones, y
debe precisarse más, de acuerdo con los intereses del que resuelve el problema. Esto
conduce a una formulación del problema (que se pueda manejar en el aula), que por una
parte aún contiene las características esenciales de la situación original, y por otra parte
está ya tan esquematizada que permite una aproximación con medios matemáticos.
Los datos, conceptos, relaciones, condiciones y suposiciones del problema enunciado
matemáticamente deben trasladarse a las matemáticas, es decir, deben ser
matematizados y así resulta un modelo matemático de la situación original. Dicho
modelo consta esencialmente de ciertos objetos matemáticos, que corresponden a los
“elementos básicos” de la situación original o del problema formulado, y de ciertas
relaciones entre esos objetos, que corresponden también a relaciones entre esos
“elementos básicos”.
La elaboración de procedimientos: También se hace necesario que el estudiante razone
y se comunique matemáticamente, además que elabore modelos de todos los sistemas
complejos de la realidad en la que está. Por su puesto que con esto se espera también
que haga cálculos correctamente, que pueda seguir instrucciones, que utilice de manera
correcta la calculadora para efectuar operaciones, que tenga la facilidad de transformar
expresiones algebraicas desde una forma hasta otra, que domine la capacidad de medir
correctamente longitudes, áreas, volúmenes, etc.; en pocas palabras se necesita que el
estudiante ejecute tareas netamente matemáticas que suponen el dominio de los
procedimientos usuales que se pueden desarrollar de acuerdo con rutinas secuenciadas.
El aprendizaje de procedimientos o en otras palabras “modos de saber hacer” es
realmente muy importante en el currículo ya que éstos facilitan aplicaciones de las
matemáticas en la vida cotidiana.
2.3 METODOLOGÍA DE LAS ACTIVIDADES
Con el fin de desarrollar los procesos anteriormente mencionados se estructura una
secuencia didáctica tomando el modelo DECA. Este modelo permite una sucesión de
actividades que van desde las de inicio hasta las de evaluación. Según Guerrero,
Sánchez y Lurduy (2005) todo el proceso no sugiere que la interacción social en clase
sea un aspecto central en la resolución de problemas, pero todo el proceso de
aprendizaje del estudiante se debe llevar a cabo mediante la guía del profesor o del tutor
o de sus propios compañeros de clase. Tomando la estructura de actividades que se
explica en todo su documento se llevaran a cabo las actividades mediante las siguientes
fases:
1. Diagnóstico: para evidenciar las dificultades y errores que las estudiantes
presentan en un determinado conocimiento matemático (preconceptos o pre-
comprensiones) sobre la temática de estudio. Esta situación metodológicamente
sitúa al profesor para saber cuáles son los puntos de partida que tiene el
estudiante y cómo ponerlo desde ahí en el nivel de desarrollo real, este numeral
es justificado por medio de la teoría de Vigotsky (el nivel de desarrollo real se
mide en la zona de desarrollo próximo, ZDP). En esta introducción se dan una
ideas previas sobres los posibles temas que se van a tratar en la secuencia de
actividades.
29
2. Desarrollo y restructuración: donde se va a tener un primer contacto y manejo
de los contenidos trabajados en la unidad didáctica, de igual forma se espera
realizar un cambio en los esquemas cognitivos, donde se logre la reflexión a
partir de la superación del conflicto cognitivo aparecido con las actividades de
iniciación.
3. Aplicación y profundización: donde se vuelven a retomar los conocimientos ya
antes adquiridos pero a partir de otra situación en la cual se logre la reflexionar
sobre las características, esenciales de esos contenidos y así ampliar el
conocimiento conseguido, para trabajar nuevas situaciones y contextos.
4. Evaluación-institucionalización, donde se revisa el proceso en conjunto, para
así poder evidenciar el grado de aprendizaje que los estudiantes han adquirido,
por medio de los obstáculos y virtudes evidenciados durante el proceso. (…) “la
evaluación debe ser formativa, continua, sistemática y flexible, centrada en el
propósito de producir y recoger información necesaria sobre los procesos de
enseñanza y aprendizaje que tienen lugar en el aula y por fuera de ella”
(Acevedo, 2003, p. 128).
CAPÍTULO 3:
DISEÑO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA
A continuación se presenta la propuesta de la secuencia de actividades. En la primera
parte se muestra la matriz general que muestra de forma organizada la secuencia de
actividades, en la primera columna se presentan las ocho actividades bajo la estructura
del modelo DECA, en la segunda el nombre de la actividad, en la tercera el objetivo
general, en la cuarta el número de ítems, en la quinta los atributos trabajados, en la sexta
los registro semiótico y en la séptima el número de sesiones dispuestas para cada
actividad. Posteriormente se presenta cada actividad (propuesta en la primera matriz)
con sus correspondientes objetivos (uno general y dos específicos), enfocados hacia el
rol del docente y estudiante, seguido de esto se presenta la hipótesis de aprendizaje (lo
que se pretende que el estudiante realice o tenga en cuenta al abordar las actividades)
con su correspondiente descripción de la tarea, teniendo en cuenta los pasos o forma en
la que se puede presentar la actividad y se concluye con la tarea que se aplicó.
30
Actividad
Nombre de la
actividad Objetivo de la actividad
Número
de ítems
de la
actividad.
Sesio
nes
Tipo de Representación
(Duval, 1993).
Atributos de la Fracción Suydam (1979)
y Payne (1976)
R
E
L
A
C
I
Ó
N
P
A
R
T
E
T
O
D
O
Diagnóstico
Diagnóstico
Evidenciar las
habilidades y dificultades
que poseen los
estudiantes acerca de la
fracción como relación
parte todo, en contexto
continuo.
1
Registro semiótico:
1. Esquemas pictográficos.
2. Lenguaje aritmético.
3. La lengua común.
1. El "todo se puede dividir en el número de
partes pedido”.
2. El número de partes no es
necesariamente idéntico al de cortes.
Introducción “El
tangram”
Implementar el tangram
como instrumento para
establecer relaciones de
equivalencia entre cada
una de las piezas del
tangram.
7 1 Registro semiótico:
1. Esquemas pictográficos.
1. El número de partes no es
necesariamente idéntico al de cortes.
Desarrollo 1
“Hablemos
de áreas”.
(Subdivisione
s
equivalentes
Contexto
continuo.)
Implementar el geoplano
como instrumento por
medio del cual se
visualizaran áreas
equivalentes y figuras
congruentes.
5 3 Registro semiótico:
1. Esquemas pictográficos.
El número de partes no es necesariamente
idéntico al de cortes.
Subdivisiones equivalentes.
31
Desarrollo 2 “Identificand
o la parte”
Implementar una
actividad que permita al
estudiante identificar la
unidad fraccionaria en
contexto continuo y
discreto.
6 5
Registro semiótico: lenguaje
aritmético. (1/2) (0.5)
Registro semiótico: la lengua
común.(un medio)(la mitad)
La separación se puede realizar en un
número determinado de partes. El "todo se
puede dividir en el número de partes
pedido”.
Subdivisiones equivalentes.
Desarrollo 3
“Cuando es
mayor que la
unidad”
Implementar una
actividad que permita al
estudiante abordar
situaciones en las que el
número de subdivisiones
o repartos requiera
utilizar más de una
unidad.
5 2 Transformación del tratamiento.
Las relaciones "parte-todo" en contextos
continuos y discretos.
Las partes también se pueden considerar
como totalidad.
El todo también se conserva.
Profundización
1
Repartiendo
equitativame
nte contexto
continuo y
discreto.
Diseñar y aplicar una
actividad que
potencialice en el
estudiante las fracciones
equivalentes en contexto
continuo y discreto.
2 3
Esquema pictográfico.
El todo también se conserva.
Las partes también se pueden considerar
como totalidad.
32
Tabla 2: Matriz general de la secuencia de actividades.
Profundización
2
“Ahora la
unidad es un
número”
Diseñar una situación en
la que el estudiante a
partir de una fracción
encuentre la unidad que
el género.
Implementar figuras no
estándar (Triángulos,
flechas).
4 3
Esquema pictográfico.
Las relaciones "parte-todo" en contextos
continuos y discretos. (atributo)(PAYNE,
1976).
Profundización
3
“Encontrand
o la unidad”.
Potencializar en el
estudiante la concepción
de unidad como un
número “a”.
8 3 Lenguaje aritmético.
Esquema pictográfico.
El número de partes no es necesariamente
idéntico al de cortes.
Subdivisiones equivalentes.
33
3.1 ACTIVIDAD DIAGNÓSTICO
3.1.1 Objetivo general profesor
Evidenciar los conocimientos previos que poseen los estudiantes acerca de
la fracción como relación parte-todo.
3.1.1.2 Objetivos específicos profesor
Implementar una actividad que permita indagar sobre los conocimientos
básicos que poseen los estudiantes referentes a la fracción como relación
parte-todo.
Adaptar una actividad que permita empezar la propuesta de la secuencia de
actividades que potencialice la fracción como parte-todo en contextos
continuos y discretos.
3.1.2 Objetivo general estudiante
Demostrar sus conocimientos previos necesarios para iniciar el tema de la
fracción como relación parte-todo.
3.1.2.1 Objetivos específicos estudiante
Mostrar el dominio de las partes de una unidad para poder demostrar el
conocimiento sobre temas básicos para trabajar la fracción como relación
parte-todo en contextos continuos y discretos.
3.1.3 Hipótesis de aprendizaje
El estudiante al enfrentarse a las situaciones utilizará sus conocimientos previos que
le ayudaran a resolver cada uno de los problemas al que se enfrente, mostrando así
sus dificultades y virtudes. En este instante del proceso se evidenciara el punto
exacto de un inicio de una secuencia de actividades.
3.1.4 Descripción
Se propone una guía en la que se incluyeron ítems enfocados a evidenciar
conceptos previos o bases previas de los estudiantes acerca de la fracción como
relación parte todo.
34
La guía se desarrollará de manera individual, sin orientación por parte del docente
puesto que esto puede perjudicar el desarrollo de los ítems. Cada punto será
justificado por los estudiantes para evidenciar procedimientos y se pedirá a los
estudiantes registrar y escribir su procedimiento así llegue a ser errado.
3.1.5 Tarea
3.2 ACTIVIDAD DE INTRODUCCIÓN “EL TANGRAM”
3.2.1 Objetivo general profesor
Implementar el tangram como instrumento para establecer relaciones de
equivalencia entre cada una de las piezas del tangram.
3.2.1.2 Objetivos específicos profesor
Proponer las posibles relaciones entre las piezas del tangram, para que los
estudiantes hallen relaciones de equivalencia.
Orientar a los estudiantes a encontrar características y equivalencias entre
las piezas indicadas para establecer criterios de equivalencia entre ellas.
3.2.2 Objetivo general estudiante
Establecer relaciones de equivalencia entre las piezas del tangram con el fin
de hallar figuras equivalentes en área pero no en forma.
3.2.2.1 Objetivos específicos estudiante
35
Establecer relaciones de equivalencia entre las piezas del tangram
inicialmente mediante la sobre posición de fichas.
Evidenciar que se pueden encontrar piezas del tangram equivalentes sin ser
estas congruentes.
3.2.3 Hipótesis de aprendizaje
El estudiante al abordar la situación propuesta inicialmente tomará como estrategia
la sobre posición de las figuras o piezas del tangram dada la unidad o figura de
partida, esto con el fin de cubrir el todo sin que falten partes de esta, es decir el
estudiante tendrá un primer acercamiento al atributo de la fracción “las partes
cubren en totalidad el todo”.
En un segundo momento el estudiante realizará un registro escrito utilizando un
lenguaje común para establecer relaciones entre las piezas del tangram, realizando
de esta manera la introducción a la fracción como relación parte-todo.
Ahora bien al establecer las diferentes relaciones entre las piezas del tangram con la
unida, el estudiante identificará que las subdivisiones hechas al todo no son todas
congruentes, y que se puede establecer una relación de equivalencia entre las
subdivisiones realizadas en las piezas que no son iguales pero sin embargo pueden
ser equivalentes.
3.2.4 Descripción
Para introducir el tema de las fracciones es primordial que los niños puedan
manejar la equivalencia entre dos figuras rompiendo la idea de que son equivalentes
si son la misma figura con las mismas dimensiones. Ahora bien, lo que se busca
con la actividad del tangram es que el niño pueda reflexionar sobre la equivalencia
y darse cuenta que un triángulo puede ser equivalente a un cuadrado mediante el
concepto de área. En la fracción como parte-todo, la representación gráfica es un
factor que puede llevar al niño a confusiones o al contrario a afianzar más el tema,
esto mediante las representaciones semióticas se interpreta como un tipo de
transformación. Si el niño ve un cuadrado divido en dos partes congruentes
mediante un línea paralela a uno de sus lados y tomado uno de sus lados va a decir
que tomo ½ del cuadrado, pero si se plantea el mismo cuadrado dividido en dos
partes congruentes mediante una línea diagonal el niño tendrá dificultades porque la
representación de ½ como un rectángulo y no como un triángulo.
Por esta razón, el involucrar a un niño a encontrar relaciones entre dos figuras
fomenta el dominio y especialmente la comprensión de lo que es la parte de un todo
y partes equivalentes.
36
3.2.5 Tarea
TRABAJANDO CON EL TANGRAM
1. Utilizando el tangram discute con tu grupo:
a. ¿Qué piezas equivalen al cuadrado?
b. ¿Qué piezas equivalen al paralelogramo?
c. ¿Qué piezas equivalen a uno de los triángulos grandes?
d. ¿Qué piezas equivalen al triángulo mediano?
e. ¿Qué pieza equivale a los dos triángulos pequeños?
2. Crea otras relaciones entre las piezas del tangram.
3. Encuentra una forma de probar que el cuadrado tiene un área equivalente a
la del triángulo mediano.
4. Encuentra una forma de probar que el cuadrado tiene un área equivalente a
la del paralelogramo.
3.2.6. Recursos
Se utiliza, el tangram, la guía (ver anexo 2).
37
3.3 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1 “HABLEMOS DE
ÁREAS”
3.3.1 Objetivo general profesor
Fomentar la comprensión de congruencia entre figuras y equivalencia entre
áreas.
3.3.1.2 Objetivos específicos profesor
Desarrollar el concepto de equivalencia entre áreas y congruencia de figuras
mediante la utilización de material didáctico tangible.
Proporcionar a los estudiantes los medios y recursos necesarios para elegir
un registro semiótico y representar dicho concepto en el registro elegido.
3.3.2 Objetivo general estudiante
Identificar cuando el todo se encuentra divido en partes congruentes y
cuando en áreas equivalentes.
3.3.2.1 Objetivos específicos estudiantes
Utilizar el geoplano como recurso para relacionar figuras con diferente
forma pero con áreas equivalentes.
Partir de una representación semiótica y realizar los registros posibles.
Evidenciar que para identificar si una subdivisión representa la misma parte
del todo no es necesario que las partes sean congruentes pues estas pieden
ser equivalentes.
3.3.3 Hipótesis de Aprendizaje
El estudiante mediante el uso del geoplano podrá evidenciar que las formas o
figuras que se presentan no son congruentes, sin embargo al realizar conteo de
unidades cuadradas se identificara una equivalencia de área más no de congruencia
en las formas.
Con los dobleces los estudiantes realizarán diferentes representaciones en un mismo
registro, en este caso esquemas pictográficos cada vez utilizando un pictograma
diferente o con una subdivisión distinta pero equivalente a la original o de partida.
38
En un segundo momento dichos dobleces pasaran de utilizar como registro
semiótico el esquema pictográfico para realizar un registro en un lenguaje común
(un medio, un cuarto) y finalmente un registro en el lenguaje aritmético
Al desarrollar los dobleces con la hoja y dividir un cuadrado en dos partes
congruentes se pueden llevar a cabo 2 tipos de división de la figura: la primera
mediante la división de una línea paralela a uno de sus lados y la otra de forma
diagonal. Doblar la hoja permite que el estudiante interiorice el concepto de
congruencia y equivalencia; son congruente las figuras que comparten todas las
relaciones, como forma, tamaño, área, numero de lados etc., pero podrían ser
equivalentes cuando son dos figuras de diferentes dimensiones, diferentes número
de lados pero comparten una relación que es el área, así de esta manera el trabajo
con los dobleces de la hoja de papel permite ver estas dos diferencias y saber que
puedo hallar ½ de una figura cualquiera (cuadrado)hallando subdivisiones
equivalentes.
Construir un reloj permite una división en partes perfectamente congruentes cuando
se manejan las circunferencias, siempre es de notar que cuando se propone una
unidad en forma de circunferencia existen falencias como una división
desproporcional. Para esto es muy importante haber manejado de antemano la
división de grados, es decir que si se va a construir un reloj tomando una
circunferencia se debe dividir los 360° en 12, de esta manera cada 30° se debe ir
poniendo los números del reloj, luego cuando el niño ya este en el tema de la
replantación grafica de las fracciones y le planteen una unidad en forma de
circunferencia no tendrá problemas en dividir los 360° en las partes que le ha
pedido cierto problema.
