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Procesamiento Digital de Imágenes
Pablo Roncagliolo B.Nº 09
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prb@2007 2
TRATAMIENTO DE IMÁGENES
EN EL DOMINIO DE LAS FRECUENCIAS
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prb@2007 3
Transformada de Fourier
A principios del siglo XIX, Joseph Fourier indica que toda función periódica puede ser expresada como una suma infinita de senos y cosenos de distintas frecuencias.
El análisis de Fourier de una señal permite determinar sus frecuencias, pero a costa de perder la información de tipo temporal. (no dice cuando aparece cada frecuencia).
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prb@2007 4
Transformada de Fourier
En el caso de las imágenes, las “señales” corresponden a los niveles de gris o intensidad de las diferentes filas o columnas de la matriz de la imagen.
El eje del tiempo se “reemplaza” por los ejes X-Y
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prb@2007 5
Transformada de Fourier
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prb@2007 6
Transformada de Fourier
IMAGEN CON FRECUENCIA NULA
IMAGEN CON ALTAS FRECUENCIAS
IMAGEN CON BAJA FRECUENCIA
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prb@2007 7
Transformada de FourierImagen de grises con variación sinusoidal
de intensidad a lo largo del eje x con período de 16 píxeles.
Transformada de Fourier, que muestra la frecuencia presente en el eje x (positiva y negativa)
Frecuencia: 1 ciclo / 16 píxel... 0.0625 Hz*
Hz* = ciclos/píxel
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prb@2007 8
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier en formato de “manto”
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prb@2007 9
Transformada de FourierImagen de grises con variación sinusoidal
de intensidad a lo largo del eje x con período de 4 píxeles.
Transformada de Fourier, que muestra la frecuencia presente en el eje x (positiva y negativa)
Frecuencia: 1 ciclo / 4 píxel... 0. 25 Hz*
Hz* = ciclos/píxel
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prb@2007 10
Transformada de FourierImagen con una discotinuidad a lo largo
del eje X
Imagen binarizada de la transformada deFourier. Se observa como existen frecuencias a lo largo de “u”
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prb@2007 11
Transformada de FourierVista del “manto” de la transformada de Fourier de una
discontinuidad en el eje X
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prb@2007 12
Transformada de Fourier
TF de una imagen TF de un Filtro
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prb@2007 13
Transformada de FourierImagen original
TF inversa de la convolución de TF original con el filtro
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prb@2007 14
Transformada de FourierImagen de TF de un filtro pasa bajos
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prb@2007 15
Transformada de FourierImagen de TF de un filtro pasa altos
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prb@2007 16
Transformada de Fourier
Filtros pasa banda:
Se pueden construir en base a un FPB y un FPA.
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prb@2007 17
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 18
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 19
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 20
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
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prb@2007 21
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prb@2007 23
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
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prb@2007 24
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
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prb@2007 25
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 26
Transformada de Fourier
[ ] [ ]22 ),Im(),Re(),(
:
vuvuvuF
móduloelvisualizasetegeneralmen
+=
∑∑= =
+−=nc
c
nf
fnffvnccuifcI
nfncvuF
1 1)/·/·(2)·exp(,(
·1),( π
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prb@2007 27
Transformada de Fourier
∑∑= =
+−=nc
c
nf
fnffvnccuifcI
nfncvuF
1 1)/·/·(2)·exp(,(
·1),( π
[ ])/·/·(2·sin()/·/·(2cos()·,(·1),( nffvnccuinffvnccufcInfnc
vuF +++= ππ
Expresión periódica de la Transformada de Fourier:
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prb@2007 28
Transformada de FourierEl rango dinámico del espectro de Fourier es mayor al rango típico de las imágenes (256). Para una mejor visualización se puede utilizar el logaritmo de la transformada.
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prb@2007 29
Transformada de Fourier
FF(u,v)=255*log(1+ |F(u,v)| )/max( log(1+|F(u,v)|) )Normalización de la matriz en el rango 0-255
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prb@2007 30
Transformada de Fourier
Valor Medio:
∑∑
∑∑
∑∑
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
==
=
=
+−=
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
),(·1)0,0(
)0)·exp(,(·1)0,0(
:0,0,
))//(2)·exp(,(·1),(
nc
x
nf
y
nc
x
nf
y
nc
x
nf
y
promedioyxfnfnc
F
yxfnfnc
F
vuparaevaluando
nfvyncuxiyxfnfnc
vuF π
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prb@2007 31
Transformada de Fourier
Algoritmo:double A[][xydim];double freal[][xydim];double fimag[][xydim];double phi, sum1, sum2;
for (int i = 0; i <N; i++)for (int j = 0; j <N, j++) {
sum1 = 0;sum2 = 0;for (int x = 0; x <N; x++)
for (int y = 0; y <N, y++) {phi = 2 * PI *(i * x + j * y) / N;sum1 = sum1 + A[x][y] * cos(phi);sum2 = sum2 + A[x][y] * sin(phi);
}
freal[i][j] = sum1 / N;fimag[i][j] = -sum2 / N;
}
Sin embargo, existe una implementación más eficiente de la transformada denominada FFT (Transformada rápida de Fourier)
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prb@2007 32
Transformada de Fourier
Algoritmo:
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prb@2007 33
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 34
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 35
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 36
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 37
Tratamiento de Imágenes: Dominio Frecuencias:
Imágenes: Gonzalez&Wood
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prb@2007 38
Transformada de FourierEn Matlab:
F = fft2(IM);
% Se debe realizar un “swap” entre los cuadrantes % para visualizar de forma estándar
F2 = fftshift(F);
% generalmente se visualiza el valor absoluto
S = abs(F2);imshow(S,[]);
% para mejorar rango dinámico de visualización
S2 = log(1+S);imshow(S2,[]);
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prb@2007 39
Transformada de FourierEn Matlab:
F = fft2(IM);
% Se debe realizar un “swap” entre los cuadrantes % para visualizar de forma estándar
F2 = fftshift(F);
% generalmente se visualiza el valor absoluto
S = abs(F2);imshow(S,[]);
% para mejorar rango dinámico de visualización
S2 = log(1+S);imshow(S2,[]);