progreso tecnológico y crecimientojmartin.webs.uvigo.es/macroeconomiaii/index_archivos...co y...

ProgresoTecnológico y Tecnológico y Crecimiento

O 3

ULO

PÍT

UC

AP

C

© 2006 Prentice Hall Business Publishing Macroeconomics, 4/e Olivier Blanchard

tom

ient

reso

Cre

ciP

rogr

ico

y C

lo3:

Pno

lógi

apit

uTe

c nC

© 2006 Prentice Hall Business Publishing Macroeconomics, 4/e Olivier Blanchard 2 of 74

Motivaciónto

• El modelo neoclásico nos muestra que laacumulación de capital no puede explicar el

mie

nt acumulación de capital no puede explicar elcrecimiento a largo plazo.

reso

Cre

ci • Entonces, ¿cómo explica este modelo elcrecimiento sostenido de los países másdesarrollados durante los últimos 200 años?

Pro

gric

oy

C desarrollados durante los últimos 200 años?

• Por la existencia de progreso técnico

lo3:

Pno

lógi exógeno y continuado:

Y F K N A ( , , )

apit

uTe

c nC


Hipótesisto

El progreso técnico continuado compensa losefectos negativos de la acumulación de capital

mie

nt

g psobre la productividad marginal del capital,permitiendo el crecimiento sostenido de la renta percápita.

reso

Cre

ci

• Vimos en el modelo básico de Solow que un aumentopermanente y exógeno de A suponía un aumento de la

Pro

gric

oy

C

renta per cápita de estado estacionario.

• Pero, bajo el supuesto de rendimientos decrecientes en

lo3:

Pno

lógi capital, la renta per cápita no crece a largo plazo si nohay nuevos incrementos en A.

L t j l i i t d A ti li it

apit

uTe

cn • La ventaja es que el crecimiento de A no tiene limites, adiferencia con el crecimiento de la tasa de ahorro s.

C


Progreso tecnológico y tasa de crecimiento12-1

to El progreso tecnológico tiene muchas

mie

nt dimensiones. Puede significar:

reso

Cre

ci Mayores cantidades de producción Mejores productos

Pro

gric

oy

C

Nuevos productos Una gran variedad de productos

lo3:

Pno

lógi

El progreso tecnológico aumenta la producción

apit

uTe

c n dadas unas cantidades de capital y trabajo.

C


toLa modificación más importante que introducimos ahora respecto del modelobásico del Tema anterior, es suponer que el stock de ideas ó la tecnología,

mie

nt (A), no es constante sino que aumenta a una tasa exógena positiva.

Esto es:1A A

reso

Cre

ci

1

1

0t tA

t

A AgA

Pro

gric

oy

C

Este supuesto es básico ya que va a permitir que exista crecimiento alargo plazo de la producción por trabajador (ó de la renta per cápita)

También suponemos ahora que la población y el número de trabajadores

lo3:

Pno

lógi También suponemos ahora que la población y el número de trabajadores

–que son una proporción constante de la población- crece a una tasaexógena positiva

apit

uTe

c n Esto es:1

1

0t tN

t

N NgN

C


1t

to C d i t t ló i

mie

nt Cuando existe progreso tecnológico,la producción puede aumentar bienpor aumentos de los inputs rivales en

reso

Cre

ci

por aumentos de los inputs rivales enla producción, capital (K) y trabajo(N) ó bien porque aumente el stock

Pro

gric

oy

C ( ) p qde ideas ó tecnología (A) con la quese combinan ahora más

d ti t i t i l

lo3:

Pno

lógi productivamente esos inputs rivales.

apit

uTe

cnC


Progreso tecnológico y la función de producción

tom

ient Denotemos el estado de la tecnología por A y

reescribiendo la función de producción como:

reso

Cre

ci Y F K N A ( , , )(+ + +)

Pro

gric

oy

C

Resulta más util sin embargo escribirla como

Y F K AN ( , )

lo3:

Pno

lógi

N( , )

La producción depende de capital y trabajo (Kand N) y del estado de la tecnología(A)

apit

uTe

c n and N), y del estado de la tecnología(A).

C



tom

ient El progreso tecnológico reduce el número de

trabajadores necesarios para conseguir unacantidad de output

reso

Cre

ci

cantidad de output. El progreso tecnológico incrementa AN, lo

cual se puede pensar como cantidad de

Pro

gric

oy

C cual se puede pensar como cantidad detrabajo efectivo, o trabajo en “unidadeseficientes.” en la economía.

lo3:

Pno

lógi Con rendimientos constantes a escala,

2 2 2Y F K AN ( )

apit

uTe

c n

2 2 2Y F K AN ( , )

Mas generlamente,Y F K AN( )C


xY F xK xAN ( , )

tom

ient

La función de producción la expresamos ahora como:

reso

Cre

ci La función de producción la expresamos ahora como:

Y = F (K, N A)

Pro

gric

oy

C

El término N A mide el número de trabajadores eficientes.

Esto tiene en cuenta el número de trabajadores N y la

lo3:

Pno

lógi

Esto tiene en cuenta el número de trabajadores N y la eficiencia de cada trabajador A. Incrementos en A es como

incrementos en N.

apit

uTe

c nC



tom

ient La relación entre el output por trabajador efectivo

y el capital por trabajador efectivo es:

reso

Cre

ci

YAN

FK

AN

,1

Pro

gric

oy

C AN AN

La La cualcual podemospodemos redefinirlaredefinirla comocomo

lo3:

Pno

lógi Y

ANf

KAN

apit

uTe

c n El output por trabajador efectivo es función delcapital por trabajador efectivo.

C


p p j

tom

ient

reso

Cre

ci

; ( )Y Ky k y f k y k

Pro

gric

oy

C ; ( )Cobb Douglas

y y f yAN AN

lo3:

Pno

lógi

apit

uTe

c nC



to Fi 12 1

mie

nt

Output por trabajador efectivo

it l

Figure 12 - 1

reso

Cre

ci vs capital por trabajador efecitvo per Effective Worker Versus Capital perDebido a los

di i t

Pro

gric

oy

C Versus Capital per Effective Workerrendimientos decrecientes en el capital, los aumentos

lo3:

Pno

lógi del capital por

trabajador efectivo generan aumentos de

apit

uTe

c n

goutput cada vez menores.

