prog lineal simplex (1)
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Investigación Operativa I
Programación Lineal
Problemas de Minimización
Ing. Percy Gutierrez
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Ejemplo:
!upongamos "ue se cuenta con dos alimentos: pan y
"ueso# cada uno de ellos contiene calorias y proteinas
en diversas proporciones. $n %ilogramo de pan
contiene &''' calorias y (' gramos de proteinas) y un
%ilogramo de "ueso contiene *''' calorias y &''gramos de proteinas. !upongamos "ue una dieta
normal re"uiere cuando menos +''' calorias y &''
gramos de proteinas diariamente. Por tanto) si el
%ilogramo de pan cuesta !,. +.'' y !,. &-.'' el "ueso)"u/ cantidades de pan y "ueso debemos comprar
para satis0acer los re"uisitos de la dieta normal)
gastando la menor cantidad de dinero1
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Las variables de decisión:
2- 3 45 de 6ilgrs de pan a comprar
2& 3 45 de 6ilgrs de "ueso a comprar
Pan Queso
Dieta
Normal
Calorías &''' *''' +'''
Proteínas (' &'' &''
Precio + &-
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Planteamiento del Modelo
7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 + X - 9 &- X &
!. a ;estricciones8:Calorias 2000X - 9 *''' 2& ≥ 600'.
Proteínas 50X - 9 &'' X & ≥ 20'.
4o negatividad
X - ≥ '# X & ≥ '.
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!olución:
Calorias 2000X - 9 *''' 2& 3 600'.
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Proteínas 50X - 9 &'' X & 3 20'.
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!olución Optima
!olución <=sica
!olución 7actible
Solución Optima
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;spta:
> ?Min8 3 + @ ' 9 &- @ A,& 3 A-.('
B Z ( Min8 3 + @ & 9 &- @ B 3 &&.('
C Z ( Min8 3 + @ * 9 &- @ ' 3 &*
!olución Optima:
Z ( Min8 3 + @ & 9 &- @ B 3 &&.('
Pan & 6ilogramos y Cueso '. 6ilogramos.
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Ejemplo &: Minimización
7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 -''' X - 9 &''' X &
!. a ;estricciones8: Alfa 8X - 9 & 2& ≥ 16.
Beta X - 9 X & ≥ 5.
Gamma 2X - 9 D X & ≥ 20.
4o negatividad
X - ≥ '# X & ≥ '.
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!olución:
!olución Optima
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;spta:
>nalizando los vertices y las intersecciones.
> Z ( Minimizar8 3 -''' @ ' 9 &''' @ 3 -+'''
< Z ( Minimizar8 3 -''' @ - 9 &''' @ * 3 F'''
C Z ( Minimizar8 3 -''' @ A 9 &''' @ & 3 D''' Z ( Minimizar8 3 -''' @ -' 9 &''' @ ' 3 -'''
Solución Optima:Z ( Min8 3 -''' @ A 9 &''' @ & 3 D''' X - 3 A y X & 3 &
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MEHOO !IMPLE2
El m/todo !imple debido a GEO;GE>4H?IG) prevee un sistema r=pido y e0ectivo
para resolver problemas de Programación
Lineal) es la metodologJa impleader en las
aplicaciones pr=cticas y permite resolver unagran cantidad de problemas de real importancia
industrial.
Este m/todo es igual "ue el metodo algebraico)
llega a la solución optima por medio de
iteraciones o pases sucesivos) el metodo
simple utiliza los conceptos basicos del
algebra matricial.
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MEHOO !IMPLE2
Para resolver problemas de programacion
Lineal por el metodo !imple se deben
incrementar di0erentes tipos de variables como
son el de Kolgura) eceso o arti0iciaies paraconvertir las desigualdades en ecuaciones)
luego se debe aplicar el criterio matricial "ue
mediante pasos sucesivos o iterativos) se
puede llegar partiendo con alguna solucion0actible) y sucesivamente obtiene soluciones en
las intersecciones "ue o0recen mejores
0unciones de la 0uncion objetivo.
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ariables:
ariable de olgura .N !e incrementa este tipo
de variable cuando la inecuacion presenta la
desigualdad de ≤.
ariable de Eceso .N cuando la desigualdad es
≥
ariable >rti0icial .N uando la restrición est=
epresada en una igualdad.
