PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES

Transformada Z - IV

Sistemas Electrónicos, EPSG

Tema IVTransformada Z:

Contenido de la Sesión...

La Transformada Z: Definición de TZ Región de convergencia Diagrama de ceros y polos Propiedades de la ROC Propiedades de la TZ Pares transformados Estabilidad, causalidad y ROC

Definición de la TZ

jwn

n

jw enxeX

)(

Transformada de Fourier de la secuencia x[n]

Transformada Z de la secuencia x[n]

n

n

znxzX

)(

Variable compleja z=ejw

Región de Convergencia

La convergencia de la TZ depende sólo de |z|, o sea, la ROC está formada por todos los valores de z para los que se cumple la desigualdad:

n

n

znx

Especificar la expresión algebraica y la ROC...

Ceros y Polos

La TZ tiene toda su utilidad cuando la suma infinita se puede expresar con una fórmula matemática simple

Entre las TZ más importantes están las que X(z) es una función racional en la región de convergencia:

)(

)()(

zQ

zPzX

P(z), Q(z) polinomios en z

Propiedades de la ROC

Propiedad 1: La ROC puede ser un anillo o un disco centrados en el origen

Propiedad 2: La TF de x[n] converge si y sólo si la ROC de la TZ de x[n] contiene la circunferencia unidad

Propiedad 3: La ROC no puede contener ningún polo ( indefine la TZ )

Dependen de la naturaleza de la secuencia...

Propiedades (continuación...)

Propiedad 4: Si x[n] es una secuencia de duración finita, la ROC es el plano z completo, pudiendo exceptuarse los valores z=0 y z=

Propiedad 5: Si x[n] es una secuencia limitada por la izquierda, la ROC se extiende hacia fuera desde el polo finito más exterior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=

Propiedades (continuación...)

Propiedad 6: Si x[n] es una secuencia limitada por la derecha, la ROC se extiende hacia dentro desde el polo finito más interior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=0

Propiedad 7: Si x[n] es una secuencia bilateral, la ROC será un anillo en el plano z limitado en el interior y en el exterior por un polo

Propiedades (continuación...)

Propiedad 8: La ROC deberá ser una región conexa

La expresión algebraica y el diagrama de ceros y polos especifican de forma completa la TZ de una secuencia x[n]

Comprobar propiedades de la ROC según Fig. 3.10...

Propiedades de la TZ

La propiedad de linealidad dice que:

21 xx RRROC

)()( 2121 zbXzaXnbxnax TZ

Comentar el resultado que se puede obtener...

Propiedades (continuación...)

La propiedad de desplazamiento en el tiempo indica que:

z-n0 puede alterar el número de polos en z=0 o z=

xnTZ RROCzXznnx )(0

0

Propiedades (continuación...)

La convolución de secuencias expresa:

21 xx RRROC

)()( 2121 zXzXnxnx TZ

)()( zXzHnxnh TZ

H(z) es la función de transferencia del sistema LTI

Pares Transformados

Todo z excepto 0 si m> 0

mTZ zmn

Todo z excepto si m< 0

1 TZn Todo z

Secuencia delta de Dirac

Secuencia delta de Dirac desplazada

Pares (continuación...)

azaz

nua TZn

11

1

Secuencia limitada por la izquierda

Secuencia limitada por la derecha

azaz

nua TZn

11

11

Igual expresión algebraica, diferente ROC...

Estabilidad, Causalidad y ROC

Sobre la estabilidad y la causalidad: No son condiciones necesariamente

compatibles Para que un sistema LTI sea a la vez

estable y causal, la ROC de H(z) deberá ser el exterior del polo más externo e incluir la circunferencia unidad, lo que requiere que todos los polos estén en el interior de la circunferencia unidad

Ejercicios

Ejercicio 1 Determine la TZ y la ROC(a) (1/2)n u[n](b) -(1/2)n u[-n-1](c) (1/2)n u[-n](d) [n](e) [n-1](f) [n+1](g) (1/2)n ( u[n] - u[n-10] )

Problema 3.1 pp. 128, Oppenheim

Ejercicios (continuación...)

Ejercicio 2 Determine la TZ y la ROC(a) x[n]=(0.8)n u[n]+(1.25)n u[n](b) x[n]=(0.8)n u[n]-(1.25)n u[-n-1](c) x[n]=-(0.8)n u[-n-1]-(1.25)n u[-n-1](d) x[n]=-(0.8)n u[-n-1]+(1.25)n u[n]

Ejercicios (continuación...)

Ejercicio 3 Determine la TZ y la ROC

Problema 3.3 pp. 128, Oppenheim

Cnx na 10

resto

Nnnxb 0

101

resto

NnNnN

Nnn

nxc0

212

0

Ejercicios (continuación...)

Ejercicio 4 Dado el diagrama de ceros y polos, especifique si es falso, verdadero o no se puede determinar que:(a) El sistema es estable(b) El sistema es causal(c) Si es causal, tiene que ser estable(d) Si es estable, la h[n] es bilateral

Ver diagrama de ceros y polos a continuación...

Ejercicios (continuación...)

Diagrama de ceros y polos Ejercicio 4

Re

Im

Plano z

x

x

x

x

C ircunferencia Unidad

Ejercicios (continuación...)

Ejercicio 5 Dada X(z) cuyo diagrama de ceros y polos se muestra:(a) Determine la ROC de X(z) si se sabe que

existe la TF. ¿ Está limitada o no la x[n] ?(b) ¿ Cuántas secuencias bilaterales

posibles tiene el diagrama de ceros y polos ?

(c) ¿ Es posible asociar el diagrama con una secuencia que sea estable y causal ?

Problema 3.4 pp. 129, Oppenheim

Ver diagrama de ceros y polos a continuación...

Ejercicios (continuación...)

Diagrama de ceros y polos Ejercicio 5

Re

Im

Plano z

xxx

C ircunferencia Unidad

3

1 2 3

Ejercicios (continuación...)

Ejercicio 6 Determine la X(z) de la secuencia x[n] que se muestra:

Variante del Problema 3.5 pp. 129, Oppenheim

-2 20 3 4-1 1

-4-3

5

2

n