ProgressioniProgressioniaritmetichearitmetiche

descrizionedescrizioneelementareelementare

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

K=2 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ?

4

6

8

10

12

14

16

2

0

Usando mattoni di diverso colore per ogni gruppo verticalequanti mattoni per ogni gruppo si devono usare ?

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

K=2 Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=0 a livello a8 = 16 ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 mattoni k

Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 9*(0+16)/2= 72

4

6

8

10

12

14

16

2

Numero mattoni 72/ 2 = 36 K

0

Mattoni per scalinoe altezza

a1=0k=0a2=1k=2a3=2k=4a4=3k=6a5=4k=8a6=5k=10a7=6k=12a8=7k=14a9=8k=16sn = 36k

a1 a2 a3 a4 a5

K=4

Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=0 a livello a5 = 16 ?

0 1 2 3 4 mattoni k

Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 5*(0+16)/2= 40

4

6

88

12

16

4

Numero mattoni 40/ 4 = 10 K

0

Mattoni per scalinoe altezza

a1=0k=0a2=1K=4a3=2k=8a4=3k=12a5=4k=16sn = 10k

a1 a2 a3 a4

K=4

Problema= quanti mattoni (k) sono necessari per costruireuna scala dal piano a1=4 a livello a3 = 16 ?

0 1 2 3 mattoni k

Altezza totale mattoni Sn= n*(a1+an)/2 4*(4+16)/2= 40

8

16Numero mattoni 40/ 4 = 10 K

0

Mattoni per scalinoe altezza

a1=0k=4a2=1K=8a3=2k=12a4=3k=16sn = 6k

12

4

Sottraendo 4 mattoni della base:6 k

concludendoconcludendo

Il numero di mattoni necessario variaIl numero di mattoni necessario varia In funzione del livello iniziale dal In funzione del livello iniziale dal

qualequalesi inizia la costruzione a1si inizia la costruzione a1e dal livello finale ane dal livello finale an

E dallo spessore dei mattoni kE dallo spessore dei mattoni k

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an(8) termini

Ragione k

La differenza tra due termini contigui risulta costante :ragione , k

Ogni termine si può ottenere aggiungendo la ragione al termine precedente

2

4

6

8

10

12

14

16

2

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an(8)) termini

Ragione k

2

4

6

8

10

12

14

16

2

Ogni termine può essere ottenuto aggiungendo al primo, k ,

un numero di volte pari alla differenza tra l’indice del termine

e l’indice del primo termine a1 Es. a6 = a1 + (6-1)*k…….a8= a1 + (8-1)*k an = a1 +(n-1)*k

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini

Ragione k

2

4

6

8

10

12

14

16

2

Il termine ennesimo della progressione aritmetica si può calcolare con la formula

an = a1 + (n-1)*k

a6 = 2 + (5)*2 = 12 .a8= 2 + (7)*2=16

a8=2+7k =16

a7 = 2+6k=14

a6=2+5k=12

a5=2+4k=10

A4=2+3k=8

2 2 2 2 2 2 2

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini

Ragione k

2

4

6

8

10

12

14

16

2

Il primo termine , a1, della progressione aritmetica si può calcolare con la formula

a1 = an - (n-1)*k

a1 =a8 - (8-1)*2 = 16 – (7)*2 = 2

a1= a5-(5-1)*k = 10-(4)*2=2

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini

Ragione k

2

4

6

8

10

12

14

16

2

Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a1, an, e il numero dei termini, n,

è possibile calcolare la ragione k

k = (an –a1) / (n-1)… (a8-a1) /(n-1) = (16-2)/(8-1)= 14/7=2

K =(a6-a1)/(n-1) = (12-2)/(6-1)=10/5 = 2

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 termini

Ragione k

2

4

6

8

10

12

14

16

2

Conoscendo il valore dei termini estremi della progressione a1, an, e la ragione k

è possibile calcolare il numero totale dei termini n

n = ((an-a1)/k)+1

N = ((a8-a1)/k)+1 = (16-2)/2)+1 = 8

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

K=2 Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagliestremi è costante ed è uguale alla somma dei terminiestremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16

4

6

10

2

0

12

14

16

10

8

6

4

2

16

16

16

16

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

K=2 Osservazione:la somma dei termini equidistanti dagliestremi è costante ed è uguale alla somma dei terminiestremi (a1+a9)=(a2+a8)=(a3+a7)=(a4+a6)=16

4

6

10

2

0

12

14

16

10

8

6

4

2

16

16

16

16

Sn = 16*4+8 = 72 …Sn = n*((a1+a9/2) =9*8= 72

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

K=2 La somma di n termini si ottiene moltiplicando il numero ndei termini per la semisomma degli estremiSn = n * ((a1+an)/2)

4

6

10

2

0

12

14

16

10

8

6

4

2

16

16

16

16

Sn = n*((a1+a9/2) =9 *((0+16/2)=72

36 k * 2 = 72

Inserimento di h medi aritmetici tra due termini assegnati x, y :h=3

X=6 Y=14

Calcolo la ragione con la formula k = (an-a1)/(n-1) numero termini totale risulta 2 ( x,y) + h = h+2

quindi (n-1) = (h+2-1) = h+1k = (y –x) /(h+1)

K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2

m1= x+k =6+2=8

m2=x+2k=6+2*2=10

m3=x+3k=6+3*2=12m1

m2

m3

6 8 10 12 14

Inserimento di 3 medi aritmetici tra due termini assegnati interni di una progressione aritmetica :x=6, y=14completare la progressione per un totale di 10 termini

X=6 Y=14

K =(y-x)/(h+1) = (14-6)/(3+1) = 2m1= x+k =6+2=8

m2=x+2k=6+2*2=10m3=x+3k=6+3*2=12

m1

m2

m3

a2=x-k=6-2=4

a1=x-2k=6-4=2

a1

a2

a3

a4 a5 a6

a7

a8 a9 a10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

a8=y+k = 14+2 = 16a9=y + 2k = 14+2*2 =18a10 = y + 3k = 14+3*2=20

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arrivederciarrivederci