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Propagação e Radiação de Ondas Eletromagnéticas em

Ambientes Urbanos

Sérgio Daniel Dias Pereira

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes

Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Profa Maria Emília Morais da Fonseca e Silva da Costa Manso

Fevereiro 2014

II

(Página intencionalmente deixada em branco)

III

À memória de familiares

que partiram cedo demais

“Nada na vida é mais belo e fascinante que o mistério. É a fonte fundamental de toda

a verdadeira arte e ciência. Aquele a quem é estranho este sentimento, é como se

estivesse morto: os seus olhos estão fechados.”

(Albert Einstein)

IV


V

Agradecimentos

A entrega da Dissertação de Mestrado simboliza o fim de um longo e difícil capítulo na vida de

um estudante, repleto de altos e baixos, duvidas e incertezas, mas representa também uma importante

conquista e o começo de um novo capítulo. Estas linhas são a minha palavra de agradecimento às

pessoas que me acompanharam neste percurso e que deram um importante contributo para que fosse

possível levar o barco a bom porto.

Gostaria, em primeiro lugar, de expressar a minha profunda gratidão ao professor Dr. António

Luís Campos da Silva Topa pela confiança que depositou em mim ao ter aceitado orientar a minha

Dissertação de Mestrado. Gostaria ainda de manifestar o meu sentido agradecimento ao professor

António Topa, que na qualidade de orientador deste trabalho demonstrou sempre total simpatia,

paciência e disponibilidade para esclarecer as inúmeras dúvidas e problemas que surgiram na sua

realização. O seu contributo e disponibilidade foram fundamentais na realização deste trabalho e para

a minha formação académica.

Aos meus pais, Justina Pereira e Leonardo Pereira, a quem devo tudo o que sou, estiveram

sempre presentes e ajudaram-me a superar as maiores dificuldades que enfrentei. Estarei eternamente

agradecido por todo o amor, incansável dedicação e orientação que me deram em toda a minha vida,

e por toda a formação humana, educação, princípios, valores e sentido de responsabilidade que sempre

me transmitiram.

Aos meus tios, primos e avó Aurora também uma sentida palavra de agradecimento por todo o

carinho e incentivo que sempre me deram.

Ao meu amigo de sempre, Gonçalo Silva, que é como um irmão para mim e esteve sempre

presente nos momentos mais difíceis da minha vida.

Aos meus grandes amigos que tive o privilégio de conhecer no meu percurso académico, em

especial: Adélcio Rosa, Charles Maciel, Carlos Cheoo, Diogo Guerreiro, Elizângela Fernandes,

Guilherme Fernandes, Ivan St’Aubyn, Maria Taful, Ricardo Almeida e Sandro Neto. O meu muito

obrigado pela amizade, dedicação, sacrifício, camaradagem e espirito de união ao longo destes anos.

A minha profunda gratidão por tudo aquilo que me ensinaram, por todo o apoio e contributo que deram

para enfrentar as inúmeras batalhas que foram surgindo e por todos os momentos de convívio. Tudo o

que alcancei até hoje é graças a eles.

Por fim, dedico esta Dissertação à memória dos meus avós já falecidos, que nunca serão

esquecidos e que teriam certamente muito orgulho em presenciar o final deste importantíssimo capítulo

na minha vida.

VI


VII

Resumo

A área das comunicações móveis tem tido um grande crescimento nos últimos anos, e até à

data, a sua tecnologia encontra-se a ser difundida em todo o planeta a uma velocidade superior a

qualquer outro meio de comunicação. O ato de comunicar está no centro de todos os domínios da

atividade humana e para suportar o contínuo aumento do número de utilizadores deste serviço em todo

o mundo, os sistemas de comunicação móveis tornaram-se mais avançados e sofisticados.

Este trabalho consiste na investigação e análise de diversos temas relacionados com a

propagação de ondas eletromagnéticas em presença da terra e atmosfera. É realizado com base no

desenvolvimento de simulações em MATLAB®, que permitem uma melhor compreensão dos diferentes

fenómenos da radiopropagação em diversos ambientes.

As simulações abordam os seguintes temas: representação do campo elétrico com reflexão no

solo, representação do campo elétrico na vizinhança de obstáculos, traçado de raios numa atmosfera

estratificada horizontalmente, visualização dos efeitos de inversão do índice de refração na atmosfera

(miragens) e representação do campo elétrico em ambiente urbano no contexto das comunicações

móveis, segundo um modelo de propagação empírico e teórico.

Os modelos de propagação são indispensáveis para o desenvolvimento, projeção e análise de

novos sistemas de comunicação sem fios. São utilizados para prever os níveis de potência,

interferência e para analisar outras propriedades da ligação radio, com particular interesse em

ambientes urbanos, que são caracterizados por terem uma maior complexidade e elevada densidade

populacional.

Palavras-Chave

Radiopropagação; Radiação; Reflexão; Refração; Difração; Comunicações Móveis; Modelos de

Propagação;

VIII

Abstract

In the last years the mobile communications industry has been growing dramatically, and up to

this day, wireless communication technology is diffusing around the planet faster than any other

communication technology. Communication is at the heart of human activity in all domains and to

support the continuously increasing number of mobile telephone subscribers around the world, mobile

communication systems have become more advanced and sophisticated in their designs.

This work consists on the investigation and analysis of some aspects related to electromagnetic

wave propagation in presence of the earth and atmosphere. To accomplish that, MATLAB® simulations

are developed to allow a better comprehension of the different radio wave propagation phenomena that

occur in certain environments.

The simulations are based on the following features: representation of the electric field

interference pattern due to ground reflection, representation of the electric field close to obstacles, ray

tracing in a horizontally stratified atmosphere, visualization of the effects caused by the inversion of the

refraction index in an atmosphere (mirages), and evolution of the electric field in an urban environment

(mobile communications scenario), according to an empirical and theoretical propagation model.

Propagation models are indispensable in the design and analysis of new wireless communication

systems. They are used to predict power, interference levels and analyze other properties of the radio

link, with a special interest in urban environments, which are characterized by having a higher complexity

and population density.

Keywords

Radio wave propagation; Radiation; Reflection; Refraction; Diffraction; Mobile radio; Propagation

Models;

IX

Índice

Agradecimentos ...................................................................................................................................... V

Resumo .................................................................................................................................................. VII

Palavras-Chave ...................................................................................................................................... VII

Abstract ................................................................................................................................................ VIII

Keywords .............................................................................................................................................. VIII

Lista de Figuras ....................................................................................................................................... XI

Lista de Imagens ................................................................................................................................... XIV

Lista de Variáveis ................................................................................................................................... XV

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1

1.1. Enquadramento histórico ............................................................................................................. 1

1.2. Motivação e objetivos ................................................................................................................ 12

1.3. Estrutura da dissertação ............................................................................................................. 13

1.4. Contribuições principais ............................................................................................................. 15

2. RADIOPROPAGAÇÃO ........................................................................................................................ 17

2.1. Introdução .................................................................................................................................. 17

2.2. Propagação em espaço livre ....................................................................................................... 19

2.2.1. Potência transmitida entre duas antenas ........................................................................... 19

2.2.2. Intensidade do campo ......................................................................................................... 22

2.2.3. Equação do radar ................................................................................................................ 23

2.2.4. Dipolo linear de meia onda ................................................................................................. 24

2.3. Reflexão no solo ......................................................................................................................... 27

2.4. Simulações .................................................................................................................................. 31

3. DIFRAÇÃO CAUSADA POR OBSTÁCULOS ....................................................................................... 43

3.1. Modelo Knife-edge ..................................................................................................................... 43

3.2. Simulações .................................................................................................................................. 47

4. REFRAÇÃO NA ATMOSFERA .......................................................................................................... 51

4.1. Índice de refração da atmosfera ................................................................................................ 52

4.2. Trajetória de um raio ótico numa atmosfera horizontalmente estratificada ............................ 53

4.2.1. Estratificação plana ............................................................................................................. 54

4.2.2. Estratificação esférica.......................................................................................................... 55

4.3. Raio de curvatura do raio ótico .................................................................................................. 56

4.4. Refratividade modificada ........................................................................................................... 57

X

4.5. Propagação em Ductos ............................................................................................................... 59

4.5.1. Condições necessárias para a formação de ductos ............................................................. 60

4.6. Traçado de raios ......................................................................................................................... 62

4.6.1. Modelo exato ...................................................................................................................... 62

4.6.2. Modelo aproximado ............................................................................................................ 64

4.6.3. Modelo analítico para a trajetória ...................................................................................... 65

4.6.4. Cálculo do ponto de indeterminação .................................................................................. 66

4.7. Simulações .................................................................................................................................. 68

4.7.1. Uma camada atmosférica .................................................................................................... 68

4.7.2. Ducto superficial e sobrelevado .......................................................................................... 73

4.8. Miragens ..................................................................................................................................... 76

4.8.1. Miragens inferiores ............................................................................................................. 76

4.8.2. Miragens superiores ............................................................................................................ 79

4.8.3. Simulação de miragens ........................................................................................................ 80

5. MODELOS DE PROPAGAÇÃO EM AMBIENTES URBANOS .............................................................. 85

5.1. Cenário para o rádio móvel terrestre ......................................................................................... 88

5.2. Ambientes de macro-célula........................................................................................................ 90

5.2.1. Modelos empíricos .............................................................................................................. 90

5.2.1.1. Modelo Okumura ............................................................................................................. 91

5.2.1.2. Modelo Okumura-Hata .................................................................................................... 94

5.2.1.3. Factores de correção ........................................................................................................ 95

5.2.1.4. Extensão do modelo Okumura-Hata .............................................................................. 101

5.2.1.5. Campo total .................................................................................................................... 102

5.2.1.6. Simulações do modelo Okumura-Hata .......................................................................... 104

5.2.2. Modelos teóricos ............................................................................................................... 109

5.2.2.1. Modelo Walfisch-Bertoni ............................................................................................... 109

5.2.2.2. Efeito de multi-percurso................................................................................................. 110

5.2.2.3. Efeito de sombra e difração por filas múltiplas de edifícios .......................................... 112

5.2.2.4. Campo total .................................................................................................................... 114

5.2.2.5. Simulações do modelo Walfisch-Bertoni ....................................................................... 114

6. CONCLUSÃO ................................................................................................................................ 117

6.1. Principais conclusões ................................................................................................................ 117

6.2. Perspetivas de trabalhos futuros ............................................................................................. 119

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................................... 120

XI

Lista de Figuras

Figura 2.1 – Potência radiada através da superfície fechada 𝑆 e coordenadas esféricas do campo

radiado na zona distante.

Figura 2.2 – Potência recebida por uma antena.

Figura 2.3 – Radar monoestático.

Figura 2.4 – Diagrama de radiação do dipolo de meia onda no plano 𝑧𝑦.

Figura 2.5 – Diagrama de radiação tridimensional do dipolo de meia onda.

Figura 2.6 – Reflexão em diferentes polarizações.

Figura 2.7 – Raio direto e raio refletido.

Figura 2.8 – Variação da amplitude do campo normalizado com a distância em PH, recorrendo a

aproximações.

Figura 2.9 – Variação da amplitude do campo normalizado com a distância em PH.

Figura 2.10 – Variação da amplitude do campo elétrico com a distância em PH.

Figura 2.11 – Variação da amplitude do campo elétrico com a distância, em unidades logarítmicas e

PH.

Figura 2.12 – Variação da amplitude do campo elétrico com a distância em PV.

Figura 2.13 – Variação da amplitude do campo elétrico com a distância, em unidades logarítmicas e

PV.

Figura 2.14 – Campo elétrico em espaço livre.

Figura 2.15 – Campo elétrico em espaço livre com um agregado de duas antenas e um agregado de

quatro antenas.

Figura 2.16 – Efeito do agregado de antenas

Figura 2.17 – Variação da amplitude do campo elétrico com reflexão no solo.

Figura 2.18 – Variação da amplitude do campo elétrico com reflexão no solo usando um agregado de

duas antenas.

Figura 3.1 – Geometria do Modelo Knife-edge.

Figura 3.2 – Elipsoide de Fresnel.

Figura 3.3 – Atenuação introduzida por um obstáculo do tipo Knife-edge, em função da penetração.

XII

Figura 3.4 – Modelo Knife-edge para 180 MHz.

Figura 3.5 – Modelo Knife-edge para 1000 MHz.

Figura 4.1 – Variação da refratividade com a altura.

Figura 4.2 – Geometria para estratificação plana.

Figura 4.3 – Geometria para estratificação esférica.

Figura 4.4 – Raio de curvatura de uma trajetória.

Figura 4.5 – Variação da refratividade modificada com a altura.

Figura 4.6 – Raio captado num ducto.

Figura 4.7 – Trajetória dos raios em atmosfera standard.

Figura 4.8 – Trajetória dos raios na presença de ducto superficial.

Figura 4.9 – Trajetória dos raios na presença de ducto sobrelevado.

Figura 4.10 – Geometria para o traçado de raios.

Figura 4.11 – Trajetória dos raios com 𝛼0 ≥ 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0.

Figura 4.12 – Trajetória dos raios com 𝛼0 < 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0.

Figura 4.13 – Trajetória dos raios com 𝛼0 < 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0, com reflexão no solo.

Figura 4.14 – Trajetória dos raios para diversos ângulos de partida e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0.

Figura 4.15 – Trajetória dos raios com 𝛼0 ≥ 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ < 0.

Figura 4.16 – Trajetória dos raios com 𝛼0 < 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ < 0.

Figura 4.17 – Trajetória de 5 raios na presença de ducto superficial.


Figura 4.19 – Trajetória de 5 raios na presença de ducto sobrelevado.


Figura 4.21 – Trajetória dos raios desde vários pontos do objeto até ao observador.

Figura 4.22 – Trajetória dos raios numa miragem inferior.

Figura 4.23 – Trajetória dos raios numa miragem superior.

Figura 4.24 – Plano vertical visto pelo observador.

Figura 4.25 – Deformação da imagem inicial tal como é vista pelo observador após alteração da

trajetória dos raios pelas alterações do índice de refração da atmosfera.

Figura 4.26 – Divisão da imagem nos dois planos ortogonais (vertical e horizontal).

Figura 4.27 – Esquema geométrico para cálculo dos limites da imagem.

XIII

Figura 4.28 – Miragem superior.

Figura 4.29 – Miragem inferior.

Figura 5.1 – Clusters de sete células.

Figura 5.2 – Classes de células.

Figura 5.3 – Classes de células em meio urbano.

Figura 5.4 – Esquema para o cálculo da altura efetiva da antena da estação de base no modelo

Okumura.

Figura 5.5 – Terreno ondulado.

Figura 5.6 – Correção para a ondulação do terreno.

Figura 5.7 – Correção para a posição do recetor nas ondulações do terreno.

Figura 5.8 – Terreno inclinado.

Figura 5.9 – Correção para a inclinação média do terreno.

Figura 5.10 – Terreno misto terra/mar.

Figura 5.11 – Correção para terrenos mistos.

Figura 5.12 – Correção para orientação das ruas relativamente ao emissor.

Figura 5.13 – Correção para áreas suburbanas.

Figura 5.14 – Correção para áreas abertas e quase abertas.

Figura 5.15 – Modelo Okumura-Hata em diversos ambientes.

Figura 5.16 – Modelo Okumura-Hata em diversos terrenos.

Figura 5.17 – Modelo Okumura-Hata em ambiente urbano.

Figura 5.18 – Perfil típico numa macro-célula urbana.

Figura 5.19 – Geometria do multi-percurso (representação do alçado).

Figura 5.20 – Esquematização do ângulo de rua (representação em planta).

Figura 5.21 – Esquema para a atenuação devido a N+1 obstáculos.

Figura 5.22 – Modelo Walfisch-Bertoni para uma frequência de 600 MHz.


Figura 5.24 – Modelo Walfisch-Bertoni com índice de reflexão do edifício nulo.

XIV

Lista de Imagens

Imagem 1.1 – Esquema da experiência realizada por Hans Oersted.

Imagem 1.2 – Esquema do aparelho usado por Faraday.

Imagem 1.3 – Esquema da experiência de Faraday que demonstra a indução eletromagnética.

Imagem 1.4 – Configuração experimental do dipolo oscilante de Hertz.

Imagem 1.5 – Marconi com um sistema parecido com o que utilizou para a primeira transmissão sobre

o Atlântico.

Imagem 1.6 – Uma família a ouvir transmissões radio na década de 1920.

Imagem 1.7 – Professor Yagi com uma antena Yagi-Uda.

Imagem 1.8 – Iate Elettra usado por Marconi.

Imagem 1.9 – Radar alemão usado para detetar bombardeiros inimigos.

Imagem 1.10 – Sistema de comunicações via satélite.

Imagem 1.11 – Radiotelescópio Arecibo em Porto Rico e radiotelescópio ALMA no Chile.

Imagem 1.12 – Rede 4G.

Imagem 4.1 – Miragem inferior.

Imagem 4.2 – Miragem inferior.

Imagem 4.3 – Miragem superior.

Imagem 4.4 – Miragem superior.

XV

Lista de Variáveis

𝑎 Raio da terra

𝐴𝑒𝑓 Abertura efetiva da antena

𝐴𝐸(ℎ𝑒) Atenuação multi-percurso

𝐴(ℎ𝑒) Atenuação suplementar devido ao obstáculo

𝐴𝑁+1 Atenuação introduzida por difração em múltiplos obstáculos

𝐴𝜇 Valor mediano do excesso de atenuação (Modelo Okumura)

𝑐 Velocidade da luz no vácuo

𝐶( ) Função coseno do integral de Fresnel

𝑑 Distância entre antenas

𝐷 Diâmetro dos elipsoides de Fresnel a uma determinada distância do emissor

𝑑𝑎𝑛𝑡 Distância entre antenas do agregado

𝑑𝑒 Distância do emissor ao obstáculo

𝑑𝑛 Distância para o qual ocorrem os extremos do campo elétrico

𝑑𝑟 Distância do recetor ao obstáculo

𝐸 Campo elétrico total

𝑒 Tensão do vapor de água

𝐸1 Campo elétrico associado ao raio difratado que atinge diretamente a antena

𝐸2 Campo elétrico associado ao raio difratado que se reflete uma vez no obstáculo

𝐸𝑑 Campo elétrico do raio direto

𝐸𝑓𝑠 Campo elétrico em espaço livre

𝐸𝑟 Campo elétrico do raio refletido

𝑓 Frequência

𝑓𝐷 Fator direcional da antena

𝐹𝑑 Fator espacial do agregado para o raio direto

𝐹𝑟 Fator espacial do agregado para o raio refletido

𝐺𝐴𝑅𝐸𝐴 Fator de correção de ambiente (Modelo Okumura)

𝐺𝑒 Ganho da antena de emissão

𝐺(ℎ𝑟) Fator de correção da antena de receção (Modelo Okumura)

XVI

𝐺(ℎ𝑡) Fator de correção da antena de emissão (Modelo Okumura)

𝐺𝑟 Ganho da antena de receção

ℎ Altura

𝐻 Campo magnético

ℎ1,2 Altura da antena de emissão/receção

ℎ𝑏 Altura da estação de base

ℎ𝑏𝑠 Altura da estação de base relativamente à superfície do mar

ℎ𝐸 Altura dos edifícios

ℎ𝑒 Altura equivalente

ℎ𝑒𝑓 Altura efetiva

ℎ𝑔𝑎 Altura média do terreno

ℎ𝑖𝑛𝑑 Altura para o qual o raio atinge a indeterminação

ℎ𝑚𝑎𝑥 Altura máxima que o raio pode atingir

ℎ𝑜𝑏𝑠 Altura do obstáculo

ℎ𝑜𝑚 Altura do terminal móvel relativamente à superfície do mar

ℎ𝑟 Altura do terminal móvel

ℎ𝑡 Altura efetiva da estação de base

𝐼𝑀 Intensidade máxima da corrente ao longo da antena

𝐽(ℎ𝑟) Fator de correção da altura da antena de receção (Modelo Hata)

𝑘 Número de onda

𝐾𝑎𝑐 , 𝐾𝑎𝑙 Fatores de correção para a orientação das ruas relativamente ao emissor

𝐾ℎ𝑝 Fator de correção relativo à posição do recetor no terreno ondulado

𝐾𝑚𝑝 Fator de correção relativo a trajetos mistos terra/mar

𝐾𝑜𝑎 Fator de correção para área aberta

𝐾𝑞𝑜 Fator de correção para área quase aberta

𝐾𝑠𝑝 Fator de correção relativo à inclinação do terreno

𝐾𝑠𝑢 Fator de correção para área suburbana

𝐾𝑡ℎ Fator de correção relativo à ondulação do terreno

𝐿 Comprimento do dipolo

𝐿𝑓𝑠 Atenuação em espaço livre

XVII

𝐿ℎ Comprimento horizontal de cada intervalo do campo

𝐿𝑃 Valor mediano das perdas de transmissão

𝐿𝑣 Comprimento vertical de cada intervalo do campo

𝑀 Refratividade modificada

𝑚 Índice de refração modificado

𝑑𝑀

𝑑ℎ Gradiente refratividade modificada

𝑛 Índice de reflexão do solo em relação ao ar

𝑁 Refratividade

𝑁0 Número de obstáculos que penetram no elipsoide de Fresnel

𝑁𝑎𝑛𝑡 Número de antenas do agregado

𝑁𝑒𝑑 Número de edifícios

𝑑𝑁

𝑑ℎ Gradiente refratividade

𝑝 Pressão atmosférica

𝑃𝑒 Potência emitida

𝑃𝑟 Potência recebida

𝑟 Distância do centro do dipolo ao ponto onde se calcula o campo

𝑟𝑑 Raio direto

𝑟𝑟 Raio refletido

𝑆( ) Função seno do integral de Fresnel

𝑆𝑃 Densidade do fluxo de potência (intensidade do vetor de Poynting)

𝑇 Temperatura

𝑤 Espaçamento entre edifícios (largura da rua)

�� Altura acima do obstáculo para se considerar o feixe como desimpedido

𝑥𝑒 Altura do emissor em relação ao topo do obstáculo

𝑥𝑟 Altura do recetor em relação ao topo do obstáculo

𝑍0 Impedância característica de onda em espaço livre

𝑧ℎ Posição do raio no plano horizontal

𝑧𝑖𝑛𝑑 Distância para o qual o raio atinge a indeterminação

𝑧𝑚𝑎𝑥 Distância máxima que o raio pode atingir

𝑧𝑣 Posição do raio no plano vertical

XVIII

ℇ0 Constante dielétrica do ar

ℇ𝑟 Constante dielétrica relativa do solo

ℇ𝑠′ Constante dielétrica complexa do solo

Δℎ Altura da ondulação do terreno

Δ𝜙 Diferença de fase entre raio direto e raio refletido

Δ𝑟 Diferença de trajetos entre raio refletido e raio direto

𝜃 Colatitude

𝜃𝑑 Colatitude do raio direto

𝜃𝑖 Inclinação média do terreno

𝜃𝑟 Colatitude do raio refletido

𝜎 Área equivalente do alvo do radar

𝜎𝑠 Condutividade do solo

𝜎𝑠𝑢 Desvio padrão para área suburbana

𝜎𝑢 Desvio padrão para área urbana

𝜓𝐵 Ângulo de Brewster

Γ Coeficiente de Fresnel

𝛼 Ângulo de saída do raio relativamente à horizontal

𝛽 Relação entre a superfície aquática e a distância entre as antenas

𝛿 Diferença de fase entre as correntes das antenas num agregado

𝜆 Comprimento de onda

𝜇 Gradiente refratividade modificada

𝜌 Raio de curvatura do raio ótico

𝜑 Azimute

𝜓 Ângulo de chegada ao solo

𝜙 Ângulo de rua

1

1. INTRODUÇÃO

1.1.Enquadramento histórico

Radiopropagação é o comportamento que as ondas rádio manifestam quando são transmitidas

ou propagadas de um ponto da terra para outro entre várias partes da atmosfera. As ondas rádio são

afetadas por fenómenos de reflexão, refração, difração, absorção, despolarização e dispersão. Sendo

uma forma de radiação eletromagnética, como as ondas de luz, as ondas radio compõe-se de um

campo elétrico e magnético, que autossustentando-se, oscilam perpendicularmente entre si e à direção

de propagação da energia.

A descoberta das ondas eletromagnéticas foi, sem dúvida, o mais belo acontecimento da física

no século XIX.

A história sugere que as primeiras observações de fenómenos elétricos e magnéticos remontam

aos antigos gregos, cerca de 700 A.C. Crê-se que os gregos identificaram pedaços de rocha natural

(magnetitas) que tinham a capacidade de atrair ferro, e descobriram que pedaços de âmbar friccionados

adquiriam capacidades atrativas. Atualmente sabe-se que as magnetitas representam um mineral

magnético formado por óxidos de ferro, cuja formação química é 𝐹𝑒3𝑂4. O termo magnetismo nasceu

em virtude do nome da cidade onde foram descobertos na antiga Grécia (Magnesia). [3]

Em 1600, William Gilbert adotou o termo “eletricidade” da palavra grega para âmbar (elektron),

como uma referência às suas propriedades atrativas, e descobre que a eletrificação não estava limitada

ao âmbar, sendo este um fenómeno geral. Foi também a primeira pessoa a usar os termos força

elétrica, polos magnéticos, atração elétrica e o primeiro a explicar o funcionamento de uma bussola

magnética. Os frutos da sua investigação e experiências ao longo de muitos anos constituíram a base

para uma nova ciência. [4]

Experiências conduzidas por Charles Augustin de Coulomb um século mais tarde resultaram na

Lei de Coulomb, publicada em 1785, que descreve a interação eletrostática entre partículas

eletricamente carregadas. Esta lei foi essencial para o desenvolvimento da teoria do eletromagnetismo.

[5]

Até princípios do século XIX, físicos e cientistas estabeleceram que a eletricidade e o

magnetismo são, de facto, fenómenos relacionados. Em 1820, Hans Christian Oersted descobriu que

as correntes elétricas originam campos magnéticos, ao observar o movimento da agulha de uma

bussola, relativamente ao norte magnético, na proximidade de uma corrente elétrica (Imagem 1.1). Mais

tarde Oersted publicou os resultados da sua investigação, revelando que a corrente elétrica produz um

campo magnético circular, ao fluir num fio condutor. A descoberta de Oersted não deixou indiferente a

comunidade científica, os seus resultados influenciaram outros físicos da época, nomeadamente,

André-Marie Ampère que desenvolveu a fórmula matemática que relaciona a corrente elétrica em

2

regime estacionário com os campos magnéticos que esta produz (Lei de Ampère), Michael Faraday,

James Clerk Maxwell e Heinrich Hertz. [6]

Imagem 1.1 – Esquema da experiência realizada por Hans Oersted. (Fonte: [23])

Após as descobertas de Hans Oersted, Michael Faraday iniciou em 1831 a sua grande série de

experiências que culminaram com a descoberta da indução eletromagnética. Faraday elaborou um

aparelho constituído por duas bobines de fio de isolamento em torno de um anel de ferro (Imagem 1.2),

descobriu que, passando uma corrente por uma bobine, uma corrente momentânea era induzida na

outra bobine. Este fenómeno é conhecido por indução mútua. Em experiências seguintes, Faraday

descobriu que, se um íman fosse movido através de um fio em anel, uma corrente elétrica iria percorrer

esse fio (Imagem 1.3). As suas demonstrações estabeleceram que um campo magnético variável no

tempo produz um campo elétrico. Faraday também estabeleceu que o magnetismo poderia afetar raios

de luz e que existia uma relação entre os dois fenómenos. [6] [7]

Imagem 1.2 – Esquema do aparelho usado por Faraday. (Fonte: [24])

3

James Clerk Maxwell, em 1864, estabeleceu um conjunto de equações que expressavam

matematicamente tudo o que era conhecido até à altura, sobre eletricidade e magnetismo. Através

destas equações, Maxwell sumarizou essencialmente o trabalho de Hans C. Orstead, Karl F. Gauss,

Andre M. Ampère, Michael Faraday, entre outros, e acrescentou o seu conceito radical de “corrente de

deslocamento” para completar a teoria. Em 1865, Maxwell concluiu através das suas equações que

qualquer perturbação elétrica ou magnética criada em espaço livre podia ser propagada através do

espaço como uma onda eletromagnética. Estabeleceu ainda que a velocidade dessa onda seria

aproximadamente a velocidade da luz, concluindo que a própria luz é uma perturbação eletromagnética.