C


Interacción entre el Output y el Capital

tom

ient La dinámica del output y el capital por trabajador

venía dada por:

reso

Cre

ci

La relación entre output por trabajador y capital por trabajador

Pro

gric

oy

C capital por trabajador.I S sY

Di idi dDi idi d bb l dl d ANAN tt

lo3:

Pno

lógi

Is

Y

DividiendoDividiendo ambos ambos ladoslados porpor ANAN, , tenemostenemos

apit

uTe

c n ANs

AN

C



tom

ient

L l ió t i ió t b j d

La dinámica del output y el capital por trabajador venía dada por:

reso

Cre

ci La relación entre inversión por trabajador y capital por trabajador.

Pro

gric

oy

C

YAN

fK

AN

Dado Dado queque I

ANsf

KAN

entoncesentonces

lo3:

Pno

lógi

apit

uTe

c nC



to La dinámica del output y el capital por trabajador

mie

nt

La relación entre la depreciación por

venía dada por:

reso

Cre

ci

p ptrabajador— la invesión por trabajadornecesaria para mantener constante el nivel

Pro

gric

oy

C de capital por trabajador—y capital portrabajador.

( )A NK g g K

lo3:

Pno

lógi

( )A NK g g K

( ) g g KA NO O equivalenteequivalente

apit

uTe

c n

K

La La cantidadcantidad de de inversióninversión porpor trabajadortrabajador efectivoefectivo necesarianecesariaparapara mantenermantener constanteconstante el el nivelnivel de capital de capital porpor trabajadortrabajadorefectivoefectivo eses

C


( ) g gK

ANA N

efectivoefectivo eses

toEn efecto, ahora la inversión realizada “por trabajador efectivo” sale de la expresión:

: I Y I KI S Y Di idi d AN f

mie

nt . :I S sY Dividiendo por AN s sfAN AN AN AN

Por otro lado, la inversión requerida para mantener constante el

reso

Cre

ci stock de capital por trabajador efectivo K/AN ahora es:

( ) A NKg g

AN

Pro

gric

oy

C ANEsto es así por la siguiente razón: el numerador K estádisminuyendo en cada período a una tasa y el denominador ANestá aumentando en cada período a una tasa igual a

g g

lo3:

Pno

lógi está aumentando en cada período a una tasa igual a .

Por tanto, si no se dedica nada a invertir, el término K/AN disminuye en cada período en una tasa igual a

A Ng g

A Ng g

apit

uTe

c n

disminuye en cada período en una tasa igual a A Ng gPara evitarlo y dejarlo constante, debemos asignar en cada período una inversión igual a

KC ( ) A NKg g

AN

17CRECIMIENTO

ECONÓMICAPÍTULO 2

toEl progreso tecnológico causado por A crece a gA, y N crece a gN de modo que elnúmero de unidades de eficiencia de trabajo N A está creciendo a la tasa gA + gN.Ahora el cambio en el capital per capita es:

mie

nt Ahora, el cambio en el capital per capita es:

k = i –(gN gA)k, donde i es igual a s f(k)

reso

Cre

ci

El t d t i i

n + g)kNota: k = K/NA y y=Y/(N

sf (k)

Pro

gric

oy

C El estado estacionario

Inversión, f (k)

Así que, y=f(k) es diferente.Cuando añadimos g, gk esnecesario para proporcionarnuevo capital unidades

lo3:

Pno

lógi sf (k) nuevo capital unidades

efectivas” generado porcambio tecnológico.

apit

uTe

c n

Capitalk*

C


pper capita, k

to Kk Kk Y

mie

nt KAN

k ANk Y ( )

AN f ky

reso

Cre

ciP

rogr

ico

y C

lo3:

Pno

lógi

1 ) 0(

t tk k ( )

A Nsy g g k

apit

uTe

c n

I realizada I requerida

C

19CRECIMIENTO

ECONÓMICAPÍTULO 2

tom

ient El progreso teconógico ahorrador de trabajo a una tasa g

afecta al modelo de Solow de una manera parecida al

reso

Cre

ci crecimiento de la población n. Ahora que k es la cantidadde capital por unidad de eficiencia de trabajo, losaumentos del número de unidades de eficiencia

Pro

gric

oy

C aumentos del número de unidades de eficienciaprovocados por el progreso tecnológico tienden a reducirk. En estado estacionario, la inversión sf(k) contrarresta

lo3:

Pno

lógi

k , (k)las reducciones de k causadas por la depreciación, elcrecimiento de la población y el progreso tecnológico.

apit

uTe

c nC


Dinámica entre el Output y el Capitalto Fi 12 2

mie

nt

Dinámica del Output por trabajador f ti it l

Figure 12 - 2

reso

Cre

ci efectivo vs capital por trabajador efecitvo

Pro

gric

oy

C

Capital y output por trabajador efectivo convergen a una

lo3:

Pno

lógi

convergen a una constante en el largo plazo.

apit

uTe

c nC


Dinámica entre el Output y el Capitalto E fi

mie

nt Esta figura se centra en output, capital e inversión por trabajador

reso

Cre

ci efectivo en vez de po r trabajador: La producción por

Pro

gric

oy

C La producción por trabajador efectivo crece con aumentos del capital por trabajador efectivo

lo3:

Pno

lógi por trabajador efectivo

pero a una tasa decreciente.

apit

uTe

c nC



mie

nt Esta figura se centra en el output, capital e inversión por trabajador

reso

Cre

ci efectivo en vez de por trabajador: La relación entre

Pro

gric

oy

C La relación entre inversión por trabajador efectivo y capital por trabajador efectivo viene

lo3:

Pno

lógi trabajador efectivo viene

dada por la curva de sf(K/AN).

apit

uTe

c nC



mie

nt Esta figura se centra en el output, capital e inversión por trabajador

reso

Cre

ci efectivo en vez de por trabajador: Finalmente ahora

Pro

gric

oy

C Finalmente, ahora permitimos progreso tecnológico (así A aumenta en el tiempo) el

lo3:

Pno

lógi aumenta en el tiempo), el

número de trabajadores efectivos (AN) aumenta

l ti

apit

uTe

c n en el tiempo.

C


Dinámica entre el Output y el Capitalto Descripción de la dinámica:

mie

nt

p Si la inversión actual excede a la inversión requerida

para mantener el nivel de capital existente por

reso

Cre

ci trabajador efectivo, K/AN aumenta. Comenzando en (K/AN)0, la economía se mueve a la

d h l i l d it l t b j d f ti

Pro

gric

oy

C derecha y el nivel de capital por trabajador efectivo aumenta en el tiempo.

