Coordonator: Andrei Octavian DobreSilvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr, Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana, Blandina Mani iu, tefan Florin Marcu , Corneliu Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iuliana TracGHID DE PREGATIRE ONLINEBACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1www.mateinfo.roProfil: Real, MilitarSpecializare: Matematic InformaticSubiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul elaborat de M.E.C.I.Ploieti, 2011Coordonator: Andrei Octavian DobreSilvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr, Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana, Blandina Mani iu, tefan Florin Marcu , Corneliu Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iuliana TracGHID DE PREGATIRE ONLINEBACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1www.mateinfo.roProfil: Real, MilitarSpecializare: Matematic InformaticSubiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul elaborat de M.E.C.I.Ploieti, 2011Coordonator: Andrei Octavian DobreSilvia Brabeceanu, Nicolae Breazu, Delia Valentina Bulgr, Georgiana Canache, Viorica Ciocnaru,Ioan Lung, Viorica Lungana, Blandina Mani iu, tefan Florin Marcu , Corneliu Mnescu-Avram,Ovidiu-Marius Mndrican, Adrian Muscalu, Gabriel Necula, Nicolae Nicolaescu, Gabriela Nistor,Csaba Olh, Enache Paul, Ileana Rcu, Adrian Stan, Constantin Telteu, Iuliana TracGHID DE PREGATIRE ONLINEBACALAUREAT 2011, MATEMATIC M1www.mateinfo.roProfil: Real, MilitarSpecializare: Matematic InformaticSubiectele din aceast lucrare sunt realizate dup modelul elaborat de M.E.C.I.Ploieti, 2011I IS SB BN N 9 97 78 8- -9 97 73 3- -0 0- -1 10 02 29 95 5- -6 6Toate drepturile prezentei ediii aparin site -ului www.mateinfo.ro . Nicioparte a acestei ediii nu poate fi reprodus far acordul scris alwww.mateinfo.ro (prof. Andrei Octavian Dobre) .Culegerea este oferita gratuit doar pe site-ul www.mateinfo.ro i nu poate fipublicat pe un alt site fara acordul scris al www.mateinfo.ro (prof. AndreiOctavian Dobre).Site: www.mateinfo.roE-mail: office@mateinfo.ro sau dobre.andrei@yahoo.comFiecare autor rspunde de corectitudinea i originalitatea variantelor propuse.Nume autori coala de provenien Andrei Octavian Dobre(coordonator)Grupul colar de Transporturi PloietiSilvia Brabeceanu Colegiul Tehnic '' Gheorghe Lazr " PlopeniNicolae Breazu Colegiul Spiru Haret, PloietiDelia Valentina Bulgr Liceul Teoretic "Traian Vuia" Fget , jud. TimiGeorgiana Canache Grupul colar Toma Socolescu PloietiViorica Ciocnaru Grupul colar Industrial Energetic, CraiovaIoan Lung Colegiul Na ional Arany Janos SalontaViorica Lungana Colegiul Na ional Alexandru Dimitrie Ghica, Alexandria, jud. TeleormanBlandina Mani iu Colegiul Tehnic"Alexandru Doma"Alba Iuliatefan Florin Marcu Grup colar de Transporturi Auto-CalaraiCorneliu Mnescu-Avram Grupul colar de Transporturi PloietiOvidiu-Marius Mndrican Grupul colar C. Cantacuzino, BicoiAdrian Muscalu Colegiul Agricol Nicolae Corneanu TulceaGabriel Necula Colegiul Tehnic '' Gheorghe Lazr " PlopeniNicolae Nicolaescu Colegiul Tehnic "Alexe Marin" Slatina OltGabriela Nistor Grupul colar Administrativ i de Servicii Victor Slvescu PloiestiCsaba Olh Grup colar "Liviu Rebreanu, Blan, Jud.HarghitaEnache Paul Colegiul Naional Anastasescu , Rosiori de Vede , jud. TeleormanIleana Ricu Grup colar Agricol "Roiorii de Vede" TeleormanAdrian Stan Grup colar Costin Neniescu BuzuConstantin Telteu Colegiul Naional de Arte Regina Maria, ConstanaIuliana Trac coala cu cls. I-VIII Gh. Popescu Mrgineni -SloboziaBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro1EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 1Prof. Silvia BrabeceanuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Calculai3264 log 64 + .(5p) 2. Se consider funcia , )1: , 2xf f x = R R . S se calculeze, ) , ) , ) 2 3 10 f f f + + + (5p) 3. S se rezolve nRecuaia26 3 x x x = .(5p) 4. S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea{ ; 8, 9,10, 40 A =acesta s fie divizibil cu 4.(5p) 5. Se consider vectorii 3 5 u i j = i 4 2 v i j = . Determinai coordonatelevectorului122w u v = + .(5p) 6. ntr-un triunghi ABC se cunosc 12, 8, 6 AB BC AC = = = . S se calculeze cos B .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie matricea , ) , )22 1 1,2 1 1x xAx xx x +|= eM e | +' R R .(5p) a) S se calculeze , ) , ) 1 1 A A + .(5p) b) Notm matricea , ) , ) , )21 1 A A B = eM R . S se determine , 1nB n > .(5p) c) S se calculeze suma , )1nkAk=_.2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie34 2 2 , ,2x y xy x y xy = + e R.(5p) a) S se arate c , ) , )12 1 2 1 , ,2x y x y xy = + e R .(5p) b) S se verifice dac este o lege de compoziie asociativ peR.(5p) c) S se demonstreze c , )212 2 1 , , , 22nnn orix x x x x x n n = + e e > . R N_www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro2SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia , ), )32: ,,,xf D f x a bax b = e+R R.(5p) a) S se determine a i b , numere reale, astfel nct dreapta114y x = + s fieasimptot la graficul funciei.(5p) b) Pentrua i b gsiila a). s se stabileasc domeniul maxim de definiie al funcieii apoi s se studieze monotonia funciei.(5p) c) S se calculeze , ), )2limf xxf xx |

