proposiciones categóricas son afirmaciones acerca de categorías o clases

5/10/2018 Proposiciones categ ricas son afirmaciones acerca de categor as o clases ...

http://slidepdf.com/reader/full/proposiciones-categoricas-son-afirmaciones-acerca-de-catego

Proposiciones categóricas son afirmaciones acerca de categorías o clases. Toda

proposición categórica es un enunciado acerca de los miembros de dos clases, y de

relación entre ellos. Por ejemplo:

Ningún soltero es casado.

Algunos Mazda no son fabricados en Japón.

Estos tipos de enunciados (sujeto-predicado) son los que encontramos en una forma de lógica,

conocida como aristotélica, tradicional, o de silogismos categóricos.

Aristóteles (384-322 a.C.) fue el primero en estudiar las formas de la argumentación; a él se le

atribuye la invención de la lógica como ciencia. La forma de argumentación que él identificó y

sistematizó usaba enunciados sujeto-predicado en un silogismo (dos premisas y una

conclusión). Debido a que esta fue la forma de lógica que, por propósitos prácticos, se usó

hasta el siglo XIX, se conoce como lógica tradicional. Porque fue trabajada primero por

Aristóteles, se le conoce como lógica aristotélica. Finalmente, porque trata de los enunciados

categóricos en forma silogística, se le conoce como la lógica de los silogismos categóricos.

Aunque la lógica moderna ha modificado la lógica tradicional y, de hecho, la ha superado, vale

la pena estudiar la silogística categorial por dos razones. Primera, porque la lógica tradicional

ha jugado un papel importante en la historia del pensamiento occidental. De hecho, es la

lógica que la mayoría de gente reconoce como tal. Segunda, porque la silogística categorial es

un sistema deductivo relativamente fácil y accesible. Emplea un número limitado de formas

proposicionales, y la validez de sus silogismos pueden ser comprobada sin mayor dificultad

técnica. Más aún, uno encuentra silogismos categóricos en el lenguaje ordinario. De manera

que empezaremos nuestro estudio de la lógica deductiva con una versión actualizada del

silogismo tradicional. Pero para hacer esto, necesitamos estudiar la proposición categórica

primero.

Las cuatro clases de proposiciones categóricas



Como se dijo antes, una proposición categórica es un enunciado que relaciona dos clases, o

categorías. Las dos clases en cualquier proposición categórica se colocan en una relación de

sujeto-predicado. Algo es predicado, o dicho acerca de, un sujeto. Lo que se dice es que una

clase (el sujeto) está incluida o excluida de la clase del predicado. Así, para referirnos a uno de

los ejemplos de arriba, "Ningún soltero está casado" dice que la clase de los solteros (el sujeto)

está completamente excluida de la clase de los casados (el predicado). De manera semejante,

decir que todos los chimpancés son primates es afirmar que cualquier sujeto que sea un

chimpancé estará incluido en la clase de los primates (el predicado).

Existen cuatro clases de proposiciones categóricas. Usando "S" y "P" como símbolos, estas son:

Universal afirmativa: Todo S es P

Universal negativa: Ningún S es P

Particular afirmativa: Algún S es P

Particular negativa: Algún S no es P

Las palabras "todo" y "algún" se llaman "cuantificadores" porque indican la cantidad del

sujeto. Esto es, especifican cuánto elementos de la clase del sujeto están incluidos en la clase

del predicado. ("Ningún" indica cero miembros.) El verbo en una proposición categórica

correctamente expresada, es siembre alguna forma del verbo "ser", y se conoce como

"cópula". Tenemos, entonces, el siguiente esquema:

Cuantificador: todo, ningún, algún

Sujeto: la clase que se incluye en o que se excluye de, el predicado



Cópula: es, son. era, eran

Predicado: la clase de la cual el sujeto es o no es parte

Este análisis, sin embargo, no indica claramente si una proposición es afirmativa o negativa en

calidad. Una proposición afirmativa es aquella que sostiene que el sujeto está incluido en la

clase del predicado; una negativa, aquella que afirma que el sujeto está excluido del

predicado. De manera que un esquema más completo agregaría:

Cualificador negativo: no

Ya que las cuatro proposiciones categóricas básicas tienen un sujeto, un predicado y una

cópula, una forma de distinguirlas es pro su cantidad y cualidad. Cada proposición será

universal o particular (y se distinguirá por la cantidad), y afirmativa o negativa (y se distinguirá

por la calidad). De manera que podemos distinguir las proposiciones como sigue:

Universal afirmativa: Todo S es P

Universal negativa: Ningún S es P

Particular afirmativa: Algún S es P

Particular negativa: Algún S no es P



El cuadrado de las oposiciones

Existe otra forma de distinguir estas cuatro proposiciones. Podemos poner en un cuadrado de

oposiciones. Éste indica que la universal afirmativa y la particular negativa son contradictorias,

así como la universal negativa y la particular afirmativa. Esto es, que si una es verdadera, la

otra debe ser falsa. Veamos la tabla:

AFIRMATIVA NEGATIVA

UNIVERSAL Todo S es P Ningún S es P (o bien: Todo S es no P)

PARTICULAR Algún S es P Algún S no es P

Tradicionalmente, la proposición universal afirmativa se llama "A", y la particular afirmativa,

"I" (por las dos primeras vocales en Affirmo). La universal negativa se llama "E", y la particularnegativa, "O" (por las dos vocales de Nego). Tenemos, entonces, el siguiente cuadro:

AFIRMATIVA NEGATIVA

UNIVERSAL A E

PARTICULAR I O

Ejercicio 1



Lección 2

Silogismos Categóricos

Un silogismo está compuesto de dos enunciados, de los cuales se infiere un tercero, o

conclusión. Silogismos categóricos son silogismos compuestos por tres proposiciones

categóricas. Son un tipo de argumento deductivo, es decir, un argumento en el cual la

conclusión se sigue necesariamente de las premisas (suponiendo que el argumento es válido).

Dos ejemplos:

(1) Todos los romanos son mortales.

Todos los ostienses son romanos.

Por lo tanto, todos los ostienses son mortales.

(2) Todos los mamíferos son animales.

Todos los humanos son mamíferos.

Por lo tanto, todos los humanos son mamíferos.

Los griegos fueron los primeros en formular argumentos como estos, y desde entonces se han

usado en lógica.

Los dos silogismos categóricos anteriores tienen la misma forma. Cada uno tiene dos premisas

y una conclusión. La primera premisa se llama premisa mayor, y la segunda, menor. Las dos

premisas comparten un mismo término, llamado término medio. En el primer ejemplo, el

término medio es "romanos"; en el segundo, "mamíferos". Dado que cada uno tiene el



término medio en común, no podemos distinguir las premisas por el término medio. Lo que

nos indica cuál de las dos premisas es la mayor es la presencia del predicado de la conclusión:

"mortales", en el primer ejemplo; "animales", en el segundo. De manera semejante, la premisa

menor contiene el sujeto de la conclusión: "romanos" y "humanos", respectivamente. La

forma de estos dos silogismos (y de todos los demás de la Figura 1), se puede mostrar de esta

manera:

Premisa Mayor: Término Medio Predicado

Premisa Menor: Sujeto Término Medio

Conclusión: Sujeto Predicado

Note que cada una de las proposiciones en los ejemplos anteriores es de la forma A: Todo S es

P. De esta forma, podemos representar la forma de nuevo, no solamente tomando en cuenta

la posición de los términos, sino también la clase de proposición que se usa:

Premisa Mayor: Todo M es P

Premsia Menor: Todo S es M

Conclusión: Todo S es P

Ejercicio 2

Modo y Figura



Todo silogismo categórico tiene tres términos, y cada uno de ellos se usa dos veces en las tres

proposiciones que componen el silogismo. El predicado se usa en la premisa mayor y en la

conclusión. El sujeto, en la premisa menor y en la conclusión. El término medio se usa en las

dos premisas. Dependiendo de la clase de proposiciones (A, E, I, O) de que conste el silogismo,

así será el modo. Un silogismo que conste sólo de proposiciones universales afirmativas, por

ejemplo, será del modo AAA. Uno con proposiciones de clase E como premisas, y conclusión de

clase I, será del modo EEI. Dado que hay cuatro clases de proposiciones categóricas y tres

proposiciones en cada silogismo, existen 4x4x4=64 modos posibles.

