Propiedades de Señales y RuidoClasificación de Señales Eléctricas, Ruido,Propiedades básicas de señales (DC, RMS, dBm y potencia),Relación Señal-Ruido y Fasores

Propiedades de Señales y Ruido

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En los sistemas de comunicación, la forma de onda recibida es usualmente dividida en parte deseada que contiene la información o señal, y en la parte residual o indeseada, llamada ruido.

La forma de onda de interés puede ser el voltaje como una función del tiempo, v(t), o la corriente como una función del tiempo, i(t). Las mismas técnicas matemáticas pueden utilizarse cuando se trabaja con cualquiera de estos tipos de forma de onda. Por lo tanto, como enfoque general, las formas de onda se representarán por medio de w(t) cuando el análisis se aplique a cualesquier caso.

Formas de onda físicamente realizables

Las formas de onda prácticas que son físicamente realizables (es decir, medibles en un laboratorio) satisfacen varias condiciones:

1. La forma de onda tiene valores significativos diferentes a cero sobre un intervalo compuesto de tiempo finito.

La primera condición es necesaria debido a que los sistemas (y sus formas de onda) parecen existir por una cantidad finita de tiempo; las señales físicas también producen una cantidad finita de energía.

2. El espectro de la forma de onda tiene valores significativos sobre un intervalo compuesto de frecuencia finito.

La segunda se requiere debido a que cualquier medio de transmisión, ya sean cables, cables coaxiales, guías de onda o cable de fibra óptica, tienen un ancho de banda restringido.

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3. La forma de onda es una función continua en el tiempo.La tercera condición es una consecuencia de la segunda y se hará más clara con la ayuda del análisis espectral.

4. La forma de onda tiene un valor pico finito.La cuarta es menester porque los dispositivos físicos se destruyen si está presente un valor infinito de voltaje o de corriente dentro del dispositivo.

5. La forma de onda sólo tiene valores reales. Esto es, en cualquier momento no puede tener un valor complejo de a + jb, donde b es diferente de cero.

La quinta condición resulta del hecho de que sólo las formas de onda reales pueden observarse en el mundo real a pesar de que las propiedades de una forma de onda, como los espectros, pueden ser complejos.

Los modelos matemáticos que no cumplen alguna o todas las condiciones mencionadas se utilizan por una razón principal: simplificar el análisis matemático. Sin embargo, si se es cuidadoso con el modelo matemático, puede obtenerse el resultado correcto cuando se interpreta la respuesta adecuadamente. Por ejemplo, considere que la forma de onda digital mostrada en la figura 2-1 presenta discontinuidades durante los tiempos de conmutación. Esta situación no cumple la tercera condición, aquella sobre la necesidad de que la forma de onda física sea continua. La forma de onda física tiene una duración finita (decae a cero antes de t = ±∞), pero la duración de la forma de onda matemática se extiende hasta el infinito.

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En otras palabras, el modelo matemático asume que la forma de onda física ha existido en su condición de estado estable durante todo el tiempo. El análisis espectral del modelo aproximará los resultados correctos, excepto para los componentes con frecuencias extremadamente altas. La potencia promedio que se calcula del modelo resultará en el valor correcto para la potencia promedio de la señal física que se medirá durante un intervalo de tiempo adecuado. La energía total de la señal del modelo matemático será infinita porque se extiende a un tiempo infinito, mientras que la de la señal física será finita. Por consiguiente, el modelo no generará el valor correcto para la energía total de la señal física sin utilizar alguna información adicional. Sin embargo, el modelo puede utilizarse para calcular la energía de la señal física durante un intervalo de tiempo finito. Se dice que el modelo matemático es una señal de potencia debido a que tiene la propiedad de potencia finita (y energía infinita), mientras que la forma de onda física es una señal de energía debido a que tiene energía finita.

Todas las señales físicas son señales de energía, aunque a menudo se utilizan modelos matemáticos de señales de potencia para simplificar el análisis. En resumen, las formas de onda se clasifican como señales o ruido, digitales o analógicas, determinísticas o no determinísticas, físicamente realizables o físicamente no realizables y pertenecientes a dos tipos: de potencia o de energía.

Operador de Promedio de Tiempo

Algunas características útiles de las formas de onda son el valor de “corriente” directa (DC), la potencia promedio y el valor cuadrático medio (RMS). Antes de repasar dichos conceptos, debe definirse el operador de promedio de tiempo.

