1

Ing. Gennaro Magliulo

Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale

Università degli Studi di Napoli Federico II

Napoli, 02 marzo 2006Napoli

Nuova normativa sismica

Progetto di strutture incemento armato precompresso

2

Tegolo

Pilastro

Trave a sezione variabile

PREMESSALa presente relazione si riferisce al calcolo degli elementi strutturali di un edificio monopiano prefabbricato. In particolare si farà riferimento al calcolo del tegolo. La struttura in oggetto saràprogettata oltre che per i carichi permanenti e variabili funzione della destinazione d’uso, anche per le azioni dovute al sisma, al vento e alla neve supponendo che ci si trovi in zona sismica 2, in zona 2 per le azioni dovute al vento e in zona 3 per le azioni dovute al carico da neve.

Visione prospettica dell’edificio monopiano prefabbricato

3

NORMATIVE DI RIFERIMENTO

Il suddetto progetto è stato redatto conformemente alle vigenti leggi e le verifiche seguono le

prescrizioni delle norme:

- Carichi e sovraccarichi: • Decreto Ministeriale LL.PP. 14 settembre 2005: “Norme tecniche per le costruzioni”;

• Decreto Ministeriale LL.PP. 16 gennaio 1996: “Norme tecniche relative ai “Criteri per la

verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi”;

• Circolare Ministeriale LL.PP. 4 luglio 1996 n. 156 AA.GG/STC: “Istruzioni per

l’applicazione delle “Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza

delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi” di cui al D.M. 16 gennaio 1996.

- Cemento armato normale e precompresso: • Decreto Ministeriale LL.PP. 14 settembre 2005: “Norme tecniche per le costruzioni”

• Decreto Ministeriale LL.PP. 9 gennaio 1996: “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione

ed il collaudo delle opere in cemento armato normale e precompresso e per le strutture

metalliche”.

- Costruzioni in zona sismica:

• Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20 marzo 2003 e

successive modifiche ed integrazioni: “Norme tecniche per il progetto, la valutazione e

l’adeguamento sismico degli edifici”;

• Circolare Ministeriale LL.PP. 10/04/1997, n. 65: “Istruzioni per l’applicazione delle

“Norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche” di cui al D.M. 16/01/1996;

• CNR - UNI 10025/98 10 dicembre 1998: “Istruzioni per il progetto, l’esecuzione ed il

collaudo delle strutture prefabbricate in calcestruzzo”.

4

Pianta e prospetto del capannone

5

PROGETTO DEL TEGOLO IN C.A.P.

La copertura dell’edificio industriale sarà realizzata impiegando tegoli binervati precompressi (tipo

TT) realizzati dalla PRE. MER s.r.l.. Al di sopra di essi verrà gettata in opera una soletta

collaborante in calcestruzzo di 5 cm, opportunamente armata con rete elettrosaldata. I pannelli

vengono posti in opera accostati tra loro in condizione vincolare di libero appoggio e rivestiti con

manto impermeabile previa interposizione dello strato coibente .

Visione prospettica della copertura

Si osserva che i prefabbricatori tendono a non mettere il getto al di sopra dell’impalcato. La

monolicità dell’impalcato è infatti garantita dalla presenza di piastrine ad L affondate in testa ed in

coda a ciascun tegolo in corrispondenza dei piedi e poi attraverso la saldature di queste piastrine tra

loro. Il collegamento orizzontale dei tegoli è invece assicurato dagli spinotti nei piedini dei tegoli

che vincolano lo stesso alla trave a sezione variabile; poi visto che questo collegamento è realizzato

per tutti i piedini si ha la monolicità orizzontale dell’impalcato (asserzione discutibile). Ciò è

consentito anche dall’OPCM 3274 al paragrafo 5.7.1 salvo però controllare il livello di monoliticità

in termini di resistenza, rigidezza e duttilità.

6

Pianta e prospetto del capannone

Definito il tipo di copertura bisogna determinare il numero di tegoli da

disporre.

L’edificio in esame è costituito da due campate di lunghezza

L1=L2=18 m e con copertura a falde con pendenza circa pari al 10%.

Le altre dimensioni sono: L3=14 m, L4=6 m, L5=3 m e K=5

Si considera per semplicità che lo spazio che dovrà essere coperto dai

tegoli accostati sia proprio pari a 18 m e che quindi il solaio sia piano

dato che l’inclinazione delle falde è ridotta.

Si noti inoltre che i moduli precompressi copriranno una luce ridotta

rispetto a L1, in quanto bisogna garantire un franco (f) per il

posizionamento della trave di gronda e per l’appoggio trave pilastro

alle estremità.

Si disporranno pertanto per ciascuna campata, 8 tegoli della larghezza

pari a 2,20 m.

Pertanto:

m4,020,2818LnLf

8n

m20,2Lm18L

tegolotegoli1

tegoli

tegolo

1

=⋅−=⋅−=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==

e la distanza tegolo-asse pilastro sarà di 0,20 cm sia per il pilastro

centrale che per quello laterale.

7

Caratteristiche dei materiali Per la realizzazione del tegolo si utilizza un calcestruzzo di classe Rck=55 N/mm2 che nelle

definizioni del D.M. 14 settembre 2005 viene indicato come un calcestruzzo di classe di resistenza

alta usato per strutture semplicemente armate e/o precompresse (punto 5.1 – Costruzioni di

conglomerato cementizio –DM 14/09/05).

La soletta superiore sarà costituita da un calcestruzzo Rck=25 N/mm2 e da un acciaio Feb44k.

Analisi dei carichi

Carico fisso: • Peso proprio soletta (γcls=25 kN/mq; s=0,05 m): 1,25 kN/mq • Peso isolante 0,01 kN/mq • Peso massetto alleggerito (γmass=16 kN/mq; s=0,03 m ) 0,48 kN/mq • Peso impermeabilizzante 0,1 kN/mq

G=1,84 kN/mq

OSS.: il massetto serve solo per creare una superficie liscia su cui poggiare la guaina (massetto

di allettamento)

8

Carico accidentale: • Carico da neve (punto 3.5.2 – Carico da neve –NTC):

tEskis CCqq ⋅⋅⋅µ= Eq. 1

dove: qs è il carico neve sulla copertura;

mi è il coefficiente di forma della copertura;

qsk il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo per un periodo di

ritorno di 200 anni;

CE è il coefficiente di esposizione;

Ct è il coefficiente termico.

Si ipotizza che il carico agisca in direzione verticale e lo si riferisce alla proiezione orizzontale

della superficie della copertura.

Il carico neve al suolo qsk dipende dalle condizioni locali di clima e di esposizione, considerata

la variabilità delle precipitazioni nevose da zona a zona. Essendo nel nostro caso Zona 2,

(provincia di Napoli) e la quota sul livello del mare ?200 m, si ha qsk=0,75 kN/mq.

Per le coperture a più falde si individua le seguenti due combinazioni di carico:

µ1 (α) µ2 (α)

µ1 (α) µ2 (α)µ2 (α)µ1 (α)

µ1 (α)

caso 1

caso 2

Nel caso in esame, essendo °=π

⋅=α 7,5180%10

95,0308,00,82 =

α⋅+=µ ° con °=

α+α=α 7,5

221

2tEskis m/kN71,01175,095,0CCqq =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅µ=

9

Carico accidentale: • Carico da vento: A vantaggio di sicurezza non si considera l’azione del vento che per tale inclinazione di

copertura ( °≤α≤ 200 ) è dal basso verso l’alto (punto 3.3.7.1 – Coefficienti di pressione interna

ed esterna –NTC).

• Sovraccarico accidentale: Per coperture non accessibili si considera un qk=1,00 kN/m2 (punto 6.1.4 – Sovraccarichi

variabili -NTC)

In definitiva si ha: Carico fisso 1,84 kN/mq

Carico accidentale 1,00 kN/mq

Carico da neve 0,71 kN/mq 3,55 kN/mq

Per la portata di 3,55 kN/mq e per la luce di calcolo assegnata (14 m), dagli abachi forniti dal

prefabbricatore della RDB (tegoli TT con soletta aggiuntiva di 5 cm e larghezza della nervatura pari

a 15 cm) si deduce l’altezza del tegolo che deve essere pari a 50 cm (si è fatta una media tra i valori

forniti per una larghezza pari a 2,50 m (carico utile ≅ 3,0 kN/m2 e trefoli non ricoperti) e per una

larghezza pari a 2,0 m (carico utile ≅ 4,0 kN/m2 e trefoli non ricoperti).

10

Caratteristiche geometriche del tegolo I pannelli realizzati in calcestruzzo precompresso a fili aderenti, sono costituiti da due nervature

verticali collegate in sommità da una soletta orizzontale spessa 5 cm e larga 220 cm.

Xi = 125 cm

5 cm

15 cm15 cm

50 c

m

220 cm

Le schede tecniche di produzione della PRE.MER. s.r.l. o della RDB ci forniscono valori dettagliati

della geometria. Tuttavia per rendere il calcolo delle aree e momenti di inerzia più agevoli si

omettono questi raccordi e si considera una sezione più squadrata .