AAA EAA IAA OAA

AAE EAE IAE OAEAAI EAI IAI OAI

AAO EAO IAO OAO

AEA EEA IEA OEA

AEE EEE IEE OEE

AEI EEI IEI OEI

AEO EEO IEO OEO

AIA EIA IIA OIA

AIE EIE IIE OIE

AII EII III OII

AIO EIO IIO OIO

AOA EOA IOA OOA

AOE EOE IOE OOE

AOI EOI IOI OOI

AOO EOO IOO OOO

Estos 64 modos se pueden distribuir en cuatro figuras. Cada figura está determinada por la

posición del término medio. Ya que el término medio no puede aparecer en la conclusión, hay

solamente cuatro posibles formas de distribución de los términos:

M P P M M P P M



(1) S M (2) S M (3) M S (4) M S

------------ ------------- ------------ ------------

S P S P S P S P

Dado que para cada figura hay 64 modos posibles, tenemos un total de 256 silogismos

posibles. Cada silogismo se distingue de los demás por su modo y figura. Los ejemplos de

arriba, son AAA-1, por ejemplo.

Ejercicio 3



Lección 3

Cómo comprobar la validez de los silogismos

Existen varios métodos para comprobar la validez de los silogismos. Un método popular es el

de los diagramas de Venn. Otros hacen uso de reglas que dependen de la noción de

distribución.

El método que usaremos aquí es el de la refutación por analogía lógica. Lo hacemos así porque

ese método hace uso de un concepto central de la lógica deductiva: el de la validez. Se dice

que un argumento es válido si es imposible que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa.

Con otras palabras, si existe algún argumento que tenga premisas verdaderas y conclusión

falsa, su forma necesariamente es inválida.

Identificar ejemplos de patrones argumentativos inválidos es hacer uso del procedimiento delcontrajemplo. Si encontramos un solo caso en el cual a partir de premisas verdaderas

obtenemos una conclusión falsa, probamos que la forma de ese silogismo es inválida. Significa

que no podemos confiar en él el 100% de las veces.

No siempre pasa que todo argumento inválido contenga una combinación de premisas

verdaderas y conclusión falsa. Existen otras posibilidades:

Premisa mayor verdadera, premisa menor falsa, y conclusión verdadera

Premisa mayor falsa, premisa menor falsa, y conclusión falsa

Premisa mayor verdadera, premisa menor verdadera, y conclusión verdadera

Estas son sólo algunas posibilidades. Sólo se da una situación una imposible: forma válida,premisas verdaderas y conclusión falsa. Si uno encuentra un argumento que tiene premisas



verdaderas y conclusión falsa --incluso si algunas veces la misma forma tiene otra combinación

de premisas y conclusión verdaderas y falsas--, entonces uno sabe que su forma es inválida.

Basta con una vez en que tengamos premisas verdaderas y conclusión falsa para mostrar que

la forma del argumento es inválida. Veamos cómo trabaja este método. Supongamos el

siguiente modelo:

Ningún plato es perro.

Ningún cuarto es plato.

Por lo tanto, ningún cuarto es perro.

Todas las proposiciones son verdaderas. Puede que el silogismo sea válido. Pero,

experimentando, podemos producir el siguiente silogismo análogo. Tiene exactamente la

misma forma —EEE-1—, pero diferentes términos:

Ningún canguro es vaca.

Ninguna Jersey es canguro.

Ninguna Jersey es vaca.

En este caso tenemos premisas verdaderas, pero conclusión falsa. No es cierto que ninguna

Jersey sea vaca.

De manera que nuestro silogismo análogo ha producido un contraejemplo. La forma EEE-1 ha

producido una conclusión falsa a partir de premisas verdaderas. El problema no es sólo con

este silogismo. Es la forma la que no es confiable.

La promesa de un argumento deductivo (válido) es que uno puede confiar en que si tiene

premisas verdaderas, obtendrá una conclusión verdadera. Pero, como este caso muestra, la

forma EEE-1 ha incumplido esta promesa. Basta con un contrajemplo para mostrar que la

forma es inválida. Recuerde que se espera un cien por ciento de confiabilidad. De manera que



si falla una sola vez, es inválida. Funciona algunas veces, tal vez la mayoría; pero no todas las

veces.

Limitaciones del método del contraejemplo

Con suficiente imaginación y paciencia, uno podría probar los 256 posibles silogismos

categóricos, y descubrir cuáles son inválidos. El resto serían los válidos. Pero ésta es la

limitación del método. A menudo se requiere mucha imaginación y persistencia para descubrir

que un silogismo es inválido. Puede que a uno se le ocurra un contraejemplo a la primera, peropuede que no...