|' .2. Se consider funciaj , )1: 1, 2 ,2xf f xx =+R . (5p) a) S se calculeze , )21f x dx}.(5p) b) S se determine 0 a > astfel nct , )151 3ln4aaf x dx+= }.(5p) c) S se arate c , )21104f x dx s s}.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 2Prof. Silvia BrabeceanuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se afle partea real a numrului complex, )41 5 z i = .(5p) 2. S se determinemeR, astfel nct suma ptratelor soluiilor ecuaiei, ) , )22 3 0 x m x m + + = s fie 25 .(5p) 3. tiind c doi termeni ai unei progresii geometrice sunt13 a= i4192 a = , s secalculeze8S .(5p) 4. S se rezolve ecuaia, )22log 3 4 2xx x = .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro3(5p) 5. S se arate c triunghiul cu vrfurile , ) 10, 4 A , , ) 2, 0 B i , ) 2,12 C este triunghiisoscel.(5p) 6. S se determinemeRastfel nct punctele , ) 2, 2 A , , ) 4, 3 B , , ) 1, 2 Cm m s fiecoliniare.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider determinantul , )1 2 24 1 4 ,2 4 1xDx x xx= eR.(5p) a) S se calculeze valoarea determinantului pentru 1 x = .(5p) b) S se demonstreze c , ) , ) , )27 3 Dx x x = .(5p) c) S se rezolve nRecuaia, )3 0xD = .2. Se consider polinomul , ) j 4 31 1 f aX bX cX a X X = + + + eR , cu , , a b c eR.(5p) a) tiind c polinomul f se divide cu, )31 X , s se calculeze sumaS a b c = + + .(5p) b) Pentru 2, 5, 3 a b c = = = s se descompun n produs de factori ireductibili pesteR polinomul f .(5p) c) Pentru 2, 5, 3 a b c = = = s se calculeze2 2 2 21 2 3 4x x x x + + + , unde1 2 3 4, , , x x x x suntrdcinile polinomului f .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funciile , ) , ) , ) , )2, : 0, ,,1xf g f x arctg x g xx = =+R .(5p) a) S se arate c , ) , ) , ) 0, f x g x x > e .(5p) b) S se gseasc punctele de extrem local ale funciei , ) , )2: 0, ,1xg g xx =+R .(5p) c) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei , ) , ) , ) : 0, , f f x arctg x = R npunctul de tangen3,3 6At | | |' .2. Se consider funciaj , ) , )3: 1,1 , 2 ,nn nf f x x n = e R N i , )11n nI f x dx= }.(5p) a) S se calculeze1I .(5p) b) S se calculeze volumul corpului obinut prin rotaia subgraficului funcieinf njurul axei Ox pentru 1 n = .(5p) c) S se determine o relaie de recuren pentru, )1312nnI x dx= }.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro4EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 3Prof. Silvia BrabeceanuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Calculai3 710 10C C .(5p) 2. Fie funcia , ) , ) : , 3 2 7 f f x m x m = + + + R R . S se determinemeRastfelnct punctul , ) 4, 3 Am m + s fie situat pe graficul funciei.(5p) 3. S se determine soluiile reale ale ecuaiei3 3 32 5 2 7 x x x + + + = + .(5p) 4. S se rezolve ecuaia, ) , )4 4 4 6 2 2 10 0x x x x + + = .(5p) 5. S se determinemeR astfel nct vectorii , ) , ) 5 2 1 u m i m j = + + + i, ) , ) 2 3 3 v m i m j = + s aib acelai modul.(5p) 6. n reperul cartezianxOy se consider punctele , ) , ) 2, 3 , 5, 4 A B i , ) 1,1 C . S se scrieecuaia perpendicularei dinB peAC .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie dat sistemul , )35 3 0: 0 ,, ,3 2 0x y zS x y z xyzx y z+ = + = e+ =R(5p) a) S se afle determinantul i rangul matricei asociat sistemului.(5p) b) S se rezolve sistemul.(5p) c) S se gseasc o soluie , )0, 0 0, x y z a sistemului pentru care0 0 02 3 9 x y z + + = .2. Pe mulimea numerelor realeR se definesc legile de compoziie i astfel2 x y x y = + + i 2 4 4 6 x y xy x y = + + +, , xy eR.(5p) a) Se dau mulimile{ ;23 0 A x H x x = e = i{ ;0 B x H x x = e =. S secalculeze \ A B .(5p) b) S se demonstreze c , ) , ) , ) , , , x y z x z y z xyz = eR.(5p) c) Fiea x x = i b x x =. S se determinex eR pentru care media aritmetic anumerelora i b este negativ.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro5SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia { ; , ), )24: \ 1 ,1f f x xx = ++R R .(5p) a) S se calculeze, ) , )11lim1xf x fx.(5p) b) S se determine intervalele de convexitate i concavitate ale funciei f .(5p) c) S se calculeze asimptotele la graficul funciei f .2. Se consider funciile j ) , ) : 0, , 2 1 f f x x x = + + R i, ) , ) , ) : 0, , g g x f x ' = R . (5p) a) S se determine o primitiv G a funciei g pentru care , ) 1 3 G = .(5p) b) S se calculeze , )1limxxg t dt}.(5p) c) S se calculeze aria cuprins ntre graficul funciei f , axa Ox i dreptele de ecuaii0 x = i 2 x = .EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 4Prof. Silvia BrabeceanuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Calculai, ) , ), ) , )3 32 21 3 1 33 3i ii i+ + +.(5p) 2. S se determine valorile reale ale lui x pentru care, )23log 1 x < , )3log 4 4 x + .(5p) 3. Determinai mulimea, )2/ 2 3 0i03xA x xx x = e + > < ` )R .(5p) 4. S se determine termenul ce conine pe2x din dezvoltarea301 13 3, yx xy xy |+ e |' R.(5p) 5. Fie 3 5Ar i j = , 4 3Br i j = + , 2 7Cr i j = + vectorii de poziie ai vrfurilortriunghiului ABC . S se determine vectorul de poziie al centrului de greutate a triunghiuluiABC .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro6(5p) 6. Punctele , ) , ) , ) , ) 3, 4 , 7, 4 , 11, 3 , 1, 3 A B C D sunt vrfurile unui trapez isoscel.S se calculeze aria trapezului ABCD.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider sistemul , )33 2 0:0 , , , ,3 2 0x y zS x y az xyz ax y z+ = + = e e+ =R R.Notm cuAmatricea sistemului.(5p) a) S se determine rangul matricei An funcie dea .(5p) b) S se rezolve sistemul pentru 1 a = .(5p) c) S se gseasc o soluie , )0, 0 0, x y z a sistemului cu proprietatea3 20 0 00 x y z + = .2. Pe mulimea numerelor realeR se definete legea de compoziie5 5 20, , x y xy x y xy = + + e R .(5p) a) S se arate c , ) , ) 5 5 5, , x y x y xy = + eR.(5p) b) S se demonstreze c mulimea , ) , 5 este parte stabil a lui R n raport cu legeade compoziie.(5p) c) Se d expresia , ) , ) , ) 8 7 63 Ex x x = + , x eR. S se demonstreze c, ) 0, Ex x < eR .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia , ) , ) , ) : 0, ,ln 2ln 1 f f x x x = + R .(5p) a) S se calculeze derivatele de ordinul nti i doi ale funciei f .(5p) b) Fie funcia , ) , ), )2: 0, ,ln1xg g xx =+R . Se noteaz cu, ), )ng x derivata deordinuln i cu ,nx neN rdcina derivatei de ordinul n . S se calculeze ,nx neN .(5p) c) S se calculeze limnnnx.2. Se consider integralele120,9nnxI dx nx= e+}N. (5p) a) S se calculeze0 13 2 I I .(5p) b) S se demonstreze c pentru n eN este adevrat relaia2191n nI In++ =+.(5p) c) S se arate c1,1nI nns e+N .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro7EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 5Prof. Nicolae BreazuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+ Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Fie (nb )no progresie geometric . tiind c3 17b b 100= , s se calculeze5 15b b.(5p) 2. Rezolvai ecuaia x 6 x 1 2x 19 + + + = + .(5p) 3. Dac , ) , )1f : 0; , f x xx = + R , demonstrai c , ) f f x 2 >, , ) , ) x 0; e .(5p) 4. O carte ilustrat are 300 pagini. Dintre acestea, 280 pagini au text, iar 200 audesene.Ctepagini au i text i desen?(5p) 5. S se scrie ecuaia nlimii dus din B n triunghiul ABC, dac A(2;-3); B(10;9) iC(0;-1).(5p) 6. Demonstrai c , )2x2ctg2sin x , x 2kx1 ctg2= =+.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se d matricea1 0 0A 1 3 12 4 1 | |= | | ' .(5p) a) Calculai detA i explicai de ce matricea A este inversabil;(5p) b) Demonstrai c , )n n3A A 2I , n 1+ = > ;(5p) c) Calculai, )201012 A A+ .2. n grupul , )6S ;se consider permutrile1 2 3 4 5 63 1 2 6 4 5 |=|' i1 2 3 4 5 66 3 2 1 5 4 |=|' (5p) a) Determinai paritatea sau imparitatea permutrilor i ;(5p) b) n grupul , )6S ;, stabilii care dintre ordinele acestor dou permutri este maimare;(5p) c) Rezolvai ecuaia x x = .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro8SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia { ; , ), ) , ) , )2f : \ 1; 2; 3 , f xx 1 x 2 x 3 =+ + +R R .(5p) a) S se determine A, B, CeR astfel nct , )A B Cf xx 1 x 2 x 3= + ++ + +;(5p) b) Demonstrai c irul , ) , ) , ) , )n nn 1a , a f 1 f 2 ... f n>= + + + este convergent i s segseascnnlim a;(5p) c)S se arate c graficul funciei este simetric fa de un punct al planului i s sedetermine coordonatele acestui punct.2. Se d funcia j , ) { ; f : 0; 2011 , f x 2x = R(5p) a) S se explice de ce f nu admite primitive dar este funcie integrabil pe j 0; 2011 ;(5p) b) S se calculeze { ;201102x dx};(5p) c) Artai c funcia , ) , )x01F: 0; , F x f t dt4 = ]}R este funcie strict cresctoare peintervalul10;4 ].EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 6Prof. Nicolae BreazuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se calculeze2010 41 1 1...1 x 1 x 1 x + + + + + + ] ] ], pentru x 0 > , unde j a estepartea ntreag a numrului real a;(5p) 2. Rezolvai ecuaia332lg x lg x2x 10= ;(5p) 3. Artai c funcia , ) , )32 xf : 2; 2 , f x x ln2 x = +R este funcie par;www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro9(5p) 4. S se demonstreze ck k 2 k 1 kn n 2 n 2 n 2C C 2C C = + + ;(5p) 5. n patrulaterul convex ABCD, M este mijlocul laturii AB, N mijlocul laturii CD iarP,Q, R mijloace ale segmentelor j j AD , MN , respectiv j BC . Artai c P, Q, R suntpuncte coliniare.(5p) 6. Rezolvai ecuaia2 2sin x cos x cos x 0 = pentru j ) x 0; 2e .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.Se consider matricele22 1 1A 3 1 p1 2 1| |=| | ' i22 1 1 2B 3 1 p 21 2 1 q| |=| | ' .(5p) a) S se afle peRastfel nct detA s fie minim;(5p) b) S se afle p i q astfel nct rangA= rangB;(5p) c) Determinai p astfel nct matricea A s fie inversabil i calculai1A.2. Fie polinoamele5 3 2f 2x 4x ax bx c = + + + , cu a, b, c eC i3 2g x x x 1 = + .(5p) a) Determinai a,b,c astfel nct f s se divid cu polinomul g;(5p) b) Pentru a=4, b= -6, c=4, s se rezolve ecuaia , ) f x 0 = ;(5p) c) Calculai20105 52010i ii 1 i 1S x x= = |= + |' _ _tiind c1 2 3 4 5x , x , x , x , x sunt rdciniledeterminate la punctul b).SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie funcia , ) , ) , )2f : 1; , f x x ln x 1 = + R .(5p) a) Demonstrai c f este strict cresctoare pe intervalul , ) 1; ;(5p) b) Stabilii intervalele de convexitate, de concavitate i punctele de inflexiune alefunciei f;(5p) c) Artai c f este bijectiv i calculai derivata funciei1fn0y 4 = .3. Fie funcia2:[0; ] , ( ) cos 1 f f x x t = + R i irul , )2 n2n nn 1k 1 ka , a cosn n>= |= |' _.(5p) a) S se calculeze , )0f x sin xdx};(5p) b) S se determine volumul corpului obinut prin rotirea graficului funciei f n jurulaxei Ox;(5p) c) Demonstrai c irul , )nn 1a>este convergent i gsiinnlim a.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro10EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 7Prof. Nicolae BreazuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se ordoneze cresctor numerele33, 2, , log 2 e t , unde e este baza logaritmuluinatural;(5p) 2. Rezolvai n mulimeaC ecuaia6 3x 7x 8 0 = ;(5p) 3. S se determine inversa funciei , ), ), 2x 3, pentru x 2;f : , f xx 1, pentru x ; 2 + e = + e R R ;(5p) 4. Calculai2011 1 2010 2 20092011 20112 C 2 C 2 ... 1 + ;(5p) 5. Artai c n orice triunghi ABC are loc relaia2 2b cbcos C ccos Ba = ;(5p) 6. Cte soluii are ecuaia , ) arcsin sin x 2 = ? Justificai.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se d sistemulx 2y 3z 02x y mz 0x y 2z 0+ = + + =+ + =.(5p) a) Calculai determinantul sistemului;(5p) b) Determinai m astfel nct sistemul s admit soluie unic;(5p) c) Artai c pentru m=9 expresia2 2 22 2 2x y zEx 5y z+ += +este constant.2. Se d mulimea , ) , ) , )a b bG X a, b b a b a, b , det X a, b 1b a a | |= = e = ` | |' )R .(5p) a) Artai c G este parte stabil a lui , )3M R n raport cu nmulirea matricelor;(5p) b) Explicai de ce3I G e dar3O G e ;(5p) c) Artai c , ) G;- este grup.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro11SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia , )3f : , f x 1 x = R R .(5p) a) S se studieze derivabilitatea funciei f n0x 1 = ;(5p) b) Determinai punctele de extrem i intervalele de monotonie ale funciei f;(5p) c) S se rezolve ecuaia , ) f x m = , unde meR .2. Fie funcia , )22x 1f : , f xx 4x 5+ =+ +R R i a eR. (5p) a) Calculai , )10f x dx};(5p) b) S se determine valorile lui a, astfel nct aria subgraficului funciei f pe intervalulj a 1; a s fie maxim;(5p) c) S se calculeze, )as alimln a, unde s(a) reprezint aria suprafeei cuprinse ntre graficulfunciei i axa Ox, pe intervalul [a 1; a] .EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 8Prof. Nicolae BreazuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se arate c numrul 9 80 9 80 + este ntreg;(5p) 2. Rezolvai ecuaia, )x x xx x 3 1 x = + n mulimea numerelor ntregi;(5p) 3. S se arate c funcia , ) f : , f x x 1 x 1 = + + R R nu este nici injectiv, nicisurjectiv;(5p) 4. ntr-o urn sunt 30 bile albe i 20bile negre. Se extrag simultan 5 bile. Care esteprobabilitatea de a extrage 3 bile albe i 2 bile negre?(5p) 5. S se calculeze13sin12;(5p) 6. Dou nlimi ale unui triunghi sunt egale cu 6 i cu 10. Artai c a treia nlimeeste mai mic dect 15.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro12SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider irul de determinani: { ;nn 1 >A definit astfel:1 2 3 nn 1 coloane1 1 1 1 1 1 ... 11 1 11 1 1 x 1 1 1 x ... 1; 1 x 1 ; ;....;1 x 1 1 x 1 .. .. ... ..1 1 x1 1 1 x 1 1 ... x+A= A = A = A =_,unde { ; x \ 1 eR .(5p) a) Calculai2A i3A ;(5p) b) Demonstrai c dac { ; x \ 1 eR , fixat, irul { ;nn 1 >A este o progresie geometric.Gsii raia acestei progresii;(5p) c) Dac peN, numr prim, iar x eN astfel nct x-1 i p sunt prime ntre ele, artaicn irul { ;1 2 n1, 1,..., 1,... A A A exist cel puin un termen divizibil cu p.2.Polinomul j 2 n0 1 2 nf a a x a x ... a x X = + + + + e R areprintrerdciniinumerelecomplexe { ;k2k 2kz cos i sin , k 0,1, 2, 3, 45 5= + e .Polinomul j g X eR arerdcinilek kw z 1, = { ; k 0,1, 2, 3, 4 e .(5p) a) Calculai0 1 na a ... a + + + ;(5p) b) Determinai polinomul g;(5p) c) Care este gradul minim pe care l poate avea f, astfel nct f i g s aib divizoricomuni de grad cel puin 1?SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se dau iruln2 n1 1 1a ...e 1 e 1 e 1= + + ++ + +, n 1 > i funcia, ), )xf : , f x ln e 1 = + R R .(5p) a) S se arate c irul , )nna este monoton;(5p) b) S se aplice teorema lui Lagrange funciei f pe un interval de forma j k, k 1 + , undek 0 > ;(5p) c) S se arate c irul , )nna este convergent i s se arate c , nnlim a 0; ln 2e .2. Fie j ) , ), )2f : 0; , f t ln t 1 = + R i j ) , ) , )x0F: 0; , F x f t dt = }R . (5p) a) Artai c , ) F x 0 > pentru orice x 0 > ;(5p) b) S se demonstreze c derivata funciei F este strict cresctoare pe j ) 0; ;(5p) c) Calculai, )x220x 01lim ln t 1 dtsin x+}.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro13EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 9Prof. Delia Valentina BulgrFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se ordoneze cresctor numerele:333!, 200, log 243.(5p) 2. S se arate c1 4 9, 0, 0. a ba b a b+ > > >+(5p) 3. S se rezolve n Recuaia:2lg( 6 5) lg(3 ) lg3 x x x + = .(5p) 4. Cte submulimi ale mulimii A={1,2,3,4,5,6,7,8} au suma elementelor egal cu 8?(5p) 5. Se consider punctele A(m+1,n), B(2m,n+2), C(2n+1,m). S se determine m i n tiind ccentrul de greutate al triunghiului ABC este originea sistemului de coordonate XOY.(5p) 6.tiind c ( , )2to t e i2sin3o = , s se calculeze ctgo .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie matricea21 5 10( ) ( ),2 1 4a aXa M aa a+|= e e | ' R R.(5p) a) S se arate c ( ) ( ) ( ), , Xa Xb Xab a b a b= + + e R(5p) b) S se determine valoarea a eR pentru care X(a) nu este inversabil.(5p) c) S se calculeze ( ( )) , 1nXa n >2. Se consider polinomul2 2011 2010( 1) ( 1) 1 [ ] f X X X X = + + + + e C(5p) a) S se calculeze f(0) i f(-1).(5p) b) S se determine restul mpririi polinomului f la polinomul2g X X = + .(5p) c) S se arate c polinomul21 h X X = + + divide polinomul f.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia1 12 3: , ( )2 3x xx xf f x+ ++ =+R R(5p) a) S se arate c funcia f este strict cresctoare peR.(5p) b) S se determine asimptotele graficului funciei f.(5p) c) S se arate c funcia f este mrginit..www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro142. Se consider funciile2: , ( ) ,n n nxxf f x ne

