PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Presentado por: Jemberson Bedoya

Progresiones Aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene sumando al anterior una cantidad fija d, llamada diferencia de la progresión.

Si d>0 Si d <0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es Creciente.EJ: 2, 4, 6, 8,… d= 2

los números cada vez son menores, se dice que la progresión es Decreciente.EJ: 7, 5, 3, 1, ... d= -2

El término general de una progresión aritmética es: EJ: 3, 5, 7, 9 ,11 ,…1 3 2

3 ( 1) 2n

a da n

Suma de n términos En una progresión aritmética finita de n términos, la suma de términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos:

EJ: 2, 4, 6, 8,10,122+12=14 4+10=12 6+8=141 2 12 6 42

2 2na as n

1 ( 1)na a n d

1

2na as n

Progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en que cada término (menos el primero) se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija r, llamada razón de la progresión. La razón se obtiene al hacer el cociente entre dos términos consecutivos:

EJ: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Razon =2 6 12 24 48 23 6 12 24

r

32 4

1 2 3 1

... n

n

a aa a ra a a a

El término general de una progresión geométrica cuyo primer término es a y la razón es r es

EJ: 1 , 3 , 9, 27 ,…

1n-1

n

r=3 a =1a =3

Suma de todos los términos La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r, es:

EJ: 16, 8, 4, 2 ,1 ,…; r=0,5

1 16 16 321 11 12 2

asr

11

nna a r

1

1asr

¿Cual es la razon de esta progresión geométrica ?

UNA LARGA HISTORIA…

Se puede pensar que la historia comienza hace miles de años atrás cuando el hombre ajustaba el concepto de número y lograba representarlo por medio de símbolos, para así lograr ordenarlos de forma creciente y progresiva, lo que contribuyó a crear la sucesión natural de los números.

Esto conllevo la necesidad del ser humano de contar sus animales, sus tierras y sus pertenencias en general. Lo anterior puede considerarse como un origen de progresión aritmética ya que contar consistía en asignarle a cada objeto un término de la sucesión natural, empezando desde uno hasta llegar al último elemento.

En babilonia

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas. ?¿

EgiptoUna referencia histórica sobre las progresiones en la cultura egipcia, son dos de los problemas de progresiones encontrados en el célebre papiro egipcio de Rhind o papiro de Ahmes.

Problemas progresion geométrica :"7 casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas de trigo, 16807 medidas de grano"

Antigua India Entre el 400 a. C. y el 200 a. C., los matemáticos yainas comenzaron el estudio de las matemáticas para el exclusivo propósito de las matemáticas, desarrollando matemáticamente las sucesiones y progresiones. El Manuscrito “Bakhshali”, escrito entre el 200 a. C. y el 200 d. C., incluía soluciones de progresiones aritméticas entre otras cosas.

La antigua Grecia En la antigua Grecia ya se tenía cierta noción de la progresión geométrica, aunque aún no aparecía una relación con la progresión geométrica. una prueba son las conocidas paradojas de las paradojas de Zenón de Elea (490 – 430 a.C.) Paradoja de la dicotomía Paradoja de Aquiles y la

tortuga

Por otro lado, son los griegos quienes formalizaron la aritmética e inventaron una notación para representar las generalizaciones. Más exactamente fue Pitágoras con sus discípulos quienes se encargaron de organizar los conceptos de sucesiones y series de los mesopotámicos y de los egipcios. Algunos de sus aportes a la aritmética fueron las definiciones de números pares e impares por medio de una sucesión para cada una de ellas y también la clasificación de los números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc., formando sucesiones y series aritméticas.

La edad media En esta época destaca el matemático Leonardo de Pisa (1170-1250). Más conocido como Fibonacci, su principal aportación a las matemáticas fue el estudio y cálculo de una progresión relativa a una pareja de conejos, que como se puede comprobar actualmente tiene múltiples aplicaciones en los fenómenos (especialmente naturales).

En el siglo XVIIIThomas Robert Malthus fue el primer economista en proponer una teoría sistemática de la población. Plasmó sus puntos de vista con relación a la población en su famoso libro Essay on the Principle of Population (1798).En el capitulo 2 de sus celebre ensayo escrito en 1798,Malthus enuncia una famosa ley sobre la relación entre el crecimiento de la población mundial y el de los recursos naturales.“Yo afirmo que si la población se controla, crece en progresión geométrica, mientras que los recursos naturales de subsistencia crecen en progresión aritmética”

CONCLUSIÓN

Finalmente considero de mucha importancia tener acceso a la historia del tema que nos ocupa permitirá conocer las condiciones de creación de algunas sucesiones más comunes como lo son las progresiones aritméticas y geométricas que se estudian en la educación secundaria, ya que teniendo conocimiento de cómo los seres humanos han adquirido su sabiduría sobre ciertos hechos y conceptos, estaremos en mejor disposición de juzgar cómo los alumnos adquieren tal conocimiento y de esta manera procederemos de la mejor manera en el momento de enseñar.

BIBLIOGRAFÍA

• Ángel Ruiz, Historia y filosofía de las matemáticas.• Miguel A. Pérez. Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a

través de sus personajes.• Ángel Pulpon, Historia del pairo de rhind y similares.• Manuel Ortega Pérez (2012) .Unidad didáctica. Sucesiones matemáticas.

Progresiones aritméticas y geométricas.• Colette, J. P. (1985).Historia de las matemáticas.• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/

EDAD_3eso_progresiones/3eso_quincena5.pdf

IMAGENEShttp://www.pocoyo.com/blog-en/wp-content/uploads/2011/02/Pensando.jpghttps://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/zenon/Aqulies_tras_la_tortuga.jpghttp://

www.iesmateoaleman.es/espa/act/unidad4/tema_5/contenido/ODE-474bbb67-77e3-3d11-ba08-c27e9efc4e8d/5.1.FibonacciRabbit-2.png

http://www.epsilones.com/material/paradojas/012-dicotomia.gifhttp://www.egiptologia.cl/difusion/img/ciencia_01.gifhttp://

educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/1750/1998/html/Malthus.ggb_copia.pn

http://www.monografias.com/trabajos38/origen-numeros/Image8929.gifhttp://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/sucesiones/nivel1/img/serie.gif