programación lineal entera binaria

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Programación Lineal Entera Binaria



Estudiamos el problema de Programación Lineal en números enteros en el que las variables solo puedan tomar los valores «0» y «1».

Su resolución no se hará mediante algoritmos sino mediante las funciones Maximize[ ]/Minimize[ ] ó Nmaximize[ ]/Nminimize[ ].

Como ejemplo damos el Problema de la Mochila de interesantes aplicaciones a la Economía.


Introducción

Consideremos el problema:

en el que todas o algunas variables tomen valores enteros.

Si las variables de decisión solo pueden tomar los valores 0 ó 1, entonces se llamarán binarias y el problema

será de P.L. Entera Binaria:


Ejemplo:

Una empresa está estudiando la posibilidad de expansión mediante la construcción de una nueva fábrica ya

sea en Ciudad 1 ó en Ciudad 2 ó en ambas ciudades. Si construye una fábrica en la Ciudad x, se puede

construir un almacén en dicha Ciudad, pero solo se construiría uno.

La siguiente tabla muestra el beneficio aportado por la inversión y los costes. El capital total disponible es de

10 um.

Se pide encontrar la solución que maximiza el beneficio total.

Decisión ¿Si/No? Beneficio Coste

1 Fábrica Ciudad 1

9 6

2 Fábrica Ciudad 2

5 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2


En este ejemplo, al ser sencillo, podemos estudiar exhaustivamente todas las combinaciones posibles (n=número de variables, en nuestro caso = 16 casos posibles) y elegir la que sea más conveniente:


Casos Fábrica1

Fábrica 2

Almacén 1

Almacén 2

1 S S S S

2 S S S N

3 S S N S

4 S N S S

5 N S S S

6 S S N N

7 S N S N

8 N S S N

9 S N N S

10 N S N S

11 N N S S

12 S N N N

13 N S N N

14 N N S N

15 N N N S

16 N N N N


Casos Fábrica1

Fábrica 2

Almacén 1

Almacén 2

Bene-ficio

Coste ¿Admisi-ble?

1 S S S S

2 S S S N 20 14 NO

3 S S N S 18 11 NO

4 S N S S

5 N S S S

6 S S N N 14 9 SI

7 S N S N 15 11 NO

8 N S S N

9 S N N S

10 N S N S 9 5 SI

11 N N S S

12 S N N N 9 6 SI

13 N S N N 5 3 SI

14 N N S N

15 N N N S

16 N N N N 0 0 SI


Casos Fábrica1

Fábrica 2

Almacén 1

Almacén 2

Bene-ficio

Coste ¿Admisi-ble?

1 S S S S

2 S S S N 20 14 NO

3 S S N S 18 11 NO

4 S N S S

5 N S S S

6 S S N N 14 9 SI7 S N S N 15 11 NO

8 N S S N

9 S N N S

10 N S N S 9 5 SI

11 N N S S

12 S N N N 9 6 SI

13 N S N N 5 3 SI

14 N N S N

15 N N N S

16 N N N N 0 0 SI


Este problema puede ponerse en P.L. Entera:

- Variables de decisión: x1,x2,x3,x4:




x1=construir fábrica en ciudad 1, x2=construir fábrica en ciudad 2





x3=construir almacén en ciudad 1, x4=construir almacén en ciudad 2






Son variables binarias (0 ó 1) según que la decisión sea afirmativa (xi=1) ó negativa (xi=0)







- Función objetivo: Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4









1 Fábrica Ciudad 1

9 6

2 Fábrica Ciudad 2

5 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2








- Restricciones:

- Limitaciones de capital: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10








- Restricciones:



1 Fábrica Ciudad 1

9 6

2 Fábrica Ciudad 2

5 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2








- Restricciones:


- Solo se construye un almacén: x3 + x4 ≤ 1








- Restricciones:


- Solo se construye un almacén: x3 + x4 ≤ 1

- Se construye el almacén solo si se construye la fábrica :

x3 ≤ x1 , x4 ≤ x2


Luego el modelo es:

Maximizar 9x1 + 5x2 + 6x3 + 4x4Sujeta a: 6x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 10 x3 + x4 ≤ 1

x3 ≤ x1 x4 ≤ x2

Hemos de añadir las siguientes restricciones:Las variables son enteras:

Las variables solo pueden tomar los valores 0 ó 1:


Lo resolvemos con Mathematica:

Que nos indica que el beneficio se maximiza construyendo solo las fábricas 1 y 2 y ningún almacén.

