projekt 5. 3

Projekt 5.3Gilpins och Ayalas θ-logistiska modell

A Course in Mathematical Modeling

- Mooney & Swift

A Course in Mathematical Modeling, Kap. 5: projekt 5.3

2

Projekt 5.3

Projektet går ut på att undersöka θ-logistikekvationen:

K

xxr

dt

dx1

Uppgifter:

1. Ekvationen i sig

2. Ekvationen med konstant skörd (harvesting), H(x)=h

3. Ekvationen med “skörd-funktionen” H(x)=hx

4. θ-logistisk ekvation jämfört med logistisk ekvation för ‘spruce-budworm’


3

1 θ-logistisk ekvation))(1(

K

xxr

dt

dx

Figuren visar kurvor för dx/dt mot x, för ett antal olika värden på θ, då r=0,1 och K=3.


4


K

xxr

dt

dx

Figuren är gjord i matlab:

Vx=[0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3];r=0.1; K=3; h=0; % h=theta

for m=1:5 if m==1 u=0.3; elseif m==2 u=0.5; elseif m==3 u=1; elseif m==4 u=3; elseif m==5 u=5; end

x=0; for n=1:13 Vxdot(n,1)=r*x*(1-(x/K)^u); x=x+0.25; end

Wxdot(:,m)=(Vxdot);end

plot(Vx,Wxdot)


5

1 θ-logistisk ekvation

I figuren nedan är x “plottad” mot t, för samma θ-värden som i föregående figur.

))(1(

K

xxr

dt

dx

Ju större värde på θ desto snabbare når populationen sin bärförmåga, K.

K=3r=0,1x(0)=1


6


K

xxr

dt

dx

Inflektionspunkt:

Den punkt där derivatan av ekvationen är noll, dvs där populationens tillväxt börjar avta.

För θ=5 beräknas inflektionspunkten:

2431,0

6

5

5 rxx

K

rxxrx

dt

dx

1,261,0

2431,0

61,0

2431,0

0243

61,01,0

5

1

5

155

5

xxx

xderivata

r=0,1 K=3


7


K

xxr

dt

dx

Samtliga inflektionspunkter är markerade:

θ=5→x=2,1θ=3→x=1,9θ=1→x=1,5θ=0,5→x=1,33θ=0,3→x=1,25


8

Före-gående figur är också gjord i matlab.


K

xxr

dt

dx

global hh=0.3; % h=theta

for m=1:5 if m==2 h=0.5; elseif m==3 h=1; elseif m==4 h=3; elseif m==5 h=5; end

[t,x]=ode45('theta',[0,500],1);size(x); % för att se hur många x man fårV=x(1:49); W(:,m)=V;T(:,m)=t(1:49);end

plot(T,W)


9

Före-gående figur är också gjord i matlab.


K

xxr

dt

dx

global hh=0.3; % h=theta

for m=1:5 if m==2 h=0.5; elseif m==3 h=1; elseif m==4 h=3; elseif m==5 h=5; end

[t,x]=ode45('theta',[0,500],1);size(x); % för att se hur många x man fårV=x(1:49); W(:,m)=V;T(:,m)=t(1:49);end

plot(T,W)

Funktionsfilen “theta.m”:

function xdot=theta(t,x)K=3;r=0.1;

global h% h=theta

xdot=r*x*(1-(x/K)^h);


10

2 Konstant skörd, H(x)=h))(1(

K

xxr

dt

dx

Säg att man har en population som i verkligheten följer en θ-logistisk ekvation. Man räknar dock på den som om den följde en “vanlig” logistisk modell.

Vilka felaktiga slutsatser kan då dras när man dessutom inför en konstant skörd av populationen i fråga?


11

2 Konstant skörd, H(x)=h))(1(

K

xxr

dt

dx

K

xxrxF 1)(

Jämför alltså:

“vanlig” logistisk modell:

med

θ-logistisk modell, då θ=5:

5

1)(K

xxrxF

)()( xHxFdt

dx hxH )(Konstant skörd:


12

2 Konstant skörd; phase line analysis ))(1(

K

xxr

dt

dx

Populationens jämviktspunkter är i korsningarna mellan F(x) och H(x).

Jämviktspunkten är stabil om “phase-line-analysis-pilarna” pekar mot varandra.

(Pilarna pekar åt höger om F(x)>H(x), annars åt vänster.)


13


K

xxr

dt

dx

Om H(x) ökar kommer jämviktspunkterna röra sig in mot varandra. De möts i den punkt där H(x) precis tangerar F(x)-kurvan.


14


K

xxr

dt

dx

Vi denna punkt finns ‘maximum sustainable yield’, dvs den maximala skörd man kan plocka ut utan att populationen kollapsar.

I det här fallet kan man ‘skörda’ c:a 0,23 individer varje tidssteg och populationen kommer då att hållas konstant på 1,5 individer.


15

2 Konstant skörd; phase line analysis))(1(

K

xxr

dt

dx

Om populationen egentligen följer en θ-logistisk ekvation, kommer man att plocka ut ett för litet antal individer om man tänkt ta ut maximalt antal.

Den här populationen kommer att ligga kvar på (eller växa tillbaka till) ungefär samma antal hela tiden, (dvs c:a 2,8) trots att man skördar.