En el largo plazo el capital por trabajador efectivo

lo3:

Pno

lógi En el largo plazo, el capital por trabajador efectivo alcanza un nivel constante así como el output por trabajador efectivo.

apit

uTe

c n Esto implica que el output total (Y) está creciendo a la misma tasa que el trabajo efectivo (AN).

C


toEn el estado estacionario, hemos visto que Y/AN y K/AN no varían en eltiempo y, por tanto, su tasa de variación es cero.

mie

nt

p y, p ,

Esto implica que, para esas variables, la tasa de crecimiento del numeradorse iguala con la tasa de crecimiento del denominador. Y como éste, AN,crece a una tasa aproximadamente igual a (g +g ) entonces tanto K como Y

reso

Cre

ci

crece a una tasa aproximadamente igual a (gA+gN), entonces tanto K como Ydeben crecer a esa misma tasa (gA+gN).

¿Qué sucede con la variable básica producción por trabajador Y/N ?

Pro

gric

oy

C

Como la producción Y crece a la tasa (gA+gN), y el número de trabajadores Ncrece a la tasa gN, entonces Y/N crece a la tasa gA.

E t l b l t d t i i l d ió t b j d

lo3:

Pno

lógi En otras palabras, en el estado estacionario, la producción por trabajador

crece a la tasa de progreso tecnológico gA>0.

Por un razonamiento similar, se concluye que el capital por trabajador K/N

apit

uTe

c n

, y q p p jtambién crece a la tasa gA.

C


Dinámica entre el Output y el Capitalto En estado estacionario, el output (Y) crece a la

mie

nt misma tasa que el trabajo efectivo (AN); el trabajo efectivo crece a la tasa (gA+gN); además, el

i i t d l t t t d t i i

reso

Cre

ci crecimiento del output en estado estacionario es (gA+gN). El capital por trabajador efectivo también crece a la tasa (gA+gN)

Pro

gric

oy

C crece a la tasa (gA+gN).La tasa de crecimiento del output es independiente de la tasa de ahorro.

lo3:

Pno

lógi Debio a que el output, capital y trabajo efectivo

crecen a la misma tasa, (gA+gN), el estado

apit

uTe

c n

A Nestacionario de esta economía se llama balanced growth.

C


toEl capital por unidad de eficiencia es constante en ee. Dado que y = f(k) laproducción por unidad de eficiencia es también cte. Pero el número deunidades de eficiencia por trabajador crece a g Así que el output per capita

mie

nt unidades de eficiencia por trabajador crece a g. Así que, el output per capita,(Y/N = y A) también crece a gA. La producción total Y = y (A N) crece ala tasa gN + gA.

reso

Cre

ciP

rogr

ico

y C

lo3:

Pno

lógi

apit

uTe

c nC


Dinámica entre el Output y el Capitalto VARIABLES TASAS CRECIMIENTO

Características del Balance growth pathm

ient VARIABLES TASAS CRECIMIENTO

CON PROGRESO TECNOLÓGICO

0

reso

Cre

ci

0

0

Pro

gric

oy

C

Capital por trabajador K/N gA

Producción por trabajador Y/N gA

lo3:

Pno

lógi Conocimiento A gA

Trabajo N gN

Capital K gA+gN

apit

uTe

c n

Capital K gA+gN

Producción Y gA+gN

Trabajo efectivo AN gA+gN

C


toPor tanto, el modelo de Solow implica que con independencia de su puntode partida, la economía converge a una senda de crecimiento equilibrado ósituación de estado estacionario donde cada variable del modelo crece a

mie

nt situación de estado estacionario donde cada variable del modelo crece auna tasa constante (aunque no necesariamente igual).

reso

Cre

ci Nótese la diferencia con el modelo de Solow básico donde, debido a lossupuestos tan restrictivos que hicimos, las variables básicas del modelotenían tasas de crecimiento nulo en el estado estacionario.

Pro

gric

oy

C tenían tasas de crecimiento nulo en el estado estacionario.

La modificación más importante es que, ahora, la variable representativa

lo3:

Pno

lógi

p q , , pdel crecimiento económico, que es la producción por trabajador ( ó renta percápita) ,Y/N, crece a largo plazo ( en E.E. ) a una tasa positiva gAdeterminada por el progreso tecnológico. Volveremos sobre este importante

apit

uTe

c n resultado.

C


Efectos de la tasa de ahorroto L i i d l t d h f t

mie

nt Las variaciones de la tasa de ahorro no van a afectara la tasa de crecimiento de Y/N en estadoestacionario, pero sí que afectan al nivel de Y/N (efecto de nivel) de estado estacionario Esto se debe

reso

Cre

ci efecto de nivel) de estado estacionario. Esto se debea que, durante la transición, sí se inducenalteraciones en la tasa de crecimiento de Y/N.

Pro

gric

oy

C

Además, aprovechamos esta perturbación para

lo3:

Pno

lógi mostrar las herramientas analíticas, gráficas y

narrativas que vamos a manejar para el análisis delas distintas perturbaciones del modelo. En ese

apit

uTe

cn sentido, establecemos ahora una especie de “protocolo” de actuación. Veamos esto.

C


Efectos de la tasa de ahorroto

Partimos de las ecuaciones básicas,utilizando la Cobb-Douglas por comodidad analítica. Esto es:

mie

nt

1 ( ) (2. ) t t t A N tk k sk g g k a

(1. )y k a

reso

Cre

ci

1 ( ) ( )t t t A N tg gEs de gran utilidad reexpresar (2.a) en términos de la tasa devariación del stock de capital por trabajador efectivo. Dividiendo

tk

Pro

gric

oy

C

(2.a) por :tk

11( ) ( ) (3 )

t tk k k

lo3:

Pno

lógi

11( ) ( ) (3. ) t t

t A Nt

sk g g ak

La explicación detallada de la ecuación y el gráfico es similar a la

apit

uTe

c n

La explicación detallada de la ecuación y el gráfico es similar a ladesarrollada en el tema anterior ( allí en términos de y ahorade )

Kk N Kk AN

C


AN

Efectos de la tasa de ahorroto

Por último, es pertinente establecer con claridad de qué depende la variable básica del modelo, que es la tasa de crecimiento de la producción por trabajador (Y/N)

mie

nt crecimiento de la producción por trabajador (Y/N)

Para ello, y a partir de la ecuación (1.a) despejamos Y/N lti li d A b l d

reso

Cre

ci multiplicando por A a ambos lados:

.Y K Yy k A kAN AN N

Pro

gric

oy

C

k

AN AN N

lo3:

Pno

lógi Para obtener la tasa de crecimiento de Y/N, vamos a utilizar la regla de tomar

logaritmos y diferenciar respecto del tiempo en la expresión anterior.

