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Profesor: Javier Chaca Alfaro.
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TEORÍA DE FUNCIONES
SE DEBE PARTIR DEL CONCEPTO
DE RELACIÓN
ASOCIACIÓN O ASIGNACIÓNENTRE LOS
ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS
EL PRIMER CONJUNTO SE LLAMA
DOMINIO DE LA RELACIÓN
EL SEGUNDO CONJUNTO SE LLAMA
CODOMINIO DE LA
RELACIÓN
Definida como
EN UNA RELACIÓN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO PUEDE TENER ASOCIADO UNO O
VARIOS ELEMENTOS DEL CODOMINIO
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La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva
Concepto de función
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CONCEPTO DE FUNCIÓN
SE LLAMA FUNCIÓN DE
UN CONJUNTO A EN OTRO B, A
TODA
ASOCIACIÓN O ASIGNACIÓNENTRE LOS
ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS
EL PRIMER CONJUNTO SE LLAMA
DOMINIO DE LA FUNCIÓN
EL SEGUNDO CONJUNTO SE LLAMA
CODOMINIO DE LA
FUNCIÓN
EN UNA FUNCIÓN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO SOLO PUEDE TENER ASOCIADO UN
ELEMENTO ÚNICO DEL CODOMINIO
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Términos Básicos de una Función
Dominio: Es el primer conjunto que intervienen en la función (conjunto A o X) también se le llama conjunto de partida. Se denota por DOM(f)
Codominio: Es el segundo conjunto que intervienen en la función (conjunto B o Y) también se le llama conjunto de Llegada. Se denota por COD(f).
Rango: los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado Rango o Recorrido de la Función. Se denota por Ran(f)
Imagen: si x es un elemento del Dominio, la notación f (x) se utiliza para designar el elemento en el recorrido que corresponde a X en la función f, y se denomina Imagen de X. NOTA: TODA FUNCIÓN ES UNA RELACIÓN, PERO NO TODA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN.
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¿ Cuál es Función ?
A B
B
A B
A BA
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Dominio y Recorrido en el plano cartesiano
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FORMAS DE REPRESENTAR FUNCIONES
2
: (0,0), (1,1), (2,4), (3,9),...
: ( , ) R /
f
f x y y x
x
y
POR FÓRMULAS O ECUACIONES
POR TABLAS DE VALORES
POR DIAGRAMAS SAGITALES
POR DIAGRAMAS CARTESIANOS
POR EXTENSIÓN
POR COMPRENSIÒN
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
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¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?
4 2f x x
24 2y x
DominioRecorrido
2 0x 2x
2;Dom f
4 2y x
24 2y x
4 2y x
Re 4;c f
Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y
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Y su grafica es
Menú
Tabla de Evaluación
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SEGÚN LA FORMADE RELACIONARSUS ELEMENTOS
INYECTIVA O UNO A UNO
(1-1)
SOBREYECTIVASUPRAYECTIVA
O SOBRE
BIYECTIVA
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES(aplicación):
SE CLASIFICAN EN
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SITUACIONES ESPECIALES
Función Biyectiva
Función No Inyectiva y No Sobreyectiva
Función Sobreyectiva no
Inyectiva
Función Inyectiva No Sobreyectiva
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Ejemplo:
Determine si la función f(x) = 3x + 8 es una función inyectiva.
Solución: 3x1 + 8 = 3x2 + 8
3x1 = 3x2
x1 = x2
Es función inyectiva.
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Suma y diferenciaDadas dos funciones f y g se define la función suma f +g por:
(f +g)(x)=f(x)+g(x)Ejemplo 1: Sea f(x)= x+3 y g(x) = x2 + 2x – 4. (f +g)(x)=f(x)+g(x) = x+3 + x2 + 2x – 4 = x2 + 3x – 1. Ejemplo 2: Sea f(x)= 4x+1 y g(x) = x2 + 3x – 1Determinar: (f +g)(x)=f(x)+g(x)
OPERACIONES CON FUNCIONES
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-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
Y
Suma y diferencia de dos funciones
Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g)
f(x) = x
1 + x2 : Dom(f) = R
g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}
(f + g) (x) = f(x) + g(x) =
= x
1 + x2 + 1 x :
Dom(f + g) = R – {0}
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Dadas dos funciones f y g se define la función producto f.g así
(f.g)(x)= f(x).g(x)
Ejemplo 1: Sea f(x) = x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4. (f.g)(x)=f(x).g(x) = (x+3) .( x2 + 2x – 4) = x3 + 2x2– 4x + 3x2+6x -12 = x3 + 5x2 + 2x – 12Ejemplo 2: Sea f(x)= x+5 y g(x)= x2 + 3x – 2
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COCIENTE
Dadas dos funciones f y g se define la función cociente f/g por:
(f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) sea distinto de 0.
Ejemplo: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4
2( x)
f x+3 g x + 2x - 4
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Practica calificada
1. Hallar “a + b”, si el conjunto de pares ordenados representa una función.
F = {(1; 3), (2; a - b), (3; 3a + b), (3; 14), (2;2)}
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 62. Si se sabe que f( - 1) = 4 y f(3) = - 2,
donde “f” es una función lineal. Halla la ecuación que define f(x).
3. Halla el dominio, rango y la grafica de las siguientes funciones reales:a. f(x) = 3x + 5
b. f(x) = 4x – 1 x ϵ < -2; 5]
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Hallar el dominio, rango y la gráfica de la función.1. g(x)= x2 + 2x – 42. f(x) = x2 – 4x + 33. f(x) = 2x2 – 12x + 5; x ϵ [-1; 4>4. f(x) = – x2 – 6x + 2