La actividad con el geoplano pone en práctica la comprensión que el niño tiene
sobre la equivalencia entre áreas, así pues mediante el conteo de las unidades
(longitud o la medida de la distancia entre dos puntillas) el niño propone figuras
equivalentes en área pero de diferente forma, además de razonar sobre ciertas
subdivisiones equivalentes, utilizando y desarrollando así las competencias
matemáticas en su totalidad.
33.4 Descripción
La actividad se dividirá en tres momentos:
En un primer momento se presentará a los estudiantes la actividad de los dobleces
de la hoja, tal como se especifica en la guía el docente ira realizando el mismo
procedimiento y orientando a los estudiantes para que sigan las indicaciones de la
guía, de esta manera cada estudiante registrará lo que observa (relaciones entre los
dobleces) en la guía.
En la segunda parte de la sesión se trabajara construyendo un reloj, para ello cada
estudiante tomara una circunferencia de cartón, posteriormente con la guía del
39
docente dividirá esta en partes congruentes mediante la división de ángulos, durante
la actividad el docente hará preguntas referidas a estas subdivisiones tales como: la
forma en que se dividió la circunferencia y el por qué se garantiza que estas
subdivisiones realizadas sean partes congruentes.
En un tercer momento se toma como recurso didáctico el geoplano, que
inicialmente en la guía se toma para ser representado mediante un dibujo, sin
embargo la tarea del estudiante será la de construirlo con la ayuda en la casa.
Con las bandas de caucho según las indicaciones de la guía cada estudiante
mediante el conteo de unidades cuadradas del geoplano construirá las figuras
indicadas, en estas figuras se incluirán subdivisiones con áreas equivalentes
3.3.5 Tarea.
FIGURAS CONGRUENTES Y ÁREAS EQUIVALENTES
1. CON LA HOJA:
Siga las siguientes instrucciones:
Tome una hoja rectangular y dóblela en la mitad
Una la punta izquierda con su correspondiente de la derecha y argumenta:
¿Por qué son congruentes las dos figuras formadas? (relacione lados
correspondientes)
Con una hoja de forma cuadrada doblela por la mitad
¿Que figuras obtiene? ¿son congruentes?, argumente mediante relaciones
correspondencia.
2. CONSTRUYA EL RELOJ:
a. Utilizando el transportador, el compas y mediante la division de ángulos
construya el reloj y explique la finalidad en la division de partes
congruentes en circunferencias.
3. CON EL GEOPLANO:
Tome como guía el geoplano
anterior y dibújelo para cada caso.
a. Construya un cuadrado de 8
unidades de lado, y construya
un triángulo cuyas unidades
40
internas sean iguales que las del cuadrado.
b. Construya un rectángulo cuyas unidades internas sean las mismas que un
cuadrado
c. Construya un triángulo, un rectángulo y un cuadrado con las mismas
unidades internas.
d. Dentro de un cuadrado construya dos figuras con la misma cantidad de
unidades cuadradas.
e. Construya las siguientes figuras y estime la cantidad de unidades cuadradas
que se encuentran en el interior de las partes sombreadas en cada una de ellas.
Argumente cuales de ellas se encuentran divididas en áreas equivalentes y por
qué.
4.
a. Encuentre el área de cada una de las figuras. ¿que observa?
b. Describa el proceso
c. ¿Qué puede decir de las figuras que tienen diferente forma pero que
tienen área equivalente?
3.3.6 Recurso
El material didáctico que se utiliza para esta actividad es:
Para el desarrollo de las actividades propuestas se utiliza una guía anexo (3)
que permite que el estudiante establezca relaciones y tenga herramientas
para cumplir con los objetivos propuestos.
El geoplano con la intencionalidad de identificar mediante la visualización y
el conteo de unidades cuadradas áreas equivalentes y figuras congruentes.
41
3.4 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2“IDENTIFICANDO LA
PARTE”
3.4.1 Objetivo general profesor
Implementar una actividad que permita al estudiante identificar la unidad
fraccionaria en contexto continuo y discreto.
3.4.1.2 Objetivos específicos profesor
Incluir situaciones que permita al estudiante realizar transformaciones de
conversión.
Implementar dos ítems en el que se trabaje la unidad fraccionaria haciendo
uso del contexto continuo y discreto simultáneamente.
3.4.2 Objetivo general estudiante.
Identificar la unidad fraccionaria en contexto continuo y discreto haciendo
uso de subdivisiones equivalentes.
3.4.2.1 Objetivos específicos estudiante
Realizar subdivisiones equivalentes de un todo en contexto continuo
haciendo uso de áreas equivalentes y figuras congruentes, para que estas
sean divididas en partes equitativas.
Realizar transformaciones de tratamiento y diferentes registros.
Identificar mediante el uso de esquemas pictográficos el contexto continuo y
discreto de la fracción.
3.4.3 Hipótesis de Aprendizaje.
En esta parte entra a ver la parte de un todo, la parte de una unidad, ya sea en un
contexto continuo y discreto. En este trabajo se decidió no separar el contexto
continuo y el discreto de tal manera que el niño no vea la diferencia y pueda
encontrar la unidad fraccionaria de cualquier unidad, sea una figura o un conjunto
de elementos que representa la unidad. La unidad fraccionaria funciona como la
unidad en los números enteros, sirve para desarrollar un conteo e identificar ciertas
partes de un conjunto, por ejemplo se ve un cuadrado dividido en 5 partes
equivalentes de las cuales 3 partes de ella están sombreadas, se puede utilizar la
unidad fraccionaria para llevar a cabo un conteo, de tal forma que una parte
sombreada es 1/5, y con este 1/5 (unidad fraccionaria) comenzamos un conteo 1/5,
42
2/5 y 3/5, de tal manera que el niño reconocerá y comprenderá que toda unidad
dividía en número de partes tendrá una unidad fraccionaria que podrá utilizar.
Pero algo más allá de una actividad de reconocimiento es una transformación del
lenguaje con el que se puede representar la parte de una fracción, lo que el niño va a
realizar es representar la misma parte mediante una gráfica, un número o un
conjunto de palabras que representa la parte.
Regresando al énfasis en la unidad fraccionaria Adalira Sáenz propone una unidad
fraccionaria que cambia dependiendo del cambio de la unidad, se ejercita así la
comprensión y el razonamiento de la mente cuando el niño al notar que ahora la
unidad es una parte de la unidad original propone un valor para la unidad
fraccionaria que queda fija como se ve en el ejercicio. Así pues se puede evidenciar
con este ejercicio que un niño comprende a la perfección el concepto de lo que es la
unidad fraccionaria.
Sáenz también propone la actividad donde se debe identificar la fracción podada de
un terreno con diferente número de personas, es decir, que si son x personas que
deben podar cierta área del pasto cual es la parte que debe podar cada persona, esto
es un ejercicio de práctica para dominar el tema de la unidad fraccionaria, de la
misma forma que lo hace la actividad del grupo de niños.
En esta actividad la unidad es un grupo de niños (conjunto de objetos) que simulan
una unidad en el contexto discreto y donde se debe encontrar una unidad
fraccionaria dependiente del cambio en la cantidad de niños en cada subgrupo.
Luego de esto se implementan ejercicios donde los niños dividen una unidad
(continua o discreta) afianzando así el manejo de las partes de una unidad.
Mediante la implementación del contexto continuo y discreto simultáneamente el
estudiante establecerá las relaciones correspondientes para identificar la unidad
fraccionaria en los dos contextos sin llegar estos a ser apartados (contextos
continuos y discretos).
En la guía se incluye un ejemplo de la unidad fraccionaria propuesto en las
actividades de Sáenz, tomando un todo y posteriormente ir modificando ese todo e
identificando la unidad fraccionaria. En ese momento el estudiante ejercita la
comprensión y el razonamiento de la mente cuando nota que ahora la unidad es una
parte de la unidad origina, propone un valor para la unidad fraccionaria que queda
fija como se ve en el ejercicio.
En la segunda parte se toma un grupo de estudiantes como el todo, lo que permitirá
al estudiante identificar un todo pero en un contexto discreto, posteriormente se irá
modificando las formas de dividir ese todo y así modificar la unidad fraccionaria lo
que con lleva al estudiante a identificar que la unidad fraccionaria está dada de
acuerdo las subdivisiones equivalentes aplicadas al todo.
43
3.4.4 Descripción.
Se iniciará con la presentación de la guía, en el primer ítem se presenta
un cuadro que tiene tres columnas, en donde se presenta un registro
pictográfico, un esquema pictográfico, un lenguaje común y un
lenguaje aritmético. De esta manera la primera indicación dada por el
docente será completar la tabla de acuerdo al primer ejemplo propuesto
en la tabla, adicionalmente el docente orientará el proceso de los
estudiantes mediante la implementación de un ejemplo real, en esta
parte se tomará una manzana, y se realizarán diversos cortes con el fin
de que el estudiante observe y además realice el correspondiente
registro en lenguaje común.
Se presentará a los estudiantes un esquema pictográfico que representa
la unidad o el todo en un contexto continuo, y se relaciona con el
número que representa la unidad, el 1.
Posteriormente se pedirá a los estudiantes completar la actividad
propuesta, gradualmente el docente intervendrá durante el desarrollo de
la actividad.
La actividad presentará ítems, enfocados a diferentes registros, en cada
uno de estos ítems los estudiantes tendrán la correspondiente
orientación de la actividad.
3.4.5 Tarea.
FRACCIONADORES Y UNIDAD FRACCIONARIA
1.
Unidad Fraccionad
or
Partes en que se
divide
Fracció
n
La mitad de
la manzana
1/2
La tercera
parte de la
manzana
44
¼
La mitad de
estas
canicas
1/3
2.
El rectángulo se considera como un “todo”
y numéricamente se simboliza 1.
Conteste las siguientes preguntas teniendo en cuenta el siguiente ejemplo:
A es 𝟏
𝟓 de
𝟓
𝟖 ó
𝟏
𝟖de 1
En este caso cuando se quiere averiguar qué parte es A de 𝟓
𝟖identificamos la
fracción pedida en la unidad completa así: es decir
45
y nos damos cuenta que en este caso A equivale a 1 de 5 partes es decir 𝟏
𝟓. Y A
equivale a𝟏
𝟖de 1 o del todo inicial.
A es de 1
2 ó de 1.
A es de 3
8 ó de 1.
A es de 2
8 ó de 1.
A es de 7
8 ó de 1.
A es de 3
4 ó de 1.
A es de 2
4 ó de 1.
A es de 1
8 ó de 1.
3. ¿Qué parte del césped podara cada persona si se reparten el trabajo por
igual?
a. 2 personas:
b. 4 personas
c. 8 personas
d. 16 personas
4. Una clase de 24 estudiantes es dividida en grupos. ¿Qué fracción de la clase
es cada grupo si hay:
a. 2 personas en cada grupo.
b. 3 personas en cada grupo.
c. 4 personas en cada grupo.
46
5. Divide la figura según se indica.
En séptimos En octavos En cuartos
1/3 3/5
6. Tomando como unidad un conjunto de objetos, diga a que parte de la
unidad corresponden las figuras sombreadas o sombree según el caso.
Un sexto
1/4
Dos octavos
Tres quintos
47
Tres cuartos tres quintos
7. Tomando como unidad la figura ¿a qué parte de área corresponde la parte
sombreada?
En letra: _______________ En letra:_________ _____________
En número: _____________ En número: __________
En letra: _______________ En letra: ____________
En número: _____________ En número: _________
En letra: ________________ En letra: _____________
En número: ______________ En número: _______
48
En letra: ___________________
En número: ________________
8. Completa el cuadro:
Representación numérica Representación grafica Representación verbal
3
5
Ocho novenos de pastel
4
5
49
3.4.6 Recurso
La guía (anexo 4) que permite orientar y ejemplificar algunos conceptos
tales como la de unidad fraccionaria, subdivisiones equivalentes (el todo se
puede dividir en el número de partes pedido, estas partes son congruentes en
forma o equivalentes en área, reparto equitativo).
Los estudiantes que permitirán mediante la conformación de grupos
identificar un todo y la unidad fraccionaria dependiendo los subgrupos
pedidos.
50
3.5 ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3 “CUANDO ES MAYOR
QUE LA UNIDAD”
3.5.1Objetivo general profesor
Implementar una actividad que permita al estudiante abordar situaciones en
las que el número de subdivisiones o repartos requiera utilizar más de una
unidad.
3.5.1.2 Objetivos específicos profesor
Implementar situaciones en las que el estudiante utilice más de la unidad
para resolverlas.
Proponer graficas en las que el estudiante por medio de la visualización
identifique fracciones mayores que la unidad.
3.5.2 Objetivo general estudiante
Identificar como fracciones impropias aquellas en las que el número de
subdivisiones o repartos requiera utilizar más de una unidad.
3.5.2.1 Objetivos específicos estudiante
Realizar registros semióticos y transformaciones de tratamiento en cada una
de las actividades propuestas.
Identificar fracciones mayores que la unidad en contexto continuo y
discreto.
3.5.3 Hipótesis de Aprendizaje.
En un primer momento mediante una situación de reparto equitativo el estudiante
identificará que una sola pizza no alcanza para realizar un reparto entre el número
de partes o porciones pedidas, por tanto es necesario tomar otra pizza. Lo que
permite al estudiante encontrar la razón por la cual se hace uso de fracciones
impropias.
Mediante el cuadro el estudiante realizará transformaciones de la unidad haciendo
usando cómo registro semiótico los esquemas pictográficos y el lenguaje natural.
51
El manejo del contexto continuo y discreto simultáneamente le permitirá al
estudiante realizar el mismo trasladar representaciones del trabajo realizado con las
fracciones propias.
3.5.4 Descripción:
Sáenz planteo una actividad que parte de más de una unidad contrario al proceso
que comúnmente se lleva a cabo, es decir, que se busque una parte pero dadas más
de una unidad y no lleve al niño a identificar una parte de una unidad que esta fuera
del límite de la unidad (necesidad de otra unidad). Como primero medida el niño
sabrá que existe más de una unidad, luego ya se practicara el deducir que se
necesita otra unidad.
Así pues se propone un cuadro que debe ser llenado en su totalidad utilizando
diferentes tipos de representación de la parte del todo, similar al cuadro de la
actividad de desarrollo 2 pero con fracciones impropias, de esta manera la actividad
actúa como evidencia de la comprensión del concepto y afianza todo lo aprendido
anteriormente en fracciones propias e impropias y en contextos continuos y
discretos.
Se continúa con ejercicios propositivos pero uno de ellos se caracteriza por utilizar
explícitamente conocimiento sobre la unidad fraccionaria. El ítem de los dulces es
un claro ejemplo de que para poder encontrar el número de dulces que representa la
fracción impropia pedida es necesaria primero identificar la cantidad de dulces que
representan la unidad fraccionaria y así desarrollar un conteo de partes de la unidad.
Una de las actividades es la que utiliza números mixtos y se refiere a una
representación numérica de la fracción impropia que muestra más claramente la
cantidad de unidades tomadas y la parte de la siguiente unidad, de esta manera el
niño ve claramente que si existe más de una unidad, la fracción que represente las
partes es una fracción impropia, esto es una transformación numérica en el campo
de las representaciones semióticas que sirve para afianzar y darle una lógica a lo
que es la fracción impropia. La transformación no se da con un algoritmo y así
pasar de la fracción impropia al número mixto o viceversa, la transformación que se
hace es de la representación gráfica al número mixtos, con esto es más fácil
entender la razón de la existencia del numero mixto.
52
3.5.5 Tarea.
1. ¿Qué fracción de la pizza recibe cada persona si se reparten en partes
iguales?
a. 2 pizzas entre 3 personas
b. 2 pizzas entre 5 personas
c. 2 pizzas entre 12 personas
2.
Representación numérica Representación grafica Representación verbal
5
3
Ocho tercios de una naranja
53
3. Para la salida de excursión contrataron un bus de 14 puestos, pero al final
llegaron 25 estudiantes. Utilizando cantidades fraccionarias responda
a. ¿Cuántos buses se necesitarían para llevar los 25 pasajeros?
b. ¿Qué fracción representa a los 25 estudiantes en los buses según el
contrato?
4. Representa gráficamente:
a. 9/5 de pizza
b. 8/6 de lápices
c. 15/5 de manzanas
d. 7/3 de canicas
e. 5/4 de cartulina
5. Diga:
a. Si es la unidad represente gráficamente 8/6
b. Si el grupo de dulces es la unidad represente
gráficamente 9/5
c. Si tengo sombrea 5/4
6. La parte sombreada de cada pizza será para usted. ¿Qué parte de la pizza
recibirá en su plato?
