• Es la parte de las Matemáticas que Es la parte de las Matemáticas que estudia los números enteros y sus estudia los números enteros y sus propiedadespropiedades

¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS?¿QUÉ ES LA TEORÍA DE LOS NÚMEROS?

Matemática Antigua

Matemática Actual

Figuras

Números

Geometría

Teoría de los

Números

“La Matemática es la reina de las ciencias y la Teoría de los Números es la reina de las Matemáticas”

Gauss, 1801Gauss, 1801

20042004

BiólogosBiólogos QuímicosQuímicos FísicosFísicos MatemáticoMatemáticoss

¡No!¡No! ¡No!¡No!¡No!¡No! ¡No!¡No!

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN

Aquél divisible sólo por él mismo y por 1

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...

?? ¿Qué es un número primo?¿Qué es un número primo?

EUCLIDES (c.300 a.d.C.): Infinitos“Más que cualquier cantidad de primos dada”.

?? ¿Cuántos números primos hay?¿Cuántos números primos hay?

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN

?? ¿Cuántos números primos hay?¿Cuántos números primos hay?

?? ¿En qué proporción?¿En qué proporción?

CHEBYSHEV (1848): A la larga, la proporción se hace tan pequeña como se quiera pero decrece menos rápidamente que K/log x .

EULER (1737): La infinitud se puede demostrar utilizando series infinitas. Hay más primos que cuadrados.

NÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓNNÚMEROS PRIMOS Y SU DISTRIBUCIÓN

?? ¿Se puede aproximar bien la ¿Se puede aproximar bien la proporción con funciones proporción con funciones “normales”?“normales”?

10 cifras 40 cifras 70 cifras100 cifras

< uno de cada 20< uno de cada 90< uno de cada 160< uno de cada 230

Hadamard, de la Vallée-Poussin (Riemann): Proporción de primos menores que N ~

cifras de nº302'2

1~

log

1~

log

1

2 Nt

dt

N

N

(s)= producto sobre sus ceros (nº complejos)

Función con primos = fórmula complicada con

c=Re(cero más a la derecha)

0 11/2 c

Prueba “buena”Prueba “buena”Función rara= fórmula complicada con primos

)log(log

)(2

NNOx

dxN c

N

1

1

)1()(

p

s

n

s pns

Riemann

}primos{#)( NN

Cx

xx

)(

NN

dxxx

xx

x

xx

x

dxN

22

2

...log

)(

log

)(

log)(

-2-4

MINI GUÍA DE LA FUNCIÓN

1

Ceros en cautividad

(no son peligrosos)

!

Carril exclusivo para los próximos

109 ceros (RIEMANN)

Al infinito

No se admiten

ceros

1/2

)log()log(log

)(2

NNONNOx

dxN c

N

Hipótesis de Riemann (1859):Hipótesis de Riemann (1859): Todos los cerosTodos los ceros

no triviales de la funciónno triviales de la función están en “fila india”.están en “fila india”.

N

x

dxN

2 log~)(Teorema de los números primosTeorema de los números primos

El error en el teorema de los númerosEl error en el teorema de los númerosprimos es lo menor posible (algo másprimos es lo menor posible (algo másque la raíz cuadrada de N). que la raíz cuadrada de N).

HRHR

“A los matemáticos les es habitual pretender que las ideas de que se ocupan son de naturaleza tan refinada y espiritual que no son dominio de la fantasía, sino que deben ser comprendidas por una visión pura e intelectual de la que sólo las facultades del alma son capaces.”

Hume, 1736Hume, 1736

EMPIRISMO: FILOSOFÍA “OFICIAL” DE LA CIENCIA

Hume: Las ideas son impresiones

debilitadas

Abstracción,Matemáticas

Realidad

Gracias a los números primos y sus propiedadesse pueden hacer conexiones seguras por canalesinseguros, acreditar identidades , etc.

No es propaganda. Las conexiones seguras en

internet funcionan así hoy (protocolos SSH, SSL,

firmas electrónicas) de manera cotidiana.

La mayoría de los matemáticos consideranque el valor estético de la teoría de números y de las Matemáticas en general, supera su hipotético valor utilitario.

Pero ...

¿Es posible transmitir públicamente ¿Es posible transmitir públicamente sin comprometer la seguridad?sin comprometer la seguridad?

¿Se puede jugar a las cartas por ¿Se puede jugar a las cartas por correo o por teléfono? correo o por teléfono? (I. Stewart)

A Bna lanca

...

¿Cómo construir “candados” con los ¿Cómo construir “candados” con los primos?primos?

Cosas fáciles (con Cosas fáciles (con ordenador):ordenador):· Multiplicar dos primos grandes· Calcular el resto r de ab al dividir por p

Cosas difíciles (incluso con ordenador):Cosas difíciles (incluso con ordenador):· Factorizar · Tomar “logaritmos”: hallar b a partir de a, r y p

· RSA (Rivest, Shamir, Adleman 1978)· Diffie-Hellman (1976)

La aritmética del relojLa aritmética del reloj

2=14=122 8=20=-4

Suma

11+4=3

Resta

2-3=-1=11

Multiplicación

7·7=1

División 2·algo=5, no existe 5/2.

Notación:

)12( ba Significa que a y b son la misma hora)( pba Lo mismo para un reloj con p (primo) números

La aritmética del reloj (primo)La aritmética del reloj (primo)

· En los relojes primos se puede dividir, salvo por 0.· Siempre hay horas “generadoras”: multiplicadas

por sí mismas dan todas las horas no nulas.

),5( 12 ),5( 32 ),5( 42 ),5( 22 4321

p=3

)3( 28 )5( 111

p=5

· (China, comienzos de nuestra era) 2·2· p veces·2son siempre las 2 en un reloj primo.

· (Fermat, siglo XVII) a · a · p veces· ason siempre las a en un reloj primo.

a

p=primo grande (cientos de cifras), g= generador

gb

ga

b

Clave=gab Clave=gab

x Cx Cx x

x= mensaje

(p)

Ana Blanca

¿ ga , gb gab ?

910

NÚMEROS + ANÁLISIS

¿Cómo contar con ondas?¿Cómo contar con ondas?¿Cuántos enteros hay entre 0’8 y 10’3?

1 32 10

....

.

ondas

enrollar

analizar

Método mejor

Ejemplo no trivial:

nnd de divisores de nº)(

N

n

NOCNNNnd1

315'0 )(log)(

ondas]}/,1[ intervalo elen {#)(1 1

N

n

N

a

aNbnd

abn

14423221 ,6 ?)(¿1

NndN

n

Tambor rectangular:

Tambor hiperbólico (no euclídeo):

Tambor circular, esférico:

Ondas de Maass (formas modulares)

Un muestrario de ondasUn muestrario de ondas

} ,{# 222222 Nbapdcba

pNp /)1(8~

Contar bien estudiar interferencias

Dos ideas:

· Con ondas de frecuencia n no se pueden apreciar objetos de tamaño menor que 1/n. (P. Incertidumbre)

· Estadísticamente, las ondas “independientes” no tienen resonancia.

Teorema de Vinogradov:

· Todo número impar suficientemente grande se puede escribir como suma de tres primos.

Np

pxS )2cos(

Tiene “resonancias” en y en otros valores, que podemos estudiar, e interferencias destructivas en el resto.

0x

Esta presentación está disponible en:

http://www.uam.es/fernando.chamizo