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Operador de Promedio de Tiempo

Algunas características útiles de las formas de onda son el valor de “corriente” directa (DC), la potencia promedio y el valor cuadrático medio (RMS). Antes de repasar dichos conceptos, debe definirse el operador de promedio de tiempo.

Definición: El operador de promedio de tiempo está dado por:

Puede observarse que este operador es lineal debido a que, a partir de la ecuación (2-1), el promedio de la suma de dos cantidades es igual a la suma de sus promedios:

La ecuación (2-1) puede reducirse a una forma más simple dada por la ecuación (2-4) si el operador trabaja en una forma de onda periódica.

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Definición: Una forma de onda w(t) es periódica con un periodo de T0 si

para toda t. Si el periodo T0 es el número positivo más pequeño que satisface esta relación éste es llamado periodo fundamental.

Por ejemplo, una forma de onda senoidal con frecuencia f0 = 1/ T0 hertz es periódica, debido a que satisface la ecuación (2-3). A partir de esta definición se hace claro que una forma de onda periódica tendrá valores significativos sobre un intervalo de tiempo infinito (- ∞, ∞). Por consecuencia, las formas de onda físicas no pueden ser realmente periódicas pero sí contar con valores periódicos sobre un intervalo de tiempo finito. Esto es, la ecuación (2-3) puede satisfacerse para t sobre algún intervalo finito, pero no para todos los valores de t.

Teorema: Si la forma de onda involucrada es periódica, el operador de promedio de tiempo puede reducirse a

donde T0 es el periodo de la forma de onda y una constante real arbitraria, la cual puede llevarse a cero.

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La ecuación (2-4) resulta justamente de la ecuación (2-1), ya que con referencia a ésta, las integrales sobre intervalos de tiempo sucesivos de T0 segundos de anchura tendrán áreas idénticas, debido a que la forma de la onda es periódica con un periodo de T0. Conforme estas integrales se suman, tanto el área total como T son proporcionalmente más grandes, lo que resulta en un valor para el promedio de tiempo igual al generado por la integración sobre un periodo y dividiéndolo por el ancho de tal intervalo, T0.

En resumen, la ecuación (2-1) puede utilizarse para calcular el promedio de tiempo de cualquier tipo de forma de onda, aun cuando ésta sea o no periódica. La ecuación (2-4) es válida sólo para formas de onda periódicas.

Valor DC

Definición: El valor de DC (“corriente” directa) de una forma de onda w(t) está dado por su promedio de tiempo, <w(t)>. Por lo tanto,

Para cualquier forma de onda física lo importante es la evaluación del valor de DC sólo sobre un intervalofinito de interés, por decir, de t1 a t2, tal que el valor de DC sea

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Sin embargo, si se utiliza un modelo matemático con una forma de onda de estado estable de magnitud infinita se obtendrá el resultado correcto utilizando nuestra definición, la ecuación (2-5), lo cual involucra un límite de T → ∞.

Potencia

En los sistemas de comunicación, si la potencia (promedio) de señal recibida es suficientemente grande en comparación a la del ruido, entonces la información podrá recuperarse. Este concepto se demostró mediante la fórmula de capacidad de canal de Shannon, ecuación (1-10). Por consiguiente, la potencia promedio es un concepto importante que requiere comprensión. Gracias a la física se conoce que la potencia está definida como trabajo por unidad de tiempo; el voltaje es trabajo por unidad de carga y la corriente es carga por unidad de tiempo. Esta es la base para la definición de potencia en términos de cantidades eléctricas.

Definición: Suponga que v(t) denote el voltaje a través de un conjunto de terminales de circuito, y que i(t) represente la corriente a la terminal, como la figura 2-2 lo muestra. La potencia instantánea (trabajo incremental dividido por el tiempo incremental) asociado con el circuito está dada por

donde la potencia instantánea fluye dentro del circuito cuando p(t) es positiva y fluye fuera del circuito cuando p(t) es negativa. La potencia promedio es

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5 Pueden construirse circuitos con dos lámparas fluorescentes con la ayuda de una balastra con un factor alto de potencia que suministra un factor de potencia total mayor a 90% [Fink y Beaty, 1978].