Ya sabemos que obtenemos así la tasa instantánea de crecimiento (en

apit

uTe

c n

Ya sabemos que obtenemos así la tasa instantánea de crecimiento (en tiempo continuo) y, por tanto, esa tasa es sólo una aproximación de la tasa en tiempo discreto en que desarrollamos ahora el análisis. Por razones de simplicidad analítica, identificamos esas tasas.

C


p ,

Operando de esta manera:

Efectos de la tasa de ahorroto log log log log log logt t t t

Y d Y d dA k A kd d d

mie

nt

g g g g g gt t t tt tN dt N dt dt

reso

Cre

ci

1 1( / ) ( / ) ( ) (4. )( / )

t t t tA

Y N Y N k kg aY N k

Pro

gric

oy

C ( / )t tY N kExpresión básica que nos dice que la tasa de crecimiento de la producción portrabajador es igual a la tasa de crecimiento del progreso técnico (gA) más la tasa decrecimiento( ponderada) del capital por trabajador efectivo

lo3:

Pno

lógi crecimiento( ponderada) del capital por trabajador efectivo.

Este segundo miembro del lado derecho de la ecuación, es cero en estadoestacionario y sólo se hará positivo ó negativo durante la transición, (mientras lainversión realizada difiere de la requerida) con un valor que viene determinado en la

apit

uTe

c n

inversión realizada difiere de la requerida) con un valor que viene determinado en laecuación (3.a).

Reuniendo todas las ecuaciones y los 2 gráficos pertinentes, estamos encondiciones de analizar detalladamente esta perturbación (aumento de s)C


condiciones de analizar detalladamente esta perturbación (aumento de s).

Estructura analítica del modelo de Solow ampliado

to (1. ) y k a

mie

nt

( )y

1 ( ) (2. ) t t t A N tk k sk g g k a

reso

Cre

ci

11( ) ( ) (3 )

t tk k sk g g a

Pro

gric

oy

C 1 ( ) (3. ) t t

t A Nt

sk g g ak

lo3:

Pno

lógi

1 1( / ) ( / ) ( ) (4. )( / )

t t t tA

t t

Y N Y N k kg aY N k

apit

uTe

c nC


Gráfico 2.a

toY

ANy

y k

mie

nt

( ) A Ng g k

y

reso

Cre

ci 1( )A Ng g

1s y

Pro

gric

oy

C

0 0s y

lo3:

Pno

lógi

1 0s s

apit

uTe

c n

1 0

C KAN

k

*0k *

1kCAPÍTULO 2

Gráfico 3.ato

mie

nt

1( ) 0

t t

t

k kk 1 0s s

reso

Cre

ci

t

1

Pro

gric

oy

C

( ) A Ng g0 1

lo3:

Pno

lógi

1k

11

s k

apit

uTe

c n

10

s k

*kKk

*kC 0k ANk

1kCRECIMIE

NTO ECONÓMICAPÍTULO 2

Efectos de la tasa de ahorroto Fi 12 3

mie

nt

Efectos de un aumento en la tasa d h I

Figure 12 - 3

reso

Cre

ci de ahorro: I

Un aumento en la tasa de ahorro

Pro

gric

oy

C tasa de ahorro provoca un aumento en los niveles de ee del output y capital

lo3:

Pno

lógi del output y capital

por trabajador efectivo.

apit

uTe

c nC


Un aumento de la tasa de inversión (Δs>0)to

La economía se encuentra inicialmente en estado estacionario con una tasa deinversión (y ahorro) s0. Ahora, experimenta un aumento permanente de la tasa deinversión hasta s1

mie

nt

inversión hasta s1

El (Gráfico 2.a) muestra los resultados de ese cambio muy similares al delmodelo básico sin progreso técnico. Omitimos en la exposición el término “portrabajador efectivo” que acompaña a las variables pertinentes para aligerar la

reso

Cre

ci

trabajador efectivo que acompaña a las variables pertinentes para aligerar laexposición.

Al nivel de capital , la inversión realizada es ahora mayor que la requerida porlo que va a aumentar el stock de capital hasta llegar al nuevo estado estacionario

*0k

Pro

gric

oy

C o que a a au e ta e stoc de cap ta asta ega a ue o estado estac o a oen el punto 1.

Para ver con detalle los efectos sobre el crecimiento, utilizamos la ecuación (3.a)y el gráfico asociado (Gráfico 3.a) En él vemos que el aumento en la tasa de

lo3:

Pno

lógi

y g ( ) qInversión hace positiva la tasa de crecimiento del capital , por lo que su nivelempieza a aumentar pero a tasas decrecientes debido al supuesto deproductividad marginal decreciente del capital.

k

apit

uTe

c n Para el nivel , la tasa de crecimiento es de nuevo nula y se ha alcanzadoelnuevo estado estacionario.

*1k

C

CRECIMIENTO

ECONÓMICAPÍTULO 2

to ¿Cuáles son los efectos de esta perturbación sobre la variable básica, eli i t d l d ió t b j d Y/N?

mie

nt crecimiento de la producción por trabajador Y/N?

En la Ecuación (4.a) vemos con claridad que inicialmente esta variablecrecía a la tasa constante gA determinada por el progreso tecnológico.

reso

Cre

ci

APero durante la transición, la tasa de variación del stock de capital se hacepositiva ( aunque decreciente) de forma que la tasa de crecimiento va aestar por encima de gA hasta llegar al nuevo estado estacionario donde

Pro

gric

oy

C retorna a ese valor.

Esto lo recogemos en el gráfico temporal (Grafico 4.a)

E l áfi t l (G fi 4 b) l l f t d l áfi

lo3:

Pno

lógi En el gráfico temporal (Grafico 4.b) acumulamos los efectos del gráfico

anterior para ver cómo evoluciona el nivel de Y/N. Antes del cambio, estenivel estaba creciendo a la tasa gA de forma que el nivel crecía linealmente

di h t P d t l t i ió l i i t (

apit

uTe

c n

a dicha tasa. Pero durante la transición el crecimiento es mayor (aunquedecreciente) hasta llegar al nuevo estado estacionario.

