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Progetto lauree scientifiche Problemi classici della geometria. Costruzioni con riga e compasso. Liceo Scientifico Liceo Scientifico con opzione Scienze applicate Liceo Classico “Federico Quercia” Marcianise (CE). - PowerPoint PPT Presentation

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Problemi classici della geometria

Progetto lauree scientifiche

Problemi classici della geometriaCostruzioni con riga e compassoLiceo ScientificoLiceo Scientifico con opzioneScienze applicateLiceo ClassicoFederico QuerciaMarcianise (CE)

Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare segmenti ed angoli servendosi esclusivamente di una riga e di un compasso idealizzati, ossia non graduati, senza quindi la possibilit di poter far riferimento alle tacche della riga per prendere misure o di poter ripetere una data apertura che il compasso aveva avuto in precedenza. Il problema delle costruzioni con riga e compasso ha accompagnato gli sviluppi della geometria nella Grecia antica. Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano non nella forma genericamente esistenziale, ma in quella costruttiva. La geometria era inoltre utilizzata per risolvere quelli che per noi ora sono problemi algebrici.

Si dice che lo stesso Euclide utilizz tale metodo di costruzione negli Elementi, come dimostrano i primi tre postulati del libro primo che sono alla base dellutilizzo di rette e cerchi. possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto; possibile prolungare illimitatamente in linea retta un segmento finito; possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio.

Indice I tre grandi problemi dellantichit.Semplici costruzioni con riga e compasso. Costruzioni di poligoni regolari.Risoluzioni alternative dei tre grandi problemi dellantichit.

4I tre grandi problemi dell'antichit

La quadratura del cerchio consiste nel costruire un quadrato della stessa area di un cerchio dato; la duplicazione del cubo consiste nel costruire un cubo di volume doppio rispetto a quello dato; la trisezione dell'angolo consiste nel dividere un angolo in tre parti uguali. Dunque il primo problema riguarda le aree, il secondo i volumi, il terzo gli angoli. Gli studiosi greci di geometria ammettevano soltanto per i loro metodi, l'uso della riga e del compasso, in quanto la riga una linea retta; il compasso il cerchio.

la quadratura del cerchiola duplicazione del cubo la trisezione dell'angolo La quadratura del cerchio

Gi a Babilonia e in Egitto i matematici si erano interessati ai rapporti che univano il cerchio e il quadrato. Nel pi antico testo matematico che sia stato rinvenuto, lo scriba Ahmes si prefiggeva di trovare un quadrato equivalente a un cerchio dato, proponendo di prendere in considerazione un quadrato col lato uguale a otto noni del diametro del cerchio. Pi tardi, in Grecia, Anassagora fu il primo greco a interessarsi della questione, si trovava in carcere quando si dedic al problema della quadratura senza per giungere ad alcun risultato. Dopo il suicidio di Anassagora il problema della quadratura rimase irrisolto. In seguito fu la volta di Ippocrate di Chio, il quale riusc nella quadratura delle lunule alimentando cos speranze folli. Ma il primo che os trasgredire la legge della riga e del compasso fu Ippia di Elide che riusc a effettuare la quadratura del cerchio grazie alla 'quadratrice' che aveva messo a punto. La duplicazione del cubo La prima volta che si sent parlare di duplicazione del cubo, fu in occasione di una grande epidemia: La peste ad Atene. Una delegazione di ateniesi s'imbarc per Delfi, allo scopo d'interrogare l'oracolo perch indicasse loro un modo per porre fine all'epidemia. Loracolo sugger di duplicare l'altare consacrato ad Apollo nell'isola di Delo. L'altare di Apollo a Delo era celebre in tutta la Grecia per la sua forma. Infatti era un cubo. Gli ateniesi si recarono sull'isola e costruirono un nuovo altare, col lato doppio di quello antico. La peste continu, ma un saggio che passava di l fece notare che il nuovo altare non era grande il doppio di quello antico, bens otto volte pi grande. Gli ateniesi sbarcati sull'isola, decisero di distruggere il grande altare.

Sopra il vecchio altare, ne costruirono uno nuovo, identico sotto ogni aspetto a quello antico. Soddisfatti, tornarono ad Atene, ma la peste continu. Infatti ci che era doppio non era il volume di un unico altare, bens di due. Gli ateniesi accorgendosi di essere del tutto impotenti, decisero di fare appello ai pi grandi matematici del tempo. Archita di Taranto ci riusc realizzando l'intersezione tra un cono, un cilindro e un prisma; Menecmo, invece, utilizzando due coniche, un'iperbole e una parabola. Quattro secoli dopo Nicomede invent una curva a forma di spirale, la 'concoide', che fece meraviglie tanto per la duplicazione del cubo quanto per la trisezione dell'angolo. Queste costruzioni seppur geniali non erano realizzabili sul piano concreto, in quanto si servivano di elementi mobili.