Ver más sobre factor de potencia

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En la ecuación (2-9) se utilizó la identidad trigonométrica

Asumiendo, en el ejemplo, que A = B = ω0t. Es decir,

P(t) = VI cos2 ω0 t = VI cos2 ω0 t = (VI) ½{ cos 2 ω0 t + cos 0} = ½ VI {1 + cos 2 ω0 t}

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Valor RMS y Potencia Normalizada

Definición: El valor cuadrático medio (RMS) de w(t) es

Teorema: Si una carga es resistiva (es decir, con un factor de potencia unitario), la potencia promedio es

donde R es el valor de la carga resistiva.

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El concepto de potencia normalizada a menudo es utilizado por los ingenieros en comunicaciones. En él, se asume que R tiene un valor de 1 Ω, aun cuando puede asumir otro en el circuito real. Otra manera de expresar este concepto es decir que la potencia está dada con base en ohm por ohm. En los cálculos de la relación de señal de potencia a ruido, R se cancelará automáticamente, de tal manera que los valores normalizados de potencia se utilizarán para obtener la relación correcta. Si se requiere del valor exacto de potencia, por ejemplo, al final de un largo conjunto de cálculos, siempre puede obtenerse mediante la “denormalización” del valor normalizado. A partir de la ecuación (2-12) se descubre también que la raíz cuadrada de la potencia normalizada es igual al valor RMS.

Definición: La potencia promedio normalizada es

donde w(t) representa una forma de onda real de voltaje o de corriente.

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Formas de Onda de Energía y de Potencia

Definición: w(t) es una forma de onda de potencia si y sólo si la potencia promedio normalizada P es finita y diferente de cero (es decir, 0 < P < ∞ ).

Definición: La energía total normalizada es

Definición: w(t) es una forma de onda de energía si y sólo si la energía total normalizada es finita y diferente de cero (es decir, 0 < E < ∞ ).

Si una forma de onda se clasifica en uno de estos tipos no puede ser del otro tipo. Es decir, si w(t) tiene una energía finita, la potencia promediada sobre un tiempo infinito es cero y si la potencia (promediada sobre un tiempo infinito) es finita, entonces la energía es infinita. Aún más, hay funciones matemáticas que poseen tanto energía como potencia infinitas y, por consecuencia, no pueden clasificarse en ninguna de estas dos categorías. Un ejemplo es cuando w(t) = e-t (ver comprobación). Las formas de onda físicamente realizables son del tipo de energía, pero a menudo se modelan a través de formas de onda de infinita duración del tipo de potencia. Los instrumentos de laboratorio que miden cantidades promedio, como el valor de DC, el RMS y la potencia promedio, calculan un promedio sobre un intervalo de tiempo finito. Esto es, T en la ecuación (2-1) se mantiene finita en lugar de aproximarse a un número grande. Por lo tanto, pueden obtenerse cantidades promedio de potencia diferentes de cero para señales (físicas) de energía.

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Decibel

El decibel es una medida logarítmica de base 10 para relaciones o razones de potencia. Por ejemplo, la razón del nivel de potencia a la salida de un circuito en comparación con aquél a la entrada del mismo, a menudo se especifica a través de una ganancia en decibeles en lugar de una razón real.

Definición: La ganancia en decibeles de un circuito es

Esta definición resulta en un número que indica el valor relativo de la potencia de salida con respecto a la potencia de entrada, pero no indica la magnitud real de los niveles de potencia involucrados. Si se presentan cargas resistivas, entonces la ecuación (2-12) puede utilizarse y reduce la ecuación (2-15) a

Ver más sobre el decibel.

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Note que se obtiene el mismo valor para los decibeles sin importar si se utilizó potencia, voltaje o corriente [ecuación (2-15), ecuación (2-16) o ecuación (2-17)] para obtener dicho valor. Esto es, los decibeles están definidos en términos del logaritmo de una razón de potencia pero también pueden calcularse de una razón de voltaje o de corriente. Si se utilizan potencias normalizadas, entonces

Esta ecuación no resulta en el valor verdadero para los decibeles, a menos que Rentrada = Rcarga , sin embargo es una práctica común en ingeniería el uso de la ecuación (2-18) aún y cuando Rentrada ≠ Rcarga y aún más si el número obtenido no es estrictamente correcto. Los ingenieros entienden que si se requiere el valor correcto, éste puede calcularse a partir del seudovalor si Rentrada y Rcarga son conocidas.

