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  • Filtrado Digital

    Lectura 3: Diseño de Filtros FIR

  • Filtrado Digital Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica

    Diseño de Filtros Objetivo: Obtener una función de transferencia H(z) realizable aproximándola a una respuesta en frecuencia deseable. El diseño de filtros digitales es el proceso de obtener esta función de transferencia.

    Normalmente la respuesta en magnitud ( y algunas veces la fase) del filtro deseado es especificada. Recuerde que hay 4 tipos básicos de filtros digitales ideales, basados en la respuesta en magnitud.

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    Especificaciones del Filtro , con un error

    en la banda de paso:

    , con un error en la banda de rechazo:

    Asumiremos que estamos tratando con filtros con coeficientes reales, de aquí que la respuesta en frecuencia es periódica (2π), y simétrica alrededor de 0 y π.

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    Especificaciones del Filtro Las especificaciones del filtro son frecuentemente dadas en decibeles,

    con rizos en las bandas de paso y rechazo de banda dadas en dB como:

    Las especificaciones en magnitud pueden también ser dadas en forma normalizada, donde el valor pasa banda máximo es normalizado a “1” (0 dB). Entonces, tenemos una desviación pasa banda máxima y una magnitud en la banda de rechazo máxima.

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    Detalles a Recordar Lo siguiente debe ser tomado en consideración cuando se diseñe un filtro.

    H(z) satisface las especificaciones de que la respuesta en frecuencia debe ser causal y estable ( los polos ______________, la ROC incluye ____________). Si el filtro es FIR, entonces H(z) es un polinomio en con coeficientes reales.

    Si una fase lineal es deseada, los coeficientes del filtro h[n] (también la respuesta al impulso) deben de satisfacer las restricciones de simetría: h[n]=+/- h[M-n]. Para eficiencia computacional, el orden mínimo del filtro M que satisface los criterios de diseño deben de ser usados.

    Si el filtro es IIR, entonces H(z) es una función real racional de

    La estabilidad debe ser asegurada. El mínimo (M,N) que satisface los criterios de diseño deben de ser usados.

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    FIR o IIR Los filtros FIR e IIR tienes varias ventajas. Las ventajas de los filtros FIR (desventajas de los filtros IIR):

    Pueden ser diseñados con fase lineal exacta, La estructura del filtro siempre es estable con coeficientes cuantizados, Los transitorios iniciales del filtro tienen duración finita.

    Desventajas de los filtros FIR ( ventajas de los filtros IIR): El orden del filtro FIR es normalmente mucho mas alto que el orden de un filtro equivalente IIR que satisfacen las mismas especificaciones; por lo tanto, tienen una complejidad computacional mayor. De echo, la razón de ordenes de un filtro típico IIR a la de un filtro FIR es del orden de 10.

    La fase no lineal de un filtro IIR puede ser minimizada usando un apropiado filtro pasa todo, sin embargo, esto provoca que se pierda la ventaja computacional que tenía el filtro IIR. Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones que no requieren operación en tiempo real, la fase no es un problema.

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    Aproximaciones de Diseño Básicas Diseño de filtros IIR:

    1. Convierta las especificaciones del filtro digital a especificaciones de un filtro análogo pasa bajas prototipo.

    2. Determine la función de transferencia del filtro pasa bajas análogo 3. Transforme a una función de transferencia deseada H(z)

    Las técnicas de aproximación análogas son altamente avanzadas. Estas normalmente nos conducen a soluciones en forma cerrada. Tablas están disponibles para el diseño de filtros análogos. Muchas aplicaciones requieren simulación digital de sistemas análogos.

    El diseño del filtro FIR esta basado en una aproximación directa de la respuesta en magnitud especificada, con los requerimientos frecuentemente agregados de que la fase sea lineal (o algunas veces, mínima).

    El diseño de un filtro FIR de orden M puede ser realizada ya sea encontrando la longitud (M+1) de la respuesta al impulso de h[n] o las (N+1) muestras de su respuesta en frecuencia H(ω).

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    Diseño de Filtros FIR Comenzaremos con el filtro pasa bajas ideal.

