CUPRINS

PROBLEMA 1 – PROGRAMARE LINIARA.............................................................2

PROBLEMA 2 – PROGRAMARE LINIARA 2..........................................................4

PROBLEMA 3 – TRANSPORT………………………………………………………...5

PROBLEMA 4 – ANALIZA PRAGULUI DE RENTABILITATE……………………7

PROBLEMA 5 – REPARTIZARE………………………………………………………8

PROBLEMA 6 – PROGRAMARE LINIARĂ ÎN MULŢIMEA NR. ÎNTREGI...........12

PROBLEMA 7 – MULTIMEA FUZZY………………………………………………...14

PROBLEMA 8 - GESTIUNEA STOCURILOR. ……………………………………16

1

PROBLEMA 1 – PROGRAMARE LINIARA

O firmă are 4 tipuri de produse (P1, P2, P3, P4) care sunt fabricate din 4 materii

prime ( ). Beneficiile unitare, consumurile specifice şi disponibilul de

materii prime se dau în tabelul următor:

Produs Consum specific

Materie prima P1 P2 P3 P4 Dispoibil

M1 4 4 2 2 250

M2 2 2 3 3 170

M3 3 3 2 5 210

M4 5 3 2 2 350

Beneficiul

unitar

750 900 950 1500

Să se stabilească un plan de producţie astfel încât beneficul să fie maxim.

X1 = cantitatea de produse P1

X2 = cantitatea de produse P2

X3= cantitatea de produse P3

X4 = cantitatea de produse P4

max = 750X1 + 900X2 + 950X3 + 1500X4

2

3

PROBLEMA 2 - PROGRAMARE LINIARA 2

O firma producatoare produce 3 tipuri de produse P1, P2 si P3. Stiind timpii de realizare a produselor in departamente(ore), gasiti programul optim de productie pentru maximizarea profitului.

P1 P2 P3 Total timp disp.Dept.1 0.5 0.8 0.9 200Dept.2 2 1.3 2.7 1000Dept.3 3.4 2.5 5 800Dept.4 1.5 1 0.6 700Profit unitar 10 25 18

X1 = cantitatea de produse P1

X2 = cantitatea de produse P2

X3= cantitatea de produse P3

Functia dorita: max f (x1, x2, x3) = 10X1 + 25X2 + 18X3

0,5x1 + 0.8x2 + 0.9x3 <= 2002x1 + 1.3x2 + 2.7x3 <= 10003.4x1 + 2,5x2 + 5x3 <=8001.5x1 + 1x2 + 0.6x3 <=700

4

PROBLEMA 3 TRANSPORT

O companie dispune de 3 depozite şi livrează marfă către 4 magazine. Depozitele

sunt situate în următoarele oraşe: Iasi, Constanta, Bacau iar magazinele sunt situate în oraşele:

Bucureşti, Targoviste, Tg. Mures, Arad.

Depozit Capacitatea de depozitare

Iasi 5000

Constanta 4500

Bacau 8000

TOTAL 17500

Magazine Cerere

Bucureşti 7000

Targoviste 3000

Tg Mures 1500

Arad 6000

TOTAL 17500

Costurile unitare de transport pentru fiecare rută sunt prezentate în tabelul următor:

destinaţie

sursa

Bucureşti Targoviste Th. Mures Arad Disponibil

Iasi 8

6 5

4

14X

5000

Consanta 4 7 7 6 4500

Bacau 3 5 6 8 8000

Necesar 7000 3000 1500 6000 17500

17500

Să se determine cantitatea care ar trebui transportată de la fiecare depozit la

fiecare magazin astfel încât costurile de transport să fie minime.

5

Min = 8 X11 + 6 X12 + 5 X13 + 4 X14 + 4 X21 + 7 X22 + 7 X23 + 6 X24 + 3 X31 + 5

X32 + 6 X33 + 8 X34

Restricţii:

+ + + 14X ≤ 5000

+ + + ≤ 4500 + + + 14X ≤ 8000

PROBLEMA 4 – ANALIZA PRAGULUI DE RENTABILITATE

6

O firmă produce sacouri. În cursul unei luni costurile fixe sunt de 15.300€, costul

variabil pentru un sacou este de 9€, iar numărul de sacouri produse într-o lună este de

700 bucăţi.

a) să se calculeze profitul ştiind că preţul de vânzare este de 35€

b) determinaţi pragul de rentabilitate

CF = 15.300€

CV = 9€

N = 700 buc

p = 35€

a) Pr = N(p-CV) – CF

Pr = 700(35-9) – 15.300

= 700 *26 – 15.300

= 2900

b) N = = = = 588

PROBLEMA 5 - REPARTIZARE

7

O linie aeriană desfăşoară activităţi zilnice conform orarului. Echipajul trebuie să

se odihnească cel puţin 2 oră între zboruri.

Determinaţi perechile de zboruri pentru care timpul întreg de staţionare pe un

aeroport străin să fie minim.

