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PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE MECÁNICA CUÁNTICA EDICIONES CIENTÍFICAS UNIVERSITARIAS TEXTO CIENTÍFICO UNIVERSITARIO uis de la eña • irna illavicencio

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  • PROBLEMAS Y EJERCICIOSDE MECNICA CUNTICA

    EDICIONES CIENTFICAS UNIVERSITARIASTEXTO CIENTFICO UNIVERSITARIO

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    os autores de la presente obra nos dicen en suPrefacio: En este volumen se discute condetalle la solucin de cada uno de losproblemas sugeridos al lector en el texto

    Introduccin a la mecnica cuntica, de Luis de la Pea, a los quese han agregado otros para redondear su contenido. Durante laelaboracin del volumen se ha tenido presente en todo momen-to que, mucho ms importante que la mera solucin de un ejer-cicio, es el valor didctico que el proceso de su solucin puedetener para fijar y mejorar la comprensin del tema en estudio.

    Este libro, tal como sucede con el texto que le sirve de base,est destinado en primer lugar a los estudiantes de nivel de licen-ciatura que desean adquirir un slido conocimiento de los princi-pios de la mecnica cuntica, particularmente estudiantes de lascarreras de fsica y afines, como algunas de las ingenieras mo-dernas o la qumica terica. Sin embargo, el nivel se extiende demanera natural hasta cubrir varios temas ms propios de losestudios de posgrado o de cursos especializados; es el intersdel propio alumno el que debe decidir hasta dnde avanza en

    cada ocasin. La organizacin del volu-men es directa: en la primera seccin

    de cada captulo se resuelven to-dos y cada uno de los problemaspropuestos en Introduccin a lamecnica cuntica Sigue encada caso una segunda sec-cin en que se resuelven y dis-cuten de manera anloga losproblemas adicionales Final-mente, aparece la seccin de

    ejercicios a resolver; el nivelde estos ejercicios es normal-

    mente introductorio.

    UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICOFONDO DE CULTURA ECONMICA

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    9 789681 670351

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    Problemas yMec. CuantPortFor 3/1/10 6:35 PM Page 1

  • EDICIONES CIENTFICAS UNIVERSITARIAS

    Serie Texto Cientfico Universitario

    Problemas y ejercicios de mecnica cuntica

  • Luis de la Pea realiz sus estudios de ingeniero en comunicacionesy electrnica en la Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctri-ca (esime) del Instituto Politcnico Nacional, y el doctorado en cien-cias fsico-matemticas en la Universidad Estatal Lomonosov deMosc. Desde 1958 labora en el Instituto de Fsica de la UniversidadNacional Autnoma de Mxico (unam), del cual es investigadoremrito. En 1984 se le otorg la Medalla Acadmica de la SociedadMexicana de Fsica, en 1989 el Premio Universidad Nacional (en In-vestigacin en Ciencias Exactas) y en 2002 el Premio Nacional deCiencias y Artes en el rea de Ciencias Fsico-Matemticas y Naturales.

    Mirna Villavicencio realiz sus estudios de licenciatura y maestraen la Facultad de Ciencias de la unam. Desde 1993 es profesoraasociada del Departamento de Fsica de la Facultad de Ciencias de launam.

  • LUIS DE LA PEA MIRNA VILLAVICENCIO

    PROBLEMAS Y EJERCICIOSDE MECNICA CUNTICA

    Universidad Nacional Autnoma de MxicoFondo de Cultura Econmica

    mxico

  • Primera edicin, 2003

    Se prohbe la reproduccin total o parcial de esta obra incluido el diseo tipogrfico y de portada, sea cual fuere el medio, electrnico o mecnico, sin el consentimiento por escrito del editor

    Agradecemos sus comentarios y sugerencias al correo [email protected]

    Conozca nuestro catlogo enhttp://www.fondodeculturaeconomica.com

    D. R. 2003, Universidad Nacional Autnoma de MxicoEdificio de la Coordinacin Cientfica, circuito exteriorCiudad Universitaria, Mxico, D.F.http://www.unam.mx

    D. R. 2003, Fondo de Cultura EconmicaCarretera Picacho-Ajusco, 227; 14200 Mxico, D. F.

    ISBN 968-16-7035-3

    Impreso en Mxico Printed in Mexico

    Pea, Luis de la, y Mirna VillavicencioProblemas y ejercicios de mecnica cuntica / Luis

    de la Pea y Mirna Villavicencio Mxico : FCE,UNAM, 2003

    xxxii, 815 p. ; 28 21 cm (Colec. Seccin deObras de Ciencia y Tecnologa)

    Texto para nivel licenciatura, maestra y doctorado

    ISBN 968-16-7035-3

    1. Fsica Mecnica cuntica I. Villavicencio, Mirnacoaut. II. Ser III. t

    LC QC 174.12 P46 Dewey 530.12 P562p

  • Indice general

    Indice de figuras XXIX

    Prefacio XXXI

    I. La mecanica cuantica primitiva 1I.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    I.1. Lmites de la distribucion de Planck . . . . . . . . 1I.2. Ley de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . 2I.3. Ley de desplazamiento de Wien . . . . . . . . . . 3I.4. Frecuencia de corte para los osciladores de Planck 5I.5. Radiacion cosmica de fondo . . . . . . . . . . . . 6I.6. Energa de un cuanto de luz visible . . . . . . . . 7I.7. Funcion de trabajo del potasio . . . . . . . . . . . 7I.8. Perdida maxima de energa del foton en el efecto

    Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.9. Dispersion Compton . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.10. Energa de retroceso de un nucleo que emite un

    foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.11. Dispersion y absorcion de fotones por cargas libres 12I.12. Potencia radiada en una orbita circular de Bohr . 13I.13. Orbitas elpticas en el modelo de Bohr . . . . . . 14I.14. Cuantizacion de Wilson-Sommerfeld para poten-

    cial proporcional a rk . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.15. Cuantizacion de Wilson-Sommerfeld para poten-

    cial proporcional a 1/r3/2 . . . . . . . . . . . . . . 18I.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    I.16. Energa emitida por un cuerpo negro . . . . . . . 18I.17. Efecto fotoelectrico en aluminio . . . . . . . . . . 18I.18. Retrodispersion de rayos X en el efecto Compton 19I.19. Un ejemplo de aplicacion del principio de corres-

    pondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.20. Cuantizacion de Wilson-Sommerfeld para un po-

    tencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.21. Fluctuaciones de la energa de un campo de radia-

    cion en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    vii

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    II. Propiedades estadsticas y ondulatorias del movimiento departculas 25II.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    II.1. Comparacion de longitudes de onda de de Broglie 25II.2. Longitud de onda de de Broglie y masa . . . . . . 26II.3. Modelo de Bohr y longitud de onda de de Broglie 26II.4. Radio de la primera orbita de Bohr y longitud de

    onda de luz visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.5. Combinacion de dos distribuciones normales . . . 28II.6. Propiedades de una distribucion gaussiana . . . . 31