A teoria de Maxwell e as suas previsões revolucionárias, viriam a ser provadas anos mais tarde por

Heinrich Hertz. [8] [9]

Na preocupação de evidenciar a existência das ondas eletromagnéticas implícitas nas equações

de Maxwell, em 1887 Heinrich Hertz concebeu e levou a bom termo uma série notável de experiências,

que se pode considerar perfeita e completa, uma vez que, além da indispensável deteção, estudou e

estabeleceu as propriedades fundamentais de ondas que ele próprio conseguiu gerar de modo eficiente

e seguro à escala de laboratório.

Imagem 1.3 – Esquema de uma das experiências de Faraday que demonstra a indução eletromagnética. A bateria química (à direita) envia corrente elétrica através da bobine pequena (A). Quando esta é movida para dentro ou para fora da bobine grande (B), o seu campo magnético induz uma corrente momentânea na bobine (B), que é

detetada pelo galvanómetro (G). (Fonte: [25])

4

Durante as suas experiências para transmitir ondas rádio, Hertz usou um esquema como

indicado na Imagem 1.4 (dipolo oscilante de Hertz). O esquema consiste em duas placas metálicas

(condensadores) conectadas, através de fios de cobre, a uma abertura orientada a faísca, constituída

por duas esferas metálicas. Utilizando uma bobine de Ruhmkorff1 DC-AC de alta voltagem, as placas

metálicas são carregadas alternadamente e uma elevada diferença de potencial é aplicada na abertura

entre as esferas. Devido à elevada diferença de potencial, o ar existente na abertura fica ionizado e

disponibiliza uma ponte para a descarga das placas. O resultado foi uma faísca na abertura com cargas

elétricas a oscilar a uma elevada frequência, dando origem a radiação de ondas eletromagnéticas

transversais. Para detetar as ondas emitidas, Hertz usou um fio de cobre em anel com duas esferas

nas pontas a formar uma abertura bastante estreita. As ondas eletromagnéticas induziam uma corrente

no fio, o que daria origem a uma pequena faísca neste instrumento. A experiência de Hertz representou

a primeira transmissão e receção de ondas eletromagnéticas, feita pelo homem.

Em experiências mais avançadas, Hertz revelou que as ondas eletromagnéticas podiam ser

produzidas por diferentes materiais e mediu a velocidade da radiação eletromagnética, descobrindo

que as ondas moviam-se à velocidade da luz. Demonstrou também a reflexão das ondas em certos

materiais, a refração, polarização e interferência. Outras experiências feitas por Hertz provaram que

enquanto o comprimento das ondas de luz variava na ordem das centenas de nanómetros, o das ondas

eletromagnéticas variava entre alguns milímetros e centenas de quilómetros. [2] [8] [10]

1 Uma bobine de Ruhmkorff, ou também designada bobine de indução, é um transformador elétrico usado para

produzir impulsos de alta voltagem a partir de uma fonte de corrente DC de baixa voltagem. De modo a criar as alterações de fluxo necessárias para induzir a voltagem na bobine secundária, a corrente DC no primário é interrompida repetitivamente por um interruptor.

Imagem 1.4 – Configuração experimental do dipolo oscilante de Hertz. (Fonte: [10])

5

Adivinhando-lhes utilidade para as comunicações, Guglielmo Marconi repetiu as experiências de

Hertz, estudou as conclusões matemáticas de Maxwell e em 1895 desenvolveu um sistema de telégrafo

sem fios, usando ondas rádio como meio de comunicação. Em 1901, Marconi transpôs o espaço de

laboratório e instalou uma estação de transmissão sem fios em sua casa, em Wexford, com o objetivo

de estabelecer uma ligação entre Poldhu, Cornwall, e Clifden, Galway. Encorajado pela experiência,

Marconi iniciou a investigação sobre a possibilidade de comunicação transatlântica. Em dezembro de

1901 anunciou que usando uma antena de 152.3 metros para receção, conseguiu estabelecer uma

ligação entre a Europa (Poldhu) e o Canadá. É coberta uma distância de 3500 km. Este anuncio

levantou e continua a levantar muito ceticismo. O teste foi efetuado durante o dia, tendo o sinal um

comprimento de onda na proximidade dos 350 metros. Atualmente sabe-se que para sinais com este

tipo de comprimentos de onda, uma comunicação de longa distância durante o dia não é possível,

devido à grande absorção das ondas na ionosfera. Marconi defendeu que na sua experiência conseguiu

com sucesso ouvir, esporadicamente, a letra S em código Morse. Sentindo-se desafiado pelos céticos

e tendo como objetivo provar as suas experiências, Marconi viajou a bordo do navio SS Philadelphia

desde Inglaterra, recebendo diariamente os sinais enviados pela estação em Poldhu e guardando os

resultados. Os testes resultaram numa receção do sinal até 2496 km e uma receção de áudio até 3378

km. Estas distâncias foram alcançadas durante a noite, mostrando pela primeira vez que as ondas radio

de comprimento médio e longo viajam maiores distâncias à noite do que durante o dia. Durante o dia

as distâncias de receção eram significativamente menores, cerca de 1125 km, menos de metade da

distância afirmada pelos testes realizados no Canadá. Marconi não conseguiu provar em absoluto as

suas primeiras afirmações, mas provou que as ondas rádio podem ser transmitidas até grandes

distâncias. [2] [11]

A partir desse momento as ondas eletromagnéticas entraram no domínio da engenharia, através

do problema formulado por Marconi: o das Radiocomunicações.

Imagem 1.5 – Marconi com um sistema parecido com o que utilizou para a primeira transmissão sobre o Atlântico. (Fonte: [26])

6

Uma das indústrias da época que mais beneficiou com os resultados do trabalho de Marconi foi

a indústria naval. Operadores de radio enviavam mensagens em código Morse em casos de

emergência, e esta poderia ser a única possibilidade para contactar navios de salvação.

A transmissão sem fios de código Morse era certamente bastante útil, contudo, em 1906 Reginald

Fessenden provou que era possível transmitir outros sons, como voz. Além de ter sido o primeiro a

transmitir voz através da radiodifusão de ondas eletromagnéticas, viria a desenvolver a modulação em

amplitude (AM). Começavam a surgir os primeiros aparelhos radio pessoais (Imagem 1.6). AM era uma

técnica para transmissão de um sinal de voz e música superior em relação às tecnologias existentes

até essa altura. O grande problema do AM era o elevado ruido na receção, proveniente do equipamento

e de fontes externas na atmosfera (relâmpagos por exemplo). Anos mais tarde, o engenheiro Edwin H.

Armstrong desenvolveu a modulação em frequência (FM), que viria a melhorar a qualidade áudio do

sinal recebido, ao realizar um melhor controlo sobre o ruido proveniente do equipamento e da atmosfera

terrestre. [12] [13] [14]

Devido a limitações do equipamento, os primeiros aparelhos rádio operavam na baixa

frequência (LF) e média frequência (MF) do espectro de radiofrequência (RF). Estas bandas ofereciam

boas comunicações de voz e mensagens, mas a distância de transmissão estava limitada pela baixa

potência de emissão disponível na época. [9]

Em 1920 foram feitas as primeiras comunicações em alta frequência (HF), quando o primeiro

sistema de rádio foi instalado na Europa. Marconi instalou a primeira estação para comunicações

transatlânticas sem fios na Irlanda. O desejo de ir para altas frequências deveu-se à necessidade de

se obter comunicações com um maior alcance e circuitos de maior capacidade. Até ao HF, as

comunicações transatlânticas eram feitas por cabo ou correio. Os sistemas por cabo eram bastante

limitativos e enviar mensagens era extremamente dispendioso. O correio era lento. Com a chegada do

HF, as comunicações transatlânticas tornaram-se mais rápidas, com maior capacidade e mais baratas.

Imagem 1.6 – Família a ouvir transmissões radio na década de 1920. (Fonte: [27])

7

Na década de 1920 foi desenvolvida a antena Yagi-Uda (Imagem 1.7) por Shintaro Uda e

Hidetsugu Yagi, uma das antenas mais brilhantes alguma vez criadas. De simples construção,

permitem obter um ganho superior a 10 dB e é possível observa-las ainda hoje nos telhados de

inúmeras casas. [9] [15]

Em Junho/Julho de 1923, Marconi fez uma longa viagem através do oceano Atlântico a bordo do

Elettra (Imagem 1.8), um iate convertido em um laboratório flutuante, realizando experiências com

sistemas de onda curta. Viajou até à ilha de Cabo Verde, permanecendo em constante comunicação

com a estação de Poldhu. No final da experiência, Marconi anunciou que, apenas usando ondas curtas,

o problema de comunicações a longas distâncias podia ser resolvido tanto racionalmente como

economicamente. Deste ponto até à atualidade, as tecnologias rádio cresceram dramaticamente.

Imagem 1.8 – Iate Elettra usado por Marconi. (Fonte: [29])

Imagem 1.7 – Professor Yagi com uma antena Yagi-Uda. (Fonte: [28])

8

A segunda guerra mundial teve um impacto fundamental no uso do espectro de radiofrequência.

A necessidade, devido à guerra, de realizar comunicações com maior capacidade levou a um grande

avanço nas comunicações sem fios, nomeadamente no desenvolvimento de sistemas de alta

frequência. Nesse período surgiram os primeiros refletores parabólicos, cornetas eletromagnéticas e

os agregados. O radar foi desenvolvido. [9]

Os progressos durante a guerra levaram ao desenvolvimento de sistemas rádio VHF (very high

frequêncy) e UHF (ultra high frequêncy). Com estes sistemas surgiu a ideia de sistemas de micro-ondas

em linha de vista e sistemas de dispersão troposférica. Descobriu-se que o uso destas altas frequências

provocava um alcance mais reduzido, em comparação com os sistemas HF. Até 1950 as comunicações

de longa distância eram feitas na banda HF. [9]

Com o advento do programa espacial, os engenheiros rádio observaram que era possível obter

comunicações de longo alcance em muito alta frequência usando satélites como estações de

retransmissão de rádio. Assim, deu-se o desenvolvimento dos sistemas de comunicação via satélite.

Hoje em dia, praticamente todas as comunicações de longo alcance são feitas através de satélites. [9]

Imagem 1.9 – Radar Norte-americano e Alemão usados para detetar bombardeiros inimigos. (Fonte: [30] [31])

Imagem 1.10 – Sistema de comunicação via satélite. (Fonte: [32])

9

Os físicos que contribuíram para fazer deste revolucionário meio de comunicação uma realidade,

provavelmente nunca imaginariam que as suas descobertas seriam a base para o desenvolvimento de

grandes indústrias na primeira metade do século XX, nomeadamente, os serviços de informação

(difusão de radio e televisão), telefonia, navegação marítima, transportes aéreos, comunicação via

satélite, sistemas de radar e conquista espacial. A capacidade para mover informação à velocidade da

luz, trouxe também consigo a expansão e integração dos mercados, através da redução dos custos de

transação e de fácil movimento de capitais. A humanidade ficou mais próxima, eliminaram-se fronteiras

e o mundo tornou-se mais pequeno.

As comunicações rádio evoluíram e modificaram-se significativamente ao longo do século

passado. A radioastronomia é uma área que tem evoluído bastante desde a segunda guerra mundial e

tornou-se uma das ferramentas mais importantes para a observação astronómica. Depois da segunda

grande guerra, muitos cientistas começaram a construir maiores e melhores antenas para estudar o

universo. Hoje em dia, temos radiotelescópios tão grandes quanto o Arecibo (Imagem 1.11) em Porto

Rico, constituído por um refletor parabólico de 305 metros de diâmetro. Em 1946 surgiu a técnica da

interferometria. Esta técnica ótica utilizada em astronomia tornou-se mais sofisticada ao longo dos

anos, e consiste em combinar a luz proveniente de diferentes telescópios ou antenas de radio, para

obter uma Imagem de maior resolução. Um bom exemplo é o ALMA (Atacama Large

Millimeter/submillimeter Array) (Imagem 1.11) no deserto Atacama, Chile. Trata-se de um projeto

revolucionário que é composto por um conjunto de 66 antenas de elevada precisão e sensibilidade

espalhadas no deserto, a trabalhar com comprimentos de onda entre 0.3 e 9.6 milímetros. O

radiotelescópio principal é constituído por 50 refletores parabólicos, cada um com 12 metros de

diâmetro. Existe um conjunto complementar mais compacto de 4 antenas de 12 metros de diâmetro e

12 antenas com um diâmetro de 7 metros. Este radiotelescópio permite uma resolução angular 10

vezes superior à do Hubble. [16] [17] [18]

A evolução no campo da radioastronomia tem sido responsável por grande parte do

conhecimento que o homem tem do universo. Foi através da radioastronomia que surgiram os primeiros

Imagem 1.11 – Radiotelescópio Arecibo, Porto Rico (à esquerda), e radiotelescópio ALMA, Atacama-Chile (à direita). (Fonte: [17] [33])

10

indícios do Big Bang, com a descoberta em 1964 da radiação cósmica de fundo em micro-ondas, por

Arno Penzias e Robert Woodrow Wilson. A radioastronomia tornou possível o estudo da formação,

composição e das interações existentes no universo, bem como a deteção de emissões radio

provenientes de planetas como Júpiter e de objetos longínquos compostos por partículas energéticas

tais como estrelas, pulsares, quasares, galáxias, entre outros. [19]

Após um período relativamente silencioso no universo das comunicações terrestres, veio a

revolução digital. Na década de 1970 surgem as antenas impressas, que podem ser impressas

diretamente num circuito e são bastante usadas nos dispositivos móveis do presente. As comunicações

sem fios entram novamente numa era de esplendor, sendo a década de 1990 marcada pelo nascimento

da internet. O crescimento do sector das telecomunicações despertou um aumento dramático na

procura por dispositivos eletrónicos pessoais associados aos serviços de comunicações móveis, e tem

sido a grande força do século XXI responsável pela contínua investigação na área da radiopropagação

por parte de diversas instituições espalhadas em todo o mundo.

Embora se pense nos smartphones, tablets ou laptops como invenções modernas, a verdade é

que as redes e tecnologias em que estes aparelhos se baseiam vêm do início de 1930. Foi em Março

de 1930 que a revista Science anunciou a primeira comunicação móvel entre um navio e a costa, e que

possibilitou aos cidadãos americanos realizar chamadas telefónicas para os passageiros do navio em

pleno oceano Atlântico.

Desde o ano 1930 até à era digital, os sistemas de comunicações móveis têm vindo a sofrer

grandes avanços tecnológicos, o que culminou com os sistemas de primeira geração (1G) na década

de 1980, 2G na década de 1990, a seguir veio o 3G e mais recentemente o 4G. A era digital nas redes

de comunicações móveis foi iniciada com o 2G. Como resposta ao crescente aumento de subscritores

e trafego nas redes dos últimos anos, foram desenvolvidos os sistemas 4G. Os primeiros sistemas 4G

começaram a ser usados em 2010. A quinta geração (5G) dos sistemas de comunicação móvel tem

entrada prevista no mercado em 2020. [20] [21]

O 4G, sistema de quarta geração, é caracterizado pela mudança de tecnologia de comutação de

pacotes para um sistema baseado integralmente em soluções IP, adquirindo um aumento na velocidade

de transferência de dados na rede de cerca de 10 vezes, relativamente às redes 3G. O objetivo dos

sistemas 4G é o aumento da capacidade da rede, oferecer acesso a um grande conjunto de

informações e serviços, e permitir o trafego de enormes volumes de informação (dados, fotografias,

vídeos, entre outros), através de velocidades entre os 100 Mb/s e 1 Gb/s. [21]

Algumas das aplicações do 4G são [22]:

Presença virtual: fornecer serviços ao utilizador em todos os momentos, mesmo que o utilizador

se encontre fora do local de cobertura;

Navegação virtual: fornecer navegação virtual ao utilizador, sobre a qual se pode aceder a uma

base de dados das ruas, edifícios, etc.;

11

Aplicações de Tele-Geoprocessamento: combinação de GIS (Geographical Information System)

e GPS (Global Positioning System) no qual o utilizador pode obter a sua localização;

Gestão de crises naturais: desastres naturais podem provocar a suspensão temporária dos

sistemas de comunicação. Nas gerações anteriores, seria necessário esperar dias ou semanas

para restaurar o sistema, mas no 4G é expectável que o restauro seja feito em poucas horas;

Jogos de alta qualidade: possibilidade de jogar jogos de alta qualidade com outros utilizadores,

através da internet;

Controlo remoto de aparelhos domésticos: o utilizador tem a possibilidade de programar e

controlar aparelhos domésticos através de um terminal móvel (telemóvel, tablet);

Multimédia – Serviços de vídeo:

Entrega eficiente de serviços multimédia a elevadas velocidades;

Dois tipos de serviços de vídeo - bursting e streaming:

Streaming é realizado quando o utilizador pretende um serviço de vídeo em tempo

real, onde o servidor entrega o conteúdo continuamente a um ritmo de playback.

Bursting consiste num download de um ficheiro para um buffer, realizado a uma

velocidade elevada aproveitando toda a largura de banda disponível.

Video-on-demand: o utilizador tem a possibilidade de alugar ou comprar um vídeo através

do telemóvel para posterior visualização.

Conferências de vídeo.

Transmissões de múltiplos canais de televisão.

Em geral, esta é uma descrição de algumas aplicações, funcionalidades e benefícios da mais

recente tecnologia de comunicações móveis. Uma representação da rede dos sistemas 4G é

apresentada na Imagem 1.12.

Imagem 1.12 – Rede 4G. (Fonte: [34])

12

A comunicação, desde os primórdios, é um instrumento de integração, instrução, troca mútua e

desenvolvimento entre as pessoas em quaisquer atividades. A descoberta das ondas eletromagnéticas

permitiu compreender melhor a ciência por trás do universo em que vivemos e conduziu a inúmeras

invenções que marcam a história da humanidade. Contudo, o universo é ainda visto como um grande

enigma, cheio de segredos e mistérios por revelar, pelo que a investigação continua e irá continuar no

futuro, na área do eletromagnetismo.

É no contexto de crescimento da indústria do sector das comunicações móveis e comunicações

a longa distância que se insere a presente Dissertação de Mestrado, mais especificamente no estudo

de modelos de propagação, que representam as características da radiopropagação e caracterizam o

comportamento e desempenho das ondas eletromagnéticas, num dado ambiente.

1.2.Motivação e objetivos

Desde a proliferação de dispositivos sem fios na década de 1990, o estudo da propagação de

ondas radio em ambientes urbanos tem recebido uma atenção especial. Atualmente, produtos e

serviços que incorporem tecnologia sem fios são vistos como um bem essencial para os consumidores

a nível global. O crescimento da indústria das comunicações móveis tem sido fortemente conduzido

pelo aumento na oferta de serviços e avanços tecnológicos, incrementando a capacidade e

funcionalidade dos dispositivos, e tornando-os cada vez mais pequenos, leves, baratos, fieis e de fácil

utilização. Hoje em dia os smarphones e tablets são os dispositivos mais usados, que possuindo

imensos recursos, permitem aceder à internet, realizar chamadas voz e vídeo, enviar mensagens,

utilizar inúmeras aplicações úteis como GPS, aceder a serviços meteorológicos e trânsito nas estradas,

entre outros. Assim, para suportar este crescente fluxo de informação, novos sistemas móveis têm

vindo a ser desenvolvidos ao longo do tempo (1G, 2G, 3G, 4G), oferecendo novos serviços e com

capacidade para satisfazer todos os pedidos.

A extrema beleza da comunicação sem fios deve-se ao facto da informação ser transportada por

uma onda eletromagnética que se propaga no espaço e tem o potencial de alcançar qualquer lugar em

qualquer direção ou distância. Esta forma de comunicação proporciona uma vantagem em termos de

mobilidade e acessibilidade, em relação à comunicação com fios. Tal flexibilidade tem um preço: a

comunicação sem fios envolve a propagação de ondas eletromagnéticas dentro de ambientes

complexos, diversificados e que apresentam grandes desafios:

As ondas que se propagam nestes ambientes não se encontram confinadas num guia como

acontece em linhas de transmissão;

Estes ambientes costumam conter inúmeros obstáculos que interagem negativamente com

a onda, como por exemplo, edifícios em área urbana, árvores, colinas ou montanhas em

áreas rurais, chuva proveniente da atmosfera, entre outros;

Interferência co-canal entre utilizadores no mesmo ambiente.

13

De modo a ultrapassar estes constrangimentos, é necessário um conhecimento profundo sobre

o comportamento das ondas ao propagarem-se em ambientes complexos. Assim, a radiopropagação

e os modelos de propagação em ambientes urbanos, suburbanos e rurais continuam a ter um interesse

de estudo muito elevado, vital para o desenvolvimento e projeção de novos e mais sofisticados sistemas

de comunicações móveis e de longa distância.

O objetivo desta dissertação é investigar e observar o modo como as ondas rádio podem ser

afetadas quando se propagam em ambientes complexos e com relevância não só para as

comunicações móveis, mas também para outros sistemas de comunicação via radio. Para tal, modelos

de propagação teóricos e empíricos são usados para realizar simulações em MATLAB®, que permitem

a visualização de diversos fatores característicos da radiopropagação e conduzem a uma melhor

compreensão dos diferentes fenómenos de propagação, com especial ênfase para a reflexão, refração

e difração de ondas eletromagnéticas em ambientes macro-célula e em serviços de comunicação de

longa distância.

1.3.Estrutura da dissertação

Este trabalho encontra-se organizado em seis capítulos, quatro dos quais abordando aspetos da

propagação de ondas eletromagnéticas. Cada um desses capítulos contém uma explicação teórica e

resultados experimentais.

No capítulo 1 é feito o enquadramento do trabalho no contexto da radiopropagação com base

numa breve síntese da evolução tecnológica, e são delineados os objetivos do trabalho.

No capítulo 2 aborda-se o tema das reflexões das ondas no solo. A onda refletida vai interferir

com o raio direto, provocando oscilações do campo elétrico em torno do valor do campo elétrico em

espaço livre. O efeito da polarização, da altura da antena de receção, da distância entre antenas e da

utilização de um agregado, é demonstrado ao longo deste capítulo.

Todos estes parâmetros vão influenciar o campo elétrico na receção. A polarização vai influenciar

a intensidade máxima e mínima do campo elétrico, enquanto a altura da antena de receção e a distância

entre antenas irão influenciar a distância e a altura à qual os máximos e mínimos do campo elétrico se

manifestam. O agregado de antenas vai influenciar a intensidade do campo.

No capítulo 3 são demonstrados os efeitos da difração causada por obstáculos. É simulado o

modelo Knife-edge, que consiste no cálculo de uma atenuação suplementar para o raio direto e raio

refletido a aplicar na expressão do campo elétrico, devido à presença do obstáculo.

Neste modelo consideram-se duas situações: antes do obstáculo utilizam-se os resultados

obtidos para a reflexão no solo, e após o obstáculo utiliza-se, então, o modelo Knife-edge para calcular

a atenuação suplementar. Esta será maior logo após o obstáculo, diminuindo tanto em altura como em

distância. À imagem do caso da reflexão no solo, este modelo é calculado variando a distância entre

14

as antenas e a altura da antena de receção. Também o efeito da frequência é demonstrado neste

capítulo.

O capítulo seguinte aborda o efeito da atmosfera no traçado de raios através do índice de

refração. Neste capítulo são demonstradas as trajetórias das ondas eletromagnéticas durante a

propagação pela atmosfera, sendo esta representada como um conjunto de camadas com índice de

refração diferente.

A primeira análise incide sobre o andamento dos raios em atmosfera com uma camada,

atmosfera padrão, sendo posteriormente demonstrado o comportamento dos raios na presença de

condições especiais (ductos – atmosfera com duas ou três camadas).

Ainda no capítulo 4, utilizou-se a função do traçado de raios para representar uma imagem

captada pelo olho humano, com origem num fenómeno natural provocado por uma atmosfera

caracterizada por diferentes índices de refração. Este tipo de fenómeno é mais conhecido por miragem.

Assim, dependendo do tipo de atmosfera, o utilizador tem hipóteses de visualizar uma miragem superior

ou uma miragem inferior.

Por último, para a simulação do campo elétrico em ambiente urbano, no capítulo 5 demonstra-

se o funcionamento de um modelo empírico e um modelo teórico, modelos Okumura-Hata e Walfisch-

Bertoni, respetivamente.

No caso do modelo Okumura-Hata, o valor médio do campo elétrico à receção é calculado para

ambientes urbanos, bem como para outro tipo de ambientes, terrenos e percursos, com o auxílio dos

respetivos fatores de correção do modelo, que dependem de parâmetros como a inclinação do terreno,

a altura da ondulação do terreno, orientação das ruas, entre outros.

Relativamente ao modelo Walfisch-Bertoni, a simulação compreende três zonas distintas para a

representação do campo elétrico na receção: a zona por cima dos edifícios, que vai desde a antena de

emissão até ao último edifício, onde apenas o raio direto tem contribuição no valor do campo elétrico;

a zona entre os edifícios corresponde à segunda zona, onde é usado o modelo Walfisch-Bertoni e são

consideradas as contribuições do efeito do multi-percurso e da difração no topo dos edifícios; a terceira

zona está compreendida entre o ultimo edifício e a distância máxima simulada, onde se usa o modelo

Knife-Edge para representar o campo elétrico. Na simulação do modelo Walfisch-Bertoni, é possível

observar a contribuição de alguns parâmetros importantes para a determinação da amplitude do campo

elétrico, como o coeficiente de reflexão dos edifícios e a frequência.

O capítulo 6 contém as conclusões e considerações finais do trabalho, bem como algumas

sugestões de trabalho futuro.

15

1.4.Contribuições principais

Este trabalho vem na extensão das matérias abordadas nas cadeiras de Radiopropagação,

Sistemas de Comunicações Móveis, Propagação e Radiação de Ondas Eletromagnéticas e Antenas.

Obtém-se um conjunto de simulações, cuja visualização gráfica e análise no contexto teórico têm

interesse a nível pedagógico e de projeto. A nível académico este trabalho permite uma melhor

compreensão sobre alguns dos fenómenos que ocorrem durante a propagação de ondas

eletromagnéticas em ambientes urbanos, através da simulação de alguns modelos de propagação. A

nível de projeto, os resultados obtidos da simulação dos vários modelos contribuem para o

dimensionamento de um sistema de comunicações de longa distância ou de um sistema de

comunicações móvel urbano.