16

2 Konstant skörd; phase line analysis))(1(

K

xxr

dt

dx

Figuren är gjord i matlab:

Vx=[-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3];r=0.1; K=3; theta=5; h=0.18;

N=-0.25;for n=1:15 Ndot(n,1)=r*N*(1-(N/K)^theta); N=N+0.25;endM=-0.25;for m=1:15 Mdot(m,1)=r*M*(1-(M/K)); M=M+0.25;endfor j=1:15 O(j,1)=h;end

V=[Ndot,Mdot,O]; plot(Vx,V)


17

2 Konstant skörd))(1(

K

xxr

dt

dx

Om populationen egentligen istället följer en θ-logistisk ekvation där θ=0,5 får man följande figur:

Här kommer

man plocka ut en skörd som fullständigt kollapsar popula-tionen!


18

3 Ej konstant skörd: H(x)=hx ))(1(

K

xxr

dt

dx

Säg att man har en population som i verkligheten följer en θ-logistisk ekvation. Man räknar dock på den som om den följde en “vanlig” logistisk modell (som i uppg. 2).

Vilka felaktiga slutsatser kan då dras när man dessutom inför en skörd som följer funktionen H(x)=hx?


19


K

xxr

dt

dx

Med ‘phase line analysis’ ser man att det finns en stabil jämviktspunkt (per F(x)-funktion).

θ=5K=3r=0,1h=0,18


20


K

xxr

dt

dx

Jämviktspunkten vid MSY (maximum sustainable yield) är inritade med svart i figuren.

θ=5K=3r=0,1h=0,18


21

3 Ej konstant skörd: H(x)=hx

θ=5K=3r=0,1h=0,18

Det behövs en större ansträngning (h) för att få ut maxskörd från θ-modellen. Å andra sidan får man ut fler individer och har samtidigt fler kvar vid jämvikt.

))(1(

K

xxr

dt

dx


22


K

xxr

dt

dx

θ=5, K=3, r=0,1 och h=0,18

Naturlig population följer θ-modellen.

Man modellerar med den “vanliga” logistiska modellen.

Man kommer att ta ut en skörd som är mindre än MSY.

Man kommer att få fler individer kvar än vad man räknar med!


23


K

xxr

dt

dx

θ=0,5K=3r=0,1h=0,18

Samma frågeställning som förut och samma data, utom för θ som är lägre:


24


K

xxr

dt

dx

Naturlig population följer θ-modellen, men man modellerar med “vanliga” logistiska modellen:

Populationens jämvikt kommer att ligga på ett lägre antal än vad man räknar med, och skörde-ansträngningen (h) blir onödigt stor.

θ=0,5, K=3, r=0,1 och h=0,18


25

4 Spruce budworm))(1(

K

xxr

dt

dx

Efter diverse förenklingar (se kursbok) landar exemplet med ‘Spruce budworm” i följande ekvation:

211

x

x

Q

xRx

d

dx

xGxFxd

dx

Denna ekvation har formen:

För en ‘phase-line’-analys kan man analysera endast F(x)-G(x) (eftersom man bara tittar på positiva x.)


26


K

xxr

dt

dx

211

x

x

Q

xRx

d

dx

x=antalτ=tid (ingen särskild enhet)R=ungefär tillväxtfaktorQ=ungefär bärförmåga


27


K

xxr

dt

dx

‘Phase-line’-analys:

Ju större R desto fler individer innehåller populationen vid jämvikt (t ex många habitat (träd) stort R och många budworms).


28


K

xxr

dt

dx

‘Phase-line’-analys:

När Q ökar, ökar antalet individer vid jämvikt. I början sker ökningen långsamt, men tar sedan ett skutt fram till ett mycket högre antal.


29


K

xxr

dt

dx

Hur förändras de slutsatser man kan dra av ‘budworm’-modellen om man istället har en θ-ekvation?

211

x

x

Q

xRx

d

dx


30


K

xxr

dt

dx

‘Phase line’: vid relativt lågt Q, ingen större skillnad.


31


K

xxr

dt

dx

‘Phase line’: endast θ-ekvationen har nått “skuttet”.


32


K

xxr

dt

dx

‘Phase line’: θ-ekvationen når fortare till “skuttet”.


33


K

xxr

dt

dx

Slutsats: Vid lågt Q och vid mycket högt Q “landar” individantalet vid jämvikt på ungefär samma antal oavsett vilken modell man använder. Däremot når θ-ekvationen fortare fram till “skuttet” (outbreak), dvs till 3 jämviktspunkter.


34


K

xxr

dt

dx

De tre budworm-figurerna är gjorda i matlab:

Vx=[0 0.25 0.5 0.75 1 osv till 11]';R=0.3; Q=11; theta=3;

x=0;for n=1:45 Ft(n,1)=R*(1-(x/Q)^theta); x=x+0.25;endx=0;for m=1:45 F(m,1)=R*(1-(x/Q)); x=x+0.25;endx=0;for j=1:45 G(j,1)=x/(1+x^2); x=x+0.25;end

V=[Ft,F,G];

plot(Vx,V)

projekt 5. 3

Documents