54
SU PARTE DE LA PIZZA SU PLATO
EL NÚMERO MIXTO:
7. La secretaria de gobierno distrital ofrece cajas de refrigerios para los
estudiantes de colegios públicos, cada caja contiene 30 refrigerios.
a. Si existen 90 estudiantes en los grados quintos, ¿Cuántas cajas necesita
para que todos obtengan su respectivo refrigerio?
b. en los grados 401, 402, 403 y 404 hay un total de 148 estudiantes.
¿Cuántas cajas completas de refrigerios y que fracción de la caja de más
se necesitan para que cada estudiante obtenga su refrigerio
correspondiente?
8. Cada paquete contiene una docena de dulces. Llena el siguiente cuadro:
DULCES
NECESITADO
S
NUMERO
DE
PAQUETES
UTILIZADO
S EN SU
TOTALIDA
D
FRACCIO
N DE
DULCES
DEL
PAQUETE
DE MAS
REPRESENTACIO
N DE LA
FRACCION
NUMER
O
MIXTO
55
3.5.6 Recurso.
Se utiliza una guía (anexo 5).
3.6 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 1. “REPARTIENDO
EQUITATIVAMENTE”
3.6.1Objetivo general profesor.
Trabajar en el estudiante las fracciones equivalentes en contexto continuo y
discreto.
3.6.1.2 Objetivos específicos profesor
Utilizar la visualización como medio para la construcción del concepto de
fracciones equivalentes en un contexto continuo.
Presentar situaciones problema en la que el estudiante las aborde haciendo
uso de fracciones equivalentes.
Tomar situaciones del entorno que permita al estudiante encontrarse frente a
situaciones de reparto equitativo.
3.6.2 Objetivo general estudiante.
Identificar el concepto de equivalencia de fracciones en contextos continuos
y discretos.
3.6.2.1 Objetivos específicos estudiante
28 Dulces 2 4/12 28/12 2
4
12
37 dulces
49 dulces
25 dulces
39 dulces
56
Identificar fracciones equivalentes mediante dobleces y pliegues que indican
o representan la misma parte de la unidad.
Identificar fracciones equivalentes en contextos discretos mediante la
resolución de situaciones.
Realizar repartos equitativos en contexto continuo y discreto.
Abordar situaciones de reparto involucrando equivalencia entre fracciones.
3.6.3 Hipótesis de Aprendizaje
Mediante el pliegue de hojas se pueden identificar muchos conceptos y
conocimientos de las fracciones, un uso muy útil que se le da a esta actividad es la
de las fracciones equivalentes, ahora bien, si se toma una parte de una unidad y la
unidad se sigue doblando en más partes la parte tomada anteriormente va a tener
ahora otra representación numérica diferente, es decir, si la hoja se dividió en 4
partes congruentes y se tomó una de esas partes, la fracción tomada se representa
mediante ¼ si se dobla la hoja otra vez en dos partes, cada nueva subdivisión va a
ser la mitad de las partes iniciales es decir que ya no se está representando en
cuartos si no en octavos, y la parte tomada (1/4), va a ser representada por 2/8. En
este punto la actividad pretende desarrollar en el estudiante la concepción de
equivalencia entre fracciones, ya esta es una equivalencia que conlleva solo a la
representación numérica a diferencia de la equivalencia que se manejó en las
actividades de introducción y desarrollo 1 que era equivalencia en un contexto
estrictamente gráfico.
En la actividad de las pizzas se busca que los niños interactúen y sirvan como una
parte de una unidad de allí realizaran relaciones entre la pizza dividida en n número
de partes y la cantidad de niños que hay en cada grupo. Cada grupo sacara sus
conclusiones y al desarrollar la actividad de institucionalización grupal
desarrollaran y comprenderán el concepto de fracción equivalente.
Las actividades siguientes es una ejercitación más detallada y directa de las
fracciones equivalentes, donde se utilizara un problema, objetos de la vida real y el
geoplano.
57
3.6.4 Descripción:
En un primero momento se plantea al estudiante trabajar con una hoja de papel, que
se tomará como unidad. Progresivamente con la orientación del docente se irá
pidiendo que realice cierta cantidad de dobleces, inicialmente por la mitad, y
colorear una de ellas, de esta manera el estudiante reconocerá que la parte coloreada
representa 1
2 de la unidad (de la hoja). Posteriormente se irán haciendo dobleces y
pidiendo a los estudiantes reconocer la fracción en cada caso. Por medio de la
visualización el estudiante reconocerá que las fracciones resultantes representan la
misma parte de la unidad, es decir la equivalencia entre estas.
En un segundo momento el estudiante abordara una situación de reparto equitativo,
en este caso tomando como herramienta el concepto de fracción equivalente
encontrará la forma de repartir la pizza teniendo en cuenta que el número de partes
tomado represente la misma parte de la unidad.
Posteriormente se presenta a los estudiantes subdivisiones equivalentes en área. De
esta manera los estudiantes realizarán otras subdivisiones a las figuras con el fin de
hacerlas equivalentes a la fracción dada.
3.6.5 Tarea.
1. Tome una hoja rectangular y siga las instrucciones:
a. doble la hoja en cuatro partes congruentes.
b. Coloree uno de los rectángulos. ¿Qué fracción de la hoja representa la parte
coloreada?
c. Doble la hoja una vez más. ¿Cuántas partes congruentes obtienes? ¿Qué
fracción representa la parte coloreada?
d. Doble la hoja una vez más. . ¿Cuántas partes congruentes obtienes? ¿Qué
fracción representa la parte coloreada?
2. CELEBREMOS EL DIA DEL ESTUDIANTE
Lea la siguiente situación, en cartulina represente las pizzas (cada pizza de no más
de 4 cm de radio) y responda:
En el salón de clase la profesora Diana trae pizzas para celebrar el
día del estudiante. Para repartirlas la profesora divide el curso que
es de 12 estudiantes en grupos pequeños de 4, y a cada grupo le
entrega una pizza. En el grupo de Bruce la pizza venia partida en 4
partes congruentes, en el grupo de Jorgito la pizza venia partida en
8 partes congruentes y en grupo de Steve 16 partes congruentes.
58
Con el material que el docente entrega recrea la situación. (cartón)
a. Pasa por cada grupo y reparte la pizza que le corresponde a cada uno de
manera que cada estudiante coma la misma cantidad de pizza.
3. CELEBREMOS EL DÍA DE HALLOWEEN
Samuel, Carlos y Pedro van a comerse los dulces que recogieron el día de
Halloween, cada uno tiene una bolsa de 30 dulces; Samuel comió un medio de
todos sus dulces, Carlos comió dos cuartos de sus dulces y Pedro comió cuatro
octavos de los suyos.
a. Dibuja la situación.
b. ¿Quién de los tres comió más dulces?
c. Juan y Rafael tienen cada uno una barra de chocolatina, Juan se comió tres
sextos de su chocolatina y Rafael cuarenta cuarenta y ochoavos ¿Quién
comió más chocolatina?
4. encuentre la fracción equivalente en cada caso.
5. para cada figura escriba ½ de otra forma:
59
7. ¿Qué figura muestra 1/3 sombreado?
8. La mitad de cada galleta esta sombreada. Encuentra otras fracciones que
represente la parte sombreada de cada galleta.
60
3.6.6 RECURSOS
Hoja de papel, colores, guía (Anexo 6)
3.7 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 2 “AHORA LA UNIDAD ES UN
NÚMERO”
3.7.1 Objetivo general profesor
Potencializar en el estudiante la concepción de unidad como un número “a”.
3.7.1.2 Objetivos específicos profesor
Implementar situaciones involucrando la fracción como parte de un número.
Construir tablas de registros que le permita al estudiante realizar transformaciones y
conversiones de la fracción.
3.7.2 Objetivo general estudiante.
Hallar la parte que representa una fracción de un número “a”.
3.7.2.1 Objetivos específicos estudiante
Identificar la unidad en un contexto discreto.
Reconstruir el todo a partir de sus partes tanto en contexto continuo como discreto.
3.7.3 Hipótesis de Aprendizaje
En esta actividad se podrá evidenciar que un niño identifica una parte de un número
y su equivalencia en fracción, por ejemplo: 1/3 de 12 es 4, o 3/5 de 25 es 15… etc.
Así pues ya la unidad no será una representación gráfica si no un número que
equivaldría a la unidad. En esta parte se rompe con la concepción que los niños
crean sobre la unidad como el número 1, lo cual es diferente que decir que la
unidad se representa como un todo. Al identificar la unidad como cualquier grupo
de objetos un objeto se abre la mente al niño cuando se le menciona unidad y allí se
dará cuanta que ese significado podría ser muchas cosas, como en esta actividad
que la unidad equivale a un número entero cualquiera.
61
Relacionar una fracción con otra fracción suena un poco confuso e ilógico, pero una
fracción también se puede convertir en un todo como en el ejercicio que plantea
Adalira Sáenz en la actividad de desarrollo 2. Aquí se ejercita al niño en el cambio
de unidad y se relaciona el tema de las unidades fraccionarias con una situación
cotidiana, utilizando diagrama de barras o magnitudes donde se puedan llevar a
cabo dichas relaciones. Por ejemplo: Si tengo 5/8 y 3/8, entonces los 3/8 son 3/5 de
5/8.
3.7.4 Descripción:
Mediante actividades de repartos equitativos como repartición de dulces, en un
primer momento se les pedirá a los estudiantes repartir cantidades de manera
equitativa entre un número dado. Una vez el estudiante realice el respectivo registro
pictográfico se pedirá que vaya identificando las partes en que dividió
equitativamente según el número de estudiantes cada vez.
En un segundo momento se muestra a los estudiantes una situación en la que ciertos
personajes venden cierta cantidad de dulces; dicha situación será representada en un
diagrama de barras: en el eje horizontal se presentan los nombres y en el vertical la
cantidad de dulces que vendió cada uno, de esta manera se pedirá al estudiante
identificar la fracción o parte que vendió cada personaje, es decir encontrar la parte
de un número.
3.7.5 Tarea
En la fiesta de halloween, Samuel, Carlos y Rafael vendieron un total de
300 galletas. La barra representa lo que cada uno vendió.
Reparte 24 en 3 partes
iguales (dibuja un diagrama)
Encuentra
1/3 de 24 =
2/3 de 24 =
3/3 de 24 =
Reparte 24 en 8 partes
iguales (dibuja un diagrama)
Encuentra
62
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel?
¿Qué fracción de las galletas vendió Carlos?
¿Qué fracción de las galletas vendió Rafael?
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel con respecto a la venta de Carlos?
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel con respecto a la venta de Rafael?
¿Qué fracción de las galletas vendió Carlos con respecto a la venta de Rafael?
Cuatro edificios fueron construidos en la calle principal:
utilizando fracciones compara la altura del primer edificio
con la altura del segundo y del tercero. Compara la altura del
segundo con la
altura del tercer y cuarto edificio.
3.7.6 RECURSO.
Guía (Anexo 7) tablas de registro.
63
3.8 ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN 3 “ENCONTRANDO
LA UNIDAD”
3.8.1Objetivo general profesor.
Generar situaciones que permita al estudiante por medio de un registro pictográfico
y aritmético identificar la unidad y reconstruirla.
3.8.1.2 Objetivos específicos profesor
Presentar a los estudiantes una situación en contexto continuo y discreto
reconstrucción de la unidad.
Orientar al estudiante a reconstruir la unidad a partir del reconocimiento de la
unidad fraccionaria.
Permitir que el estudiante utilice distintos registros semióticos que lo encaminen a
representar la situación y a reconstruir la unidad.
3.8.2 Objetivo general estudiante.
Reconstruir el todo a partir de sus partes en un contexto discreto en fracciones
menores y mayores que la unidad.
3.8.2.1 Objetivos específicos estudiante
Identificar la unidad fraccionaria en cada una de los pictogramas presentadas.
Reconstruir la unidad en contextos continuos y discretos.
Utilizar registros semióticos pertinentes para representar la situación.
3.8.3 Hipótesis de Aprendizaje.
Inicialmente se presentará a los estudiantes una situación de reconstrucción de la
unidad en un contexto continuo, la situación presentada permitirá al estudiante
realizar un bosquejo de la situación con el fin de realizar el correspondiente registro
pictográfico que le permitirá identificar la parte que le hace falta para reconstruir la
unidad.
En el segundo momento se contextualiza una serie de ejercicios en la que el
estudiante reconstruirá la unidad en contextos discretos, para ello en la guía
encontrará el respectivo registro semítico (pictográfico)que le perimirá identificar la
parte de la unidad que esta y la parte que falta.
Al tener un grupo de objetos que ya representan una parte de la unidad el estudiante
identificará la unidad fraccionaria en cada caso y así a partir de la fracción dada
reconstruir o completar la unidad pedida. En esta actividad contextualizada afianza
conceptos como el de unidad, el concepto de unidad fraccionaria y además abordar
situaciones tanto en contexto continuo como discreto.
64
3.8.4Descripción:
Se presentará a los estudiantes una situación inicial en la que se recreará la
situación haciendo uso de material (cartulina, cartón.. etc..), una vez representada la
situación cada estudiante de manera individual responderá la pregunta referida a la
situación planteada, para esto realizará el respectivo registro pictográfico en la guía
asignada.
Una vez terminada la primera actividad se procederá a resolver los ejercicios
planteados en la segunda parte de la guía, referido a la reconstrucción de la unidad,
en el primer ejercicio propuesto los estudiantes tendrán la orientación por parte del
docente, quien les indicará que deben encontrar la cantidad i inicial de objetos,
sabiendo que el esquema pictográfico que se presenta es la cantidad indicada, cada
estudiante realizará su registro pictográfico en la guía, y expresará el resultado
obtenido en el registro elegido.
Para finalizar se presentará una situación de reconstrucción de la unidad también en
contexto discreto, de la misma manera que al iniciar la sesión, se recreará la
situación con el fin de que el estudiante contextualice la situación.
Se socializará los resultados obtenidos con la participación de los estudiantes,
quienes darán a conocer sus estrategias y dificultades que presentaron al resolver o
abordar las situaciones y ejercicios propuestos. En esta parte la tarea del docente
será la de consolidar un resultado y resolver las inquietudes manifestadas en los
estudiantes, así como también observar las dificultades que tuvieron los estudiantes
al abordar las situaciones.
3.8.5 Tarea.
Reconstrucción de la unidad
Los niños del barrio rompieron algunos vidrios azules en la iglesia, y necesitan
saber cuántos vidrios compraran para reponer los rotos sabiendo que los vidrios que
quedaron buenos son2 /6 de la ventana.
A continuación se presentan una serie de objetos que no están completos, pues han
extraviado parte de ellos.
Identifica la parte que hace falta en cada uno de los grupos de objetos que se
presentan a continuación.
Hay 3/7 de rosas. ¿Cuántas rosas había?
Hay 3/6 de semáforos. ¿Cuántos semáforos habían?
Hay 3/10 de árboles. ¿Cuántos arboles habían?
Hay 3/5 de aviones. ¿Cuántos aviones habían?
65
Hay ¾ de teléfonos. ¿cuántos teléfonos habían?
Hay 3/10 de brochas, ¿Cuántas brochas habían?
Hay 2/4 de guantes. ¿Cuántos guantes habían?
Hay 4/8 de casas en la calle. ¿Cuántas casas habían?
Hay 3/6 de bebes. ¿Cuántos bebes habían?
Hay ¼ de perros. ¿Cuántos perros habían?
3. El pirata barba roja le dará a sus esclavos el tesoro si descubren cuantas perlas
tiene el collar si la parte que está afuera del baúl es:
a. un octavo del collar
b. un décimo de collar
c. cuatro octavos de collar
d. dos sextos de collar
e. cuatro decimos de collar
f. dos octavos de collar
4.
a. si representa la fracción
6/4. Dibuja la carta que representa la unidad.
b. si representa 10/6 de fracción. Dibuja la carta que representa la unidad.
c. si representa 16/10. Dibuja la carta que representan dos unidades.
d. representan 8/5 de las manzanas. ¿Cuántas manzanas
representan la unidad?
66
e. representan 10/6 de las hormigas. ¿Cuántas hormigas
representan la unidad?
f. representa 32/12
de perros. ¿Cuántos perros representan la unidad?
3.8.6RECURSO.
Guía anexo (8).
67
CAPÍTULO 4:
ANÁLISIS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA
4.1 DESCRIPCIÓN DE LA MUESTRA La muestra fue seleccionada de la población de estudiantes de primaria del Colegio
Distrital Francisco José De Caldas. Corresponde a 85 estudiantes de grado cuarto
entre los 7 y 9 años de edad.