e R R N i120( )nn nI f x dx = }. (5p) a) S se calculeze0I .(5p) b) S se verifice relaiile11( ) (2 ),2n nf x f x x+= eR i11,4n nI I n+= eN(5p) c) S se calculeze limnnS, unde0 1 2... ,n nS I I I I n = + + + + eNEXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 10Prof. Delia Valentina BulgrFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se calculeze modulul numrului complex6( 2 2 2 2 ) z i = + + .(5p) 2. Se consider progresia aritmetic1( )n na>cu133 a= . tiind c suma primilor 10termeni ai progresiei este 420, s se afle raia progresie aritmetice.(5p) 3. S se determine , 4 n n e > N astfel nct2221nC= .(5p) 4. . S se rezolve n intervalul (0, 2 ) t ecuaia1sin 22x = .(5p) 5. Triunghiul ABC are vrfurile A(2,3), B(4,2) i centrul de greutate G(3,-1). S se determinecoordonatele punctului C.(5p) 6. S se arate c 15 35 55 75 1 tg tg tg tg= SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie n3( ) M R matricele:2 1 11 2 11 1 2A | |= | | ' i1 1 11 1 11 1 1B | |=| |' .Se consider matricea21, \ {0}3 3xxM A B xx=+e R .(5p) a) S se calculeze2A i2B .(5p) b) S se arate c , , \ {0}x y xyM M M xy= eR .(5p) c) S se calculeze ( ) , 1nxM n > .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro152. Fie , , a b c eRi3 2{ | 0} H z z az bz c = e + + + = C .(5p) a) Dac a=b=c+1=0 s se determine mulimea H.(5p) b) Dac a=b=c+1=0 s se arate c (H,) este grup.(5p) c) Pentru a=b=c+1=0 s se arate c3( , ) ( , ) H + = Z , unde3( , ) + Z este grupul aditiv alclaselor de resturi modulo n.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funciile2 1 1, :[0, ) , ( ) 1n n nf g f x x nx nx+ = + R i1 2( ) 2 ( 1) 1, , 2.ngx x n x n n n+= + + e > N(5p) a) S se verifice c2'( ) ( ), 0.nf x nx gx x= >(5p) b) S se arate c ( ) 0, 0. gx x > >(5p) c) S se arate c1 1( ), 1, , 2nnx nx x n nx x > > e > N .2. Se consider irurile1( )n nI>i1( )n nJ>definite astfel:1lnennI x xdx =}i21(ln )ennJ x x dx =}.(5p) a) S se calculezenI .(5p) b) S se stabileasc o relaie ntrenI inJ .(5p) c) S se calculeze1 limn nnnI Je+.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 11Prof. Delia Valentina BulgrFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Se consider7 7 7log 35 log 9 log 45 a = + . S se arate c aeN .(5p) 2. S se determine \ {2} meR pentru care funcia2: , ( ) ( 2) 2 f f x m x mx m = + + R Radmite un maxim egal cu -1.(5p) 3. S se determine termenul din mijloc al dezvoltrii20 31( ) , 0, x x xx+ > eR.(5p) 4. Care este numrul de diagonale ale unui poligon convex cu n laturi?www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro16(5p) 5. Fie A,B dou puncte distincte, iar punctul M mijlocul segmentului [AB]. S se arate cpentru orice punct O exist egalitatea 2 OA OB OM + = .(5p) 6. S se calculeze lungimea razei cercului nscris ntr-un triunghi care are lungimile laturilorde 5, 7 i 8.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider sistemul2 3 05 3 03 5 0x y zx y zx y z+ + = + + =+ + =i matricea30 0 00 0 00 0 0O | |=| |' . Se noteaz cu Amatricea sistemului.(5p) a) S se calculeze determinantul i rangul matricei A.(5p) b) S se rezolve sistemul.(5p) c) S se gseasc o matrice3 3( ), B M B O e = R astfel nct3AB O=2. Se consider mulimea de numere reale2 2{ 2 | , , 2 1} M a b a b a b = + e = .(5p) a) S se arate c M este parte stabil n raport cu nmulirea numerelor reale.(5p) b) S se arate c dacz M e atunci 0 z = i1Mz e .(5p) c) S se gseasc un element z M e astfel nct1010z < < .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia21: , ( ) 11xf f xx+ = +R R .(5p) a) S se rezolve inecuaia f(x) .(5p) b) S se arate c21 3 5 ... (2 1)2 4 6 ... (2 ) 2nnInt = i2 12 4 6 ... (2 )1 3 5 ... (2 1)nnIn+ =+.(5p) c) S se calculeze22 1limnnnII+www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro17EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 12Prof. Delia Valentina BulgrFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se calculeze partea ntreag a numrului32 1 .(5p) 2. Fie21: , ( )1f f xx x = +R R . S se arate c40 ( ) ,3f x x s s eR.(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 2 49 35 25x x x = + .(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea numerelor naturale de trei cifre,produsul cifrelor sale s fie impar?(5p) 5. S se determine aeR pentru care vectorii ( 3) u a i a j = + + i 4 5 v i j = suntperpendiculari.(5p) 6. S se calculeze perimetrul triunghiului ABC, tiind c AB=3, AC=4 i ( ) 60 m BAC =

< .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie51 2 3 4 5 1 2 3 4 5, , ,5 2 4 1 3 2 3 1 5 4S o t o t ||e = = ||' ' .(5p) a) S se demonstreze c ot to = .(5p) b) S se determine mulimea*{ | }nH n o = eN(5p) c) S se arate c mulimea*{ | }nH n o = eN este un subgrup al grupului5( , ) S.2. Se consider corpul5( , , ) +Z i polinomul353 [ ] f X aX X = + + eZ , cu5aeZ .(5p) a) Pentru1 a = s se determine rdcinile polinomului f.(5p) b) S se determine5aeZ pentru care polinomul f admite dou rdcini diferite n5Z .(5p) c) Notnd cu1 2 3 5, , x x xeZ rdcinile polinomului f, s se calculeze3 3 31 2 3S x x x = + + .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia2: , ( )xf D f xx ax b = +R , , a beR .(5p) a) Pentru a=b=1, s se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis x=1.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro18(5p) b) S se determine aeR astfel nct21( ( ) 1)2limxx ax b f x + = .(5p) c) Pentru a=1, s se determine beR astfel nct funcia f s admit un extrem devaloare23.2. Se consider irul0( )n nI>definit prin22122ln 1nnenexI dxx++= }i suma0 1... ,n nS I I I n = + + + eN (5p) a) S se calculeze0I .(5p) b) S se arate c0( )n nI>este o progresie aritmetic , preciznd raia.(5p) c) S se calculeze124limnnnSn+ | |' .EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 13Prof. Canache GeorgianaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se determine numrul natural x din egalitatea2 + 7 + ........+ x =245.(5p) 2. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia :7 2 131 4x xx x ++ =+ .(5p) 3. Aflai valoarea minim a funciei f : R->R f(x)=5x2-3x+1 .(5p) 4. S se determine numrul funciilor f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} cu proprietatea cf(a)=f(b).(5p) 5. Se consider triunghiul ABC cu vrfurile A(2, -1) , B(0,3) i C(-4, -2). S secalculeze cos A.(5p) 6.Calculai E=43tg ctgctg tgo oo o+, dac coso =1, (0, )3 2to ewww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro19SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.Se consider matricea3 1 10 2 20 0 2A | |=| |' (5p) a) Calculai A2-3At(5p) b) Calculai inversa matricei A.(5p) c) Determinai An2. Se consider , ) , , inel comutativ ,unde 4 x y x y = + si4 4 20 x y xy x y = +, , ) , xy eR(5p) a) Calculai (e1 e2)+( e1 e2) ,unde e1este elemental neutru al primei legi ,iar e2esteelementul neutru al celei de a doua legi.(5p) b) S se determine a,b e astfel nct inelele , ) , , si ( , +,) s existe unizomorfism de forma f : -> , f(x)=ax+b(5p) c) S se rezolve n ecuaia2011..............de orix x x = _22011+ 4SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie funcia f : (-4,4)->R f(x)=4ln4xx+(5p) a) Gsii asimptotele funciei f.(5p) b) Sse determine punctele de extrem ale graficului funciei f.(5p) c) Calculai1lim ( )xx fx