L’area del tegolo è: 2t m 245,0)05,0-5,0 (15,02 05,020,2 A =⋅+⋅=

Il momento statico rispetto all’asse x vale:

3x m0826,0

245,015,045,02

205,05,005,020,2S =⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

Il baricentro è: m337,0245,00826,0

ASy

t

xG ===

Il momento statico rispetto all’asse baricentrico è:

332323

G x m1009,62

0,45- 0,337 0,45 0,15 1245,0 0,152 0,337 -

20,05-0,5 0,052,20

120,05 2,20I −⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

⋅=

I moduli di resistenza rispetto al lembo superiore e inferiore del tegolo sono:

3-3

G

xGs m 0374,0

337,050,0106,09

yhI W =

−⋅

=−

= 3-3

G

xGi m 0181,0

0,337106,09

yI W =

⋅==

11

Caratteristiche geometriche del sistema tegolo-soletta I calcestruzzi per il confezionamento del tegolo e della soletta presentano diverso Rck, pertanto sono

diversi i rispettivi moduli di elasticità.

Secondo la normativa di riferimento il modulo elastico istantaneo, tangente l’origine, in mancanza

di diretta sperimentazione, si assume in sede di progetto pari a (DM 16/1/1996): ckc R E 5700=

OSS.: Nel DM 14/9/05 il calcolo si effettua come: 1/3cmc R110000E = con Rcm resistenza media

Per il calcolo delle caratteristiche del sistema composto bisogna introdurre, quindi, un coefficiente

di omogeneizzazione pari a: 674,0R5700R5700n

tegck,

solck,* ==

Il baricentro è:

m 381,020,205,0674,0245,0

) /205,00,50 ( 0,05 20,2674,00,3370,245l sn A

) s/2h ( s lnyA y

tegsoletta*

teg

tegsolettateg*

G teg*G =

⋅⋅++⋅⋅+⋅

=+

++=

Il momento di inerzia rispetto al nuovo baricentro è:

( )23

23

2solettas

*Gtegsolettateg

*3

solettateg* 2G

*GtegxG

*xG

,8205,0381,05,005,020,2674,0

1205,020,2674,0337,0381,0245,01009,6

) /2s y-h ( s ln 12s l

n ) y - y (A I I

− =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅⋅+

⋅+−⋅+⋅=

=++++=

Il modulo di resistenza della sezione tegolo+soletta sono:

3-3

*Gteg

*xGtegolo

sup m 0681,0381,050,0

108,12 y h

I W =

−⋅

=−

= 3-3

*G

*xGtegolo

inf m 0213,0381,0

108,12 yI

W =⋅

==

3-3

*Gsolettateg

*xGsoletta

sup m 0480,0381,005,050,0

108,12 ys h

I W =

−+⋅

=−+

=

12

Calcolo dei carichi a metro lineare e dei momenti flettenti Per il calcolo delle sollecitazioni si fa riferimento all’esercizio e alla condizione di carico rara,

anche considerando quanto suggerito nel punto 4.3.4. del DM 09/01/1996: “il calcolo delle tensioni

va effettuato considerando le combinazioni più sfavorevoli della precompressione, nei suoi diversi

stadi, e delle diverse condizioni di carico corrispondenti alle successive fasi di costruzione e di

esercizio per combinazioni rare”. Successivamente si dovrà naturalmente verificare il tegolo anche

per l’altra condizione di esercizio di carico quasi permanente (OSS. Si dovrebbe anche verificare

per la condizione di carico frequente ma il DM 14/09/2005 nelle tabelle 5.1-XI e XII non fornisce i

valori dei coefficienti per permettere la determinazione delle tensioni limite nel cls a trazione a

compressione) e allo stato limite ultimo. Pertanto in esercizio e per combinazioni di carico rara

(punto 5.1.2.2.2 del DM 14/09/2005, considerato anche il punto 2.7.2 sempre del DM 14/09/2005):

( ) ( ) ( )∑∑∑===

⋅γ⋅γ+⋅γ⋅γ⋅ψ+⋅γ⋅γ+⋅γ⋅γ=l

1hkhEPhPh

n

2ikiEQiQii0k11EQ1Q

m

1jkjEGjGjd PQ QG F

essendo: Gkj il valore caratteristico delle azioni permanenti (peso proprio, etc);

Pkh il valore caratteristico della h-esima deformazione impressa (effetto della

temperatura, viscosità ritiro etc);

Qk1 il valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazione;

Qki il valore caratteristico della i-esima azione variabile;

Gγ =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

Pγ =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

Qγ =1,0 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

EPEQEG γe γ,γ sono i coefficienti di modello delle azioni tutti pari a 1, a meno dei

EQγ che possono essere definiti nelle norme relative alle diverse azioni variabili

oiΨ =coefficienti di combinazione pari a 0,6 per la neve;

13

Calcolo dei carichi a metro lineare e dei momenti flettenti Nel caso in esame la eq. diviene:

neve0cosovraccari0kkd Q Q P G F Ψ+Ψ++=

in quanto i carichi accidentali sono il sovraccarico e la neve; infatti la normativa consente di

trascurare l’azione verticale del sisma su elementi secondari quali i tegoli di copertura (punto 4.6

dell’OPCM 3274). Questa scelta è opinabile e va chiarita meglio.

OSS: Dalla tabella 5.1-III del DM 14/9/2005 si ricava che Ψ0 è pari a 0,6 per la neve e 0,7 per il

sovraccarico accidentale (carichi variabili nei fabbricati per abitazione ed uffici)

Pertanto i carichi distribuiti per metro lineare di trave, risultano essere:

fase di tiro m/kN13,6245,025Aq tegoloclstegolo =⋅=⋅γ=

m/kN75,220,205,025Aq solettaclssoletta =⋅⋅=⋅γ=

m/kN022,020,201,0q tegoloisolanteisolante =⋅=⋅γ= l

m/kN06,120,203,016Aq massettomagro,clsmassetto =⋅⋅=⋅γ=

m/kN22,020,21,0q tegolo.imp.imperm =⋅=⋅γ= l

m/kN94,020,271,06,0qq tegolos0neve =⋅⋅=⋅⋅Ψ= l

fase di esercizio

m/kN54,120,20,17,0qq tegolos0cosovraccari =⋅⋅=⋅⋅Ψ= l

kN/m 30,1qqq q imperm.massettoisolantepermanente =++=

kN/m 50,2qq q cosovraccarineveeaccidental =+=

kN/m 7,12qq q eserciziotirototale =+=

14

Calcolo dei momenti flettenti Quindi si calcolano i momenti in mezzeria considerando il tegolo appoggiato-appoggiato:

• Fase di tiro:

kNm 1508

41 6,13 8

L q M

223tegolo

min =⋅

=⋅

=

• Fase di esercizio:

kNm 4,678

41 2,75 8

L q M

223soletta

soletta =⋅

=⋅

=

kNm 9,318

41 )22,006,1(0,022

8L )qq(q

M22

3impermmassettoisolantepermanente =

⋅++=

⋅++=

kNm 3,618

41 ,502 8

L q M

223accident

variabile =⋅

=⋅

=

kNm 3108

41 12,7 8

L q M

223totale

max =⋅

=⋅

=

15

Calcolo degli sforzi di precompressione (limiti tensionali) Il calcolo dello sforzo N viene fatto imponendo il rispetto dei limiti dello stato tensionale di trazione

e di compressione all’interno della trave.

Si valuterà sia la condizione di tiro che di esercizio. Lo sforzo normale di precompressione sarà il

valore più restrittivo tra i due.

In accordo al D.M. del 14/09/2005 (punto 5.1.8.1.8) “all’atto della precompressione (al tiro) le

tensioni di compressione non debbono superare il valore:

Rdc,m

ckjRγ⋅γ

dove γmc=1,7 è il coefficiente parziale di sicurezza sul materiale, γRd=1,0 è il coefficiente di modello

ed Rckj è la resistenza cilindrica caratteristica a compressione del conglomerato cementizio all’atto

dell’applicazione della precompressione.

Sono ammesse tensioni di trazione fino a 0,10·Rckj fermo restando l’obbligo di disporre armature

metalliche che assorbono l’intera risultante delle trazioni.

Nelle travi ad armature pretese sono ammesse tensioni di trazione iniziali pari a 0,05·Rckj, senza

aggiunta di armatura sussidiaria, purché l’armatura pre-tesa sia ben diffusa nella zona soggetta a

trazione. Per spessori minori di 50 mm le tensioni normali iniziali sono ridotte del coefficiente

γRd=1,4”.

La Rckj, come detto, è la resistenza cilindrica a j giorni di stagionatura. Siccome però il

prefabbricatore opera in modo da raggiungere il valore pieno della Rck prima dei 28 gg (attraverso

stagionature precoci a vapore, etc) possiamo considerare Rckj=Rck⋅0,83=46 N/mm2.

