progetto lauree scientifiche

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Progetto lauree scientifiche Unità 2 Costruzione con riga e Costruzione con riga e compasso di poligoni compasso di poligoni iscritti in una iscritti in una circonferenza circonferenza A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano

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Progetto lauree scientifiche. Unità 2 Costruzione con riga e compasso di poligoni iscritti in una circonferenza. A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano. Sarà vero anche per il problema inverso?. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Progetto lauree scientifiche

Progetto lauree

scientificheUnità 2

Costruzione con riga e Costruzione con riga e compasso di poligonicompasso di poligoni

iscritti in una iscritti in una circonferenzacirconferenzaA cura di Maurizio Dini e Paola Gario

Dipartimento di Matematica“F. Enriques”

Università degli Studi di Milano

Page 2: Progetto lauree scientifiche

1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)

Poligoni regolari e circonferenze

Il Il problema problema

ha ha sempre sempre

soluzionesoluzione!!

Sarà vero anche Sarà vero anche per il problema per il problema

inverso?inverso?

Page 3: Progetto lauree scientifiche

2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)

Poligoni regolari e circonferenze

Ad Ad esempio esempio il 7-gono!il 7-gono!

Cosa sentono le mie Cosa sentono le mie orecchie!orecchie!

Ci sono poligoni regolari che Ci sono poligoni regolari che non si possono costruire con non si possono costruire con

R & C !R & C !

Carl F. Gauss 1777-1855

Page 4: Progetto lauree scientifiche

RIEPILOGANDO:1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)2° problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)

Il 1° problema ammette sempre soluzione.Il 1° problema ammette sempre soluzione.

Il 2° problema no.Il 2° problema no.

Poligoni regolari e circonferenze

Ne riparleremo la Ne riparleremo la prossima volta. prossima volta. Per ora fidatevi Per ora fidatevi

di Gauss.di Gauss.

Page 5: Progetto lauree scientifiche

Partiamo da una circonferenza e costruiamo il 6-gono (esagono regolare) con R & C.

Prime costruzioni

Provate Provate voi!voi!

Page 6: Progetto lauree scientifiche

Prime costruzioni

Ora, partendo dal 6-gono, Ora, partendo dal 6-gono, sapreste costruire un 12-sapreste costruire un 12-gono, un 24-gono, un 48-gono, un 24-gono, un 48-

gono, ... ?gono, ... ?

Basta Basta dimezzaredimezzare

!!

Page 7: Progetto lauree scientifiche

Abbiamo ottenuto così la Proprietà 1:

Se il k-gono regolare è costruibile con R & C Se il k-gono regolare è costruibile con R & C allora lo sono anche tutti i 2allora lo sono anche tutti i 2nnk-goni per ogni k-goni per ogni n>0.n>0.

Prime costruzioni

Page 8: Progetto lauree scientifiche

Prime costruzioniNon è difficile ricavare anche una seconda proprietà:

Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n.anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n.

Ad esempio il 30-gono:Ad esempio il 30-gono:

30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori.30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori.

2 otteniamo un 15-gono2 otteniamo un 15-gono3 otteniamo un 10-gono3 otteniamo un 10-gono5 otteniamo un 6-gono5 otteniamo un 6-gono6 otteniamo un 5-gono6 otteniamo un 5-gono10 otteniamo un 3-gono10 otteniamo un 3-gono

Unendo i suoi vertici uno ogniUnendo i suoi vertici uno ogni

Page 9: Progetto lauree scientifiche

Il triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono regolare sono costruibili con R & C.Una costruzione è presentata da Euclide nei suoi Elementi.

Il pentadecagono

Oddio...Oddio...Euclideee!Euclideee!

Ve la farò nella Ve la farò nella prossima prossima lezione!lezione!

La costruzione del 3-gono la La costruzione del 3-gono la sappiamo fare!sappiamo fare!

Quella del 5-gono fingiamo di Quella del 5-gono fingiamo di conoscerla già...conoscerla già...