4.2 DESCRIPCIÓN DE LA APLICACIÓN La aplicación de la prueba piloto tuvo una duración del periodo escolar
comprendido entre agosto y octubre de 2011. La secuencia didáctica se aplicó en
sesiones de clase de 55 minutos con una intensidad de tres bloques a la semana.
Las sesiones de clase fueron divididas teniendo en cuenta el grado de complejidad
del contenido; para cada actividad se estableció objetivos y criterios de evaluación,
referidos a la aplicación y pertinencia de cada actividad.
En la tabla 3 se muestra una descripción de acuerdo a las actividades abordadas en
cada sesión y los bloques de clase a la que pertenecen respecto a la propuesta
didáctica planteada.
CONTENIDO
NÚMERO
DE
SESIONES.
DESCRIPCIÓN
Diagnóstico 1 Aplicación de la prueba diagnóstico.
Áreas
equivalentes 2 Construcción del geoplano y el reloj.
Unidad
fraccionaria. 3
Aplicación del instrumento, utilización de diversas
representaciones de la fracción en contexto
continuo y discreto.
Fracción mayor
que la unidad 3
Aplicación del instrumento, utilización de diversos
registros para la fracción impropia.
Fracciones
equivalentes. 3
Presentación de situación problema referente al
reparo equivalente.
Fracción como
parte de un
número.
1 Contextualización de la fracción como relación
parte todo en un conjunto o número natural.
68
Tabla 3: Descripción de cada actividad y tiempo de duración.
4.3 ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES DE LA SECUENCIA.
A continuación se presenta una tabla (tabla 4) en la que se organiza la secuencia de
actividades: la primera columna corresponde al número de la actividad propuesta
por Sáenz, la siguiente el nombre de la actividad luego de ser adaptada.
Tabla 3: Relación entre las actividades adaptadas y la propuesta de Sáenz.
En seguida se enseña una matriz de análisis y desarrollo de la secuencia de
actividades, lo que permite ubicar y evaluar cada una de las actividades propuestas
a partir de las categorías de análisis propuestas desde los instrumentos de análisis
en la metodología de la investigación.
Se evalúa la pertinencia de las actividades tomando como referencia los objetivos, y
los registros de representaciones según Duval, de esta manera se analiza si la
Reconstrucción de
la unidad. 3
Se presenta a los estudiantes una guía cuyos ítems
corresponden a la reconstrucción de la unidad en
contextos continuos y discretos en fracciones
mayores y menores que la unidad.
NÚMERO DE LA
ACTIVIDAD.
SÁENZ.
ADAPTACIÓN.
Diagnóstico.
Anexo 18. Actividad 10. Actividad de introducción “el tangram”.
Anexo 14. Actividad 6. Actividad de desarrollo 1 “hablemos de áreas”
Anexo 16. Actividad 8 Actividad de desarrollo 2 “identificando la unidad
fraccionaria”
Anexo 17. Actividad 9. Actividad de desarrollo 3 “cuando es mayor que la
unidad”
Anexo 13. Actividad 3. Actividad de profundización 1”Repartiendo
equitativamente”
Anexo 14. Actividad 4. Actividad de profundización 2 “ahora la unidad es un
número”
Anexo 10. Actividad 1. Actividad de profundización 3 “encontrando la
unidad”
69
actividad propuestas incluye los registros, como se ven, si estos son óptimos y
cuáles son los registros pertinentes para cada actividad.
En seguida se enseña una matriz de análisis y desarrollo de la secuencia de
actividades, lo que permite ubicar y evaluar cada una de las actividades propuestas
a partir de las categorías de análisis propuestas desde los instrumentos de análisis
en la metodología de la investigación.
Se evalúa la pertinencia de las actividades tomando como referencia los objetivos, y
los registros de representaciones según Duval, de esta manera se analiza si la
actividad propuestas incluye los registros, como se ven, si estos son óptimos y
cuáles son los registros pertinentes para cada actividad.
70
MATRIZ DE ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES
Tabla 4: Análisis de las actividades.
A
SISTEMA DE REPRESENTACIÓN
(Duval)
ATRIBUTOS
(Piaget y Payne)
OBSERVACIONES DE LA
ACTIVIDAD
REGISTRO SEMIÓTICO
T. T
T. C 1 2 3 4 5 6 7 OD. AI
LC. LA. EP
1 X X X X X
2 X X
3 X X X X X
4 X X X X X
5
X X X X X X
X
6 X X X
7 X X X X
8 X X X
71
MATRIZ DE CONVENCIONES PARA EL ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES
Tabla 5: Convenciones de la matriz de análisis.
.
CRITERIO INICIALES
LENGUAJE COMÚN. LC
LENGUAJE ARITMÉTICO. LA
ESQUEMA PICTOGRÁFICO. EP
TRANSFORMACIÓN DE TRATAMIENTO. T.T
TRANSFORMACIÓN DE CONVERSIÓN. T.C
EL TODO SE COMPONE POR ELEMENTOS SEPARABLES, ES DECIR QUE UNA SUPERFICIE
PODRÍA SER DIVISIBLE. 1
LA SEPARACIÓN DE LAS PARTES SE PUEDEN DESARROLLAR POR MEDIO DE UNA
DIVISIÓN DE NÚMEROS DETERMINADOS DE PARTES, LA SUMA TOTAL DE ESTAS
PARTES FORMAN EL TODO O LA UNIDAD (EN EL CASO QUE SE ESTÁN MANEJANDO
FRACCIONES PROPIAS),
2
LAS PARTES DE LA UNIDAD DEBEN SER DEL MISMO TAMAÑO- CONGRUENTES O
EQUIVALENTES EN ÁREA. 3
EL TODO O LA UNIDAD SE CONSERVA. 4
EL CONTROL SIMBÓLICO DE LAS FRACCIONES. 5
LAS RELACIONES PARTE-TODO EN CONTEXTOS CONTINUOS Y DISCRETOS. 6
LAS FRACCIONES MAYORES QUE LA UNIDAD Y LAS SUBDIVISIONES EQUIVALENTES. 7
AMBIGÜEDAD DE LOS ÍTEMS. AI
OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS. OD
72
4.4 Adaptación de las actividades.
ACTIVIDAD 1.
FRACCIÓN PARTE-TODO. FACCIONES EQUIVALENTES.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
CARACTERIZACIÓN DE LA ACTIVIDAD
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
el número de partes forman el todo.
subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área.
73
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos, triángulos.
REGISTRO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
ARIBUTO: El todo se conserva, el número de partes forman el todo, subdivisiones
equivalentes.
CONTEXTO: Continuo.
ADAPTACIÓN:
ACTIVIDAD 2.
74
REPRESENTACIÓN DE LA FRACCIÓN PARTE-TODO EN CONTEXTO
CONTINUO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
CONTEXTO: Continuo.
ARIBUTO:
El todo se conserva, el número de partes forman el todo, subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área.
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos círculos.
ADAPTACIÓN:
75
ACTIVIDAD 3.
REPRESENTACIÓN DE LA FRACCIÓN PARTE-TODO EN CONTEXTO
DISCRETO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
CONTEXTO: Discreto.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
El número de partes forman el todo.
subdivisiones equivalentes.
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes.
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos círculos.
ADAPTACIÓN:
76
77
ACTIVIDAD 4.
REPRESENTACIÓN DE LA FRACCIÓN PARTE-TODO EN CONTEXTO
DISCRETO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
CONTEXTO: Discreto.
ARIBUTO:
El todo se conserva.
El número de partes forman el todo.
subdivisiones equivalentes.
FIGURAS: Cuadrados, rectángulos círculos.
ADAPTACIÓN:
78
ACTIVIDAD 5.
LA FRACCIÓN COMO PARTE DE UN NÚMERO CONTEXTO CONTINUO.
RECONSTRUCCION DE LA UNIDAD- CONTEXTO CONTINUO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
CONTEXTO: Continuo.
ARIBUTO:
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área.
ADAPTACIÓN:
Se toma de la propuesta el mismo registro
semiótico (Esquema pictográfico). Se
maneja el lenguaje aritmético y el lenguaje
común
El atributo trabajado es la parte puede ser el
nuevo todo.
A la actividad original se le incluyo un
ejemplo con el fin de orientar la tarea y el
objetivo de la actividad.
79
80
ACTIVIDAD 6.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
CONTEXTO: Continuo.
ARIBUTO: Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño congruentes o equivalentes en área.
El todo se conserva.
El número de partes forman el todo.
ADAPTACIÓN:
81
ACTIVIDAD 7.
REPRESENTACIÒN FRACCIÒN PARTE TODO CONTEXTO DISCRETO.
ATRIBUTO LAS PARTES DE LA UNIDAD DEBEN SER DEL MISMO TAMAÑO
CONGRUENTES O EQUIVALENTES EN ÁREA.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO: Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
CONTEXTO: Continuo-Discreto.
ARIBUTO:
Las partes de la unidad deben ser del mismo tamaño
congruentes o equivalentes en área.
El todo se conserva.
82
ADAPTACIÓN:
83
ACTIVIDAD 8.
FRACCIÓN PARTE-TODO
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de tratamiento.
CONTEXTO: Continuo.
ARIBUTO: El todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie
podría ser divisible.
84
ADAPTACIÓN:
85
ACTIVIDAD 9
RECONSTRUCCIÒN DE LA UNIDAD- CONTEXTO DISCRETO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
CONTEXTO: Discreto
ARIBUTO: El todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie
podría ser divisible.
La separación de las partes se pueden desarrollar por medio de una división de números
determinados de partes, la suma total de estas partes forman el todo o la unidad (en el caso
que se están manejando fracciones propias).
86
ADAPTACIÓN:
87
ACTIVIDAD 10
RECONSTRUCCIÒN DE LA UNIDAD CONTEXTO DISCRETO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN:
REGISTRO SEMIÓTICO:
Esquema Pictográfico, lenguaje aritmético.
REPRESENTACIÓN: Transformación de conversión.
CONTEXTO: Discreto
ARIBUTO: El todo se compone por elementos separables, es decir que una superficie
podría ser divisible.
88
ADAPTACIÓN:
89
4.3.1 Análisis actividad de introducción “EL TANGRAM”
En la actividad de introducción se utilizó como recurso tangible el tangram, por tanto el
registro semiótico fue el lenguaje común y el esquema pictográfico, lo que permitió al
estudiante manejar una relación entre cada una de las piezas del tangram realizando un
primer acercamiento a la utilización de un registro semiótico pictográfico y un lenguaje
común de la fracción como parte de un todo.
Cada uno de los ítems fue enfocado a encontrar la relación de equivalencia entre cada una
de las piezas del tangram, por ello la estrategia de los estudiantes inicialmente fue la de
sobreponer las fichas con el objetivo de cubrir el todo (atributo 1, 2 y 3); una vez los
estudiantes logran cubrir o completar el todo se inducen a observar la relación que estas
fichas tiene con el todo; lo primero que se evidencia es que no todas son congruentes, es
decir las partes que cubren el todo no necesariamente deben ser congruente(atributo 1 y 2).
De etas relaciones el estudiante empieza a establecer relaciones tales como “esta es la
mitad de la ficha naranja” (registro semiótico lenguaje común), estos registros son tomados
y escritos como un lenguaje común, en esta actividad no se incluye un registro aritmético ni
se involucran los últimos atributos (5, 6 y 7) registrados en la tabla 4, esto porque en un
primer momento como lo dice el objetivo de la actividad se pretendía que el estudiante
comenzará por evidenciar ciertas relaciones tales como de equivalencia y de registros que
le permitieran evidenciarlas.
Para la cuarta tarea los estudiantes construyeron el tangram, constituido por 7 fichas, cada
una de las fichas con una relación una relación con el tangram o unidad en este caso 1
galón.
Una vez construido los estudiantes
comenzaron a identificar relaciones con para
formar un galón se necesita 2 medio galón.
Posteriormente empiezan a encontrar
equivalencias entre las fichas del tangram
90
coma en este caso donde el estudiante estableció la equivalencia entre 2 tasas equivale a
cuatro copas. La misma tarea realiza con el color que tiene cada pieza, tomaba una de ellas
y establecía todas las posibles equivalencias.
De manera similar a la priemera tarea los estuidantes establecen la fraccion que le
corresponde a cada
ficha, por ejemplo la tasa es 1/8 de galón (siendo el
galón la unidad).
Esta actividad se adaptó satisfactoriamente a la
secuencia y no tuvo modificaciones significativas. En
la sistematización se evidencia que los estuantes si
alcanzan los objetivos demostrando que mediante los
dobleces reiterados de hojas y mediante la formación
de situaciones fundamentales contextualizadas se
puede aprender el concepto y de fracción equivalente.
El estudiante realiza un registro en un lenguaje común al identificar las partes en que se
divide el tangram y la parte que esta representa del todo, inicialmente con números enteros.
4.3.2Análisis actividad de desarrollo 1 “HABLEMOS DE ÁREAS”
En esta actividad se trabaja el atributo 1 “El todo se compone por elementos separables”, y
2 “La separación de las partes se pueden desarrollar por medio de una división de
números determinados de partes, la suma total de estas partes forman el todo o la unidad
(en el caso que se están manejando fracciones propias)”.
El objetivo de esta actividad está enfocado a que el estudiante evidencie que no
necesariamente todas las partes en que está dividida la unidad son iguales. Es por esto que
la actividad inicialmente se centra en hallar áreas utilizando el geoplano, esto para que
mediante el conteo de unidades cuadradas el estudiante llegue a encontrar figuras no
congruentes pero equivalentes en área.
Para este proceso se elaboró la guía en la
que se incluyen ítems en los que son
necesarios que el estudiante utilice como
registro semiótico une esquema
pictográfico, que le permita por medio de
la visualización notar que las dos figuras
dadas no son congruentes sin embargo
91
tienen la misma área, en este actividad no se utiliza ningún otro registro semiótico porque
se considera que aún no es necesario que el estudiante incluya un registro aritmético de la
fracción a pesar de que al realizar las subdivisiones equivalentes el registro esquema
pictográfico sea de fracción. Se complementó el trabajo de las subdivisiones equivalentes
en figuras un poco más complejas como las circulares, el
registro utilizado fue el mismo así como los atributos.
Cuando el estudiante
establece que las
figuras diferentes
pueden tener formas
equivalentes se
presenta a los
estudiantes actividades en las que se pide construir figuras con la misma área. El estudiante
construye un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.
Para el objetivo de la actividad no se hizo necesario involucrar transformación de
tratamiento ni transformación de conversión porque la actividad se encuentra enfocada a
atributos de la fracción y las subdivisiones equivalentes.
Con lo obtenido durante el proceso y lo evidenciado el estudiante finalmente logra
identificar que las subdivisiones pueden ser equivalentes en área, y consecuentemente
llegan a entender que el atributo de la fracción que requiere que las partes en las que se
divide una unidad sean equivalentes.
4.3.3Análisis actividad de desarrollo 2 “IDENTIFICANDO LA UNIDAD
FRACCIONARIA”
En esta actividad se presentan ítems enfocados al reconocimiento de la unidad fraccionaria,
en un primer momento se utiliza como instrumento de registro una tabla en la que se
92
encuentran las columnas correspondientes a la utilización de los tres registros semióticos
(Lenguaje común, lenguaje pictográfico y lenguaje aritmético); se presenta el registro
pictográfico con el fin de que el estudiante identifique el número de subdivisiones
equivalentes sin embargo se presenta un OBSTÁCULO DIDÁCTICO debido a que se
presenta un esquema pictográfico en 3D, lo que no permite identificar la forma ni tamaño
de estas subdivisiones.
En esta tabla se registra una transformación de conversión pasando de un lenguaje común a
un registro pictográfico y finalmente a un lenguaje aritmético. De la misma manera se
trabaja el contexto discreto (utilizando los tres registros semióticos) enfocado a la
repartición equivalente.
¿Cuántas partes obtengo? A lo que los estudiantes responden dos partes, es decir dos
mitades.
Entonces a la unidad ¿Qué fraccionador aplico para obtener dos partes congruentes? LA
MITAD y ¿la mitad a que fracción corresponde? ½. ¿y para dividir la unidad en tres partes
congruentes que fraccionador aplico? LA
TERCERA PARTE 1/3.
De esta manera los estudiantes realizan
un registro siguiendo la misma dinámica
que en la introducción. (Utilizando
lenguaje común registro pictográfico y
un lenguaje aritmético).
93
En esta actividad se presenta un
obstáculo didáctico al incluir
figuras en tercera dimensión en
una tabla de registro plano, como
se observa el estudiante realiza el
esquema pictográfico pedido
además realiza la correspondiente
conversión. Sin embargo en el registro esquema pictográfico el
estudiante aproxima el dibujo plano y realiza las correspondientes subdivisiones que no son
equivalentes. Por tal razón es necesario trasladar esta tabla a un ítem en la que este
procedimiento se haga en el contexto, es decir tomar la manzana e ir realizando
progresivamente los cortes, siendo la tarea del estudiante registrar lo observado sin incluir
un esquema pictográfico.