Ejercicio 4



Lección 4

Diagramas de Venn



Lección 5

Lógica Proposicional

Hasta aquí hemos visto la lógica tradicional. Vamos a ver ahora la lógica proposicional,

desarrollada a partir del siglo XVIII por autores como Boole, Frege, Peano, Russell,

Wittgenstein, Peirce, Cantor y otros.

A cualquier proposición, sea que tenga la forma sujeto-predicado o no, se le puede

asignar un valor de verdad y se puede en poner en relación lógica con otras

proposiciones. Por supuesto, esto complica un poco las cosas, porque la proposición

puede ser muy compleja, y sin embargo su valor de verdad solamente es uno: verdadera

o falsa.

Podemos, sin embargo, descomponer estas proposiciones. Por ejemplo, si decimos “Julio y

Aura se fueron al cine”, estamos diciendo que

Julio fue al cine.

y

Aura fue al cine.

Estas proposiciones “atómicas” se juntan para formar una más compleja. En lógica

proposicional se trata de descubrir el valor de verdad de las proposiciones moleculares, a

partir del valor de verdad de las proposiciones atómicas y de los conectivos lógicos (y, o,

entonces, si y solo si, no). Por ejemplo, si sabemos que es verdad que Julio fue al cine, y que es

verdad que Aura fue al cine, podemos afirmar que es verdad que Julio fue al cine y Aura fue al

cine (es decir, que Julio y Aura fueron al cine).



La lógica proposicional se basa en tres nociones clave: valor de verdad, operadores lógicos y

variables. Cada uno de estos conceptos puede ser simbolizado: V o F, >, P. La simbolización

hace que a esta lógica se le conozca también como lógica matemática.

Cada enunciado es o verdadero o falso. En el lenguaje ordinario, por supuesto, admitimos

cierto grado de verdad, o de indeterminación. Puede que algo no sea ni verdadero ni falso.

Pero en lógica proposicional no hay lugar para “tal vez”, o “es probable”, o “no se sabe”. Cada

proposición tiene un valor de verdad: o es verdadera, o es falsa. Si su valor de verdad es

indeterminado, no se le pude considerar una proposición atómica. Esto quiere decir que la

lógica proposicional es una lógica binaria. Es la misma que la que emplean las computadoras:

1-0, verdadero-falso, pasa-no pasa. También se le llama álgebra booleana, en honor a George

Boole.

La lógica proposicional hace uso de los operadores lógicos, esto es, símbolos que indican la

relación sintáctica precisa entre las proposiciones. Normalmente, se usan cinco operadores

lógicos, que corresponden a las relaciones de conjunción, disyunción, condicionalidad,

bicondicionalidad y negación.

Conjunción. Una forma de unir proposiciones es afirmando ambas. A veces, por ejemplo,

decimos: “Está lloviendo, y el sol brilla”, o bien: “Está lloviendo, pero el sol brilla”. Estas

oraciones compuestas contienen dos proposiciones que se afirman simultáneamente.

Usaremos “&” para representar esta relación.

Disyunción. Una proposición conjunta es verdadera, si y sólo si las dos proposiciones que la

componen son verdaderas. Pero algunas veces una proposición compuesta será verdadera,aun cuando uno de sus componentes sea falso o posiblemente falso. Así, si decimos: “Jorge

está en su cuarto o en la sala”, la oración sería verdadera si está en cualquiera de los dos

lugares. Usaremos “v” para indicar la relación disyuntiva, que quiere decir “esto o esto, o

ambos”. Por supuesto, Jorge no puede estar a la vez en su cuarto y en la sala. Pero uno podría

decir, por ejemplo, “Esta tarde iré a la biblioteca, o estudiaré en la casa, o tal vez ambas

cosas”. Seguramente me alcanzaría la tarde para hacer ambas cosas, si me lo propusiera.

Condicional . Éste es el más raro de los operadores lógicos, porque se pude usar en enunciadosque parece que no tienen relación uno con otro. Vale decir que en lógica proposicional lo



único que cuenta es la relación sintáctica, con lo cual es válido formar un enunciado como “si

la luna es de queso, hoy es jueves”. El símbolo del condicional es >, y se lee: “si... entonces”.