Page 10: Progetto lauree scientifiche

In una stessa circonferenza supponiamo di aver inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono regolare ABDEG. Questo ci permetterà di costruire il 15-gono regolare.

Il pentadecagono

Provate Provate voi!voi!

Page 11: Progetto lauree scientifiche

“Sia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perciò, dei quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD, l’arco ABC, che è un terzo della circonferenza, verrà a constare di cinque (archi) mentre l’arco AB, essendo un quinto della circonferenza,

Il pentadecagono

verrà a constare di tre. Quindi l’arco BC che rimane consterà di due di quei quindici archi. Si divida l’arco BC per metà in M.

Ciascuno dei due archi BM ed MC è perciò 1/15 della circonferenza.”

A

B

D

E

G

C

F

M

Dagli Elementi di Euclide - Libro IV

Page 12: Progetto lauree scientifiche

Poiché 1/5 = 3/15 , 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15 , l’arco BM si ricava bisecando l’arco BC ottenuto dalla differenza tra l’arco AC e l’arco AB.

Il pentadecagono

A

B

D

E

G

C

F

M

1

2

34 5

6

7

8

9

10

111213

14

15

Page 13: Progetto lauree scientifiche

Il ragionamento di Euclide consiste nel determinare una combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che dia proprio 1/15 come risultato:

Il pentadecagono

1 1 1,

5 3 15x y x y Z

3 5 1x y Poiché la coppia (2, -1) è una soluzione, l’arco cercato può essere ottenuto come differenza tra l’arco che sottende due lati del pentagono e l’arco che sottende il lato del triangolo.

ovvero si tratta di determinare una soluzione intera dell’equazione:

Page 14: Progetto lauree scientifiche

Il 51-gono regolare

Provate a Provate a costruire il costruire il

(3x17)-gono (3x17)-gono regolare!regolare!

Ehi… ma il Ehi… ma il 17-gono 17-gono chi me lo chi me lo

dà?dà?

Il “metodo” usato per costruire il (3x5)-gono regolare, può essere applicato anche ad altri casi.

Page 15: Progetto lauree scientifiche

Il “metodo” generale usato consiste in questo.Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti.

Approfondimento

1 1 1x y

m n mn

dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno opposto.

Tanti (x) archi da 1/m x/msottratti a tanti (y) archi da 1/n y/ndevono dare un arco da 1/mn 1/mnTradotto in equazione:

Page 16: Progetto lauree scientifiche

L’equazione si riscrive:

(*)

Approfondimento

1nx my Attenzione: cerchiamo le soluzioni cerchiamo le soluzioni intereintere!!

E’ un’equazioneE’ un’equazionediofantea!diofantea!

Pitagora 571-496 aC

Anche quellaAnche quelladelle mie ternedelle mie terne

pitagoriche!pitagoriche!

P. de Fermat 1601-1665

Anche quelleAnche quelledel mio ultimodel mio ultimo

teorema!teorema!

Page 17: Progetto lauree scientifiche

Attenzione: non semprenon sempre una equazione come la (*) ammette una soluzione intera. Ad esempio:

Approfondimento

12 10 1x y non hanon ha soluzioni intere.

Perché Perché non può non può essere essere che...che... ovvero

2 6 5 1x y

con x e y interi!

16 5

2x y

PerchéPerché??

Page 18: Progetto lauree scientifiche

In generale: se i numeri m ed n hanno dei fattori in comune allora l’equazione

Approfondimento

E’ vero E’ vero anche il anche il

viceversa!viceversa!

Non è difficile spiegarloNon è difficile spiegarlo ma ora non ho tempo.ma ora non ho tempo.

Andate a leggere ilAndate a leggere ilmio libro VIImio libro VII..

1nx my non ammette una soluzione intera.

Page 19: Progetto lauree scientifiche

Riassumendo abbiamo individuato una ulteriore proprietà:

Approfondimento

Proprietà 3

Se un m-gono e un n-gono regolari possono Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora anche il nm-gono regolare è costruibile allora anche il nm-gono regolare è costruibile con R & C.con R & C.