Posteriormente Se presenta un ejemplo de unidad fraccionaria mediante un registro
pictórico y un lenguaje aritmético, posteriormente se presenta una serie de ítems donde el
registro semiótico utilizado fue un registro aritmético, en estos se incluye el esquema
pictográfico como apoyo a la comprensión de la unidad como un todo, haciendo uso
también del registro semiótico lenguaje aritmético, esto debido a que este ítem fue incluido
para que el estudiante transformara la idea de unidad como una figura a un número que es
lo que finalmente representa la unidad en un registro aritmético. Transformación de
conversión.
En la segunda parte de
la actividad, se
utiliza una tabla en
la que se incluyen tres columnas que corresponden a utilización de los tres registros
semióticos propuestos (esquema pictográfico, lenguaje común y lenguaje aritmético), en
esta se incluye una TRANSFORMACIÓN DE
CONVERSIÓN.
Representación numérica Representación gráfica Representación verbal
94
Esto permite que el estudiante realice tres registros: pictográfico, aritmético y natural
manejando de esta forma los tres tipos de registros pretendidos en este ítem de la
actividad.
4.3.4 Análisis actividad de desarrollo 3“CUANDO ES MAYOR QUE LA
UNIDAD”
Se presenta una situación de repartición equivalente utilizando dos unidades “fracción
impropia”; en la actividad se incluye un esquema pictográfico, y un lenguaje aritmético.
A. 2 pizzas entre 3 personas
Esquema Pictográfico
En el ítem correspondiente a la tabla se incluyeron tres columnas cada una correspondiente
a los de registros semióticos: esquema pictográfico, lenguaje aritmético y lengua común.
Esta tabla presenta una transformación de conversión entre cada una de las representaciones
semióticas mencionadas.
De esta manera se trabaja la transformación de conversión lo que permite el dominio por
parte de los estudiantes al realizar los registros semióticos correspondientes, aunque como
esquema pictográfico se presenta un contexto continuo (ATRIBUTO DE LA FRACCIÓ)
PAYNE (1976), este puede llegar a ser registrado por parte del estudiante en un contexto
discreto.
95
Se muestran dos ítems en los que se utilizan dos tipos de registros: lenguaje aritmético y un
esquema pictográfico. Posteriormente se presenta una situación de repartición en la que se
utiliza una tabla a dos columnas.
1. La parte sombreada de cada pizza será para usted. ¿Qué parte de la pizza
recibirá en su plato?
ESQUEMA PICTOGRÁFICO. ESQUEMA PICTOGRÁFICO.
Este ítem permitió que se identificara la unidad en cada caso, posteriormente la fracción
que se debía representar, y registrarlo en el correspondiente esquema pictográfico. De la
misma manera se trabaja de manera implícita la transformación de conversión, esto porque
inicialmente se presenta un esquema pictográfico, luego el estudiante realiza la
correspondiente lectura de la fracción es decir expresar el esquema pictográfico en un
lenguaje aritmético para finalmente representar dicha fracción en un esquema pictográfico.
Posteriormente se presenta una situación contextualizada de la fracción impropia,
1. Para la salida de excursión contrataron un bus de 14 puestos, pero al final llegaron
25 estudiantes. Utilizando cantidades fraccionarias responda
c. ¿Cuántos buses se necesitarían para llevar los 25 pasajeros?
d. ¿Qué fracción representa a los 25 estudiantes en los buses según el contrato?
En un primer momento los estudiantes enfrentan una
situación en la que deben hacer uso de fracciones
impropias al encontrar le fracción que representan los
25 estudiantes en los dos buses que se necesitan para la
excursión.
e. De acuerdo a la situación el estudiante reconoce que la fracción que representa
el grupo de 25 estudiantes en un
solo bus de 14 puestos es de 25/14,
de esta manera el estudiante
SU PARTE DE LA PIZZA SU PLATO
96
identifica la unidad como los catorce puestos.
Estas respuestas fueron expresadas en lenguaje aritmético, dado el contexto el estudiante no
realiza ningún otro tipo de registro.
EN LA SEGUNDA PARTE DE LA ACTIVIDAD SE INCLUYE EL NÚMERO MIXTO
MEDIANTE UNA SITUACIÓN PROBLEMA ENFOCADO AL REGISTRO
LENGUAJE ARITMÉTICO DE LA FRACCIÓN CUANDO ES MAYOR QUE LA
UNIDAD.
2. La secretaria de gobierno distrital ofrece cajas de refrigerios para los
estudiantes de colegios públicos, cada caja contiene 30 refrigerios.
A. Si existen 90 estudiantes en los grados quintos, ¿Cuántas cajas necesita
para que todos obtengan su respectivo refrigerio?
Para concluir se presenta una tabla de registro con cinco columnas, en cada una se presenta
un registro semiótico correspondiente a lenguaje aritmético, de esta se deduce la
equivalencia entre estos tipos de representación. Ahora bien, según el tipo de información
los datos se manejan de diferentes formas sin cambiar la fracción, es decir se cambia lo que
se pide tomando en cuenta la información que se tiene.
En la siguiente tabla se da un ejemplo donde se pide la cantidad de dulces, la parte entera
que representa y la cantidad exacta referente a la unidad.
A. Cada paquete contiene una docena de dulces. Llena el siguiente cuadro:
CONTEXTO DISCRETO
97
Para completar la tabla fue necesario que el estudiante en un primer momento identificara
la unidad, luego de esto dada la situación el estudiante evidencio que necesitaba más de la
unidad para una repartición equivalente, finalmente expresa en fracción impropia y número
mixto la parte de la segunda unidad que necesita para completar la cantidad pedida.
4.3.5 Análisis actividad de profundización 1. “REPARTIENDO
EQUITATIVAMENTE”
En esta actividad inicialmente se presenta una situación en la que hace un registro
pictográfico por medio una hoja que es tomada como la unidad, seguido de esto se
comienza por reiterar los dobleces, el registro se mantiene aunque de manera progresiva el
estudiante identifica en un lenguaje aritmético el número de partes en que se ha divido al
unidad (hoja) y el número de partes que se encuentran coloreadas, de esta manera el
registro utilizado es lenguaje común, posteriormente se plasma en la guía el procedimiento
anterior (lenguaje aritmético ), de esta manera el registro trabajo en esta actividad
corresponden a los tres tipos de registros propuestos.
En la reiteración del proceso anterior para hallar fracciones equivalentes se utiliza el pasaje
de una representación semiótica a otra en otro registro semiótico (transformación de
conversión),
En este primer ítem se ausenta la transformación de tratamiento, esto debido a que
inicialmente el objetivo es que el estudiante logre identificar las fracciones equivalentes a
partir de dobleces y registre el respectivo proceso mediante un registro semiótico diferente
al pictográfico.
Los estudiantes no presentan dificultad para desarrollar dicha tarea puesto que en las
sesiones anteriores han trabajado con dobleces y unidades fraccionarias.
Los estudiantes por medio de la visualización de los dobleces y la fracción representada por
la parte coloreada llegan a que 1
4,
2
8, y
4
16
son FRACCIONES EQUIVALENTES
por ser estas quienes representan la misma
parte coloreada de la hoja.
En el segundo ítem se presenta una situación en la que se debe recrear la situación
utilizando como registro semiótico el esquema pictográfico seguido de un registro
Transformación de conversión
98
aritmético (transformación de conversión), esto permite un acercamiento a la noción de
reparto equitativo.
CELEBREMOS EL DIA DEL ESTUDIANTE
Lea la siguiente situación, e}n cartulina representa las pizzas (cada pizza de no más de
4 cm de radio) y responda:
En el salón de clase la profesora Diana trae pizzas para celebrar el día
del estudiante. Para repartirlas la profesora divide el curso que es de
12 estudiantes en grupos pequeños de 4, y a cada grupo le entrega una
pizza. En el grupo de Bruce la pizza venia partida en 4 partes
congruentes, en el grupo de Jorgito la pizza venia partida en 8 partes
congruentes y en grupo de Steve 16 partes congruentes.
A. Con el material que el docente entrega recrea la situación.
B. Pasa por cada grupo y reparte la pizza que le corresponde a cada uno de
manera que cada estudiante coma la misma
cantidad de pizza.
En la segunda tarea los estudiantes hacen
parte de un contexto en el que deben repartir
cierta cantidad de pizza entre cuatro grupos de
estudiantes siguiendo unas indicaciones; la
primera de ella es el número total de
estudiantes que son 12, luego se forman tres
grupos, a cada grupo de estudiantes se le da
una pizza pero partida en diferentes número
de pedazos, para el primer grupo la pizza se
encuentra dividida en cuatro partes
congruentes, en el segundo grupo la pizza se
encuentra dividida en ocho partes y en el
último grupo en dieciséis partes congruentes.
De esta manera la primera tarea del estudiante
es dividir la pizza en 4, 8 y 16 partes congruentes, para posteriormente repartir la pizza de
manera equitativa en cada grupo, es decir que todos los estudiantes sin importar el grupo en
el que se encuentren coman la misma cantidad de pizza.
Como se observa el estudiante divide cada pizza y sombrea la cantidad de pizza que le
correspondería a cada estudiante.
Posteriormente los estudiantes
obtienen la parte de pizza que le
corresponde a cada estudiante,
teniendo en cuenta que todos deben
comer la misma cantidad de pizza.
De esta manera se obtiene que: en el
primer grupo cada estudiante come 1
4,
En el ítem 3 y 4 se presenta una
99
situación similar a la anterior pero en un contexto discreto (repartición de dulces), en este se
hace necesario utilizar un registro aritmético, dejando un poco al lado el esquema
pictográfico, esto debido a que las cantidades utilizadas no son las apropiadas para ser
dibujadas(tiempo invertido en dibujar 30 o más dulces), sin embargo este puede ser
incluido dentro de la actividad para que se pueda trabajar otro tipo de registro semiótico en
un contexto discreto.
Ahora bien para la “construcción” de conceptos matemáticos es necesario que el estudiante
tenga la capacidad de usar varios registros de representación semiótica del objeto
matemático, representarlos en un registro determinado, tratar dichas representaciones
dentro de un mismo registro y de convertir dichas representaciones de un determinado
registro en otro. Por esto se incluye los últimos ítems en los cuales se ejercita la
transformación de tratamiento; en estos ítems es necesario que el estudiante registre
fracciones equivalentes en un mismo registro (esquema pictográfico).
4.3.6 Análisis actividad de profundización 2 “AHORA LA UNIDAD ES
UN NÚMERO”
La actividad presenta en el primer ítem dos ejercicios de repartición en un contexto
discreto, el objetivo de este ítem es que se parta o tome la unidad como un número (a), para
esto se maneja una tabla de dos columnas en la que se utiliza una transformación de
conversión.
TRANSFORMACIÓN DE CONVERSIÓN
Esquema pictográfico. Lenguaje aritmético.
Posteriormente se incluye una situación en la que se muestra un diagrama, en el que se
puede identificar la fracción de un número, teniendo en cuenta las subdivisiones
Reparte 24 en 3 partes iguales
(dibuja un diagrama)
Encuentra
1/3 de 24 =
2/3 de 24 =
3/3 de 24 =
Reparte 24 en 8 partes iguales
(dibuja un diagrama)
Encuentra
1/8 de 24 =
5/8 de 24 =
7/8 de 24 =
8/8 de 24 =
100
equivalentes, en este ítem se realiza un registro aritmético, y esquema pictográfico, en estos
dos ítems se maneja una transformación de tratamiento.
TRANSFORMACIÓN DE TRATAMIENTO.
Reparte 24 en 3 partes iguales
( dibuja un diagrama). 300 galletas en 3 partes iguales.
ESQUEMA PICTOGRÁFICO (Discreto) ESQUEMA PICTOGRÁFICO
(Continuo)
Las preguntas están enfocadas a una transformación de
conversión partiendo de un registro semiótico
pictográfico (dado) a un registro semiótico
aritmético.
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel?
Mediante un diagrama de barras (esquema
pictográfico) se grafica una situación dada en la que tres personajes venden una cierta
cantidad de dulces, así pues el estudiante como primer paso interpreta el diagrama
estableciendo el número de dulces que vendió cada uno de los tres personajes,
posteriormente identifican la fracción de dulces que cada uno vendió tomando como
referencia la unidad en este caso los 300 dulces.
Posteriormente el estudiante compara la fracción que cada personaje vendió con el número
de dulces que vendieron los otros dos personajes. Llegando a establecer por ejemplo que la
fracción que vendió Samuel respecto a la de Carlos fue de ¾.
De esta manera el estudiante no presenta obstáculos al identificar la unidad puesto que toma
como unidad la barra que representa los 300 dulces para posteriormente identificar la parte
que representa las cantidades pedidas (25, 50, 75, 100, 125), la cuarta parte, la quinta parte,
etc.. Encontrando de esta manera la fracción de la unidad, en este caso 300 dulces (contexto
discreto).
Conversión
101
4.3.7Análisis actividad de profundización 3 “ENCONTRANDO LA
UNIDAD”
En esta actividad se busca que los estudiantes reconstruyan la unidad en el contexto
discreto y continuo. La cantidad de los objetos van a ser una parte de la unidad, a partir de
esto lo que se pretende es que la unidad sea reconstruida a partir de las partes.
En el primer ítem se incluye una situación en la que se debe reconstruir el todo a partir de
sus partes.
1. los niños del barrio rompieron algunos vidrios azules en la iglesia, y necesitan
saber cuántos vidrios compraran para reponer los rotos sabiendo que los vidrios
que quedaron buenos son2 /6 de la ventana.
En este ítem se pide un registro semiótico pictográfico
que permite modelar la situación, y además expresar
la fracción que esta representa del todo en un registro
lenguaje aritmético.
En su mayoría, la estrategia tomada por los
estudiantes fue la de realizar una representación
gráfica a partir del enunciado, reconociendo de esta
manera la unidad como los seis vidrios,
posteriormente subrayan o colorean el número de vidrios que sobran después de haber
tomado dos de los vidrios. Entonces llegan que el número de vidrios que se deben comprar
son cuatro de esta manera completan la unidad de seis vidrios.
En el segundo ítem se presenta la situación anterior, ahora en un contexto discreto, se
presenta el registro pictográfico y el lenguaje aritmético, la reconstrucción se expresa en
lenguaje aritmético.
2. A continuación se presentan una serie de objetos que no están completos, pues han
extraviado parte de ellos, identifica la parte que hace falta en cada uno de los grupos
de objetos que se presentan a continuación.
Se incluye un ítem de reconstruir la unidad en un contexto discreto en fracción impropia.
102
Representan 8/5 de las manzanas. ¿Cuántas manzanas
representan la unidad?
En este tipo de actividad se maneja un esquema pictográfico dado y un lenguaje aritmético.
De esta manera es necesario realizar registros pictográficos para realizar la reconstrucción
de la unidad.
En la segunda tarea los estudiantes encontraron el
total de objetos en cada caso, teniendo como
referente una parte de la unidad. En el primer caso
se identifica que el estudiante presenta un
obstáculo al expresar la fracción en un lenguaje
aritmético tomando 7 como la unidad. El
estudiante identifica que la unidad o el todo es 7,
sin embargo al realizar el registro aritmético
confunde la unidad y la expresa como 3
CONCLUSIONES
Los resultados de la prueba piloto muestran la efectividad cualitativa en conceptos como:
subdivisiones equivalentes en contexto continuo y discreto, representación de fracciones
mayores que la unidad y reconstrucción de la unidad, la efectividad se evidencia en la
forma como se expresan algunas situaciones (lenguaje aritmético) y la radicación de
algunos obstáculos tales como: repartición en partes desiguales de la unidad, no
reconocimiento de áreas equivalentes, esquemas pictográficos utilizando una unidad en
fracciones impropias, entre otras.
Una propuesta de actividades que potencialice la fracción como relación parte todo en
contextos continuos y discretos y subdivisiones equivalentes en fracciones menores y
mayores que la unidad, incluye registros semióticos, transformación de tratamiento y
transformación de conversión, además el trabajo de los dos contextos simultáneamente.
103
El aprendizaje de las fracciones es complejo, por tanto es necesario poner en manos de los
estudiantes las herramientas adecuadas que propicien su verdadero aprendizaje, de esta
manera la tarea del docente es la de elegir adecuadamente el registro que permita al
estudiante llegar a comprender e interiorizar el concepto que se desea trabajar, por tanto es
necesario incluir dentro de las situaciones propuestas en el aula varios registros de
representación semiótica, elegir lo distintivo del concepto y representarlo en un registro
determinado, tratar estas representaciones dentro de un mismo registro y de convertir
dichas representaciones de un determinado registro en otro.