16

Calcolo degli sforzi di precompressione La condizione peggiore per il tegolo al tiro è sugli appoggi dove non sussiste l’alleggerimento del

momento dovuto al peso proprio, il progetto consiste nella determinazione dell’area di trefoli

capace di sviluppare uno sforzo di precompressione tale da soddisfare le seguenti relazioni:

σσ ≥⋅⋅β

−⋅β

= o

min,csup

oo

,supc WeN

AN

( ) kN1662

245,03,1

0374,0192,03,12280

A

N

We

sup

o

o

min,co

sup,c=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−

⋅β≤

σσ

σσ ≤⋅⋅β

+⋅β

= o

max,cinf

oo

inf,c WeN

AN

( ) kN1662

245,03,1

0374,0192,03,12280

A

N

We

sup

o

o

min,co

sup,c=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ β−

⋅β≤

σσ

dove: 22ckj

omin,c

m/kN2280mm/N28,283,05505,0R05,0 ==⋅⋅=⋅=σ ; (limite di trazione)

22

Rdc,m

ckjo

max,cm/kN26900mm/N9,26

0,17,183,055R

==⋅

⋅=

γ⋅γ=σ ; (limite di compressione)

β=1,30 (suggerito dall’esperienza) è un coefficiente che tiene conto della caduta di tensione

elastica all’atto del tiro;

e0 è la distanza tra il baricentro geometrico della sezione tegolo e il baricentro dei cavi di

precompressione. e0=yg-0,145=0,337-0,145=0,192 m;

A è l’area della sezione del tegolo;

Wsup è il modulo di resistenza della sezione del solo tegolo riferito alla fibra superiore;

Winf è il modulo di resistenza della sezione del solo tegolo riferito alla fibra inferiore.

Tra i due risultati ottenuti scegliamo il più limitativo, cioè il minore valore di N, fornito dalla prima

relazione: ( ) kN1402N o

sup,c≤σ

17

Limiti tensionali in esercizio Le massime tensioni normali, σc, di compressione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio a

cadute avvenute, devono rispettare la seguente limitazione: Ecc,m

ckc

Rγ⋅γ

≤σ

dove: γmc è il coefficiente parziale di sicurezza sul materiale, da assumersi in accordo a quanto

riportato nella Tabella 5.1-XI e γEc è il coefficiente di modello, da assumersi in accordo a quanto

riportato nella stessa tabella. Per condizioni ambientali ordinarie e combinazione di carico rara

γmc=1,5 e γEc=1,4.

Le massime tensioni normali, σc, di trazione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio, devono

rispettare la seguente limitazione: c,m

ctkc

fγ

≤σ

con γmc=3,2 per condizione ambientali ordinarie e condizioni di carico rara per travi ad armatura

pre-tesa, senza aggiunta di armatura sussidiaria, purché l’armatura pre–tesa sia ben diffusa nelle

zone soggette a trazione.

18

Verifiche in esercizio In esercizio, la sezione più sollecitata è quella di mezzeria,

max,cT

sup

iabilivar.permcarichi

sup

soletta

sup

min

suptegolo,supc

WM

WM

WM

WeN

AN

σ≤+++⋅

−=σ +

min,cT

inf

iabilivar.permcarichi

inf

soletta

inf

min

inftegoloinf,c W

MWM

WM

WeN

AN

σ≥−−−⋅

+=σ +

dove:

( ) 23 23 2ckctmflessione,ctk mm/N28,35527,07,02,1R27,07,02,1f7,02,1f =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅=⋅⋅= (D.M.

09/01/1996 punto 2.1.2)

( ) ( )( )ckctmflessione,ctk R48,07,02,1f7,02,1f ⋅⋅=⋅⋅= (D.M. 14/09/2005 punto 11.1.10.2)

Con: 22

c,m

ctkmin,c m/kN1020mm/N024,1

2,328,3f

===γ

=σ ;

22

Ecc,m

ckmax,c m/kN26200mm/N2,26

4,15,155R

==⋅

=γ⋅γ

=σ

WT

sup è il modulo di resistenza della sezione teg+sol riferito alla fibra superiore del tegolo;

WT

inf è il modulo di resistenza della sezione teg+sol riferito alla fibra inferiore del tegolo;

Mmin è il momento dovuto al solo peso proprio del tegolo;

Msoletta è il momento dovuto al solo peso della soletta;

Mcarichi perm.+ variabili è il momento dovuto ai carichi permanenti+i carichi variabili;

e=eo=yg-0,145=0,337-0,145=0,192 m in quanto i cavi sono rettilinei e quindi la stessa

eccentricità che si ha agli appoggi la si ha anche in mezzeria;

19

Verifiche in esercizio (risultati)

( ) kN17998

245,01

0374,0192,0

262000681,0

6,920374,0

4,670374,0150

A1e

N

solettasup

max,cT

sup

.var.perm

sup

soletta

sup

min

sup,c

W

WM

WM

WM

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−++

≥

σσ

+

( ) kN1043

245,01

0181,0192,0

10200213,0

6,920181,0

4,670181,0150

A1e

N

solettainf

min,cT

inf

var.p.c

inf

soletta

inf

min

inf,c

W

WM

WM

WM

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−++

≥

σσ

+

Tra i due risultati ottenuti scegliamo il più limitativo, cioè il maggiore valore di N, fornito dalla

seconda relazione:

( ) kN1043N inf,c ≥σ

Ricordando anche l’altro limite ritrovato per la fase di tiro, si ha: kN1402NkN1043 ≤≤

Naturalmente per venire incontro a necessità di tipo economico, conviene considerare N=1043 kN.

20

Scelta dei trefoli Secondo il D.M. 14/09/2005 le tensioni nei trefoli devono essere limitate ai seguenti (punto

5.1.8.1.10):

s,m

k)1(pfspi γ

≤σ con 12,1s,m =γ (al tiro) (a seconda della tipologia di armatura da precompressione

– fili, trecce e trefoli, barre – diverso è il valore assunto per la tensione di snervamento)

s,m

ptkfsp γ

≤σ con 65,1s,m =γ (in esercizio)

essendo: spiσ la massima tensione possibile nell’acciaio all’atto della precompressione e spσ

la massima tensione ammissibile nell’acciaio in esercizio

k)1(pf la tensione caratteristica all’1% di deformazione sotto carico e ptkf la tensione

caratteristica di rottura.

Dai cataloghi forniteci, per trefoli a 7fili 242

k)1(p m/kN10167mm/N1670f ⋅=≥ 242ptk m/kN10186mm/N1860f ⋅=≥

con un rapporto di rendimento pari a 898,0410186

410167f

f

ptk

k)1(p =⋅

⋅=

Imponendo le limitazioni dettate dalla normativa si ha:

2m/kN41014912,1

410167

s,m

k)1(pfspi ⋅=

⋅=

γ≤σ

2m/kN41011365,1

410186

s,m

ptkfsp ⋅=

⋅=

γ≤σ

L’area di trefoli necessaria per conferire uno sforzo di precompressione N0 è:

24

spi

0min,spi cm10,9

1014910431,3N

A =⋅

⋅=

σβ

=

Considerando 10 trefoli da 1/2 pollice con diametro nominale di 93 mm2 si ha:

Asp =930 mm2

21

Verifica in combinazioni di carico quasi permanenti Si passa ora a verificare il tegolo anche per l’ altra condizione di carico quasi permanente. Pertanto:

( ) ( ) ( )∑∑∑===

⋅γ⋅γ+⋅γ⋅γ⋅ψ+⋅γ⋅γ⋅ψ+⋅γ⋅γ=l

1hkhEPhPh

n

2ikiEQiQii2k11EQ1Q21

m

1j

kjEGjGjd PQ Q G F Eq. 1

essendo:

Gkj il valore caratteristico delle azioni permanenti della j-esima azione permanente (peso proprio,

precompressione, etc);

Pkh il valore caratteristico della h-esima deformazione impressa (effetto della temperatura, viscosità

ritiro etc);

Qk1 il valore caratteristico dell’azione variabile di base di ogni combinazione;

Qki il valore caratteristico della i-esima azione variabile;

Gγ =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

Pγ =1,0 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

Qγ =1,0 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

EPEQEG γe γ,γ sono i coefficienti di modello delle azioni tutti pari a 1, a meno dei EQγ che

possono essere definiti nelle norme relative alle diverse azioni variabili

i2Ψ =coefficienti di combinazione pari a 0,1 per la neve e 0,3 per i carichi variabili nel caso di

abitazioni ed uffici;

Nel caso in esame la eq.8 diviene:

neveacckkd ,1Q0 ,3Q0 P G F +++=

22

Momenti in combinazioni di carico quasi permanenti Pertanto i carichi distribuiti per metro lineare di trave, risultano essere:

fase di tiro m/kN13,6245,025Aq tegoloclstegolo =⋅=⋅γ=

m/kN75,220,205,025Aq solettaclssoletta =⋅⋅=⋅γ=

m/kN022,020,201,0q tegoloisolanteisolante =⋅=⋅γ= l

m/kN06,120,203,016Aq massettomagro,clsmassetto =⋅⋅=⋅γ=

m/kN22,020,21,0q tegolo.imp.imperm =⋅=⋅γ= l

m/kN16,020,271,01,0qq tegolos0neve =⋅⋅=⋅⋅Ψ= l

fase di esercizio

m/kN66,020,20,13,0qq tegolos0cosovraccari =⋅⋅=⋅⋅Ψ= l

kN/m 0,11qq q eserciziotirototale =+=

Quindi si calcolano i momenti in mezzeria considerando il tegolo appoggiato-appoggiato:

• Fase di tiro: kNm 1508

41 6,13 8

L q M

223tegolo

min =⋅

=⋅

=

• Fase di esercizio: kNm 4,678

41 2,75 8

L q M

223soletta

soletta =⋅

=⋅

=

kNm 9,318

41 )22,006,1(0,022

8L )qq(q

M22

3impermmassettoisolantepermanente =

⋅++=

⋅++=

( )kNm 1,20

841 ,160

8L qq

M22

3accnevevariabile =

⋅=

⋅+=

kNm 5,2698

41 11 8

L q M

223totale

max =⋅

=⋅

=

23

Verifiche in combinazioni di carico quasi permanenti In accordo al D.M. del 14/09/2005 (punto 5.1.8.1.8) al tiro per condizioni di carico quasi

permanente valgono le stesse limitazioni viste per la condizione di carico rara. Pertanto è inutile

verificare.