2. Se consider funcia f : R->Rf(x)=x3+6x2-x-30(5p) a) Calculai43( )2f xdxx }(5p) b) Calculai320212 36 30xdxxx xx+ ++ }(5p) c) Calculai21604dxxx}www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro20EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 14Prof. Canache GeorgianaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Ordonai descresctor numerele 5 ,32 ,46(5p) 2. Se d ecuaia x2-(3m+1)x+m2- m=0 , meR . Calculai expresia E(m)= x12+x22-x1-x2,unde x1si x2sunt rdacinile ecuaiei.(5p) 3. S se determine inversa funciei f : (3 , )-> (0, ) f(x)=(5p) 4. Cte numere de 2 cifrese pot forma cu elemente ale mulimii {1,2,3,4,6} ?(5p) 5. Aflai meR astfel nct distana dintre puncteleA(m+1 ,5) i B(3, m-3) s fie de5 2 .(5p) 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC tiind c m( B < )=4tiAC=8.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.Fie mulimea G=1{ ( , ) 1 | , }0 0 1a bMa b a a a b | |= e | |' R(5p) a) Calulai M(1,2)M(2,3)(5p) b) S se arate c3GIe(5p) c) Calculai inversa matricei M(a,b)2. Se consider ae 4i polinomul f=x3+ x2+x+a e 4[x](5p) a) Calculai f( )+ f( )+ f( )+ f( ) ,pentru a=(5p) b) Pentru a= , s se determine rdcinile din 4ale polinomului f.(5p) c) Aflai ae 4pentru care polinomul este ireductibil n4[x]SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie functia f : R->R f(x)= 4x2-3x+2arctg x(5p) a) Studiai monotona funciei f peR.(5p) b) Verificai dac f este funcie bijetiv.(5p) c) Calculai2( )limxf xxwww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro212. Se d funcia f : [-2,2] ->R2( ) 4 f x x = (5p) a) Calculai2224 x xdx}(5p) b) Aflai volumul corpului obinut prin rotirea graficului funciei f n jurul axei ox(5p) c) Calculai10lim ( )nxf x dxx}EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 15Prof. Canache GeorgianaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Artai c numrul22(1 3 2) (1 3 2) i i + este numr ntreg .(5p) 2. S se rezolve n R R sistemul de ecuaii68x yxy+ = =(5p) 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale3 237 56xx x+ + =x(5p) 4. Aflai meR astfel nct vectorii ( 2) 2 u m i j = + + i ( 5) 3 v m i j = + s fie coliniari.(5p) 5. Aflai numrul termenilor raionali ai dezvoltrii, )1132 5 +(5p) 6. Se consider punctele A(5,-2) i B(1,3) . S se scrie ecuaia mediatoarei segmentului AB.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.Fie dreptele d1: 2x-y=5 , d2: x+4y=-2 i d3: x+y=m , unde meR(5p) a) Aflai meR astfel nct dreptele sa fie concurente.(5p) b) Aflai meR astfel nct coordonatele triunghiului format de cele 3 drepte au toatecoordonatele ntregi.(5p) c) S se calculeze valorile lui m eR pentru care triunghiul determinat de cele 3 dreptepentru m=-2.2.Se consider ecuaia3 25 0 x mx x n+ + + = m,neR i x1,x2,x3soluiile complexeale acesteia.(5p) a) Pentru m=2 si n=0 aflai x1,x2,x3(5p) b) Aflai m i n tiind c x1= 2+i.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro22(5p) c) Calculai x13+x23+x33, unde m,n eRSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se d funcia f: / { 2, 0} R R2 23 2( )( 2)xf xx x= +(5p) a) Determinai asimptotele graficului funciei f .(5p) b) Stabilii intervalele de monotonie ale funciei f.(5p) c) Calculai2lim( (1) (2) ....... ( ))xnf f f n=+ + +2. Se consider funciile f : (-2 , ) R23( )( 2)( 2)xf xx x=+ +i F: (-2 , )->RF(x)=a ln(x+2)+b ln(x2+2)+c arctg2x, a, b, c eR(5p) a) Aflai a,b,c eR astfel nct F o primitiv a lui f .(5p) b) Calculai10( ) f x dx}(5p) c) Stabilii monotonia funciei F ,n cazul n care F este o primitiv a lui f.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 16Prof. Canache GeorgianaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Artai c numrul13 132 3 2 3 i i+ +este numr natural.(5p) 2. S se determine meR astfel nct funcia f: > R R f(x)=(3m2-15)x+7 s fie funciestrict cresctoare.(5p) 3. S se determine valorile lui n pentru care1 24 2 10n n C C +=(5p) 4. Care este valoarea sumei 1 2 2 3 ............ ( 1) n n++ ++ ?www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro23(5p) 5. Aflai coordonatele simetriului punctului A(-2,1) fa de mijlocul segmentului [BC] , undeB(1,-5)i C(-3,-3).(5p) 6. Aflai meR astfel nct punctele A(3,-2) , B(2,5) i C(3m,m-1) s fie coliniare.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.Fie meR i3 2 12 12 3 1 0A mm| |= | |+' (5p) a) Calculai determinantul matricei A.(5p) b) S se afle meR astfel nct matrice A sa fie inversabil .(5p) c) Aflai meR astfel nct A-1= - A*2. Se consider mulimea G2( ) ,2 25{ | , , 1}5a bG a bb aa b |= e = |' (5p) a) Artai c G esteparte stabil a lui2( ) n raport cu nmulirea matricelor.(5p) b) Aflai un element A G e astfel nct b 0 =(5p) c) S se arate c mulimea G conine o infinitate de elemente.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia5 2 7: \ { } , ( )4 4 5xf f xx+ =+R R(5p) a) Determinai asimptotele funciei f.(5p) b) S se determine limita irului1()n na>, an=f(1)f(2)... f(n).(5p) c) S se determine puntele de inflexiune ale graficului funciei g: > R R , g(x)=f(ex).2. Fie funciile g,G : (- ) unde g(x)=x 4 5x i G(x)=2( ) 4 5 ax bx c x + + ia,b,c eR(5p) a) Aflai a,b i c astfel nct G s fie o primitiv a lui g.(5p) b) Studiai convexitatea/ concavitatea funciei G penrtu a,b i c aflate la punctul a.(5p) c) Calculai23( ) ( ) Gxgx dx}www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro24EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 17Prof. Viorica Cioc naruFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Calculai modulul numrului complex z =(1+ i)(1- i 3 ).(5p) 2. Rezolvai ecuaiax3+ 4 x2- 2x - 8 = 0.(5p) 3. Exprimai n funcie de a = log1227,log616.(5p) 4. Determinai b21n progresia geometricn care b3= 2 i b5= C24.(5p) 5. Scriei ecuaia medianei dus prin vrful A(2, 5) al triunghiului ABC unde B(-3, 2) i C(5, -4).(5p) 6. Calculaio oo o5 cos 3 cos7 cos cos++pentru12to = .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie matricea A =23 322 221 1111x xx xx xunde x1,x2,x3sunt r d cinile ecuaieix3+ a x + b = 0,a,be R. Se noteazcu Sk= x1k+ x2k+ x3k, ke N*i D = det A. (5p) a) Calculai S2, S3, S4n funcie de a i b.(5p) b) Ar tai c Sk+3+ a Sk+1+ b Sk= 0, ke N.(5p) c) Ar tai c r d cinile x1,x2,x3sunt reale dac i numai dac D2> 0.2. Fie G = (-1, 1) i legea de compoziie definitpe G, x y =1 ++xyy x, x, y e G.(5p) a) Ar tai c legea este comutativ i asociativ .(5p) b) Determinai elemental neutru, e.(5p) c) Determinai mulimea elementelor simetrizabile.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie funcia f: R R, f(x) =112+xxi funcia g: R\ {1} R, g(x) =11 x.(5p) a) Calculai f(x) i determinai asimptotele Gf.(5p) b) Calculai g(n)(x).(5p) c) Ar tai c (f g)(n)(x)(x2+ 1) + 2n (f g)(n-1)(x) x + n (n -1) (f g)(n-2)(x) = 0.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro252. Se consider irul (In)n > 0definit prin In=}+102 xxndx, ne N. (5p) a) Determinai I0i I1i stabilii o leg turntre I0i I1.(5p) b) Calculai In+ 2 In-1, ne N*.(5p) c) Studiai monotonia i m rginirea irul (In)n >1i calculai nlim In.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 18Prof. Viorica Cioc naruFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Calculai| z | i_z pentru z = (2 + i)4.(5p) 2. Calculai probabilitatea ca un element din mulimea {A13, C45, P3, C25, A24} sverificerelaia2n< 10 n + 1.(5p) 3. Rezolvai inecuaia log0,25(log7452+xx x) > 0.(5p) 4. Determinai suma vectoriloru = 2i - 3j iv = 4i + 5j i produsul lor scalar.(5p) 5. Triunghiul ABC are vrfurile A(-2, 6), B(-5, 2), C(3, - 4). Scriei ecuaia n limii din A iaria triunghiului.(5p) 6. Ar tai cdacntr-un triunghi ABC are loc relaiasin A =C BC Bcos cossin sin++, atuncitriunghiuleste dreptunghic.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie matricea A =2 1 2 12 1 2 12 1 2 12 1 2 1 i B = p A + I4, unde pe R.(5p) a) Verificai c2 B B2= I4.(5p) b) Ar tai cB este inversabil pe R i calculai inversa ei.(5p) c) Ar tai cBn= I4+ n p A, ne N*i pe R.2. Pe Z se definete legea de compoziie astfel: x y = x + ay a, x, y e Z.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro26(5p) a) Determinai a e Z astfel nct legea s fie asociativ.(5p) b) Determinai a i ee Z astfel nct x e = e x = x, xe Z i calculai a a.(5p) c) Ar tai c(Z, ) este grup abelian.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie funcia f: R R, f(x) = arc tg x 2x.(5p) a) Calculai f (1), f(1).(5p) b) Studiai monotonia funciei i curbura ei.(5p) c) Determinai asimptota la graficul funciei c tre + .2. Se consider funcia f: [0, 1] R, f(x) =6 512+ + x xi se definete irul (In)n > 0prinIn= ) (10x f xn}dx,ne N. (5p) a) Determinai I0i I1.(5p) b) Calculai In+2+ 5 In+1+ 6 In, ne N.(5p) c). Determinai o primitiv a funciei f care trece prin M(1,21ln43).EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 19Prof. Viorica Cioc naruFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Determinai n e N astfel nct s aibloc relaiaA24 + n> C34 + n.(5p) 2. Ordonai descresc tor numerele log636,316 , 20 ,448 .(5p) 3. Calculai probabilitatea ca alegnd un element o din mulimea {6t,4t,3t,2t,32t,65t, t }, cos oe Q?(5p) 4. S se g seasctermenii dezvolt rii ( x +421x)8astfel nct puterea lui x > 0 sfie num rnatural.(5p) 5. Rezolvai ecuaia z5= 1 unde z e C cu ajutorul formei trigonometrice a unui num rcomplex.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro27(5p) 6. Aflai perimetrul i aria triunghiului ABC cu vrfurile A(-2, -6), B(-1, 3), C(3, 6).SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie sistemul t1x + t2y + t3z = munde t1, t2, t3sunt r d cinile complexe ale ecuaieit2x + t3y + t1z = nt3x + t1y + t2z = pt3+ m t2+ n t + p = 0.(5p) a) Aflai m, n, p dac t1= 1, t2= -1, t3= 2.(5p) b) Rezolvai sistemul dacm = n = p = 1.(5p) c) Pentru m = 0, ecuaia t3+ m t2+ n t + p = 0 admite r d cintriplnenul dac i numaidacsistemul este incompatibil.2. Fie inelele comutative (Z, , - ) i (Z, , T ), unde x y = x + y 4, x y = x + y 7,x - y = xy - 4(x + y) + 20, x T y = xy - 7(x + y) + 56, x, y e Z.(5p) a) Aflai elementele neutre ale celor dou inele.(5p) b) Determinai elementele simetrizabile ale celor dou inele.(5p) c) Ar tai cfuncia f: Z Z, f(x) = x + 3 stabilete un izomorfism ntre inelele (Z, , - ) i(Z, , T ).SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie funcia f: R\ { 1} R, f(x) =15 623 + xx x.(5p) a) Determinai r d cinile ecuaiei f(x) = 0.(5p) b) Determinai ecuaiile asimptotelor la Gf.(5p) c) Calculai xlimxxxx f213) (+||