    II.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.7. Longitud de onda de de Broglie de electrones rela-

    tivistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.8. Masa relativista del electron y masa efectiva del

    foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.9. Longitud de onda de de Broglie en terminos de la

    energa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.10. Potencial cuadrado unidimensional y relacion de

    de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.11. Difraccion de Bragg de primer orden . . . . . . . 35II.12. Presion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    II.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    III. Ecuacion estacionaria de Schrodinger 39III.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    III.1. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 39III.2. Transformada integral de Fourier de diversas fun-

    ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40III.3. Solucion de algunos problemas de valores propios 42III.4. Densidad triangular de electrones en un pozo de

    potencial unidimensional . . . . . . . . . . . . . . 44III.5. Metodo de normalizacion de Gram-Schmidt . . . 46III.6. Valor medio de x y de x2 en una caja de potencial

    unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    III.7. Eigenfunciones para un pozo cuadrado infinito yoperador de momento . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    III.8. Evolucion de la funcion de onda para partculas enun pozo de potencial infinito . . . . . . . . . . . . 50

    III.9. Mnima desviacion cuadratica media de la posicion 51III.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    IV. La partcula libre 53IV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    IV.1. Propiedades de la funcion delta de Dirac . . . . . 53IV.2. Una representacion integral de la funcion delta de

    Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56IV.3. Relacion entre la distibucion normal y la funcion

    delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56IV.4. Funcion delta de Dirac y variables ignorables . . . 57

    viii

  • Indice general

    IV.5. Funcion delta de Dirac en coordenadas polares . . 58IV.6. Funcion delta de Dirac en coordenadas esfericas . 59IV.7. Indefinicion del origen del potencial en la ecuacion

    estacionaria de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . 60IV.8. Posicion y velocidad medias para un paquete de

    partculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60IV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    IV.9. Transformada de Fourier de la funcion de onda departculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    IV.10. Evolucion de un paquete de partculas libres . . . 63IV.11. Propagacion sin distorsion de un paquete de partcu-

    las libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65IV.12. Velocidad de fase asociada a una onda de de Broglie 66IV.13. Velocidad de fase y velocidad de grupo de ondas

    en agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    V. Ecuacion completa de Schrodinger 71V.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    V.1. Generalizacion de la ecuacion de continuidad cuan-tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    V.2. Propiedades de continuidad de la derivada de lafuncion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    V.3. Propagador de la ecuacion de Schrodinger . . . . 72V.4. Propiedades integrales del propagador . . . . . . . 74V.5. Densidad de flujo en un pozo rectangular infinito 75V.6. Fase de la funcion de onda como potencial de ve-

    locidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75V.7. Analisis de un estado no estacionario . . . . . . . 76V.8. Evolucion de un paquete bajo la accion de un cam-

    po constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78V.9. Evolucion de un paquete inicialmente uniforme . . 79V.10. Evolucion de un paquete inicialmente gaussiano . 79

    V.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81V.11. Evolucion de un paquete inicialmente gaussiano.

    Lmite clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81V.12. Evolucion de una funcion de onda para un pozo

    rectangular infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 83V.13. Cuantizacion de Schrodinger para un potencial

    gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84V.14. Ecuacion de Schrodinger y transfomaciones de Ga-

    lileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85V.15. Relacion de de Broglie y relatividad galileana . . 87V.16. Conexion con la interpretacion de Bohm de la

    mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88V.17. Lmite no relativista de la ecuacion de Klein-Gor-

    don para partcula libre . . . . . . . . . . . . . . . 91V.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    ix

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    VI. Barreras y pozos unidimensionales 95VI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    VI.1. Numero de estados ligados en un pozo cuadradounidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    VI.2. Pozo de potencial simetrico. Numero de estadosligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    VI.3. Potencial atractivo delta de Dirac . . . . . . . . . 97VI.4. Coeficientes de transmision y reflexion para un po-

    zo rectangular finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.5. Coeficientes de transmision y reflexion para una

    barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 101VI.6. Primeros estados de un pozo doble simetrico rec-

    tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102VI.7. Coeficientes de transmision y reflexion para el pozo

    del problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . . 106VI.8. Pozo de potencial tridimensional rectangular finito 106VI.9. Propiedades de la matriz S para potenciales unidi-

    mensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108VI.10. Matriz S para un pozo rectangular unidimensional 110VI.11. Pozo rectangular finito con barrera infinita . . . . 112VI.12. Coeficientes de transmision y reflexion e inversion

    temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114VI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    VI.13. Forma de las resonancias para la barrera rectangular 114VI.14. Fuerza media sobre las paredes de un pozo cuadra-

    do infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115VI.15. Coeficientes de transmision y reflexion para una

    barrera delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 116VI.16. Potencial modelado por dos funciones delta de Dirac 117VI.17. Valor medio de la posicion a tiempo arbitrario en

    un pozo cuadrado infinito . . . . . . . . . . . . . . 118VI.18. Tiempo medio de cruce en una barrera de potencial 119VI.19. Velocidad de flujo en presencia de una barrera . . 121VI.20. Incidencia oblcua de partculas sobre un escalon

    de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124VI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    VII. Metodos aproximados I: metodo WKB, teora y aplicacio-nes. 129VII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    VII.1. Coeficiente de transmision para una barrera rec-tangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    VII.2. Estados ligados para un potencial lineal unidimen-sional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    VII.3. Metodo WKB y potencial de Hylleraas. Coefici-ciente de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    VII.4. Metodo WKB y condiciones de cuantizacion conbarrera infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    VII.5. Metodo WKB y condiciones de cuantizacion paraun potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . 134

    x

  • Indice general

    VII.6. Metodo WKB para el pozo rectangular infinito . . 135VII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    VII.7. Solucion de ecuaciones diferenciales utilizando elmetodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    VII.8. Metodo WKB aplicado a un potencial proporcionala x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    VII.9. Numero de niveles discretos de energa en un po-tencial atractivo general . . . . . . . . . . . . . . 137

    VII.10. Coeficiente de transmision para una barrera de Hy-lleraas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    VII.11. Efecto tunel macroscopico . . . . . . . . . . . . . 138VII.12. Estructura del espectro de problemas unidimensio-

    nales y metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 139VII.13. Funciones propias del pozo de potencial cilndrico 140VII.14. Metodo WKB y vida media en un pozo de poten-

    cial esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143VII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    VIII. Operadores y variables dinamicas 145VIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    VIII.1. Separacion de un operador unitario . . . . . . . . 145VIII.2. Operadores unitarios en terminos de operadores

    hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146VIII.3. Combinaciones hermitianas de dos operadores her-

    mitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146VIII.4. Hermiticidad del hamiltoniano de Schrodinger . . 147VIII.5. Propiedades del conmutador. Identidad de Jacobi 148VIII.6. Propiedades adicionales del conmutador . . . . . 149VIII.7. Algunas propiedades de conmutacion de los opera-

    dores inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150VIII.8. Conmutador del producto de operadores que con-

    mutan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VIII.9. Calculo de los conmutadores fundamentales [x, H]

    y [p, H] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VIII.10. Representacion de un operador con espectro con-

    tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VIII.11. Representaciones diversas de la relacion de com-

    pletez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152VIII.12. Propiedad asociativa de los elementos de matriz en

    la notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VIII.13. Conmutacion y eigenfunciones comunes de opera-