C


to1( / ) ( / )

( / ) t t

t

Y N Y NY N

mie

nt

AgGráfico 4.a

reso

Cre

ci

Tiempot0

Pro

gric

oy

C p

Efecto de Nivellog( / )tY N

0

Ag

lo3:

Pno

lógi

Gráfico 4 b

apit

uTe

c n Gráfico 4.b

C

Tiempot0AgCAPÍTULO 2

Efectos de la tasa de ahorroto Figure 12 - 4

mie

nt Efectos de un aumento en la tasa de ahorro : II

reso

Cre

ci Un aumento de la tasa de ahorro provoca un aumento

Pro

gric

oy

C provoca un aumento del crecimientohasta que la economía alcanza su nueva

lo3:

Pno

lógi alcanza su nueva

senda, más elevada, de crecimiento

ilib d

apit

uTe

c n equilibrado.

C


toEste ejercicio, ilustra 2 puntos importantes:

1 Cambios de política aquí aumentan las tasas de0s

mie

nt 1. Cambios de política- aquí -,aumentan las tasas decrecimiento pero sólo de forma transitoria durante la transición.Esto es, no hay efectos de crecimiento a largo plazo

0s

reso

Cre

ci 2. 2. Cambios de política, ,pueden tener efectospermanentes de nivel. Así, en este caso, el aumento de latasa de ahorro aumenta el nivel de producción por trabajador

0s

Pro

gric

oy

C tasa de ahorro aumenta el nivel de producción por trabajador– ó de renta per. cápita- de forma permanente.

Con este instrumental analítico y gráfico podemos analizar otras

lo3:

Pno

lógi

Con este instrumental analítico y gráfico podemos analizar otrasperturbaciones como variaciones exógenas en .

Terminamos con un apartado dedicado a evaluar el modelo de

apit

uTe

c n

pSolow, en el que utilizamos, entre otras cosas, material quedesarrollamos en los Apéndices I y II.

C


toLa introducción del progreso tecnólógico también modifica la regla de oro. Elnivel de capital de la regla de oro se define como el ee que maximiza elconsumo por unidad de eficiencia de trabajo. Se puede demostrar que el

mie

nt

consumo por unidad de eficiencia de trabajo. Se puede demostrar que elconsumo por unidad de eficiencia en el estado estacionario es:

* f (k*) ( N + A k*

reso

Cre

ci

El consumo se maximiza en ee si

c*= f (k*) - ( gN + gA k*

Pro

gric

oy

C El consumo se maximiza en ee si

MPK = n + g,

reordenado términos MPK - n + g

lo3:

Pno

lógi

reordenado términos, MPK n + g.

Es decir, en el nivel de capital de la regla de oro, el producto marginal del

apit

uTe

c n

Es decir, en el nivel de capital de la regla de oro, el producto marginal delcapital, PMK - es igual a la tsa de crecimiento de la producción total, n + g.Como en las economías hay crecimiento demográfico y progreso tecnológico,debemos de utilizar este criterio para saber si tenemos más o menos capital

C


p pque en el estado estacionario de la regla de oro.

tom

ient

reso

Cre

ciP

rogr

ico

y C

Una predicción importante del modelo neoclásico es:

Entre los países que tienen el mismo estado estacionario,

lo3:

Pno

lógi la hipotesis de convergencia nos diría:

Los países pobres deberían crecer más rápido en

apit

uTe

c n media que los países ricos.

C


toDiferencias Grandes y Persistentes

mie

ntre

soC

reci

Pro

gric

oy

Clo

3: P

noló

giap

itu

Tec n

La riqueza relativa de los cinco países más pobres y la de los cinco países

más ricos en términos de la renta per cápita C


más ricos en términos de la renta per cápita

to Convergenciam

ient

g

¿Crecen más deprisa las economías que

reso

Cre

ci

¿Crecen más deprisa las economías quecomienzan siendo pobres que las quecomienzan siendo ricas?

Pro

gric

oy

C

En caso afirmativo, las primeras tenderán

lo3:

Pno

lógi

, pa dar alcance a las segundas. En casonegativo, persistirán las diferencias de

t

apit

uTe

cn renta

C


to Evaluación de la tasa de ahorrom

ient

El modelo de Solow indica que la tasa de ahorro

reso

Cre

ci

El modelo de Solow indica que la tasa de ahorrodetermina los niveles de capital y producción delestado estacionario. Una determinada s produce elee de la regla de oro, que maximiza el consumo por

Pro

gric

oy

C g , q ptrabajador y, por tanto, el bienestar económico.Estos resultados nos ayudan a abordar la primeracuestión de política económica:

lo3:

Pno

lógi ¿Es la tasa de ahorro de la economía demasiado

baja, demasiado alta o más o menos correcta?

apit

uTe

cnC


La contabilidad del crecimientoto

mie

ntre

soC

reci

Pro

gric

oy

Clo

3: P

noló

giap

itu

Tec n

C


Los determinantes del progreso tecnológico12-2

toEl progreso tecnológico en las economíasmodernas es el resultado de la actividad de las

mie

nt modernas es el resultado de la actividad de lasempresas en’ investigación y desarrollo(R&D). El resultado del R&D son

reso

Cre

ci

(R&D). El resultado del R&D sonfudamentalemente ideas.El gasto en on R&D depende de:

Pro

gric

oy

C g pLa fecundidad del proceso de investigación, ocomo el gasto en R&D se traslada a nuevas

lo3:

Pno

lógi ideas y nuevos productos

La posibilidad de apropiarse de los resultadosó

apit

uTe

c n de la investigación odel grado en que lasempresas se benefician de los resultados de supropia investigaciónC


propia investigación.

La fecundidad del proceso de investigación

to Los determinantes de la fecundidad incluyen:m

ient

La interacción entre la investigación básica

reso

Cre

ci (búsqueda de principios y resultadosgenerales) y la aplicada (the aplicació deresultados en usos específicos)

Pro

gric

oy

C resultados en usos específicos). El país: algunos países son mas exitosos en

investigación básica; otros en el desarrollo de

lo3:

Pno

lógi

investigación básica; otros en el desarrollo dela investigación aplicada.

Tiempo: Se tarda muchos años y a menudo

apit

uTe

c n

Tiempo: Se tarda muchos años y a menudodécadas en aporvechar todo el potencial delos grandes descubrimientos.