Hemos obtenido el mismo resultado que por el método extensivo.



1 Fábrica Ciudad 1

9 6

2 Fábrica Ciudad 2

5 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2


1 Fábrica Ciudad 1 9 62 Fábrica Ciudad

25 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2 9 2

Cambiemos ahora algunos datos:




25 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2


1 Fábrica Ciudad 1 4 6

2 Fábrica Ciudad 2

5 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2




25 3

3 Almacén Ciudad 1

6 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2



25 3

3 Almacén Ciudad 1

6 24 Almacén Ciudad

24 2



1 Fábrica Ciudad 1 9 62 Fábrica Ciudad 2 5 33 Almacén Ciudad

16 5

4 Almacén Ciudad 2

4 2

El capital total disponible es de 10 um.

El capital total disponible es de 11 um


En el siguiente mini-video veremos El Problema de la Mochila

Mini-video 2 de 2



Introducción

Consideremos el problema:

en el que todas o algunas variables tomen valores enteros.

Si las variables de decisión solo pueden tomar los valores 0 ó 1, entonces se llamarán binarias y el problema

será de P.L. Entera Binaria:


El Problema de la Mochila

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_mochila

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_mochila


Ejemplo 1

Sea una empresa que fabrica objetos de papelería, que en el ejercicio económico que se cierra ha obtenido un excedente de

10.000 €; se plantea invertir esta cantidad (o parte de ella) en algunos productos, teniendo en cuenta que los beneficios son:

Lápices de colores con un beneficio de 11.000 €

Gomas de borrar con un beneficio de 9.000 €

Carboncillos con un beneficio de 1.000 €

Por otra parte, los costes son:

Coste de las instalaciones para fabricar lápices de colores: 10.000 €

Coste de las instalaciones para fabricar gomas de borrar: 6.000 €

Coste de las instalaciones para fabricar carboncillos: 4.000 €


Queremos elegir alguno (o varios) de los productos anteriores. Parece lógico tener en cuenta la relación bi/ci en el que

consideramos los beneficios y los costes a la vez (algoritmos voraces):

En nuestro ejemplo, si calculamos este ratio, obtenemos:

Lápices de colores: 11.000/10.000 = 1.1

Gomas de borrar: 9.000/6.000 = 1.5

Carboncillos: 1.000/4.000 = 0.25

De forma que elegiríamos primero “Gomas de borrar” pues su ratio es el mayor (con un coste de 6.000 €); el siguiente ratio

(1.1) sobrepasa el peso de la mochila máximo, por lo que elegimos “carboncillos” (con un coste de 4.000 €), no pudiendo

elegir más, ya que nuestro presupuesto era de 10.000 €.


Con esta solución, el beneficio obtenido es de 9.000+ 1.000= 10.000 €.

Como veremos más adelante, si este problema se resuelve por técnicas de Programación Lineal, la solución obtenida no es la misma, resulta que elegimos “Lápices de colores”, el cual nos proporciona un beneficio mayor, 11.000 €.