17

2. RADIOPROPAGAÇÃO

2.1.Introdução

A transmissão de sinais entre dois pontos pode fazer-se por ondas guiadas, apoiando-se num

suporte físico – linhas, cabos, guias de onda – ou por ondas livres (ondas em espaço livre). Neste

segundo caso, salvo determinadas circunstâncias exóticas tal como por exemplo a comunicação via

satélite, a propagação faz-se sempre total ou parcialmente dentro da atmosfera terrestre. Seguem-se

alguns exemplos de serviços que fazem uso deste tipo de transmissão:

Sistemas de ajuda à navegação em onda longa (10 a 100 KHz);

Radiodifusão em onda média (~0.5 a 1.5 MHz);

Comunicações ponto a ponto em onda curta (3 a 30 MHz) em que a camada ionizada da

atmosfera (ionosfera) intervém como refletor;

Radiodifusão da televisão em bandas que se estendem do VHF até ao UHF (100 a 1000

MHz);

Feixes Hertzianos utilizados para a transmissão ponto a ponto de sinais na rede de transporte

de televisão (entre os centros de produção e os principais emissores; ligação aos estúdios

móveis), na rede telefónica interurbana (embora a perder peso para a fibra ótica), em

ligações entre estações de base e centros de controlo nas redes telefónicas móveis, sobre

distâncias curtas (da ordem das dezenas de km) e em que se utilizam frequências superiores

a 1 GHz (SHF);

Sistemas de comunicação via satélite, com o mesmo fim e na mesma banda que os

anteriores, mas cobrindo distâncias muito superiores (em geral maiores que 1000 km), neste

caso o sinal atravessa a atmosfera e a ionosfera por duas vezes;

Sistemas de comunicação móvel, sendo a transmissão de sinais entre estações de base e

terminais móveis nas redes de telefonia móvel atuais, feita principalmente nas bandas de

frequência de 900 MHz e 1800 MHz (GSM), 2100 MHz (UMTS) e 2600 MHz (LTE). As

estações terrestres do serviço podem servir áreas com dimensões entre 100-200m até às

dezenas de quilómetros, consoante a densidade de tráfego.

No caso geral a propagação não se pode considerar como sendo em espaço livre, i.e., simples

onda esférica divergindo da antena emissora e intercetada pela abertura da antena recetora. Algumas

considerações mostram que o processo de propagação é efetivamente mais complexo:

i) Muitas vezes as antenas estão situadas junto ao solo – um caso típico é o da radiodifusão em

onda média; ou o trajeto entre as antenas emissora e recetora pode não estar desimpedido de

18

obstáculos, i.e., elevações de terreno, árvores ou edifícios, ou simplesmente porque a distância

é tal que as antenas estão para além do horizonte uma em relação à outra. Por estas razões,

a propagação faz-se em presença da terra, o que lhe altera as características.

ii) A atmosfera é um meio com uma estrutura complexa e a primeira aproximação que consiste

em considerá-la como um meio constante no tempo, uniforme, homogéneo e isotrópico, com

índice de refração 𝑛 = 1, só muito excecionalmente é suficiente para o estudo de problemas

de propagação. Na realidade o índice de refração da baixa atmosfera é pouco maior que a

unidade, mas na ionosfera o índice de refração é o de um plasma, que não se pode considerar

sem perdas (𝑛 complexo). Mesmo na baixa atmosfera, o índice de refração varia com a altura

e essa variação dá origem a um encurvamento dos raios que ao fim de alguns quilómetros tem

que ser tomado em consideração. Para além desta variação, ainda se observam variações

locais que se alteram ao longo do tempo, em correlação com as condições meteorológicas e

que tem por efeito causar flutuações do sinal recebido, uma vez que os diferentes raios que o

compõem vão seguir trajetos ligeiramente diferentes uns dos outros. Finalmente, a existência

na atmosfera de partículas – gotas de chuva, poeiras, etc. – e de zonas de turbulência, dá

origem à dispersão de energia em detrimento do raio direto e pode causar interferência em

serviços próximos.

Conclui-se assim, que no estudo de um problema de propagação pode considerar-se que

intervêm dois tipos de fenómenos: por um lado a influência da Terra e por outro a variabilidade da

atmosfera. Em geral, haverá interação entre estes dois fenómenos. Outro aspeto que não se pode

deixar de considerar é o da variabilidade no tempo dos fenómenos atmosféricos, o que associa

considerações estatísticas ao estudo do problema de propagação.

Verifica-se assim, que a fenomenologia envolvida num processo de propagação é, na grande

generalidade dos casos, extremamente complexa. Por esta razão, para se poder chegar a resultados

úteis, há que decompor o processo em fenómenos separados e de tratamento mais simples. Estes

fenómenos, por sua vez, são esquematizados de forma a poder dar-se-lhes um tratamento matemático

apropriado. Muitas vezes não é claro que todo este procedimento conduza efetivamente a uma

descrição quantitativa que constitua uma boa representação do processo de propagação. Esta

incerteza resulta não só da complexidade do processo, como também de um conhecimento em geral

incompleto da fenomenologia, pelo que os modelos matemáticos pelos quais se pretende representar

os fenómenos intervenientes, poderão estar mal ligados à realidade.

Um engenheiro de telecomunicações preocupa-se fundamentalmente com o cálculo das perdas

suplementares de transmissão, i.e., perdas para além da atenuação que se deve à simples expansão

da onda esférica correspondente à propagação em espaço livre. Este cálculo tem de ser rigoroso: um

pequeno erro de que resulte um aumento de 3 dB obriga a duplicar, por exemplo, a potência no emissor,

o que é sempre dispendioso e pode ser muito difícil de gerir em determinadas circunstâncias.

19

Um cálculo rigoroso, ou a simples discussão da sua viabilidade e rigor, só pode fazer-se com um

bom conhecimento dos aspetos físicos primordiais dos fenómenos de propagação, do grau de validade

dos modelos que se aplicam e das suas limitações.

2.2.Propagação em espaço livre

Uma antena pode ser utilizada nos modos de emissão e receção. Para obter as expressões que

permitem calcular a potência transmitida entre duas antenas e a intensidade do campo em espaço livre,

i.e., fora da presença de quaisquer obstáculos e num meio uniforme, homogéneo e isotrópico, é

necessário ter em consideração os parâmetros que caracterizam o comportamento das antenas.

Nestas circunstâncias admite-se que se tem uma onda esférica TEM centrada na antena emissora

(está-se assim na zona distante da antena).

2.2.1.Potência transmitida entre duas antenas

Seja 𝑃𝑒 a potência emitida pelo emissor. Se um emissor for envolvido por uma superfície fechada,

𝑆, a radiação de energia eletromagnética implica que haja um fluxo de energia através e para o exterior

de 𝑆 (ver Figura 2.1).

𝑆

𝑃𝑒

𝑥

𝑧

𝑦

𝜑

𝜃

0

𝑃

Figura 2.1 – Potência radiada através da superfície fechada 𝑺 (à esquerda). Coordenadas esféricas do campo radiado na zona distante (à direita). (adaptado de [2])

𝑟

Dipolo

20

Em termos de potência radiada isso significa que o valor médio da potência radiada através de

𝑆 será dado por

𝑃𝑒 = ∫ 𝑅𝑒

(�� × ��∗)𝑛𝑒2

𝑑𝑆𝑆

(2.1)

em que

𝑆𝑃𝑐 =

1

2(�� × ��∗) (2.2)

é o vetor complexo de Poynting e 𝑛𝑒 a normal externa de 𝑆.

Conclui-se, assim, que a potência radiada obtém-se por integração da densidade de fluxo de

potência através de uma superfície esférica, na zona distante.

O valor médio, no tempo, do vetor de Poynting é dado por

⟨𝑆𝑃⟩ = 𝑅𝑒{𝑆𝑃

𝑐} = 𝑅𝑒 {1

2(�� × ��∗)} (2.3)

Sabendo que a área da superfície esférica na receção à distância 𝑟 é 4𝜋𝑟2, e se a potência for

emitida isotropicamente, o módulo do valor médio do vetor de Poynting, na direção radial, é dado por

𝑆𝑃(𝜃, 𝜑) = 𝑃𝑒

1

4𝜋𝑟2=1

2 𝐸 𝐻 [𝑊 𝑚−2] (2.4)

onde 𝐸 e 𝐻 são respetivamente as amplitudes do campo elétrico (𝑉 𝑚−1) e do campo magnético (𝐴 𝑚−1)

da onda esférica TEM.

Nas condições anteriores, a potência recebida por uma antena recetora de abertura

𝐴𝑒𝑓(𝜃, 𝜑) [𝑚2] será

𝑃𝑟 = 𝑃𝑒

𝐴𝑒𝑓(𝜃, 𝜑)

4𝜋𝑟2 [𝑊] (2.5)

em que 𝐴𝑒𝑓(𝜃, 𝜑) é a abertura efetiva da antena recetora na direção (𝜃, 𝜑). Admite-se que a polarização

da onda incidente é concordante com a da antena de receção.

21

Figura 2.2- Potência recebida por uma antena de abertura 𝑨𝒆𝒇.

A potência na receção é proporcional à intensidade do vetor de Poynting incidente (Figura 2.2).

A constante de proporcionalidade designa-se por área efetiva da antena, 𝐴𝑒𝑓(𝜃, 𝜑).

O conceito de área, ou abertura, efetiva de uma antena na direção (𝜃, 𝜑) é especialmente útil no

modo de receção, permitindo determinar, em condições de adaptação de polarizações, a potência

disponível na receção a partir do conhecimento da intensidade do valor médio local do vetor de

Poynting, 𝑆𝑃, associado à onda que incide segundo a direção (𝜃, 𝜑).

Seja agora 𝐺𝑟 o ganho da antena de receção em relação a uma antena isotrópica, segundo a

direção (𝜃, 𝜑) do emissor. Sabe-se que

𝐺𝑟(𝜃, 𝜑) = 4𝜋

𝐴𝑒𝑓(𝜃, 𝜑)

𝜆2 (2.6)

pelo que a potência recebida será

𝑃𝑟 =

1

(4𝜋)2(𝜆

𝑟)2

𝑃𝑒𝐺𝑟 (2.7)

Se o emissor não for isotrópico, mas tiver um ganho 𝐺𝑒 na direção (𝜃, 𝜑) da antena recetora,

será

𝑃𝑟 = 𝑃𝑒𝐺𝑒𝐺𝑟

1

(4𝜋)2(𝜆

𝑟)2

(2.8)

onde se introduz o conceito de perdas de espaço livre, 𝐿𝑓𝑠, dado por

𝐿𝑓𝑠 = (

4𝜋𝑟

𝜆)2

(2.9)

𝑃𝑟

𝑆𝑃,𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒(𝜃, 𝜑)

Recetor

22

e 𝑃𝑒 é agora a potência entregue pelo emissor à respetiva antena. Em dB vem

𝑃𝑟[𝑑𝐵𝑊] = 𝑃𝑒[𝑑𝐵𝑊]+𝐺𝑒[𝑑𝐵𝑖] + 𝐺𝑟[𝑑𝐵𝑖] − 20𝑙𝑜𝑔 (

4𝜋𝑟

𝜆) (2.10)

No caso de haver uma atenuação suplementar 𝐿𝑃, vem

𝑃𝑟[𝑑𝐵𝑊] = 𝑃𝑒[𝑑𝐵𝑊]+𝐺𝑒[𝑑𝐵𝑖] + 𝐺𝑟[𝑑𝐵𝑖] − 𝐿𝑓𝑠[𝑑𝐵]− 𝐿𝑃[𝑑𝐵] (2.11)

2.2.2.Intensidade do campo

Nas condições anteriores o fluxo de potência é dado, para um ganho de 𝐺𝒆 na direção (𝜃, 𝜑) do

recetor, por:

𝑆𝑃(𝜃, 𝜑) =

𝑃𝑒𝐺𝑒(𝜃, 𝜑)

4𝜋𝑟2=1

2 𝐸 𝐻 (2.12)

Como entre 𝐸 e 𝐻 existe a relação:

𝐸 = 𝑍0𝐻 (2.13)

em que 𝑍0 = (𝜇0 휀0⁄ )1 2⁄ = 120𝜋 [Ω] denota a impedância característica de onda em espaço livre (meio

com índice de refração “absoluto” 𝑛 = 1), substituindo (2.13) em (2.12) o valor eficaz e o valor máximo

do vetor de Poynting vêm, respetivamente, dados por:

𝑆𝑃 =

𝐸2

2𝑍0 (2.14)

𝑆𝑃𝑚á𝑥 =

𝐸2

𝑍0 (2.15)

Vindo a amplitude do campo elétrico à distância 𝑟, devido a um emissor de potência 𝑃𝑒 e ganho 𝐺𝑒,

dada pela seguinte expressão:

𝐸 =1

𝑟√𝑍0𝑃𝑒𝐺𝑒2𝜋

(2.16)

O que para a baixa atmosfera (𝑍0 ≈ 120𝜋 [Ω]) se pode escrever muito aproximadamente:

23

𝐸 =

√60𝑃𝑒𝐺𝑒𝑟

(2.17)

Analogamente:

𝐻 =1

𝑟√𝑃𝑒𝐺𝑒240𝜋

(2.18)

Ao produto 𝑃𝑒 𝐺𝑒 que aparece em (2.17) e (2.18) é usual chamar-se “potência aparente” ou a

“potência equivalente radiada isotropicamente” (EIRP) do emissor.

2.2.3.Equação do radar

Uma aplicação comum da teoria explicada anteriormente é o sistema de radar. O radar é um

dispositivo destinado fundamentalmente à localização de objetos distantes por meio de ondas refletidas

nesses objetos. Na sua forma mais elementar, o emissor envia um impulso curto por intermédio de uma

antena muito diretiva. O impulso é refletido pelo alvo, sendo o eco captado pela mesma antena que

entretanto foi ligada a um recetor (radar monoestático). A orientação da antena fornece as coordenadas

angulares do alvo (azimute e altura), enquanto o tempo que decorre entre a emissão do impulso e a

receção do eco dá a distância do alvo.

e

i ALVO

Figura 2.3-Radar monoestático. (adaptado de [1])

24

A equação do radar é dada pela seguinte expressão:

𝑃𝑟𝑃𝑒=

1

4𝜋𝑟2. 𝐺(𝑒). 𝜎.

1

4𝜋𝑟2. 𝐴𝑒𝑓(𝑒) =

𝐺2𝜎𝜆2

(4𝜋)3𝑟4 (2.19)

onde, 𝐺 representa o ganho da antena, 𝐴𝑒𝑓 =𝜆2

4𝜋𝐺 a abertura da antena, 𝜎(𝑖, −𝑖) a área equivalente do

alvo (depende da direção de incidência e de reflexão), e 𝑟 a distância do alvo.

Esta equação estabelece a relação entre a potência recebida no eco (𝑃𝑟) e a potência fornecida

à antena pelo emissor (𝑃𝑒).

2.2.4.Dipolo linear de meia onda

Neste trabalho, os resultados de simulação são obtidos através de simulações em que se utilizam

antenas de comprimento 𝐿 = 2𝑙 = 𝜆 2⁄ , ditas abreviadamente antenas ou dipolos lineares de 𝜆 2⁄ .

Considere-se a expressão do campo de uma antena retilínea na zona distante [2]:

��𝜃 = 𝑗

𝑍02𝜆𝑟

𝐼�� ℎ𝑒𝑓 𝑒−𝑗𝑘𝑟 𝑓𝐷(𝜃) (2.20)

em que, 𝐼�� é a corrente aos terminais da antena (corrente de entrada, que no caso da antena de 𝜆 2⁄

corresponde ao máximo da corrente), ℎ𝑒𝑓 é a altura efetiva, 𝑓𝐷(𝜃) designa-se por fator direcional

relativo ou simplesmente fator direcional, 𝑘 é a constante de propagação, 𝑟 é a distância, 𝜆 é o

comprimento de onda e 𝑍0 é a impedância característica da onda em espaço livre.

Para a antena de 𝜆 2⁄ , a altura efetiva e o fator direcional vêm, respetivamente

ℎ𝑒𝑓 =

𝜆

𝜋tan (𝜋

𝑙

𝜆) =

𝜆

𝜋 (2.21)

𝑓𝐷(𝜃) =cos(𝑘𝑙 cos𝜃) − cos𝑘𝑙

(1 − cos 𝑘𝑙)sin𝜃=cos (

𝜋2 cos𝜃)

sin𝜃 (2.22)

25

Finalmente, o módulo do campo radiado na zona distante pela antena de 𝜆 2⁄ vem dado pela

seguinte expressão:

𝐸𝜃 =𝑍0𝐼𝑀2𝜋𝑟

cos (𝜋2 cos𝜃)

sin𝜃 (2.23)

É fácil verificar que a intensidade máxima de 𝐸𝜃 obtém-se para 𝜃 = 𝜋 2⁄ . Designa-se o campo

correspondente por 𝐸𝑀.

𝐸𝑀 =

𝑍0𝐼𝑀2𝜋𝑟

(2.24)

Pelo que substituindo em (2.23), ficamos com

𝐸𝜃 = 𝐸𝑀 𝑓𝐷(𝜃) (2.25)

A antena de 𝜆 2⁄ , tal como um dipolo de Hertz, radia isotropicamente em azimute, 𝜑. O mesmo

não se verifica no que respeita à colatitude, 𝜃, onde ambos exibem propriedades diretivas.

A direccionalidade da antena de 𝜆 2⁄ está definida pela expressão (2.22), o que representa um

diagrama de radiação de tipo toroidal (ver Figura 2.4 e 2.5), do campo elétrico normalizado ao máximo

(𝐸𝜃 𝐸𝑀⁄ ).

Figura 2.4-Diagrama de radiação do dipolo de meio onda, no plano 𝒛𝒚.

26

Figura 2.5-Diagrama de radiação tridimensional do dipolo de meia onda.

27

2.3.Reflexão no solo

Devido à presença da terra e dependendo das propriedades materiais do terreno, natureza e

orografia, diversos fenómenos podem ocorrer na propagação de ondas eletromagnéticas. A reflexão e

dispersão de ondas no terreno constituem dois dos fenómenos que podem ocorrer durante a

propagação.

A interferência de raios diretos propagados em espaço livre com raios refletidos ou dispersados

no solo, pode ser de natureza construtiva ou destrutiva do sinal, podendo no segundo caso representar

um problema significativo na receção.

Irá ser analisado o caso da reflexão especular em terreno liso, pois deste modo a reflexão do

raio no terreno é concentrada num ponto, não havendo energia dispersada noutras direções, o que

permite nestas condições explorar e analisar situações de interferência extrema. Para estudar este

efeito, considera-se o terreno plano, i.e., despreza-se a curvatura da terra (aproximação da terra plana).

Para determinar o fator de reflexão do terreno em sinais com polarização horizontal e vertical, é

necessário ter em conta diversos fatores, tais como o ângulo de incidência ao solo 𝜓 ou ângulo de fogo,

e o índice de reflexão do solo em relação ao ar.

Algumas considerações a tomar:

A direção de propagação da onda refletida está assente no mesmo plano que a direção da

onda incidente.

O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência.

Seja 𝑛, o índice de reflexão do solo em relação ao ar, dado por

𝑛 = (ℰ𝑠

′

ℰ0)

12

(2.26)

Onde ℰ𝑠′ = ℰ𝑠 − 𝑗 𝜎𝑠 𝜔⁄ e ℰ𝑠 = ℰ𝑟ℰ0. Sendo ℰ𝑠

′ a constante dielétrica complexa do solo, ℰ𝑟 é a

constante dielétrica relativa do solo, ℰ0 é a permitividade elétrica do ar tomada igual à do vácuo, 𝜎𝑠 é a

condutividade elétrica do solo e 𝜓 é o ângulo de chegada da onda incidente.

Polarização Horizontal Polarização Vertical

𝐸𝑖

𝐸𝑟 𝐻𝑖

𝐻𝑟

𝐻𝑖

𝐸𝑖

𝐸𝑟

𝐻𝑟

𝑘𝑖 𝑘𝑟

𝜓 𝜓

𝑘𝑖 𝑘𝑟

𝜓 𝜓

Figura 2.6 – Reflexão em diferentes polarizações. (adaptado de [1])

28

Os campos refletidos vêm dados pelos coeficientes de Fresnel pela seguinte relação de

campos:

Polarização horizontal

Γ𝐻 =𝐸𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜

𝐸𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒=sin𝜓 − √𝑛2 − cos2𝜓

sin𝜓 + √𝑛2 − cos2𝜓 (2.27)

Polarização vertical

Γ𝑉 =𝐻𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜

𝐻𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒=𝐸𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜

𝐸𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒=𝑛2sin𝜓 − √𝑛2 − cos2𝜓

𝑛2sin𝜓 + √𝑛2 − cos2𝜓 (2.28)

Em polarização vertical existe um ângulo de incidência para o qual |Γ𝑉| passa por um mínimo

próximo de zero, designado pseudo-ângulo de Brewster. Assim, para Γ𝑉(𝜓𝐵) = 0 :

𝜓𝐵 = arccos [

𝑛

√1 + 𝑛2] (2.29)

Com estes resultados é possível estudar e analisar o comportamento dos campos na chamada

zona de interferência, para a situação de terra plana.

Em distâncias sucessivamente crescentes, o campo oscila em torno de um valor médio,

correspondente à propagação em espaço livre. Esta oscilação deve-se à interferência entre os raios

diretos e refletidos sobre o terreno, na zona de interferência.

Para efetuar uma análise do efeito de interferência entre o raio direto e o refletido, considera-se

o caso particular de uma antena emissora no solo a enviar um sinal a um recetor em movimento, por

exemplo um avião. O recetor desloca-se com uma altura constante.

𝜓

Figura 2.7 - Raio direto e raio refletido. (adaptado de [1])

𝑑

𝑟𝑑

𝑟𝑟

ℎ2

ℎ1

29

Os raios refletido e direto vêm dados respetivamente pelas seguintes expressões:

𝑟𝑟2 = 𝑑2 + (ℎ1 + ℎ2)

2

(2.30)

𝑟𝑑2 = 𝑑2 + (ℎ2 − ℎ1)

2 (2.31)

em que 𝑑 é a distância entre as duas antenas, ℎ1 e ℎ2 as alturas da antena emissora e recetora,

respetivamente.

A diferença de trajetos é dada por (Figura 2.7):

Δ𝑟 = 𝑟𝑟 − 𝑟𝑑 (2.32)

Atendendo a que em geral se tem 𝑑 ≫ ℎ1, ℎ2, a diferença de trajetos poderá vir dada

aproximadamente por :

Δ𝑟 ≈ 2

ℎ1ℎ2𝑑

(2.33)

e por outro lado:

tan𝜓 =

ℎ1 + ℎ2𝑑

≪ 1 (2.34)

sendo 𝜓, o ângulo de chegada da onda incidente, ou ângulo de fogo.

O vetor campo elétrico dos raios direto e refletido é dado respetivamente pelas seguintes

expressões:

𝐸𝑑 =

𝐸0𝑟𝑑𝑒−𝑗𝑘𝑟𝑑 (2.35)

𝐸𝑟 =

𝐸0𝑟𝑟𝛤𝑉,𝐻 𝑒−𝑗𝑘𝑟𝑟 (2.36)

em que Γ𝑉,𝐻 é o coeficiente de Fresnel para polarização horizontal ou vertical, que na sua forma polar

é expresso da seguinte forma:

𝛤𝑉,𝐻 = |𝛤𝑉,𝐻|𝑒𝑗𝑎𝑟𝑔𝛤𝑉,𝐻

(2.37)

30

O campo total na localização do recetor, neste caso a posição do avião, resulta então da

sobreposição do campo direto com o refletido. No caso de polarização horizontal, na localização do

recetor ambos os vetores dos campos direto e refletido são paralelos e portanto a sobreposição destes

resulta na sua soma. Para polarização vertical, na receção, o ângulo entre os vetores de ambos os

campos é muito pequeno, dado que em geral se tem 𝑑 ≫ ℎ1, ℎ2 ,i.e., são praticamente paralelos, e

portanto a sobreposição destes resulta, de forma aproximada, na sua soma também.

�� = 𝐸𝑑 + 𝐸𝑟 ⇔ (2.38)

⇔ �� = 𝐸𝑑 (1 +

𝐸𝑟

𝐸𝑑) ⇔ (2.39)

⇔ �� = 𝐸𝑑 [1 + |Γ𝑉,𝐻|

𝑟𝑑𝑟𝑟𝑒−𝑗(𝑘Δ𝑟−𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻

)] (2.40)

Na situação em que se verifica 𝑑 ≫ ℎ1, ℎ2 , então (𝑟𝑑/𝑟𝑟) ≈ 1. O campo resultante vem

aproximadamente dado por:

�� ≈ 𝐸𝑑 [1 + |Γ𝑉,𝐻|𝑒𝑗Δ𝜙] (2.41)

onde Δ𝜙 representa a diferença de fase resultante da sobreposição dos campos direto e refletido:

Δ𝜙 = 𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻 − 2𝜋

Δ𝑟

𝜆 (2.42)

A amplitude máxima do campo direto na zona distante, em espaço livre é dado por:

𝐸𝑑 =

√60𝑃𝑒𝐺𝑒

𝑟𝑑 (2.43)

Na zona de interferência o campo total oscila ao longo da distância, entre máximos se a

interferência entre os raios for construtiva (em fase), e mínimos se a interferência for destrutiva (em

oposição de fase). Observa-se um máximo para 𝑒𝑗Δ𝜙 = 1 e um mínimo para 𝑒𝑗Δ𝜙 = −1.

Máximo: (𝐸

𝐸𝑑)𝑚𝑎𝑥

= 1 + |Γ𝑉,𝐻|

(2.44)

Mínimo: (𝐸

𝐸𝑑)𝑚𝑖𝑛

= 1 − |Γ𝑉,𝐻| (2.45)

31

Estes extremos ocorrem em intervalos de fase 𝜋. Portanto:

𝑘Δ𝑟 − 𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻 = 𝑛𝜋 ⇔ (2.46)

E atendendo a que em geral se tem 𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻 ≈ −𝜋 para 𝑑 ≫ ℎ1, ℎ2:

2𝑘ℎ1ℎ2𝑑

= (𝑛 − 1)𝜋 ⇔ (2.47)

Obtém-se após alguma manipulação a expressão que possibilita determinar as distâncias para

o qual se observa os extremos:

𝑑𝑛 = 4

ℎ1ℎ2(𝑛 − 1)𝜆

, com 𝑛 = 2,3,… (2.48)

𝑛 par ⇒ Máximos

𝑛 impar ⇒ Mínimos

De notar que para |Γ𝑉,𝐻| ≈ 0, o máximo e o mínimo são aproximadamente iguais, i.e., o campo

total resultante é aproximadamente igual ao campo do raio direto em propagação em espaço livre. Este

evento pode acontecer em polarização vertical quando existe um ângulo de incidência para o qual |Γ𝑉|

passa por um mínimo acentuado, o pseudo-ângulo de Brewster.

2.4.Simulações

As Figuras 2.8 a 2.13 representam os resultados da variação do campo total com a distância

para o cenário em estudo, i.e., considerando a aproximação terra plana, tendo em conta o raio direto e

refletido pelo solo. O Avião (recetor) encontra-se a 1000 m de altura em voo horizontal sobre o mar

(휀𝑟 = 81, 𝜎𝑠 = 5 [Ω−1𝑚−1]). Os parâmetros que caracterizam as propriedades do terreno são usados no

cálculo dos coeficientes de Fresnel em polarização horizontal e vertical. Para o emissor considera-se

um dipolo de meia-onda (𝜆/2), a emitir um sinal em polarização horizontal ou vertical, à altura de 250

m do solo. A potência entregue à antena é de 10 W, ganho de 10 dBi e comprimento de onda (𝜆) de

4 m.

Nas Figuras 2.14 a 2.18 analisa-se a influência e contributo que um agregado de antenas de

meia-onda no emissor tem na propagação.