Le massime tensioni normali, σc, di compressione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio

a cadute avvenute (D.M. del 14/09/2005 -punto 5.1.8.1.7), devono rispettare la seguente

limitazione: Ecc,m

ckc

Rγ⋅γ

≤σ dove γmc è il coefficiente parziale di sicurezza sul materiale, da

assumersi in accordo a quanto riportato nella Tabella 5.1-XI e γEc è il coefficiente di modello, da

assumersi in accordo a quanto riportato nella stessa tabella. Per condizioni ambientali ordinarie e

combinazione di carico rara γmc=1,5 e γEc=1,8.

Le massime tensioni normali, σc, di trazione nel conglomerato, nelle condizioni di esercizio,

devono rispettare la seguente limitazione:c,m

ctkc

fγ

≤σ con γmc che non è dato per condizioni di carico

quasi permanente. Quindi si verifica solo il cls in compressione.

Pertanto: max,cT

sup

iabilivar.permcarichi

sup

soletta

sup

min

suptegolo,supc

WM

WM

WM

WeN

AN

σ≤+++⋅

−=σ +

Si ricava:

( )solettasup

max,cT

sup

var.p.c

sup

soletta

sup

min

sup,cm/kN13057

245,01

0374,0192,0

204000681,052

0374,04,67

0374,0150

A1e

N

W

WM

WM

WM

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−++

≥

σσ

+

Questa è una condizione che non incide nella verifica essendo N venuto negativo.

24

Disposizione dei trefoli Secondo il D.M. del 5/9/05 (punto 5.1.8.3.1), nel caso di armatura pre-tesa, nella testata i trefoli

devono essere protetti da un ricoprimento di almeno 35 mm. Inoltre facendo rientrare il tegolo nella

comune tipologia di travi, al punto 5.1.6.1.3 del DM 5/9/2005 si dice che la superficie della

armatura resistente principale deve distare almeno 20 mm dalle facce esterne del conglomerato

cementizio.

15 cm

YG=1

4,5

cm

X

d'

Supponendo di mettere i trefoli ad una distanza intermedia costante e ricordando che il baricentro

degli stessi è a 14.5 cm dal bordo inferiore, è possibile scrivere:

cm52

5.45.142

'd5.14xcm5.14x2'd =−

=−

=⇒=+ (d’=4.5 cm in modo da rientrare nei limiti di

norma)

Si osservi che sovente il sistema di ancoraggio dei trefoli è caratterizzato da una griglia con distanza

fissa, generalmente 5 cm.

25

Disposizione dei trefoli CALCOLO DELLA ECCENTRICITA'

cavo Noi No Yi Moi Mo Yor ---- kN kN m kNm kNm m 1 271 0.045 12 2 271 0.095 26 3 271 0.145 39 4 271 0.195 53 5 271

1356

0.245 66

197 0.145

dove: 00 NAAN

sp

sii = lo sforzo di precompressione che compete a ciascun livello con trefsi A2A =

area dei trefoli in corrispondenza di ciascun livello;

Yi la quota di ciascun livello di trefoli;

Moi = Noi yi momenti flettenti valutati rispetto il lembo inferiore;

Il baricentro delle armature è fornito dalla seguente espressione:

m145,0N

My

i0

i0R0 ==

∑∑

Esso rappresenta il punto di applicazione della risultante degli sforzi di precompressione.

La tensione nei trefoli per singolo livello è:

24max,spi

24

si

i0spi m/kN10149m/kN10145

000186,0271

AN

⋅=σ<⋅===σ

26

Verifica dei trefoli in fase di tiro

Adotteremo un coefficiente di omogeneizzazione pari a: 6==c

f

EE

n in realtà 5≅=c

f

EE

n

Considerando n=6 sovrastimiamo le cadute di tensione;

Ac n Asi Aci m2 - m2 m2

0.245 6 0.00093 0.251

dove: ∑+= i sicci AnAA

Sx, teg Yi YGi. Ixo YG di Ixoomogg, Yor eo

omogg. m3 m m m4 m m m4 m m

0.045 0.285 0.095 0.235 0.145 0.185 0.195 0.135

0.083

0.245

0.330 6.09E-03 0.337

0.085

6.32E-03 0.145 0.185

dove: ci

i isixGi A

YAnSy ∑+

= , con Yi distanza dello i-esimo trefolo dal bordo inferiore ed Sx

momento statico del tegolo rispetto all’asse X passante per il bordo inferiore della sezione;

Ixo momento di inerzia del solo tegolo;

YG posizione del baricentro della sola sezione del tegolo rispetto al lembo inferiore;

di distanza del trefolo rispetto al baricentro della sezione omogeneizzata YGi;

( ) 2ii si

2GiGc0xomog,0x dAnyyAII ∑++= − momento di inerzia della sezione

omogeneizzata rispetto all’asse passante per il proprio baricentro;

R0Giyye omog,0 −= eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della

sezione omogeneizzata.

Verifichiamo quindi la sezione al tiro in corrispondenza dell’appoggio:

( ) ( ) 0min,c

23Gi

ci

00

ci

00cs 2280m/kN1345330,050,0

1032,6185,01356

251,01356yh

IeN

AN

−=σ≥−=−⋅⋅

−=−−=σ −

( ) m/kN26900kN/m12150330,050,01032,6

185,01356251,0

1356yI

eNAN 0

max,c2

3Gici

00

ci

00ci =σ≤=−

⋅⋅

+=+=σ −

27

CADUTE DI TENSIONE Un’aliquota della tensione impressa alle armature viene persa a causa delle deformazioni lente del

conglomerato e degli stessi acciai utilizzati.

Le cadute di tensione sono di due tipi: quelle legate al sistema e alle modalità di precompressione;

quelle dipendenti dalle caratteristiche visco-elastiche dei materiali.

Più precisamente:

a) Perdite di tensione dovute a fenomeni istantanei che tendono a diminuire l’allungamentoimpresso ai fili;

b) Perdite di tensione dovute a fenomeni differiti nel tempo. Le prime sono dovute al fatto che le armature sono tesate prima del getto e la precompressione

viene impressa, a maturazione avvenuta, mediante l’aderenza tra acciaio e conglomerato. Ciò

comporta che l’accorciamento del calcestruzzo corrisponde un identico accorciamento dell’acciaio e

quindi una riduzione della tensione iniziale fornita all’armatura. In realtà tale caduta nell’acciaio

consente la sollecitazione del calcestruzzo.

Le seconde sono di gran lunga più importanti e insidiose. Esse sono le cadute di tensione per

deformazioni lente o fluage nel calcestruzzo e nell’acciaio, dovute ad effetti viscosi (scorrimenti tra

i grani del materiale sotto carico) che dipendono dallo stato di sollecitazione nella struttura; le

cadute corrispondenti al fenomeno del ritiro (variazioni di volume del calcestruzzo dovute alla

presa e all’indurimento), che invece sono pressoché indipendenti dallo stato di sollecitazione.

La conseguenza diretta dei fenomeni della viscosità e del ritiro del calcestruzzo sul

comportamento nel tempo degli acciai pretesi è quella di ridurre in essi lo stato di

deformazione impresso all’atto della messa in tensione e quindi provocare una caduta di

tensione.

28

CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE ELASTICHE.Il calcolo delle cadute di tensione elastiche nei trefoli si esegue riferendosi alla sezione di mezzeria,

poiché ivi si massimizzano. Ci si trova inoltre ancora nella fase di tiro, quando cioè, al disarmo

della trave, per effetto del peso proprio del tegolo si produce una deformata elastica ed una relativa

curvatura che abbassa il valore della tensione nel trefolo da quello di tesatura iniziale.

trefolo Wci σci ∆σfi σspi σ'spi N'oi M'oi Y'0r e'oomogg.

n° m3 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN kNm m m 1 0.0222 9940 59639 1458441 1398802 260 11.71 2 0.0269 9145 54869 1458441 1403572 261 24.80 3 0.0342 8350 50099 1458441 1408342 262 37.98 4 0.0469 7555 45330 1458441 1413111 263 51.25 5 0.0746 6760 40560 1458441 1417881 264 64.61

0.1453 0.1844

dove: )yy(

IWiGi

cici −

= ;

ici

min

ici

00

ci

0ci )W(

M)W(

eNAN

−+=σ ;

cifi nσ=σ∆ ipotizzando una perfetta aderenza tra calcestruzzo e trefoli, ossia che sia

soddisfatta la relazione εf = εc

cispispi n' σ−σ=σ ;

sispii A'N σ=0

Moi =Noi yi ;

m1453,0NM

'yi0

i0R0 ==

∑∑

m1844,0'yy'e R0Gi0 =−=

29

CADUTE DI TENSIONE DA RITIRO (D.M. 14/09/05 – punto 11.1.10.6)

La deformazione totale da ritiro si può esprimere come: cacdcs ε+ε=ε

dove: cdε è la deformazione per ritiro da essiccamento

caε è la deformazione per ritiro autogeno.

Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento è:

0ch,cd k ε⋅=ε ∞

dove: 0cε è valutato mediante i valori della Tabella 11.1.Va del punto 11.1.10.6 in funzione di

2ckck mm/N7,4583,05583,0Rf =⋅=⋅= e dell’umidità relativa pari al 80% (valore

medio rilevato a Napoli nel mese di Febbraio) ed è pari a -0,276 (valore interpolato tra

fck=40 e fck=60);

hk è valutato mediante i valori della Tabella 11.1.Vb del punto 11.1.10.6 in funzione di h0

che è la dimensione fittizia (in mm) pari a:

( ) m12340002450002

aria'allespostoocoglomeratinsezionedellaperimetrotoconglomerainsezionedellaAreax2

uA2

h c0 =

⋅===

ed è pari a 0,97 (valore interpolato tra h0=100 mm e h0=200 mm).

Pertanto: ( ) %0268,0276,097,0k 0ch,cd −=−⋅=ε⋅=ε ∞

Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro autogeno

è: ( ) ( ) %0089,010107,455,21010f5,2 66ckca −=⋅−−=⋅−−=ε −−

∞

In conclusione %0357,00089,00268,0cacdcs −=−−=ε+ε=ε .

La perdita di tensione è valutata nel seguente modo: 264

fcsrit,f m/kN71757102011057,3E =⋅⋅⋅=ε=σ∆ −

30

CADUTE DI TENSIONE PER FLUAGE ( Eurocode 2 punto 3.1.4 )

Il coefficiente di viscosità ϕ (t, t0) è in relazione con il modulo tangente, Ec, che si può assumere

pari a 1,05 Ecm. Se non è richiesta una grande accuratezza, il valore che si può ricavare dalla Figura

6 può essere considerato il coefficiente di viscosità, a condizione che il calcestruzzo sia soggetto a

una tensione di compressione non superiore a 0,45 fck al tempo t0, età del calcestruzzo al momento

dell’applicazione del carico. Nello specifico, siccome la tensione limite di compressione in esercizio

(cioè nel momento di messa in carico) è ck

ck

Ecc,m

ckmax,c f44,0

8,15,183,0

fR

⋅=⋅

=γ⋅γ

=σ , risulta possibile

determinare il valore del coefficiente di viscosità dal grafico sottostante. Il tempo di messa in carico

t0 può variare da 10 gg ad 1 anno a seconda delle necessità. Si suppone che t0>100 giorni e quindi si

considera la tangente nell’origine del diagramma di sinistra.

Pertanto φ(∞, t0)=1,2. A vantaggio di sicurezza si assume φ(∞, t0)=2,0 ( ) ( )

0

c00cc Ec

t,t,σ

∞ϕ=∞ε

31

CADUTE DI TENSIONE PER RILASSAMENTO ( D.M. 14/9/05 –punto 11.2.3.4 )

In assenza di dati sperimentali relativi agli acciai considerati, la caduta di tensione per rilassamento

a tempo infinito ad una temperatura di 20°C per una tensione iniziale ptkspi f,750=σ può assumersi

pari a: spir , σ=σ∆ ∞ 180 (valore valido per i trefoli e riportato in tabella 11.2.VII), ossia può essere

valutata in funzione della tensione iniziale. In tal caso bisogna ammettere che al variare di questa, la

caduta vari con legge parabolica. Accettando che per tensioni iniziali inferiori al 50% della tensione

caratteristica di rottura fptk, gli effetti dovuti al rilassamento non producono perdite di tensione, si

può assumere come legge di variazione la seguente:

∆σr,∞/σspi

0,18

0,75∆σspi/fptk

0,50

Dalla legge si evince che ∞σ∆ r può essere valutata a partire da spiσ una volta noto il rapportoptk

spi

fσ

,

ovvero

2

ptk

spi2

spi

r 5,0f25,0

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

σ=

σσ∆ ∞ con k = 0,18;

Il valore di k, in realtà, è molto cautelativo in quanto sovrastima le cadute di tensione anche tenuto

conto che i trefoli usati sono a basso rilassamento.

32

CADUTE DI TENSIONE PER RILASSAMENTO ( D.M. 14/9/05 –punto 11.2.3.4 )

Avendo a disposizione anche prove a lunga durata possiamo utilizzare la seguente espressione

fornita dalle norme:

)(C 1000rrtrtr σ∆−σ∆+σ∆=σ∆ ∞ (12)

essendo:

1000rσ∆ la caduta per rilassamento da catalogo per %2,0ore 1000t ⇒= ;

rtσ∆ la caduta per rilassamento da catalogo per )ore5000t(%6,2ore 2000t =⇒≥ ;

C coefficiente tabellato dipendente da t e pari a 3 per t=5000 ore;

per cui la (12) fornisce:

( ) k044,0020,0026,03026,0)(C

spi

1000rrtrt

spi

r ==−⋅+=σ

σ∆−σ∆+σ∆=

σσ∆ ∞

Pertanto è lecito assumere a vantaggio di sicurezza k = 0,05 ed in definitiva si ha:

( ) 222

6

2

ptk

spi2spir m/kN697505,075,0

25,005,010395,15,0

f25,0K

=−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

σσ=σ∆ ∞

dove ptkspi f75,0=σ in quanto 75,078,0fptk

tiro,spi >=σ

;

33

Stato tensionale dei trefoli a cadute di tensione avvenutePer tenere conto dell’influenza reciproca tra le cadute di tensione per ritiro e viscosità del

conglomerato cementizio, indicate globalmente con la notazione ssfσ∆ e la caduta per rilassamento

dell’acciaio ∞σ∆ r , si può adottare la seguente espressione (punto 5.1.8.1.5 del DM 14/09/2005):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ∆

−σ∆=σ∆ ∞∞spi

ssfrr 5,21'

dove ∞σ∆ r' rappresenta la minore caduta per il rilassamento dell’acciaio.

spiσ è la tensione di esercizio nei trefoli;

Le tensioni di esercizio nei trefoli sono infine: ∞σ∆−σ∆−σ∆−σ=σ rflritspispi ''

∆σfiEL ∆σrit ∆σfi

FL ∆’σril(∞) ∆σTOT σsp kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2

59639 51696 54990 238081 1220360 54869 53061 54826 234513 1223928 50099 54425 54663 230945 1227496 45330 55790 54500 227377 1231064 40560

71757

57155 54337 223809 1234632 La verifica dello stato tensionale nel trefolo richiede che sia

24ptksp m/kN10113

65,1f

⋅=≤σ

OSS.: la verifica tensionale non risulta essere soddisfatta. Tuttavia tenendo presente che al punto

4.3.4.10 del DM 9/1/96 è detto che negli acciai da pretensione possono ammettersi, per effetto dei

sovraccarichi, incrementi dei limiti massimi di tensione pari a 0,06 fptk, possiamo concludere che:

24ptk

ptksp m/kN10124f06,0

65,1f

⋅=⋅+≤σ

34

VERIFICHE IN FASE DI ESERCIZIO La posizione del centro degli sforzi di precompressione è determinata allo stesso modo di come

fatto in precedenza, portando però questa volta in conto anche le cadute di tensione. I risultati sono

illustrati sinteticamente nella tabella che segue:

σsp Ni Mi N M Yr eomog. No/N kN/m2 kN kNm kN kNm m m %

1220360 227.0 10.21 1223928 227.7 21.63 1227496 228.3 33.11 1231064 229.0 44.65 1234632 229.6 56.26

1142 166 0.145 0.184 1.19

Dove: ; iii YNM = con Yi distanza della i-esima linea dei trefoli dal bordo inferiore;

spisii AN σ= iiMM Σ= e ii NN Σ= ; NMYr = RGiomog Yye −=

OSS.: il rapporto N/N0=1,19 ci dice che le cadute di tensione ipotizzate (β=1,3) risultano minori di quelle effettive. Per le verifiche in esercizio distinguiamo tra le due condizioni di carico rara e condizione di carico quasi permanente. In ogni caso le tensioni normali di esercizio, al lembo superiore e inferiore sono calcolate come:

omogsolteg,s

varpermomog

teg,s

solomog

teg,s

minomog

teg,s

omog

cics W

MM

WM

WM

WNe

AN

+

++++−=σ

omogsolteg,i

varpermomogteg,i

solomogteg,i

minomogteg,i

omog

cici W

MM

WM

WM

WNe

AN

+

+−−−+=σ

dove: N è lo sforzo normale in esercizio (cioè considerate anche le cadute di tensione);

Aci è l’area della sezione omogeneizzata costituita dal tegolo e dai trefoli;

eomog è l’eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della sezione

tegolo + trefoli omogeneizzata e considerando anche le cadute di tensione; omog

teg,sW e omogteg,iW è il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata tegolo+trefoli rispetto

al lembo superiore ed inferiore del tegolo; omog

solteg,sW + e omogsolteg,iW + è il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata

tegolo+trefoli+soletta rispetto al bordo superiore ed inferiore del tegolo;

35

VERIFICHE IN FASE DI ESERCIZIO • condizioni di carico rara

N Aci eomog. omogteg,sW . omog

teg,iW . omogsolteg,sW + omog

solteg,iW +. σcs σci

kN m2 m m3 m3 m3 m3 kN/m2 kN/m2 1142 0.251 0.184 0.0371 0.0192 0.0678 0.0228 6108 126

I limiti tensionali sono (condizioni ambientali ordinarie):

2ckcs m/kN26190

4,15,1R

=⋅

≤σ 2ctkci m/kN1030

6,1f

=≤σ

• condizioni di carico quasi permanente

N Aci eomog. omogteg,sW . omog

teg,iW . omogsolteg,sW + omog

solteg,iW +. σcs σci

kN m2 m m3 m3 m3 m3 kN/m2 kN/m2 1142 0.251 0.184 0.0371 0.0192 0.0678 0.0228 5506 1920

I limiti tensionali sono (condizioni ambientali ordinarie):

2ckcs m/kN20370

8,15,1R

=⋅

≤σ

Evidentemente quello che cambia tra le due condizioni di carico è il momento Mperm+Mvar che

vengono calcolati con coefficienti di combinazione ψ differenti.