En este ejemplo, al ser sencillo, podemos estudiar exhaustivamente todas las combinaciones posibles (n=número de variables, en nuestro caso = 8 casos posibles) y elegir la que sea más conveniente:


Lápices Gomas Carboncillos Coste Beneficio Admisibles

1 Si Si Si 20.000 21.000 No2 Si Si No 16.000 20.000 No

3 Si No Si 14.000 12.000 No4 No Si Si 10.000 10.000 Si5 Si No No 10.000 11.000 Si6 No Si No 6.000 9.000 Si7 No No Si 4.000 1.000 Si8 No No No 0 0 Si


Formulación mediante Programación Lineal

Llamaremos:

n : número de objetos entre los que se puede elegir.

ci : peso del objeto “i”; ci representa el coste de escoger un objeto, pues va a ocupar “espacio de la mochila” y dejará fuera

otros objetos.

bi: utilidad o beneficio que proporciona cada objeto.

P: capacidad de la mochila, lo que equivale al presupuesto máximo del que se dispone.

Las variables del problema, xi, son binarias, es decir, sólo pueden tomar dos valores:

• El valor “1” si el objeto se incluye en la mochila

• El valor “0” si el objeto se excluye de la mochila


Hemos de maximizar el beneficio total: b1x1+…+bnxn

Pero estamos sujetos a la restricción de la capacidad de la mochila, es decir: c1x1+…+cnxn P

Luego el problema le formulamos como:

n,,1i],1,0[x

Pxc:aSujeta

xbMaximizar

i

n

1iii

n

1iii


Ejemplo 1 mediante Programación Lineal:

x1: lápices de colores, x2: gomas de borrar, x3: carboncillos

Objetivo: Maximizar 11000 x1+9000 x2+1000 x3

Restricciones: 10000 x1+6000 x2 + 4000 x310000

x1,x2,x3 [0,1]

x1,x2,x3 Z






x1,x2,x3 [0,1]

x1,x2,x3 Z

Beneficio CosteLápices 11.000 € 10.000 €

Gomas 9.000 € 6.000 €

Carboncillos 1.000 € 4.000 €

10.000






x1,x2,x3 [0,1]

x1,x2,x3 Z






x1,x2,x3 [0,1]

x1,x2,x3 Z

En resumen:

Mediante “algoritmos voraces”, fabricar gomas de borrar y carboncillos con un beneficio de 10.000 €.

Solución mediante el “problema de la mochila”: fabricar solo lápices con un beneficio de 11.000 €.


Ejemplo 2

Una empresa dispone de un millón de euros para invertir en nuevos proyectos. En concreto dispone de 3 nuevos proyectos

posibles. En la siguiente tabla aparece el coste que supone cada uno de ellos, así como el beneficio que se espera de su

realización. La empresa desea saber en cuál debe invertir si quiere maximizar su beneficio esperado sin superar su

presupuesto:

Coste inversión Beneficio esperadoProyecto 1 500.000 1.750.000Proyecto 2 600.000 2.000.000

Proyecto 3 400.000 1.500.000Proyecto 4 550.000 1.900.000


Si utilizamos para resolverlo el “razonamiento lógico” que consiste en elegir, en primer lugar, aquel que ofrezca un mayor

ratio:

Beneficio esperado / Coste de inversión


Si utilizamos para resolverlo el “razonamiento lógico” que consiste en elegir, en primer lugar, aquel que ofrezca un mayor

ratio:

Beneficio esperado / Coste de inversión

De tal forma que elegiríamos los Proyectos 3 y 1 (no podemos más ya que elegir el 4 supondría un coste mayor del millón de

euros), con un beneficio esperado de 1.500.000+1.750.000 = 3.250.000 €


Para resolverlo mediante Programación Lineal, llamamos xi a una variable binaria que toma el valor 1 si se elige el proyecto i

( i = 1, 2, 3, 4) y cero en caso contrario.