'

.2. Se consider funcia f: R\ {-5, 0} R, f(x) =) 5 (1+ x x. (5p) a) S se calculeze}nx f1) ( dx, n> 2, n e N.(5p) b) Dac se noteaz integrala de la a) cu In, s se determine nlim In.(5p) c) Fr a calcula efectiv integrala, s se arate c31s ) ( ) 3 (74x f x x} dx s 1.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro28EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 20Prof. Cioc naru VioricaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Determinai modulul i conjugatul num rului complexii2 33 2+.(5p) 2. G sii coeficientul lui x4n dezvoltarea (x- 2x2+ 1)5.(5p) 3. Determinai suma vectorilor 1v,2v ,3v i cosinusul unghiului format de 1v i2v tiind cnv =11 22+ + +n nni +1122+ +n nnj , ne N.(5p) 4. Aflai partea ntreaga num rului log62011.(5p) 5. Calculai bc cos2A/ 2 + ac cos2B/ 2 + ab cos2C/ 2.(5p) 6. Determinai raportul Sa/ Sgunde Saeste suma primilor 101 termeni ai unei progresiiaritmeticei Sgeste suma primilor 80 termeni ai unei progresii geometrice, ambele progresii avndprimultermen 5 i raia 0,2.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie matricea M =1 0 02 1 03 2 1.(5p) a) Calculai M2, M3, Tr M.(5p) b) Ar tai cMnse scrie sub formaMn=1 0 01 01nn nxy x, ne N, calculai xn, yn.(5p) c) Calculai M13,M23,M21(complemenii algebrici) i M2011.2. Se considersistemul^ ^ ^ ^2 3 3 2 = + + z y x ,^ ^ ^ ^6 2 4 6 = + + z y x ,^ ^ ^ ^3 4 2 3 = + + z y x .(5p) a) Calculai determinantul matricei sistemului n inelul Z12i n inelul Z7.(5p) b) Determinai elementele inversabile n inelul Z12n raport cu nmulirea i calculaiprobabilitatea ca alegnd un element din Z12, acesta s fie inversabil.(5p) c) Rezolvai sistemul n inelul Z12.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro29SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se considerfunciile f, g: R R, f(x) = _=nkkkx p1cos i g(x) = kxkpnkksin1_=, ne N\ {0,1},undepke R, ke {1, 2, 3, ...}.(5p) a) Calculai g(x), g(x), f(0) i g(0) .(5p) b) Ar tai cdac f(x) > 0, xe R, atunci g(x) este nul xe R.(5p) c) Calculai g (kt ), ke Z ixx gx) (lim0 .2. Se considerfunciile f: (1, ) R, f(x) =) ln 1 (1x x +, g: R R, g(x) = ex(2 ex 3) ih: (0, ) R, h(x) =x1(2 ln x 3). Determinai: (5p) a) primitiva F a funciei f cu proprietatea F(ee-1) = 2.(5p) b) t e R astfel nct}tx g0) ( dx = 0.(5p) c) t > 0 astfel nct}tex h2) ( dx = 0.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 21Prof. Andrei Octavian DobreFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Soluia ecuaiei (x+1)+(x+4)+(x+7)+...+(x+28)=155(5p) 2. S se simplifice expresia2 ! (2 )!( 1)( 2) ...(2 2)(2 1)2 2n nn n n n n++ + + +(5p) 3. Rezolvai ecuaia 3 4 1 2 1 5 x x x x + + + =(5p) 4. Dac funcia : f R R , ( ) 2012 1 f x x = + , are inversa : g R R, s se calculezeg(2012)(5p) 5. Fie punctele A(0,2), B(4,6), C(8,10) . Daca punctul A este simetricul lui A fa de BC,aflai lungimea segmentului AA.(5p) 6. n triunghiul ABC avem BC=4, AC=2 si AB =6. Dac M este mijlocul segmentului [BC]aflai ( ) m BAM ,, )23 3 3 3 337 19 3 3 1...1 2 2 31nn nan n+ += + + + +.(5p) a) Determinai termenul general al irului , )1nna>.(5p) b) S se calculeze3limnnna.(5p) c) S se calculeze , )1lim sin sinn nnna na+ .2. Se consider funcia22f : , ( ) min ,1R Rf x xx | = |+' .(5p) a) Explicitai funcia f i artai c admite primitive.(5p) b) Determinai primitivele funciei f.(5p) c) Calculai aria suprafeei mrginit de graficul funciei f, axa Ox i dreptele verticale1, 2 x x = = .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro37EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta26Prof. Ioan LungFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Calculai , ) , ) , ) , )2 3 2011cos cos 2 cos3 ... cos 2011 i i i i t t t t .(5p) 2. S se determine valorile parametrului real m astfel nct ntre soluiile1 2, x x aleecuaiei , ) , )21 5 7 2 0 m x m x + + = s existe relaia1 23 x x + = .(5p) 3. Rezolvai pe mulimea numerelor reale ecuaia52 81log 15log2x x + = .(5p) 4. Considerm o mulime A cu 10 elemente. Care este probabilitatea ca alegnd osubmulime a lui A, aceasta s conin dou elemente?(5p) 5. Considerm punctele ( 4, 2), (2, 0), ( 5,1) A B C . Artai c dreptele AB i AC suntperpendiculare.(5p) 6. Rezolvai pe mulimea j 0,t ecuaia 2sin3 1 0 x = .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie sistemul2 112,x y mzx y zx my z m R+ + = + + =+ + = e(5p) a) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s admit o singur soluie.(5p) b) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s fie incompatibil.(5p) c) Determinai parametrul m astfel nct sistemul s admit o singur soluie, )0 0 0, , x y z cu00 y > .2. Pe mulimea , ) 7, G = se definete legea de compoziie 7 7 56 x y xy x y = +.(5p) a) Artai c ( , ) G este grup abelian.(5p) b) Rezolvai pe R ecuaia2011... 7orix x x = _.(5p) c) Fie funcia , ) f : 0, , ( ) G f x ax b = + . Determinai numerele reale a i b astfelnct funcia f s fie un izomorfism de la grupul ( , ) G la grupul , )*, R+ .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro38SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Considerm funcia, )2f : , ( ) ln 1 R Rf x xarctgx x = + .(5p) a) Calculai , ) f x ' .(5p) b) Artai c funcia f ' este strict cresctoare.(5p) c) Demonstrai c , )*( ) 0, f x x R+> e .2. Se consider funcia1 1f : , , ( )3 3 1Rf xx | = |+ ' .(5p) a) Determinai primitivele funciei f.(5p) b) Calculai01limnnkkfn n= | |' _.(5p) c) Fie F o primitiv a funciei f astfel nct , )503F = . Rezolvai ecuaia, ) , ) 1 F x f x= .EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 27Prof. Viorica LunganaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Scrierea zecimal a numrului371este ... ... , 03 2 1 na a a a . S se determine2011a .(5p) 2. S se determine rdcinile reale ale ecuaiei : 0 3 42= + x x .(5p) 3. S se arate c numrul de submulimi ale unei mulimi cu n elemente esten2 .(5p) 4. Un copac cu nlimea de 10 m crete n fiecare lun cu 4% din nlimea sa. Cenlime va avea copacul dup dou luni?(5p) 5. Fie , ) e , 0 , , c b a cu 1 , , = c b a . Artai c: 1lg lg lg=baaccbc b a .(5p) 6. n triunghiul ABC se dau 6 = BC ,2t= A i6t= C . Calculai: BC AC , AB AC , BC BA .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro39SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider matricele:||||

'

=3 6 92 4 61 2 3A ,||||

'

=1 0 00 1 00 0 13I i A I B + =3.(5p) a) S se calculeze determinantul i rangul matricei A.(5p) b) Dac||||

'

=321X i , ) 1 2 3 = Y , s se calculeze matricea XY A S = .(5p) c) S se arate c matricea B este inversabil i inversa sa este matriceaA I B11131 =.2. Fie , ) ,* I grup abelian, unde , ) _ = , 1 I R i legea de compoziie este definit prin2 *2 2 2 2+ = y x y x y x , , ) I y x e , .(5p) a) S se determine elementul neutru i mulimea elementelor simetrizabile.(5p) b) S se arate c ntre grupurile, ) +,*R i , ) ,* I exist un izomorfism , ) , ) , 1 , 0 : fde forma , ) m x x f + = , unde e m R, se va determina.(5p) c) Fie I x e . S se calculeze _ ori dex x x x100* ... * * * .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie un ir , ) n f astfel ca pentru orice e n N s avem: , ) , ) , ) n f n f n f 3 1 = + i, )210 = f .(5p) a) S se calculeze , ) , ) , ) , ) 4 , 3 , 2 , 1 f f f f .(5p) b) Exprimai termenul general , ) n f n funcie de n.(5p) c) S se calculeze , ) , ) , ) , ) n f f f f Sn+ + + + = ... . 2 1 0 i s se arate c, ) , )30 1 f n fSn +=2. Fie : f RR o funcie care admite ca primitiv funcia F cu proprietatea, ) , ) , ) e = + x x x f x F , sin R.(5p) a) Calculai}xdx exsin .(5p) b) Calculai derivata funciei , )xe x F.(5p) c) Dac , ) 0 0= f , atunci determinai funcia f .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro40EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 28Prof. Viorica LunganaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se determine valorile parametrului real m pentru care ecuaia 0 12= + mx x arerdcini complexe.(5p) 2. S se rezolve ecuaia 02331=++ x x.(5p) 3. S se calculeze j a , pentru_==nkka021, unde j a este partea ntreag a numruluireal a.(5p) 4. S se calculeze sumanna a a a S + + + + = ... 3 23 2, e a R.(5p) 5. O trup de actori are n componena sa 4 brbai, 3 femei i 3 copii. n cte modurise poate face distribuia ntr-o pies de teatru care are 2 roluri de brbai, 2 roluri defemei i un rol de copil?(5p) 6. Calculai ctgt tgt 4 3 + , tiind c 0 5 2 sin 4 2 cos 3 = + + t t .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. n M2(C) se consider matricele|||