C


La Apropiabilidad de los resultados de investigación

to Si las empresas no pueden apropiarse de losb fi i d l d ll d d t

mie

nt beneficios del desarrollo de nuevos productos noharán R&D. Los factores que están en juegoson:

reso

Cre

ci

son: La naturaleza del proceso de investigación.

Existe algún pago el ser el primero en

Pro

gric

oy

C Existe algún pago el ser el primero endesarrollar un nuevo producto?

Protección legal. Patentes dan a una

lo3:

Pno

lógi

gempresa que ha descubierto un nuevoproducto el derecho a excluir a todas las

apit

uTe

c n demás o al uso de ese nuevo productodurante algún tiempo.

C


The Diffusion of New Technology: Hybrid Corn

to Fi 1 P t f T t l C A Pl t d ith H b id

mie

nt Figure 1 Percentage of Total Corn Acreage Planted with Hybrid Seed, Selected U.S. States, 1974-1956

reso

Cre

ciP

rogr

ico

y C

lo3:

Pno

lógi

apit

uTe

c nC


Los hechos del crecimiento revisados12-3

toComo vimos, en relación al crecimiento, lospaíses ricos desde 1950 tienen los siguientes

mie

nt

p ghechos:

reso

Cre

ci Crecimiento sostenido, especialmente desde1950 a la mitad-1970’s

Pro

gric

oy

C

Una desaceleración del crecimiento alcomienzo de mitad-1970’s

lo3:

Pno

lógi Convergencia: Los países más rezagadoshan crecido más deprisa.

apit

uTe

c n

Apliquemos la teoría que hemos estudiado para er q e p ede e plicar de estosC


para ver que puede explicar de estos hechos.

Acumulación de capital vs progreso tecnológico

toEl crecimiento rápido puede venir de dosfuentes:

mie

nt fuentes: Un alto progreso tecnológico. Si gA es alta, el

crecimiento equilibrado de la producción

reso

Cre

ci

crecimiento equilibrado de la producción(gY=gA+gN) será más alto. En este sentido, latasa de crecimiento del output es igual a la

Pro

gric

oy

C p gtasa de crecimiento del progreso tecnológico.

lo3:

Pno

lógi Ajuste de capital por trabajador efectivo,K/AN, a un nivel más alto. En este caso, la

apit

uTe

c n tasa de crecimiento del output exceda la tasade crecimiento de progreso tecnológico.

C



to T bl 12 2 A A l R t f G th f O t t C it

mie

nt Table 12-2 Average Annual Rates of Growth of Output per Capita and of Technological Progress in Five Rich Countries, 1950-2000

reso

Cre

ci Rate of Growth of Output per Worker (%)

Rate of Technological Progress (%)

1950-1973(1)

1973-2000(2)

Change(3)

1950-1973(4)

1973-2000(5)

Change(6)

Pro

gric

oy

C (1) (2) (3) (4) (5) (6)

France 4.8 2.1 -2.7 5.3 1.6 -3.7Japan 7.1 2.1 -5.0 7.0 1.4 -5.6

lo3:

Pno

lógi United Kingdom 3.4 1.7 -1.7 3.7 1.9 -1.8

United States 2.7 1.2 -1.5 2.9 1.4 -1.5Average 4.5 1.8 -2.7 4.7 1.6 -3.1

apit

uTe

c n

Average 4.5 1.8 2.7 4.7 1.6 3.1

C



toLa tabla 12-2 ilustra tres hechos principales:

mie

nt

1. Periodo de alto crecimiento per capita, desde1950 a 1973, fué debido a un rapido

reso

Cre

ci

1950 a 1973, fué debido a un rapidoprogreso tecnológico, no a una acumulaciónde capital inusualmente elevada.

2 L d l ió d l i i d l

Pro

gric

oy

C 2. La desaceleración del crecimiento del outputper capita desde 1973 se debió a unareducción de la tasa de progreso tecnológico,

lo3:

Pno

lógi

reducción de la tasa de progreso tecnológico,no a una acumulación de capitalinusualmente baja.

3 ó

apit

uTe

c n 3. La convergencia de la producción portrabajador se ha debido a un aumento delprogreso tecnológico y no a una aceleración

C


progreso tecnológico y no a una aceleraciónde la acumulación de capital.

Fluctuaciones en el ritmo de progreso tecnológico

to Porqué se desacelero el progreso tecnológico a

mie

nt

o qué se desace e o e p og eso tec o óg co amediados1970s? La verdad es que aunque sehan realizado numerosas investigaciónes esto

reso

Cre

ci sigue siendo un misterio.

Pro

gric

oy

C

Una hipotesis es que hubo una caídageneralizada en actividades de R&D, la cual guióa una caída del progreso tecnológico

lo3:

Pno

lógi a una caída del progreso tecnológico.

Otra hipotesis es que no cayo el R&D sino su

apit

uTe

c n Otra hipotesis es que no cayo el R&D sino sufecundidad.

C


Instituciones y crecimiento12-4

to Fi 12 5

mie

nt Figure 12 - 5Protección contra expropiación y PIB

C it

reso

Cre

ci per Capita

Existe una relación positiva muy fuerte

Pro

gric

oy

C positiva muy fuerte entre el grado de protección contra la expropiación y el

lo3:

Pno

lógi expropiación y el

nivel de PIB per capita.

apit

uTe

c nC


La nueva economía y crecimiento de la productividad

to Fi 1

mie

nt Figure 1Ley Moore’s Law, Número de t i t

reso

Cre

ci transistores por, 1970-2000

Moore’s Law

Pro

gric

oy

C

predice que el número de t i t

lo3:

Pno

lógi transistores por

chip se dobla cada 18-24

apit

uTe

c n

cada 18-24 meses.

C


La importancia de las instituciones: North and South Korea

tom

ient

PPP GDP per Capita, North and S h K

Figure 1

reso

Cre

ci South Korea, 1950-1998

Pro

gric

oy

Clo

3: P

noló

giap

itu

Tec n

C


Evaluación del modelo de Solowto

Antes de entrar en una discusión detallada del modelo, un comentario detipo general: Dijimos al principio del Tema 2, que el crecimiento es unf ó

mie

nt fenómeno complejo y multidimensional. Parece obvio que un modeloteórico que se compone – aunque permita ampliaciones – básicamente de2 piezas:

reso

Cre

ci ( i) una función de producción agregada.(ii ) una ecuación de acumulación de capital físico.no debería considerarse un esquema conceptual lo suficientemente

Pro

gric

oy

C q pdesarrollado para abordar, sin más, los problemas concretos delcrecimiento de los países.

