procesos estocáticos introducción (1)
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CONCEPTOS BÁSICOS•INCERTIDUMBRE Y SU TAXONOMÍA•VARIABLE ALEATORIA•EXPERIMENTO ALEATORIOCONTINUACIÓN INTRODUCCIÓN A PROCESOS ESTOCÁSTICOSCONCEPTOS BÁSICOS•MODELO MATEMÁTICO DE UN PROCESO ALEATORIO•DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD•TENDENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO•TIPOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS•PROCESOS ESTOCÁSTICOS•TIPOS DE PROCESOS ALEATORIOS•PROCEDIMIENTO PARA OBTENER UN MODELO PROBABILÍSTICOTRANSCRIPT
MODELOS ESTOCÁSTICOS
DOCENTE: JORGE URRUTIA
OBJETIVOS
Al finalizar el curso, el estudiante estará capacitado para aplicar las técnicas usadas para el estudio de las cadenas de Markov y las líneas de espera, así como de entender los conceptos que las sustentan.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Lograr que el estudiante identifique los procesos Markovianos, aprenda como plantear los modelos y resolverlos.
2. Hacer que el estudiante identifique los procesos de líneas de espera y utilice técnicas que permitan tomar decisiones apropiadas para el mejoramiento de la eficiencia de estos procesos.
CADENAS DE MARKOV
TEORÍA DE COLAS
INTRODUCCIÓN CONCEPTOS BÁSICOS
• INCERTIDUMBRE Y SU TAXONOMÍA
• VARIABLE ALEATORIA
• EXPERIMENTO ALEATORIO
TOMADO DE: ZAPATA, C.J. Análisis
probabilístico y simulación. Universidad
Tecnológica de Pereira. 2010.
El término incertidumbre se
refiere a aquella situación en la
cual no se tiene completo
conocimiento sobre un proceso
dado.
Lo opuesto a incertidumbre se
denomina certidumbre o
determinismo.
EL CONCEPTO DE
INCERTIDUMBRE
INCERTIDUMBRE Y
DETERMINISMO
Tiempo t en segundos
para la caída de un
objeto desde h
metros de altura
Tiempo t para gestar
un ser humano
LA INCERTIDUMBRE APARECE POR:
1 La incapacidad para explicar el proceso (falta de conocimiento=ignorancia)
2 La incapacidad para modelar o representar el proceso (por ignorancia, alta complejidad del proceso, limitación de las herramientas matemáticas y computacionales)
3 La incapacidad para medir u observar en forma precisa el proceso bajo estudio
La incertidumbre se refiere al analista no
al proceso.
EN INGENIERÍA…
En los problemas reales de ingeniería y ciencias se encuentra
que lo más común es que no existe la suficiente información o la
certidumbre como para establecer modelos determinísticos.
TAXONOMÍA DE LA
INCERTIDUMBRE
Nivel de
complejidad
Tipo de
incertidumbre
Descripción
0 Determinismo Completo conocimiento del proceso bajo estudio
1 Aleatoriedad Se conocen los posibles resultados del proceso bajo
estudio pero no sus causas, o, aunque se conocen las
causas y los resultados, no se es capaz de establecer
una descripción determinística del proceso
2 Vaguedad e
imprecisión
Incapacidad para definir en forma clara o precisa una
clasificación de las observaciones para las causas o
resultados. En términos lingüísticos se denomina vaguedad
y en términos numéricos imprecisión.
3 Ambigüedad Aunque existe una clasificación de las causas y resultados
se es incapaz de asignar algunas observaciones a ellas (no
especificidad)
4 Confusión Reúne características de vaguedad y ambigüedad.
EJEMPLO: EL PROCESO BAJO ESTUDIO ES OBSERVAR O MEDIR LA ESTATURA DE LAS PERSONAS QUE
ASISTEN A UN SALÓN DE CLASE
Tipo de
incertidumbre
Descripción
Determinismo Existe una definición perfecta de los resultados
Bajo < 1.50m 1.50m ≤ Medio ≤ 1.70m Alto > 1.70m
Aleatoriedad Requiere una perfecta definición de los resultados (Qué es Alto, Medio
y Bajo), pero la incertidumbre está en cómo se darán estos
resultados: con qué frecuencia llega una persona alta?
Vaguedad e
imprecisión
Cuáles valores pertenecen a cada categoría lingüística (Alto, Medio,
Bajo)?