    dores. Notacion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 153VIII.14. Expresion general para la dispersion de un opera-

    dor hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154VIII.15. Desigualdades de Heisenberg para un pozo rectan-

    gular infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155VIII.16. Estimacion del radio caracterstico del atomo de

    hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156VIII.17. Ecuacion diferencial para paquetes de mnima dis-

    persion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157xi

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    VIII.18. Propiedes de los operadores de proyeccion . . . . 158VIII.19. Desarrollo de la funcion de Green en terminos de

    funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . 160VIII.20. Desigualdades de Heisenberg para los operadores

    p, senx y cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161VIII.21. Expresiones asintoticas para un paquete minimal

    de electrones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 162VIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    VIII.22. Eigenvalores y condiciones de frontera en un casosimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    VIII.23. Determinacion de vectores y valores propios de unoperador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    VIII.24. Hermiticidad del operador de paridad . . . . . . . 166VIII.25. Operador de traslacion espacial . . . . . . . . . . 167VIII.26. Propiedades del operador An . . . . . . . . . . . . 168VIII.27. Valores bien definidos de una variable dinamica y

    eigenvalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169VIII.28. Operador de conjugacion de carga y sus eigenestados 170VIII.29. Relacion entre las representaciones de momentos y

    de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170VIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    IX. Propiedades dinamicas de los sistemas cuanticos 175IX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    IX.1. a) Separacion de un operador en sus partes hermi-tiana y antihermitiana b) Operadores r, p, L y deparidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    IX.2. Propiedades de los parentesis de Poisson. Identidadde Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    IX.3. Conmutador de un operador con una funcion deoperadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    IX.4. Una propiedad del operador exponencial de un pro-ducto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    IX.5. Evolucion del operador de energa cinetica . . . . 179IX.6. Teorema de Ehrenfest con un campo magnetico

    externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180IX.7. Transformaciones locales de norma . . . . . . . . 181IX.8. Calculo de [qi, pnj ] y [qi, f(p)] . . . . . . . . . . . . 183IX.9. Invariancia del espectro de un operador ante trans-

    formaciones unitarias . . . . . . . . . . . . . . . . 184IX.10. Ecuacion de movimiento de un operador en la des-

    cripcion de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 184IX.11. Equivalencia entre las descripciones de Schrodinger

    y Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185IX.12. Teorema cuantico del virial . . . . . . . . . . . . . 185IX.13. Desigualdades de Heisenberg a tiempos diferentes 186IX.14. Desigualdades de Heisenberg a tiempos diferentes 187IX.15. Cambio brusco en las dimensiones de una caja de

    potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188IX.16. Evolucion de la variancia de la posicion en general 189

    xii

  • Indice general

    IX.17. Version tensorial del teorema del virial . . . . . . 190IX.18. Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn . . . . . 191IX.19. Regla de suma con dos observables diferentes . . . 192

    IX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IX.20. Conmutacion de operadores, eigenfunciones comu-

    nes y degeneracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 193IX.21. Solucion de una paradoja asociada al teorema de

    Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194IX.22. Descripcion de Heisenberg de una partcula sujeta

    a una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . 194IX.23. Invariancia de la ecuacion de continuidad ante

    transformaciones de norma . . . . . . . . . . . . . 196IX.24. Efecto Aharonov-Bohm y similares . . . . . . . . 197

    IX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    X. Topicos complementarios de la teora de representaciones 203X.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    X.1. Cambio de representacion . . . . . . . . . . . . . 203X.2. Invariancia de la paridad de un estado ante un

    cambio de representacion . . . . . . . . . . . . . . 204X.3. No diagonalidad de la derivada de la delta de Dirac 204X.4. Solucion del potencial delta de Dirac en la repre-

    sentacion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 205X.5. Operadores de proyeccion para un sistema de dos

    partculas de espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 206X.6. Operadores de proyeccion en terminos de diadas . 206X.7. Proyectores con traza arbitraria . . . . . . . . . . 207X.8. Probabilidad de un estado como valor esperado de

    un proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208X.9. Producto de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . 209X.10. Conmutador de operadores en diferentes espacios

    de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209X.11. Producto tensorial y proyectores . . . . . . . . . . 210X.12. La funcion A(r)/r en la representacion de momentos 210

    X.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211X.13. Periodicidad temporal de un sistema descrito por

    un hamiltoniano diagonal . . . . . . . . . . . . . . 211X.14. Propiedades generales de observables cuyo conmu-

    tador es una constante . . . . . . . . . . . . . . . 211X.15. Descripcion en el espacio de Hilbert de una cadena

    lineal de n partculas . . . . . . . . . . . . . . . . 213X.16. Invariancia de eigenvalores ante una traslacion

    temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215X.17. Cambio brusco de una caja de potencial y distri-

    bucion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 216X.18. Partcula en un campo de fuerzas uniforme. Repre-

    sentacion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 217X.19. Transformaciones galileanas en el espacio de mo-

    mentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219X.20. Construccion de una transformacion unitaria con

    el invariante x2 + p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 220X.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    xiii

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XI. El oscilador armonico unidimensional 225XI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

    XI.1. Solucion de la ecuacion de Schrodinger del oscila-dor armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

    XI.2. Normalizacion de la funcion de onda de un paquetede osciladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    XI.3. Dispersion de la posicion y el momento del paquetecoherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

    XI.4. Evolucion del paquete coherente de osciladores . . 228XI.5. Energa del estado base del oscilador armonico y

    desigualdades de Heisenberg . . . . . . . . . . . . 229XI.6. Teorema del virial para estados estacionarios del

    oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230XI.7. Variancia de la posicion para el estado base del

    oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231XI.8. Desigualdad de Heisenberg para un estado estacio-

    nario del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232XI.9. Paquete minimal de osciladores armonicos en ter-

    minos de eigenestados . . . . . . . . . . . . . . . . 234XI.10. Degeneracion del espectro del oscilador armonico

    isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236XI.11. Potencia radiada por un oscilador armonico clasico

    y cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237XI.12. Propiedades basicas de los operadores de creacion

    y aniquilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238XI.13. Conmutador de los operadores de creacion y ani-

    quilacion y el hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . 239XI.14. Elementos de matriz del operador de posicion y de

    su cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240XI.15. Representacion matricial de los operadores de crea-

    cion y aniquilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 240XI.16. Representacion matricial de los operadores de po-

    sicion y momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241XI.17. Operadores de dezplazamiento . . . . . . . . . . . 242XI.18. Hamiltoniano del oscilador con termino lineal en

    los operadores a y a . . . . . . . . . . . . . . . . 244XI.19. Estados propios del operador de aniquilacion . . . 245XI.20. Cambio brusco de la frecuencia de un oscilador

    armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246XI.21. Propagador de Feynman para el oscilador armonico 248XI.22. Frecuencias normales para dos osciladores acoplados 250XI.23. Desigualdades de Heisenberg para tiempos diferen-

    tes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252XI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

    XI.24. Representacion del operador de creacion del osci-lador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