Condición suficiente y condición necesaria. Se dice que un evento A es condición

suficiente para un evento B cuando todo lo que se requiere para que ocurra B es A. Por

ejemplo, tener catarro es suficiente para sentirse mal; si tengo catarro, me siento mal.

Puede que otras cosas me hagan sentir mal, también —tener indigestión, haber dormido

poco—, pero basta con tener catarro para que me sienta mal. Por otra parte, se dice que

un evento A es condición necesaria para un evento B cuando B no puede ocurrir a

menos que ocurra A. Así, el aire es una condición necesaria para la vida; por eso digo: “si

vivo, tengo aire para respirar”. Puede que necesite otras cosas para vivir, pero el aire es

necesario, no puedo vivir sin aire; si no tengo aire para respirar, me muero). Note que:

o Cuando la proposición condicional tiene la forma típica “si... entonces”, el primer

elemento —el que va después del “si”— es la condición suficiente, y el segundo

elemento —el que va después de “entonces”— es la condición necesaria.

o No se pude cambiar indiscriminadamente el orden de los elementos en una

proposición condicional. Así, no es lo mismo decir “si tengo catarro, me sientomal”, que “si me siento mal, tengo catarro”, pues pueden existir otras cosas que

me hagan sentir mal, no sólo el catarro. Pero sí puedo decir “me siento mal si

tengo catarro”. Lo que va después del “si...” es la condición suficiente, aunque se

cambie el orden.

o Por otra parte, si digo “si estudio, gano el examen”, estoy estableciendo, aunque

sea equivocadamente, que estudiar es condición suficiente para ganar el examen.

El evento A (la condición suficiente) es todo lo que se necesita (ingenuo de mí)para que ocurra el evento B (ganar el examen). En este caso, estudiar no es, en

realidad, condición suficiente para ganar el examen; hacen falta otras cosas: hacer

el examen, llegar puntualmente, no estar nervioso, haber dormido bien, etc. Lo

que puedo decir, en todo caso, es que estudiar es condición necesaria para ganar

el examen. De manera que sería mejor decir: “si ganó el examen, es porque — al

menos— estudió” (suponiendo que sea un individuo honrado, claro!). En este

caso, estudiar es condición necesaria para que ocurra el evento A: ganar el

examen. ¿Cómo cambiar el orden? De esta manera: la proposición anterior es

equivalente a la siguiente: “si no estudia, no gana el examen”. Note las

negaciones. Para cambiar el orden de los elementos en una proposición

condicional, necesito introducir negaciones. Así, si antes decía: “si vivo, tengo



aire”, puedo también decir: “si no tengo aire, no vivo”. O bien, “si tengo catarro,

me siento mal”, es equivalente a “si no me siento mal, no tengo catarro”. Más

adelante veremos que P > Q = ~Q > ~P.

Bicondicionalidad . Algunas veces queremos afirmar dos condicionales simultáneamente; es

decir, que algo es condición necesaria y suficiente de algo más. Podemos decir: “si vivo,

respiro, y si respiro, vivo”, lo que es equivalente a “vivo si y sólo si respiro”. El signo del

bicondicional es =.

Negación. La negación le da la vuelta a los valores de verdad de una proposición. Así, si P es V

o F, ~P será F o V.

Operador Función Sentido Traducción

& Conjunción y P & Q: “p y q”

v Disyunción o inclusivo P v Q: “p o q (o ambos)”

> Condicional si, entonces P>Q: “si p, q”

= Bicondicional si y sólo si P = Q: “p si y sólo si q”

~ Negación no ~P: “no P”

Se usan, además, paréntesis: (P>Q) v R, (P & Q)>(S v T).

Note, además, que se acostumbra usar letras mayúsculas para representar las proposiciones

atómicas.



Lección 6

Tablas de verdad

Conjunción, disyunción, condicional, bicondicional, negación

La lógica proposicional es un intento de simbolizar automáticamente nuestro lenguaje

proposicional ordinario. Como se dijo antes, no trata de profundizar en la lógica interna de las

proposiciones. Tampoco puede hacerse cargo de todo tipo de expresiones. Se limita a

enunciados que son verdaderos o falsos. Pero para este tipo de enunciados proporciona una

forma de simbolizarlos completamente, usando variables (letras mayúsculas) y constantes (los

símbolos de los operadores lógicos). Ya vimos las constantes. Ahora las definiremos con más

precisión haciendo uso de las tablas de verdad.