Una persona con una estatura de 1.499999 es Baja o Media?
Ambigüedad 1.70 m es una estatura media o alta?
Confusión No se sabe si un resultado es alto o medio o qué es alto o medio.
EJEMPLO MODELO DIFUSO
Se define una función de pertenencia μ(x) para la variable x bajo
estudio, la cual da el grado de pertenencia de los valores de x
con respecto a una definición lingüística
VARIOS TIPOS DE
INCERTIDUMBRE
Un fenómeno o situación del mundo real
puede presentar varios tipos de
incertidumbre para un mismo analista.
Así mismo, dos analistas podrían manejar
un fenómeno o situación del mundo real
mediante teoría de probabilidad o con
teoría de lógica difusa, siendo ambas
alternativas válidas.
EJEMPLO
Un hombre tiene 4 amigas con las que sale en algunas ocasiones. Un sábado en la tarde este hombre llama a cada una de las 4 y las invita a salir. Cada una de ellas le responde “voy a mirar si puedo cuadrar los asuntos que tengo pendientes y te respondo en una hora”. Mientras espera la respuesta, este hombre dice: La probabilidad de que cualquiera de ellas en forma independiente acepte a salir conmigo es del 80%, entonces la probabilidad de que una de las cuatro acepte hoy a salir conmigo, la puedo hallar aplicando la distribución binominal
Mientras este hombre espera que sus amigas le respondan, un compañero de estudio le dice: No seas bobo, este asunto no es de probabilidades sino de lógica difusa pues la respuesta de ellas depende es de su estado de ánimo; así del estado de ánimo que detectaste al hablar con cada una de ellas, estima con la siguiente función de pertenencia cuál puede ser su respuesta:
EJEMPLO
INCERTIDUMBRE EN FORMA
DE ALEATORIEDAD
Mediante el análisis probabilístico se estudian
procesos donde existe incertidumbre en forma
de aleatoriedad.
Las otras formas de incertidumbre se
estudian mediante la lógica difusa (fuzzy
logic), la teoría de las posibilidades y la
teoría de la evidencia.
VAGUEDAD
AMBIGÜEDAD
CONFUSIÓN
ALEATORIEDAD
El término aleatoriedad se refiere a aquella situación en la cual
la ocurrencia de un evento dado no puede explicarse mas que
por intervención del azar
Algo carente de causa u orden o que es impredecible.
El término azar se
refiere a la ausencia de
causa o explicación
¿DE DÓNDE SURGE LA IDEA
DE ALEATORIEDAD?
Todo lo que sucede en el mundo tiene una causa o explicación y en
este sentido el mundo es determinístico…
Es la falta de conocimiento
del ser humano la que hace
que algunos procesos deban
considerarse aleatorios.
No se conocen las causas que lo producen
Aunque se conocen las causas y los resultados
no se es capaz de establecer una ley o
relación determinística permanente entre ellos
La secuencia de resultados no puede condensarse en una
ecuación o descripción
Existe duda sobre la veracidad de una
afirmación o negación
EJEMPLO
El proceso natural de gestación de un ser humano es determinístico:
conocemos sus causas, evolución y resultado principal (el nacimiento de un
bebé). Sin embargo, existe incertidumbre respecto a varios
aspectos de este resultado.
Por ejemplo, no existe un modelo matemático que permita determinar en forma exacta el instante t en que ha de nacer un bebé. Lo único que se conoce empíricamente respecto a este tiempo es que tiene un valor promedio de 9 meses (38 semanas), por lo cual, las observaciones pueden ser mayores o
menores a este dato. Así, t se considera aleatorio.
EXPERIMENTO ALEATORIO Y
DETERMINÍSTICO
Un experimento es todo proceso o
procedimiento que transforma una
entrada en una salida
EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO EXPERIMENTO ALEATORIO
Misma entrada, identicas
condiciones
Misma salida
Misma entrada, identicas
condiciones
Diferente salida
EXPERIMENTO ALEATORIO
El experimento aleatorio es
una abstracción
matemática para describir
fenómenos con
incertidumbre en forma de
aleatoriedad.
El experimento aleatorio se caracteriza porque:
•1 Se repite muchas veces (varias iteraciones, ensayos).
•2 No se puede o no se desea predecir la salida o resultado exacto del experimento
EJEMPLOS EXPERIMENTO
ALEATORIO
Entrada Proceso Salida
Número de descargas
atmosféricas por año en una
región
Conteo de truenos 88 en 1998, 72 en 1999, 92
en 2000,
101 en 2001, 100 en 2002, . .