Ruta Plecare A Sosire B

A – B1 6h 7h

A – B2 7h 8h

A – B3 12h 30min 13h 30min

A – B4 17h 30 min 18h 30min

A – B5 19h 20h

A – B6 21h 30min 22h 30min

Ruta Plecare B Sosire A

B – A1 7h 9h 15min

B – A2 7h 30min 9h 45 min

B – A3 11 12h 15 min

B – A4 16h 30min 17h 45 min

B – A5 18h 19h 45 min

B – A6 21h 22h 15 min

zbor B – A1 B – A2 B – A3 B – A4 B – A5 B – A6

A – B1 24 23.5 4 9.5 11 14

A – B2 23 23.5 3 8.5 10 13

A – B3 17.5 18 21.5 3 4.5 7.5

A – B4 12.5 13 16.5 22 23.5 2.5

A – B5 11 11.5 15 20.5 22 25

A – B6 7.5 8 11.5 17 18.5 22.5

zbor B – A1 B – A2 B – A3 B – A4 B – A5 B – A6

A – B1 21.75 21.25 17.75 12.25 10.25 7.75

8

A – B2 22.75 22.25 18.75 13.25 11.25 8.75

A – B3 4.25 3.75 24.25 18.75 16.75 14.25

A – B4 9.25 8.75 5.25 23.75 21.75 19.25

A – B5 10.75 10.25 6.75 22.25 23.25 20.75

A – B6 14.25 13.75 10.25 4.75 2.75 24.25

zbor B – A1 B – A2 B – A3 B – A4 B – A5 B – A6

A – B1 21.75 21.25 4 9.5 10.25 7.75

A – B2 22.75 22.25 3 8.5 10 8.75

A – B3 4.25 3.75 21.5 3 4.5 7.5

A – B4 9.25 8.75 5.25 22 21.75 2.5

A – B5 10.75 10.25 6.75 20.5 22 20.75

A – B6 7.25 8 10.25 4.75 2.75 22.5

Soluţia

A – B

<A – B1> <B – A4>

<A – B2> <B – A3>

<A – B3> <B – A6>

B – A

<B – A1> <A – B5>

<B – A2> <A – B3>

<B – A5> <A – B6>

Restricţii:

9

X11 + X12 + X13 +X14 + X15 + X16 = 1

X21 + X22 + X23 +X24 + X25 + X26 = 1

X31 + X32 + X33 +X34 + X35 + X36 = 1

X41 + X42 + X43 +X44 + X45 + X46 = 1

X51 + X52 + X53 +X54 + X55 + X56 = 1

X61 + X62 + X63 +X64 + X65 + X66 = 1

X11 + X21 + X31 +X41 + X51 + X61 = 1

X12 + X22 + X32 +X42 + X52 + X62 = 1

X13 + X23 + X33 +X43 + X53 + X63 = 1

X14 + X24 + X34 +X44 + X54 + X64 = 1

X15 + X25 + X35 +X45 + X55 + X65 = 1

X16 + X26 + X36 +X46 + X56 + X66 = 1

10

11

PROBLEMA 6 – PROGRAMARE LINIARĂ ÎN MULŢIMEA NR. ÎNTREGI

O croitorie hotărăşte creşterea capacitaţii de producţie prin achiziţionarea de noi

utilaje. Restricţiile sunt 500.000€ ca fond de investiţii şi 500 mp suprafaţă disponibilă.

Preţurile utilajelor, necesarul de spaţiu şi profitul zilnic sunt afişate în tabelul următor:

Utilaj Spaţiu necesar Preţ achiziţie Profit zilnic

Masina Zinger 100 50.000 1500

Masina perforatoare 250 25.000 800

Masina taiere 100 30.000 700

Să se determine ce utilaje trebuie achiziţionate astfel încât profitul să fie maxim

X1 = nr. de masini Zinger achiziţionate

X2 = nr. de masini perforatoare achiziţionate

X3 = nr. de masini de taiere achiziţionate

[max] = 1500 X1 + 800 X2 + 700 X3

restictii

100 X1 + 250 X2 + 100 X3 ≤ 500

50000 X1 + 25000 X2 + 30000 X3 ≤ 500000

12

13

PROBLEMA 7 - MULTIMEA FUZZY

O firmă este singurul producător al produsului P care se realizează în 3 variante: P1,

P2, P3. Stabiliţi pentru perioada următoare structura de producţie care maximizează

gradul de satisfacere simultană a obiectivelor:

a) obţinerea unui venit cât mai mare sau cât mai aproape posibil de 6000 u.m, dar

nu mai mic de 5600 u.m.

b) suplimentarea cu cantităţi cât mai reduse a disponibilului de resurse.

c) realizarea producţiei la nivelul cererii sau cât mai aproape de nivel.

Ipoteză:

a) cererea şi preţul au fost determinate prin studii de marketing;

b) resursele pot fi suplimentate cu maximum de 300 unităţi fizice fiecare ;

c) cererea nesatisfăcută trebuie să fie mai mică de 50 unităţi fizice din fiecare

variantă a produsului.

Consumurile specifice, resursele disponibile, cererea si preţul unitar sunt date in tabelul

de mai jos:

P1 P2 P3 Res disp

R1 6 2 6 1800

R2 2 4 8 1600

C 200 200 150

p.u 12 10 16

X1 – cantitatea din P1

X2 – cantitatea din P2

X3 – cantitatea din P3

Modelul: max μ

14

Restricţii:

12 X1 + 10 X2 + 16 X3 -400μ≥5600

6 X1 + 2 X2 + 6 X3 +400 ≤ 2100

2 X1 + 4 X2 + 8 X3 + 400 ≤ 1900

X1-50μ≥150

X2-50μ≥150

X3-50μ≥100

μ≤1

15

PROBLEMA 8 – GESTIUNEA STOCURILOR

O firma are o cerere anuala de 50 000 de produse P. Costul de lansare a comenzii este

de 1000 um. Costul de stocare zi/P este 0.5 um. Timpul de avans este de 7 zile. In

conditiile unui process de vanzare uniform, aprovizionarea se face la interval egale de

timp in cantitati egale din produsul P. Nu se permite lipsa produsului P intr-un moment

oarecare t. Sa se determine gestiunea optima.

16