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Propiedades de las soluciones
El problema de Programcion Lineal se de0ine de la
siguiente 0orma:
allar los vectores "ue sean la solucion de: a--- 9 a-&& 9 ... 9 a-j j 9 ... 9 a-nn ≤ 3 ≥ b-
a&-- 9 a&&& 9 ... 9 a&j j 9 ... 9 a&nn ≤ 3 ≥ b&
P
P
ai-- 9 ai&& 9 ... 9 aij j 9 ... 9 ainn ≤ 3 ≥ bi
P
P
am-- 9 am&& 9 ... 9 amj j 9 ... 9 amnn ≤ 3 ≥ bm
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Propiedades de las soluciones
-.N e0inición de variables:
!ea j 3 Q.... # j 3 -) &) A....n
Cue Kaga maimo a:
Ma. o Min. z 3 -- 9 && 9 ... 9 j j 9 ... 9 nn
...donde n 3 Q total de valores j 3 ocurrencia.
4o 4egativo: no negatividad de signo para
variables: toda j ≥ '
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!e supone "ue:
-8 >lgunas de las condiciones pueden Kaber
sido desigualdades antes de 0uesen sumadas o
restadas nuevas variables para convertirlas en
ecuaciones. &8 Hodas las b ≥ ') lo cual pueden re"uerir "ue
alguna de las ecuaciones debe multiplicarse
por N-.
n R m) y > es de orden m n.
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$>;O P;EP>;>HO;IO C j Cn+1, Cn+2, Cn+n C1 C2 Cn
Ci
<ase
2%bi
2n9- 2n9& 2n9m 2- 2& 2n
oe0icientes de
Las variables
e olgura
oe0icientes de
Las restricciones
Z j
Z j - C j
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$>;O P;EP>;>HO;IO C j Cn+1, Cn+2 Cn+m C1 C2 Cn
Ci
<as
e
2%
b
i
2n9- 2n9& 2n9m 2- 2n&
2n
oe0icientes de
Las variables
e olgura
oe0icientes de
Las restricciones
Z j
Z j - C j
C j
3 Indica los
coe0iciente de la
7uncion Objetivo
Ci 3 Este vector
columna esta 0ormado
por los costos o
utilidades de las
variables en 0orma
inicial) pertenecen a la
solucion base delproblema
!"ase 3 ector
con0ormado por las
variables "ue se suponeson la solución del
#i3 alor independiente de la
restricciónZ j3 Producto del vector Ci
por todos los coe0icientes de
la matriz en 0orma
correspondiente 4o matricial8
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Ejemplo:
Sea la $%O
?Ma8 3 -- 9 && 9 AA 9'n9-9'n9& 9'n9A
-- 9 && 9 AA 9'*9'( 9'+
s%a
a--- 9 a-&& 9a-AA 9 -*9'( 9'+ 3 b-
a&-- 9 a&&& 9 a&AA9 '*9-( 9'+ 3 b&
aA-- 9 aA&& 9 aAAA9 '*9'( 9-+ 3bA
4.4
- )&) A ≥ '
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;eordenar para pasar los coe0icientes al cuadro
preparatorio
b-3 -*9'( 9'+ 9a--- 9 a-&& 9 a-AA
b&3 '*9-( 9'+ 9a&-- 9a&&& 9 a&AA
bA3'*9'( 9-+ 9aA-- 9 aA&& 9 aAAA
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!OL$IO4 <>!I>
C j C& C' C( C1 C2 C)
Ci
<ase
2% bi
2* 2( 2+ 2- 2& 2A
*
*
*
2*
2(
2+
b-
b&
bA
- ' '
' - '
' ' -
a--
a-&
a-A
a&- a&& a&A
aA- aA& aAA
Z j ' ' ' ' ' '
Z j - C j
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Ejemplo A: Minimización
7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 &( X - 9 (' X &
!. a ;estricciones8: Alfa 3X - 9 - 2& ≥ 8.
Beta 4X - 9 A X & ≥ 19.
Gamma 1X - 9 A X & ≥ 7.
4o negatividad
X - ≥ '# X & ≥ '.
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!olución: X -3*) X &3-
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Ejemplo *: Minimización
7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 A X - 9 &.( X &
!. a ;estricciones8:2X - 9 * 2& ≥ 40.
3X - 9 & X & ≥ 50.
4o negatividad
X - ≥ '# X & ≥ '.
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!olución: X -3-() X &3&.(
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Ejemplo (: Minimización
7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 & X - 9 * X &
!. a ;estricciones8: A 1X - 9 2& ≥ 4.
B 2X - 9 - X & ≥ 3.
C 1X - 9 A X & ≥ 6.
4o negatividad
X - ≥ '# X & ≥ '.
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!olución: Ecuacion S>T
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!olución: Ecuacion S<T
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!olución: Ecuacion ST
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!olución: X -3A) X &3-
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