projeto cim o menor caminho entre você e o futuro prof. mascena cordeiro
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Projeto CIM O menor caminho entre você e o futuro
Prof. Mascena Cordeiro
Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma determinada constante (razão).
Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 4 e razão 3.
Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 21 e razão –5.
a) Termo geral da PA
b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que
c) A soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo e assim por diante.
Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada desta forma também: representação genérica de PA de 3 termos de razão r.
1 1
n
n k
a a n r
a a n k r
, ,x r x x r
2 ou 2
a cb a c b
(UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é:
a) -3/8b) 21/8c) 15/8d) 2e) -19/8
1,1, , ,4
x y z
Se a soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo, então
Além disso, como os termos 1, y e ¼ estão em PA, então
Assim,
1 4 1 514 4 4
x z
1 52 14 458
y
y
5 5 10 5 154 8 8 8
x z y
A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o quinto termo também é 27. Determine o sexto termo dessa PA.Resolução:
Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma (x – r, x, x + r), temos que:
O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos: Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33. Resposta: O sexto termo é 33.
27
3 2727 93
x r x x r
x
x
5 2 5 2
27 9 318 3
6
a a r
rr
r
A soma dos termos de uma PA é dada por:
Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o último, 77.
1 2n nnS a a
403 772nS
4074 74.20 14802nS
No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala?
a)348b)380c) 420d)720e)560
Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a 3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá an poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20 termos.
Para podermos calcular ainda resta-nos descobrir o termo a16.
Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que será o total de poltronas na sala.
1620,22,24,26,...,a
16 1 16 2nS a a
16 1 16 1a a r
16 20 15a r 16 20 15.2 20 30 50a
16 1 16 2nS a a 16
1620 502
S 161670 70.8 5602
S
Uma PG é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma determinada constante (razão).
Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão 2.
Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 27 e razão 1/3.
Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.
a) Termo geral da PG:
b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que
c) O produto do primeiro termo vezes o último é igual ao segundo termo vezes o penúltimo e assim por diante.
Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada da seguinte forma também: representação genérica de PG de 3 termos de razão q.
11.
.Cuidado: aqui q 0
nn
n kn k
a a q
a a q
, ,x x xqq
2 .b a c
0q
(UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é:
a) 2 b) 10 c) 5d) 4e) 6
Pelas informações, a1 = 10 e a4 = 80. Podemos calcular a razão da PG partindo de
a) 2 b) 10 c) 5d) 4e) 6
11.
nna a q
4 14 1.a a q
4 180 10.q
380 10.q
38010
q
38 q
3 8 2q
O produto entre o segundo, o quarto e o sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125. Qual é o primeiro termo?
a)62,5b)25c)5d)20e)40
O segundo, o quarto e o sexto termos (a2, a4, a6) formam uma PG. Assim,
Se a razão é ½ , ocorre:
a) 62,5b) 25c) 5d) 20e) 40
24 2 6.a a a 2 3
2 6 4 4 4 4125 . . .a a a a a a 3
4 125a 34 125 5a
1 41 4.a a q
33
115. 5.2 5.8 402
a
A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por
Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros termos de uma PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1.
1
1
1
n
n
qS a
q
9
9 1
3 1
3 1S a
19683 1 196821. 9841
2 2nS
Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim por diante, quantos grãos de arroz serão necessários para encher as oito primeiras casas do tabuleiro?
Nesse caso, teremos que considerar a PG (3, 6, 12, 24, ..., a8), de primeiro termo igual a 3 e razão 2. A quantidade de grãos será a soma dos termos da PG.
Resposta: Precisaremos de 765 grãos para encher as oito primeiras casas do tabuleiro.
1
1
1
n
n
qS a
q
82 13 3 256 1 3.255 765
2 1nS
Quando tivermos uma PG com infinitos termos, mas seus termos estiverem se aproximando de zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que a soma limite será dada por, fazendo qn = 0:
1
1
1
n
n
qS a
q
1 1lim 1
0 11 1 1n
a aS aq q q
1lim 1n
aSq
O professor Mascena dirige seu simpático Fusquinha quando avista um jumento no meio da pista. Ele aciona os freios, a 60 metros de distância do animal. Então, o carro percorre 30 metros no primeiro segundo, e em cada segundo seguinte, 2/3 da distância percorrida no segundo anterior.
Calcule o susto do jumento! (brincadeirinha... hehe)Qual seria a soma limite das distâncias percorridas em cada segundo?Dependendo do tempo até o carro parar, poderá haver a colisão entre o carro e o mamífero?
Considerando as distâncias percorridas em cada segundo, considerando “infinitos segundos”, teremos uma PG de primeiro termo 30 e razão 2/3. A soma desses “infinitos termos” será
Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a distância entre os corpos), e o professor está em maus lençóis!
1lim 1n
aSq
lim
30 30 330. 902 1 113 3
nS
“I know what I wantI say what I want
And no one can take it away”.“Eu sei o que queroEu digo o que quero
E ninguém pode tirar isso de mim”
Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa Iron Maiden.