32

Para o cálculo do campo é necessário acrescentar à expressão (2.40) as contribuições do fator

direcional da antena e do fator do agregado, tanto para o raio direto como para o raio refletido. O fator

direcional do raio direto e refletido vem, respetivamente

𝑓𝐷(𝜃𝑑) =cos (

𝜋2 cos

(𝜃𝑑))

sin (𝜃𝑑) (raio direto) (2.49)

𝑓𝐷(𝜃𝑟) =cos (

𝜋2cos(𝜃𝑟))

sin (𝜃𝑟) (raio refletido) (2.50)

O fator do agregado é dado por:

𝐹𝑑 =sin (𝑁𝑎𝑛𝑡

𝛾𝑑2)

sin (𝛾𝑑2 )

(raio direto) (2.51)

𝐹𝑟 =sin (𝑁𝑎𝑛𝑡

𝛾𝑟2 )

sin (𝛾𝑟2 )

(raio refletido) (2.52)

onde, 𝛾𝑑 = 𝑘 × 𝑑𝑎𝑛𝑡 × cos(𝜃𝑑) + 𝛿 , 𝛾𝑟 = 𝑘 × 𝑑𝑎𝑛𝑡 × cos(𝜃𝑟) + 𝛿 e 𝑁𝑎𝑛𝑡, 𝑑𝑎𝑛𝑡 e 𝛿 representam o número

de antenas do agregado, a distância entre as antenas e a diferença de fase entre a corrente destas,

respetivamente.

Os ângulos 𝜃𝑑 e 𝜃𝑟 representam a colatitude (90𝑜 − 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒) dos raios direto e refletido,

respetivamente.

Sendo

𝜃𝑑 =

𝜋

2− tan−1 (

𝑎𝑏𝑠(ℎ2 − ℎ1)

𝑑) (2.53)

𝜃𝑟 =

𝜋

2− tan−1 (

ℎ1 + ℎ2𝑑

) (2.54)

O campo total é então dado pela seguinte expressão:

�� = 𝐸𝑑 [𝑓𝐷(𝜃𝑑)𝐹𝑑 + 𝑓𝐷(𝜃𝑟)𝐹𝑟|Γ𝑉,𝐻|

𝑟𝑑𝑟𝑟𝑒−𝑗(𝑘Δ𝑟−𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻

)] (2.55)

33

As duas primeiras figuras, 2.8 e 2.9 respetivamente, representam a variação do campo elétrico

normalizado 𝐸 𝐸𝑑⁄ com a distância, para polarização horizontal (PH). Considera-se apenas uma

antena emissora. Tendo em conta o terreno (mar), a polarização e as distâncias em jogo (onde 𝑑 ≫

ℎ1, ℎ2), na Figura 2.8 faz-se a simulação recorrendo ao modelo aproximado. Admite-se deste modo

que 𝑟𝑟 = 𝑟𝑑 pois a distância em jogo é bastante elevada, Δ𝑟 é dado pela expressão (2.33) ,

𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻 = −𝜋 e |Γ𝐻| = 1. Nestas condições o campo normalizado é dado pela seguinte expressão:

��

𝐸𝑑= 𝑓𝐷(𝜃𝑑) + 𝑓𝐷(𝜃𝑟)𝑒

−𝑗(𝑘 ×2ℎ1ℎ2𝑑

+𝜋) (2.56)

A Figura 2.9 representa a amplitude do campo normalizado ao longo da distância, usando o

modelo exato (sem aproximações). O campo normalizado vem então dado por:

��

𝐸𝑑= 𝑓𝐷(𝜃𝑑) + 𝑓𝐷(𝜃𝑟)|Γ𝐻|

𝑟𝑑𝑟𝑟𝑒−𝑗(𝑘Δ𝑟−𝑎𝑟𝑔Γ𝐻

) (2.57)

em que Γ𝐻 é o fator de reflexão em polarização horizontal e é dado pela expressão (2.27). Os

parâmetros 𝑟𝑟, 𝑟𝑑 e Δ𝑟 são calculados através das expressões (2.30), (2.31) e (2.32), respetivamente.

Figura 2.8 - Variação da amplitude do campo normalizado com a distância, recorrendo a aproximações. Sinal emitido em PH.

34

Numa primeira análise, verifica-se que os resultados obtidos tanto para o modelo aproximado

como para o modelo exato, usados para simular a variação do campo normalizado, são bastante

próximos. Trata-se de um resultado esperado, e tal deve-se ao facto de a distância entre as antenas e

o fator de reflexão do mar serem bastante elevados.

Devido ao facto de o campo ser normalizado, este oscila entre um máximo e um mínimo ao longo

da distância, 2 𝑉𝑚−1 e 0 𝑉𝑚−1, respetivamente. A oscilação do campo entre estes valores está de

acordo com o previsto, dado que em polarização horizontal e para uma observação rasante (𝜓 < 5𝑜) o

fator de reflexão é bastante elevado (|Γ𝐻| ≈ 1), pelo que, os raios direto e refletido terão uma amplitude

idêntica. Utilizando as expressões (2.44) e (2.45), chega-se facilmente a estes resultados, em relação

ao máximo e ao mínimo. A oscilação deve-se à variação da diferença de fase do campo ao longo da

distância.

Nas Figuras 2.10 a 2.13 representa-se a variação da amplitude do campo total com reflexão no

solo ao longo da distância, para um comprimento de onda (𝜆) de 4 m, utilizando o modelo exato

(expressão (2.55)). Considera-se apenas uma antena emissora. Estas figuras representam uma

simulação mais rigorosa e próxima da realidade.

Figura 2.9 - Variação da amplitude do campo normalizado com a distância. Sinal emitido em PH.

35

Figura 2.10 - Variação da amplitude do campo elétrico com a distância. Sinal emitido em PH.

Figura 2.11 - Variação da amplitude do campo elétrico com a distância, em unidades logarítmicas. Sinal emitido em PH.

36

Os resultados obtidos nas Figuras 2.10 e 2.11 permitem interpretar o comportamento do campo

em polarização horizontal, na zona de interferência. Aumentando sucessivamente a distância verifica-

se que o campo oscila em torno de um valor médio, correspondente à propagação em espaço livre

(linha vermelha). Este fenómeno deve-se à interferência entre o campo direto (definido entre a antena

emissora e o ponto de observação) e refletido. Em polarização horizontal e em particular neste caso

em que o terreno tem uma condutividade elevada (mar) e sabendo que as distâncias são bastante

elevadas, o que implica que a incidência seja rasante (𝜓 < 5𝑜), a reflexão é sempre praticamente total.

Como consequência, a amplitude do campo total é próxima de zero quando se atinge um mínimo nas

distâncias mais elevadas, pois, quando as ondas estão em oposição de fase, a interferência será

bastante destrutiva devido ao facto de ambos os campos, do raio direto e refletido, terem amplitude

idêntica. Observa-se também a diminuição de intensidade do campo à medida que a distância aumenta.

Na Figura 2.11 apresenta-se a variação da amplitude do campo em 𝑑𝐵 𝜇𝑉𝑚−1, com a distância

em escala logarítmica.

As Figuras 2.12 e 2.13 ilustram os resultados obtidos para um sinal emitido em polarização

vertical. À imagem dos casos anteriores, considera-se apenas uma antena emissora.

Figura 2.12 - Variação da amplitude do campo elétrico com a distância. Sinal emitido em PV.

37

Em polarização vertical a reflexão é praticamente total para incidência rasante, mas para

distâncias significativamente superiores às do caso anterior e, consequentemente, com valores muito

menores do ângulo de chegada (𝜓 < 0.5𝑜), razão pelo qual nas Figuras 2.12 e 2.13 não se observam

mínimos tão acentuados em comparação com o caso da polarização horizontal.

O ângulo de Brewster é bem visível na região entre 10000 e 15000 m. Substituindo (2.29) em

(2.34) conclui-se que este ângulo localiza-se, mais precisamente, à distância de 11250 m, sendo este

o ponto onde se verifica que |Γ𝑉| passa por um mínimo acentuado, bastante próximo de zero. O campo

resultante coincide com a linha vermelha, i.e., o campo elétrico neste intervalo é aproximadamente

igual ao campo em propagação em espaço livre.

Figura 2.13 - Variação da amplitude do campo elétrico com a distância, em unidades logarítmicas. Sinal emitido em PV.

38

Nas figuras que se seguem, o campo é calculado ponto a ponto desde a zona próxima da antena

até a um limite escolhido. Tanto a distância entre as antenas como a altura foram divididas em

intervalos. Como a distância entre as antenas costuma ser superior à altura, considerou-se um maior

número de intervalos para a distância do que para a altura. O comprimento vertical (𝐿𝑣) de cada

intervalo é dado por

𝐿𝑣 =

ℎ𝑚𝑎𝑥𝑛𝑣

(2.58)

em que 𝑛𝑣 é o número de intervalos verticais. O comprimento horizontal (𝐿ℎ) é dado por

𝐿ℎ =

𝑧𝑚𝑎𝑥𝑛ℎ

(2.59)

onde 𝑛ℎ é o número de intervalos horizontais.

Nas simulações considerou-se 250 intervalos horizontais e 100 intervalos verticais. Os

parâmetros 𝑧𝑚𝑎𝑥 e ℎ𝑚𝑎𝑥 correspondem à distância máxima entre as antenas e à altura máxima que o

raio pode atingir nas simulações, respetivamente.

Para a representação do campo recorreu-se à função imagesc do MATLAB®, que atribui cores

conforme os valores da matriz do campo elétrico. Estas cores foram atribuídas pela função

colormap (jet).

A Figura 2.14 ilustra a variação da amplitude do campo elétrico em espaço livre, em função da

distância. O sinal (onda esférica) é emitido por um dipolo de meia-onda (𝜆 2⁄ ) a 60 m de altura, de

potência 10 W, ganho 15 dBi e frequência 1000 MHz. Como se pode observar, a intensidade do campo

elétrico vai diminuindo à medida que a distância e a altura aumentam.

Figura 2.14 – Campo elétrico em espaço livre.

39

Na Figura 2.15 analisa-se o efeito que um agregado de duas e quatro antenas tem na

propagação em espaço livre. Utilizam-se antenas a radiar uma potência de 10 W, com um ganho de

emissão de 15 dBi e frequência 1000 MHz. As antenas encontram-se distanciadas de 𝜆 2⁄ e estão

alimentadas em fase. Procedendo à análise da simulação, verifica-se que a intensidade do campo

aumenta e o lobo principal fica mais estreito, i.e., o feixe é mais diretivo. Isto deve-se ao facto de que

quando se utiliza um agregado, o diagrama de radiação tende a reforça-se na horizontal e a anular-se

na vertical. No caso do agregado de quatro antenas, salienta-se a presença de dois lobos secundários.

Figura 2.15 - Campo elétrico em espaço livre com um agregado de duas antenas (à esquerda) e um agregado de quatro antenas (à direita).

Para um melhor entendimento do efeito que um agregado tem na propagação, foram simulados

vários casos, que se encontram representados na Figura 2.16. Na imagem superior esquerda

representa-se a variação do campo emitido, utilizando apenas uma antena com potência de 10 W. A

imagem superior direita corresponde a um agregado de duas antenas, cada uma a emitir uma potência

de 10 W, separadas entre si de 𝜆/2 e com as correntes em fase. Em relação à primeira imagem, o

diagrama da segunda apresenta um lobo mais estreito, embora a amplitude do campo elétrico seja

mais elevada. O agregado torna a radiação mais diretiva. Alterando por sua vez a distância entre as

antenas para 2𝜆 (imagem inferior esquerda) e o desfasamento das correntes para 45º mantendo uma

distância de 2𝜆 (imagem inferior direita), começam a surgir lobos secundários na radiação das antenas

e, consequentemente, zonas onde o campo é mais intenso e zonas onde é menos intenso. O

desfasamento das correntes faz com que os lobos secundários sejam maiores e que o lobo principal

diminua. Todas as figuras encontram-se representadas para uma frequência de 1000 MHz e um ganho

por antena de 15 dBi. Em relação à Figura 2.15, os valores do campo elétrico, em cada ponto, estão

em V/m e não em unidades logarítmicas. Para aumentar a nitidez das imagens mudou-se para um

conjunto de cores mais apropriado, através da função colormap (bone) do MATLAB®.

40

Figura 2.16 - Efeito do agregado de antenas.

Nas Figuras 2.17 e 2.18 é representado o efeito e o impacto que as reflexões no solo têm na

variação da amplitude do campo elétrico ao longo da distância e também da altura da antena de

receção, ponto a ponto. É feito um varrimento de 0 a 100 m de altura, ao longo de uma distância de

2000 m. Na primeira situação a antena emite um sinal em polarização vertical, com potência de emissão

de 10 W, ganho de 15 dBi e frequência de 500 MHz, em solo húmido. A partir de cerca de 500 m de

distância é possível distinguir os máximos e mínimos do campo na receção, ao longo da distância e da

altura.

41

Figura 2.17 – Variação da amplitude do campo elétrico com reflexão no solo. Sinal emitido em PV.

Por último, na Figura 2.18 representa-se a variação da amplitude do campo em função da

distância e altura da antena de receção, quando o sinal é emitido por um agregado de duas antenas

de meia-onda, em polarização vertical. Cada antena radia com uma potência de 10 W, ganho de 15

dBi e frequência 500 MHz, separadas de 𝜆 2⁄ e sem desfasagem entre as correntes. Comparando com

a situação anterior, neste caso o valor do campo elétrico será maior para distâncias mais longas.

Verifica-se também que o ponto a partir do qual se começam a notar os máximos e mínimos aumenta.

Figura 2.18 – Variação da amplitude do campo elétrico com reflexão no solo usando um agregado de duas antenas. Sinal emitido em PV.

43

3. DIFRAÇÃO CAUSADA POR OBSTÁCULOS

3.1.Modelo Knife-edge

No capítulo anterior, tendo em consideração a aproximação em terra plana, fez-se o estudo da

interferência entre raios diretos propagados em espaço livre e raios refletidos no solo com origem na

reflexão especular em terreno liso, durante a emissão de um sinal.

Neste capítulo será analisada a forma como a orografia do terreno intervém na propagação. O

terreno na maioria dos casos tem uma natureza irregular, com elevações e obstáculos que podem

eventualmente causar interferência e atenuar significativamente o sinal emitido.

Para simplificar o problema, recorre-se à aplicação de modelos de obstáculos, como é o caso do

Knife-edge. O tratamento rigoroso deste modelo é útil porque permite definir os parâmetros importantes

do problema e obter estimativas razoáveis da influência dos obstáculos.

No modelo Knife-edge, o obstáculo é visto como um plano opaco semi-infinito. A geometria do

problema é a indicada na Figura 3.1. No plano 𝑧 = 0 para 𝑥 < 0 tem-se o plano opaco semi-infinito, que

se estende de 𝑦 = −∞ a 𝑦 = +∞. Considera-se que incide no plano semi-infinito uma onda esférica

com origem no ponto 𝐸 (emissão), situado na região 𝑧 < 0 (𝐸 e 𝑅 no mesmo plano 𝑦 = 0).

𝑥𝑟

𝑥𝑒

𝑑

ℎ𝑜𝑏𝑠

ℎ1

ℎ2

𝑅(𝑥𝑟 , 0, 𝑑𝑟)

��

𝑦

𝑧

𝑥

𝐸(𝑥𝑒 , 0, −𝑑𝑒)

𝑑𝑟 𝑑𝑒

Figura 3.1 - Geometria do modelo Knife-edge.

44

Encontramo-nos na presença dos seguintes parâmetros:

ℎ1, ℎ2 - Altura das antenas emissora e recetora em relação ao solo

ℎ𝑜𝑏𝑠 - Altura do obstáculo

𝑥𝑒, 𝑥𝑟 - Altura das antenas emissora e recetora em relação ao topo do obstáculo

𝑑𝑒, 𝑑𝑟 - Distância das antenas emissora e recetora ao obstáculo

𝑑 - Distância entre o emissor e o recetor. Em que, 𝑑 = 𝑑𝑒 + 𝑑𝑟.

�� – Folga (clearance). Distância entre o bordo do plano semi-infinito (ou topo do obstáculo) e o ponto

do raio em 𝑧 = 0.

�� =

𝑥𝑒𝑑𝑟 + 𝑥𝑟𝑑𝑒𝑑

(3.1)

A altura equivalente ℎ𝑒 vem dada por:

ℎ𝑒 = √𝑘𝑑

𝜋𝑑𝑟𝑑𝑒��

(3.2)

O critério de folga muitas vezes utilizado no projeto de ligações hertzianas na presença de

obstáculos e em muitas outras circunstâncias diversas, pretende estabelecer para que cota acima do

obstáculo se pode considerar o feixe como desimpedido dentro de uma certa tolerância. Por outras

palavras, neste critério considera-se que o obstáculo não interfere significativamente com o feixe desde

que não intercete o primeiro elipsoide de Fresnel (Figura 3.2).

Figura 3.2 - Elipsoide de Fresnel. (adaptado de [1])

𝑟1

𝑟𝑎 𝑟2

𝑟𝑏

𝐷/2

𝑹

𝑬

45

Estes elipsoides são os lugares geométricos dos pontos que verificam a seguinte relação:

𝛥𝑟 = (𝑟𝑎 + 𝑟𝑏) − 𝑟𝑑 = 𝑛

𝜆

2 (3.3)

sendo 𝑟𝑑 = 𝑟1 + 𝑟2.

Assim, tem-se para o primeiro elipsoide de Fresnel

𝑛 = 1

para o segundo

𝑛 = 2

etc.

Pode-se calcular o diâmetro 𝐷 dos elipsoides de Fresnel a qualquer distância (grande) 𝑟1 do

emissor.

Vem então

𝑟𝑎 = √𝑟12 + (

𝐷

2)2

(3.4)

𝑟𝑏 = √𝑟22 + (

𝐷

2)2

(3.5)

admitindo 𝑟1,𝑟2 ≫ 𝐷.

Para o primeiro elipsoide de Fresnel, o diâmetro à distância 𝑟1 do emissor vem dado por:

𝐷1 = √4𝜆𝑟1𝑟2𝑟𝑑

(3.6)

Quando a folga �� do ponto de observação (i.e., a altura deste ponto acima do topo do obstáculo)

for maior que o raio (𝐷1/2) do primeiro elipsoide de Fresnel (em 𝑧 = 0) , verifica-se que o obstáculo

representado pelo plano semi-infinito já não interfere com o sinal recebido no recetor, i.e., este sinal

será bastante próximo do que seria recebido em condições de espaço livre.

A atenuação suplementar no ponto 𝑅 de receção, depois da onda esférica ser difratada pelo

obstáculo do tipo Knife-edge, é dada por [1]:

𝐴(ℎ𝑒) =

1

2[1

2+ 𝐶(ℎ𝑒)]

2

+1

2[1

2+ 𝑆(ℎ𝑒)]

2

(3.7)

46

em que 𝐶(ℎ𝑒) e 𝑆(ℎ𝑒) são os chamados integrais de Fresnel para uma dada altura equivalente ℎ𝑒.

A Figura 3.3 representa a variação da atenuação introduzida por um obstáculo do tipo Knife-

edge, em função da penetração 𝑣, dada por 𝑣 = −ℎ𝑒.

Figura 3.3 – Atenuação introduzida por um obstáculo tipo Knife-Edge em função da penetração.

Para o cálculo da atenuação da Figura 3.3 utilizou-se a expressão (3.7), obtida de

𝐴(ℎ𝑒) = [

𝐼(ℎ𝑒)

𝐼(∞)]𝑑𝐵

(3.8)

onde 𝐼(ℎ𝑒) =1

2[1

2+ 𝐶(ℎ𝑒)]

2

+1

2[1

2+ 𝑆(ℎ𝑒)]

2

é a intensidade do campo observado no ponto (𝑥, 𝑧) depois

da onda ser difratada pelo plano semi-infinito, e 𝐼(∞) = 1 representa o nível de referência da

intensidade do campo. O valor de referência corresponde ao caso em que o ponto de observação está

suficientemente acima do bordo do plano semi-infinito, pelo que a presença deste já não se faz sentir.

A partir da Figura 3.3 podem-se tirar as seguintes conclusões:

Na zona de sombra geométrica (ℎ𝑒 < 0) o campo não só não sofre uma descontinuidade brusca

como pode ainda ser apreciável;

Para ℎ𝑒 = 0 (observação rasante) o campo está 6 dB abaixo do campo em espaço livre;

Para aproximadamente ℎ𝑒 > 1 tem-se o campo em espaço livre com uma imprecisão menor que

± 1 dB;

47

Para o ponto de observação profundamente imerso na zona de sombra (ℎ𝑒 < 0, |ℎ𝑒| ≫ 1) a

função 𝐼 decresce rapidamente, sendo deste modo justificável que se limite a análise à região

de Fresnel.

3.2.Simulações

Para simular o modelo Knife-edge, optou-se por dividir a zona de representação do campo

elétrico em duas partes. A primeira parte corresponde ao espaço percorrido desde a antena de emissão

até ao obstáculo, onde o campo é calculado segundo a expressão (2.40). A segunda parte corresponde

ao espaço desde o obstáculo até à antena de receção onde o campo vai sofrer uma atenuação extra

calculada através do modelo knife-edge.

O processo de cálculo dos valores do campo ao longo da distância e da altura da antena de

receção é idêntico ao utilizado para o cálculo do campo elétrico com reflexões no capítulo anterior.

Divide-se tanto a distância máxima e a altura em intervalos (expressão (2.58) e (2.59)). Os intervalos

neste caso serão menores devido à necessidade de se calcular os integrais de Fresnel, o que exige

um maior esforço computacional e, consequentemente, mais tempo.

Considerando também um agregado de antenas no emissor e a direccionalidade das antenas, a

amplitude do campo total antes do obstáculo é calculada ponto a ponto utilizando a expressão (2.55).

Ao passar pelo obstáculo, o campo total resultante é dado pelo produto entre a atenuação suplementar

causada pela difração da onda esférica no obstáculo (expressão (3.7)), e a expressão (2.55). O campo

elétrico após a perturbação provocada pelo obstáculo, é dado por:

�� = 𝐸𝑑 [𝑓𝐷(𝜃𝑑)𝐹𝑑𝐴𝑑(ℎ𝑒𝑑) + 𝑓𝐷(𝜃𝑟)𝐹𝑟𝐴𝑟(ℎ𝑒𝑟)|Γ𝑉,𝐻|

𝑟𝑑𝑟𝑟𝑒−𝑗(𝑘0Δ𝑟−𝑎𝑟𝑔Γ𝑉,𝐻

)] (3.9)

em que 𝐴𝑑(ℎ𝑒𝑑) e 𝐴𝑟(ℎ𝑒𝑟) representam as atenuações suplementares a que os raios direto e refletido

ficam submetidos após a difração no obstáculo, respetivamente. Estes vêm dados por:

𝐴𝑑(ℎ𝑒𝑑) =

1

2[1

2+ 𝐶(ℎ𝑒𝑑)]

2

+1

2[1

2+ 𝑆(ℎ𝑒𝑑)]

2

(raio direto) (3.10)

𝐴𝑟(ℎ𝑒𝑟) =

1

2[1

2+ 𝐶(ℎ𝑒𝑟)]

2

+1

2[1

2+ 𝑆(ℎ𝑒𝑟)]

2

(raio refletido) (3.11)

onde ℎ𝑒𝑑 e ℎ𝑒𝑟 correspondem às alturas equivalentes para os raios direto e refletido, respetivamente.

Tendo em conta a Figura 3.1, o valor da folga �� para o raio direto e refletido calcula-se através

das seguintes expressões:

48

��𝑑 =

𝑥𝑒𝑑𝑑𝑟 + 𝑥𝑟𝑑𝑒𝑑

= (ℎ1 − ℎ𝑜𝑏𝑠)𝑑𝑟 + (ℎ2 − ℎ𝑜𝑏𝑠)𝑑𝑒

𝑑 (raio direto) (3.12)

��𝑟 =

𝑥𝑒𝑟𝑑𝑟 + 𝑥𝑟𝑑𝑒𝑑

= −(ℎ1 + ℎ𝑜𝑏𝑠)𝑑𝑟 + (ℎ2 − ℎ𝑜𝑏𝑠)𝑑𝑒

𝑑 (raio refletido) (3.13)

Substituindo as expressões (3.12) e (3.13) em (3.2), calcula-se a atenuação provocada pelo

obstáculo para o raio direto e raio refletido.

Na Figura 3.4 apresentam-se os resultados que se obteve para a simulação da difração causada

por um obstáculo durante a comunicação entre um emissor e um recetor. São utilizados dipolos de

meia-onda (𝜆/2), sendo a altura do emissor e do obstáculo de 100 m. O sinal é emitido em polarização

vertical (PV), a 180 MHz de frequência e o terreno entre as antenas é húmido. Relativamente à altura

da antena recetora, fez-se um varrimento entre 0 e 200 m, de forma a poder tirar conclusões

relativamente à atenuação do sinal nos diversos pontos de interesse, após a difração causada pelo

obstáculo.

Um aspeto importante na atenuação suplementar provocada pelo obstáculo é a frequência.

Quanto mais alta for a frequência, mais elevada será a atenuação provocada pelo obstáculo e,

consequentemente, menor é o valor do campo elétrico. A zona de sombra geométrica (ℎ𝑒 < 0) é a

região mais sensível a variações na frequência, como se pode observar na Figura 3.5.

Figura 3.4 - Modelo Knife-edge para 180 MHz.

49

Numa primeira análise à Figura 3.4, pode-se concluir que o obstáculo deixa de interferir com o

sinal recebido no recetor, se o feixe passar acima do obstáculo com uma cota suficientemente elevada,

o que está de acordo com o critério de folga referido anteriormente. Nestas condições o sinal recebido

não difere, a menos de 1 dB, do sinal recebido em condições de espaço livre.

É possível observar também que num ponto de observação profundamente imerso na zona de

sombra (ℎ𝑒 < 0) após o obstáculo (𝑧 > 0), verifica-se uma queda abrupta na intensidade do campo total

recebido. Nesta região, quanto maior for a proximidade ao obstáculo mais elevada é a atenuação.

A Figura 3.5 apresenta os resultados para uma frequência mais elevada.

Figura 3.5 - Modelo Knife-edge para f=1000 MHz.

Como se pode observar a partir da Figura 3.5, à medida que a frequência do sinal emitido

aumenta, a sua diretividade aumenta, tornando o elipsoide de Fresnel cada vez mais estreito, o que

resulta num aumento da zona de sombra (ℎ𝑒 < 0) presente na região a seguir ao obstáculo (𝑧 > 0). Na

Figura 3.5 pode observar-se que o campo atinge -90 dB Vm-1 na zona de sombra próxima do obstáculo,

enquanto na Figura 3.4 este atinge valores de -80 dB Vm-1. Também na zona a seguir ao obstáculo,

onde o valor do campo é menor entre 2000 m e 4000 m, este é maior na Figura 3.4.

A contribuição do agregado de antenas irá aumentar a intensidade do campo elétrico recebido

ao longo da distância e da altura, mantendo o comportamento que os raios manifestam ao serem

perturbados por um obstáculo. Assim, usou-se apenas uma antena de emissão nas simulações.

51

4. REFRAÇÃO NA ATMOSFERA

Nos capítulos anteriores foram abordados alguns fatores que caracterizam e influenciam de

forma bastante significativa a propagação de ondas eletromagnéticas na presença da terra. Um outro

fator importante a ter em conta, que intervém ativamente no modo como o sinal se propaga, é a

presença da atmosfera.

Na atmosfera destacam-se fundamentalmente três zonas distintas:

A baixa atmosfera, principalmente até aos primeiros 2 ou 3 mil metros de altura, constituída por

gases neutros e eventualmente gotas de chuva, etc.;

Troposfera;

A ionosfera, que se inicia a cerca de 50 a 70 km de altura, constituída por gases ionizados.