Una tabla de verdad es un mecanismo diseñado para especificar todos los posibles valores de

verdad de una proposición atómica o compuesta. La tabla de verdad de una proposición

atómica es muy sencilla, pues sólo puede ser verdadera o falsa:

S = El sol brilla

S

__

v

f

La tabla de verdad para una proposición compuesta, como veremos, puede ser muy compleja,

puede contener muchas columnas y filas. La fórmula para determinar el número de filas de

una tabla de verdad es la siguiente: 2 n , donde n es el número de variables de una proposición.

Así, para una proposición que conste de dos variables, P y Q, el número de filas será de 2 a la

2= 4:



P Q

________

v v

v f

f v

f f

Si queremos hacer una tabla de verdad para la proposición compuesta P&Q, agregamos una

columna:

P Q P&Q

________________

v v v

v f f

f v f

f f f

Hemos dado todos los posibles valores de verdad para las proposiciones atómicas, así comopara la proposición compuesta. Ahí decimos que para las cuatro situaciones posibles que

involucren P y Q, P&Q será verdadera solamente en la primera situación, y falsa en las demás.

La proposición compuesta es verdadera si y sólo si, ambas proposiciones atómicas son

verdaderas. Con otras palabras, si cualquiera de las proposiciones atómicas es falsa, la

proposición compuesta de ambas también es falsa.

Disyunción.



La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

P Q P v Q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Note que el uso inclusivo de “o” que ejemplifica la anterior tabla de verdad no coincide

siempre con el lenguaje ordinario. Existe un “o exclusivo”, como cuando decimos “tómese la

pastilla después de almuerzo o después de cena”: una de dos, pero no ambas.

Condicional

La tabla de verdad del condicional no es fácil de comprender, porque no coincide del todo con

el lenguaje ordinario. La tabla de verdad es la siguiente:

P Q P > Q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

El caso que presenta más objeciones es el de la tercera fila. Veamos un ejemplo:

“Si Gaby está en la playa, está nadando”



Supongamos que no está en la playa (es decir, P = 0). ¿Es cierto que si Gaby está en la playa

está nadando? Si estuviera… Lo que nos dice el enunciado compuesto es “si estuviera, estaría

nadando”. Por lo tanto, es verdadero.

¿Y si ni está en la playa ni está nadando? Lo mismo: si estuviera, estaría…

Desde luego, si está en la playa pero no está nadando (el caso de la segunda fila), se incumple

nuestra condición suficiente, que dice que para que Gaby esté nadando es suficiente con que

esté en la playa. Es decir, “si Gaby está en la playa, está nadando”; pero Gaby no está nadando,

por no tanto no es cierto el conjunto.

Bicondicional

P Q P = Q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Un ejemplo: “las luces están encendidas si y sólo si Juan está en la casa”. Si falla cualquiera de

las dos condiciones, el bicondicional no es verdadero. ¿Qué pasa si las dos son falsas? Sigue

siendo verdadera, pues dice algo así como “si las luces estuvieran encendidas, querría decir

que Juan está en casa”.

Negación

Sólo se aplica a una proposición:



P ~P

1 0

0 1



Lección 7

Prueba de la validez por tablas de verdad

Hasta aquí hemos usado tablas de verdad para definir los operadores lógicos. Estas también se

pueden usar para probar la validez de los argumentos.

Recuerde que un argumento válido es aquel en el que si las premisas son verdaderas, laconclusión debe ser verdadera. Estas relaciones se pueden ver fácilmente en una tabla de

verdad, porque esta muestra todas las posibilidades. Así, si se da una o más situaciones en las

que tengamos premisas verdaderas y conclusión falsa, esa forma será inválida, pues no

preserva la verdad de las premisas.

Digamos que tenemos un argumento como el siguiente:

Si Juan y María van a la playa, lloverá.

Juan y María no van a la playa.

Por lo tanto, no lloverá.

