Clase # 15

PROGRAMACIN ENTERA

FORMULACIN

1. PROGRAMACIN ENTERA: P.E.

Programacin Lineal con la restriccin adicional

de que los valores de las variables de decisin son

enteros. (vs suposicin de divisibilidad)

P.E Pura: Todas las variables de decisin tienen valores enteros.

P.E Mixta (PEM): Algunas de las variables de decisin tienen valores enteros. Las dems

toman valores reales o continuos (cumplen con la

suposicin de divisibilidad).

2. PROGRAMACIN BINARIA: P.B.

(Programacin Dual o Programacin 0-1)

Utiliza variables binarias:

Las Xj son variables de decisin restringidas a

tomar valores 0,1.

Xj =

1 si la decisin j es si.

0 si la decisin j es no.

Slo tiene 2 alternativas posibles

PEM: Panacea de la optimizacin

3. Ejemplo 1: Programacin Binaria

La CALIFORNIA MANUFACTURING CO.

est analizando la posibilidad de expansin.

Fbrica: Construccin de una fbrica en Los

Angeles o en San Francisco, o tal vez en ambas

ciudades

Almacn: Construccin de un almacn a lo

sumo, pero la decisin est restringida a que si

hay almacn es porque hay fbrica en ese sitio.

Veamos

Pregunta s o no Capital

Requerido

($ milln)

# de

decisin

Variable

de

decisin

VNP

Beneficio

($ milln)

Capital disponible: $10 millones

1 Construir fbrica

en Los Angeles? X1 9 6

2 Construir fbrica

en San Francisco? X2 5 3

3 Construir almacn

en Los Angeles? X3 6 5

4 Construir almacn

en San Francisco? X4 4 2

14-6

Variables de decisin.

Formulacin del modelo:

j = 1, 2, 3, 4.

Xj =

1 se construye.

0 no se construye.

La variable de decisin Xj es tal que:

Funcin objetivo.

Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4

Como las variables de decisin son

adimensionales, Z tiene unidades de

[$ millones]

Restricciones

X3 + X4 1

X3 X1 Se construye el almacn solo si se construye la fbrica

X4 X2

Xj [0,1] para j= 1, 2, 3, 4.

6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 10 Capital

disponible

Alternativas condicionales o contingentes

Alternativas mutuamente excluyentes: max 1 almacen

El modelo completo ser:

Max Z = 9 X1 + 5 X2 + 6 X3 + 4 X4

X3 + X4 1

-X1 + X3 0

-X2 + X4 0

Xj [0,1] para j= 1, 2, 3, 4.

6X1 + 3X2 + 5X3 + 2X4 10

4. VARIABLES AUXILIARES BINARIAS

4.1 Seleccionar una de dos restricciones.

Slo una (cualquiera) de las 2 restricciones

debe cumplirse. La otra puede o no cumplirse,

pero no se requiere que lo haga.

Aplicacin prctica:

Casos en que se tienen 2 tipos de recursos

alternativos para un cierto propsito.

Ejemplo: o bien 3 X1 + 2X2 18

o X1 + 4X2 16 Veamos

0 2 4 6 8 10 12 14 16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X1

X2

3 X1 + 2X2 = 18

X1 + 4X2 = 16

Formulacin: Para lograr lo enunciado

anteriormente el modelo puede formularse as:

3 X1 + 2X2 18 + M

X1 + 4X2 16

3 X1 + 2X2 18

X1 + 4X2 16 + M

Una de las dos O una de las dos

Esto se lleva a la forma equivalente

3 X1 + 2X2 18 + My

X1 + 4X2 16 + M (1-y) y [0,1]

4.2 Deben cumplirse K de N restricciones.

Seleccionar K de N restricciones

Considere la situacin en la que el modelo

completo incluye un conjunto de N

restricciones posibles entre las que slo K de

ellas se deben cumplir. (suponga que K < N).

Las N-K restricciones que no se eligen quedan

eliminadas del problema, aun cuando por

coincidencia las soluciones factibles puedan

satisfacer algunas de ellas.

Veamos

14-14

f1 ( x1 , x2 , ........., xn ) d1

f2( x1 , x2 , ........., xn ) d2

fN( x1 , x2 , ........., xn ) dN

Se tienen N restricciones del tipo

14-15

f1 ( x1 , x2 , ........., xn ) d1+ My1

f2( x1 , x2 , ........., xn ) d2 + My2

fN( x1 , x2 , ........., xn ) dN + MyN

La formulacin equivalente del requerimiento de

que K de estas restricciones se deban cumplir ser:

yi [0,1] para i = 1, 2, ..., N.

yi = N-K i=1

N Yi = 0 indica que la restriccin se cumple

14-16

4.3 Funciones con N valores posibles.

Considere la situacin en la que una funcin

dada tome cualquiera de N valores dados.