'

=1 00 12I ,|||

'

=0 00 02O i submulimea)`e|||

'

= C w zz ww zG ,__ __.(5p) a) S se verifice c G I e2i G Oe2.(5p) b) S se calculeze z i w dac 0__ __= z ww z.(5p) c) S se arate c dac G Q P e , , atunci G Q P e.2. Pentru orice e n Z, considerm funcia , ) , ) , ) , )nx x f fn n22 2 , , 2 , 2 : + = . Sse arate c:(5p) a) , ) e =+n m f f fn m n m, ;Z.(5p) b) Mulimea { ; Z n f Gne = mpreun cu operaia de compunere a funciilor este grupcomutativ.(5p) c) Grupul, ), G este izomorf cu grupul aditiv al numerelor ntregi , ) + , Z .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro41SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia , ) , 0 : f R, , ), )2 211 2++=x xxx f i irul , )1 > n na definit prin, ) , ) , ) n f f f an+ + + = ... 2 1(5p) a) S se verifice egalitatea , ), ), ) , ) e + = , 0 ,11 12 2xx xx f .(5p) b) S se arate c, ), ) e ++= nnn nan,1222N*.(5p) c) S se calculeze, ) n nfnna1lim .2. Fie funcia j

]

32,351 , 1 :t tf , , ) x x x f arccos32 =t.(5p) a) S se arate c f este funcie bijectiv.(5p) b) Calculai:}212121dxxx.(5p) c) Calculai: , )}01tdx x f .EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 29Prof. Viorica LunganaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. a) S se arate c, ), ), ) e ++=+ +xx x x x,21112 11N.b) S se calculeze suma2011 20101...4 313 212 11

+ +

+

+

= S .(5p) 2. Cte laturi are un poligon convex cu msurile n grade ale unghiurilor n progresiearitmetic de raie

20 , dac cel mai mic unghi are

68 ?(5p) 3. S se dea un exemplu de dou numere iraionale cu proprietatea c suma i produsulwww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro42lor sunt numere raionale strict pozitive.(5p) 4. S se rezolve ecuaia, ) , ) 4 3 2 3 21 2 1 2= + ++ + x x.(5p) 5. Folosind metoda induciei matematice, demonstrai inegalitatea:, ) 1 ,121...21112 2 2> s + + + nn n.(5p) 6. S se rezolve ecuaia: 0 2 sin sin = + x x .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. n M3(C) se consider matricele||||

'

=1 0 00 1 00 0 13I i||||

'

=0 0 01 0 02 3 0A .(5p) a) Calculai matricele:2A i3A .(5p) b) S se arate c pentru orice e z C, determinantul matricei zA I +3este egal cu 1.(5p) c) Calculai:, ), )23 3A A I A I + + . Ce putei spune de inversa matricei A I +3?2. Fie e g f , Z5 j X ,.+ + = 14 5X X f ,. .+ + + + = 2 32 3 5X X X X g .(5p) a) S se afle cel mai mare divizor comun al celor dou polinoame.(5p) b) S se afle cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f i g.(5p) c) S se rezolve ecuaia , ) , ) x g x f = .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia : f RR dat de legea , )11 22+ =x xxx f .(5p) a) S se studieze continuitatea funciei f pe R.(5p) b) S se studieze derivabilitatea funciei f n punctul 1 = x .(5p) c) Cercetai cte puncte de extrem are funcia f .2. Se consider irul, )0 > n nI , , )}=enndx x I1ln .(5p) a) Calculai0I i1I .(5p) b) Gsii o formul de recuren pentru irul, )0 > n nI .(5p) c) Studiai convergena irului i, n cazul n care este convergent, calculai limita sa.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro43EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 30Prof. Viorica LunganaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se determine funcia de gradul al doilea : f RR, , ) c bx ax x f + + =2, astfelnct graficul ei s conin punctele , ) , ) , ) 4 , 1 ; 1 , 3 ; 2 , 1 C B A .(5p) 2. S se determine parametrul real m astfel nct, ) e > + + + y x m y x y x , , 0 6 42 2R.(5p) 3. Fie : f R { ; 2 R { ; , )2, 1= xxx f . S se arate c funcia f este bijectiv i s secalculeze , ) x f1 .(5p) 4. S se determine coeficientul lui8x n dezvoltarea binomului2521||

'

+xx .(5p) 5. S se calculeze imaginea funciei : f RR, , )1322+=xx xx f .(5p) 6. Dintr-un far nalt de 100 m (fa de nivelul mrii) se vd pe mare dou nave peaceeai linie cu baza farului, una sub un ungh de

45 i cealalt sub un unghi de

30 .Aflai distana dintre cele dou nave.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider sistemul= + + = += + +1 210 2z my xz my xz y mx, unde e m R.(5p) a) S se rezolve sistemul pentru 1 = m .(5p) b) S se determine parametrul real m, astfel nct sistemul s fie compatibildeterminat.(5p) c) S se determine parametrul real m, astfel nct sistemul s fie incompatibil.2. Se consider polinomul e + + + = c b a c bX aX X f , , ;3 4R.(5p) a) Pentru 501 = c s se demonstreze c , ) , ) , ) , ) 2008 1 1 = + + + i f i f f f , unde12 = i .(5p) b) Pentru 2 = a , 2 = b , 1 = c s se determine rdcinile polinomului f.(5p) c) S se demonstreze c nu exist valori reale ale coeficienilor c b a , , astfel caf s sewww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro44divid cu X X g =3.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie funcia real E f : R, , ) 1 6 8 1 4 3 + + = x x x x x f .(5p) a) Determinai domeniul de definiie i artai c funcia f se poate scrie, )j )j )j ) ee e =, 10 110 , 5 , 5 1 25 , 1 , 1x dacx dac xx dacx f(5p) b) Studiai continuitatea funciei f n punctele 51 = x i 102 = x i calculai derivatafunciei.(5p) c) Cercetai dac funciaf este derivabil n punctele 51 = x i 102 = x . Stabiliidomeniul de derivabilitate al funciei. Ce fel de puncte sunt 51 = x i 102 = x pentrugraficul funciei f ?2.(5p) a) Demonstrai inegalitatea , ) , ) 0 , 1 ln > s + x x x .(5p) b) Artai c 0 1 ln lim102=|||

' ++} dxax xn nn, unde 0 ~ a .(5p) c) S se calculeze}+ ++ 10222lim dxa x xx xnn nn nn, unde 0 ~ a .EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 31Prof. Blandina ManiiuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1 S se determine partea imaginar a numrului complex z1.1ii=(5p) 2. Se consider funcia f : , R R f(x)=x +2.S se rezolve ecuaia f2( ( )) ( ). f x f x =(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia12 9 9 7.x x =www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro45(5p) 4. S se rezolve sistemul:! 6,! 25xy'0 pentru x>1.2. Fie f: , R R f(x)=1.2 sin x (5p) a)Studiai mrginirea funciei f pentru x . R(5p) b) Calculai20( ) . f x dx](5p) c) Demonstrai c orice primitiv F(x) a funciei f(x) este strict cresctoare icalculai201101lim ( ) .xxf t dtx]www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro46EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 32Prof. Blandina ManiiuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se determine partea ntreag a numrului 3 2 2. (5p) 2. Studiai paritatea funciei f: ) ( ) (2, 2 2, , ( ) ln .2xf xx ' =R(5p) 3. S se rezolve nR ecuaia 10 2 10 3x x = (5p) 4. Calculai0 2 88 8 8... C C C .(5p) 5. n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele( ) ( ) 2,1 , 2, 2 A B i ( ) 5, 3 C .S se scrie ecuaia dreptei care trece prin C i esteperpendicular pe AB.(5p) 6. Calculai sin cos .8 8

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.Se consider matricea A= ( )31 1 11 1 1 .1 1 1M 1

( )R(5p) a) Calculai rang A.(5p) b) Aflai1A.(5p) c) Dac B=A12As se afle B2011.2. Fie G=(2, ) i 2 2 6, , . x y xy x y xy + = \ R(5p) a) Demonstrai c G este parte stabil a lui Rn raport cu legea + .(5p) b) Aflai mulimea elementelor simetrizabile n raport cu legea . +(5p) c) Ct este suma i produsul soluiilor ecuaiei 11 x x + = ?SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia f: ( ) ( ) , 2 . f x arctg x arctgx = R R(5p) a) Aflai ecuaiile asimptotelor la graficul funciei f.(5p) b) Studiai monotonia funciei .(5p) c) Artai c 0 ( ) , .2f x x< _ \ Rwww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro472. Se consider funcia f:2, 1, ( ) ., 12xxe xf xaxx x'1 _111 = !1

111+R R(5p) a) S se afle valoarea parametrului real a pentru care f este continu n x01. =(5p) b) Pentru a=3e demonstrai c f admite primitive pe . R(5p) c) Calculai20( ) , f x dx]pentru a=3e.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 33Prof. Blandina ManiiuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Aflai inversa funciei f: , ( ) 3 4. f x x = R R(5p) 2. Aflai modulul numrului complex z1 2.1 2ii=(5p) 3. Aflai o relaie independent de m ,ntre rdcinileecuaiei22( 1) 2 1 0, . x m x m m = R(5p) 4. Calculai suma 1 1! 2 2! ... n ! n ,*n N .(5p) 5. Aflaiaria triunghiului ABC tiind c AB=4,AC=6 i m(0) 15 . A= 0.(5p) b) Dac , )01s xx= , , ) , ) , )211 1 ,n n ns x s x s x x+= + + + + pentru orice , neN unde x > 0,atunci, ) , ), ), ) , ),nf xf x s xx n f x ns s+ +pentru orice . neN(5p) c) S se calculeze limn an.2. Se consider funciile f, F : , f (x) =4 42(1 )1x xx+, F (x) =7 61 27 3x x 5 343x x + 4x + 4 arctg x. (5p) a) S se arate c F este o primitiv a lui f.(5p) b) S se calculeze10( ) f x dx}i14 40(1 ) x x dx }.(5p) c) S se deduc inegalitile22371< e +=n N n InnIn n.(5p) c) Utiliznd metoda inductiei matematice s se arate cwww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro64, ), )1 , ;! 1 2! 32 1 2> e +

=+n N nnnInn.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 44Prof. Mndrican Ovidiu-MariusFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Cte numere naturale mai mici sau egale cu 100 sunt divizibile cu 3 sau cu 4 si nusunt divizibile cu 5 ?(5p) 2. S se determine probabilitatea ca aruncnd 2 zaruri, suma feelor s reprezinte uncub perfect.(5p) 3. S se rezolve n R ecuatia x x = + 3 3 .(5p) 4. ntr-un triunghi dreptunghic ABC, avnd , )

90 = ZBAC m se cunosc: AH = 2 cm siAM= 4 cm, unde AH i AMsunt nlimea i mediana corespunztoare unghiuluidrept.S se calculeze diferena msurilor unghiurilor ascuite ale triunghiului.(5p) 5. S se calculeze valoarea minim a sumei R x x x e + , cos sin .(5p) 6. S se compare distana de la punctul A(2; 3) la dreapta d 0 5 4 3 : = + y x , culungimeasegmentului determinat de intersectiile dreptei d cu axele de coordonate.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider matricile :||||