Para la introducción de la fracción mayor que la unidad (fracción impropia), se inició con
una situación de reparto, que rompió el esquema tradicional de iniciar con un registro
pictográfico, lo que permitió una apropiación del concepto y su respectivo esquema
pictográfico.
Las actividades propuestas por Adalira Sáenz, permitieron realizar una conexión con
elementos tales como el geoplano que llevaron a los estudiantes a trabajar las subdivisiones
equivalentes en un contexto continuo.
Es necesario incluir dentro de las prácticas habituales en el aula situaciones en contextos
concretos al iniciar un concepto, esto con el fin de que el estudiante relacione el concepto y
la situación y además contextualice la aplicación de lo que está aprendiendo, sin embargo
es bueno explicitar al estudiante que se trata solo de un modelo para que progresivamente
interiorice que esas situaciones que hacen parte de un contexto son simplemente modelos
que representan el concepto, mas no son el concepto.
Se debe tener en cuenta la importancia de trabajar con los estudiantes explícitamente lo que
se quiere decir al dividir el todo o unidad en partes “iguales”. Pues se pudo observar que el
adjetivo “igual” es interpretado de diversas formas, lo que ocasiona obstáculos a la hora de
trabajar el atributo “subdivisiones equivalentes” por tal razón es un obstáculo que nos e
debe esconder si no por lo contario hacerlo explícito. Proponer situaciones en las que se
haga evidente este tipo de obstáculo favorece la conceptualización de dicho atributo.
Los resultados de la prueba piloto muestran que es viable utilizar diversos tipos de registros
(esquema pictográfico, lenguaje común y lenguaje aritmético) para construir un concepto
en este caso la fracción. Sin embargo estos se deben introducir progresivamente y de
manera individual, para luego realizar las correspondientes conversiones y
transformaciones de tratamiento, siguiendo un proceso pues ese paso no es automático.
Los esquemas pictográficos son de gran importancia por esto se deben incluir también
figuras no estándares es decir pasar de un esquema pictográfico tradicional (cuadrados y
rectángulos), a incluir figuras tales como el circulo y el triángulo en el que se presenta
dificultades al realizarlos o identificar subdivisiones equivalentes. De la misma forma
utilizar esquemas pictográficos en los que las subdivisiones equivalentes nos sean iguales,
104
es decir figuras donde los cortes no sean idénticos con el fin de identificar áreas
equivalentes y estableciendo repartos equitativos
Dentro de las practicas es importante incluir la reconstrucción de la unidad, es decir
presentar al estudiante que a partir de una fracción dada se determine el entero que la
genero, tomando diferentes figuras y trabajando los dos contextos (continuos y discretos),
dando paso a evidenciar que pueden existir varias formas que son correctas de reconstruir la
unidad, es importante planear dentro de las clases varias sesiones para trabajar la
reconstrucción de la unidad, ya que esto permite que el estudiante construya y
conceptualice la unidad.
El contexto discreto debe ser trabajado de manera simultánea con el contexto continuo,
estos no debe ser apartados, pues esto constituye un obstáculo didáctico al pensar que al
trabajar el contexto continuo es suficiente para que el estudiante traslade las
representaciones un contexto discreto.
Para presentar a los estudiantes la fracción impropia o mayor que la unidad es propicio
comenzar a trabajarla mediante un contexto de repartición equitativa en un contexto
discreto, esto con el fin de que el estudiante reconozca dentro de la situación la unidad, y
evidencie que existen situaciones e n las que es necesario tomar otra unidad y que esta no
cambia, es decir se conserva, y que de la unidad que se toma no es necesario que se tome en
su totalidad si no la parte que hace falta para completar la cantidad requerida.
Existen diversas dificultes en la interpretación de la fracción como parte todo, por esto es
necesario que el docente evidencie los obstáculos que tiene el estudiante y disponga de
elementos que le ayuden a este a superar dichas dificultades, no esconderlas ni omitirlas si
no hacer lo posible por presentar el concepto de diversas formas y teniendo en cuenta varias
estrategias.
El uso de diversas representaciones semióticas propicia que el estudiante tenga un gradual
manejo de al fracción como parte-todo en los diferentes contextos (continuo y discreto), el
docente es el encargado de identificar la representación que es propicia para que el
estudiante interiorice el concepto de fracción como parte – todo.
BIBLIOGRAFÍA
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105
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Obstáculos didácticos, ontogenéticos y epistemológicos identificados
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Escolano y gairin http://www.fisem.org/www/union/revistas/2005/1/Union_001.pdf
106
107
ANEXOS:
PRUEBAS CONSIDERADAS PARA
LA APLICACIÓN DE LA PROPUESTA DIDÁCTICA.
Anexo actividades.
ANEXO 1
108
ANEXO 2
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
GRADO CUARTO
“EL TANGRAM”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
Utilizando el tangram discute con tu grupo:
¿Qué piezas equivalen el cuadrado?
¿Qué piezas equivalen el paralelogramo?
¿Qué piezas equivalen a uno de los triángulos grandes?
¿Qué piezas equivalen al triangulo mediano?
¿Qué pieza equivale a los dos triángulos pequeños?
Crea otras relaciones entre las piezas del tangram.
Encuentra una forma de probar que el cuadrado tiene área equivalente que el triángulo
mediano.
Encuentra una forma de probar que el cuadrado tiene área equivalente que el
paralelogramo.
ANEXO 3
109
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
GRADO CUARTO
“HABLEMOS DE ÁREAS”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
FIGURAS CONGRUENTES Y ÁREAS EQUIVALENTES
CON LA HOJA:
Siga las instrucciones:
Tome una hoja rectangular y dóblela en la mitad
Una la punta izquierda con su correspondiente de la derecha y argumenta: ¿Por qué son
congruentes las dos figuras formadas? (relacione lados correspondientes)
Con una hoja de forma cuadrada doblela por la mitad
¿Que figuras obtiene? ¿son congruentes?, argumente mediante relaciones correspondencia.
CONSTRUYA EL RELOJ:
Utilizando el transportador, el compas y mediante la division de ángulos construya el reloj
y explique la finalidad en la division de partes congruentes en circunferencias.
CON EL GEOPLANO:
Tome como guía el geoplano
anterior y dibújelo para cada caso.
a. Construya un cuadrado de 8
unidades de lado, y construya un
triángulo cuyas unidades internas
sean iguales que las del cuadrado.
b. Construya un rectángulo cuyas
unidades internas sean las mismas
que un cuadrado.
c. Construya un triángulo, un
rectángulo y un cuadrado con las
mismas unidades internas.
d. Dentro de un cuadrado construya dos figuras con la misma cantidad de unidades
cuadradas.
e. Construya las siguientes figuras y estime la cantidad de unidades cuadradas que se
encuentran en el interior de las partes sombreadas en cada una de ellas. Argumente cuales
de ellas se encuentran divididas en áreas equivalentes y por qué.
110
Encuentre el área de cada una de las figuras. ¿que
observa?
Describa el proceso
¿Qué puede decir de las figuras que tienen diferente forma pero que tienen área
equivalente?
ANEXO 4
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
111
GRADO CUARTO
“IDENTIFICANDO LA UNIDAD FRACCIONARIA”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
Unidad Fraccionado
r
Partes en que se
divide
Fracció
n
La mitad de
la manzana
½
La tercera
parte de la
manzana
1/4
La mitad de
estas canicas
1/3
112
El rectángulo se considera como un “todo” y numéricamente se simboliza 1.
Conteste las siguientes preguntas teniendo en cuenta el siguiente ejemplo:
A es 𝟏
𝟓 de
𝟓
𝟖 ó
𝟏
𝟖de 1
En este caso cuando se quiere averiguar qué parte es A de 𝟓
𝟖identificamos la fracción pedida
en la unidad completa así: es decir y nos damos cuenta que en
este caso A equivale a 1 de 5 partes es decir 𝟏
𝟓. Y A equivale a
𝟏
𝟖de 1 o del todo inicial.
A es de 1
2 ó de 1.
A es de 3
8 ó de 1.
A es de 2
8 ó de 1.
A es de 7
8 ó de 1.
A es de 3
4 ó de 1.
A es de 2
4 ó de 1.
A es de 1
8 ó de 1.
¿Qué parte del césped podara cada persona si se reparten el trabajo por igual?
2 personas:
4 personas
113
8 personas
16 personas
Una clase de 24 es dividida en grupos. ¿Qué fracción de la clase es cada grupo si hay:
2 personas en cada grupo.
3 personas en cada grupo.
4 personas en cada grupo.
5 personas en grupo.
Divide la figura según se indica.
En séptimos En octavos En cuartos
3/5
1/3
Tomando como unidad un conjunto de objetos, diga a que parte de la unidad corresponden
las figuras sombreadas
1/4 Un sexto
114
Dos octavos un sexto
Dos octavos tres quintos
Tres cuartos tres quintos
Tres cuartos
15. Tomando como unidad la figura ¿a qué parte de área corresponde la parte sombreada?
En letra: _______________ En letra: _____________
En número: _____________ En número: __________
115
En letra: _______________ En letra: ____________
En número: _____________ En número: _________
En letra: _____________ En letra:
____________
En número: ___________ En número: _________
En letra: ________________
En número: ______________
Completa el cuadro:
Representación numérica Representación grafica Representación verbal
3
5
116
¿Qué fracción de la pizza recibe cada persona si se reparten en partes iguales?
2 pizzas entre 3 personas
2 pizzas entre 5 personas
2 pizzas entre 12 personas
Ocho novenos de pastel
4
5
117
ANEXO 5
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
GRADO CUARTO
“CUANDO ES MAYOR QUE LA UNIDAD”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
Si cada pizza está divida en 4 porciones, ¿Cuántas pizzas se necesitaran para que puedan
comer la siguiente cantidad de personas: (representa gráficamente cada caso)
3 personas
118
5 personas
12 personas
Representación numérica Representación gráfica Representación verbal
5
3
Ocho tercios de una naranja
119
Para la salida de excursión contrataron un bus de 14 puestos, pero al final llegaron 25
estudiantes. Utilizando cantidades fraccionarias responda
¿Cuántos buses se necesitarían para llevar los 25 pasajeros?
¿Qué fracción representa a los 25 estudiantes en los buses según el contrato?
Representa gráficamente:
9/5 de pizza
8/6 de lápices
15/5 de manzanas
7/3 de canicas
5/4 de cartulina
Diga:
Si es la unidad represente gráficamente 8/6
Si el grupo de dulces es la unidad represente gráficamente 9/5
Si tengo sombrea 5/4
La parte sombreada de cada pizza será para usted. ¿Qué parte de la pizza recibirá en su
plato?
SU PARTE DE LA PIZZA SU PLATO
120
EL NÚMERO MIXTO:
La secretaria de gobierno distrital ofrece cajas de refrigerios para los estudiantes de
colegios públicos, cada caja contiene 30 refrigerios.
Si existen 90 estudiantes en los grados quintos, ¿Cuántas cajas necesita para que todos
obtengan su respectivo refrigerio?
en los grados 401, 402, 403 y 404 hay un total de 148 estudiantes. ¿Cuántas cajas
completas de refrigerios y que fracción de la caja de más se necesitan para que cada
estudiante obtenga su refrigerio correspondiente?
Cada paquete contiene una docena de dulces. Llena el siguiente cuadro:
DULCES
NECESITADO
S
NUMERO
DE
PAQUETES
UTILIZADO
S EN SU
TOTALIDAD
FRACCIO
N DE
DULCES
DEL
PAQUETE
DE MAS
REPRESENTACIO
N DE LA
FRACCION
NUMER
O
MIXTO
28 Dulces 2 4/12 28/12 2
4
12
37 dulces
49 dulces
25 dulces
121
39 dulces
ANEXO 6
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
GRADO CUARTO
“REPARTIENDO EQUITATIVAMENTE”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
1. Tome una hoja rectangular y siga las instrucciones:
doble la hoja en cuatro partes congruentes.
Coloree uno de los rectángulos. ¿Qué fracción de la hoja representa la parte coloreada?
Doble la hoja una vez más. ¿Cuántas partes congruentes obtienes? ¿Qué fracción representa
la parte coloreada?
Doble la hoja una vez más. . ¿Cuántas partes congruentes obtienes? ¿Qué fracción
representa la parte coloreada?
2. CELEBREMOS EL DIA DEL ESTUDIANTE
Lea la siguiente situación, e}n cartulina representa las pizzas (cada pizza de no más de 4
cm de radio) y responda:
En el salón de clase la profesora Diana trae pizzas para celebrar el día del
estudiante. Para repartirlas la profesora divide el curso que es de 12
122
estudiantes en grupos pequeños de 4, y a cada grupo le entrega una pizza. En el grupo de
Bruce la pizza venia partida en 4 partes congruentes, en el grupo de Jorgito la pizza venia
partida en 8 partes congruentes y en grupo de Steve 16 partes congruentes.
Con el material que el docente entrega recrea la situación.
Pasa por cada grupo y reparte la pizza que le corresponde a cada uno de manera que cada
estudiante coma la misma cantidad de pizza.
CELEBREMOS EL DÍA DE HALLOWEEN Samuel, Carlos y Pedro van a comerse los dulces que recogieron el día de Halloween, cada
uno tiene una bolsa de 30 dulces; Samuel comió un medio de todos sus dulces, Carlos
comió dos cuartos de sus dulces y Pedro comió cuatro octavos de los suyos.
Dibuja la situación.
¿Quién de los tres comió más dulces?
Juan y Rafael tienen cada uno una barra de chocolatina,
Juan se comió tres sextos de su chocolatina y Rafael
cuarenta cuarenta y ochoavos ¿Quién comió más
chocolatina?
4. encuentre la fracción equivalente en cada caso.
5. para cada figura escriba ½ de otra forma:
123
¿Qué figura muestra 1/3 sombreado?
124
La mitad de cada galleta esta sombreada. Encuentra otras fracciones que represente la parte
sombreada de cada galleta.
125
ANEXO 7
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
GRADO CUARTO
“¡¡¡¡ AHORA LA UNIDAD ES UN NÚMERO!!!!”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
Reparte 24 en 3 partes iguales
(dibuja un diagrama)
Encuentra
1/3 de 24 =
2/3 de 24 =
3/3 de 24 =
Reparte 24 en 8 partes iguales
(dibuja un diagrama)
Encuentra
1/8 de 24 =
5/8 de 24 =
7/8 de 24 =
8/8 de 24 =
126
En la fiesta de halloween, Samuel, Carlos y Rafael vendieron un total de 300 galletas. La
barra representa lo que cada uno vendió.
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel?
¿Qué fracción de las galletas vendió Carlos?
¿Qué fracción de las galletas vendió Rafael?
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel con respecto a la venta de Carlos?
¿Qué fracción de las galletas vendió Samuel con respecto a la venta de Rafael?
¿Qué fracción de las galletas vendió Carlos con respecto a la venta de Rafael?
Cuatro edificios fueron construidos en la calle principal:
utilizando fracciones compara la altura del primer edificio
con la altura del segundo y del tercero. Compara la altura del
segundo con la altura del tercer y cuarto edificio.
127
128
ANEXO 8.
COLEGIO DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SEDE B
MATEMÁTICAS
GRADO CUARTO
“ENCONTRANDO LA UNIDAD”
NOMBRE: ________________________________________________________
CURSO: ________
los niños del barrio rompieron algunos vidrios azules en la iglesia, y necesitan saber
cuántos vidrios compraran para reponer los rotos sabiendo que los vidrios que quedaron
buenos son2 /6 de la ventana.
A continuación se presentan una serie de objetos que no están completos, pues han
extraviado parte de ellos.
Identifica la parte que hace falta en cada uno de los grupos de objetos que se presentan a
continuación.
Hay 3/7 de rosas. ¿Cuántas rosas habían?
Hay 3/6 de semáforos. ¿Cuántos semáforos habían?
Hay 3/10 de árboles. ¿Cuántos arboles habían?
Hay 3/5 de aviones. ¿Cuántos aviones habían?
Hay ¾ de teléfonos. ¿cuántos teléfonos habían?
Hay 3/10 de brochas, ¿Cuántas brochas habían?
Hay 2/4 de guantes. ¿Cuántos guantes habían?
Hay 4/8 de casas en la calle. ¿Cuántas casas habían?
129
Hay 3/6 de bebes. ¿Cuántos bebes habían?
Hay ¼ de perros. ¿Cuántos perros habían?
4. El pirata barba roja le dará a sus esclavos el tesoro si descubren cuantas perlas tiene el
collar si la parte que está afuera
del baúl es:
A. un octavo del collar
B. un décimo de collar
C. cuatro octavos de collar
D. dos sextos de collar
E. cuatro decimos de collar
F. dos octavos de collar
5.