.
Tiempo que un trabajador
tarda haciendo una
operación
Toma de tiempos 1 minuto, 1.5 minutos, 0.9
minutos, 1.1 minutos
Qué tipo de música le gusta? Encuesta Rock, rock, pop, balada,
rock, despecho, salsa, …
VARIABLE ALEATORIA
La salida de un experimento aleatorio es una variable aleatoria
Una variable aleatoria es aquella para la
cual sus valores no pueden predecirse en
forma exacta, por lo cual, la ocurrencia de
ciertos valores solo puede expresarse en
términos de probabilidad
PROBABILIDAD
El término probabilidad define matemáticamente el grado de
certidumbre sobre la ocurrencia de un evento o eventos
Es un número real entre 0.0 y 1.0, el cual también es comúnmente expresado en porcentaje
EJEMPLOS VARIABLE
ALEATORIA
Número de descargas
atmosféricas por año en una
región
Demanda de un producto
Tiempo de reparación de
una máquina en una planta de
producción Litros de agua consumidos
en una vivienda
mensualmente Peso de la cosecha de una
hectárea de piña
Precio de las acciones
de una empresa
Tiempo en que un
trabajador realiza una
operación
Día lluvioso o día
seco
TIPOS DE VARIABLES
ALEATORIAS
DISCRETA Puede tener únicamente un
número contable de valores o un
número discreto de estados
Número de fallas en
un período de tiempo
CONTINUA Tiene un número no contable de
valores
Tiempo de reparación
de una máquina
MIXTA Una combinación de las
anteriores
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE
UNA VARIABLE ALEATORIA
Asignar a cada valor posible de una variable aleatoria la
probabilidad que le corresponde, es definir la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria.
Sea x la variable aleatoria que representa los eventos que producen daños
generalizados en una ciudad. La probabilidad de que x esta dada por:
EVENTO PROBABILIDAD
1 Terremotos 0.05
2 Lluvias fuertes 0.20
3 Tormentas eléctricas 0.10
4 Fuertes vientos 0.15
5 Inundaciones 0.25
6 Granizada 0.16
7 Protestas 0.09
Entonces, la tabla presentada es la distribución de probabilidad de x .
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Variable discreta Variable continua
La función de densidad de probabilidad es la razón de cambio de la probabilidad
acumulada con respecto a los valores de variable aleatoria x
ESPACIO MUESTRAL
“Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio”
EXPERIMENTO ESPACIO MUESTRAL
Conteo de truenos por año en una región Los números enteros positivos
incluyendo el cero
Tiempo para reparar una máquina Los números reales positivos sin incluir
el cero
Estado operativo de un grupo de
luminarias de un sistema de iluminación
público
“Buena”, “Dañada”
EJEMPLOS
EVENTOS
“Es un subconjunto de interés del espacio muestral”
son los resultados de un experimento aleatorio que cumplen unas
determinadas condiciones.
EXPERIMENTO EVENTOS
Reprocesos en la producción
de avisos luminosos en
empresa X
Cortado aluminio, Soldado de
la estructura, Instalación de
bombillas, Ensamble de
sistema eléctrico, Pegado de
vinilos, otras.
Se introduce el evento “otras” para cubrir el desconocimiento que hay en este caso sobre
el espacio muestral; es decir, no se conocen todas las posibles fallas.
EJEMPLOS
TAREA: Traer 3 ejemplos (de su propia creatividad) cotidianos y/o aplicados
a la ingeniería industrial de procesos aleatorios.
La tarea se socializará en la próxima clase.
ENTRADA PROCESO SALIDA TIPO DE
VARIABLE
ESPACIO
MUESTRAL
Lluvia
durante todos
los días mes
de agosto
Medición
lluvia diaria
Milímetros
de lluvia
diarios
Continua Los números
reales
positivos
incluyendo el
cero
Por qué es un proceso aleatorio? Porque hay incertidumbre acerca de la
cantidad de lluvia que caerá cada día.