Le verifiche risultano entrambe soddisfatte!

36

VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER

SOLLECITAZIONE TAGLIANTE

La consuetudine progettuale suggerisce di verificare la trave in calcestruzzo armato precompresso

come una trave in cemento armato normale per una distanza pari a 70Φ dall’appoggio. Tale

prescrizione discende dal ritenere inefficace la precompressione all’interno della suddetta distanza.

La combinazione di carico da considerare è la seguente:

( ) ( ) ( )∑∑∑===

⋅γ⋅γ+⋅γ⋅γ⋅ψ+⋅γ⋅γ+⋅γ⋅γ=l

1hkhEPhPh

n

2ikiEQiQii0k11EQ1Q

m

1jkjEGjGjd PQ QG F (10)

essendo:

Gk il valore caratteristico delle azioni permanenti;

Pk il valore caratteristico della eventuale forza di precompressione;

Q1k il valore caratteristico dell’azione di base di ogni combinazione;

Qik i valori caratteristici delle altre azioni variabili tra loro indipendenti;

Gγ =1,4 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

Qγ =1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

Pγ =1,2 (0,9 se il suo contributo aumenta la sicurezza);

1γγγ EQEPEG === (tabella 5.1-II del DM 14/09/2005)

6,0neve0, =Ψ 7,0richi0,sovracca =Ψ

Nel caso in esame la (10) diviene: neve,kkcosovraccarik,kd Q6,05,10,9P 1,5Q G 1,4 F ⋅⋅+++=

37

VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER

SOLLECITAZIONE TAGLIANTE

Il massimo valore del taglio si ha ovviamente sull’appoggio laddove come detto non si considera

l’azione della precompressione. Si ha quindi:

peso tegolo l γq γg Ψ0 q ---- kN/m2 m ---- ---- ---- kN/m

proprio 2.78 ---- 1.4 ---- 8.58 soletta 1.25 ---- 1.4 ---- 3.85

isolante 0.01 ---- 1.4 ---- 0.03 massetto s=2 cm 0.48 ---- 1.4 ---- 1.48

imperm. 0.10 ---- 1.4 ---- 0.31 sovraccarico 1.00 1.5 ---- 0.7 3.30

neve 0.71

2.200

1.5 ---- 0.6 1.41 totale 19.0

Il taglio sollecitante di calcolo è:

kN13321419

2LqV 3ult

sdu =⋅

==

Tale valore deve essere confrontato con il taglio resistente di calcolo allo stato limite ultimo RduV .

La resistenza a taglio RduV di elementi strutturali dotati di specifica armatura a taglio deve essere

valutata sulla base di una adeguata schematizzazione a traliccio (DM 14/9/2005-punto 5.1.2.1.6.2).

Gli elementi resistenti dell’ideale traliccio sono: le armature trasversali, le armature longitudinali, le

bielle di conglomerato cementizio. Secondo il D.M. 9/1/96 (p. 4.2.2.3.1) per valutare la resistenza a

compressione delle bielle inclinate di conglomerato si può usare la seguente espressione:

kN133VkN1027dbf30,0V sduwcdRdu =<<=⋅⋅⋅=

in cui bw=2b=30 cm

cdf resistenza di calcolo a compressione;

d altezza utile;

38

CALCOLO DELLE ARMATURE TRASVERSALI D’ANIMA Il calcolo viene eseguito imponendo il soddisfacimento della seguente espressione fornita dalle

norme ( D.M. 9/1/96 par. 4.2.2.3.2):

wdcdsdu VVV +≤

in cui:

cdV è la resistenza a taglio offerto dal calcestruzzo dovuti ai vari meccanismi resistenti che si

sviluppano in esso: δ= dbf,V wctdcd 60

dove:

fctd = resistenza a trazione di calcolo del calcestruzzo;

d = l’altezza utile;

δ=un coefficiente che tiene conto della presenza di un eventuale sforzo normale;

wdV è la resistenza a taglio offerta dall’armatura trasversale d’anima:

)cossen(s

d90,0fAV ywdswwd α+α=

dove:

Asw = area dell’armatura trasversale;

fywd =resistenza a trazione di calcolo dell’armatura;

s= passo delle staffe;

α= inclinazione dell’armatura trasversale rispetto all’asse della trave;

39

• CALCOLO DI Vcd

Considerando che 9,06,1fff ctk

rc,m

ctkctd ⋅

=γ⋅γ

= (DM 14/9/05 – punto 5.1.2.1.4.2) e che

( )bkctmctk R48,07,0f7,0f ⋅⋅== (DM 14/9/05 – punto 11.1.10.2), si ricava:

( ) 2bk

rc,m

ctkctd mm/N73,1

9,06,1R48,07,0f

f =⋅

⋅⋅=

γ⋅γ=

La resistenza di calcolo aumenta se è presente flessione, cioè ctmcfm f2,1f ⋅= ed infine:

2ctd mm/N08,273,12,1f =⋅= e risulta dunque:

kN1331355,03,020806,0dbf6,0V wctdcd =⋅⋅⋅⋅=δ=

• CALCOLO DI Vwd

IL DM 9/1/96 al punto 4.2.2.3.2, chiarisce che l’aliquota di resistenza tagliante Vwd non può

essere inferiore alla metà del taglio di calcolo. Pertanto: kN3,662

VV sdu1min

wd ==

Quindi dall’espressione di normativa, una volta fissato il tipo di staffa, si può calcolare il passo

minimo dell’ armatura trasversale d’anima.

Si ha infatti wd

ywdsw

Vd,fA

s900

≤

Se utilizziamo staffe Φ10 FeB44k

m1003,5A 510

−Φ ⋅=

2410sw m1001,2A4A −

Φ ⋅== (staffe a 4 braccia)

23

s

ykywd m/kN10374

15,1430000f

f ⋅==γ

=

quindi: m36,0smin =

40

Minimi di normativa per le staffe Le verifiche a taglio risultano soddisfatte se adottiamo staffe Φ8 con un passo di 35cm.

La normativa fornisce alcune limitazioni sul passo delle staffe (par. 5.1.8.2.2 del D.M. 14/9/05):

1) b5,1metroperAsw ⋅≥ [mm2], essendo b=30 cm2sw mm450

mlA

≥

Se poniamo una staffa ogni 35 cm, per metro lineare si avranno:

mm28735,0

A2A 8

sw == Φ ovvero è un’area insufficiente;

Ponendo s=20 cm !OKmm450mm50220,0

A2A 8

sw ⇒>== Φ

2) almeno3 staffe al metro lineare 3) d,s 80≤ che nel nostro caso con d = 0,355 m cm4,285,358,0s =⋅≤

In prossimità degli appoggi (per una lunghezza pari all’altezza utile della sezione) devono essere

applicate le prescrizioni contenute nel par. 5.1.6.1.2 del DM 14/9/2005 (OSS. Queste regole

valgono in realtà per il c.a. ordinario, ma abbiamo già osservato che nei primi 70 diametri siamo in

questa condizione):

longs Φ≤12 con longΦ diametro minimo dell’armatura longitudinale (nel nostro caso dei

trefoli) cm1525,112s =⋅≤ . Pertanto: in appoggio adotteremo per l=d=40 cm staffe Φ8 con un passo s=15 cm;

per il resto della trave staffe Φ8 con un passo s=20 cm;

OSS.1: in zona sismica esistono prescrizioni più restrittive di quelle sopra considerate. Tuttavia si

ritiene il tegolo un elemento secondario per cui queste considerazioni non valgono. A

riprova di questo al punto 5.1.6.1.2 del DM 14/9/2005 si parla di nodo strutturale che è

quindi un nodo continuo e non certamente l’appoggio di un tegolo sulla trave a sezione

variabile.

OSS.2: è ovvio che la verifica a taglio nella zona in cui agisce la precompressione è sicuramente

soddisfatta. Si ricordi, infatti, che nell’espressione di Vcd compare il termine δ che assume

valori compresi tra 1 e 2. Del resto è ben noto che l’effetto della precompressione è benefico

per il taglio.

41

VERIFICA A FESSURAZIONE

La formazione delle fessure, in un’opera realizzata in cemento armato, è da ritenersi una ovvia

conseguenza delle condizioni di lavoro dei due materiali (acciaio e calcestruzzo) che coesistono

nella struttura. D’altra parte, quadri fessurativi eccessivi e diffusi sono certamente da evitarsi, in

quanto favoriscono l’aggressione di agenti esterni nei confronti delle armature, la cui ossidazione

risulta tanto più rapida ed intensa quanto più l’ambiente è chimicamente acido.

