programa - uv...soluciones retardadas • 8.4 campos de radiación • 8.5 radiación de sistemas...

1

V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo

Programa

• 8.1 Introducción• 8.2 Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste• 8.3 Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas• 8.4 Campos de radiación• 8.5 Radiación de sistemas sencillos: el dipolo eléctrico y el dipolo

magnético

Lección 8Los potenciales electromagnéticos

2


Programa Lección 8

Los potenciales electromagnéticos

BIBLIOGRAFÍA

Griffiths Lección 9Jackson Lección 6 y 9Pomer Lección 13Reitz - Milford -Christy Lección 16

3



Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste

0

)(ερ r

Err

=∇ 0=∇Br

0=∂∂

+∇tBExr

rJ

tEBx

rr

r000 µµε =

∂∂

−∇

0)( =∂∂

+∇tAExr

rAxBrr

∇=tAE∂∂

−−∇=r

rφ

φ−∇=∂∂

+tAEr

r

4


Los potenciales electromagnéticosLos potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste

0

)(ερ

φ =∂∂

−−∇∇tAr

0

2 )(ερ

φ −=∂∇∂

+∇tAr

0

)(ερ r

Err

=∇tAE∂∂

−−∇=r

rφ

tEJBx ooo ∂∂

−=∇r

rrεµµ

)()( 2

tAJ

tEJAAAxx oooooo ∂

∂−−∇−=

∂∂

−=∇−∇∇=∇∇r

vv

vrrrφεµµεµµ

))( 2AAAxxrrr

∇−∇∇=∇∇

Jt

AtAA ooooo

vrr

rµ

φεµεµ −=

∂∂

+∇∇−∂∂

−∇ )()( 2

22

AxBrr

∇=

5


),();,( '' AArr

φφ αrrr

+= AA ' βφφ +='

0=∇ αrx λα ∇=

r

tAE∂∂

−−∇=r

rφ

0=∂∂

+∇tα

βr

0)( =∂∂

+∇tλ

β )(tKt+

∂∂

−=λ

β

λ∇+= AArr

't∂

∂−=

λφφ '

Los potenciales electromagnéticos. Transformaciones de contraste


6



Transformación (gauge) de Coulomb

0=∇Ar

0

2

ερ

φ −=∇

∫= dvRρ

επφ

041

tAE∂∂

−−∇=r

rφ

tJ

tAA ooooo ∂

∂∇+−=

∂∂

−∇φ

εµµεµv

rr

)( 2

22

7



Transformación (gauge) de Lorentz

tA oo ∂

∂−=∇

φεµ

r

8



Ecuación de ondas para los potenciales. Soluciones retardadas

02

22

ερφ

εµφ =∂∂

−∇too

JtAA ooo

vr

rµεµ −=

∂∂

−∇ 2

22

9


Satisfacen las soluciones retardadas el gauge de Lorentz

02

2

22 1

ερφ

φ −=∂∂

−∇tc J

tA

cA

rr

r02

2

22 1

µ−=∂∂

−∇

( ) vdRrr ′′

= ∫ρ

πεφ

041)(

( ) vdRrJrA ′′

= ∫r

r

041)(πε


10


( )[ ] vdRrtr ′′

= ∫ρ

πεφ

041),( ( )[ ] vd

RrJtrA ′′

= ∫r

r

π

µ

4),( 0

( ) vdRtrtr

V

′′

≈ ∫1

,41),(0

1ρ

πεφ

01

2

ερ

φ −=∇

( )vd

RcRtr

trV

′−′

= ∫2

,

41),(0

2

ρ

πεφ



11


2

2

2

22

2 111RRR

RRRRR

RRRRR ∂

∂=

−

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=

∇

ρρ

ρρρRr φφφ 22

22 ∇=∇=∇

dvRR

dvR vv

∫∫

∂∂

=

∇=∇

22

2

2

0

2

02

2 141

41 ρ

επρ

επφ

( ) ondasdeecuaciónladesoluciónescRtr −′,ρ

2

2

22

2 1tcR ∂

∂=

∂∂ ρρ ( )

2

2

222

2

20

2

2

222 11,

411

2tctc

dvR

cRtr

tc v ∂

∂≈

∂∂

=

−′

∂∂

=∇ ∫φφρ

επφ

r



12


2

2

222 1

tc ∂

∂=∇

φφ

( ) ρε

φφφφ

02

2

22122 11

−∂

∂=+∇=∇

tc

Los potenciales electromagnéticosSatisfacen las soluciones retardadas el gauge de Lorentz