Neste capítulo será dado um maior relevo à baixa atmosfera, pois é nesta região que se efetua

a maior parte das ligações solo-solo, como por exemplo as ligações hertzianas. A baixa atmosfera

influencia a propagação das ondas eletromagnéticas na gama das radiofrequências, fundamentalmente

das seguintes maneiras:

O índice de refração do ar ainda que muito próximo de 1, varia em cada local com a altura, pelo

que ao longo do trajeto os “raios” deixam de ser retilíneos, passando a apresentar uma curvatura.

Dado que o índice de refração depende de grandezas “meteorológicas”, o seu gradiente com a

altura além de variar de ponto para ponto, varia também no tempo, o que está na origem do

fenómeno do desvanecimento (fading).

Em certas regiões da troposfera o índice de refração varia muito rapidamente de local para local,

pelo que essas regiões dispersam as ondas que nelas incidem.

A presença na atmosfera de gotas de água em suspensão (chuva, nevoeiro, nuvens) ou de água

em estado sólido (granizo, neve) provoca absorção e dispersão, mais acentuadamente em

frequências elevadas.

Em frequências acima de 10 GHz a transparência da atmosfera é muito diminuída pela absorção

das moléculas dos gases componentes, em certas bandas características.

52

4.1.Índice de refração da atmosfera

O índice de refração em relação ao vácuo na baixa atmosfera é aproximadamente 1, ou seja,

𝑛 ≈ 1. Nestas circunstâncias é usual utilizar a refractividade 𝑁, também conhecida sob o nome de

índice de refração reduzido.

𝑁 = (𝑛 − 1) ⋅ 106 (4.1)

A refratividade 𝑁 depende da temperatura 𝑇 [ 𝐾𝑜 ], da tensão do vapor de água 𝑒 [𝑚𝑏] e da

pressão atmosférica total 𝑝 [𝑚𝑏], através da seguinte fórmula empírica (recomendada pelo CCIR

(Recomendação 453) [39]):

𝑁 = (

77.6

𝑇) ⋅ (𝑝 + 4810

𝑒

𝑇) (4.2)

Em condições normais de atmosfera, o índice de refração e, consequentemente, a refratividade

𝑁, diminuem com a altura. No CCIR (Relatório 231-1) [38] é dada a seguinte fórmula para a “atmosfera

média”:

𝑛(ℎ) = 1 + 315 ⋅ 10−6𝑒−0,136ℎ (4.3)

onde a altura, ℎ, vem em km.

Que na superfície da terra (ℎ=0), resulta em:

𝑁(0) = 315, 𝜕𝑁/𝜕ℎ|ℎ=0 = −43 𝑘𝑚−1

Na figura que se segue representa-se 𝑁 em função da altura, 𝑁(ℎ), segundo a lei expressa em

(4.3) (traço contínuo).

53

A tracejado representa-se

𝑁 = 𝑁(0) − 43ℎ (4.4)

onde ℎ vem em km.

A expressão (4.4) constitui os dois primeiros termos do desenvolvimento em série de (4.3). Esta

variação linear define a “atmosfera padrão”. Observando a figura, verifica-se que até cerca de 1000 m

as duas formas de variação coincidem praticamente. Esta observação tem interesse, porque é nesta

região que se efetua a maior parte das ligações solo-solo.

4.2.Trajetória de um raio ótico numa atmosfera horizontalmente

estratificada

Atendendo à variação do índice de refração de local para local na atmosfera, podemos analisar

esta como uma sequência de estratos ou camadas. São feitas as seguintes suposições simplificativas:

A atmosfera está estratificada horizontalmente, i.e., o índice de refração 𝑛 é só função da altura.

A função 𝑛(ℎ) é muito lentamente variável à escala do comprimento de onda, o que permite

considerar que em cada ponto são válidos os resultados da propagação em meios uniformes.

Figura 4.1 – Variação da refratividade com a altura.

54

Como consequência de 𝑛(ℎ) ser lentamente variável, ignora-se a onda refletida na transição

entre dois meios para só se considerar a transmitida.

Utiliza-se um tratamento de ótica geométrica.

Considera-se primeiro uma estratificação plana e depois uma estratificação esférica, atendendo

a que a terra é esférica.

4.2.1.Estratificação plana

A Figura 4.2 ilustra a situação mais simples, em que existem três estratos de índices 𝑛0, 𝑛1 e 𝑛 .

O andamento do raio implica que 𝑛0 > 𝑛1 > 𝑛 ,mas esse facto não é em nada restritivo.

Usando a lei da refração, da passagem do meio 𝑛0 para o meio 𝑛1 tem-se

𝑛0sin 𝜃0 = 𝑛1sin 𝜃1 (4.5)

E do meio 𝑛1 para o meio 𝑛:

𝑛1sin 𝜃1 = 𝑛 sin 𝜃 (4.6)

Destas duas equações conclui-se que do meio 𝑛1 para o meio 𝑛 tem-se

𝑛 sin 𝜃 = 𝑛0sin 𝜃0 (4.7)

ℎ 𝜃1

𝜃

𝜃1

𝜃0

𝑛

𝑛1

𝑛0

Figura 4.2 – Geometria para estratificação plana. (adaptado de [1])

55

A inclusão de mais estratos entre os meios 𝑛0 e 𝑛 não altera este resultado, pelo que passando

agora ao limite de uma variação contínua de 𝑛 tem-se

𝑛(ℎ) sin 𝜃 = Cte (4.8)

4.2.2.Estratificação esférica

Consideram-se agora estratos esféricos concêntricos (Figura 4.3). Admite-se ainda que o raio de

curvatura dos estratos é muito grande, utilizando-se então as leis de refração em interfaces planas.

Note-se que 𝜃1′ ≠ 𝜃1, mas considerando o triângulo CPoP vem

sin (𝜋 − 𝜃1)

𝑟𝑐=sin 𝜃1

′

𝑟0 ⇔ 𝑟0 sin 𝜃1 = 𝑟𝑐 sin 𝜃1

′ (4.9)

Usando as leis de refração em interfaces planas e a expressão (4.9), vem:

𝑛0 𝑟0 sin 𝜃0 = 𝑛 𝑟𝑐 sin𝜃 (4.10)

𝐶

Figura 4.3 – Geometria para estratificação esférica. (adaptado de [1])

𝜃0

𝜃1

𝑃

𝑟0

𝜃

𝜃1′

𝑟𝑐

𝑃0

𝑛

𝑛1

𝑛0

56

Induzindo para o caso contínuo vem

𝑛(ℎ) 𝑟𝑐 sin 𝜃 = Cte. (4.11)

Ou, atendendo a que 𝑟𝑐 = 𝑎 + ℎ (onde 𝑎 representa o raio da terra):

𝑛(ℎ) (𝑎 + ℎ) sin 𝜃 = Cte. (4.12)

4.3.Raio de curvatura do raio ótico

O raio de curvatura 𝜌 do raio ótico é dado em cada ponto por

𝑑𝑠 = 𝜌 𝑑𝜑 (4.13)

Sendo 𝜌 definido pela expressão [35]:

𝜌 = −

𝑛

𝑑𝑛𝑑ℎ sin 𝜃

(4.14)

O sinal de 𝜌 é tal que 𝜌 > 0 quando a curvatura do raio está virada para a terra. A figura seguinte

ilustra o cenário em estudo.

𝑑𝑠 𝜃0

𝑑𝜑 𝑎 + ℎ

𝐶

𝜃

𝜌

Figura 4.4 – Definição do raio de curvatura de uma trajetória. (adaptado de [1])

57

Para que um raio tangente ao círculo de raio (𝑎 + ℎ) concêntrico com a terra volte à superfície

da terra, é necessário que se verifique a seguinte condição:

𝜌 = −

𝑛

𝑑𝑛 𝑑ℎ⁄ < (𝑎 + ℎ) (4.15)

onde sin 𝜃 = 1 (pois o raio é tangente a um círculo concêntrico com a terra).

Com 𝑛 ≈ 1 e 𝑎 + ℎ ≈ 𝑎 = 6370 km, o gradiente vertical do índice de refração vem

−𝑑𝑛

𝑑ℎ>

1

6370= 157 × 10−6 𝑘𝑚−1 (4.16)

Este valor é muito superior ao observado para a “atmosfera média” (≈ 43 × 10−6 km-1), pelo que

em condições “normais” os raios iniciados horizontalmente afastam-se da terra.

No entanto, dado que em condições “normais” na baixa atmosfera 𝑑𝑛/𝑑ℎ é aproximadamente

constante, verifica-se que o raio de curvatura dos raios iniciados horizontalmente (sin 𝜃 ≈ 1) é também

aproximadamente constante, ainda que se afastem progressivamente da terra.

4.4.Refratividade modificada

A refratividade modificada 𝑀 constitui uma outra forma de representação do índice de refração,

e é definido de tal modo que o seu gradiente vertical 𝑑𝑀/𝑑ℎ seja nulo para a altura ℎ0 em que a trajetória

de um raio ótico iniciado segundo a horizontal seja um arco de círculo concêntrico com a superfície da

terra. Nestas condições, este raio é tangente a um circulo concêntrico com a terra, logo sin 𝜃 = 1 e

𝑛 ≈ 1, e portanto

𝜌 = −

1

𝑑𝑛𝑑ℎ = 𝑎 + ℎ0 (4.17)

Por outro lado, para a atmosfera média sabe-se que

(𝑑𝑛

𝑑ℎ)ℎ=0

= (𝑑𝑁

𝑑ℎ)ℎ=0

⋅ 10−6 = −43 × 10−6 𝑘𝑚−1 (4.18)

58

Assim, ao valor de 𝜌 corresponde um gradiente de 𝑁 dado por

(𝑑𝑁

𝑑ℎ)ℎ0

= −106

𝑎 + ℎ0 (4.19)

Então 𝑀 satisfaz à sua definição se for

𝑑𝑀

𝑑ℎ=𝑑𝑁

𝑑ℎ+

106

𝑎 + ℎ0 (4.20)

Visto que desta forma resulta (𝑑𝑀/𝑑ℎ)ℎ0 = 0.

Após alguma manipulação algébrica e escrevendo genericamente ℎ em vez de ℎ0 , e sabendo

que ℎ ≪ 𝑎, vem

𝑀 = 𝑁 + 106

ℎ

𝑎 (4.21)

em que 𝑎 ≈ 6370 km, representa o raio da terra.

Na Figura 4.5 representa-se a variação do índice 𝑀 com a altura, 𝑀(ℎ), usando a expressão

(4.3) de 𝑛(ℎ) para obter a refratividade 𝑁 para a atmosfera média.

Figura 4.5 – Variação da refratividade modificada com a altura.

59

Para dar uma interpretação importante ao índice 𝑀 , retoma-se a equação da estratificação

esférica:

𝑛 𝑟𝑐 sin 𝜃 = 𝑛0 𝑎 sin 𝜃0 (4.22)

Efetuando as seguintes substituições:

𝑟𝑐 = 𝑎 (1 +

ℎ

𝑎) (4.23)

𝑛 = 1 + 10−6𝑁 (4.24)

Vindo, a menos de um termo de segunda ordem,

(1 + 10−6𝑀) sin 𝜃 = 𝑛0 sin 𝜃0 (4.25)

Concluindo-se que este mesmo resultado é obtido para um raio numa estrutura plana,

estratificada horizontalmente, com um índice de refração modificado dado por

𝑚(ℎ) = 1 + 10−6𝑀 (4.26)

em que a refratividade modificada 𝑀, faz o papel da refratividade 𝑁.

Esta interpretação permite resolver os problemas relativos a uma atmosfera com estratificação

esférica caracterizada por 𝑁(ℎ), transformando-os em problemas relativos a uma atmosfera com

estratificação plana caracterizada por 𝑀(ℎ) – Equivalência da terra plana.

4.5.Propagação em Ductos

Devido a condições meteorológicas especiais, podemos estar na presença de curvas que fogem

à forma típica da variação de 𝑀 com a altura nas condições “usuais” de propagação. Existe um

interesse particular nas curvas em que se formam “camadas de inversão”, onde 𝑑𝑀/𝑑ℎ se torna

negativo. Estas regiões da atmosfera são designadas de ductos, pois comportam-se como um guia de

ondas aberto, podendo assim guiar ondas a grande distância.

Em condições meteorologias favoráveis à formação de ductos, pode suceder que um raio iniciado

horizontalmente a uma altura ℎ, com o seu raio de curvatura 𝜌 menor que o da camada esférica de raio

(𝑎 + ℎ) , se aproxime da terra e eventualmente possa ser captado como se exemplifica na Figura 4.6.

O mesmo não acontece na atmosfera padrão como foi visto anteriormente, onde os raios iniciados

horizontalmente se afastam progressivamente da superfície da terra, com 𝜌 > (𝑎 + ℎ).

60

Em outros casos, os raios poderão nem alcançar a superfície da terra, sendo refletidos numa

camada inferior onde as condições do tipo da atmosfera padrão tornem a prevalecer.

Devido ao facto de haver captação de energia sob a forma de ondas guiadas, a atenuação é

menor que em espaço livre. Assim, se um ducto captar a emissão de um sinal de uma antena e se esse

ducto for circunferencialmente uniforme, ter-se-á propagação numa estrutura cilíndrica e portanto a

potência vem atenuada de 1/𝑑 em vez de 1/𝑑2 como seria em espaço lvre.

O estudo desta forma de propagação em que alguma energia é captada num ducto é deste modo

muito importante, devido à possibilidade destes raios poderem causar interferência noutros serviços,

ainda que a grandes distâncias.

4.5.1.Condições necessárias para a formação de ductos

Um ducto é criado em geral quando ocorre uma inversão de temperatura na atmosfera, em que

a temperatura do ar em vez de decrescer monotonamente com a altura exibe na realidade um

crescimento durante dezenas ou algumas centenas de metros. Lembrando que 𝑁 é muito sensível a

1/𝑇, 𝑑𝑁/𝑑ℎ poderá decrescer tão rapidamente que torna 𝑑𝑀/𝑑ℎ negativo. Esta situação é acentuada

se o ar mais frio for bastante húmido, e a camada mais quente for constituída por ar seco, visto que a

refratividade 𝑁 também é sensível à tensão do vapor de água 𝑒.

A formação de ductos é muito frequente perto da superfície do mar, junto a costas de zonas

desérticas e áridas.

As camadas dos ductos apresentam uma espessura reduzida da ordem do metro ou das dezenas

de metros, razão pelo qual a propagação esteja limitada à captação de frequências muito elevadas.

Normalmente, só para frequências acima de 1 GHz é que o ducto começa a ter dimensão apropriada

para reter a energia que nele foi excitada. As condições de captura por um ducto de altura finita são

𝑎 + ℎ

Figura 4.6 – Raio captado num ducto. (adaptado de [1])

𝑎

61

determinadas pelas perdas por radiação através dos bordos (topos) do ducto. Assim, o ducto só reterá

energia se as perdas pelo topo forem reduzidas.

Quando estão presentes as condições favoráveis ao aparecimento de ductos junto á superfície,

estes designam-se de ductos superficiais. Quando surgem em altitude, denominam-se de ductos

sobrelevados.

Nas figuras seguintes pode-se observar a trajetória dos raios para diferentes variações da

refratividade modificada em função da altura, 𝑀(ℎ). A Figura 4.7 descreve o tipo de comportamento

que os raios manifestam em atmosfera standard e nas Figuras 4.8 e 4.9 pode-se verificar os efeitos

que os dois tipos de ductos criam na propagação dos raios.

Atmosfera standard

Figura 4.7 – Trajetória dos raios em Atmosfera standard. (adaptado de [35])

Ducto superficial

Figura 4.8 – Trajetória dos raios na presença de ducto superficial. (adaptado de [35])

Altura

Distância

Altura

Distância

𝑀(𝑧)

𝑀(𝑧)

𝑀1

𝑀1

Ducto

62

Ducto sobrelevado

Figura 4.9 – Trajetória dos raios na presença de ducto sobrelevado. (adaptado de [35])

4.6.Traçado de raios

4.6.1.Modelo exato

A Figura 4.10 representa a trajetória de um raio, ao atravessar uma atmosfera caracterizada pela

refratividade modificada 𝑀 e do ângulo 𝛼 que o raio faz com a horizontal, para cada ponto da trajetória.

Um raio ao atravessar a atmosfera com mais que um estrato ou camada, os diferentes índices 𝑀 irão

influenciar significativamente a trajetória do seu traçado. O raio é emitido com um ângulo de saída 𝛼0

em relação à horizontal, a uma altura ℎ0 da antena. A refratividade modificada no ponto de partida do

raio é dada por 𝑀(ℎ0).

ℎ

𝛼

ℎ0

𝑀

𝛼0

𝑀0

Figura 4.10 – Geometria para o traçado de raios. (adaptado de [1])

Distância

Altura

𝑀(𝑧)

𝑀1

Ducto

63

Para o caso geral de traçado de raios, temos

𝑑𝑧 =

𝑑ℎ

tan𝛼 (4.27)

Atendendo às relações trigonométricas

tan𝛼 =

sin𝛼

cos𝛼=√1 − cos2𝛼

cos𝛼 (4.28)

Usando a equação dos raios para a estratificação plana, temos

cos 𝛼× (1 + 10−6𝑀) = cos𝛼0 × (1 + 10−6𝑀(ℎ0)) (4.29)

cos𝛼 =

cos𝛼0 × (1 + 10−6𝑀(ℎ0))

(1 + 10−6𝑀) (4.30)

Substituindo em (4.28), ficamos com

tan𝛼 =sin𝛼

cos𝛼=

√1 −cos𝛼0 × (1 + 10

−6𝑀(ℎ0))(1 + 10−6𝑀)

2

cos𝛼0 × (1 + 10−6𝑀(ℎ0))

(1 + 10−6𝑀)

(4.31)

Integrando a expressão (4.27) obtém-se a equação da trajetória

𝑑𝑧 =𝑑ℎ

tan𝛼⟺ 𝑧 = ∫

𝑑ℎ

tan𝛼

ℎ

ℎ0

(4.32)

onde tan(𝛼) é dado por (4.31).

64

4.6.2.Modelo aproximado

Num projeto de ligação entre duas antenas ao solo, dado que a distância entre estas é muito

maior que as suas alturas, não se pretende raios com inclinação apreciável, mas sim raios cujo traçado

se afaste pouco da horizontal, ao longo da trajetória. Deste modo, pode-se afirmar que em geral, o

ângulo que a tangente ao raio num certo ponto da trajetória faz com a horizontal, é bastante próximo

de zero (𝛼 ≈ 0). Sendo este ângulo bastante pequeno, então 𝜃 ≈ 𝜋/2 (aproximação paraxial), vindo

sin𝜃 ≈ 1 −

1

2 𝛼2 (4.33)

e ainda, para ângulos 𝛼 próximos de zero, obtém-se

𝑑ℎ

𝑑𝑧= tan𝛼 ≈ 𝛼 =

𝜋

2− 𝜃 (4.34)

Desta forma, a equação (4.27) vem

𝑑𝑧 =

𝑑ℎ

𝛼 (4.35)

Para obter a equação da trajetória, começa-se por usar a expressão (4.8) para a estratificação

plana, sob a forma:

(1 + 10−6𝑀) (1 −

1

2 𝛼2) = (1 + 10−6𝑀0) (1 −

1

2 𝛼0

2) (4.36)

onde 𝑀0 = 𝑀(ℎ0).

Desprezando os termos de segunda ordem,

𝛼 = ±√2 [10−6𝑀− (10−6𝑀0 −1

2𝛼02)]

12 (4.37)

donde, atendendo a que para cada raio, o termo

10−6𝑀0 −

1

2𝛼02 = 10−6𝑀′ (4.38)

65

é constante, vem

𝛼 = ±√2 × 10−3[𝑀 −𝑀′]

12 (4.39)

onde o sinal de 𝛼 é o de 𝑑ℎ/𝑑𝑧 local.

A equação da trajetória vem então:

𝑑𝑧 =𝑑ℎ

𝛼 ⇔ 𝑧 = ∫

𝑑ℎ

±√2 × 10−3[𝑀 −𝑀′]12

ℎ

ℎ0

(4.40)

4.6.3.Modelo analítico para a trajetória

Se a atmosfera for caracterizada por uma refratividade modificada 𝑀 com um perfil linear, a

equação (4.40) pode ser resolvida analiticamente do seguinte modo:

𝑀(ℎ) = 𝑀(0) + 𝜇ℎ (4.41)

onde 𝑀(0) = 𝑁(0) = 315 e 𝜇 = 𝑑𝑀/𝑑ℎ.

Da expressão (4.38), vem

𝑀′ = 𝑀(ℎ0) −

106

2𝛼02 (4.42)

No ponto de partida do raio, a refratividade modificada 𝑀 é dada por:

𝑀(ℎ0) = 𝑀(0) + 𝜇ℎ0 (4.43)

Desenvolvendo a diferença das refratividades

𝑀 −𝑀′ = (𝑀(0) + 𝜇ℎ) − (𝑀(ℎ0) −

106

2 𝛼02) ⇔ (4.44)

𝑀 −𝑀′ = (𝑀(0) + 𝜇ℎ) − (𝑀(0) + 𝜇ℎ0 −

106

2 𝛼02) ⇔ (4.45)

66

𝑀 −𝑀′ = 𝜇ℎ − 𝜇ℎ0 +

106

2 𝛼02 (4.46)

Considerando 𝑏 = (106/2) 𝛼02 − 𝜇ℎ0 , vem finalmente

𝑀−𝑀′ = 𝜇ℎ + 𝑏 (4.47)

Substituindo em (4.40), temos:

𝑧 = ∫𝑑ℎ

±√2 × 10−3[𝜇ℎ + 𝑏]12

ℎ

ℎ0

(4.48)

Considerando 𝐴 = √2 × 10−3 , obtém-se:

𝑧 = ∫𝑑ℎ

±𝐴[𝜇ℎ + 𝑏]12

= [2√𝜇ℎ + 𝑏

±𝐴𝜇]

ℎ0

ℎℎ

ℎ0

⇔ (4.49)

𝑧 =

2

±𝐴𝜇 (√𝜇ℎ + 𝑏 − √𝜇ℎ0 + 𝑏) (4.50)

4.6.4.Cálculo do ponto de indeterminação

Um raio pode inverter o sentido (ascendente ou descendente) de propagação ao longo da sua

trajetória. Os pontos onde se dá essa inversão são chamados pontos de indeterminação, visto a

equação (4.50), que calcula o percurso do raio, tomar valores imaginários a partir desse ponto.

Para determinar o ponto de indeterminação do traçado do raio, é necessário ter em conta que

nesse local da trajetória, o ângulo 𝛼 = 0. Partindo da equação (4.50), vem

𝑧 =

2

±𝐴𝜇(√𝜇ℎ + 𝑏 − √𝜇ℎ0 + 𝑏) ⟺ (4.51)

𝑧 =2

±𝐴𝜇 (√𝜇ℎ + 𝑏 − √𝜇ℎ0 +

106

2 𝛼02 − 𝜇ℎ0) (4.52)

67

Ao parar no ponto de indeterminação e, lançando-se um raio com ângulo inicial nulo 𝛼0 = 0 para

uma atmosfera com as mesmas características, a equação (4.52) fica

𝑧𝑖𝑛𝑑 =

2

±𝐴𝜇(√𝜇ℎ + 𝑏 − √𝜇ℎ0 − 𝜇ℎ0) ⟺ (4.53)

𝑧𝑖𝑛𝑑 =

2

±𝐴𝜇(√𝜇ℎ + 𝑏) ⟺ (4.54)

𝑧𝑖𝑛𝑑 =2

±𝐴𝜇(√𝜇ℎ +

106

2 𝛼02 − 𝜇ℎ0) ⟺ (4.55)

𝑧𝑖𝑛𝑑 =

2

±𝐴𝜇(√𝜇(ℎ − ℎ0)) (4.56)

Relativamente à altura do ponto de indeterminação, consideram-se as equações (4.35) e (4.39).

Para que se atinja a indeterminação, o denominador da equação (4.35) tem de ser nulo, ou seja,

𝛼 = ±𝐴√𝑀 −𝑀′ = ±√𝜇ℎ + 𝑏 = 0 (4.57)

Resolvendo

𝜇ℎ + 𝑏 = 0 ⇔ 𝜇ℎ +

106

2 𝛼02 − 𝜇ℎ0 = 0 (4.58)

O que resulta na expressão

ℎ𝑖𝑛𝑑 = ℎ0 −

106

2𝛼02 (4.59)

68

4.7.Simulações

4.7.1.Uma camada atmosférica

O conjunto de simulações iniciais consiste no traçado de raios emitidos a uma altura ℎ0, que

atravessam uma atmosfera caracterizada por uma camada, ao longo de um perfil linear da refratividade

modificada. Para a simulação e representação da trajetória dos raios, define-se um ângulo de partida

𝛼0, e um valor de 𝑑𝑀/𝑑ℎ. A trajetória dos raios manifesta um comportamento diferente consoante o

valor de 𝑑𝑀/𝑑ℎ seja positivo ou negativo, fazendo com que estes se afastem ou aproximem

progressivamente da superfície terrestre, respetivamente.

Mais adiante apresentam-se as simulações para ductos superficiais e sobrelevados,

considerando uma atmosfera caracterizada por duas ou três camadas, uma das quais com valores de

𝑑𝑀/𝑑ℎ < 0. Nestas simulações é possível observar o trajeto dos raios que se propagam guiados entre

uma camada da atmosfera e o solo, ou dentro de uma camada da atmosfera, com perdas muito

diminuídas.

Em cada simulação, o traçado dos raios vem acompanhado por uma figura que representa a

variação da refratividade modificada em função da altura na atmosfera.

Através da expressão (4.20) sabe-se que

𝑑𝑀

𝑑ℎ=𝑑𝑁

𝑑ℎ+

106

𝑎 + ℎ0≈𝑑𝑁

𝑑ℎ+106

𝑎=𝑑𝑁

𝑑ℎ+ 157 (4.60)

Vindo a refratividade dada por

𝑁 = 𝑁(0) + (

𝑑𝑀

𝑑ℎ− 157)ℎ (4.61)

onde 𝑁(0) = 315.

A variação da refratividade modificada com a altura é calculada através das expressões (4.21) e

(4.61). Mantendo constantes os parâmetros 𝑁(0), 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ e 𝑎, e variando o valor de ℎ (altura), obtêm-

se os valores de 𝑀 correspondentes às alturas definidas, em cada camada da atmosfera.

Para a representação da trajetória dos raios, que varia consoante o perfil 𝑀, optou-se pelo

modelo analítico (expressão (4.50)), por uma questão de simplificação dos cálculos computacionais.

Os raios são iniciados a uma altura ℎ0 e com um ângulo de partida 𝛼0. O valor de 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ é definido

para cada camada.

69

Devido aos diversos encurvamentos dos raios, surgem situações onde ocorre uma inversão do

sentido da trajetória. Através das expressões (4.56) e (4.59) é possível calcular os pontos a partir do

qual isso acontece. Esses pontos são designados pontos de indeterminação.

Outra situação abordada é a reflexão que os raios podem eventualmente sofrer no solo. Assim,

quando estes atingem a superfície, são refletidos com um ângulo simétrico ao de chegada.

Nas simulações efetuadas é possível observar os encurvamentos dos raios. Por observação da

Figura 4.11 à Figura 4.20 conclui-se que o valor do gradiente da refratividade modificada é responsável

pelas diferentes trajetórias dos raios. Se este for positivo o raio tende a subir, e se for negativo, a

descer.