    XI.25. Funcion de Green del oscilador armonico . . . . . 255XI.26. Dispersion constante simultanea de la posicion y el

    momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256xiv

  • Indice general

    XI.27. Los estados coherentes son de mnima dispersion . 258XI.28. Estados coherentes en la representacion de coorde-

    nadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258XI.29. Determinacion simple de la evolucion de un estado

    coherente del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . 260XI.30. El oscilador armonico en el espacio de momentos 261XI.31. Teorema de desenmaranamiento . . . . . . . . . . 262

    XI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

    XII. Introduccion a la teora del momento angular 267XII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

    XII.1. Hermiticidad de los operadores de momento angular 267XII.2. Operador de momento angular en coordenadas

    esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267XII.3. Coeficiente de normalizacion de los armonicos es-

    fericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268XII.4. Momento angular de un sistema de dos partculas 269XII.5. Relaciones de conmutacion del momento angular

    relativo y cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270XII.6. Propiedades de la componente radial del operador

    de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271XII.7. Relaciones de conmutacion de la componente ra-

    dial del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272XII.8. Problema de valores propios para el momento radial 272XII.9. Algunas relaciones de conmutacion del operador de

    momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273XII.10. Relacion algebraica entre los operadores de mo-

    mento lineal y momento angular . . . . . . . . . . 274XII.11. Relaciones de conmutacion de los operadores de

    momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275XII.12. Conmutacion de un operador con los operadores

    de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . 276XII.13. Elementos de matriz del momento angular . . . . 277XII.14. Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278XII.15. Propiedades de anticonmutacion de las matrices de

    Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279XII.16. Productos de matrices de Pauli . . . . . . . . . . 280XII.17. Base para la representacion de matrices de dimen-

    sion 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281XII.18. Operadores de proyeccion para espn 1/2 . . . . . 282XII.19. Representacion matricial del momento angular pa-

    ra j = 1 y j = 3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282XII.20. Matrices de Pauli en una direccion arbitraria . . . 285XII.21. Representacion matricial de los operadores de mo-

    mento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287XII.22. Condicion para que las componentes del momento

    angular esten definidas . . . . . . . . . . . . . . . 287XII.23. Relaciones de recurrencia entre coeficientes de

    Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288xv

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XII.24. Acoplamiento de un momento angular y un mo-mento espinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

    XII.25. Coeficientes de acoplamiento de un momento an-gular j = 1 y un espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . 290

    XII.26. Coeficientes de ClebschGordan para acoplamientode j = 1/2 y j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

    XII.27. Propiedades de los coeficientes de acoplamientocon un espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

    XII.28. Funciones de estado del singulete y el triplete dedos espines 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

    XII.29. Ortogonalidad de los estados del acoplamiento dej = 1 y s = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

    XII.30. Relacion del triangulo para momentos angularesacoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

    XII.31. Accion del operador de ascenso para un sistema dedos partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

    XII.32. Momento angular de un foton . . . . . . . . . . . 296XII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

    XII.33. Sistemas que emiten partculas de espn semientero 297XII.34. Consecuencias de la invariancia ante el operador

    de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298XII.35. Momento angular y operadores cartesianos de as-

    censo y descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299XII.36. Haz polarizado de partculas de espn 1 . . . . . . 300XII.37. Proyeccion de un espinor sobre un eje arbitrario . 301XII.38. Un problema de eigenvalores para operadores de

    espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302XII.39. Vectores propios de un sistema de tres espines 1/2 303XII.40. Evolucion temporal de un sistema con dos estados 306XII.41. Niveles de energa de electrones en un campo mag-

    netico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307XII.42. Operador de rotaciones de un cuerpo rgido . . . 308XII.43. Funciones de Wigner para j = 1/2 y 1 . . . . . . . 310XII.44. Estados de isoespn de sistemas de un pion y un

    nucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310XII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

    XIII. Potenciales centrales. El atomo de hidrogeno 317XIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

    XIII.1. Ecuaciones de Heisenberg para el problema de doscuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

    XIII.2. Separacion de la ecuacion de Schrodinger para elproblema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . 318

    XIII.3. Separacion de la funcion de onda de un sistema dedos partculas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

    XIII.4. Molecula diatomica en un potencial gravitatorio yen un potencial electrico . . . . . . . . . . . . . . 320

    XIII.5. Coordenadas normales de dos osciladores armoni-cos acoplados elasticamente . . . . . . . . . . . . 322

    xvi

  • Indice general

    XIII.6. Coeficientes que aparecen en el calculo de elemen-tos de matriz angulares . . . . . . . . . . . . . . . 324

    XIII.7. Estimacion de la energa del estado base del atomode hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

    XIII.8. Normalizacion de la funcion radial del atomo hi-drogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

    XIII.9. Funcion hipergeometrica confluente y polinomiosde Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

    XIII.10. Funcion hipergeometrica confluente y funcion ra-dial del oscilador isotropico . . . . . . . . . . . . . 329

    XIII.11. Maximo de la densidad radial hidrogenoide paral = n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

    XIII.12. Excentricidad de las orbitas hidrogenoides . . . . 332XIII.13. Valor esperado de rn, n = 3, . . . , 2, para el atomo

    hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334XIII.14. Relacion de recurrencia de Kramers . . . . . . . . 338XIII.15. Relacion de recurrencia de Kramers para un po-

    tencial rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340XIII.16. Valor esperado de rn en el estado base hidrogenoide 341XIII.17. Atomo hidrogenoide con potencial adicional /r2 341XIII.18. Relacion entre el momento magnetico y el momen-

    to angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342XIII.19. Componentes para y diamagnetica del momento

    magnetico atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . 343XIII.20. Campo magnetico medio generado por el movi-

    miento orbital del electron . . . . . . . . . . . . . 345XIII.21. Coeficientes de Einstein del hidrogeno . . . . . . . 346XIII.22. Vida media del estado 3s hidrogenoide . . . . . . 347XIII.23. Vida media de estados hidrogenoides que decaen

    con emision en el visible . . . . . . . . . . . . . . 348XIII.24. Inexistencia de estados ligados excitados del deu-

    teron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349XIII.25. Desfasamiento de la onda s debido a un potencial

    esferico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349XIII.26. Onda plana y eigenestados de Lz . . . . . . . . . 350XIII.27. Representacion de la delta de Dirac en terminos de

    funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 350XIII.28. Estados degenerados y conmutacion de operadores 350XIII.29. Relacion entre los espectros del potencial de Morse

    y del hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352XIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

    XIII.30. Una funcion hidrogenoide y sus numeros cuanticos 355XIII.31. Valor medio de la energa cinetica para un atomo

    hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356XIII.32. Potencial exponencial y estado base del deuteron 357XIII.33. Estados estacionarios de un oscilador isotropico

    bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359XIII.34. Estados coherentes de un oscilador isotropico bidi-

    mensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363xvii

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XIII.35. Determinacion del espectro del atomo hidrogenoi-de con el metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . 364

    XIII.36. Estados ligados en un potencial central del tipodelta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

    XIII.37. Periodo medio asociado al movimiento orbital . . 367XIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

    XIV. Metodos aproximados II: teora de perturbaciones inde-pendientes del tiempo. Efecto Stark 373XIV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