Los economistas probablemente necesitamos juguetes para poder

lo3:

Pno

lógi

Los economistas probablemente necesitamos juguetes para poderdesenmarañar aspectos complejos de la realidad, pero siendoconscientes de las limitaciones del juguete que utilizamos en cadamomento.

apit

uTe

c n Dicho esto, lo que nos planteamos en concreto aquí, es examinar cual es la respuesta que el modelo teórico de Solow ofrece a preguntas básicas sobre el crecimientoC


sobre el crecimiento

to1ª.¿ Por qué unos países son tan ricos – en niveles de PIB per cápita (ó por trabajador Y/N) – y otros tan pobres?

mie

nt

La respuesta del modelo se sintetiza en la ec. (5.a) derivada en el Apéndice I.

reso

Cre

ci * (1 )* . (5. )

( )t tt A N

Y sy A aN g g

Pro

gric

oy

C ( )t A NN g g

En donde se puede introducir, adicionalmente, el capital humano. En estado estacionario unos países son más ricos porque:

lo3:

Pno

lógi

estacionario, unos países son más ricos porque:(i) ahorran e invierten una fracción mayor de la producción (s) en acumular

capital físico ( y humano).

apit

uTe

c n

(ii) Tienen menores tasas de crecimiento de la población (gN) lo que les it l it l fí i h t b j dC


permite que sea mayor el capital físico y humano por trabajador y, por tanto, mayor la producción por trabajador Y/N.

toiii) Tienen mayor nivel tecnológico – mayor At - que les permite

obtenerd ió t b j d “ t k ” d d d

mie

nt mayor producción por trabajador, para unos “stocks” dados decapital y trabajo, al ser estos factores más productivos.

(iv)Tienen un mayor grado intensidad relativa del capital en el

reso

Cre

ci

(iv)Tienen un mayor grado intensidad relativa del capital en elprocesoproductivo (mayor α).

Pro

gric

oy

C

En los estudios empíricos, parece que el nivel tecnológico (At) es la variable másimportante para explicar las diferencias entre países en los niveles de producción portrabajador (Y/N)

lo3:

Pno

lógi trabajador (Y/N).

Sin embargo, y como discutimos en el tema siguiente, es difícil explicar desde lossupuestos del modelo (y la competencia perfecta es uno de ellos) estas diferencias enel nivel tecnológico A : al aparecer en la función de producción como un “bien público”

apit

uTe

c n

el nivel tecnológico At: al aparecer en la función de producción como un “bien público”,cuya generación no necesita -y no puede- ser retribuida, todos los países deberíantener las mismas oportunidades tecnológicas (el mismo A exógeno y gratuito que caecomo “maná” llovido del cielo).

C


)

to2.¿ Porqué las economías pueden experimentar tasas de crecimiento

sostenidas de la producción por trabajador?

mie

nt En estado estacionario, esta variable crece a la tasa de progreso tecnológico:

* *( / ) ( / )Y N Y N

reso

Cre

ci 1*

( / ) ( / )( / )

t t

At

Y N Y N gY N

Pro

gric

oy

C

que es exógena. Por tanto, el crecimiento-aumento de Y/N en el tiempo-aparece “explicado” por una variable exógena ( no explicada) del modelo

lo3:

Pno

lógi explicado por una variable exógena ( no explicada) del modelo.

Dicho de otra manera, el de Solow es un modelo de crecimiento que no explica

apit

uTe

c n el crecimiento!!.Esta debilidad básica, nos va a llevar a plantear en el Tema siguiente desarrollos que sí abordan este punto central.

C


toEsta evaluación del modelo es, probablemente, poco amable, ya que el modelo sípone de manifiesto-aunque no lo explique- la importancia del crecimiento tecnológicoen la evolución de la tasa de crecimiento a largo plazo de la producción per cápita.

mie

nt

en la evolución de la tasa de crecimiento a largo plazo de la producción per cápita.

Además, el modelo sí predice que durante la transición al nuevo estado estacionariodebida a un aumento exógeno de la tasa de ahorro ( s) ó a otros factores, Y/N crece

reso

Cre

ci

g ( ) ,a la tasa ( ec. 4.a):

( / ) ( / ) ( ) Y N Y N k k

Pro

gric

oy

C

1 1( / ) ( / ) ( ) (4. )( / )

t t t tA

t t

Y N Y N k kg aY N k

lo3:

Pno

lógi

Esto es, Y/N para cada país crece más rápidamente cuanto mayor sea la distancia entre el stock de capital efectivo existente y el del nuevo estado estacionario.

apit

uTe

c n Como adicionalmente, este período de transición puede ser muy largo, el modelo sípredice diferentes tasas de crecimiento entre países durante amplios periodos detransición, con mayores tasas para los países que distan más del nuevo estadoestacionario ( Y esto tiene que ver con el tema de la convergencia)C


estacionario.( Y esto tiene que ver con el tema de la convergencia)

toEn definitiva, el Modelo de Solow no proporciona una teoríaexplicativa del crecimiento a largo plazo.Este resultado ”negativo” es importante ya que podría pensarse

mie

nt

Este resultado negativo es importante ya que podría pensarse(muchos economistas y observadores de períodos anteriorespensaban así) que el mecanismo por el cual el ahorro se transformaen un flujo de inversión que permite acumular más capital físico

reso

Cre

ci (ordenadores, plantas productivas, máquinas..etc) podría ser el motordel crecimiento a largo plazo sin necesidad de crecimiento del niveltecnológico (con gA=0).

Pro

gric

oy

C

El modelo desvela por qué esto no es así:(en términos u.t.e.), losrendimientos decrecientes del capital , hacen que a medida que éstese va acumulando, cada unidad adicional de capital genere aumentos

lo3:

Pno

lógi

se va acumulando, cada unidad adicional de capital genere aumentosde la producción cada vez menores.Eventualmente, el aumento adicional de la producción sólo sirve paracompensar la inversión requerida para dejar intacto el stock de

apit

uTe

cn capital. En ese punto, el crecimiento se hace nulo en el modelo.

Por tanto, es el progreso técnico el que permite neutralizar la

C tendencia a disminuir del producto marginal del capital y generarcrecimiento a largo plazo.