As diferentes situações para o caso de uma camada são:

𝛼0 ≥ 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0

Observando os resultados para a primeira simulação, pode-se constatar que devido ao facto de

o ângulo de partida ser positivo e a refratividade modificada crescer linearmente com a altura, o raio

afasta-se progressivamente da terra, i.e., apresenta uma trajetória ascendente.

Figura 4.11 – Trajetória dos raios com 𝜶𝟎 ≥ 𝟎 e 𝒅𝑴 𝒅𝒉⁄ > 𝟎.

70

𝛼0 < 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0

Figura 4.13 – Trajetória dos raios com 𝜶𝟎 < 𝟎 e 𝒅𝑴 𝒅𝒉⁄ > 𝟎 , com reflexão no solo.

Figura 4.12 – Trajetória dos raios com 𝜶𝟎 < 𝟎 e 𝒅𝑴 𝒅𝒉⁄ > 𝟎.

71

Procedendo à análise da Figura 4.12, verifica-se que nesta situação, o raio parte com ângulo de

partida negativo, i.e., num instante inicial o raio tem uma fase descendente até chegar a um ponto de

indeterminação (onde 𝛼 = 0), tendo de seguida a fase ascendente ao afastar-se progressivamente da

superfície da terra.

Nestas circunstâncias, outra situação que pode suceder consiste na reflexão do raio no solo,

devido a um ângulo de partida bastante negativo relativamente à horizontal (Figura 4.13). O raio é

refletido com um ângulo simétrico ao do raio incidente.

A figura que se segue engloba todas as situações previamente analisadas, para 𝑑𝑀/𝑑ℎ positivo.

Figura 4.14 – Trajetória dos raios para diversos ângulos de partida e 𝒅𝑴 𝒅𝒉⁄ > 𝟎.

72

𝛼0 ≥ 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ < 0

𝛼0 < 0 e 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ < 0

Figura 4.15 – Trajetória dos raios com 𝜶𝟎 ≥ 𝟎 e 𝒅𝑴 𝒅𝒉⁄ < 𝟎.

Figura 4.16 – Trajetória dos raios com 𝜶𝟎 < 𝟎 e 𝒅𝑴 𝒅𝒉⁄ < 𝟎.

73

Nas Figuras 4.15 e 4.16 os raios atravessam uma camada atmosférica onde 𝑑𝑀/𝑑ℎ é negativo

e os ângulos de partida são positivos e negativos, respetivamente. No primeiro caso o raio sobe até

atingir o ponto de indeterminação, voltando a cair em fase descendente na direção ao solo e refletindo-

se neste. Após a reflexão o raio volta novamente a subir até ao ponto de indeterminação seguinte. O

segundo caso difere apenas no facto de a trajetória inicial ser descendente, fruto do ângulo de partida

ser negativo.

4.7.2.Ducto superficial e sobrelevado

Por observação da Figura 4.17 à Figura 4.20, verifica-se que os raios ficam captados em torno

da camada onde a variação da refratividade modificada é negativa. Esta região da atmosfera vai

comportar-se como um guia de ondas aberto, podendo guiar ondas a grande distância.

No ducto superficial (Figuras 4.17 e 4.18) observa-se a trajetória descrita por raios com diversos

ângulos de partida, a atravessar uma atmosfera caracterizada por duas camadas. Cada camada

apresenta um valor 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ de sinal diferente. Neste tipo de ductos a propagação guiada realiza-se

junto à superfície da terra, i.e., com sucessivas reflexões no solo e podendo os raios ascender até à

altura onde se inicia a segunda camada. Quando um raio ultrapassa essa altura, continua a subir

indefinidamente.

Como referido, os raios ficam contidos dentro da camada onde a variação da refratividade

modificada é negativa. Isso apenas não acontece se o ângulo de saída for grande tanto positivamente

como negativamente. No caso positivo, o raio liberta-se no ducto e afasta-se progressivamente da terra,

pois a segunda camada apresenta um 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ > 0. No caso do ângulo de partida ser bastante negativo,

este vai refletir-se no solo, entrando imediatamente a seguir numa fase ascendente até passar a linha

de separação das camadas. A partir daí o raio continua a subir.

74

Um ducto sobrelevado forma-se a uma determinada altitude. As figuras seguintes representam

o trajeto de raios com diferentes ângulos de partida, numa atmosfera com três camadas, onde a

camada do meio é caracterizada por um 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ negativo. Nestas circunstâncias, os raios propagam-

se em altura pois estes tendem a ficar captados em torno da camada que apresenta um 𝑑𝑀 𝑑ℎ⁄ < 0.

No caso do ângulo de saída ser suficientemente grande ao ponto de permitir que o raio ultrapasse a

segunda camada, este tende a subir indefinidamente. O mesmo acontece quando um raio é refletido

no solo após um ângulo de partida elevado.



75

Como se pode verificar, nesta situação os raios não alcançam o solo, i.e., os raios propagam-

se guiados dentro de uma camada da atmosfera e com perdas muito diminuídas.

Da presença dos ductos resultam por exemplo alcances inesperados para radares, sobretudo

sobre o mar e visibilidade de programas TV inexplicáveis pelos mecanismos normais de propagação.

Um ducto é assim um fenómeno que pode dar origem a fortes perturbações num serviço.

Figura 4.20 - Trajetória de 50 raios na presença de ducto sobrelevado.


76

4.8.Miragens

Situação com uma conotação bastante mística, as miragens são fenómenos óticos relacionados

com a refração e a reflexão total da luz na atmosfera, não se tratando, portanto, de “alucinações” ou

“visões estranhas” como geralmente a literatura não-técnica sugere. Trata-se assim de um efeito ótico

real, que ocorre na atmosfera e que pode inclusive ser fotografado.

Este fenómeno origina-se no facto de a atmosfera não ser fisicamente uniforme, pois cada fina

camada de ar tem diferentes índices de refração, ainda que relativamente próximos, o que faz com que

os raios luminosos manifestem diferentes comportamentos ao atravessar as camadas, seja na

alteração da direção ou na velocidade da luz.

O valor do índice de refração do ar varia com a temperatura e altera a densidade do ar, ou seja,

camadas mais próximas do solo e que “geralmente” possuem maior temperatura, possuem menor

densidade e menor índice de refração, e o recíproco ocorre com camadas mais altas.

Devido ao facto de os raios luminosos se propagarem mais rapidamente no ar quente, e nestas

camadas o índice de refração ser menor, os raios ao passar pelo ar quente, apresentam uma trajetória

curvilínea. O cérebro humano, no entanto, só intercepta os raios de luz que percorrem uma trajetória

retilínea, porém, a atmosfera não é homogénea e assim sendo, os raios curvilíneos quando atingem

observador, o sistema visual humano interpreta-os como uma linha reta tangente ao caminho que o

raio apresenta até ao olho. O resultado é a visualização de um objeto refletido, invertido e deslocado

da sua posição real, ou seja, uma miragem.

Existem dois tipos de miragem, as inferiores e as superiores.

4.8.1.Miragens inferiores

A temperatura junto ao solo pode determinar a ocorrência de fenómenos interessantes das

miragens. Quando a temperatura do solo torna-se muito elevada, o ar aquecido junto ao solo torna-se

menos denso. Como consequência, um raio de luz que desce obliquamente em direção ao solo, pode

sofrer reflexão total antes de o atingir. O resultado é uma trajetória côncava ascendente.

Este tipo de miragens são comuns nos desertos e no asfalto das estradas em dias bastante

quentes, onde observamos os objetos abaixo da sua posição real. As imagens que se seguem ilustram

o fenómeno.

77

Um segmento do campo visual está esquematicamente representado acima. À direita, foi

representada a miragem, e à esquerda, uma simulação de como apareceria o horizonte na mesma

paisagem, se os raios luminosos não sofressem distorções.

Imagem 4.1 – Miragem inferior. (Fonte: [52])

Imagem 4.2 – Miragem inferior. (Fonte: [52])

78

O ponto A encontra-se perto da base da montanha. Devido a desvios causados pela temperatura,

não há nenhum raio de luz vindo de A que atinja o olho do observador. O ponto B foi escolhido numa

posição crítica, tal que um único raio de luz emerge dele e atinge o olho do observador, após ter sido

ligeiramente curvado ao atravessar a camada de ar quente. O ponto C está no topo da montanha, dois

raios luminosos emergem dele e alcançam o olho do observador, cada um com uma curvatura diferente.

A Figura 4.22 revela o que será visto na miragem.

O raio superior que parte de C é interpretado como C’, enquanto o raio inferior que parte de C é

interpretado como C’’ pelo sistema visual humano. Este ultimo é responsável pela montanha invertida

na miragem. O mesmo ocorre com a luz do céu azul, que pode ser vista abaixo da montanha invertida,

na miragem.

Figura 4.21 – Trajetória dos raios desde vários pontos do objeto alvo até ao observador.

Figura 4.22 – Trajetória dos raios numa miragem inferior.

79

4.8.2.Miragens superiores

Quando a temperatura do solo é baixa, o que implica que o ar próximo dele se torne mais denso

e mais frio que o ar situado acima, podem ocorrer miragens superiores. Nessas circunstâncias, os raios

de luz que partem do objeto sobem obliquamente e sofrem reflexão total nas camadas superiores,

menos frias e menos densas. Como consequência, os raios apresentam uma curvatura descendente,

produzindo uma miragem superior. O observador vê a imagem do objeto acima da sua posição real e

invertida. Um exemplo seria o avistamento de objetos no mar. Tendo em conta a curvatura da terra,

seria impossível observar navios a 300 km de distância, porém, devido a este tipo de miragens, é

possível avistá-los.

Imagem 4.3 – Miragem superior. (Fonte: [55])

Imagem 4.4 – Miragem superior. (Fonte: [54])

80

4.8.3.Simulação de miragens

Por forma a facilitar a explicação, começa-se por considerar uma imagem “unidimensional”. A

imagem está contida num plano vertical a uma distância 𝑑 do observador, como representado na Figura

4.24.

Figura 4.24 – Plano vertical visto pelo observador.

A imagem é dividida em intervalos verticais iguais, consoante o número de linhas da imagem e

a altura máxima definida para o plano vertical. A altura de cada intervalo é assim dada pelo quociente

Barco real

Raios de luz Imagem falsa invertida

Observador

Figura 4.23 – Trajeto dos raios numa miragem superior.

𝑑

Imagem falsa

81

entre a altura máxima e o número total de linhas da matriz. Na realidade, cada raio parte de um ponto

da imagem no plano vertical chegando ao utilizador com um determinado ângulo, sendo posteriormente

reconstruída pelo cérebro segundo os diferentes ângulos. Para aproveitar o módulo de simulação do

traçado de raios, o problema é abordado de maneira inversa, isto é, cada raio sai do utilizador com um

determinado ângulo e chega a um determinado intervalo da imagem. Os raios estão numerados por

ordem crescente do ângulo de partida e associa-se a cada raio à linha da imagem correspondente à

chegada, formando assim uma matriz final transformada (reordenada). A matriz reordenada é depois

convertida para uma imagem. A Figura 4.25 representa o modo como as trajetórias dos raios podem

alterar a imagem final.

3

1

10

2

4

5

6

7

9

8

1

2

3

6

5

8

4

7

9

10

Figura 4.25 - Deformação da imagem inicial tal como é vista pelo observador após alteração das trajetórias dos raios pelas alterações do índice de refração da atmosfera.

No caso de uma imagem bidimensional, o processo é repetido considerando cada raio como

uma linha da matriz da imagem. Todos os pontos horizontais da imagem são tratados da mesma

maneira porque se considera que o índice de refração da atmosfera só tem variação na vertical. Para

se obter uma simulação mais próxima da realidade, a imagem é representada através de dois planos:

o horizontal e o vertical. Ao plano horizontal associa-se a parte inferior da linha do horizonte e ao plano

vertical a parte superior (Figura 4.26).

82

Horizonte

Horizonte

Figura 4.26 - Divisão da imagem nos dois planos ortogonais (vertical e horizontal).

Este módulo permite simular uma imagem observada para alterações do índice de refração da

atmosfera e consequentemente das trajetórias dos raios. Se o raio atingir o valor máximo definido pelo

utilizador, este atingiu o plano vertical da imagem. Se o raio atingir o solo, este pertence ao plano

horizontal.

Após se definir onde cada raio pertence (plano vertical ou horizontal), convertem-se os

comprimentos e alturas dos mesmos para uma escala de acordo com o número de raios. A posição de

cada raio no plano vertical (𝑧𝑣) é dada pela seguinte expressão:

𝑧𝑣 =𝑛𝑟2−ℎ𝑟 ×

𝑛𝑟2

ℎ𝑚𝑎𝑥 (4.62)

onde a altura do raio (ℎ𝑟) é dada em relação à altura máxima (ℎ𝑚𝑎𝑥). Assim, a primeira posição refere-

se ao cimo da imagem e a linha de horizonte corresponde à posição 𝑛º 𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠 2⁄ . A posição de cada raio

no plano horizontal (𝑧ℎ) é dada por:

𝑧ℎ =𝑛𝑟2+𝑑𝑟 ×

𝑛𝑟2

𝑑𝑚𝑎𝑥 (4.63)

As posições horizontais compreendem-se entre o 𝑛º𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠/2 e 𝑛º𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠. Na expressão anterior

𝑑𝑟, 𝑑𝑚𝑎𝑥 e 𝑛𝑟 correspondem, respetivamente, ao comprimento do raio (diferença entre a distância

máxima definida pelo utilizador e o ponto que o raio atinge o solo) , comprimento máximo e número de

raios.

A matriz das posições vai ter dimensão de 𝑛º𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠. Esta contém as posições de cada raio tendo

em conta em que plano o raio termina a sua trajetória. Cada valor da matriz corresponde a uma dada

linha da nova imagem. A matriz é posteriormente convertida para uma imagem que é representada.

A simulação inicia-se com a transformação da imagem original numa matriz. Nessa matriz, cada

linha corresponde a um raio. A divisão da matriz nos dois planos faz-se com base no número de raios.

Assim os primeiros 𝑛º𝑟𝑎𝑖𝑜𝑠/2 correspondem ao plano vertical e os seguintes ao plano horizontal.

83

Os valores do comprimento máximo e altura máxima necessária para o cálculo da matriz de

posições (expressões (4.62) e (4.63)) são obtidos através do primeiro e último raio. O primeiro raio

corresponde ao raio com maior ângulo de saída e o último ao de menor ângulo de saída como

representado na Figura 4.27. A altura máxima é então a altura que o primeiro raio atinge e o

comprimento máximo corresponde a diferença entre a distância máxima definida pelo utilizador e o

ponto que o último raio atinge o solo. Esses valores são calculados por razões trigonométricas.

ℎ𝑚𝑎𝑥 = tan(𝜃1) × 𝑑 + ℎ1 (4.64)

𝑑𝑚𝑎𝑥 = 𝑑 −

ℎ1tan (𝜃2)

(4.65)

Figura 4.27 - Esquema geométrico para cálculo dos limites da imagem.

De seguida, recorrendo à função que calcula as trajetórias dos raios, obtém-se a matriz de

posições para cada raio. Usando a matriz de posições transforma-se a imagem original numa nova

imagem que contêm a representação da miragem.

Simulou-se então dois tipos de miragem: superior e inferior.

Em relação à miragem superior, esta obtém-se utilizando duas camadas na atmosfera. A Figura 4.28

representa este tipo de miragem.

ℎ1

𝑑

84

A miragem inferior está representada na Figura 4.29. Neste caso a atmosfera é caracterizada

por três camadas.

Figura 4.28-Miragem Superior.

Figura 4.29 – Miragem inferior.

85

5. MODELOS DE PROPAGAÇÃO EM AMBIENTES URBANOS

Nos últimos anos tem-se verificado um grande crescimento, tanto a nível comercial como

tecnológico, por parte dos sistemas de comunicação via rádio, especialmente no sector das

telecomunicações. O serviço telefónico apresenta um histórico bastante antigo que se inicia em 1876,

ou seja, à mais de cem anos atrás, com a primeira transmissão por voz através de sinais elétricos,

testada por Alexander Graham Bell. Mais tarde, entre 1960 e 1970, o conceito de telefonia móvel viria

a nascer nos laboratórios Bell [45]. Hoje e após décadas de evolução, os sistemas de comunicação por

voz e de transmissão de dados a longa distância encontram-se em evidência, e representam um serviço

vital para a humanidade, seja a nível pessoal ou empresarial.

Entre os sistemas que constituem as redes de comunicações móveis usadas a nível mundial, os

que mais se destacam atualmente são o GSM, UMTS e LTE. A primeira geração de sistemas de

comunicações móveis sem fios surgiu nos anos 80 e era baseada numa tecnologia analógica com

modulação FM. Alguns exemplos de sistemas de primeira geração são o Nordic Mobile Telephone

(NMT) e o Advanced Mobile Phone System (AMPS). [21]

O sistema GSM (Global System for Mobile Communications) é de segunda geração (2G) e foi

lançado no mercado nos anos 90. Este opera principalmente nas bandas de frequência de 900 MHz e

1800 MHz. [21]

O UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) é uma rede de terceira geração (3G) e

trabalha principalmente na banda de 2100 MHz, podendo também utilizar a banda de 1800 MHz do

GSM. A terceira geração é o resultado de um trabalho realizado pela ITU (International

Telecommunications Union) no início dos anos 80. As especificações e normas foram desenvolvidos

durante 15 anos. A tecnologia 3G está mais focada para a transferência de dados. Esta permite

transferências até 200 kbit/s. As atualizações mais recentes ao 3G, nomeadamente o 3.5G e 3.75G,

permitem transferências na ordem de alguns Mbit/s. Entre diversas aplicações, destaca-se o acesso a

internet móvel, videochamadas e mobile TV. [21]

As redes 4G LTE (Long Term Evolution) são as mais recentemente implementadas, e operam

principalmente na banda de 800 MHz e 2600 MHz. Este sistema permite acesso à internet a alta

velocidade. Algumas das aplicações possíveis são as chamadas sobre IP, serviços de jogos, TV de

alta definição, videoconferência, televisão 3D, entre outros. [21]

As redes dos sistemas de comunicações móveis têm vindo a melhorar o seu desempenho e

capacidade de transferência de dados, possibilitando novas aplicações e inovações.

No presente capítulo faz-se uma especialização de alguns aspetos abordados nos capítulos

anteriores, para o caso dos serviços de rádio móvel, i.e., serviços com capacidade para suportar

comunicações via rádio com terminais em movimento, ou pelo menos terminais com possibilidade de

movimento.

86

Para além da questão da mobilidade do terminal, que implica uma variabilidade adicional do nível

de sinal recebido, a distância entre antenas já não é necessariamente muito maior que as dimensões

transversais envolvidas na ligação (altura das antenas, altura dos obstáculos, etc.), ou pelo menos,

uma das antenas encontra-se na vizinhança imediata dos obstáculos, das superfícies refletoras, das

arestas de difração, etc.

Existe alguma variedade de serviços de rádio móvel, o que arrasta uma variedade ainda maior

de cenários de propagação. No entanto, a ênfase deste capítulo vai incidir na propagação em

ambientes exteriores e urbanos, com base em serviços de cobertura por estações de base terrestres.

Os ambientes urbanos representam um caso de grande interesse devido à existência de uma grande

concentração de utilizadores nestes locais, utilizadores esses que exigem ter à sua disposição todos

os recursos e serviços disponíveis nos seus terminais.

Um dos parâmetros que influenciam mais significativamente a propagação é o grau de

urbanização. Em geral, quanto maior for a densidade e altura dos edifícios, mais difícil é a

caracterização da propagação em termos determinísticos. Assim, também por esta razão, os centros

das cidades surgem como os ambientes que mais estimulam a investigação em modelos matemáticos

de propagação. Os modelos de propagação desempenham um papel importante porque permitem

prever a potência do sinal recebido num dado local. Através da potência do sinal recebido, decisões

fundamentais são tomadas no planeamento de um projeto.

A cobertura por estações de base terrestres é, em geral, indicada para servir áreas pequenas,

com dimensões que podem vir desde alguns quilómetros até 100 a 200 m consoante a densidade de

tráfego de telecomunicações vá sendo maior, isto porque, enquanto a atitude tradicional em

radiodifusão é a de tentar servir a maior área possível, nas comunicações móveis pretende-se que a

cobertura do emissor não ultrapasse os limites de uma certa área (que se designa por célula), cuja

dimensão é pré-estabelecida tendo em conta por um lado os aspetos do tráfego de telecomunicações,

e por outro, os aspetos de propagação e da qualidade de serviço. A cada estação de base é alocada

uma porção do número total de canais disponíveis ao sistema2. Em estações de base vizinhas são

atribuídos diferentes grupos de canais, para que a interferência entre estações de base (e os terminais

móveis a ela associados) seja minimizada. Pretende-se desta forma assegurar que a mesma frequência

possa ser reutilizada tantas vezes quanto necessário em outras células próximas, mantendo a

interferência co-canal a um nível controlado, de modo a resultar numa utilização eficiente do espectro

de frequências.

À medida que a densidade de tráfego aumenta, o número de estações de base pode ser

aumentado, juntamente com um correspondente decréscimo na potência dos transmissores, para que

se evite a interferência. Se por exemplo surgir o aparecimento, não previsto num projeto, de uma zona

de sombra numa célula, em geral este problema não pode ser ultrapassado com o aumento da potência

2 A alocação de canais numa determinada banda aos sistemas dos operadores, é decidido a nível nacional pela

entidade reguladora ANACOM.

87

do emissor, pois iria resultar numa extensão dos limites iniciais da célula e o consequente aumento de

interferência co-canal com uma célula próxima.

Um bom planeamento para a projeção das células de um sistema numa determinada área

geográfica, é de elevada importância para uma boa performance do sistema e para o fornecimento de

uma boa qualidade de serviço. Este planeamento depende do posicionamento e cobertura das

estações de base, da gestão eficiente da banda do espectro eletromagnético reservada ao sistema3 e

da minimização da interferência.

A Figura 5.1 exemplifica a cobertura típica de uma área usando clusters de sete células.

Figura 5.1 – Clusters de sete células.

Nesta figura, cada cluster corresponde a um conjunto de sete células. Estas encontram-se

representadas por uma cor, para distinguir os diferentes grupos de canais. As células da mesma cor

partilham as mesmas frequências, razão pelo qual encontram-se a uma determinada distância umas

das outras, designada distância de reutilização (de frequências), necessária para minimizar a

interferência co-canal. Quanto maior for esta distância, menor será a interferência entre estas células

e entre os terminais móveis a elas associados.

3 As bandas de frequência a serem usadas nos diversos sistemas é uma decisão tomada a nível internacional

pela ITU.

88

5.1.Cenário para o rádio móvel terrestre

Antes de entrar nos modelos de propagação, começa-se por identificar os tipos de cenário

previsíveis para o rádio móvel terrestre. Em ambientes urbanos, suburbanos e rurais, as células

classificam-se segundo três classes, de acordo com o seu raio:

Macro-célula

Micro-célula

Pico-célula

Figura 5.2 – Classes de células.

As macro-células dividem-se em duas subclasses. As macro-células pequenas, que

correspondem a zonas de cobertura com dimensões que podem ir até 2-3 km de raio, em que as

antenas das estações de base encontram-se tipicamente no topo dos edifícios, mas os terminais

móveis estão em geral na zona de sombra profunda dos obstáculos. Estas células são comuns em

regiões urbanas. As macro-células grandes, com dimensões superiores a 3 km de raio, além de serem

usadas em áreas com alguma urbanização, são tipicamente usadas em zonas rurais ou abertas, onde

a densidade populacional não é tão elevada.

As micro-células são regiões de cobertura de rádio móvel com dimensões da ordem de muito

poucas centenas de metros, em que os terminais móveis e a estação de base estão quase sempre em

linha de vista.

Finalmente as pico-células correspondem a áreas de cobertura significativamente menores e são

em geral usadas no interior de edifícios.

Macro

Micro

Pico

89

Listam-se a seguir alguns fatores que têm um efeito determinante nas características dos sinais

que são recebidos, em ambientes exteriores:

A antena do terminal móvel está tipicamente muito próxima do solo. Pode tomar-se como

referência a altura de um automóvel, ou a altura do utilizador: ℎ𝑟 ≈ 1.8 m.

Nem sempre é viável colocar a antena da estação de base a uma altura suficientemente elevada

para iluminar toda a zona de cobertura com o raio direto, pois desse modo, a área de cobertura

da célula aumenta, o que pode resultar num aumento de interferência com células vizinhas.

Portanto só em casos excecionais, como acontece por exemplo nas micro-células, existe linha

de vista entre duas antenas.

O sinal chega à antena do terminal móvel por uma multiplicidade de trajetos de comprimentos

diferentes, depois de ter sofrido processos de difração em obstáculos, e reflexão ou dispersão

pelo solo, pelas paredes etc. O sinal recebido é assim resultado da interferência entre várias

contribuições, onde cada onda apresenta polarização, amplitude, fase e atraso diferentes. Este

fenómeno designa-se efeito de multipercurso (multipath).

O deslocamento do terminal móvel implica a alteração a cada instante, não só do perfil dos

obstáculos entre duas antenas, mas também dos vários trajetos que as ondas tomam antes de

atingir a antena do terminal móvel.

Para além do movimento do terminal, o próprio ambiente é dinâmico, i.e., pode encontrar-se em

constante mudança. Um cenário exemplificativo pode ser dado pelos veículos que circulam nas

ruas, podendo estes funcionar como superfícies de reflexão ou difração, contribuindo assim para

a flutuação do sinal recebido no terminal móvel.

Figura 5.3 – Classes de células em meio urbano. (adaptado de [1])

90

Juntamente com o sinal útil vindo da estação de base, chegam ao recetor do terminal móvel

sinais interferentes co-canal, com origem em células vizinhas, bem como ruído eletromagnético

proveniente de causas naturais e atividade humana.

5.2.Ambientes de macro-célula

A grande maioria dos sistemas de comunicações móveis operam em ambientes de propagação

complexos, que não podem ser modelados com precisão apenas com o cálculo das perdas de espaço

livre ou pelo método de traçado de raios usado no estudo da reflexão no solo. A propagação em

ambientes urbanos origina diversos fenómenos, desde a reflexão de raios (efeitos de multipercurso) e

a existência de zonas de sombra, provocados pela presença de inúmeros edifícios e outros obstáculos;

as ruas e avenidas originam fenómenos de propagação guiada, entre outros. A reflexão e as perdas de

transmissão variam de acordo com os materiais de construção dos obstáculos.

Tem sido desenvolvido ao longo dos anos, um número considerável de modelos para prever a

atenuação suplementar existente na transmissão de um sinal entre uma estação de base e um terminal

móvel, em ambientes típicos de macro-células urbanas.

Existem duas famílias base de modelos usados em ambientes exteriores, separados em duas

categorias [36]:

Modelos empíricos

COST 231 – Okumura-Hata

Grandes distâncias;

Ambientes urbanos, suburbanos e rurais.

Modelos teóricos

COST 231 – Walfisch-Bertoni

Pequenas distâncias (< 5 km);

Ambientes urbanos e suburbanos.

5.2.1.Modelos empíricos

Estes modelos são baseados essencialmente em medições empíricas, feitas ao longo de uma

certa distância, num determinado intervalo de frequência e para uma área geográfica em particular.

Como tal, têm a vantagem de contabilizar todos os fatores que afetam a propagação. Contudo, a

aplicação destes modelos não é sempre restrita a ambientes onde as medições empíricas foram

realizadas, o que pode comprometer a precisão destes modelos quando aplicados em ambientes mais

generalizados. Apesar deste facto, bastantes sistemas rádio fazem uso destes modelos como base

para a sua análise de performance.