    XIV.1. Oscilador unidimensional con perturbacion ax3+bx4 373XIV.2. Elementos de matriz de una observable a primer

    orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379XIV.3. Perturbacion gravitatoria de un rotor plano . . . 380XIV.4. Tratamiento exacto y perturbativo de un pendulo

    plano cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381XIV.5. Tratamiento perturbativo del efecto Zeeman normal 386XIV.6. Transformacion unitaria entre estados degenerados

    y perturbativos correctos . . . . . . . . . . . . . . 386XIV.7. Efecto Stark lineal y numero cuantico principal . 387XIV.8. Tratamiento del efecto Stark lineal y cuadratico

    con el metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . 387XIV.9. Ecuacion diferencial para el efecto Stark cuadratico 390XIV.10. Solucion de la ecuacion diferencial para el efecto

    Stark cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391XIV.11. Efecto Stark para los niveles hidrogenoides con n =

    3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392XIV.12. Intensidades de las componentes Stark de la lnea

    H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395XIV.13. Efecto Stark a segundo orden para niveles hidro-

    genoides con n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 400XIV.14. Elementos de matriz para dos osciladores armoni-

    cos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403XIV.15. Correccion a la energa de dos osciladores acopla-

    dos a segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 404XIV.16. Funciones de onda para el problema anterior . . . 406XIV.17. Funciones de onda correctas y modos normales pa-

    ra el problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . 408XIV.18. Tratamiento exacto y perturbativo de dos oscila-

    dores armonicos acoplados . . . . . . . . . . . . . 410XIV.19. Espectro de emision de dos osciladores armonicos

    acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413XIV.20. Osciladores armonicos acoplados con un potencial

    gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414XIV.21. Correccion a la energa debida a una perturbacion

    general hermitiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 416XIV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

    XIV.22. Solucion exacta y perturbativa de un sistema dedos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

    xviii

  • Indice general

    XIV.23. Cambio repentino de la carga nuclear en un atomohidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

    XIV.24. Efecto Zeeman para atomo hidrogenoide con unpotencial armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

    XIV.25. Efecto Stark a quinto orden en el estado base deun atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . 423

    XIV.26. Efectos del tamano finito del nucleo y de la correc-cion relativista a la masa . . . . . . . . . . . . . . 426

    XIV.27. Transformacion canonica de Bogoliubov . . . . . . 427XIV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

    XV. El espn del electron 433XV.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

    XV.1. Relaciones de conmutacion de momentos angulares 433XV.2. Funciones de las matrices de Pauli . . . . . . . . . 434XV.3. Generalizacion de la formula de Euler con matrices

    de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435XV.4. Matrices que anticonmutan con las matrices de Pauli 436XV.5. Operador de rotacion y las matrices de Pauli . . . 436XV.6. Espinores que son eigenestados del espn en el pla-

    no xOy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438XV.7. Matriz de rotacion para un espinor . . . . . . . . 439XV.8. Ecuacion de Pauli para partcula libre . . . . . . . 440XV.9. Ecuaciones para las componentes de un espinor de

    Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441XV.10. Factorizacion de la funcion de onda de Pauli . . . 443XV.11. Valor esperado de la proyeccion del espn sobre el

    eje Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444XV.12. Correccion relativista a la energa cinetica en el

    atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 444XV.13. Correccion debida a la estructura nuclear en el

    atomo hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . 445XV.14. Acoplamiento espn-orbita en el oscilador tridi-

    mensional isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . 446XV.15. Eigenvectores de un sistema de tres electrones . . 448

    XV.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450XV.16. Integrales de movimiento para partcula en un

    campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450XV.17. Densidad de probabilidad y de flujo asociadas a la

    ecuacion de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452XV.18. Precesion de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 454XV.19. Resonancia magnetica con partculas de espn 1/2 456XV.20. Metodo de Rabi para la medicion del momento

    magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458XV.21. Sistema con interaccion espn-espn en un campo

    magnetico homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . 460XV.22. Descripcion general de un sistema de dos niveles . 461

    XV.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464xix

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XVI. Sistemas de partculas iguales 467XVI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

    XVI.1. Hermiticidad del operador de intercambio . . . . 467XVI.2. Proyectores de estados simetricos y antisimetricos 468XVI.3. Perturbacion debida a un potencial simetrico y

    efectos de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . 470XVI.4. Funciones de onda para un sistema de tres partcu-

    las sin interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472XVI.5. Intercambio de dos osciladores acoplados . . . . . 473XVI.6. Coordenadas normales de un sistema de tres boso-

    nes de espn cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474XVI.7. Eigenfunciones para un sistema de tres bosones

    iguales de espn cero . . . . . . . . . . . . . . . . 475XVI.8. Dos osciladores iguales, sin espn, acoplados por un

    potencial gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 478XVI.9. Eigenfunciones de un sistema de cuatro osciladores

    desacoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478XVI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

    XVI.10. Estados base de un sistema de dos electrones inde-pendientes confinados . . . . . . . . . . . . . . . . 482

    XVI.11. Sistema unidimensional de tres electrones en inte-raccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

    XVI.12. Estados simetricos y antisimetricos de dos partcu-las con espn s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

    XVI.13. Movimiento relativo de un sistema de dos partcu-las iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

    XVI.14. Conmutadores del operador de intercambio de dospartculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

    XVI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

    XVII. Metodos aproximados III: Absorcion y emision de radia-cion 489XVII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

    XVII.1. Relacion entre el metodo variacional y la teora deperturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

    XVII.2. Soluciones variacionales del oscilador armonico . . 489XVII.3. Soluciones variacionales para el estado base del

    oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . 493XVII.4. Tratamiento variacional y WKB del rotor plano . 496XVII.5. Tratamiento variacional de una partcula en un

    potencial de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . 499XVII.6. Tratamiento variacional y WKB de un oscilador

    armonico truncado . . . . . . . . . . . . . . . . . 501XVII.7. Analisis variacional de los estados ligados de un

    potencial atractivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 505XVII.8. Determinacion de la energa de un atomo con el

    metodo Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . 506XVII.9. Fuerzas de van der Waals entre dos moleculas neu-

    tras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508xx

  • Indice general

    XVII.10. Transiciones periodicas producidas por una pertur-bacion adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

    XVII.11. Probabilidad de transicion debida a una perturba-cion impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

    XVII.12. Transiciones producidas por una perturbacion su-bita de un oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

    XVII.13. Probabilidad de transicion para un sistema de dosestados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

    XVII.14. Coeficiente B de Einstein para procesos de absor-cion resonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

    XVII.15. Probabilidad de transicion cuadrupolar espontaneaen un atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

    XVII.16. Reglas de seleccion para transiciones cuadrupola-res electricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