Apéndice I: Detalle analítico del estado estacionario

toDeducimos aquí la expresión analítica del valor de la producción por trabajador en el estado estacionario de esta ampliada del modelo de Solow Por comodidad suponemos que la función de producción es

mie

nt Solow. Por comodidad, suponemos que la función de producción es la Cobb-Douglas. Las ecuaciones básicas del modelo son:

(1 ) k

reso

Cre

ci (1. )y k a

1 ( ) (2. ) t t t A N tk k sk g g k a

Pro

gric

oy

C

En E.E. cuando kt+1 = kt :

lo3:

Pno

lógi

* * * 1

*( ) ( )( )

t A N t A N t

l di idi k

sk g g k s g g k

apit

uTe

c n

al dividir por kt

C


to* 1 1( ) :

( ) (1 )

tA N

sk e l e v a n d o ag g

mie

nt 1(1 )

* * * :( )

A N

t t tsk c o m o y k

g g

reso

Cre

ci

(1 )*

( )

:( )

A N

t t

g g

sy m u l t i p l i c a n d o p o r A

Pro

gric

oy

C ( ) t t

A N

y p pg g

lo3:

Pno

lógi (1 )

* *( ) . ( 5 . )( )

t t tA N

Y sy A aN g g

apit

uTe

c n

Expresión básica que analizamos en el apartado de evaluación del modelo de Solow

C


modelo de Solow

Apéndice II. El modelo de Solow, la competencia perfecta y la retribución a la generación de ideas ó tecnología (At).

toEn este tema hemos llegado a la importante conclusión de que unaeconomía como la de Solow puede tener crecimiento positivo a

mie

nt largo plazo si crece la tecnología ó stock de ideas (At).

La pregunta inmediata sería ¿Cómo podemos acelerar eset ló i d f t ?

reso

Cre

ci progreso tecnológico de forma que crezca su tasa gA?.En el modelo, hemos supuesto que dicho progreso técnico esexógeno y, por tanto, no se explica de dónde surge.Pero el problema es aún más grave porque con los supuestos

Pro

gric

oy

C Pero el problema es aún más grave porque, con los supuestosrealizados, el progreso técnico DEBE ser exógeno.

Para entender esto retomemos la función de producción

lo3:

Pno

lógi

Para entender esto, retomemos la función de producciónneoclásica que hemos postulado: Y= F(K,N,A)

Dicha función presenta rendimientos constantes a escala en los

apit

uTe

cn

Dicha función presenta rendimientos constantes a escala en losinputs rivales K y N . Antes de continuar, aclaremos este conceptode rivalidad.

C


toPartimos de Y=F(K,N,A), donde A es la “”tecnología ,”elconocimiento técnico” ó “las ideas”.

mie

nt

Una diferencia fundamental que distingue a los bienes capital ytrabajo (K,N) y la tecnología (A) es que los primeros son bienesi l l t l í i l U bi i l i d

reso

Cre

ci rivales y la tecnología es no-rival . Un bien es rival si no puede serutilizado por más de un usuario a la vez. Si un bien puede serutilizado por mucha gente al mismo tiempo se dice que es no-rival. Aunque volveremos sobre este punto más adelante, nos

Pro

gric

oy

C a u que o e e os sob e este pu to ás ade a te, osquedamos ahora con la naturaleza no-rival del conocimiento.

En Y=F(K,N,A),cuando hablemos de rendimientos constantes a

lo3:

Pno

lógi

( , , ),escala nos referimos a que si doblamos la cantidad de inputsrivales K,N, (ej: replicamos la misma planta) entonces laproducción se duplica.

apit

uTe

cn No doblamos A porque este conocimiento se puede utilizarsimultáneamente en las dos plantas.

C


Proseguimos.

toPues bien, si la función de producción presenta rendimientos constantes a escala en los inputs rivales K, N, el Teorema de Eulernos dice que una función homogénea de grado 1 (rtos constantes a

mie

nt nos dice que una función homogénea de grado 1 (rtos constantes a escala) tiene la propiedad de que:

F( ) (1) F FK N A K N

reso

Cre

ci F( , , ) . . (1)

K N A K NK N

Si además, hay competencia perfecta (otro de los supuestos del modelo) y las empresas ma imi an beneficios estas an a rem nerar a los factores prod cti os

Pro

gric

oy

C empresas maximizan beneficios, estas van a remunerar a los factores productivos K y N según su producto marginal.

Esto es, F F

lo3:

Pno

lógi ;

F Fr wK N

apit

uTe

c n Veamos esto

C


toA partir de la función de beneficios:

F( )K N A w N r K

mie

nt F( , , )K N A w N r K

Para maximizar beneficios, las c.p.o. serán:

reso

Cre

ci

F( , , ) F= 0

K N A w w

N N N

Pro

gric

oy

C

F( , , ) F= 0

N N NK N A r r

lo3:

Pno

lógi K K K

Sustituyendo estas igualdades en la ecuación (1 ) tenemos que:

apit

uTe

c n

Sustituyendo estas igualdades en la ecuación (1 ) tenemos que:

C


toF( , , ) . . (2)

Y

K N A K r N wm

ient

Esto es, la producción total (Y) es igual a la cantidad de capital multiplicadapor su precio (el tipo de interés real r) más la cantidad de trabajo multiplicadapor su precio

Y

reso

Cre

ci

por su precio( el salario real w).

Dicho de otra manera, toda la producción y renta de la economía se dedica ó

Pro

gric

oy

C

bien a retribuir al capital ó bien al trabajo. Por tanto, esta economía conrendimientos constantes a escala y competencia perfecta, no puede dedicarrecursos a financiar generación de progreso técnico ( investigación, I&D..).

lo3:

Pno

lógi En este sentido, el progreso técnico ó ideas (At) aparece en el modelo como un

“bien público” que está disponible gratuitamente para todo el mundo y quecrece a una tasa gA exógena no explicada (y ahora sabemos que no explicabledentro de los supuestos del modelo)

apit

uTe

cn

dentro de los supuestos del modelo).

Ya se adivina que una estrategia para abordar esta importante limitación va aconsistir en modificar los supuestos de la función de producción y/ó el de la

t i f t E l ó i t d t t tC competencia perfecta .En el próximo tema, nos adentramos en este terreno.


progreso tecnológico y crecimientojmartin.webs.uvigo.es/macroeconomiaii/index_archivos...co y...

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