La formularemos:

Maximizar 1.75 106

x1+2 106

x2+1.5 106

x3+1.9 106

x4

Sujeta: 0.5 106

x1+0.6 106

x2+0.4 106

x3+0.55 106

x4 ≤ 106

x1, x2, x3, x4 [0,1]

x1, x2, x3, x4 Z




La formularemos:

Maximizar 1.75 106

x1+2 106

x2+1.5 106

x3+1.9 106

x4

Sujeta: 0.5 106

x1+0.6 106

x2+0.4 106

x3+0.55 106

x4 ≤ 106

x1, x2, x3, x4 [0,1]

x1, x2, x3, x4 Z

Coste inversión Beneficio esperado

Proyecto 1 500.000 1.750.000

Proyecto 2 600.000 2.000.000

Proyecto 3 400.000 1.500.000

Proyecto 4 550.000 1.900.000




La formularemos:

Maximizar 1.75 106

x1+2 106

x2+1.5 106

x3+1.9 106

x4

Sujeta: 0.5 106

x1+0.6 106

x2+0.4 106

x3+0.55 106

x4 ≤ 106

x1, x2, x3, x4 [0,1]

x1, x2, x3, x4 Z




La formularemos:

Maximizar 1.75 106

x1+2 106

x2+1.5 106

x3+1.9 106

x4

Sujeta: 0.5 106

x1+0.6 106

x2+0.4 106

x3+0.55 106

x4 ≤ 106

x1, x2, x3, x4 [0,1]

x1, x2, x3, x4 Z

El beneficio esperado es de 3.500.000€, 250.000 € mas que por el método anterior.


Ejemplo 3

El Club Baloncesto Unicaja de Málaga quiere contratar uno o varios jugadores nuevos; para ello, ha sondeado el mercado y

ha encontrado a 5 jugadores, sabiendo que el club dispone de un presupuesto máximo de 50.000 €/ mes. En la siguiente

tabla aparece una relación de los candidatos a ser fichados junto con su aportación esperada y el sueldo que percibirían:

Sueldo Aportación

Jugador 1 50.000 15Jugador 2 25.200 8Jugador 3 36.000 15Jugador 4 47.000 17Jugador 5 12.000 7


Resolviendo mediante programación lineal:

Maximizar 15x1+8x2+15x3+17x4+7x5

Sujeta a: 50 103

x1 + 25.2 103

x2 + 36 103

x3 + 47 103

x4 + 12 103

x5 ≤ 50 103

x1, x2, x3, x4, x5 [0,1]

x1, x2, x3, x4, x5

O dividiendo la primera restricción por 1000:

Maximizar 15x1+8x2+15x3+17x4+7x5

Sujeta a: 50 x1 + 25.2 x2 + 36 x3 + 47 x4 + 12 x5 ≤ 103

x1, x2, x3, x4, x5 [0,1]

x1, x2, x3, x4, x5 Z


Obtenemos entonces que sería rentable la contratación de los jugadores 3 y 5 con un coste de 36000+12000=48000€/mes,

cantidad menor que la permitida de 50000€/mes


Obtenemos que sería rentable la contratación de los jugadores 3 y 5 con un coste de 36000+12000=48000€/mes, menor que

la permitida de 50000€/mes

Podríamos escoger como criterio el ratio "Aportación/Sueldo", ya que tenemos en cuenta ambos factores en la decisión:

cuanto más alto sea este ratio, preferible será contratar a este jugador. Reconsideraremos el sueldo, dividiéndolo por 1.000

para hacer el ratio más operativo:

Sueldo Aportación Aportación / Sueldo

Jugador 1 50 15 0,3000Jugador 2 25,2 8 0,3175Jugador 3 36 15 0,4167Jugador 4 47 17 0,3617Jugador 5 12 7 0,5833


Como hemos dicho, escogeremos aquellos jugadores con mejor ratio hasta agotar el presupuesto:

Jugador 5: ratio =0,58333, sueldo = 12.000 €

Jugador 3: ratio =0,41666, sueldo = 36.000 €


Como el total disponible era de 50.000 € y tenemos acumulado 48.000 €, no hay más jugadores cuyo sueldo pueda entrar en

presupuesto, así que éste es nuestro resultado definitivo por este método, resultado que coincide con el obtenido mediante

Programación Lineal.

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