produit scalaire dans le plan cours élaboré par le prof: chouihi
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Produit scalaire dans le
plan
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I. Primitive d’une
fonction continue
I. Préliminaire
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1. Activité N°1
Dans la figure ci-dessous, ABCD est un carré.I et J sont les milieux respectifs des segments [CD] et [BC].On se propose dans cette activité de démontrer que les droites (AI) et (DJ) sont perpendiculaires.
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I. Primitive d’une
fonction continue
1ère méthodeOn désigne par O le centre du carré ABCD et par r le quart de tour direct de centre O.a) Préciser r(A) , r(D) et r(C).b) En déduire r(I).c) Conclure.
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I. Primitive d’une fonction continue
2ème méthodeOn pose AB = a ( a 0) et on rapporte le plan au repère orthonormé tel que: et
a) Déterminer les coordonnées des points I, C, J, B et A.
b) Vérifier que les vecteurs et sont orthogonaux.
c) Conclure.
1i DC
a
������������� � 1j DA
a
������������� �(D,i, j)
AI��������������
DJ��������������
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I. Primitive d’une fonction continue
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2. Commentaire
Ce chapitre a pour objectif d'introduire une nouvelle notion qui va nous permettre de résoudre ce problème, ainsi que d'autres, d'une manière plus simple!
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I. Primitive d’une
fonction continue
II. Produit scalaire
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1. Activité N°2 (l'activité N°1 page 6 du manuel scolaire)
Dans la figure ci-dessous, ABCD est un carré de côté a, BECD est un parallélogramme et H est le projeté orthogonal de E sur la droite (DC).1. Calculer en fonction de a les réels et .2. Calculer cosBDC et cosEDH .3. Calculer et
DB��������������
DE BC����������������������������
DB DC cos BDC ����������������������������
DE DC cos EDC ����������������������������
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2. Définition
Soit uet v deux vecteurs duplan.Ounpo int duplan,
Aet B lespo int sdéfinispar : u OAet v OB.
Onappelleproduit scalairedeuet v, leréel défini par :
OA.OB.cos AÔB si u 0 et v 0u v
0 si u 0 ou v 0
��������������������������������������� ���
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3. Application N°1a) Soit ABCD un carré de sens direct, de côté 4 et de centre I.Calculer:
b) Préciser le signe de . dans chacun des cas suivants:
AB.AC, AD.AC,DB.AC,IA.IC,
BI.BD ,DI.CB ,DI.IB , AB.CB
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
u.v
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I. Primitive d’une
fonction continue
4. Conséquences
a) [u et v sont colineaires ] ssi [ u.v ... ]
b)soit u et v deux vecteurs non nuls.
*[u et v sont colineaireset demêmesens ] ssi [u.v ... ]
*[u et v sont colineaireset desenscontraires ] ssi [u.v ... ]
c) [u et v sont orthogonaux] ssi [u.v ... ]
d) Pour tous vecteurs u et v ona : u.v v.u
e) Pour tout vecteur u , ona : u.u ...
f ) |u.v | u v (Inégalitéde Cauchy schawrz)
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I. Primitive d’une
fonction continue
5. Propriétés du produit scalaire
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I. Primitive d’une
fonction continue
Activité N°3
a) On suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires
En appliquant le théorème d'El Kashi dans le triangle OAB
montrer que :
b) Examiner le cas où les vecteurs sont colinéaires.
c) En remarquant que déduire de
l'égalité établie en a) que:
d) Déduire que:
Soit uet v deux vecteurs duplan.Ounpo int duplan,
Aet B lespo int sdéfinispar : u OAet v OB.
��������������������������������������� ���
u et v
2 2 2
u v u v 2u.v
u et v
u v u ( v)
2 2 2
u v u v 2u.v
2 2 2 2
u v u v 2( u v )
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I. Primitive d’une fonction continue
Propriétés
N.B: les propriétés précédentes sont connues sous le nom de règles du parallélogramme.
Pour tous vecteurs u et v ona :
2 2 2
u v u v 2u.v
2 2 2
u v u v 2u.v
2 2 2 2
u v u v 2( u v )
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I. Primitive d’une
fonction continue
Application N°2 ( l'exercice N°1 page 19 du manuel scolaire)
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I. Primitive d’une
fonction continue
u
v
w��������������
u.(v w) u.v u.w ����������������������������������������������������������������� �����
PropriétéPour tous vecteurs , et on a:
N.B: une démonstration de cette propriété était proposée par l'application précédente.
,
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I. Primitive d’une
fonction continue
Cours élaboré par le prof: Chouihi
Soit u et v deux vecteurset k unréel.Oest unpo int duplan.
On supposeque u 0, v 0 et k 0
On désignepar A,B, A'et B'lespo int sduplandéfinispar :
OA u,OB v ,OA' ku et OB' kv.
a)Comparer ,suivant lesignede
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
k,cos AÔB et cos A'ÔB
b)Etablir alors l 'égalité :(ku).v k(u.v)
c)Montrer que :u.(kv) k(u.v)
u 0 ou v 0 ou k 0, on déduit :
En remarquant que les égalités précédentes restent valables pour
Activité N°4
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I. Primitive d’une fonction continue
u
v
(ku).v u.(kv) k(u.v)
Pour tous vecteurs et et tout réel k, on a:
Propriété
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I. Primitive d’une
fonction continue
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Pour tous vecteurs et et tout réel k on a:
u
v
(ku).(k ' v) kk '(u.v)
,
Propriété
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Activité N°5 page 9
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Activité N°6 page 9
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Activité N°7 page 9
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Soit A et B deux points distincts. Déterminer chacun des ensembles suivants:
Application N°4
{M P tel que : AB.AM 0}
{M P tel que :MA.MB 0}
����������������������������
����������������������������
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et ' sont deux droites de vecteurs
directeurs respectifs et .
[ ' ] [ . = 0 ]
Commentaire
u
u'��������������
u
u'��������������
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I. Primitive d’une
fonction continue
6. Produit scalaire
et projection orthogonale
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Activité N°6
Soit uet v deux vecteurs duplan.Ounpo int duplan,
Aet B lespo int sdéfinispar : u OAet v OB.
��������������������������������������� ���
On désigne par H le projeté orthogonal de B sur (OA)a) Montrer que: b) Exprimer en fonction de OA et OH dans chacun des cas suivants:
u.v OA.OH�������������������������� ��
u.v
u.v ...
u.v ...
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Propriété
Soit uet v deux vecteurs duplan.Ounpo int duplan,
Aet B lespo int sdéfinispar : u OAet v OB.
��������������������������������������� ���
Où H est le projeté orthogonal de B sur (OA)
u.v OA.OH�������������������������� ��
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Activité N°2 page N°11
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Activité N°3 page N°11
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Activité N°3 page N°12
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7. Expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormé
N.B: dans ce qui suit, l'ensemble V des vecteurs du plan muni d'une base orthonormée (O, i , j)
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I. Primitive d’une
fonction continue