91

5.2.1.1.Modelo Okumura

Um dos modelos empíricos mais comuns e usado atualmente é o modelo de Okumura [43],

proposto por Yoshihisa Okumura em 1968. Este modelo é um dos poucos concebidos especificamente

para utilizar em zonas construídas: o único que toma em consideração a variação do terreno e da

urbanização. Foi desenvolvido com base num extenso conjunto de medições de propagação efetuadas

em Tóquio entre 1962 e 1965, com várias estações emissoras a transmitir em várias bandas de

frequência, numa grande variedade de ambientes de propagação, tentando explorar os fatores

fundamentais que influenciam a propagação desde a morfologia do terreno à existência de edifícios,

orientação de ruas, existência de superfícies abertas, superfícies aquáticas, etc.

Estes testes em larga escala foram realizados por forma a desenvolver os seus resultados em

formato gráfico (curvas de Okumura), tendo como padrão uma área urbana e terreno quase plano, onde

cada curva representa o valor mediano da atenuação adicional em relação à propagação do sinal em

espaço livre (𝐴𝜇) [43]. Estas medições foram feitas para uma altura efetiva da estação de base de 200

m (ℎ𝑡) e um terminal móvel de altura 3 m (ℎ𝑟).

A altura efetiva da antena da estação de base ℎ𝑡, é calculada como especificado por Okumura

[43], e corresponde à altura da sua antena acima da elevação média do terreno. A altura média do

terreno ℎ𝑔𝑎, é determinada ao longo do percurso das ondas eletromagnéticas, numa distância entre 3

a 15 km. Este procedimento é facilmente explicado com o auxílio da Figura 5.4. Primeiro, é determinado

o perfil do terreno entre a antena da estação de base e o terminal móvel recetor. A altura média do

terreno é determinada na direção do recetor, entre 3 e 15 km. Finalmente, a altura efetiva da antena da

estação de base ℎ𝑡, é determinada como sendo a diferença entre a altura da antena da estação de

base ℎ𝑏𝑠 e a altura média do terreno ℎ𝑔𝑎.

Figura 5.4 – Esquema para o cálculo da altura efetiva da antena da estação de base no modelo Okumura. (adaptado de [36])

ℎ𝑏

ℎ𝑏𝑠 ℎ𝑡

ℎ𝑔𝑎

ℎ𝑜𝑏

3 𝑘𝑚 15 𝑘𝑚

ℎ𝑜𝑚

0

EB

TM

92

Para localizações do terminal móvel inferiores a 15 km, a altura média do terreno é determinada

entre 3 km e a distância do terminal móvel. Para localizações inferiores a 3 km da estação de base, a

altura da estação de base vem dada por [46]:

ℎ𝑡 = {

ℎ𝑏 + ℎ𝑜𝑏 − ℎ𝑜𝑚 , ℎ𝑜𝑏 > ℎ𝑜𝑚

ℎ𝑏 , ℎ𝑜𝑏 ≤ ℎ𝑜𝑚

(5.1)

Okumura classifica os diferentes tipos de ambientes em 3 classes [36]:

Zona urbana – região com uma elevada densidade de edifícios, tendo cada um mais de dois

andares;

Zona suburbana – Alguns obstáculos, não muito denso, na região em frente ao terminal móvel;

Zona rural/aberta – Ausência de obstáculos numa região entre 300 m a 400 m em frente do

terminal móvel. Zona quase aberta é definida como o meio-termo entre as zonas suburbanas

e abertas.

Se o terreno não for quase plano, a região não for urbana e/ou as alturas das antenas diferirem

dos valores de referência (ℎ𝑡 = 200 m e ℎ𝑟 = 3 m), utilizam-se fatores de correção.

Este modelo é aplicável para distâncias de 1 km a 100 km, frequências no intervalo de 150 MHz

a 2000 MHz, pode ser usado para alturas efetivas de estação de base compreendidas entre 30 m a

1000 m, e terminais móveis com alturas de 1 m a 10 m.

A expressão empírica de Okumura para determinar a atenuação do sinal, à distância 𝑑 e

parametrizada pela frequência da portadora 𝑓, vem dada por [43]:

𝐿𝑃[𝑑𝐵] = 𝐿𝑓𝑠(𝑓, 𝑑) + 𝐴𝜇(𝑓, 𝑑) − 𝐺(ℎ𝑡) − 𝐺(ℎ𝑟) − 𝐺𝐴𝑅𝐸𝐴 (5.2)

onde:

𝐿𝑃 - é o valor mediano das perdas de transmissão;

𝐿𝑓𝑠 - é a atenuação de espaço livre, à distância 𝑑 e frequência 𝑓;

𝐴𝜇 - é o valor mediano do excesso de atenuação (em relação à atenuação de espaço livre),

para uma zona urbanizada sobre um terreno “quase plano”, uma antena de emissão ℎ𝑡 = 200

m e de receção ℎ𝑟 = 3 m. Depende da frequência 𝑓 e da distância 𝑑;

𝐺(ℎ𝑡), 𝐺(ℎ𝑟) - fatores de correção a aplicar quando as alturas da antena de emissão ou de

receção diferem das alturas de referência (ℎ𝑡 = 200 m, ℎ𝑟 = 3 m). São designados por fatores

de ganho de altura, dependem da distância 𝑑 e da frequência 𝑓;

93

𝐺𝐴𝑅𝐸𝐴 – é o fator de correção (ou fator de ganho) devido ao tipo de ambiente (zona suburbana,

zona quase aberta e zona aberta ou rural);

Os valores de 𝐴𝜇 e 𝐺𝐴𝑅𝐸𝐴 são obtidos nas curvas empíricas de Okumura [43]. No seu modelo,

Okumura fornece alguns fatores de correção adicionais sob a forma de curvas [43]. Por exemplo,

correções para as orientações das ruas relativamente ao emissor, ondulação do terreno, inclinação do

terreno, trajetos mistos de terra e mar, podem ser usados para aumentar a precisão do modelo.

Okumura desenvolveu formulas empíricas para 𝐺(ℎ𝑡) e 𝐺(ℎ𝑟):

𝐺(ℎ𝑡) = 20 𝑙𝑜𝑔 (

ℎ𝑡200

) , 30 𝑚 < ℎ𝑡 < 1000 𝑚 (5.3)

𝐺(ℎ𝑟) =

{

10 𝑙𝑜𝑔 (

ℎ𝑟3) , ℎ𝑟 ≤ 3 𝑚

20 𝑙𝑜𝑔 (ℎ𝑟3) , 3 𝑚 < ℎ𝑟 < 10 𝑚

(5.4)

Apesar de ser um modelo empírico usado com bastante frequência e considerado uma referência

entre os modelos de propagação macroscópicos, devido ao facto do modelo Okumura ter sido

construído com base nas características de Tóquio, é discutível a sua aplicação sem reservas em

outros ambientes:

As curvas standard são para ambiente urbano (na classificação de Okumura). A experiência

tem mostrado que face aos resultados experimentais em outras cidades, a classificação

ambiental nem sempre é compatível.

É discutível que os fatores de correção obtidos para Tóquio sejam aplicáveis a outras cidades

com outro tipo de edifícios, materiais e orografia.

A aplicação dos fatores corretivos faz intervir a subjetividade do utilizador.

Este modelo transporta deste modo alguns inconvenientes, pois, sendo a situação standard a

urbana, significa que as situações práticas mais correntes (que não são urbanas) têm de ser calculadas

como correções. Por outro lado, o cálculo automático não é fácil, dado que, toda a informação é

apresentada sob a forma de gráficos, o que faz intervir a subjetividade do projetista.

94

5.2.1.2.Modelo Okumura-Hata

Masaharu Hata [42] desenvolveu em 1980 um conjunto de fórmulas empíricas apropriadas para

cálculo numérico, baseadas nos resultados em formato gráfico disponibilizados por Okumura. Este

modelo empírico simplifica o cálculo das perdas de transmissão, contudo, tem um domínio de aplicação

mais limitado. O modelo de Hata [42] é válido para o intervalo de frequências de 150 MHz a 1500 MHz,

para distâncias de 1 km a 20 km, com altura efetiva das estações de base e altura dos terminais móveis

de 30 m a 200 m e 1 m a 10 m, respetivamente.

A expressão desenvolvida por Hata, para determinar o valor mediano da atenuação empírica em

áreas urbanas, vem dada por [42]:

𝐿𝑃[𝑑𝐵] = 69.55 + 26.16 𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 13.82 𝑙𝑜𝑔 (ℎ𝑡[𝑚])

+ [44.90 − 6.55 𝑙𝑜𝑔 (ℎ𝑡[𝑚])] 𝑙𝑜𝑔(𝑑[𝑘𝑚]) − 𝐽(ℎ𝑟, 𝑓) −∑𝐾𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

(5.5)

onde ∑𝐾𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 representa os fatores de correção a aplicar se o ambiente e o tipo de terreno fugirem

das condições padrão referenciadas para o modelo (áreas urbanas em terreno quase plano). 𝐽(ℎ𝑟 , 𝑓)

é um fator de correção para a altura do terminal móvel. Para pequenas ou médias cidades, este fator

vem dado por [42]:

𝐽(ℎ𝑟, 𝑓)[𝑑𝐵] = [1.10 𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 0.70]ℎ𝑟[𝑚] − [1.56 𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 0.80] (5.6)

e para grandes cidades, vem

𝐽(ℎ𝑟)[𝑑𝐵] =

{

8.29𝑙𝑜𝑔2 (1.54ℎ𝑟[𝑚]) − 1.10 , 𝑓 ≤ 200 𝑀𝐻𝑧

3.20𝑙𝑜𝑔2 (11.75ℎ𝑟[𝑚]) − 4.97 , 𝑓 ≥ 400 𝑀𝐻𝑧

(5.7)

95

5.2.1.3.Factores de correção

Os fatores de correção do ambiente e do terreno, são aplicados para otimizar e melhorar a

precisão do modelo quando estes parâmetros diferem dos de referência (terreno quase plano, zona

urbana).

Os resultados destes fatores foram desenvolvidos por Okumura e disponibilizados em formato

gráfico [43]. As expressões que se seguem representam uma boa aproximação das curvas de Okumura

[36]:

Terreno ondulado, 𝐾𝑡ℎ, e posição do terminal móvel no terreno ondulado, ±𝐾ℎ𝑝

Figura 5.5 – Terreno ondulado. (adaptado de [36])

10 %

90 %

Δℎ

𝑑𝑡 = 10 𝑘𝑚

Figura 5.6 – Correção para a ondulação do terreno.

EB

TM

96

𝐾𝑡ℎ(Δℎ)[𝑑𝐵] =

{

−8𝑙𝑜𝑔2(Δℎ[𝑚]) + 12𝑙𝑜𝑔(Δℎ[𝑚]) − 3, 𝑓 = 453 𝑀𝐻𝑧

−8𝑙𝑜𝑔2(Δℎ[𝑚]) + 16𝑙𝑜𝑔(Δℎ[𝑚]) − 7, 𝑓 = 922 𝑀𝐻𝑧

−3𝑙𝑜𝑔2(Δℎ[𝑚]) − 0.5𝑙𝑜𝑔(Δℎ[𝑚]) + 4.5, 𝑓 = 1430 𝑀𝐻𝑧

(5.8)

𝐾ℎ𝑝(Δℎ)[𝑑𝐵] = −2𝑙𝑜𝑔2(Δℎ[𝑚]) + 16𝑙𝑜𝑔(Δℎ[𝑚]) − 12 (5.9)

A intensidade do campo calculado pode ter de ser ajustado de acordo com o grau de

irregularidade no terreno ao longo do percurso entre as antenas. A intensidade do campo diminui em

função da rugosidade do terreno, i.e., a altura da ondulação do terreno. Esta altura é definida pela

diferença entre o valor 10% abaixo do máximo das elevações, e o valor 10% acima do mínimo das

elevações do terreno, ao longo de uma distância de 10 km.

De notar que este fator de correção encontra-se especificado para 453, 922 e 1430 MHz.

Qualquer frequência entre 453 e 1430 MHz será interpolada a partir destes valores. Para frequências

fora deste intervalo, estas são avaliadas com as curvas de 453 e 1439 MHz.

Outro fator de correção que pode ser incluído no cálculo das perdas de transmissão é relativo ao

posicionamento do terminal móvel no terreno irregular. Assim, a intensidade do campo aumenta quando

a receção do sinal é feita nas proximidades do topo da colina (+𝐾ℎ𝑝) (local mais elevado do terreno

irregular), e diminui quando a receção é feita nos vales (−𝐾ℎ𝑝). [51] [36]

Figura 5.7 – Correcção para a posição nas ondulações do terreno.

97

Inclinação média do terreno, 𝐾𝑠𝑝

Figura 5.8 – Terreno inclinado. (adaptado de [36])

𝐾𝑠𝑝(𝜃)[𝑑𝐵] =

{

−0.0025𝜃[mrad]

2 + 0.204𝜃[mrad] , 𝑑 < 10 𝑘𝑚

−0.648|𝜃|[mrad]1.09 , 𝑑 > 30 𝑘𝑚,−15mrad < 𝜃 < 0mrad

−0.007𝜃[mrad]2 + 0.5𝜃[mrad] , 𝑑 = 30 𝑘𝑚, 0mrad < 𝜃 < 20mrad

−0.012𝜃[mrad]2 + 0.84𝜃[mrad] , 𝑑 > 60 𝑘𝑚, 0mrad < 𝜃 < 20mrad

(5.10)

ℎ1

ℎ2

𝜃𝑖

𝑑𝑖

Figura 5.9 – Correção para a inclinação média do terreno.

EB

TM

98

Em geral, a intensidade do campo total na receção, aumenta em percursos com inclinação

ascendente, e diminui para percursos descendentes. O ângulo de inclinação do percurso e o

correspondente ajuste do campo são calculados apenas para distâncias superiores a 5 km. O ângulo

médio de inclinação é determinado ponto a ponto desde o ponto base mais baixo até ao local da

receção. O ângulo médio calculado está limitado aos limites da Figura 5.9, i.e., ângulos calculados com

magnitude superior a ± 20 mrad, são avaliados nos limites da figura, ou seja, em ± 20 mrad.

O intervalo de frequências da Figura 5.9 é entre 450 e 900 MHz. Não é feito qualquer outro ajuste

quando este fator de correção é incluído para outras frequências. [51] [36]

Trajeto misto terra/mar, 𝐾𝑚𝑝

𝛽 = 𝑑𝑠 𝑑⁄

Figura 5.10 – Terreno misto terra/mar. (adaptado de [36])

𝑑

𝑑𝑠

Figura 5.11 – Correção para trajetos mistos.

EB

TM

99

𝐾𝑚𝑝(𝛽)[𝑑𝐵] =

{

{−12.4𝛽2 + 27.2𝛽 , 𝑑 > 60 𝑘𝑚

𝐴−8.0𝛽2 + 19.0𝛽 , 𝑑 < 30 𝑘𝑚

{11.9𝛽2 + 4.7𝛽 , 𝑑 > 60 𝑘𝑚

7.8𝛽2 + 5.6𝛽 , 𝑑 < 30 𝑘𝑚

𝐵(𝛽 < 0.8)

(5.11)

No caso 𝐵, as expressões são válidas para 𝛽 < 0.8.

Em percursos mistos de terra e mar, a intensidade do campo calculado na receção, aumenta

com o parâmetro 𝛽. O cenário 𝐴 corresponde à situação em que o terreno com água encontra-se mais

próximo do local onde é feita a receção. No cenário 𝐵, a área ocupada pela água encontra-se mais

próxima da estação de base. [51] [36]

Orientação das ruas e avenidas relativamente ao emissor, 𝐾𝑎𝑙, 𝐾𝑎𝑐

𝐾𝑎𝑐(𝑑)[𝑑𝐵] = 2.1 𝑙𝑜𝑔(𝑑[𝑘𝑚]) − 6.3 (5.12)

𝐾𝑎𝑙(𝑑)[𝑑𝐵] = {

−2.7 𝑙𝑜𝑔(𝑑[𝑘𝑚]) + 8.6 , 𝑑 ≤ 40 𝑘𝑚

−4.0 𝑙𝑜𝑔(𝑑[𝑘𝑚]) + 10.7 , 𝑑 > 40 𝑘𝑚

(5.13)

Figura 5.12 – Correção para orientação das ruas relativamente ao emissor.

100

A intensidade do campo calculado na receção pode sofrer um ajuste, de acordo com a orientação

das ruas relativamente ao emissor. O campo aumenta para recetores colocados em ruas que se

encontram dispostas paralelamente em relação à direção das ondas emitidas pela estação de base

(𝐾𝑎𝑙), e diminui quando as ruas são perpendiculares (𝐾𝑎𝑐). Para distâncias inferiores a 5 km da estação

de base, os valores máximos da Figura 5.12 (+6.71 𝑑𝐵 ou −4.83 𝑑𝐵) são usados. [51] [36]

Os fatores para correção ambiental vêm dados pelas seguintes expressões desenvolvidas por

Hata [42], a partir das curvas de Okumura:

Zonas suburbanas, 𝐾𝑠𝑢

𝐾𝑠𝑢(𝑓)[𝑑𝐵] = 2.00𝑙𝑜𝑔

2 (𝑓[𝑀𝐻𝑧]

28) + 5.40 (5.14)

Figura 5.13 – Correção para áreas suburbanas.

101

Zonas abertas, 𝐾𝑜𝑎, ou quase abertas, 𝐾𝑞𝑜

𝐾𝑜𝑎(𝑓)[𝑑𝐵] = 4.78𝑙𝑜𝑔2(𝑓(𝑀𝐻𝑧)) − 18.33 𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) + 𝐾 (5.15)

𝐾𝑞𝑜(𝑓)[𝑑𝐵] = 𝐾𝑜𝑎(𝑓)[𝑑𝐵] − 5 (5.16)

onde, 𝐾 varia entre 35.94 (região rural) e 40.94 (desertos).

Naturalmente, a intensidade do campo na receção irá aumentar à medida que a densidade de

edifícios e obstáculos decresce.

5.2.1.4.Extensão do modelo Okumura-Hata

O modelo Okumura-Hata foi alargado pela COST4 em 1999, para cobrir o intervalo de

frequências de 1500 MHz a 2000 MHz. A expressão do valor mediano da atenuação empírica, em áreas

urbanas, vem dado por [47]:

4 Cooperação europeia de investigação em ciência e tecnologia

Figura 5.14 – Correção para áreas abertas e quase abertas.

102

𝐿𝑃[𝑑𝐵] = 46.30 + 33.90 𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 13.82 𝑙𝑜𝑔 (ℎ𝑡[𝑚])

+ [44.90 − 6.55 𝑙𝑜𝑔 (ℎ𝑡[𝑚])] 𝑙𝑜𝑔(𝑑[𝑘𝑚]) − 𝐽(ℎ𝑟, 𝑓) + 𝐶𝑚[𝑑𝐵]

−∑𝐾𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

(5.17)

onde

𝐶𝑚[𝑑𝐵] = {

0 , pequenas cidades, zonas suburbanas e rurais

3 , centros urbanos (5.18)

Os restantes fatores de correção são os mesmos mencionados anteriormente. Este modelo é

referido como sendo a extensão COST 231 do modelo Okumura-Hata, e é válido para o intervalo de

frequências 1500 MHz a 2000 MHz, para alturas efetivas da estação de base entre 30 m a 200 m,

alturas de receção entre 1 m a 10 m, e distâncias compreendidas entre 1 km e 20 km.

5.2.1.5.Campo total

De modo a obter a expressão que permite determinar o valor médio do campo total recebido pelo

terminal móvel, parte-se da expressão que relaciona a potência recebida por uma antena e a densidade

de fluxo de potência:

𝑃𝑟 = 𝐴𝑒𝑓(𝜃, 𝜑) × 𝑆𝑃(𝜃, 𝜑) (5.19)

onde, a constante de proporcionalidade 𝐴𝑒𝑓 representa a área ou abertura efetiva da antena de receção.

A potência entregue no recetor é proporcional à área efetiva que a antena apresenta segundo a direção

de incidência.

Substituindo (2.6) e (2.15) em (5.19), vem

𝑃𝑟[𝑊] =

𝐸2[𝑉/𝑚]

𝑍0[Ω]

𝜆[𝑚]2 𝐺𝑟

4𝜋 ⇔ (5.20)

⟺ 𝑃𝑟[𝑊] =𝐸2[𝑉 𝑚⁄ ]

30(𝑐[𝑚 𝑠⁄ ]

4𝜋𝑓[𝐻𝑧])

2

𝐺𝑟 (5.21)

onde, 𝐸 é o valor médio do campo elétrico à receção, 𝑍0 = 120𝜋 [Ω], é a impedância de onda em espaço

livre, 𝜆 é o comprimento de onda, 𝑓 é a frequência de operação, 𝑐 = 3 × 108𝑚 𝑠⁄ , é a velocidade da luz

no vácuo, e 𝐺𝑟 é o ganho da antena de receção em relação a uma antena isotrópica.

103

Procede-se de seguida à conversão da equação (5.21) em unidades logarítmicas:

𝑃𝑟[𝑑𝐵𝑊] = 20𝑙𝑜𝑔(𝐸[𝑉 𝑚⁄ ]) − 10 log(30) − 20 log(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) + 20log (

𝑐[𝑚 𝑠⁄ ]

4𝜋) − 120

+ 10𝑙𝑜𝑔(𝐺𝑟)

(5.22)

A potência entregue no recetor relaciona-se com a potência emitida pelo emissor e com as perdas de

propagação, através da expressão (2.11). Substituindo (5.22) em (2.11), vem

𝐸[𝑑𝐵 𝑉 𝑚⁄ ] = 𝑃𝑒[𝑑𝐵𝑊] + 𝐺𝑒[𝑑𝐵𝑖] + 20 log(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 20log (

𝑐[𝑚 𝑠⁄ ]

4𝜋)

+ 10 log(30) +120 − 𝐿𝑃[𝑑𝐵] (5.23)

onde, 𝐿𝑃 é o valor mediano das perdas de propagação em áreas urbanas (perdas de espaço livre

incluídas), segundo o modelo Okumura-Hata. Este valor pode ser ajustado com o auxílio de fatores de

correção, se o terreno não for quase plano e/ou a região em análise não for urbana.

Convertendo 𝑑𝐵 (𝑉 𝑚)⁄ para 𝑑𝐵(𝜇 𝑉 𝑚⁄ ), são adicionados 120 𝑑𝐵 na expressão (5.23) do campo. A

expressão final para o valor médio do campo total, vem dada por

𝐸[𝑑𝐵 𝜇𝑉 𝑚⁄ ] = 𝑃𝑒[𝑑𝐵𝑊] + 𝐺𝑒[𝑑𝐵𝑖] + 20 log(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 20log (

𝑐[𝑚 𝑠⁄ ]

4𝜋)

+ 10 log(30) +240 − 𝐿𝑃[𝑑𝐵] (5.24)

O modelo Okumura-Hata é reconhecido pela sua simplicidade e elevada precisão na estimação

das perdas de propagação para sistemas de rádio móvel instalados em ambientes citadinos, i.e., com

uma grande densidade de edifícios e obstáculos a obstruir a linha de vista entre o emissor e o recetor.

É um modelo bastante prático e tornou-se uma referência no planeamento de sistemas rádio. A sua

maior desvantagem é a resposta lenta que este modelo apresenta em relação a mudanças drásticas

de terreno, e portanto, é bastante bom em áreas urbanas e suburbanas, e não tão bom em áreas rurais

[48]. O modelo Okumura assume um desvio padrão empírico de cerca de 10 a 14 dB para as

frequências mais elevadas, entre as perdas de propagação previstas pelo modelo e os resultados

obtidos através de medições usadas para desenvolver o modelo. [43] [49]

O desvio padrão do erro entre os resultados previstos pelo modelo Okumura-Hata e os obtidos

através de medições em áreas urbanas, 𝜎𝑢, e suburbanas, 𝜎𝑠𝑢, vem aproximadamente dado pelas

seguintes expressões [36]:

𝜎𝑢(𝑓)[𝑑𝐵] = 0.70𝑙𝑜𝑔2(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 2.50𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) + 11.10 (5.25)

𝜎𝑠𝑢(𝑓)[𝑑𝐵] = 0.98𝑙𝑜𝑔2(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) − 3.40𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) + 11.88 (5.26)

104

5.2.1.6.Simulações do modelo Okumura-Hata

As figuras que se seguem representam os resultados obtidos a partir de simulações do modelo

Okumura-Hata, em diferentes ambientes e percursos.

Na primeira simulação as curvas de Okumura-Hata são obtidas para diferentes ambientes, em

terreno quase plano. O objetivo é analisar o comportamento do modelo no cálculo do campo ao longo

da distância, quando as ondas são propagadas em pequenas e grandes cidades, áreas suburbanas,

áreas abertas e quase abertas, e em espaço livre.

O valor médio do campo elétrico total na receção é calculado para cada caso aplicando primeiro

um fator de correção à expressão (5.5) das perdas de propagação do modelo Okumura-Hata, que está

referenciada para área urbana, e depois finalmente substituindo (5.5) na expressão do campo (5.24).

A expressão (2.9) é usada para obter os resultados referentes à propagação das ondas em

espaço livre. É necessário converter esta em unidades logarítmicas (dB), vindo:

𝐿𝑓𝑠[𝑑𝐵]

= 20𝑙𝑜𝑔 (4𝜋𝑑[𝑚]

𝜆[𝑚]) ⇔

(5.27)

⇔ 𝐿𝑓𝑠[𝑑𝐵]= 32.44 + 20𝑙𝑜𝑔(𝑑[𝑘𝑚]) + 20𝑙𝑜𝑔(𝑓[𝑀𝐻𝑧]) (5.28)

Os fatores de correção ambiental usados na primeira simulação, foram de zona suburbana, área

aberta e quase aberta, expressões (5.14), (5.15) e (5.16), respetivamente. Para pequenas e grandes

cidades, tratando-se de zonas urbanas, não se aplicam fatores de correção ambiental. Relativamente

ao fator de correção para a antena recetora do terminal móvel, é usada a expressão (5.7) em todos os

ambientes, exceto o caso da pequena cidade em que se usou a expressão (5.6).

Na simulação da Figura 5.15 são usados os seguintes parâmetros:

Potência de emissão: 10 dBm.

Ganho da antena de emissão: 2.15 dBi.

Frequência: 450 MHz.

Altura efetiva da estação de base: 30 m.

Altura da antena recetora: 5 m.

Distância: 1-10 km.

105

Procedendo à análise da Figura 5.15, verifica-se, como seria de esperar, que o campo à receção

atinge a maior amplitude no caso das perdas de espaço livre, onde não estão contabilizados alguns

fenómenos determinantes na propagação, tais como: o efeito de multipercurso, que provoca reflexões

e difrações do sinal devido à presença de obstáculos (edifícios, veículos, entre outros), causando

desvanecimento; a possibilidade de interferência com outras células; ruído eletromagnético com origem

em causas naturais ou atividade humana, entre outros. As restantes curvas manifestam o

comportamento previsto, pois à medida que a densidade de edifícios e obstáculos aumenta, maiores

serão as perdas de transmissão, provocando uma queda acentuada do sinal.

A Figura 5.16 representa a simulação feita em ambiente suburbano, para diferentes tipos de

terreno e percursos entre a estação de base e o terminal móvel. O objetivo desta simulação é analisar

o comportamento dos diferentes fatores de correção para o terreno, e o impacto que estes têm na

intensidade do campo prevista pelo modelo Okumura-Hata.