Nasce così il problema, attesa la impossibilità di eliminarle, di limitare le ampiezze delle lesioni in

funzione delle condizioni di esercizio della struttura, condizioni di carico, nonché della sensibilità

degli acciai alla corrosione.

Secondo il D.M. 14/9/05 (punto 5.1.2.2.6.1) per assicurare la funzionalità strutturale bisogna

considerare i seguenti tre stati limite diversi:

1. stato limite di decompressione,nel quale, per la combinazione di carico scelta, la tensione normale nella fibra è ovunque di compressione ed al più uguale a 0;

2. stato limite di formazione delle fessure nel quale, per la combinazione di carico scelta si accettano sollecitazioni di trazione nel conglomerato purché inferiori a:

m

ctkt

fγ

≤σ

3. stato limite di apertura controllata delle fessure, con il quale, per la combinazione di azioni prescelta, il valore caratteristico di apertura della fessura calcolato al livello considerato è pari a un valore nominale prefissato:

w1= 0,1 mm

w2= 0,3 mm

w3= 0,4 mm

42

VERIFICA A FESSURAZIONE

Nelle verifiche bisogna considerare le seguenti combinazioni di azioni:

- azioni quasi permanenti; - azioni frequenti; - azioni rare;

Dal prospetto 5.1-X della norma si desumono i criteri di scelta dello stato limite considerato in

relazione alla nostra condizioni ambientali ordinarie ed armatura sensibile (i trefoli sono considerati

sensibili alla corrosione).

Stato limite wk Condizioni

ambiente

Combinazioni delle

azioni

apertura delle fessure 2w≤ frequente

apertura delle fessure 1w≤ Ordinarie

quasi permanente

La verifica per combinazione di carico quasi permanente è già soddisfatta per lo stato limite di

decompressione, poiché si è considerata trazione nulla al lembo inferiore

Bisogna verificare che, per condizioni di carico frequente, risulti:

mm3,0ww 2d =≤

essendo wd il valore caratteristico di calcolo di apertura delle fessure nella zona di efficacia delle

armature ed è fornito dalla seguente espressione (punto 5.1.2.2.6.6 del DM 14/09/2005):

md w7,1w =

dove wm è l’ampiezza media delle fessure, calcolata come prodotto della deformazione media delle

barre d’armatura smε per ∆sm che rappresenta la distanza media tra le fessure ( smsmmw ∆⋅ε= )

43

CALCOLO DELLE FESSURE

Il calcolo della distanza media delle fessure può essere effettuato utilizzando formule semi-

empiriche come quella suggerita dall’EC2 ( parte I-1 par. 4.4.2.4):r

21sm KK25,050ρΦ

+=∆

in cui: K1 = coefficiente che tiene conto delle proprietà d’aderenza delle barre pari a 0,8 per barre

ad aderenza migliorata;

K2 = coefficiente che tiene conto della forma del diagramma delle deformazioni pari a 0,5

per la flessione;

Φ =diametro delle barre espresso in millimetri (nel caso siano presenti più diametri si

considera il valore medio);

ρr = rapporto di armatura efficace pari a eff,c

sr A

A=ρ ove As è l’area dell’armatura contenuta

nell’area tesa efficace Ac,eff.. L’area efficace Ac,eff è l’area di calcestruzzo che circonda le

armature tese; in genere si assume:

217,0145,05,260,0Y5,2bA rweff,c =⋅⋅=⋅⋅= 0043,0217,0

00093.0A

A

eff,c

sr ===ρ

cm35mm3420043,0

5,125,08,025,050KK25,050r

21sm ≅=⋅⋅+=ρΦ

+=∆

Per calcolare la deformazione media l’EC2 propone la seguente relazione (che tiene conto

dell’effetto del tension stiffening):⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

ββ−σ

=ε2

s

cr21

s

ssm 1

E

essendo: σs la tensione calcolata nell’armatura nella sezione fessurata;

σcr la tensione nell’armatura tesa calcolata nella sezione fessurata nella condizione di

carico che induce la prima fessura (momento di prima fessurazione);

β1 il coefficiente che tiene conto dell’aderenza delle barre pari a 1,0 per barre ad

aderenza migliorata;

β2 il coefficiente che tiene conto del carico (β2 = 0,5 per carichi di breve durata e pari

a 1,0 per carichi di lunga durata o ciclici; (con i primi si considerano gli effetti del

fluage con i secondi la perdita di aderenza);

44

VERIFICA A FESSURAZIONE

Stato limite wk Condizioni

ambiente

Combinazioni delle

azioni

apertura delle fessure 2w≤ frequente

apertura delle fessure 1w≤ Ordinarie

quasi permanente

La combinazione di carico frequente è la seguente:

( ) ( ) ( )∑∑∑===

⋅γ⋅γ+⋅γ⋅γ⋅ψ+⋅γ⋅γ⋅ψ+⋅γ⋅γ=l

1hkhEPhPh

n

2ikiEQiQii2k11EQ1Q11

m

1j

kjEGjGjd PQ QG F

che nel caso specifico si particolarizza nelle:

nevesovrackk d Q1,01,0,30Q1,01,0,30 0,9P G F ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=

nevesovrackk d Q1,01,0,10Q1,01,0,50 0,9P G F ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=

Le due combinazioni differiscono solo per gli ultimi due termini,perciò confrontiamo questi ultimi:

m/kN744,094,03,054,13,0Q,30Q,30 nevesovrac =⋅+⋅=⋅+⋅

m/kN864,094,01,054,15,0Q,10Q,50 nevesovrac =⋅+⋅=⋅+⋅

In definitiva la combinazione da usare per la verifica è:

nevesovrackk d Q1,01,0,10Q1,01,0,50 0,9P G F ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=

A questo punto è importante osservare che la verifica in esercizio eseguita al lembo inferiore per

combinazione di carico rara conduce ad avere min,c2

ci m/kN126 σ−>=σ e quindi la trazione

ipotizzata risulta inferiore a quella sopportabile del calcestruzzo, cioè non si creano lesioni.

Ciò ci assicura l’assenza della fessurazione anche per combinazione di carico frequente che risulta

meno severa di quella rara. Per questo motivo risulta inutile procedere al controllo delle aperture

delle fessure.

45

VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER

FLESSIONE

Gli stati limite sono delle situazioni a partire dalle quali la costruzione o una delle sue parti cessa di

assolvere la funzione alla quale era destinata, e per la quale era stata progettata e costruita.

La verifica consiste nel valutare le resistenze di progetto e constatare che esse siano maggiori delle

sollecitazioni di progetto derivanti dall’applicazione delle azioni esterne di progetto.

La verifica è condotta tenendo conto delle seguenti ipotesi (D.M. 14/9/2005 -punto 5.1.2.1.5.1):

a) conservazione delle sezioni piane; b) deformazione massima del calcestruzzo compresso pari a –0,0035 nel caso di flessione

semplice o composta con asse neutro reale, e variabile dal valore predetto a –0,002, quandol’asse neutro, esterno alla sezione, tende all’infinito;

c) deformazione massima dell’armatura tesa (contata a partire dalla decompressione delcalcestruzzo se si tratta di armature di precompressione) +0,01.

I diagrammi di calcolo tensione-deformazione del calcestruzzo sono, di norma del tipo parabola

rettangolo. L’arco di parabola, di grado secondo, è passante per l’origine con l’asse parallelo a

quello delle tensioni; all’ascissa 0,002 si ha il vertice della parabola; l’ordinata massima fcd.

Dall’ascissa 0,002 a 0,0035 il diagramma è costituito da una retta parallela alle ascisse tangente nel

punto di massimo alla parabola.

In virtù delle limitazioni indicate per le deformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio si possono

individuare sei diverse regioni nelle quali potrà trovarsi la retta di deformazione.

Il calcolo del momento ultimo sarà condotto considerando la sezione di mezzeria nella condizione

di esercizio.

46

Deformazioni iniziali e decompressione nei trefoli I trefoli ed il cls sono sollecitati in fase di esercizio di conseguenza si configurano già deformati.

Tale deformazione deve essere considerata nel calcolo del momento ultimo in quanto rappresenta

una risorsa del materiale già sfruttata che può anticipare la crisi.

La deformazione dell’acciaio per decompressione del cls, alle varie quote di livello laddove ci sono

i trefoli è data da: omogteg,j

omog

cicj W

NeAN

+=σ

dove: N è lo sforzo normale in esercizio (cioè considerate anche le cadute di tensione);

Aci è l’area della sezione omogeneizzata costituita dal tegolo e dai trefoli;

eomog è l’eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della sezione

tegolo + trefoli omogeneizzata e considerando anche le cadute di tensione; omogteg,jW è il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata tegolo+trefoli rispetto alla

quota del trefolo jesimo;

trefolo omogteg,jW σcj Ec εcj

n° m3 kN/m2 kN/m2 ---- 1 0.0222 14040 0.0332% 2 0.0269 12374 0.0292% 3 0.0342 10709 0.0253% 4 0.0469 9043 0.0213% 5 0.0746 7378

42272331

0.0174%

Invece le tensioni iniziali nei trefoli valgono (considerato anche le cadute di tensione):

σsp Es εspj kN/m2 kN/m2 ----

1220360 0.6071% 1223928 0.6089% 1227496 0.6107% 1231064 0.6125% 1234632

210000000

0.6142% per cui i valori di εspj e di εcj andranno sommati alla deformazione relativa alla condizione di rottura,

che, come indicato dalla norma, è contata a partire dalla decompressione del calcestruzzo.