'

=0 0 01 0 00 1 0A ;||||

'

=1 0 10 1 01 0 1B .(5p) a) S se calculeze , ) B A At+ + det .(5p) b) S se calculezeeN n An, .(5p) c) S se calculezeeN n Bn, .2. Se consider R ae i ecuaia , ) , ) . 0 1 4 2 22 2 3 4= + + + + x x a a x a x(5p) a) S se calculeze4 3 2 11 1 1 1x x x x+ + + .(5p) b) S se arate c ecuaia dat nu are toate rdcinile reale.(5p) c) S se demonstreze c ecuaia dat nu admite pe -2 drept rdcin tripl.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro65SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia R D f : ; , ) 2 6 3 arcsin2+ = x x x f .(5p) a) S se precizeze domeniul de definiie al funciei f .(5p) b) S se precizeze domeniul ei de derivabilitate.(5p) c) S se precizeze intervalele de convexitate i de concavitate ale funciei.2. Se consider funcia , )nx nxnx nxne eb e x a e xx f R R f+ ++ + += 2 2lim , : . (5p) a) S se determine constantelea i b astfel nct funcia f s fie continu peR .(5p) b) S se calculeze j , ) ;22dx x f x}+unde j x reprezint funcia parte ntreag.(5p) c) S se calculeze , ), ) ;22dx x f f}+ undereprezint operaia de compunere afunciilor.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 45Prof. Adrian MuscaluFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Dac , a beR i 1 a b + = ,s se arate c2 212a b + > .(5p) 2. S se rezolve n numere reale ecuaia :2log (2 lg( 1)) 0 x + + = .(5p) 3. S se calculeze7nC , dacnC20=220+ nC .(5p) 4. Fie :{ 1, 2} f R ,2( ) 3 f x x = i : g R R , ( ) gx ax b = + o prelungire a lui f .S se calculeze (1) g .(5p) 5. Fie ABCD un paralelogram i punctele K i L astfel nct AK =51AD, AL =61AC .S se arate c vectorii LK i LB sunt coliniari.(5p) 6. Dac11sin cos12x x + = ,s se calculeze sin 2x .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro66SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider matricea0 1 11 0 11 1 0M | |=| |' i mulimea{ ;23 3( ) 2 H x M R X X I = e = + .(5p) a) S se arate cM H e .(5p) b) DacA H e , s se arate c A este inversabil i12 A A = 2I3.(5p) c) DacB H e , s se arate c3 32 ( 1)( ) (2 )3 3n nnB B I I B= + + .2. Se consider mulimea7,a bM a b Zb a | = e ` |' )i matricile 2 1 1 2A |=| |' , 4 3 3 4B |=| |' .(5p) a) S se arate cA este inversabil i s se afle inversa ei.(5p) b) Care este probabilitatea ca alegnd un element din M,acesta s fie matriceinversabil?(5p) c) S se rezolve n2 7( ) M ecuaia6X B = .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia : f R R ,3( ) f x x x = + i irul , )1nnx>,10 x> ,31 1 n nx x+ ++ =nx .(5p) a) S se arate c funcia este bijectiv.(5p) b) S se calculeze , )1'(2) f.(5p) c) S se arate c irul , )1nnx>este convergent i s se afle limita sa.2. Se consider irul10sinnnI x xdx t =}. (5p) a) S se calculeze1I .(5p) b) S se arate c1 1 21 ( 1)n nn nI It t+ += .(5p) c) S se calculeze limnnI.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro67EXAMENULDEBACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 46Prof. Adrian MuscaluFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Se consider ecuaia22 1 0 x x = curdcinile1x i2x . S se calculeze :1121+xx+1112+xx(5p) 2. S se calculeze partea ntreag a numrului:3 34 2 11+ ++3 3 39 6 41+ ++...+3 3 3181 90 100 + +(5p) 3. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia:221 32x xx x =(5p) 4. S se afle inversa funciei bijective1, 1: , ( )3 1, 1x xf f xx x+ < = >R R(5p) 5. Fie vectoriia i b cu | a | =3 i | b | = 4 i unghiul dintre ei de 60o. S se afle x dacvectorii u xa b = + i 2 v a b = + sunt perpendiculari.(5p) 6. S se calculeze 8sin15 sin 45 sin 75o o o.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie2, ( ) AX M e R ,unde1 80 1A |=|' i AX XA = .(5p) a) Artai c exist o infinitate de matrici2( ) X M e R cuproprietatea dat;(5p) b) S se rezolve n2( ) M R ecuaia4X A = .(5p) c) S se calculeze , *nA n N e .2. Se consider legea de compoziie pe Z, 3 3 12 x y xy x y = + . Elementula Z ese numete element absorbant fa de legea , dacx a a x a = = pentru oricex Z e .(5p) a) S se arate c legea este asociativ, s se afle elementul neutru i elementulabsorbant.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro68(5p) b) S se rezolve ecuaia100... 4de xx x x x =_.(5p) c) S se afle prile stabile finite ale lui Z fa de legea dat.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider irul1( )n nx>dat prin31 1(0;1),n n nx x x x+e = .(5p) a) S se arate c (0,1)nxe pentru orice * n N e .(5p) b) S se calculeze limita irului .(5p) c) S se arate c nlim , )3 3 31 2 1...nx x x x + + + = .2. Fie funcia4 2:[0;1] [1; 3], ( ) 1 f f x x x = + + . (5p) a) S se arate c feste inversabil .(5p) b) S se calculeze}+102) () 1 2 (dxx fx x.(5p) c) S se arate c}10) ( dx x f +}31) ( dx x g =3, unde g este inversa lui f.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 47Prof. Adrian MuscaluFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se arate c dac numerele2 2, , abb c sunt n progresie aritmetic ,atunci numerele, , 2 b c b a sunt n progresie geometric.(5p) 2. S se rezolve sistemul := +=+++20611112 2y xxyyx(5p) 3. Dac108log 3 x = , s se calculeze n funcie de x numrul48log 2 y = .(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegnd o pereche denumere distincte din mulimea{ ; 1, 2, 3,..., 30 , produsul lor s fie numr impar?www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro69(5p) 5. Un dreptunghi are dou laturi pe dreptele de ecuaii : 3 4 3 0 a x y + = ,respectiv: 4 3 4 0 b x y = i vrful ( 1; 4) A . S se afle aria dreptunghiului.(5p) 6. S se arate c ntr-un triunghi oarecare ABC are loc relaia :cos cos cossin sin sinbc A ca B ab CRa A b B c C+ +=+ +SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider permutrile41 2 3 4 1 2 3 4, , ,3 4 2 1 4 1 3 2S o u o u ||e = = ||' ' .(5p) a) S se calculeze2011 2011o u.(5p) b) S se rezolve ecuaia21 43x o o u = .(5p) c) S se arate c ecuaia10x o = nu are soluii n S4.2. Fie irul , )kk NFedefinit astfel:0 1 2 11, 0,k k kF F F F F+ += = = + i mulimea11 200 1 00k kk kF FM k NF F++ + | |= e ` | |' )(5p) a) S se arate c0 0 10 1 01 0 1A M | |= e | |' .(5p) b) S se arate cM este monoid comutativ n raport cu nmulirea matricilor.(5p) c) S se arate c22 1( 1)kk k kF F F+ + = .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia2: , ( ) 12xxf f x e x = R R .(5p) a) S se calculeze30( )limxf xx.(5p) b) S se arate c f este bijectiv.(5p) c) S se calculeze1( )limlnxf xx.2. Se consider funciile4sin 2: , ( )3 cosxf f xx =+R R , g(x)=}xdt t f0) ( . (5p) a) S se calculeze20( ) f x dxt}.(5p) b) S se arate c g este periodic de perioad principal .(5p) c) S se calculeze2( ) x f x dxtt }.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro70EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 48Prof. Adrian MuscaluFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se rezolve n mulimea numerelor complexe sistemul := += +6102 2y xy x(5p) 2. Cte elemente ale mulimii { ; 7,11,15,..., 999 A = se divid cu 5 ?(5p) 3. Fie : \ {1, 1} \ {1, 1} f R R ,3( )1xf xx=+. S se rezolve ecuaia50... ( ) 2de de orifofo of x = _(5p) 4. S se aflemeR astfel nct2 24 2 0 x y x y m + + + > pentru orice , xy eR .(5p) 5. Fie triunghiul , (3,1) ABCA ,iar 6 0, 7 0 x y x y + = + = ecuaiile dreptelor suportpentru dou mediane ale triunghiului. S se afle coordonatele mijlocului segmentului[BC].(5p) 6. S se afle perimetrul triunghiului ABC, tiind c 6, ,4 6AB B Ct t= = = .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Se consider matricea20 1 00 0 1 , ( )1 0 0A A M Z | |= e | |' ,ifuncia2 2: ( ) ( ), ( ) f M Z M Z f X AX = .(5p) a) Cte elemente are mulimea{ ;|nH A n N = e .(5p) b) S se arate c funcia f este bijectiv.(5p) c) S se rezolve n2( ) M C ecuaia5X A = .2. Se considera matricea2 12 1A |=| ' i mulimea{ ;2( ) , 1 M Xk I kA k Rk = = + e > .(5p) a) S se arate c Meste grup abelian n raport cu nmulirea matricilor.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro71(5p) b) S se arate c funcia*: , ( ( )) 1 f M f Xk k+ = + R este un izomorfism de grupuride la , ) , M la , )*,+ R .(5p) c) S se rezolve n Mecuaia1002X I = .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia : \ {1} f R R43( 1)( )( 1)xf xx+=.(5p) a) S se determine asimptotele la graficul funciei.(5p) b) S se discute ecuaia ( ) f x m = dup parametrul real m .(5p) c) S se arate c( )(2)nf Z e pentru oricen N e i(100)(2) f este divizibil cu1002 darnu este divizibil cu1012 .2. Se consider funcia : f R R , ( )1xxef xe=+. (5p) a) S se calculeze11( ) f x dx}.(5p) b) S se calculeze22( ) cos f x xdxtt}.(5p) c) S se calculeze10lim ( )nnnx f x dx}.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 49Prof. Gabriel NeculaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se rezolve n mulimea numerelor complexe ecuaia210, 2 020x x + = .(5p) 2. S se determine imaginea intervalului j 1, 3 prin funcia : f R R,3( ) 2 3xf x x = + .(5p) 3. S se rezolve ecuaia2cos 1 sin x x = + .(5p) 4. S se determine probabilitatea ca, alegnd un numr din primele 150 de numere naturale,www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro72acesta s nu contin cifra 3.(5p) 5. S se determineo eR astfel nct vectorii , ) , ) 1 2 1 a i j o o = + + i , ) 2 2 b i j o = + + s fie coliniari.(5p) 6. S se arate ca , ) , )2 2cos cos cos sin p q p q p q + = , pentru orice , pqeR.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie matricele , )3, A B M e R ,1 1 12 2 23 3 3pa a pb pcA pa pb b pcpa pb pc c+| |= + | |+' ,638 469 2031274 939 4061911 1407 610B | |= | |' .(5p) a) Folosind proprietile determinanilor s se arate c :0 0det 0 00 0aA k p bc= + , k eR.(5p) b) S se arate c matricea B este inversabil i s se determine inversa sa.(5p) c) S se calculezenB , neN .2. Fie polinomul j f X eR ,27 18 9 34 4 f X X mX X mX n = + + + + , , m neR .(5p) a) S se determine restul imparirii polinomul f la polinomul 1 X + .(5p) b) S se determinem i n astfel nct restul imparirii polinomul f la polinomul21 X sfie 2 X + .(5p) c) S se determinem i n astfel nct polinomul f s divizibil cu , )21 X .SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Fie irul de numere reale, ) eN n nx definit astfel :01 > x ,1) 1 2 (++nx n =1 2 3ln( 3 5 ... ( 2 1) )nx x x n x + + + + , pentru orice * N e n .(5p) a) S se arate c3 25 323x xe e x = + .(5p) b) Fien nx n y ) 1 2 ( = . S se arate cnny lim = + .(5p) c) S se calculezennx lim .2. Se consider irul , ) *nnIeN,10cos ,nnI n x xdxn= e}N . (5p) a) S se calculeze1I .(5p) b) S se arate c , )101 sin cosnnI x x x xdx = + }.(5p) c) S se calculeze limnnI+.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro73EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 50Prof. Gabriel NeculaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se determine partea real numrului, )41 3 i .(5p) 2. Fie1 2, x x rdacinile ecuaiei25 0 x x + = .S se calculeze1 2 1 21 2 1 22 3 1 4 3 54 3 5 2 3 1x x x xx x x x+ + +++ + + .(5p) 3. S se rezolve nR ecuaia154 9 2 34x y x y ++ + = + .(5p) 4. Se consider dezvoltarea, )455 2x y + . S se determine termenul care i conine pe xipe y la aceeai putere.(5p) 5. S se determinemeR astfel nct punctele , ) 1, 2 A , , ) 2,1 B i , ) 2 1, 1 C m m + s fiecoliniare.(5p) 6. S se calculeze, ) , ) , ) , )2 5 4 3 3 2 6 i j i j i j i j + .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie AeM2(R) astfel nct trA= 0 idet A= 0.(5p) a) S se calculeze AX + XA.(5p) b) S se arate c funcia f : M2(R)M2(R), f( X ) = AX + XA este bijectiv.(5p) c) S se determine toate matriceleXeM2(R) care verific egalitatea :A( AX + XA ) + ( AX + XA )A = A( AX2+ X2A ) + ( A X2+ X2A )A .2. Fie legea de compoziie " ", definit pe ( 1,1) G = prin1x yx yxy+=+ , pentruorice, xy G e i funcia : f G R,1( ) ln1xf xx+=.(5p) a) S se arate c legea de compoziie " "este asociativ.(5p) b) S se arate c funcia f este un izomorfism ntre grupul, ) , G i grupul , ) , + R .(5p) c) S se arate c, ) , G nu este izomorf cu grupul, ),R .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro74SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia : f R R,2( ) 1 f x x = .(5p) a) S se arate c graficul funciei f admite o asimptot spre .(5p) b) S se calculeze derivatele laterale ale funciei f n 1 x = i 1 x = .(5p) c) S se determine punctele de extrem local ale funciei f .2. Fie irul de numere reale , ) eN n nx definit astfel, ) 11 1 11 ...2 3 4 1nnxn= + + ++, pentruorice * N e n .(5p) a) S se arate c , ) , )112 311 ... 1 11 1nn nnxx x x xx x++= + + + + + +, pentru orice j 0,1 xe ,pentruorice * N e n .(5p) b) S se arate c , )1110ln 2 11nnnxx dxx++= +}, pentruorice * N e n .(5p) c) S se calculeze limnnx+.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 51Prof. Gabriel NeculaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S se calculeze modulul numrului complex3 6 9 20101 ... i i i i + + + + + .(5p) 2. Fie funcia : f R R,2( ) 8 15 f x x x = + . S se ordoneze cresctor (2), ( ) f f ti ( ) f e .(5p) 3. S se rezolve ecuaia 2 2 x x + = .(5p) 4. S se determine numerele naturale npentru care2 12n nC C = .(5p) 5. S se determine ecuaia dreptei care conine punctul (2, 3) A i este perpendicularpedreapta determinat de punctele (1, 4), (3, 2) B C .(5p) 6. S se calculeze perimetrul triunghiului ABC , tiind c 4 AB AC = =i ( ) 30 m CBA=