A. si representa la fracción 6/4. Dibuja la carta que representa la unidad.
B. si representa 10/6 de fracción. Dibuja la carta que representa la unidad.
C. si representa 16/10. Dibuja la carta que representan dos unidades.
D. representan 8/5 de las manzanas. ¿Cuántas manzanas
representan la unidad?
E. representan 10/6 de las hormigas. ¿Cuántas hormigas
representan la unidad?
130
F. representa 32/12 de
perros. ¿Cuántos perros representan la unidad?
131
ANEXO 9
PROTOCOLOS DE LA SECUENCIA DE ACTIVIDADES.
Durante la implementación de las guías se llevado a cabo una reestructuración de alguna de
ellas y de la incorporación de algunas actividades para un mejor entendimiento de lo que
sean las fracciones. Dado que la propuesta de Sáenz no incorpora una actividad de
introducción explicita que pueda fomentar el entendimiento de lo que es una parte de la
unidad, se incorporó unas actividades de que fomenten la interpretación de lo que es un
fraccionador y multiplicador, la concepción de áreas congruentes en pro de obtener partes
de la unidad que si sean del mismo “tamaño” y también se incorpora una actividad que
fomenta la división en partes congruentes por medio de división de grados en unidades que
tienen una forma circular.
El implementar la propuesta de la secuencia didáctica nos tomó 6 meses en donde la
reestructuración fue obtenida y sistematizado con sus respectivos anexos mediante
protocolos por actividad.
Actividad diagnóstico
La actividad tiene como fin encontrara las virtudes y falencias de los estudiantes en el tema
de las fracciones específicamente con lo que refiere a las fracciones propias e impropias en
contextos continuos y discretos. Esta actividad diagnostico se propone corta y específica, de
tal manera que los resultados que arroja son concisos y dan un punto de partida para el
proceso de que se va a llevar a cabo.
Esta actividad solo consta de una clase de manera que no requiere de mucho tiempo ni de
un análisis largo. En la prueba piloto la actividad se realizó de manera individual y durante
el desarrollo los estudiantes manifestaron preguntas frente al ítem correspondiente a los
ladrillos: sombrea 1/3 de los ladrillos, realizaban preguntas como: SI LA UNIDAD SE
ENCUENTRA DIVIDIDA EN 3 Y HAY 12 LADRILLOS ¿CUAL ES LA UNIDAD QUE
ESTA DIVIDIDA EN TRES?...
Frente a esto se orientó a los estudiantes a tener en cuenta el número de ladrillos, una vez
identificado el número de ladrillos que era la unidad, ahora si la tarea de ellos consistiría en
dividir dicha unidad en grupos de igual número de ladrillos. Sin embargo presentaron
dificultades aun así con la orientación dada.
Frente al ítem dos referido a identificar la fracción sombreada lo que se quería evidenciar
era la equivalencia de fracciones, en ello en su mayoría los estudiantes presentaron
dificultades puesto que argumentaban que la fracción representada era 5/10 y dentro de las
opciones dadas no se encontraba dicha respuesta. Por lo que se pidió que los estudiantes
que consideraran que dentro de las opciones no se encontraba la respuesta la escribieran a
un lado del recuadro.
En el primer punto referido a la fracción los
estudiantes no presentaron mayor inconveniente
132
en sombrear ¼ de las tablas dadas en el caso del contexto continuo, esto debido a
que como lo plantea Escolano y Gairin (2004) en tareas como las de expresar una
fracción por la parte sombreada; La mayor parte del conocimiento se obtiene de
forma visual. Las tareas se ostentan con representaciones gráficas, generalmente
figuras geométricas regulares, en los que se inciden recursos gráficos o colorear
algunas de sus partes. Por lo que el estudiante no presenta dificultades en realizar un
recuento de las partes en que está dividida la unidad y las que están coloreadas de
esta manera obtiene la fracción. en este tipo de tareas la división de la unidad en
áreas equivalentes no representa para el estudiante ningún tipo de obstáculo puesto
que al trabajar en una figura rectangular las divisiones realizadas a la unidad son
equivalentes.
En cuanto al contexto discreto se observa
que en el caso del cemento similar al punto
anterior los estduaints sombrean 3 de los 4
ladrillos, lo que da paso a suponer que la
gran mayoria realmente no esta trabajando
sobre un contexto discreto, por lo contrario
lo toma como continuo, realiza un recuento
y colorea.
Sin embargo al realizar representaciones en un contexto discreto como es el de los ladrillos,
en donde se presenta al estudiante 12 ladrillos y se pide sombrear 1/3 de ladrillos, esta vez
los estudiantes presentaron dificultad, puesto que este tipo de representaciones no son
usuales para ellos. Las representaciones pictóricas, numéricas y verbales de las fracciones
tienen una conexión y en efecto una consecuencia al trabajar el concepto; es muy frecuente
ver el proceso lineal para desarrollar un concepto en los estudiantes mediante un
representación verbal, luego una numérica y finalmente una pictórica de la fracción, así
pues puede ocurrir un problema llevando este proceso lineal debido a que sería muy común
encontrar diferencia en las visualizaciones que puedan tener los estudiantes sobre el campo
de la fracción.
Ahora bien tomando la
representación hecha por este
estudiante lo que se
evidencia es que al cambiar
de contexto (continuo a discreto), pierde o confunde numerador y denominador a diferencia
de la representación anterior el estudiante ya no pudo relacionar la fracción con el recuento
de partes es decir, no podía tomar 3 y colorear 1 puesto que había 12 ladrillos, por tanto el
estudiante opta por invertir la fracción es decir toma el 1 como la unidad o el conjunto
completo de ladrillos y sombrea 3.
De acuerdo a lo que se observa en este caso particular, se puede evidenciar que el
estudiante toma como tres ladrillos de la unidad; es decir No reconocimiento de la
igualdad de las partes en la división de la unidad.
Dificultad de la representación gráfica y simbólica de la fracción.
Por lo que este tipo de obstáculos1
Esta referido directamente al trabajo de representaciones
en contextos continuos que apartan contextos como los discretos que potencializan la
interpretación de las fracciones, cuyo camino es necesario para que los estudiantes se
133
aproximen a la construcción del concepto de fracción. Entre estos contextos de uso
podríamos señalar el de reparto, que implica dividir el todo (conjunto) en partes iguales.
Aquí se observa que el razonamiento del estudiante es el de coloreas 1 ladrillo de los 3
primeros, por lo que podemos inferir que tiene un reconocimiento de la fracción como de
tres tomo uno pero no lo representa correctamente cuando se le presenta en un contexto
discreto es decir ese tres me indica las partes en que está dividida la unidad, como el
estudiante mismo lo menciona son 12 ladrillos es decir debería dividir esos 12 ladrillos en
tres grupos iguales y tomar 1 grupo.
En cuanto a lo referido al
reconocimiento de la unidad el
estudiante toma la unidad como el
número de canicas sin sombrear es
decir cinco y la fracción de la
unidad corresponde al número de
canicas sombreadas, lo que se
denomina como Dificultades en el reconocimiento de los esquemas (FANDIÑO 2009), esto
debido a que el estudiante no sabe decir cuál es la unidad sobre la cual debe trabajar.
Finalmente la conclusión que nos arroja esta actividad es que si muestra las dificultades de
los estudiantes respecto a los contextos continuos y discretos, además evidencia cuando los
estudiantes tienen confusiones con la representación numérica de la fracción, así pues no
necesitaríamos agregar más preguntas dado que no existe necesidad alguna.
Actividad de introducción
Con la implementación del tangram, se comienza con promover a los estudiantes a encontrar
o establecer diferentes relaciones de equivalencia de cada una de las fichas del tangram. Para
ello cada estudiante llevó su tangram y de manera individual desarrollaron la guía propuesta.
En un primer momento los estudiantes conocieron el tangram, por lo que se les permitió
realizar diferentes figuras.
Posteriormente con apoyo de la guía, los estudiantes comenzaron a encontrar equivalencias
entre las figuras, del tangram, como en el caso del cuadrado, donde fácilmente en su
mayoría los estudiantes reconocieron que los dos triángulos, formaban el cuadrado.
En el caso del paralelogramo esto no fue tan evidente por lo que la estrategia fue la de
superponer las fichas, con el fin de cubrir la totalidad de la figura inicial o de partida según
la indicación dada en la guía.
134
En un segundo momento de la actividad se pide a los
estudiantes encontrar relaciones de equivalencia entre
áreas, lo que logra conlleva a una dificultad debido a
que hasta ese momento los estudiantes no se habían
involucrado con áreas. Entonces surgen preguntas
tales como: ¿Cómo encuentro el área del triángulo?
Por lo que se orienta a los estudiantes, que se debe
establecer relaciones de equivalencia como en los ítems anteriores, es decir si
superponemos las fichas, y estas cubren la totalidad del todo o de la ficha, entonces esto
indica que las áreas son equivalentes.
De esta manera los estudiantes empiezan a establecer cuales piezas del tangram son
equivalentes.
Actividad de desarrollo 1
Al momento de trabajar con las fracciones es de notar que cuando se utilizan algunos
atributos de las mismas se recae en errores muy frecuentes en “todas las partes de una
unidad son iguales”. Para decir que las partes de una unidad son iguales necesitamos
demostrar la igualdad entre las partes, para esto se ve
la necesidad de implementar una actividad que pueda
hacer que los estudiantes sepan que no siempre las
partes iguales de una unidad tienen la misma forma.
Como se puede observar en el siguiente caso todas las
cuatro partes son iguales por que cada una de ellas
135
representa ¼ parte de la unidad pero existen dos clases de figuras, un rectángulo y un
triángulo.
Para este punto se requiere utilizar instrumentos que nos permita poder visualizar la
congruencia de áreas, para esto el primer instrumento es una hoja de papel el cual va a ser
utilizado como una unidad que va a ser dividía en partes. Por medio de dobleces los
estudiantes verán que gracias a la coincidencia de puntas las partes van a ser congruentes
según el caso. Primero la actividad se realiza con unos dobles por la mitad formando un
triángulo, así pues mediante las propiedades de las figuras se demuestra la igualdad o
equivalencia. Otro ejercicio es básicamente demostrar que dos figuras tienen la misma área
a pesar de que son figuras de forma diferente, así pues mediante la transitividad se llega a la
demostración de lo requerido. Como segundo instrumento se utiliza un geoplano, pues
mediante el conteo estimado de unidades se demuestra la congruencia en área y
consecuentemente se demostrara que las partes en las que está dividida la unidad son partes
equivalentes.
Trabajo con el geoplano.
En la aplicación de la prueba piloto cada estudiante tomo su geoplano, la primera
instrucción dada fue la de construir un rectángulo de perímetro 18 unidades lineales,
Construye las siguientes figuras en el geoplano: Tantos cuadrados de distinto tamaño como
sea posible Tantos hexágonos diferentes de distinto tamaño como sea posible El polígono
con el menor número de lados que puedas hacer
· El polígono con el mayor número de lados
que puedas hacer Polígonos con un número
de lados entre el menor y el mayor posible.
Análisis didáctico.
En un primer momento se les indica a los
estudiantes que deben construir un
rectángulo de 8cm X 4 cm; para ello la
estrategia de los estudiantes, es tomar una
banda de caucho, cuentan las unidades de la
base y la altura, y posteriormente obtiene el rectángulo de BASE 8 CM Y ALTURA 4CM;
construyen un rectángulo como se muestra en la imagen luego se le pide al estudiante
encontrar el área de dicho rectángulo, en su mayoría los estudiantes por medio de la
VISUALIZACIÓN (Van Hile) realizan un conteo de las UNIDADES CUADRADAS que
se encuentran en el interior del rectángulo.
Los estudiantes que no emplearon el geoplano,
dibujaron el correspondiente rectángulo como se les
indico: un rectángulo de BASE 8cm y altura 4 cm, de
esta manera los estudiantes obtuvieron:
136
Posteriormente los estudiantes hallaron el área del rectángulo empleando la formula,
llegando a 32
De esta manera los estudiantes identifican que el área se expresa en UNIDADES
CUADRADAS.
Se plantea a los estudiantes tomar una hoja rectangular de modo que tenían que doblarla
por la mitad. Cada mitad era doblada de en dos partes pero una se doblaba paralela a uno de
sus lados y la otra se doblaba diagonal de esta manera los docentes practicantes les
preguntaron si uno de los rectángulos pequeños tenía la
misma área que uno de los triángulos, a lo que no se llegaba a
un consenso y ningún estudiante veía la relación que existía.
Uno de los estudiantes día una razón:
mateo: “como al principio se dobló por
la mitad la hoja entonces los dos
rectángulos son iguales por que los
mido con una regla y eso da los lados,
luego como divido de nuevo en dos entonces un rectángulo es la
mitad de la mitad y un triángulo también es la mitad de la mitad, pero no sé cómo medir el
área”.
Debido a los resultados y la razón que da el
estudiante los docentes proceden a utilizar el
geoplano para comprobar mediante el área que las
dos figuras son equivalentes en área.
En un segundo momento se le dice al estudiante que
construya un rectángulo de 6 cm X 10 cm. Una vez
construido el rectángulo se pide dividirlo en dos
partes equivalentes en área, como se muestra en la
imagen el estudiante toma una banda de caucho y
divide el rectángulo obteniendo dos áreas de 30
unidades cuadradas cada una. Posteriormente se
toma otra banda y se cruza una diagonal obteniendo
dos triángulos equivalentes en área.
Así de esta manera los estudiantes llegan a
identificar que el rectángulo se encuentra dividido en áreas equivalentes.
Cuando el estudiante
establece que las
figuras diferentes
pueden tener formas
equivalentes se
presenta a los estudiantes
actividades en las que se pide construir
figuras con la misma área en este caso 16
centímetros cuadrados. El
estudiante construye un cuadrado, un
rectángulo y un triángulo.
137
Finalmente los estudiantes establecen que figuras diferentes pueden tener área equivalente,
contando las unidades cuadradas y concluyendo que figuras diferentes pueden tener la
misma área.
Luego de obtener los resultados de esta actividad se evidencio que mediante el conteo de
unidades, mediante los razonamientos lógicos en los dóblese los estudiantes si entienden
con la actividad el concepto de congruencia en áreas y consecuentemente llegan a entender
que el atributo de la fracción que requiere que las partes en las que se divide una unidad
sean equivalentes.
Actividad de desarrollo 2
En esta actividad lo que se desarrolla es una introducción a las fracciones con el concepto
de fraccionador y de multiplicador, de tal manera que al momento de fraccionar se busca
una parte más pequeña que la unidad. Mediante la representación gráfica de una parte de un
todo se puede desarrollar la representación verbal de una fracción, de tal manera que se
introduce definiciones como “la mitad de…”, “la tercera parte de…”etc. El cambio
significativo que se desarrolló en esta actividad fue la implementación de dibujos pero no
en tercera dimensión, la razón de esto es que las representaciones graficas de las fracciones
se desarrollaron en segunda dimensión, y el trabajo con las hojas, el geoplano y los dibujos
no permiten que el estudiante razone y le vea sentido a partes que se van más grandes que
otras por el hecho de estar en tercera dimensión.
138
La anterior evidencia ilustra que cuando la propuesta de la representación gráfica de una
parte de la unidad esta en tercera dimensión la parte faltante se ve más grande que las
demás, de aquí que el estudiante se confunde con lo que es el atributo de partes iguales. Por
esta razón en la propuesta aparcera la manzana dibujada como el primer renglón de la
evidencia anterior.
Esta actividad consta de una otros ejercicios que permiten una fácil división de la unidad,
así pues al utilizar rectángulos no se complejiza dado que el estudiante en este punto tiene
una noción de fracción todavía muy delicada y que se está empezando a formar. Una de las
características de este punto es que se utilizan los dos contextos, es decir que el estudiante
aquí comienza a desarrollar una noción de fracción sin sufrir tanto en la dificultad que
existe en el paso de un contexto a otro como lo plantea el libro de Llinares y Sánchez.
La siguiente pregunta va a buscar que el estudiante pueda reconocer la unidad fraccionaria,
la ejercitación mental del cambio de unidad hace que la unidad fraccionaria cambie y
propicie un juego de reconocimiento en cada situación. Como la unidad cambia, la unidad
fraccionaria a pesar de tener el mismo tamaño que la unidad fraccionaria anterior, la partes
también cambiaran de acuerda al tamaño de la nueva unidad y así, el ejercicio simplemente
se desarrolla como un juego en donde lo único que se necesita es sumar las partes hasta
llegar al todo.
Este punto ejercita la noción de parte de un todo como tal en el contexto continuo y
discreto, pero también permite visualizar las representaciones semióticas y el cambio de
representación o lo que Duval llama como conversión y transformación, así pues se ejercita
el dominio de la fracción en cualquier campo o registro.