Traducido a símbolos:

( J & M) > L

~ (J & M)

___________

~ L



La tabla de verdad correspondiente:

Premisa 1 Premisa 2 Conclusión

J M L (J&M)>L ~(J&M) ~L

1) 1 1 1

2) 1 1 0

3) 1 0 1

4) 1 0 0

5) 0 1 1 6) 0 1 0

7) 0 0 1

8) 0 0 0

Hagamos las premisas:


J M L (J&M)>L ~(J&M) ~L

1) 1 1 1 1 1 1 1

2) 1 1 0 1 0 1 0

3) 1 0 1 0 1 0 1

4) 1 0 0 0 0 0 0

5) 0 1 1 0 1 0 1 6) 0 1 0 0 0 0 0

7) 0 0 1 0 1 0 1

8) 0 0 0 0 0 0 0

Complentando:




J M L (J&M)>L ~(J&M) ~L

1) 1 1 1 1 0 0

2) 1 1 0 0 0 1

3) 1 0 1 1 1 0 4) 1 0 0 1 1 1

5) 0 1 1 1 1 0

6) 0 1 0 1 1 1

7) 0 0 1 1 1 0

8) 0 0 0 1 1 1

Hagamos ahora lo siguiente:

1. Marquemos todas las filas con premisas verdaderas (1)

2. Marquemos con un cheque las que tienen premisas verdaderas y conclusión

verdadera

3. Marquemos con una X las que tienen premisas verdaderas y conclusión falsa

4. Escribamos “válida” si la tabla tiene sólo cheques, e “inválida” si tiene al menos

una X


J M L (J&M)>L ~(J&M) ~L

1) 1 1 1 1 0 0

2) 1 1 0 0 0 1

3) 1 0 1 1 1 0 x

4) 1 0 0 1 1 1 ☺

5) 0 1 1 1 1 0 x

6) 0 1 0 1 1 1 ☺

7) 0 0 1 1 1 0 x

8) 0 0 0 1 1 1 ☺



Recuerde: argumentos válidos son los que tienen premisas verdaderas y conclusión verdadera;

inválidos los que presentan al menos un caso en el que las premisas son verdaderas pero la

conclusión es falsa.



Lección 8

Tabla de verdad abreviada

Las tablas de verdad pueden ser engorrosas. Afortunadamente, existe un método que no

requiere que hagamos toda la tabla.

Recordemos el método del contrajemplo. Se basa en la idea de que un silogismo válido nopuede tener premisas verdaderas y conclusión falsa. Esto es verdadero para cualquier

argumento deductivo. De esa forma, si podemos asignar a un argumento valores de verdad

que den como resultado premisas verdaderas y conclusión falsa, sabremos que la forma es

inválida (habremos encontrado un contraejemplo). Veamos:

1. Ponemos el argumento en forma lineal:

A v B B > C A C

2. Asignamos 1 a las premisas y 0 a la conclusión. Ponemos los valores de verdad arriba de las

premisas y la conclusión:

1 1 1 0

A v B B > C A C

3. Test: ¿Cuáles serán los valores de verdad de las proposiciones atómicas? Dado el supuesto

de que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, sabemos que C tiene que ser 0 y A 1



1 1 1 0

A v B B > C A C

1 0

4. Si C es 0, para ser consistente, debemos poner 0 bajo la C de la segunda premisa. Pero esto

quiere decir que B debe ser 0 también, porque si B fuera 1 y C fuera 0, el condicional sería 0.

Así que ponemos dos 0 bajo la segunda premisa:

1 1 1 0

A v B B > C A C

0 0 1 0

5. Sabemos los valores de A y B (debemos ser consistentes). Los ponemos y de esta forma

completamos la tabla:

1 1 1 0

A v B B > C A C

1 0 0 0 1 0

6. Hemos mostrado que hay una forma de tener premisas verdaderas y conclusión falsa, y que

por lo tanto el argumento es inválido. Note que esa línea de arriba sería sólo una línea de la

tabla de verdad completa, de 8 filas.

Hagamos la tabla de verdad abreviada para el argumento siguiente:



Si el determinismo es verdadero, no somos libres

Pero somos libres

Por lo tanto, el determinismo no es verdadero.

D > ~L, L / : ~D

Supongamos 1 1 0

D > ~L L ~D 1 0 1 0

Pero 0 1 0

No podemos sacar una conclusión falsa de premisas verdaderas (la fila de arriba), por lo tanto

la forma es válida.



Lección 9

Lógica proposicional: reglas de derivación

Las tablas de verdad son necesarias para probar la validez de las formas de argumentación.