13


vdRcRtr

tr ′

−′

= ∫,

41),(0

ρ

πεφ

( )[ ] vdRrtr ′′

= ∫ρ

πεφ

041),(

( )[ ] vdRrJtrA ′′

= ∫r

r

π

µ

4),( 0

vdRtc

′

=∂∂

∫

•ρ

π

µφ4

1 02

RcRt i

i −=′∂( )[ ] ( )[ ] vd

RrJvd

RrJtrA

VV

′

∇′′−′

′∇=∇ ∫∫

144

),( 00 rr

r

π

µ

π

µ



14


( )[ ]cR

JRrJ

−=′∇

•rr

r

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JJcR

JRJt

tJJJ ttt

rr

rr

rr

rr∇−∇′=

+∇′=′∇′′∂

∂+∇′=∇′ ′

•

′′

0)( =

′∂

∂+∇′

′

′

tt t

J ρr[ ] [ ] [ ]J

tJ

rr∇′−

′∂∂

−=∇ρ



15


[ ] [ ] vdRJvd

Rvd

RJ

VVV

′∇′−′

−=′∇

∫∫∫

•rr

π

µρ

π

µ

π

µ

444000

[ ] [ ] vdR

JvdRJ

tcA

VV

′

∇′−′

∇′−=

∂∂

+∇ ∫∫1

441 002

rr

r

π

µ

π

µφ



[ ] [ ] [ ] [ ] 044

144

0000 =′

−=′

∇′−=′

∇′−′

∇′− ∫∫∫∫

∞

SdRJvd

RJvd

RJvd

RJ

SVVV

rrr

rr

π

µ

π

µ

π

µ

π

µ

16


[ ] [ ] vdRJxvd

RRxJAx

VV

′∇+′=∇ ∫∫

rrrr

π

µ

π

µ

440

30

[ ]cRRxJJxtJxr

rrr

=

′∇=∇

••

[ ] vdR

RxJ

cvd

RRxJtrB

VV

′

+′= ∫∫

•

20

30

44),(

rrr

rrr

π

µ

π

µvd

R

J

tA

V

′

−=∂∂

− ∫

•rr

π

µ

40

Los potenciales electromagnéticosCampos de radiación

17


[ ] vdR

R

cvd

RR

VV

′

+′=∇− ∫∫

•

20

30 4

141

rr ρ

περ

επφ

[ ]( ) [ ]JcR

JRJ

t tr

rr

r∇′−

=∇′−=′∂

∂

•

′ρ [ ]( )∫∫∫ ′

∇′−′

=′

••

VVV

vdRRJvd

cRRJvd

RR

232

rr

rr

r

ρ

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]∫ ∫∫∫∫ ′−′=′∇′−′

∇′=′

∇′

V VVVV

vdRRJvd

RJvd

RRJvd

RRJvd

RRJ 42222 2

rrrrr

rr

rr


18


[ ]−′

+′= ∫∫

•

vdR

RRJ

cvd

RRtrE

VV32

03

0 41

41),(

rrrr

rr

περ

επ

[ ] ( ) vdRRJ

cvd

RJ

cvd

R

J

VVV

′−′+′

− ∫∫∫

•

40

20

0

42

41

4

rrrr

πεπεπ

µ

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]JRRRJRxJxRRJRrrrrrrrrrr 22 −=−


19


[ ] [ ]( ) [ ]( ) vdR

RxRxJ

vdR

RxJxRRRJc

vdRRtrE

VVV

′

+′−

+′= ∫∫∫

•

30

40

30 44

141),(

rrrrrrrrrr

rr

πµ

περ

επ

vdR

RxJ

ctrB

Vrad ′

= ∫

•

20

4),(

rr

rr

π

µvd

R

RxRxJ

trEV

rad ′

= ∫

•

30

4),(

rrr

rr

πµ


20


( )vd

Rerevd

Rertr

V

cRiti

V

cRti

′′

=′′

= ∫∫−−− ω

ωωω

ω ρεπ

ρεπ

φ)(

4)(

41),(

00

rrr

vdRertr

V

ikR′

′= ∫

)(41),(0

rr ω

ωρ

επφ vd

RerJrA

V

ikR′

′= ∫

)(4

)( 0rr

rr ωω π

µ

( ) ( ) vdRekxkxJ

kci

vdR

eRxRxJikcrE

V

ikR

V

ikR

rad ′−=′−= ∫∫rrrrrr

rr ωωω π

µ

π

µ

44)( 0

30

vdRekxJi

vdReRxJik

rBV

ikR

V

ikR

rad ′−=′−= ∫∫rrrr

rr ωωω π

µ

π

µ

44)( 0

20


tiertr ωωρρ −= )(),( rr

21


dtpdld

dtdqlid

rrr→′=

[ ] ( )R

cRtp

R

pvd

RlditrA

π

µ

π

µ

π

µ

444),(

000

−

=

→′′

=

••

∫rr

rr

3

0

2

0

3

00

2 44441

R

Rp

cR

Rp

R

Rp

R

pA

tc π

µ

π

µ

π

µ

π

µφ

rrrrrrrr

+

=

+

∇

−=−∇=∂∂

•••••

Los potenciales electromagnéticosRadiación de sistemas sencillos:

el dipolo eléctrico y el dipolo magnético

22


[ ]2

03

0 44 cR

Rp

RRp

πεπεφ

rrrr

+=

•

2

0

3

0

44 cR

Rxp

R

RxpB

π

µ

π

µrrrr

r

+

=

•••

[ ] [ ] [ ] [ ] =−+

∂=

∂ +2

,nji

jnji

jnj

jinjj

i RRR

pnR

pRR

pRRp δ

[ ] [ ]( )12 +

•

+

−−= n

i

ni

nj

cR

RRp

RRRpn

Rp

rrrr



23


[ ] [ ] [ ]( )12 +

•

+

−−=

∇ nnn cR

RRp

RRRpnp

RRp

rrrrrrrrr

[ ]( ) [ ]( )32

04

0

2

50

2

44

3

43

Rc

RRp

cR

pRRRp

RpRRRp

επεπεπφ

rrrrrrrrrrr

+

−

+−

=∇−

••••

[ ]( ) [ ]32

04

0

2

50

2

44

3

43

Rc

RxRxp

cR

pRRRp

RpRRRpE

επεπεπ

rrrrrrrrrrrr

+

−

+−

=

••••



24




3

2

0

4 RRxu

c

pRpB

rrr

rr

+

=

••

•

πµ

[ ] ( ) ( )32

05

0

2

443

RcRxRxup

RuRRRu

c

pRpE

επεπ

rrrr

rrrrr

rr

+

−

+=••

•

programa - uv...soluciones retardadas • 8.4 campos de radiación • 8.5 radiación de sistemas...

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