    XVII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525XVII.17. Estimacion variacional de la energa del estado ba-

    se hidrogenoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525XVII.18. Tratamiento variacional de un atomo hidrogenoide

    con perturbacion /r2 . . . . . . . . . . . . . . . 525XVII.19. Analisis variacional para una barrera impenetrable

    y potencial lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526XVII.20. Analisis variacional del quarkonio . . . . . . . . . 528XVII.21. Transiciones de un oscilador en un campo electrico

    uniforme y pulsante . . . . . . . . . . . . . . . . . 529XVII.22. Transiciones de un atomo de H en un campo electri-

    co uniforme y pulsante . . . . . . . . . . . . . . . 530XVII.23. Probabilidad de excitacion de un atomo cuyo nu-

    cleo recibe un impulso . . . . . . . . . . . . . . . 530XVII.24. Partcula con espn en dos campos magneticos cru-

    zados, uno periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . 532XVII.25. Teora de perturbaciones en la descripcion de inte-

    raccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534XVII.26. Evolucion de una integral de movimiento debida a

    una perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539XVII.27. Transiciones en un atomo excitado con Z electrones

    y solo dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540XVII.28. Metodo Hartree-Fock para un sistema de dos fer-

    miones acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543XVII.29. Efectos de un campo cuantizado sobre un atomo

    de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544XVII.30. Modelo de Jaynes y Cummings . . . . . . . . . . 549XVII.31. El efecto fotoelectrico tratado en primera cuanti-

    zacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550XVII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

    XVIII. Estructura atomica. Modelo de capas nuclear 555XVIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

    XVIII.1. Configuracion electronica del F, Ca y Rb . . . . . 555XVIII.2. Ecuacion de Schrodinger para el movimiento inter-

    no de N cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556xxi

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XVIII.3. Estimacion variacional de la energa de disociaciondel H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

    XVIII.4. Transiciones dipolares entre los estados orto- ypara- del helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

    XVIII.5. Formula general de Rydberg, incluyendo el defectocuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

    XVIII.6. Numeros magicos nucleares predichos por el mo-delo de oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . 563

    XVIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563XVIII.7. Relacion entre los sistemas de unidades internacio-

    nal y atomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563XVIII.8. Probabilidad del estado base atomico del tritio

    frente al decaimiento beta . . . . . . . . . . . . . 564XVIII.9. Estimacion de la energa del estado base de un

    atomo helioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566XVIII.10. Funciones de onda de la configuracion 1s2s de un

    atomo de He . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568XVIII.11. Potencial efectivo de repulsion entre electrones de

    un atomo de He excitado . . . . . . . . . . . . . . 569XVIII.12. Calculo variacional de la energa del estado base

    del litio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570XVIII.13. Configuracion electronica de las tierras raras . . . 572XVIII.14. Reglas de Slater para la carga nuclear efectiva . . 573XVIII.15. Carga nuclear efectiva de un electron 3d y un elec-

    tron 4s del hierro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575XVIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

    XIX. Moleculas 577XIX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

    XIX.1. Traslape de las funciones de un electron referidasa dos nucleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

    XIX.2. Determinacion de la energa del ion H+2 . . . . . . 579XIX.3. Estado base de la molecula de hidrogeno . . . . . 580XIX.4. Fuerzas de van der Waals y potencial de enlace de

    la molecula de H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581XIX.5. Legitimizacion del principio de Franck y Condon . 581XIX.6. Determinacion a cuarto orden de la energa de una

    molecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . 582XIX.7. Potencial de Morse y energa electronica hasta

    cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584XIX.8. Transicion vibracional en una molecula de LiH . . 585XIX.9. Distancia de equilibrio entre los atomos de la mo-

    lecula de HCl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586XIX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

    XIX.10. Espectro rotacional y vibracional de un modelo demolecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

    XIX.11. Potencial efectivo para oscilaciones pequenas de lamolecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

    XIX.12. Uso de coordenadas elpticas en el calculo de laenerga del ion H+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590xxii

  • Indice general

    XIX.13. Momento dipolar electrico de una molecula diato-mica heteronuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

    XIX.14. Propiedad de aditividad de las fuerzas de van derWaals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

    XIX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

    XX. Teora de la dispersion 595XX.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

    XX.1. Sistemas de laboratorio y CM en un problema dedos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

    XX.2. Seccion eficaz elastica en el sistema de laboratorioy el de CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

    XX.3. Generalizacion al caso de colisiones binarias inelas-ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

    XX.4. Retroceso del blanco en una colision elastica . . . 599XX.5. Distribucion angular de las partculas blanco en

    una colision elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . 600XX.6. Atenuacion lineal por un blanco grueso . . . . . . 601XX.7. Dispersion por una barrera esferica unforme. Apro-

    ximacion de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602XX.8. Efecto Ramsauer-Townsend en un pozo esferico

    uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603XX.9. Dispersion de neutrones lentos por protones. Esta-

    do base del deuteron . . . . . . . . . . . . . . . . 607XX.10. Dispersion de partculas extensas por blancos con

    estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608XX.11. Dispersion de protones por una hoja delgada de

    aluminio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609XX.12. Dispersion de neutrones por una hoja fina de nu-

    cleos pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611XX.13. Estados ligados en un pozo esferico uniforme pro-

    fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613XX.14. Desfasamientos en la aproximacion de Born . . . 615XX.15. Unitaridad de la matriz S y conservacion del flujo

    de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616XX.16. Teorema optico para dispersion elastica . . . . . . 618XX.17. Teorema optico para dispersion inelastica . . . . . 620XX.18. Dispersion pn en la aproximacion de rango efectivo 621XX.19. Ecuaciones de Lippman-Schwinger . . . . . . . . . 622

    XX.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625XX.20. Dispersion de partculas clasicas por un potencial

    central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625XX.21. Formula de Rutherford para el caso clasico . . . . 626XX.22. Desarrollo de Born hasta segundo orden en la re-

    presentacion de coordenadas . . . . . . . . . . . . 627XX.23. Seccion diferencial de dispersion y teora de per-

    turbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629XX.24. Primera aproximacion de Born para el potencial

    coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630xxiii

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XX.25. Fraccion de partculas dispersadas dentro de uncono agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

    XX.26. Dispersion elastica de electrones hacia adelante . 632XX.27. Desfasamiento de la onda s debido a un potencial

    delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632XX.28. Dispersion elastica de deuterones por deuterones

    en el sistema CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633XX.29. Dispersion de neutrones lentos con inversion del

    espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634XX.30. Efecto del espn total del sistema en la dispersion

    de neutrones por protones . . . . . . . . . . . . . 634XX.31. Efectos de la conservacion del isoespn en la dis-

    persion elastica N . . . . . . . . . . . . . . . 635XX.32. Desfasamientos debidos a un potencial central y

    metodo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637XX.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

    XXI. La matriz de densidad 641XXI.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

    XXI.1. Invariancia de la traza del producto de operadoresfrente a su reordenamiento . . . . . . . . . . . . . 641

    XXI.2. Condicion para que una matriz de densidad des-criba un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . 641

    XXI.3. La matriz de densidad media de un estado purodescribe una mezcla . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

    XXI.4. Imposibilidad de la reduccion unitaria de una mez-cla a un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . 643

    XXI.5. Ejemplos de operadores que representan una ma-triz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

    XXI.6. Matriz de densidad general para un sistema condos estados ortonormales . . . . . . . . . . . . . . 645

    XXI.7. Accion de los proyectores de espn 1/2 sobre unamatriz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 646

    XXI.8. Operador de densidad y vector de polarizacion pa-ra un estado puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

    XXI.9. Matriz de densidad para un sistema de tres estados 648XXI.10. Distribucion de Planck, incluyendo la energa de

    punto cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649XXI.11. Teorema del virial para un ensamble canonico de

    osciladores bosonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 650XXI.12. Momento paramagnetico de un atomo. Formula de

    CurieLangevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652XXI.13. Matriz de densidad para un ensamble canonico de

    osciladores armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 653XXI.14. Solucion de la ecuacion de Bloch para osciladores

    armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655XXI.15. Lmites T 0 y T del ensamble canonico de

    osciladores armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . 656XXI.16. Solucion de la ecuacion de Bloch para partcula libre 657

    xxiv

  • Indice general

    XXI.17. Matriz de densidad de partcula libre en la repre-sentacion de momentos . . . . . . . . . . . . . . . 658

    XXI.18. Matriz de densidad y propagador de partcula libre 659XXI.19. Valor medio de la derivada temporal del operador

    de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660XXI.20. Ecuacion de von Neumann en la representacion de

    coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660XXI.21. Condicion para que una matriz de densidad redu-

    cida sea idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . 661XXI.22. Teora de perturbaciones de la matriz de densidad

    a primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663XXI.23. Peso de un estado como valor medio de un proyector 666

    XXI.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666XXI.24. Evolucion unitaria de un estado puro . . . . . . . 666XXI.25. Transformacion de un estado puro en una mezcla

    al tomar promedios . . . . . . . . . . . . . . . . . 668XXI.26. Propiedades de la traza del cuadrado de la matriz

    de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668XXI.27. Matriz de densidad para partculas en una caja de

    potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669XXI.28. Matriz de densidad para un electron en un campo

    magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671XXI.29. Operador de densidad reducido de un sistema con

    dos subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672XXI.30. Determinacion de la matriz de densidad para un

    haz de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674XXI.31. Matriz de densidad para un atomo de dos estados

    con Z electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676XXI.32. Distribucion de Wigner para una y dos partculas

    libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678XXI.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679

    XXII. Ecuaciones cuanticas relativistas 683XXII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

    XXII.1. Ecuacion de Klein-Gordon para un potencial atrac-tivo isotropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

    XXII.2. Representaciones de Dirac-Pauli, Kramers-Weyl yMajorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688

    XXII.3. Transicion de la representacion de Dirac-Pauli a lade Kramers-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690

    XXII.4. Ecuaciones de Heisenberg para las matrices k . . 692XXII.5. Operador de Dirac de acoplamiento espn-orbita . 693XXII.6. Construccion de los espinores esfericos de la teora

    de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697XXII.7. Solucion a la ecuacion de Dirac para el pozo esferi-

    co uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699XXII.8. Reglas de seleccion del atomo hidrogenoide en la

    teora de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704XXII.9. Conmutador del hamiltoniano de Dirac de partcu-

    la libre y el operador . . . . . . . . . . . . . . . 708xxv

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    XXII.10. Hamiltoniano de Dirac en la represetacion de Fol-dy-Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

    XXII.11. Ecuaciones de movimiento para acoplamiento mi-nimal en la teora de Dirac . . . . . . . . . . . . . 712

    XXII.12. Zitterbewegung de una partcula en un campomagnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

    XXII.13. Soluciones del problema anterior para el espn i(t) 717XXII.14. Movimiento de una partcula en un campo electrico

    uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719XXII.15. Operadores en la representacion de Foldy-Wout-

    huysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724XXII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

    XXII.16. Ecuacion de Klein-Gordon y conservacion del nu-mero de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

    XXII.17. Eigenfunciones de Dirac para un electron en uncampo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . 728

    XXII.18. Separacion de un operador de Dirac en sus partespar e impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733

    XXII.19. Teora de dos componentes para el neutrino . . . 735XXII.20. Operador de helicidad y matriz 5 . . . . . . . . . 738

    XXII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739

    XXIII. La electrodinamica estocastica 741

    XXIII.1. Problemas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741XXIII.1. Energa del estado base del oscilador armonico . . 741XXIII.2. Espectro del campo de punto cero capaz de sopor-

    tar atomos estables . . . . . . . . . . . . . . . . . 744XXIII.3. Densidad espectral y autocorrelaciones del campo

    electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746XXIII.4. Dinamica del oscilador armonico inmerso en el

    campo de punto cero . . . . . . . . . . . . . . . . 749XXIII.5. Propiedades estadsticas de x(t) para el oscilador

    armonico estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . 752XXIII.6. Dispersion de la energa del estado base del oscilador 755XXIII.7. Energa media de un ensamble de osciladores ar-

    monicos en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . 756XXIII.8. Velocidades sistematica y estocastica . . . . . . . 757

    XXIII.2. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759XXIII.9. Expresion general para la velocidad estocastica . 759XXIII.10. Significado del orden de dos operadores . . . . . . 760XXIII.11. Estabilidad del estado base en un atomo hidroge-

    noide modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761XXIII.12. Electrodinamica estocastica lineal . . . . . . . . . 763

    XXIII.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766xxvi

  • Indice general

    Apendices matematicos 769A.1. Algunas constantes y unidades fsicas . . . . . . . . . . 769A.2. Identidades de uso frecuente . . . . . . . . . . . . . . . 770A.3. Coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 771

    A.3.1. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . 771A.3.2. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . 772A.3.3. Coordenadas parabolicas . . . . . . . . . . . . . . 773

    A.4. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774A.5. Funcion gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774A.6. Polinomios ortogonales y funciones especiales . . . . . 775

    A.6.1. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 775A.6.2. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 776A.6.3. Polinomios asociados de Legendre . . . . . . . . . 777A.6.4. Armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . 778A.6.5. Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . 779A.6.6. Polinomios asociados de Laguerre . . . . . . . . . 780A.6.7. Funciones cilndricas de Bessel . . . . . . . . . . . 781A.6.8. Funciones modificadas de Bessel . . . . . . . . . . 782A.6.9. Funciones esfericas de Bessel . . . . . . . . . . . . 783A.6.10. Funcion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . 785A.6.11. Funcion hipergoemetrica confluente . . . . . . . . 786

    A.7. Notacion relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787A.8. Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . 788

    Bibliografa 7911. Manuales y tablas matematicas . . . . . . . . . . . . . 7912. Textos de mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . 7913. Problemarios de mecanica cuantica . . . . . . . . . . . 793

    Indice tematico y onomastico 795

    xxvii

  • Indice de figuras

    I.1. Energa media de los osciladores de Planck como funcionde la frecuencia, a una temperatura dada. . . . . . . . . 6

    I.2. Dispersion Compton de un foton por un electron. . . . . 10I.3. Forma general del potencial V(r); se ilustra el caso k=10. 16

    II.1. Comparacion entre varias distribuciones normales paradiferentes valores de la variancia. . . . . . . . . . . . . . 31

    III.1. Distribucion inicial de electrones para el problema III.4. 44III.2. Obtencion de una base ortonormal a partir de un con-

    junto de vectores arbitrarios por el metodo de Gram-Schmidt para el caso n=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    VI.1. Localizacion de los valores propios de la energa para elpozo cuadrado infinito. En (a) se muestran las solucionespares y en (b) las impares. . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    VI.2. Pozo de potencial simetrico que produce un espectro dis-creto para E < 0 y un espectro continuo para E > 0. . . 97