Si se conoce el valor en dB, entonces se pueden obtener fácilmente la razón de potencia o la razón de voltaje si se invierten las ecuaciones apropiadas aquí presentadas. Por ejemplo, si se desea la razón de potencia, entonces la ecuación (2-15) puede invertirse para obtener

La medida en decibeles puede también emplearse para expresar una medida de la razón o relación de potencia de señal a potencia del ruido, medida en algún punto de un circuito.

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Definición: La relación en decibels de señal a ruido es

Nota: Esta definición involucra la relación de la potencia promedio de señal con la potencia promedio del ruido. Una definición alterna también útil para algunas aplicaciones incluye la relación de potencia de señal pico con la potencia promedio del ruido.

La potencia de señal es y la potencia de ruido es , por lo tanto, esta definición es equivalente a

La medida en decibeles puede también utilizarse para indicar niveles absolutos de potencia con respecto a algún nivel de referencia.

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Definición: El nivel de potencia en decibeles con respecto a 1 mW es

donde la “m” en dBm denota una referencia en miliwatts. Los generadores de señales RF de laboratorio a menudo están calibrados en términos de dBm.

Se emplean también otras medidas en decibeles de niveles absolutos de potencia. Cuando se utiliza un nivel de referencia de 1 W, el nivel en decibeles está representado por dBW; cuando se usa un nivel de referencia de 1 kW, el nivel en decibeles está denotado por dBk. Por ejemplo, una potencia de 5 W puede especificarse como +36.99 dBm, 6.99 dBW o -23.0 dBk. La industria de telefonía ocupa una medida en decibeles con un nivel “de ruido de referencia” de 1 picowatt (10-12). Esta medida en decibeles está representada por dBrn. Un nivel de 0 dBrn corresponde a -90 dBm. La industria de televisión por cable (CATV) emplea un nivel de RMS de 1 milivolt a través de una carga de 75 Ω como referencia. Esta medida en decibeles se denota con dBmV, y está definida como

donde 0 dBmV corresponde a –48.75 dBm.

Debe enfatizarse que la expresión general para la evaluación de potencia está dada por la ecuación (2-7), misma que puede emplearse para la evaluación de la potencia promedio para cualquier tipo de forma de onda y condición de carga, mientras que la ecuación (2-12) sólo es útil para cargas resistivas. Otros textos, especialmente en el área de potencia, presentan ecuaciones que sólo son válidas para formas de onda senoidales.

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Fasores

Las señales senoidales de prueba ocurren con tanta frecuencia en problemas de ingeniería eléctrica que a menudo se utiliza una nomenclatura abreviada llamada notación de fasor.

Definición: Se dice que un número complejo c es un fasor si representa una forma de onda senoidal. Es decir,

Se hará referencia a como el fasor en rotación, a diferencia del fasor c. Cuando se emplea c como representación de una forma de onda, se entiende que la forma de onda real que aparece en el circuito es una senoide, como lo especifica la ecuación (2-24). Debido a que el fasor es un número complejo, éste puede escribirse en forma cartesiana (o rectangular) o polar; es decir,

donde x y y son números reales a lo largo de coordenadas cartesianas y son la magnitud (longitud) y el ángulo (números reales) en el sistema de coordenadas polares. La nomenclatura abreviada para la forma polar al lado derecho de la ecuación (2-25) es .

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Ejemplo: una señal es igual a ya que se sabe que , por lo tanto se puede representar por el fasor .

Note que .

De la misma manera, puede denotarse por el fasor

Algunos autores emplean definiciones ligeramente diferentes para el fasor. Por ejemplo, w(t) puede expresarse en términos de la parte imaginaria de una cantidad compleja en lugar de la parte real, como está definida en la ecuación (2-24). Además, el fasor puede denotar el RMS de w(t), en lugar del valor pico [Kaufman y Seidman, 1979]. En este caso, 10 sen(t + 45°) deberá denotarse con el fasor .

El 7.07 resulta de dividir el valor pico 10 entre la raíz de 2. Recuerde que si w(t) es una señal senoidal, el valor RMS Wrms de w(t) es igual a

Wrms = w(t) /

A lo largo de este curso se utilizará la definición dada por la ecuación (2-24).

Nota: Los fasores pueden representar sólo formas de onda senoidales.

Ver más sobre fasores: referencia 1, referencia 2.