X .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro751. Fie a, be R astfel nct a2< 4b i AeM2( R).(5p) a) S se calculezeA2+ a A + b I2.(5p) b) S se arate c dac det( A2+ a A + b I2) = 0 atunci trA = -a i det A = b.(5p) c) S se arate c dac det( A2+ a A + b I2) = 0 atunci pentru oricep, qe Rdet( A2+ pA + q I2) = ( p- a )2b ( p- a ) ( q b)a+ ( q- b )2.2.(5p) a) S seafle numrul polinoamelor de grad mai mic sau egal cu trei din j 2X Z .(5p) b) S se descompun polinomul5 31 f X X = + + n factori ireductibili peste2Z .(5p) c) S se determine polinoamele ireductibile peste2Z de grad mai mic sau egal cu trei.SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia , ) : 0, f +R ,2( ) 4 2ln f x x x x = + .(5p) a) S se determine asimptotele la graficul funciei f .(5p) b) S se determine punctele de extrem ale funciei f .(5p) c) S se determine numrul rdacinilor reale ale ecuaiei ( ) f x m = , unde m este unnumrreal oarecare.2. Fie , , : f gh R R astfel nct g}e dx x h ) ( , h}e dx x g ) ( si g(0) = h(0) = 2, g(0) =h(0) = 1.(5p) a) S se determine funciile g, h.(5p) b) S se arate c dac f admite primitive peR atunci g fi h fadmit primitive peR.(5p) c) S se arate c dac g fi h fadmit primitive peR atunci f admite primitive peR.www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro76EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 52Prof. Gabriel NeculaFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. Fie , )nnxeNo progresie aritmetic.Dac4 212 3 13 x x + = , s se calculeze7 164 x x + .(5p) 2. Se consider funciile , : f g R R, ( ) 1 f x x = + i2( ) 2 1 gx x x = + . S se determinecoordonatele punctelor de intersecie a graficelor celor doua funcii.(5p) 3. S se rezolve nR ecuaia2 15 126 5 5 0x x+ = .(5p) 4. S se rezolve nN inecuaia223 28nnC+s .(5p) 5. S se calculeze distana de la punctul , ) 1, 3 A la dreapta : 2 3 5 0 d x x + = .(5p) 6. Fie3,2to t |e |' astfel nct4sin9o = . S se calculeze coso .SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1. Fie a0, a1, a2, a3eC i c =23 1 i + .(5p) a) S se calculeze21 c c + + .(5p) b) S se arate c dac pentru oriceA, BeM3(C)det( A + a0B ) + det( A + a1B ) + det( A + a2B ) = a3( detA + detB )atuncia0e{1, c , c2}, a1= c a0, a2= c2a0ia3= 3.(5p) c) S se arate c dac a0e{1, c , c2}, a1= c a0, a2= c2a0ia3= 3 atuncidet( A + a0B ) + det( A + a1B ) + det( A + a2B ) = a3( detA + detB ),pentru oriceA, BeM3(C).2. Fie legea de compoziie " ", definit pe R prin, )lnx x y yx y e e e+= + +, pentru orice, xy eR.(5p) a) S se arate c legea de compoziie " "este asociativ.(5p) b) S se determine xeR pentru care are loc ln7 x x x = .(5p) c) S se arate, )... ln 1 1nxn orix x x x e |= + |' _, pentruorice , 2 n n e > N .www.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro77SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia : f R R,3 3( ) 2 3 f x x x = + .(5p) a) S se calculeze3 2lim ( )xx f x+ .(5p) b) S se determine intervalele de monotonie ale funciei.(5p) c) S se arate c3 3 3 33 2 4 3 > .2. Se consider irul , )nnIeN, , )20cos ,nnI x dxnt= e}N. (5p) a) S se determine0I i1I .(5p) b) S se arate c21n nnI In= , pentru orice 2 n > .(5p) c) S se calculeze1limnnnII ++.EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 53Prof. Nicolae NicolaescuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S secalculeze partea real a numrului complex , ) . 12011i z + =(5p) 2. S se determine m R e astfel nctmx2-3mx-1< 0, . R x e (5p) 3. Fie funciile R R g f : , ,f(x)=ax+b i g(x)=2x-1.Determinai a,b R e astfel nct(fogof)(x)=(gofog)(x), . R x e (5p) 4. S se rezolve n R ecuaia x x = 31 2 .(5p) 5. n sistemul de coordonate xOy se consider punctele A(2,-3) i B(8,-7).Scriei ecuaiamediatoarei segmentului AB.(5p) 6. S se demonstreze c cos 400+ cos 700+ cos 1100+ cos 1400=0.SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)1.n mulimea S4a permutrilor de 4 elemente, se consider permutarea|||

'

=3 1 4 24 3 2 1o(5p) a) S se calculeze .4o(5p) b) S se rezolve ecuaia e x = 2011o cu .4S x ewww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro78(5p) c) Artai c ecuaia o =6x nu are soluii n S4.2. Se consider mulimea , ). ,1 0 010 0 1/3 , ,R M R b a b a A A Mb a b ac)`e||||

'

= =(5p) a) Artai c . , , ,, , ,R d c b a A A Ad b c a d c b ae = + +(5p) b) S se calculeze , ) .1,nb aA(5p) c) S se rezolve ecuaia||||

'

= 9 8 76 5 43 2 15,X Aa an , ).3R MSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)1. Se consider funcia R R f : . ,2) (2R mx xm xx f e+ +=(5p) a) S se calculeze f(x).(5p) b) S se stabileasc intervalele de monotonie ale funciei pentru m=1.(5p) c) S se determineecuaia asimptotei ctre - .2. Se consider funcia R R f : 13sin ) (2+ + =xx x f(5p) a) S se calculeze}10. ) ( dt t f(5p) b) S se calculeze} xxdt t fx03. ) (1lim(5p) c) S se determinederivata funciei}= 20. ) ( ) ( , :xdt t f x g R R gwww.mateinfo.roBacalaureat Matematic M1(matematic informatic)Modele de Subiecte www.mateinfo.ro79EXAMENUL DE BACALAUREAT 2011Proba E. c)Prob scris la MATEMATICVarianta 54Prof. Nicolae NicolaescuFiliera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic.+Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu.+ Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.+La toate subiectele se cer rezolvri complete.SUBIECTUL I (30 de puncte)(5p) 1. S secalculeze suma 2+7+12++102.(5p) 2. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia . 25 2 16 20x x x =(5p) 3. S se calculeze .22011...232221

]

+ +

]

+

]

+

]

(5p) 4. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element al mulimii A={1,2,3,4,5},acesta sverifice relaia , ) . !3 2n n >(5p) 5. Fie dreptunghiul ABCD cuAB=10 i BC=6 i M mijlocul lui BC.Calculai M B B A + .(5p) 6.