EJEMPLO:
CONTINUACIÓN
INTRODUCCIÓN A PROCESOS
ESTOCÁSTICOS CONCEPTOS BÁSICOS
• MODELO MATEMÁTICO DE UN PROCESO ALEATORIO
• DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
• TENDENCIA DE UN PROCESO ALEATORIO
• TIPOS DE MODELOS PROBABILÍSTICOS
• PROCESOS ESTOCÁSTICOS
• TIPOS DE PROCESOS ALEATORIOS
• PROCEDIMIENTO PARA OBTENER UN MODELO PROBABILÍSTICO
TOMADO DE: ZAPATA, C.J. Análisis
probabilístico y simulación. Universidad
Tecnológica de Pereira. 2010.
MODELO MATEMÁTICO DE
UN PROCESO ALEATORIO
La distribución de probabilidad constituye el modelo
matemático del proceso aleatorio bajo estudio
Para definir el modelo probabilístico, es deseable seleccionar
una de las funciones matemáticas desarrolladas para tal
propósito. Esta selección se hace basándose en los siguientes
criterios:
MODELO MATEMÁTICO DE
UN PROCESO ALEATORIO
1 La naturaleza física del problema bajo estudio
2 Los datos disponibles (Los resultados del
experimento)
3 La prueba estadística de que el modelo propuesta
es una representación apropiada del proceso
bajo estudio.
4 El conocimiento del analista
TIPOS DE MODELOS
PROBABILÍSTICOS
MODELOS PROBABILÍSTICOS
Distribuciones de probabilidad
Solo aparece la variable o variables aleatorias mediante las cuales se estudia el proceso aleatorio
Procesos estocásticos
Aparece la variable o variables aleatorias mediante las cuales se estudia el proceso
aleatorio, pero indexadas por el
tiempo u otro parámetro
Funciones de Distribución de probabilidad
El periodo de interés para estudiar el proceso aleatorio o la evolución del tiempo dentro de
este periodo no se requieren para explicar el proceso aleatorio bajo estudio
El proceso aleatorio es estacionario (cero tendencia)
Procesos Estocásticos
Se utilizan cuando el periodo de interés para estudiar el proceso
aleatorio o la evolución del tiempo dentro de este periodo se requieren para explicar el
proceso aleatorio bajo estudio.
El proceso aleatorio bajo estudio puede ser estacionario o no
estacionario.
TIPOS DE MODELOS
PROBABILÍSTICOS
TENDENCIA EN UN PROCESO
ALEATORIO Durante el período t:
patrón de continuo
aumento o
disminución
TIPO DE PROCESO: NO
ESTACIONARIO
No se observa
durante el periodo t
que las observaciones
de x presenten un
patrón de aumento o
disminución
TIPO DE PROCESO:
ESTACIONARIO
Un proceso aleatorio es estacionario si su valor
esperado y varianza son constantes durante t
PROCESO ALEATORIO
HOMOGÉNEO Un proceso aleatorio es homogéneo si durante t este puede ser
representador mediante una función de distribución de
probabilidad.
Todo proceso estacionario es homogéneo.
PROCEDIMIENTO PARA OBTENER UN
MODELO PROBABILÍSTICO
PRUEBA DE INDEPENDENCIA: Consiste en
determinar si las observaciones de la muestra
son independientes entre si o no.
Modelos: Series de tiempo, modelos de
regresión.
EJEMPLOS DE MODELOS
PROBABILÍSTICOS
Procesos estocásticos
homogéneos
Proceso de Poisson Homogéneo
Cadenas de Markov continuas homogéneas
Proceso Gausiano
Procesos estocásticos
no homogéneos
Procesos de Poisson no homogéneos
Cadenas de Markov no homogéneas
Modelos para
dependencia
Series de tiempo, modelos de regresión,
Branching process
Distribuciones de
probabilidad
Uniforme, Poisson, Normal,
Exponencial, Gamma, Weibull, etc.
PROCESO ESTOCÁSTICO
Es una colección de variables aleatorias: existe una variable
aleatoria por cada valor del parámetro t del proceso. La
colección de variables aleatorias están definidas sobre un mismo
espacio muestral o “espacio de estado”.
Según como se estudien el espacio de estado y el tiempo, un proceso estocástico
puede ser:
Estado Tiempo Ejemplos
Discreto Discreto cadena de Markov discreta
Discreto Continuo cadena de Markov continua, procesos
puntuales
Continuo Continuo proceso Gausiano, proceso Browniano
TAREA
Traer 3 ejemplos de procesos estocásticos, explicando por
qué considera usted que es un proceso estocástico.
La tarea se socializará en la siguiente clase