47

CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO Il calcolo del momento ultimo sarà condotto, come consentito dalla norma, attraverso l’ipotesi

semplificativa di “stress block” (DM 14/9/05 –punto 5.1.2.1.5.2), ossia assumendo le tensioni di

compressione nella sezione pari al valore massimo di schiacciamento per il cls (fcd) agenti fino ad

una profondità di 0.8 xc (essendo xc la profondità dell’ asse neutro dal lembo superiore).

Detto ciò attraverso un procedimento per tentativi (ipotizzando una condizione di rottura),

determiniamo la posizione dell’asse neutro:

I. Rottura bilanciata

(sia il cls che il ferro hanno raggiunto la deformazione massima consentita).

Si pone εs1 = 0.01 (deformazione ultima dell’ acciaio del trefolo più in basso) ed εc = 0.0035

(deformazione ultima del calcestruzzo) e per l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane il

diagramma delle deformazioni è lineare; è dunque noto il valore della profondità dell’asse

neutro:

m131.05.310

5.3)045,05,005,0(5.310

5.3)yhs(x

000

000

000

000

000

000

1c =

+⋅−+

=+

⋅−+=

con: s = spessore della soletta;

h = altezza del tegolo;

y1 = altezza della prima fila di trefoli dal bordo inferiore

48

I. Rottura bilanciata

Nota la profondità dell’ asse neutro possiamo calcolarci le deformazioni ultime subite dalle file di trefoli

superiore alla prima.Detta yi la quota dal lembo inferiore della generica coppia di trefoli risulta:

)(10)(

*1

000

yxhsyxhs

c

icsi −−+

⋅−−+=ε avendo indicato con ε*si la deformazione della generica fila di trefoli.

trefolo xc Yi htot ε*si

n° m m m ---- 1 0.045 0.0100 2 0.095 0.0087 3 0.145 0.0073 4 0.195 0.0060 5

0.1309

0.245

0.55

0.0047 Sommando quella appena calcolata al valore di esercizio della deformazione da pretensione ed a quella di

decompressione del cls (εsi=ε*s+εsp+εci); Si ottiene:

trefolo εspi εci ε*si εsi

n° ---- ---- ---- ---- 1 0.0061 0.0003 0.0100 0.0164 2 0.0061 0.0003 0.0087 0.0150 3 0.0061 0.0003 0.0073 0.0137 4 0.0061 0.0002 0.0060 0.0123 5 0.0061 0.0002 0.0047 0.0110

Nota la deformazione finale possiamo ricavarci la tensione di lavoro di ogni trefolo, dal legame costitutivo

dell’acciaio. Per tale fine calcoliamo la deformazione di snervamento dei trefoli:

000

5

3

ss

k)1(pt

s

ptdys 22,7

1021001

15.1101670

E1

γf

Ef

ε =⋅

⋅⋅

=⋅==

è evidente che sarà⎪⎩

⎪⎨

⎧

<⋅

≥

=

yssisis

yssiptd

εεperεE

εεperf

siσ

Nota la tensione di ogni singolo trefolo, detta Asi =0.000186 mq l’ area della singola coppia di trefoli, è

noto lo sforzo di trazione che sollecita la sezione, essendo kN1351σAT4

1isisi =⋅= ∑

=

Resta dunque da calcolare lo sforzo di compressione agente, che stante l’ipotesi di STRESS-BLOCK

fornisce: kN5031C = , da cui si vede chiaramente che la condizione di rottura ipotizzata non soddisfa

l’equilibrio alla traslazione della sezione in quanto:C/T=3.72

49

I. tentativo

A questo punto conservando le stesse ipotesi di rottura e cioè che il trefolo a livello 1 abbia una deformazione pari

all’1%, ma procedendo per tentativi nel fissare il valore di xc, si arriva a determinare il valore che soddisfa l’

equilibrio alla traslazione della sezione.

La soluzione è xc = 0.0583 m con C=T=1351 kN

Rispettato l’equilibrio, si può procedere al calcolo del momento ultimo. A tal proposito occorre determinare il

braccio della coppia interna h*, che può semplicemente calcolarsi con la seguente :

h*=(s+h)-y’–yc,sup=0,50+0,05-0,145-0,0292=0,376 m

essendo: yc,sup=0.4 xc=0,0292 m la distanza dal lembo superiore della risultante delle compressioni;

y’=0,145 m è la distanza del baricentro delle trazioni dal lembo inferiore (evidentemente poiché in

tutti i trefoli la tensione è la stessa, la distanza dal centro degli sforzi dal lembo inferiore della

sezione è proprio pari alla distanza del baricentro geometrico dei trefoli dal lembo inferiore)

Pertanto il momento ultimo è:

kNm510376,01351*hTM Rdu =⋅=⋅=

Il valore del momento ultimo sollecitante si calcola invece a partire dal valore del carico ultimo già valutato nella

verifica a taglio:

kNm46681419

8Lq

M22

3uSdu =

⋅=

⋅=

Si può concludere che la verifica allo SLU è soddisfatta.

50

CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO NEI 70φ Come gia chiarito in precedenza, in un tratto di lunghezza pari a 70φ=70x0.0125 =0.875 m dall’ appoggio, la

trave in precompresso va calcolata e verificata come una trave in cemento armato normale.

Risulta, quindi, necessaria un’armatura inferiore aggiuntiva che sia idonea ad assorbire la massima sollecitazione

flessionale che in questo tratto si manifesta. La sezione più sollecitata è proprio quella distante 70φ dall’

appoggio.

Msud,(70φ) =Vsdux70φ - qult (70φ)2/8 =109 kNm

La sezione non cambia dal punto di vista geometrico rispetto a quella di mezzeria, la sollecitazione però subisce

una diminuzione , ciò vuol dire che l’ asse neutro sarà meno profondo rispetto alla mezzeria e quindi sicuramente

compreso all’ interno dello spessore della soletta.

Può porsi:

Mult = Cxd* = B 0,8 xc fcd (s+h-c-0.4xc)

Essendo d* il braccio della coppia interna e c il copriferro dell’ armatura longitudinale aggiuntiva che verrà

introdotta nel tratto iniziale di trave. Ipotizzando un valore di xc e reiterando fino a quando tale valore non

consente di avere un ( )φ≅ 70Sduult MM si ottiene (per un copriferro c=4 cm):

xc=0,009 m

Si può quindi calcolare l’armatura dolce occorrente ad assorbire lo sforzo di T=C=215 kN

T=C fsyd Afcal. ferri Afeff. kN kN/m2 cm2 ---- cm2

215 373913 5.8 4Φ14 6.16

Come mostrato dalla tabella occorrono 4 barre φ14.

51

LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO.

La tensione di aderenza di calcolo vale (D.M. 14/9/2005 –punto 5.1.2.1.4.4):6,1

fff bk

c,m

bkbd =

γ=

Il valore di fbk non è specificato nel D.M. 14/09/2005, tuttavia al punto 5.1.2.1.10 è detto che la lunghezza di

ancoraggio deve essere in ogni caso non inferiore a 20 diametri con un minimo di 150 mm. Nel caso specifico:

cm30assumesicm284,12002 14anc ⇒=⋅=φ⋅=l

Oss.: se si fosse usato i limiti della tensione di aderenza del DM 9/1/96 punto 5.3.3 e cioè

2ctk

m

ctkbd m/kN3738

5,1f

25,2f

25,2f ==γ

= si sarebbe avuta la seguente lunghezza di ancoraggio:

cm33,0f

T

bd

barragolasinanc =

φ⋅π⋅=l

52

CALCOLO DEL MOMENTO ULTIMO NEI 70φ (traslazione)Bisogna osservare, invero, che il DM 9/1/96 al punto 4.2.2.3.3 considera la traslazione del diagramma del

momento. Questo significa che al verifica svolta sempre nella sezione a 70φ dall’appoggio, si esegue traslando il

diagramma del momento flettente.Lo schema resistente ipotizzato è il seguente:

45°

1 2

T

C

Come si vede, l’ armatura nella sezione 1 deve equilibrare un momento presente nella sezione 2, per tale motivo

si trasla il diagramma dei momenti. Il del momento traslato si calcola come da normativa:

M(V)sdu,(70φ) =Msdu,70φ + Vsdu,70φ a1

essendo: a1= 0.9d (1-cotgα) = 0.9d (α=90° = inclinazione delle staffe)

d = altezza utile della sezione

Vsdu,70φ = Vsdu,appoggio – qultx70φ =132,7– 19*0.875=116,1 kN

Si ripete dunque il progetto dell’ armatura longitudinale pedissequamente a come svolto nel capitolo precedente.

Se ne riportano sinteticamente i risultati:

Calcolo armatura lenta T=C fsyd Afcal. ferri Afeff.

kN kN/m2 cm2 ---- cm2

321 373913 8.6 4Φ16 8.05

Calcolo lunghezza di ancoraggio fctk γc fbd n° barre Tsing. barra Φbarre l1 lanc.

kN/m2 ---- kN/m2 ---- kN mm m m

2492 1.5 3738 4 80.28 16 0.43 0.45