Denotemos este requisito as:

sigue

f ( x1 , x2 , ..., xn ) = d1 , o d2 , ..., o dN

El caso especial en que f(x) sea lineal, se tiene:

f (x1, x2, ..., xn ) = ajXj = d1 o d2 ... j=1 n

14-17

La formulacin equivalente de este

requerimiento ser:

f ( x1 , x2 , ........., xn ) = dj yj

j=1

N

yi = 1 i=1

N

yi [0,1] para i= 1,2,....., N.

14-18

4.4 El Problema de costo fijo.

Es bastante comn incurrir en un costo fijo cuando se

emprende una actividad.

Por ejemplo: Cuando se inicia una corrida de un lote

de produccin y deben prepararse las instalaciones.

(existen algunos costos fijos y otros variables).

sigue

fj (Xj) = kj + cjXj si Xj > 0

0 si Xj = 0

El costo total de la actividad j puede representarse

por una funcin de la forma:

14-19

Min Z = (cjXj + kjYj) j=1

n

Yj =

1 si Xj > 0

0 si Xj = 0 .

s. a.

Restricciones originales

Xj MYj Yj binaria

La F. O.: Minimizar Z = f1(x1)+ f2(x2) + ... + fn(xn)

Puede expresarse como:

Usando variables auxiliares binarias

20

Para que cierta variable X1 pueda tomar un valor positivo,

es necesario que otra variable X2 exceda cierto valor

umbral a

X1 MY

X2 aY

Donde M es un nmero positivo grande

Y es una variable binaria.

Si Y =1 X2 ,cumple el umbral

4.5. Condicionales de umbral

21

4.6. Intervalos de Encendido-Apagado(On-Off)

X tome el valor de 0 est en el intervalo fijo

entre a y b.

ay X by

y es una variable binaria.

Si y =1, X est en el rango, de lo contrario es 0

14-22

5. Ejemplo 2: P.E.M

La divisin de investigacin y desarrollo de una

compaa manufacturera ha desarrollado 3 nuevos

productos y dispone de 2 plantas para fabricarlos.

Se quiere evitar la diversificacin excesiva de la lnea

de productos y por ello solo se fabricarn mximo 2

de los 3 productos desarrollados, y slo se utilizar

una de las plantas.

sigue

14-23

Horas por unidad

de Producto

Planta 1

Horas disponibles

por semana

2

1 2 3

Ganancia

unitaria

Ventas

potenciales

3 4 2 30

4 6 2 40

5 7 3

7 5 9

Miles de US$

Unidades por semana

Pasemos ahora a formular el modelo

14-24

Xj: Tasa de produccin del producto j

J = 1, 2, 3

Funcin objetivo.

Max Z = 5X1 + 7X2 + 3X3

Variables de decisin.

14-25

Restricciones

3X1+ 4X2 + 2X3 30 Planta 1

Xj 0 para j = 1, 2, 3.

4X1+ 6X2 + 2X3 40 Planta 2

X1 7 producto 1

X2 5 producto 2

X3 9 producto 3

14-26

Not UD algo raro

en la formulacin del modelo?

Pueden usarse variables binarias para formular

adecuadamente algunas restricciones.

Veamos

Faltan restricciones !!!

CULES?

14-27

Recuerde que slo se pueden fabricar hasta 2 de

los 3 productos.

Se introducen 3 variables auxiliares binarias:

y1, y2, y3 tales que:

Yj =

1 si Xj > 0 se puede cumplir (se puede producir j)

0 si Xj = 0 se debe cumplir (no se puede producir j)

para j = 1, 2, 3. sigue

14-28

Con la ayuda de la M grande puede obtenerse:

X1 My1

X2 My2

X3 My3

y1+ y2 + y3 2

yi es binaria para i = 1, 2, 3

14-29

Recuerde que slo se puede utilizar una de

las 2 plantas.

Se introduce la variable binaria y4 tal que:

Y4=

1 si 4X1+ 6X2 + 2X3 40 Debe cumplirse (se elige la planta 2)

0 si 3X1+ 4X2 + 2X3 30 Debe cumplirse (se elige la planta 1)

sigue

14-30

Con la ayuda de la M grande puede obtenerse:

4X1+ 6X2 + 2X3 40 + M (1- y4)

3X1+ 4X2 + 2X3 30 + My4

La formulacin del modelo completo ser:

y4 es binaria

14-31

Max Z = 5X1 + 7X2 + 3X3 s.a

X1 7

X2 5

X3 9

X1 - My1 0

X2 - My2 0

X3 - My3 0

y1+ y2 + y3 2

4X1+ 6X2 + 2X3 - M(1- y4) 40

3X1+ 4X2 + 2X3 - My4 30

yi es binaria para j = 1, 2, 3, 4 Xj 0 para todo j