La trisezione dellangolo Il metodo per bisecare langolo molto semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse altrettanto semplice poter dividere gli angoli in ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga e compasso che permettesse di dividere un angolo in tre parti uguali. Ben presto si accorsero che il problema era pi difficoltoso: in effetti, il problema risolvibile con riga e compasso solo per alcuni tipi di angoli, ma nel caso generale non pu essere risolto in modo classico come cercavano di fare gli antichi, tuttavia possibile risolverlo facendo uso di altre curve, come la curva ideata da Ippia nel V sec. a.C.

Semplici costruzioni con riga e compasso

Con lutilizzo di riga e compasso possibile effettuare la costruzione di alcuni semplici enti geometrici : Asse di un segmentoBisettrice di un angoloPerpendicolare da un punto ad una rettaSottomultipli di un segmentoAsse di un SegmentoCostruire due circonferenze i cui centri sono gli estremi del segmento dato e il raggio uguale alla lunghezza del segmento stesso.

2. Unendo i punti di intersezione delle due circonferenze si ottiene lasse.

Perpendicolare da un punto ad una retta

Descrivere una circonferenza avente centro in un punto esterno alla retta in modo da intersecarla in due punti.

2. Tracciare altre due circonferenze aventi come centro i punti di intersezione tra la prima circonferenza e la retta data e raggio uguale alla distanza dal primo centro.

3. Unire il punto dato con il punto dincontro delle altre due circonferenze ottenendo la perpendicolare.Bisettrice di un angolo Dato un angolo tracciare una circonferenza avente come centro lorigine dellangolo e raggio qualsiasi.

I due punti di intersezione della circonferenza con le semirette dellangolo saranno i centri delle circonferenze con raggio uguale alla distanza tra i due punti stessi.

3. Unire lorigine dellangolo con i due punti di intersezione delle due circonferenze.

Sottomultipli di un segmento

Dato un segmento, costruire una semiretta che abbia origine in uno dei suoi estremi.2. Descrivere una circonferenza che abbia centro in un punto qualsiasi della semiretta passante per il primo estremo.3. Descrivere altre circonferenze che abbiano centro nel punto di intersezione tra la circonferenza che la precede e la semiretta di raggio uguale alla distanza dal centro della circonferenza precedente.4. Unire lultimo punto di intersezione dellultima circonferenza con la semiretta,con il secondo estremo del segmento. A partire da questa retta tracciare le parallele passanti per i centri delle circonferenze che per il teorema di Talete dividono il segmento in n parti uguali.14Costruzione di poligoni regolari Fin dallantichit stato affrontato il problema delle costruzioni con riga e compasso applicato ai poligoni regolari di n lati. Il primo ad occuparsene fu Euclide che, negli Elementi, si interess, ai casi di poligoni con n=3, n=4, n=5,n=6 e n=15 esplicitamente, e ad un numero di casi addizionali implicitamente. Per gi per N=7 si incontrano grosse difficolt. Interessa dunque capire quali poligoni sono costruibili con riga e compasso e quali no. Fu il giovane Gauss nel 1796 a 19 anni che riusc a dimostrare che, se p un numero primo di Fermat, allora il poligono regolare con p lati costruibile con riga e compasso. I numeri di Fermat sono espressi dalla formula Solo i numeri ottenuti per n = 0,1,2,3,4 (i cui valori sono 3, 5, 17, 257, 65537) sono stati sinora verificati essere primi.

Teorema di Gauss-Wantzel Pi in generale Gauss prov che si possono costruire con riga e compasso poligoni regolari che abbiano un numero di lati scomponibile in:

dove k un numero intero non negativo ed i fattori pj sono numeri di Fermat primi distinti. Egli intu anche che la condizione suddetta doveva essere anche necessaria, ma la cosa venne provata solo pi tardi da Pierre Wantzel, nel 1836, risultato che prende il nome di teorema di Gauss-Wantzel.

GaussRisoluzioni alternative ai problemi classici

La trisezione dellangolo secondo Archimede

il problema della tripartizione trova soluzione con il seguente metodo di Archimede:dato langolo CK = X nella semicirconferenza di centro O e diametro CZ = 2r si voglia ricavare langolo y = (1/3) x. Si faccia in modo che la riga individui la retta che, passando per K, intersechi in A il prolungamento del diametro CZ in modo tale che il tratto esterno alla circonferenza AB sia uguale al raggio r. Si dimostra, in tal caso, che langolo y = BZ risulta pari a (1/3) x.Infatti : ABO un triangolo isoscele di lato rBOK un triangolo isoscele di lato rKOC un triangolo isoscele di lato rPoich ABO un triangolo isoscele avremo:BO = BA = y ; KB = 180 BA - CKKB = 180 ( x + y )La somma dei due angoli alla base del triangolo isoscele BK vale quindi ( x + y ); in particol

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