    Sabemos que hay dos problemas con este filtro: longitud infinita y es no causal.

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    Diseño de Filtros FIR

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    Diseño de Filtros FIR Esta es la aproximación directa y básica para el diseño de filtros FIR:

    Comience con un filtro ideal que satisfaga los criterios de diseño, digamos un filtro H(ω). Tomamos la DTFT inversa de esta H(ω) para obtener h[n].

    Esta h[n] será doblemente infinita y no causal; por lo que no será realizable. La truncamos usando una ventana, digamos rectangular, de tal forma que M+1 coeficientes de h[n] sean retenidos, y todos los otros sean descartados.

    Ahora tenemos un filtro de longitud finita (orden M), ht[n], sin embargo es aun no causal.

    Desplazamos la secuencia truncada h[n] a la derecha (aplicar retardos) en M/2 muestras, de tal forma que la primera muestra ocurre ahora en n=0.

    La respuesta al impulso resultante ht[n-M/2] es un filtro FIR causal y estable, el cual tiene una respuesta en magnitud y en fase casi idéntica que el filtro original.

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    Diseño de Filtros FIR Pasa Bajas

  • Filtrado Digital Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica

    Diseño de Filtro FIR Pasa Altas

  • Filtrado Digital Facultad de Ingeniería Mecánica, Eléctrica y Electrónica

    Diseño de BPF y BSF FIR

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    Sin embargo….

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    Fenómeno de Gibbs Truncar la respuesta al impulso de un filtro ideal para obtener un filtro realizable, crea oscilaciones en el dominio de la frecuencia, estas oscilaciones son conocidas como El fenómeno de Gibbs. Podemos observar lo siguiente:

    Así como M se incrementa, el número de ondulaciones se incrementa, sin embargo el ancho de las ondulaciones disminuye.

    La altura de las ondulaciones mayores permanece constante, independiente de la longitud del filtro.

    Así como M se incrementa, la altura de las otras ondulaciones disminuye.

    El lóbulo principal se hace más angosto conforme M se incrementa, es decir la caída llega a ser mas aguda.

    Funcionamiento oscilatorio similar puede ser observado en cualquier tipo de filtro truncado.

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    Fenómeno de Gibbs Que es lo que sucede? El fenómeno de Gibbs es simplemente un resultado de la operación de ventaneo.

    Multiplicando la respuesta al impulso del filtro ideal con una función ventana regular es equivalente a convolucionar la ventana con una función sinc.

    Sin embargo, nosotros queremos sea similar tanto como sea posible a , lo cual únicamente puede ser posible si

    la cual es una ventana infinita. Por lo cual tenemos conflictos de requerimientos: De un lado, queremos una ventana angosta, es decir queremos un filtro pequeño; pero del otro lado, queremos truncar el filtro tanto como sea posible igualar la respuesta en frecuencia del filtro ideal, el cual sin embargo requiere una ventana infinitamente larga.

    Esta convolución es la que produce las ondulaciones, especialmente en los bordes.

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    Fenómeno de Gibbs

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    Demostración del fenómeno de Gibbs % Filtro FIR Pasa Bajas M=input('Introduzca el orden del filtro:'); wc=input('Introduzca la frecuencia de corte en radianes:'); n=0:M; h_LP=sin(wc*(n-M/2))./(pi*(n-M/2)); h_LP(ceil(M/2+1))=wc/pi; subplot(211) stem(n, h_LP) axis([0 M min(h_LP) max(h_LP)]) title(['Respuesta al impulso de el ',num2str(M),… 'th orden del filtro']); subplot(212) H_LP=fft(h_LP, 1024); w=linspace(-pi, pi, 1024); plot(w/pi, abs(fftshift(H_LP))) title(['Respuesta en frecuencia del filtro ventaneado de ',… num2str(M), 'th orden']); grid axis([-1 1 0 max(abs(H_LP))])

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    Efectos de la longitud del filtro

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    Diseño de filtros FIR usando ventanas Esto es lo que necesitamos en un filtro:

    Caída rápida, es decir una bande de transición angosta. El lóbulo principal es angosto. Incrementar la atenuación en la banda de rechazo.