Para finalizar este punto, el ejercicio plante una similitud y una propuesta de una situación
utilizando las regletas de Cousinaire, entonces mediante la utilización de una unidad
fraccionaria que en el caso de las regletas es la ficha amarilla, se lleva a cabo
comparaciones entre fracciones según las magnitudes de cada fracción. Este ejerció
fomenta que el estudiante pueda ver que si algo es más pequeño que otro objeto de mayor
tamaño, el de menor tamaño tendrá que ser una parte de la de mayor tamaño en cierto
sentido como por ejemplo: Diclinos mide dos tercias partes de lo que mido Steve Harris.
En la prueba piloto de esta actividad se plantea un ejercicio de la vida real donde los
estudiantes serán una parte de un todo que estará representado por sillas para poder afianzar
el manejo de la fracción en un contexto discreto.
Descripción de la actividad
SILLAS: Los estudiantes se pondrán de pie y contaran la totalidad de pupitres en el salón
de clase, de esta manera ya se va encontrando el concepto de denominador como la unidad
de forma discreta. Luego se irán sentado los estudiantes uno por uno, y cada vez que un
estudiante se vaya sentando, los demás estudiantes identificaran la fracción que le
corresponde a la situación así:
Si un estudiante se sienta, existen 1/40 de pupitres utilizados, luego otro estudiante se sienta
y ya habrán 2/40 de pupitres utilizados, y así sucesivamente hasta que se completan los 40
estudiantes sentados en 40 pupitres, de tal manera que la fracción es 40/40= a la unidad.
Con esto se empieza a romper la no relación entre el contexto continuo y el discreto, se
comienza a ver la unidad fraccionaria como la unidad del conteo en las fracciones, y el
concepto de fracción como la parte de una todo.
139
PASTEL: En el momento de tomar la torta los estudiantes verán que la forma de la torta
hace que las fracciones sean propias y en un texto continuo. Al momento de partir la torta
en 40 partes, los estudiantes reconocerán y afianzaran más el concepto de unidad en el
contexto continuo, pero en el momento de tener la partición de la torta esta se puede sacar
parte por parte dejando el todo como un grupo de pedazos y así se desarrollara la idea de
fracción en contexto discreto. Luego se reparte a cada estudiante una parte de la torta y así
hasta que la suma de las partes forma el todo.
Guía:
En la sesión dos de clase Se inicia con fraccionador y unidad fraccionaria. En un primer
momento se hace explicita una introducción en la que al estudiante se le plantea una serie de
problemas contextualizados con el fin de que empiecen a reconocer el fraccionador que se
aplica en cada caso; por ejemplo partir esta naranja por la mitad. ¿Cuántas partes obtengo? A
lo que los estudiantes responden dos partes, es decir dos mitades.
Entonces a la unidad ¿Qué fraccionador aplico para obtener dos partes congruentes? LA
MITAD y ¿la mitad a que fracción corresponde? ½. ¿y para dividir la unidad en tres partes
congruentes que fraccionador aplico?
LA TERCERA PARTE 1/3.
De esta manera los estudiantes
realizan un registro siguiendo la
misma dinámica que en la
introducción.
En una segunda parte de la sesión de
clase se plantea una situación en la que
el estudiante identifica la unidad fraccionaria
140
Actividad de desarrollo 3.
Esta actividad fomenta en los estudiantes la noción de fracción mayor que la unidad.
Durante la secuencia se han estado viendo fracciones menores que la unidad pero al tener
ya la noción de la unidad y las subdivisiones de esta, se implementó esta actividad de la
misma forma.
Para ello se da a los estudiantes una tabla en la que como en la actividad anterior, relacione
las diferentes representaciones de la fracción mayor que la unidad.
En esta tabla se observa que el estudiante realiza el correspondiente esquema pictográfico
de la fracción impropia en los dos contextos: continuo y discreto.
En cada caso los estudiantes realizan tres tipos de registros: esquema pictográfico, lenguaje
aritmético, y lengua común, cada uno desarrollado de forma apropiada.
En un segundo momento se plantea a los estudiantes una situación en la que se planea ir de
excursión, pero se contrató solo un bus, que no alcanza para transportar a todos los
estudiantes, la primera pregunta se enfoca hacia la fracción de estudiantes que cabe en el
bus, la siguiente pregunta va dirigida hacia encontrar el número total de buses que se
necesita para transportar a los 25 estudiantes.
Posteriormente se plantea una situación en la que se tiene cierta cantidad de cajas de
refrigerios para repartir a los grados cuartos en el día de los niños. De esta manera la tarea
de los estudiantes es la de encontrar para cada curso la fracción de cajas completas y
refrigerios se necesita para cada curso según el número de estudiantes
En la tercera parte de la sesión los estudiantes desarrollan una tarea correspondiente a
repartición de dulces con sus compañeros.
141
Análisis.
En un primer momento los estudiantes
enfrentan una situación en la que deben
hacer uso de fracciones impropias al
encontrar le fracción que representan los 25
estudiantes en los dos buses que se
necesitan para la excursión.
De acuerdo a la situación el estudiante
reconoce que la fracción que
representa el grupo de 25 estudiantes
en un solo bus de 14 puestos es de
25/14, de esta manera el estudiante
identifica la unidad como los catorce
puestos.
En un segundo momento los
estudiantes pasan a una
representación gráfica de las
fracciones impropias.
Como conclusión los estudiantes en aprenden a manejar la fracción Mayor que la unidad,
además ven la necesidad de que la nueva unidad tenga las misas características que la
unidad principal, esto para que las unidades fraccionarias puedan coincidir y así formar la
fracción exacta.
En esta segunda parte de la actividad se propuso a los
estudiantes una actividad guía, que correspondía a la
implementación de tres tipos de registro semiótico:
esquema pictográfico, lenguaje aritmético y lengua
común.
En este registro, lo que se pretendía era que con la
representación anterior el estudiante identificara las
subdivisiones equivalentes, debido a que estas dos
representaciones muestran dos formas diferentes de
142
escribir o representar 2/4.
En la primera se identifica claramente que estas partes son congruentes, en esta última
estas subdivisiones no están claramente
identificadas, por lo que el estudiante hace
uso de las áreas equivalentes para identificar
si estas partes son efectivamente
equivalentes.
Al
observar el esquema pictográfico el estudiante
identifica que la unidad (el cuadrado) primero está
dividido en cuartos, luego cada cuarto se divide de
nuevo en cuartos, ahora si se realizaba el mismo
procedimiento en cada uno de los cuartos el nuevo
todo esta fraccionado en dieciseisavos, si de esta sombreamos una de las dieciséis se
obtiene 1/16.
En el último esquema pictográfico el estudiante llego a que por medio de relaciones de
equivalencia de área que los dos triángulos forman el cuadrado. Por lo que al dividir
este cuadrado en los dos triángulos, se realiza el conteo de número de cortes y se da la
fracción de la parte sombreada en relación con el todo o la unidad.
Actividad de profundización 1.
En un primer momento los estudiantes toman una
hoja rectangular de papel, la primera indicación:
doblar la hoja en cuatro partes congruentes, colorear
uno de los rectángulos e identificar la fracción
correspondiente a esa parte coloreada, los
estudiantes toman la hoja y con lo trabajado en las
143
sesiones anteriores de clase, por medio de dobleces obtienes cuatro partes congruentes.
Posteriormente colorean una de esas cuatro partes y llegan que la parte coloreada representa 1
4, de la hoja, al doblar la hoja una vez más obtuvieron
2
8, y una vez más
4
16
Los estudiantes no
presentan dificultad
para desarrollar dicha
tarea puesto que en las
sesiones anteriores han
trabajado con dobleces
y unidades
fraccionarias.
Los estudiantes por medio de la
visualización de los dobleces y la
fracción representada por la parte
coloreada llegan a que 1
4,
2
8, y
4
16 son
FRACCIONES EQUIVALENTES por
ser estas quienes representan la misma
parte coloreada de la hoja.
En la segunda tarea los estudiantes
hacen parte de un contexto en el que
deben repartir cierta cantidad de pizza
entre cuatro grupos de estudiantes siguiendo unas indicaciones; la primera de ella es el
número total de estudiantes que son 12, luego se forman tres grupos, a cada grupo de
estudiantes se le da una pizza pero partida en diferentes número de pedazos, para el primer
grupo la pizza se encuentra dividida en cuatro partes congruentes, en el segundo grupo la
pizza se encuentra dividida en ocho partes y en el último grupo en dieciséis partes
congruentes.
De esta manera la primera tarea del estudiante es dividir la pizza en 4, 8 y 16 partes
congruentes, para posteriormente repartir la pizza de manera equitativa en cada grupo, es
decir que todos los estudiantes sin importar el grupo en el que se encuentren coman la
misma cantidad de pizza.
Como se observa el estudiante divide cada pizza y sombrea la cantidad de pizza que le
correspondería a cada estudiante.
Posteriormente los estudiantes obtienen la
parte de pizza que le corresponde a cada
estudiante, teniendo en cuenta que todos
deben comer la misma cantidad de pizza.
De esta manera se obtiene que: en el
primer grupo cada estudiante come 1
4,
144
𝑑𝑒𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎𝑒𝑛𝑒𝑙𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒2
8,
𝑦𝑒𝑛𝑒𝑙𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑙𝑒𝑐𝑜𝑟𝑒𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒4
16
Llegando a que: “todos los estudiantes comen lo
mismo”... “cada estudiante come 1
4”
Inicialmente se plantea dentro de la actividad un ítem correspondiente a representación
gráfica de la fracción para que por medio de dicha representación el estudiante llegue a que
a pesar de que la unidad se
encuentra fraccionada en más
partes la unidad se conserva es
decir es la misma. Pese a esto
muy pocos estudiantes llegan
a dicha conclusión puesto que no poseen el principio de la conservación (Piaget)La
tendencia a practicar la contracción se revela en las tareas de conservación. Por ejemplo,
los niños pueden llegar a la conclusión de que hay más agua en un plato poco profundo
que en un vaso porque el plato es más ancho, aunque hayan visto que el agua era vertida
del vaso al plato. Análogamente como se muestra el estudiante asegura que Carlos comió
más pizza por el hecho de que su porción se encuentra fraccionada en más partes.
Para la cuarta tarea los estudiantes construyeron el tangram, constituido por 7 fichas, cada
una de las fichas con una relación una relación con el tangram o unidad en este caso 1
galón.
Una vez construido los estudiantes comenzaron a identificar relaciones con para formar un
galón se necesita 2 medio galón. Posteriormente empiezan a encontrar equivalencias entre
las fichas del tangram coma en este caso donde el estudiante estableció la equivalencia
entre 2 tasas equivale a cuatro copas. La misma tarea realiza con el color que tiene cada
pieza, tomaba una de ellas y establecía todas las posibles equivalencias.
145
De manera similar a la
priemera tarea los
estuidantes establecen la
fraccion que le
corresponde a cada ficha,
por ejemplo la tasa es 1/8
de galón (siendo el galón
la unidad).
Esta actividad se adaptó
satisfactoriamente a la
secuencia y no tuvo
modificaciones significativas. En la sistematización se evidencia que los estuantes si
alcanzan los objetivos demostrando que mediante los dobleces reiterados de hojas y
mediante la formación de situaciones fundamentales contextualizadas se puede aprender el
concepto y de fracción equivalente.
Actividad de profundización 2
Mediante un diagrama de barras se grafica
una situación dada en la que tres personajes
venden una cierta cantidad de dulces, así
pues el estudiante como primer paso
interpreta el diagrama estableciendo el
número de dulces que vendió cada uno de los
tres personajes, posteriormente identifican la
fracción de dulces que cada uno vendió
tomando como referencia la unidad en este
caso los 300 dulces.
Posteriormente el estudiante compara la
fracción que cada personaje vendió con el número de dulces que vendieron los otros dos
personajes. Llegando a establecer por ejemplo que la fracción que vendió Samuel
respecto a la de Carlos fue de ¾
Como conclusión del análisis de los resultados de esta prueba piloto, la actividad si cumple
con los objetivos propuestos de desarrollar y afianzar en el estudiante el concepto de unidad
fraccionaria y del manejo de la parte de un todo en los dos contextos.
Actividad de desarrollo
El estudiante reconocerá que una unidad partida en x partes y otra unidad partida en 2x
partes significara que cada parte de la primera unidad equivale a dos partes de la segunda,
así pues se empieza a trabajar con lo que es la simplificación y la amplificación de la
fracción. Es decir que dos fracciones con diferente denominador pueden ser equivalentes,
de aquí el estudiante comprenderá que la parte de una fracción se puede representar
numéricamente de varias formas.
146
El tangram es un instrumento muy útil en lo que es la equivalencia de fracciones, en este
caso el estudiante podrá utilizar la lógica argumentativa y mediante las relaciones de
transitividad podrá encontrar la fracción que le corresponde a cada ficha. Esta actividad
afianza el manejo de la fracción y no diferenciara entre el contexto continuo y discreto.
En la prueba piloto se pidió a los estudiantes tomar una hoja de cuaderno cuadriculada,
posteriormente se pidió a los estudiantes doblar la hoja en cuatro partes congruentes,
Colorear uno de los rectángulos; identificar la fracción de la parte coloreada, doblar la hoja
una vez más e identificar la fracción de hoja coloreada.
En la segunda parte de la actividad se le presento a los estudiantes dos situaciones de
equivalencia de fracciones una en contexto continuo (repartición de pizzas) y la otra
situación en contexto discreto (repartición de dulces), para ello deberían realizar las
respectivas representaciones gráficas.
En la tercera parte de la sesión los estudiantes a partir de una representación gráfica,
encontraban la fracción de la parte sombreada y además encontraban fracciones
equivalentes por medio de áreas equivalentes y figuras congruentes.
Para concluir los estudiantes trabajaron con el tangram, para ello se les presento una
situación en la que cada una de las fichas representaba una medida siendo así el tangram la
unidad o un galón. De esta manera los estudiantes relacionaron las fichas y llegaron a
establecer relaciones de equivalencia y a encontrar la fracción correspondiente que cada
una de las fichas representaban en el tangram.
Actividad de profundización 3
Para finalizar la secuencia de actividades en la reconstrucción de la unidad el estudiante ya
no va a buscar la parte teniendo la unidad si no que encontrara la unidad teniendo consigo
la parte, esta actividad es más frecuente encontrarlas en contextos discretos dado que un
contexto continuo es más fácil encontrar la unidad.
La importancia de manejar la fracción de fracción a unidad y e unidad a fracción hace que
el dominio de las fracciones se afiance y produzca un buen entendimientos de lo que es la
relación parte todo, ahora bien el estudiante en esta etapa del proceso ya debe saber muy
bien lo que es la parte y el todo, y manejar los atributos de la fracción haciéndolos suyos y
respetando al reglas de forma implícita.
En la aplicación de la prueba piloto se da introducción al tema en el que los estudiantes a
partir de una situación en donde se plantea un caso en el que los niños del barrio rompieron
2/6 de la cantidad total de vidrio, de esta manera la tarea del estudiante era la de encontrar
el número de vidrios que se deberían comprar para reponer los vidrios rotos.
Posteriormente se entrega a los estudiantes una guía donde se presenta otra situación, en la
que similar a la situación anterior los estudiantes deben a partir de una de las partes del todo
encontrar la unidad.
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Para finalizar se plantea una situación en un contexto discreto, en la que los estudiantes
deben encontrar el total del número de perlas de un collar que se encuentra en el interior de
un baúl.
Análisis didáctico
En su mayoría, la estrategia tomada
por los estudiantes fue la de realizar
una representación gráfica a partir del
enunciado, reconociendo de esta
manera la unidad como los seis
vidrios, posteriormente subrayan o
colorean el número de vidrios que
sobran después de haber tomado dos
de los vidrios. Entonces llegan que el número de vidrios que se deben comprar son cuatro
de esta manera completan la unidad de seis vidrios.
En la segunda tarea los estudiantes
encontraron el total de objetos en cada
caso, teniendo como referente una parte
de la unidad. En el primer caso se
identifica que el estudiante comete un
error al escribir la fracción, o toma siete
como el número.
148
ANEXO 10
ACTIVIDAD 1
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
149
ANEXO 11
ACTIVIDAD 2
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
150
ANEXO 12
ACTIVIDAD 3
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
151
ANEXO 12.
ACTIVIDAD 4
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
152
ANEXO 13
ACTIVIDAD 4
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
153
ANEXO 14.
ACTIVIDAD 6
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
154
ANEXO 15.
ACTIVIDAD 7
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
155
ANEXO 16.
ACTIVIDAD 8
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
156
ANEXO 17.
ACTIVIDAD 9
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ
157
ANEXO 18.
ACTIVIDAD 10
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ.
ANEXO 18.
158
ACTIVIDAD 10
PROPUESTA DE ADALIRA SÁENZ.
ANEXO 18
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