Pero una vez que hemos identificado un número limitado de formas, no necesitamos

demostrar su validez. Existe una variedad de métodos que podemos usar para trabajar con

argumentos complejos. Uno de ellos es la derivación. Aunque es sencillo y parece mostrar con

exactitud el proceso de razonamiento, también tiene sus desventajas. Por su misma naturaleza

como método para derivar conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas, no

podemos confiar del todo en él para sabe cuándo un argumento es válido. De manera que, por

ahora, todavía necesitaremos tablas de verdad abreviadas para mostrar la invalidez. Más aun,

un sistema de derivación tiene como veinte o más reglas. (El que usaremos aquí tiene ocho

reglas de inferencia y once reglas de reemplazo.) De manera que se requiere de cierta

memorización.

En esta lección presentaremos y explicaremos las reglas de inferencia y luego las usaremos

para derivar una conclusión. En la siguiente sección consideraremos las reglas de reemplazo.

Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia constituyen algunas de las formas argumentativas válidas, muchas de

las cuales las podemos encontrar no sólo en lógica proposicional, sino también en otras

lógicas, tales como la lógica de predicados y la lógica modal. Dado que estas ocho reglas son

fundamentales, se espera que el estudiante las memorice:

1. Modus Ponens (MP): de P > Q, y P, se deduce Q

También conocida como la regla de la afirmación del antecedente, o eliminación del

implicador (>E). Un ejemplo:



Si el sol brilla, María está en la playa.

El sol brilla.

Por lo tanto, María está en la playa.

2. Modus Tollens (MT): de P > Q, y ~Q, se infiere ~P

También conocido como negación del consecuente. Ejemplo:

Si el sol brilla, María está en la playa.

María no está en la playa.

Luego, el sol no brilla.

3. Silogismo Hipotético (SH): de P > Q y Q > R, deducimos P > R.

También se conoce como razonamiento en cadena. Pueden ser más de dos premisas.

Si el sol brilla, María está en la playa

Si María está en la playa, está nadando.

Si está nadando, estará cansada esta noche.

Por lo tanto, si el sol brilla, María estará cansada esta noche.

4. Silogismo Disyuntivo (SD): de P v Q, y ~P, deducimos que Q.

El sol brilla o está lloviendo



El sol no brilla.

Por lo tanto está lloviendo.

Nótese que ~P puede ser también ~Q. No confundirlo con el Modus Tollens.

5. Conjunción (Conj): de P y Q, deducimos P&Q

Lo que se dice con esta regla es que si dos proposiciones independientes son verdaderas, la

proposición conjunta también será verdadera.

El sol brilla

Está lloviendo

Por lo tanto, el sol brilla y está lloviendo.

6. Simplificación (Simp): De P y Q deducimos P (o Q)

Si un enunciado conjunto es verdadero, cada una de sus proposiciones atómicas tiene que ser

verdadera.

Está lloviendo y el sol brilla

Por lo tanto, está lloviendo

7. Adición (Ad). De P inferimos P v Q



Si una proposición es verdadera, un enunciado disyuntivo que contenga cualquier otra

proposición es verdadera, independientemente del valor de verdad de la otra proposición (la

añadida), puesto que un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos uno de sus

disyuntos lo es. De manera que si sabemos que P es verdadera, P v Q, P v R, P v S… lo será

también.

Está lloviendo

Por lo tanto, está lloviendo o la luna es de queso.

8. Dilema constructivo (DC): de (P > Q) & (R > S) y (P v R) inferimos (Q v S)

Veamos:

Si Juan se va a Alaska, se congelará en invierno.

Si se va a Miami, se asará en verano.

Juan se va a Alaska o a Miami.

Por lo tanto, se congelará en invierno o se asará en verano.

Ejemplo de derivación

A B

B C

~C

A D



D

Primero, numeramos las premisas y ponemos la conclusión al lado de la última, separada por

una barra y triángulo:

1. A B

2. B C3. ~C

4. A D / D

Luego, suponemos que las premisas son verdaderas y las usamos junto con cualquiera de las

ocho reglas de inferencia para llegar a la conclusión:

1. A B

2. B C3. ~C

4. A D / D

5. A C 1,2 por SH6. ~A 5,3 por MT7. D 4,6 por SD

Otro ejemplo:

1. F G

2. D E

3. E ~F

4. D / G

Líneas Regla

5. D ~F 2,3 SH

6. ~F 4,5 MP

7. G 1,6 SD

proposiciones categóricas son afirmaciones acerca de categorías o clases

Documents