Nesta simulação, os fatores de correção aplicados para cada caso na expressão (5.5), foram o

de correção ambiental para uma zona suburbana, de correção da altura do recetor, e um para correção

do percurso, expressões (5.14), (5.7) e (5.8) a (5.13), dependendo do tipo de terreno, respetivamente.

Para a simulação da Figura 5.16 são usados os seguintes parâmetros:


Ganho da antena de emissão: 2.15 dBi.

Figura 5.15 – Modelo Okumura-Hata em diversos ambientes.

106





𝛽 = 0.5.

𝜃𝑖1 = 10 𝑚𝑟𝑎𝑑 (ângulo de inclinação em percurso ascendente).

𝜃𝑖2 = −10 𝑚𝑟𝑎𝑑 (ângulo de inclinação em percurso descendente).

Altura da ondulação do terreno, Δℎ: 50 m.


Ao analisar-se a Figura 5.16, conclui-se imediatamente que o percurso que apresenta o cenário

mais vantajoso para a propagação, é um trajeto misto de terra e mar. Este resultado era esperado,

pois, com o parâmetro 𝛽 = 0.5, considera-se que metade do percurso é feito sobre o mar e tendo este

um fator de reflexão bastante elevado (Γ ≈ 1) e não havendo outros obstáculos em redor, a componente

refletida do campo terá uma grande contribuição para a receção. De referir que dentro do trajeto misto,

foi simulado o cenário 𝐴 , expressão (5.11).

No extremo oposto, o percurso que menos vantagens apresenta para a propagação corresponde

ao caso em que entre o terminal móvel recetor e a estação de base existem irregularidades no terreno,

tendo este uma altura de ondulação de 50 m. Nestas condições, o pior cenário é quando o recetor

Figura 5.16 – Modelo Okumura-Hata em diversos terrenos e percursos.

107

encontra-se localizado nos vales, onde a probabilidade de existência de zonas não iluminadas (sombra)

é elevada.

A seguir ao trajeto misto, a melhor situação é quando o recetor encontra-se localizado numa rua

paralela à direção das ondas emitidas pelo emissor. Nestas circunstâncias, pode existir linha de vista

entre as duas antenas. Por outro lado, quando o recetor encontra-se situado numa rua perpendicular à

direção das ondas emitidas pelo emissor, é comum o sinal estar obstruído por edifícios, e nessas

circunstâncias, o sinal é recebido essencialmente através do efeito de multipercurso e difrações no topo

dos edifícios. A existência de ruas conduz a fenómenos de propagação guiada, com características

diferentes nas ruas paralelas e nas perpendiculares.

Salienta-se também que os resultados da propagação num percurso com inclinação ascendente

ou em declive só devem ser apreciados para distâncias superiores a 5 km, pois, sendo o modelo

definido para ângulos bastante pequenos, é necessário haver uma distância significativa entre as

antenas para que o ângulo de inclinação do terreno tenha um impacto considerável na propagação.

Na Figura 5.17 procedeu-se à simulação de dois cenários próximos da realidade com o modelo

Okumura-Hata. Como cenário exemplificativo, considera-se uma comunicação entre dois terminais na

rede GSM (900 MHz), na cidade de Lisboa (zona urbana).

O primeiro cenário corresponde à transmissão de um sinal entre uma estação de base, situada

na cidade, e um terminal móvel que se encontra num navio inicialmente a 100 m da margem lisboeta,

e que se afasta gradualmente. Encontramo-nos na presença de um percurso misto terra e mar (cenário

𝐴), em zona urbana.

No segundo cenário, a transmissão é feita no centro da cidade, encontramo-nos portanto numa

situação em que o recetor encontra-se situado, com grande probabilidade, entre as ruas, numa

perpendicular relativamente à direção de propagação das ondas. A existência de ruas conduz a

fenómenos de propagação guiada através do efeito de multipercurso, sendo que a atenuação

proveniente das reflexões nos edifícios e objetos circundantes varia de acordo com os materiais de

construção.

Na simulação da Figura 5.17 são usados os seguintes parâmetros:


Ganho de emissão: 2.15 dBi.




Distância: 1 a 3 km.

𝛽 = 𝑑𝑠 𝑑⁄ , em que 𝑑𝑠 varia entre 100 a 2100 m, e 𝑑 é a distância entre as antenas.

108

Procedendo à análise da Figura 5.17, e como já foi referido previamente, verifica-se que um

percurso misto de terra e mar apresenta melhores condições para a propagação do sinal do que no

centro da cidade. A 1000 m de distância, no centro da cidade o valor mediano da atenuação é superior

em cerca de 10 dB relativamente ao trajeto misto, de acordo com o modelo Okumura-Hata. À medida

que a distância aumenta, o parâmetro 𝛽 também aumenta, resultando numa diferença cada vez maior

do valor do campo recebido nos dois casos. No centro da cidade o sinal sofre do efeito de multipercurso

ao refletir nos edifícios, veículos e outros obstáculos, causando desvanecimento. O ambiente é mais

dinâmico e caótico, existem outras fontes de interferência, tais como ruido proveniente de atividade

humana e possibilidade de interferência co-canal de células vizinhas, que é comum em ambos os

casos.

Além de todos estes fatores, para obter uma maior precisão deve-se também ter em conta as

perdas de transmissão nos cabos entre o transmissor e a antena da estação de base.

Sendo a comunicação bidirecional (canais uplink e downlink), deve-se contabilizar também as

perdas devido à proximidade entre os terminais móveis e utilizadores, quando os terminais transmitem

para a estação de base. Esta proximidade com o utilizador origina perdas que variam em cerca de 3 a

10 dB para o serviço de voz, e cerca de 0 a 3 dB para o serviço de transmissão de dados (internet

móvel, sms, mms, etc.), nas redes GSM, UMTS e LTE. [50]

Com o auxílio da expressão (5.25), pode-se estimar de forma aproximada o desvio padrão de

erro do modelo, em ambiente urbano: 𝜎𝑢 ≈ 9.8 𝑑𝐵.

Figura 5.17 – Modelo Okumura-Hata em ambiente urbano.

109

Apesar do modelo ter sido desenvolvido com base nas características de Tóquio, sendo

discutível a sua aplicação em outros ambientes, o modelo de Okumura-Hata é um dos modelos

empíricos com desvio padrão de erro mais baixo quando otimizado para um determinado ambiente, o

que torna este um dos modelos empíricos de eleição para o planeamento de sistemas de rádio móvel,

principalmente em áreas urbanas. [44]

5.2.2.Modelos teóricos

Os modelos teóricos não são baseados em medidas, representam uma aproximação da

realidade. Como consequência, não contabilizam todos os fatores que afetam a propagação e

manifestam uma forte dependência da definição de bases dados geográficas.

5.2.2.1.Modelo Walfisch-Bertoni

Tipicamente numa macro-célula urbana, o terminal móvel encontra-se em zonas de sombra

geométrica em relação à estação de base. Deste modo, o campo que atinge o terminal móvel poderá

ter origem fundamentalmente na propagação por entre os edifícios, através dos edifícios, ou por

difrações sucessivas nos topos dos edifícios. Um modelo teórico para propagação em ambientes

urbanos foi proposto por Walfisch e Bertoni em 1988 [41], e segundo este modelo, a difração no topo

dos edifícios é o mecanismo que mais contribui para o campo recebido no terminal móvel.

Uma situação típica de ambiente de macro-célula encontra-se representada na Figura 5.18.

Efeito sombra

Efeito multipercurso

Figura 5.18 – Perfil típico numa macro-célula em meio urbano. (adaptado de [37])

110

ℎ𝑟

𝑤

ℎ𝐸

O modelo de Walfisch-Bertoni considera dois tipos de atenuação para o cálculo aproximado da

amplitude do campo ao nível da rua:

A atenuação 𝐴𝑛, introduzida pelos múltiplos obstáculos que interferem desde a região do emissor

até ao obstáculo que antecede o terminal móvel. Esta atenuação é calculada no ponto

correspondente ao topo do último edifício antes do terminal móvel. Para obter o valor absoluto

do campo neste ponto, multiplica-se 𝐴𝑛 pela amplitude da onda esférica (onda de espaço livre

que tem origem na antena da estação de base) calculada neste ponto.

A atenuação 𝐴𝐸, associada à difração desde o topo do ultimo edifício antes do terminal móvel

até ao nível da rua, entrando em consideração com eventuais reflexões e dispersão nas paredes

dos edifícios e em outros obstáculos na vizinhança do móvel.

5.2.2.2.Efeito de multi-percurso

Múltiplos raios podem eventualmente contribuir para o campo recebido no terminal móvel, como

se pode verificar nas Figuras 5.18 e 5.19. De acordo com resultados experimentais obtidos [40], apenas

o raio difratado que atinge diretamente a antena do móvel, e o raio difratado que se reflete uma vez no

edifício da frente antes de atingir o móvel, têm contribuição preponderante para o campo recebido no

terminal móvel.

O valor da atenuação associada à difração das ondas desde o topo do edifício até ao nível da

rua vai depender das características da estrutura urbana, nomeadamente a geometria dos edifícios e

da forma como os edifícios ou obstáculos circundantes se encontram dispostos nos casos em que haja

reflexão. No modelo de Walfisch-Bertoni tomam-se as seguintes considerações:

Figura 5.19 – Geometria do multi-percurso (representação do alçado).

α

111

𝑇𝑀

𝜙 𝜙

𝑤 𝑤

Os edifícios são substituídos por um ecrã opaco semi-infinito (knife-edge), alinhado com a aresta

de difração do edifício.

O ecrã é iluminado por uma onda plana, cuja frente de onda está inclinada de um ângulo α em

relação à horizontal.

O efeito do chamado “ângulo de rua” 𝜙 é contabilizado de forma empírica, escalando a

coordenada longitudinal.

Em que:

ℎ𝐸 – Altura dos edifícios

ℎ𝑟 – Altura do terminal móvel

𝑤 – Espaçamento entre edifícios, ou largura das ruas

𝛼 – Ângulo entre a horizontal e a altura da estação de base, definido a partir do topo do último

edifício

𝜙 – Ângulo de rua

𝑇𝑀 – Terminal móvel

A atenuação 𝐴𝐸 é obtida pela seguinte expressão [1]:

|𝐴𝐸(ℎ𝑒)| = {1

2[1

2+ 𝐶(ℎ𝑒1,2)]

2

+1

2[1

2+ 𝑆(ℎ𝑒1,2)]

2

}

12

(5.29)

Figura 5.20 – Esquematização do ângulo de rua (representação em planta).

112

em que 𝐶( ) e 𝑆( ) designam as funções co-seno e seno integrais de Fresnel. A altura equivalente vem

dada por

ℎ𝑒1 = √2sin𝜙

𝜆𝑧[(ℎ𝑟 − ℎ𝐸) + 2𝑧

sin𝛼

sin𝜙] (5.30)

para a onda difratada direta. No caso da onda refletida no edifício da frente, tem-se

ℎ𝑒2 = √2sin𝜙

𝜆(2𝑤 − 𝑧)[(ℎ𝑟 − ℎ𝐸) + 2(2𝑤 − 𝑧)

sin𝛼

sin𝜙] (5.31)

Os campos com origem no raio difratado direto e no raio refletido pelo edifício, vêm dados

respetivamente por

𝐸12 = 𝐸𝑓𝑠

2 |𝐴𝐸(ℎ𝑒1)|2 (5.32)

𝐸22 = 𝐸𝑓𝑠

2 |𝐴𝐸(ℎ𝑒2)|2|𝛤𝑒𝑑|

2 (5.33)

sendo

𝐸𝑓𝑠 =

√60𝑃𝑒𝐺𝑒𝑟

(5.34)

e Γed o fator de reflexão das paredes dos edifícios.

5.2.2.3.Efeito de sombra e difração por filas múltiplas de edifícios

Para obter a atenuação 𝐴𝑛 associada à difração no topo dos edifícios, o modelo de Walfisch-

Bertoni assume que a estrutura urbana é muito regular, tanto em termos de altura dos edifícios, como

no mapeamento das ruas e avenidas, considerando-as praticamente paralelas umas em relação às

outras. À semelhança do que se fez anteriormente, substitui-se cada edifício por um ecrã opaco semi-

infinito (knife-edge).

Embora este modelo se aplique apenas nos casos em que os ecrãs apresentam alturas e

espaçamentos constantes, conduz, no entanto, a resultados que concordam razoavelmente bem com

resultados experimentais [41].

113

𝑤 𝑤

𝑁0

𝑤 𝑁 + 1 𝑁

𝛼

𝑁0𝑤𝑡𝑎𝑛(𝛼)

O ângulo 𝛼 pode então ser obtido por:

𝛼 = tan−1 (

ℎ𝑏𝑁𝑒𝑑𝑤

) (5.35)

Em que ℎ𝑏 é a altura da estação de base desde o topo do edificio e 𝑁𝑒𝑑 é o numero de edifícios.

A atenuação introduzida pelos 𝑁 + 1 obstáculos múltiplos é dada pela seguinte expressão

aproximada

𝐴𝑁+1 ≈ 2.35𝑔𝑝0.9 (5.36)

Sendo 𝑔𝑝 dado por

𝑔𝑝 = √

𝑤

𝜆sin𝛼 (5.37)

A expressão do cálculo da atenuação só é válida para 0 < 𝑔𝑝 < 0.5 e 𝑁𝑒𝑑 > 0.1𝑁0 [41], em que

𝑁𝑒𝑑 é o numero de edifícios e 𝑁0 é o numero de edifícios que intersecta o elipsoide de Fresnel, vindo

este dado por

𝑁0 = 𝐼𝑛𝑡 {

𝜆

𝑤sin2𝛼} = 𝐼𝑛𝑡 {

1

𝑔𝑝sin𝛼} (5.38)

Figura 5.21 – Esquema para a atenuação devido a 𝑵+ 𝟏 obstáculos. (adaptado de [1])

114

5.2.2.4.Campo total

O valor médio do campo total recebido pelo terminal móvel, de acordo com o modelo de Walfisch-

Bertoni, é então dado por

𝐸 = 𝐴𝑁+1 × √𝐸1

2 + 𝐸22 (5.39)

A atenuação total a que é submetido o sinal até chegar ao terminal móvel, é deste modo a soma

entre a atenuação resultante das perdas de espaço livre do sinal na baixa atmosfera, determinado no

topo do último edifício; da atenuação devido à difração no topo da fila de edifícios, vistos como um

conjunto de ecrãs opacos semi-infinitos (knife-edge) que intersectam o elipsoide de Fresnel; e da

atenuação com origem na difração do sinal desde o último edifício até ao nível da rua, onde se incluem

as reflexões e dispersões do sinal em obstáculos próximos do terminal móvel.

O modelo conduz a resultados com erros aceitáveis [41], especialmente se a estrutura urbana

próxima do terminal móvel for razoavelmente uniforme, num comprimento de 𝑁0𝑤.

5.2.2.5.Simulações do modelo Walfisch-Bertoni

Nesta simulação, o campo elétrico é calculado por três formas diferentes consoante a zona onde

o sinal se encontre.

Na primeira zona, o campo é calculado através da expressão (2.55). Dessa expressão apenas é

considerada a componente direta do raio, podendo considerar-se que os raios refletidos se irão perder

entre os edifícios, não contribuindo significativamente no valor do campo.

A segunda zona corresponde aos espaços entre os edifícios, sendo o campo determinado

segundo o modelo Walfisch-Bertoni. Para a simulação do modelo utilizou-se as expressões (5.29),

(5.32), (5.33) e (5.39). Neste modelo dividiu-se tanto a distância como a altura da antena de receção

em pequenos intervalos como já havia sido feito no caso do cálculo do campo elétrico com reflexões

no solo. O número de intervalos para a distância é 500 e para a altura 200. Após a divisão em intervalos

calculou-se os diversos parâmetros necessários ao cálculo da atenuação devido ao multi-percurso (𝐴𝑒)

e à atenuação introduzida pelos obstáculos (𝐴𝑁+1). O campo eléctrico é calculado posteriormente

através da expressão (5.39).

Para cada edifício são calculados os valores de 𝛼, 𝑔𝑝 e 𝑁0. Estes parâmetros servem para

comprovar a validade do modelo. Este apenas é válido para 0 < 𝑔𝑝 < 0.5 e 𝑁𝑒𝑑 > 0.1𝑁0. Na figura os

edifícios que cumprem a validade do modelo estão compreendidos entre a linha azul e vermelha. A

linha azul corresponde ao edifício onde o valor de 𝑔𝑝 começa a ser menor que 0.5. A linha vermelha

corresponde ao ultimo edifício para o qual é garantida a condição 𝑁𝑒𝑑 > 0.1𝑁0.

115

Por último, na terceira zona, utiliza-se o modelo knife-edge para obter o valor do campo,

considerando-se apenas os raios diretos, pois a reflexão no terreno não contribui como parte

significativa da expressão (3.9).

Apenas se apresenta a simulação utilizando uma antena, pois o comportamento que o campo

elétrico terá é igual ao comportamento utilizando um agregado com várias antenas.

Na simulação representada pela Figura 5.22 estão representadas as três regiões, bem como o

comportamento do campo elétrico em cada uma delas.

Para a simulação da Figura 5.22 são usados os seguintes parâmetros:

Potência de emissão: 10 W.

Ganho antena de emissão: 15 dBi.


Número antenas: 1.

Altura antena de emissão: 50 m.

Largura da rua: 70 m.

Altura dos edifícios: 45 m.

Número de edifícios: 20.

Γed = 1.

𝜙 = 90𝑜.

Procedendo à análise da figura, é possível perceber que o campo vai perdendo intensidade entre

os edifícios, até chegar ao nível da rua. Esta situação era esperada pois a intensidade dos raios é

atenuada em função da penetração, uma vez que a altura equivalente decresce. Após o último edifício,

o campo apresenta o comportamento já analisado na secção da difração por obstáculos (knife-edge).


1

2

3

116

Variando a frequência, as condições de validade do modelo variam. Na simulação da Figura 5.23

aumentou-se a frequência para 1800 MHz pelo que a condição de 0 < 𝑔𝑝 < 0.5, linha azul, e

𝑁𝑒𝑑 > 0.1𝑁0, linha vermelha, alteram-se. Com o aumento da frequência, aumenta também a atenuação

provocada pelos edifícios.

É interessante analisar o caso em que o fator de reflexão das paredes dos edifícios é reduzido

de forma significativa. Considera-se o coeficiente de reflexão dos edifícios igual a zero, Γ𝑒𝑑 = 0. Pela

análise da Figura 5.24 é possível perceber que o raio refletido nos edifícios deixa de ter efeito no cálculo

do campo elétrico, surgindo apenas a contribuição do campo que é difratado no topo do edifício. O

campo aparenta assim ter um comportamento semelhante ao do modelo knife-edge, aparecendo uma

zona de sombra em cada edifício.

Figura 5.24 – Modelo de Walfisch-Bertoni para frequência de 600 MHz, considerando 𝚪𝒆𝒅 = 𝟎.

Figura 5.23 – Modelo de Walfisch-Bertoni para frequência de 1800 MHz.

117

6. CONCLUSÃO

6.1.Principais conclusões

Com este trabalho pretende-se investigar a influência, ao nível do grau de perturbação, que um

dado ambiente pode ter na propagação de ondas eletromagnéticas. Os resultados foram obtidos a

partir de uma abordagem teórica e de demonstrações gráficas de modelos teóricos e empíricos

estudados durante o curso. Assim, num contexto académico, este trabalho permite uma melhor

compreensão de alguns dos fenómenos que afetam a propagação de ondas eletromagnéticas num

dado ambiente, dando ao aluno uma melhor perceção de cada modelo e da influência dos seus

parâmetros. A nível de projeto, a visualização gráfica dos modelos constitui uma mais-valia no

planeamento celular de um sistema de comunicações móveis em ambiente urbano. Dos temas

abordados consta a reflexão, difração, refração, e modelos de propagação em determinados

ambientes.

No capítulo da reflexão, representou-se graficamente o andamento do campo elétrico com

polarização vertical e horizontal, considerando o raio refletido no solo. Foi possível verificar a

interferência entre o raio direto e raio refletido, observando-se, a partir de um certo ponto, a existência

de máximos e mínimos do campo elétrico. Da análise efetuada ao andamento do campo em função da

altura da antena de receção e da distância entre antenas observa-se que este apresenta máximos e

mínimos tanto em altura como em distância. Partindo de um certo ponto, esses máximos e mínimos

são mais visíveis. Através da Figura 2.17 e Figura 2.18 é possível visualizar o andamento do campo e

academicamente perceber-se a que distância e altura se deve colocar a antena de receção para se

obter um maior rendimento do sistema. A Figura 2.18 distingue-se da Figura 2.17 através da utilização

de um agregado de antenas como emissor. É possível verificar que o ponto a partir do qual se começa

a distinguir os máximos e mínimos aumenta. O agregado utilizado torna a antena mais diretiva como

exemplificado na Figura 2.16.

No módulo da difração em obstáculos, demonstrou-se graficamente o modelo knife-edge, onde

foi possível observar a atenuação causada pelo obstáculo no campo elétrico. No andamento do campo

é possível distinguir duas zonas. A zona anterior ao obstáculo onde é possível observar os máximos e

mínimos do campo, como demonstrado no capítulo da reflexão no solo, e a zona após o obstáculo,

onde o campo sofre uma atenuação suplementar. Nessa zona já não se observa tão nitidamente os

máximos e mínimos do campo, apenas para alturas superiores à altura do obstáculo, onde através do

modelo knife-edge se verifica que a atenuação provocada pelo obstáculo é menor. Por outro lado, num

ponto de observação profundamente imerso na zona de sombra criada pelo obstáculo, a amplitude do

campo será bastante reduzida. Este modelo é dependente da frequência pelo que se demostrou o

efeito desta no campo elétrico. Verificou-se que quanto maior é a frequência maior é a atenuação

provocada pelo obstáculo (Figura 3.4 e Figura 3.5).

118

No estudo da refração demonstrou-se o traçado de raios em atmosferas normais e em condições

especiais (ductos). Aproveitando o estudo anterior visualizou-se o efeito provocado por determinadas

atmosferas em imagens captadas pelo olho humano. A esse efeito dá-se o nome de miragens. Através

da visualização das trajetórias dos raios observou-se a influência do gradiente da refratividade

modificada sobre os raios. Como já referido, se este for positivo, os raios tendem a subir e afastam-se

da superfície terrestre, caso contrário, tendem a descer. A simulação das trajetórias dos raios na

presença de vários tipos de ductos confirmou que os raios ficam confinados à camada que apresenta

um gradiente negativo da refratividade modificada, atingindo, assim, distâncias mais elevadas do que

na presença de uma atmosfera tradicional. Existem dois tipos de miragens: a miragem superior e a

miragem inferior. Usando uma atmosfera estratificada em duas camadas, e após simulação das

trajetórias dos raios, obtém-se uma miragem superior em que o que se encontra ao nível da superfície

terrestre (navio neste caso) é “copiado” na parte superior da imagem (Figura 4.28). Caso a atmosfera

esteja estratificada em três camadas, a trajetória dos raios vai provocar o aparecimento de uma

miragem inferior, onde o céu é refletido no solo (Figura 4.29).

No capítulo dos modelos de propagação em ambientes urbanos, foram demonstrados os

modelos Okumura-Hata e Walfisch-Bertoni.

O modelo empírico Okumura-Hata foi concebido para ser usado em ambientes urbanos de

macro-célula. O modelo foi simulado para diversos ambientes e tipos de terreno com auxílio dos fatores

de correção inerentes ao modelo, verificando-se que o valor médio do campo obtido na receção diminui

à medida que a densidade de obstáculos e de irregularidades no terreno for maior, devido ao aumento

do valor mediano das perdas de transmissão (Figura 5.15 e Figura 5.16). Por outro lado, quando a

receção do sinal é feita no topo de uma colina, numa rua paralela relativamente à direção das ondas

emitidas pela estação de base, ou quando o recetor encontra-se localizado num percurso com

inclinação ascendente, a atenuação nestes casos será menor. Estas são algumas das situações mais

favoráveis em comunicação, devido à existência, com elevada probabilidade, de linha de vista entre as

duas antenas. Um modelo empírico toma em consideração todas as influências ambientais implícitas,

sendo que a sua precisão depende da precisão das medições e principalmente da similaridade entre o

local onde as medições foram realizadas e o local onde se pretende projetar um sistema de

comunicações, caso contrário, o erro envolvido será maior, devendo-se proceder a correções adicionais

de otimização. A grande vantagem dos modelos empíricos reside na sua simplicidade e eficiência

computacional.

O modelo teórico Walfisch-Bertoni é indicado para ambientes urbanos de macro-célula

constituída por uma fileira de edifícios. A representação do campo elétrico ao longo da distância e altura

da antena de receção está dividido em três zonas. A primeira zona localiza-se no topo dos edifícios e

está compreendida entre a antena de emissão e o último edifício. Nessa zona o campo elétrico apenas

é constituído pelo raio direto, pois o raio refletido vai sofrer atenuações por cada edifício que atravessar,

podendo ser descartado. O campo calculado entre os edifícios desde o emissor até ao último edifício

corresponde à segunda zona. Aí o campo é calculando recorrendo ao modelo Walfisch-Bertoni. A

terceira zona é a região que vai desde o último edifício até à antena recetora, onde se usou o modelo

119

knife-edge para o cálculo do campo elétrico. Também nesta zona não se considerou o raio refletido.

Para além da análise da influência da frequência neste modelo, observou-se também o efeito do

coeficiente de reflexão dos edifícios. Conclui-se que se o coeficiente for nulo, vai existir uma zona de

sombra próxima do edifício anterior, uma vez que deixa de haver contribuição do raio refletido entre os

edifícios (Figura 5.24). O campo apresenta um andamento muito semelhante ao demonstrado no

modelo knife-edge. Caso o coeficiente seja diferente de zero, observa-se a contribuição do raio

refletido, o que resulta num aumento do valor do campo entre os edifícios (Figura 5.23).

6.2.Perspetivas de trabalhos futuros

Este trabalho pode ser atualizado, futuramente, com a introdução de novos tópicos referentes a

temas relevantes dentro da área da propagação de ondas eletromagnéticas.

O tema da reflexão pode ser atualizado com a introdução do modelo da terra esférica, tornando

o capítulo mais completo.

Um modelo que poderia ser acrescentado em relação à difração, é a difração em torno da terra.

Neste caso seria possível investigar a influência da curvatura da terra na propagação.

Relativamente à polarização das ondas, neste trabalho foram consideradas as polarizações

horizontais e verticais através dos coeficientes de Fresnel, porém, pode ser introduzido um estudo

sobre sistemas com polarização circular, uma vez que a polarização circular é bastante comum em

sistemas de comunicação via satélite, encontra-se presente em rádio móvel e em outros serviços.

Um estudo profundo sobre desvanecimento seria uma adição significativa, dado tratar-se de um

fenómeno que afeta de forma preponderante a qualidade de serviço conseguida. Para atenuar os

efeitos do desvanecimento, nem sempre é económico, ou sequer tecnicamente possível, aumentar a

potência emitida ou os ganhos das antenas. Uma solução elegante e eficaz é a diversidade, que

também constituiria um bom tema de atualização ao trabalho.

Na sequência do desvanecimento, um tema que poderia ser abordado seria a atenuação

suplementar causada pela absorção e dispersão das ondas devido à presença de hidrometeoritos (em

especial a chuva) e gases na atmosfera (oxigénio e vapor de água), em ligações de elevada frequência.

A comunicação via satélite e a propagação de ondas eletromagnéticas via ionosfera também

seriam possíveis sugestões de interesse académico.

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