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Progetto lauree scientifiche. Unità 2 Costruzione con riga e compasso di poligoni iscritti in una circonferenza. A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano. Sarà vero anche per il problema inverso?. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Progetto lauree scientificheUnit 2

    Costruzione con riga e compasso di poligoniiscritti in una circonferenzaA cura di Maurizio Dini e Paola GarioDipartimento di MatematicaF. EnriquesUniversit degli Studi di Milano

  • Poligoni regolari e circonferenze1 problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)

  • Poligoni regolari e circonferenze2 problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)

  • Poligoni regolari e circonferenzeRIEPILOGANDO:1 problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)2 problema: data una circonferenza costruire con riga e compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o circoscritto)Il 1 problema ammette sempre soluzione.Il 2 problema no.

  • Prime costruzioniPartiamo da una circonferenza e costruiamo il 6-gono (esagono regolare) con R & C.

  • Prime costruzioniOra, partendo dal 6-gono, sapreste costruire un 12-gono, un 24-gono, un 48-gono, ... ?

  • Prime costruzioniAbbiamo ottenuto cos la Propriet 1:Se il k-gono regolare costruibile con R & C allora lo sono anche tutti i 2nk-goni per ogni n>0.

  • Prime costruzioniNon difficile ricavare anche una seconda propriet:Se l n-gono regolare costruibile allora lo sono anche tutti i k-goni con k > 2 divisore di n.Ad esempio il 30-gono:30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori.2 otteniamo un 15-gono3 otteniamo un 10-gono5 otteniamo un 6-gono6 otteniamo un 5-gono10 otteniamo un 3-gonoUnendo i suoi vertici uno ogni

  • Il pentadecagonoIl triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono regolare sono costruibili con R & C.Una costruzione presentata da Euclide nei suoi Elementi.

    La costruzione del 3-gono la sappiamo fare!Quella del 5-gono fingiamo di conoscerla gi...

  • Il pentadecagonoIn una stessa circonferenza supponiamo di aver inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono regolare ABDEG. Questo ci permetter di costruire il 15-gono regolare.

  • Il pentadecagonoSia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perci, dei quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD, larco ABC, che un terzo della circonferenza, verr a constare di cinque (archi) mentre larco AB, essendo un quinto della circonferenza, verr a constare di tre. Quindi larco BC che rimane conster di due di quei quindici archi. Si divida larco BC per met in M.Ciascuno dei due archi BM ed MC perci 1/15 della circonferenza.Dagli Elementi di Euclide - Libro IV

  • Il pentadecagonoPoich 1/5 = 3/15 , 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15 , larco BM si ricava bisecando larco BC ottenuto dalla differenza tra larco AC e larco AB.

  • Il pentadecagonoIl ragionamento di Euclide consiste nel determinare una combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che dia proprio 1/15 come risultato:Poich la coppia (2, -1) una soluzione, larco cercato pu essere ottenuto come differenza tra larco che sottende due lati del pentagono e larco che sottende il lato del triangolo.ovvero si tratta di determinare una soluzione intera dellequazione:

  • Il 51-gono regolareIl metodo usato per costruire il (3x5)-gono regolare, pu essere applicato anche ad altri casi.Provate a costruire il (3x17)-gono regolare!Ehi ma il 17-gono chi me lo d?

  • ApprofondimentoIl metodo generale usato consiste in questo.Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti. dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno opposto.Tanti (x) archi da 1/m x/msottratti a tanti (y) archi da 1/n y/ndevono dare un arco da 1/mn1/mnTradotto in equazione:

  • ApprofondimentoLequazione si riscrive: (*)Attenzione: cerchiamo le soluzioni intere!

  • ApprofondimentoAttenzione: non sempre una equazione come la (*) ammette una soluzione intera. Ad esempio:non ha soluzioni intere.ovverocon x e y interi!Perch?

  • ApprofondimentoIn generale: se i numeri m ed n hanno dei fattori in comune allora lequazioneE vero anche il viceversa!non ammette una soluzione intera.

  • ApprofondimentoRiassumendo abbiamo individuato una ulteriore propriet:Propriet 3Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora anche il nm-gono regolare costruibile con R & C.

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