    VI.3. Pozo rectangular unidimensional finito. . . . . . . . . . 99VI.4. Barrera rectangular unidimensional. . . . . . . . . . . . 101VI.5. Pozo doble simetrico rectangular. . . . . . . . . . . . . . 103VI.6. Funciones de onda para n = 1 para el pozo rectangular

    doble. En (a) se muestran las soluciones deslocalizadassimetrica y antisimetrica, mientras que en (b) se mues-tran las soluciones que corresponden a partculas locali-zadas en un pozo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    VI.7. Funciones de onda entrante y saliente. . . . . . . . . . . 110VI.8. Pozo rectangular finito con barrera infinita. . . . . . . . 112VI.9. Pozo para el ejercicio VI.22. . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    IX.1. Diagrama esquematico del efecto Aharonov-Bohm. . . . 199

    XIV.1. Efecto Stark lineal para la lnea H alfa, debido al desdo-blamiento de los niveles n = 2 y n = 3. . . . . . . . . . . 396

    XV.1. Metodo de Rabi para la medicion del momento magnetico. 459

    XIX.1. Absorcion de radiacion electromagnetica por HCl. . . . 587

    XX.1. Coordenadas de laboratorio y CM; en (a) se muestranlos vectores de posicion y en (b) las velocidades. . . . . 597

    XX.2. Dispersion de partculas por un potencial central. . . . . 625XX.3. Dispersion elastica por una esfera rgida. . . . . . . . . . 627

    xxix

  • Prefacio

    En este volumen se discute con detalle la solucion de cada uno de losproblemas sugeridos al lector en el texto Introduccion a la mecanicacuantica, de Luis de la Pena, a los que se han agregado otros pararedondear su contenido. Durante la elaboracion del volumen se hatenido presente en todo momento que mucho mas importante que lamera solucion de un ejercicio es el valor didactico que el proceso de su solucionpuede tener para fijar y mejorar la comprension del tema en estudio. Por estarazon, las discusiones son normalmente detalladas y, con mucha frecuencia, se lesextiende bastante mas alla de las fronteras que podran considerarse naturales siel libro fuera un simple problemario. Por lo mismo, en muchos casos se presentansoluciones alternativas o discusiones complementarias, que tienen que ver mascon la fsica involucrada que con el metodo a seguir, o bien, se agrega materialpara mostrar posibles aplicaciones del tema o del metodo empleado. Todo estohace del volumen un auxiliar didactico a ser usado de preferencia lado a ladocon el correspondiente texto, preparado con la intencion de ayudar al estudiantede mecanica cuantica a adquirir conocimientos mas solidos del tema, a la vezque experiencia y practica suficientes en la solucion de problemas, aspecto queconstituye un apremiante escollo para la mayora de los estudiantes del tema. Conel objeto de enriquecer el volumen y hacerlo de interes para un crculo mas ampliode usuarios, se han agregado a los 340 problemas propuestos en el texto original,otros 171 agrupados en cada captulo bajo el rubro de problemas adicionales,seleccionados para complementar apropiadamente los anteriores, lo que hace untotal de 511 problemas resueltos en la obra. Finalmente, como colofon de cadacaptulo se proponen nuevos ejercicios a resolver, hasta formar un total de 332.

    Este libro, tal como sucede con el texto que le sirve de base, esta destinadoen primer lugar a los estudiantes de nivel de licenciatura que desean adquirir unsolido conocimiento de los principios de la mecanica cuantica, particularmenteestudiantes de las carreras de fsica y afines, como algunas de las ingenierasmodernas o la qumica teorica. Sin embargo, el nivel se extiende de manera naturalhasta cubrir varios temas mas propios de los estudios de posgrado o de cursosespecializados, los que aparecen marcados en el texto de base con frecuencia conun asterisco. De manera analoga, los problemas que requieren de conocimientos oprocedimientos de solucion claramente mas avanzados que los que corresponden alnivel introductorio han sido marcados con un asterisco o, de manera excepcional,con un doble asterisco. Las frecuentes discusiones complementarias a lo que serala solucion escueta de los problemas no han sido marcadas en forma alguna, detal manera que es el propio contexto lo que debe orientar al alumno a distinguiruna parte de otra, aunque con la intencion de facilitar esta tarea, en ocasiones seabre tal discusion con alguna frase introductoria apropiada. En todo caso, es elinteres del propio alumno el que debe decidir hasta donde avanza en cada ocasion.

    La organizacion del volumen es directa; en la primera seccion de cada captu-lo se resuelven todos y cada uno de los problemas propuestos en Introduccion ala mecanica cuantica, libro al cual se hace referencia simplemente como el tex-

    xxxi

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    to. Sigue en cada caso una segunda seccion en que se resuelven y discuten demanera analoga los problemas adicionales, los que pueden cubrir cualquiera delos topicos propios al captulo y han sido ordenados por contenido siguiendo demanera aproximada al texto base. Finalmente, aparece la seccion de ejercicios aresolver, en el mismo o cercano orden; el nivel de estos ejercicios es normalmenteintroductorio. La redaccion de los problemas de la primera seccion es la originaldel texto, aunque se dan de vez en cuando pequenos cambios de estilo. Solo enun caso especfico se encontro conveniente modificar el enunciado del problemapara aumentar su interes didactico.

    A la preparacion del presente volumen han ayudado muchas personas, directao indirectamente, a todos los cuales los autores desean expresar su agradecimiento.En primer lugar, deben contarse los muchos estudiantes (aunque menos de loque hubiera sido deseable) que a lo largo de los anos aportaron sus comentariosy observaciones sobre los problemas del texto (o aun sobre el propio texto).Colaboraciones particularmente utiles y directas fueron las proporcionadas porel maestro en ciencias Maximino Aldana y el fsico Alfonso Cortina, quienesrevisaron los captulos xvi y xvii, respectivamente, y la de la doctora Ana MaraCetto, quien, de manera voluntaria y pese a sus multiples tareas, se echo encimala de revisar con cuidado el texto del volumen completo. A su vez, el maestro enciencias Eduardo Roa colaboro con sus comentarios a lo largo de la preparacion delmaterial. Todas las figuras fueron preparadas con el programa de dibujo tecnicoMetagrafica, gentilmente proporcionado por su autor, el fsico Alejandro Aguilar.

    Los autores han puesto el maximo cuidado para reducir al mnimo el numerode errores, incluyendo los tipograficos. Sin embargo, les es claro que en obrascomo la presente de lo unico que se puede estar seguro, es de que se han coladomuchos mas de lo que merece su esfuerzo y dicta su deseo. De antemano pidenlas debidas disculpas por ello, y solicitan de los lectores su comprension y, sobretodo, su colaboracion, haciendoles llegar los comentarios u observaciones quecrean pertinentes para mejorar la obra.

    Luis de la PenaMirna Villavicencio

    xxxii

  • I. La mecanica cuantica primitiva

    I.1. Problemas del texto

    I.1 Obtenga las expresiones lmite de la distribucion de Planck para pequenas ygrandes frecuencias, a temperatura fija. Cual es la forma de la funcion f(/T ) queaparece en la ley de Wien (ecuacion (T1.10)1) para altas frecuencias y por que nopuede determinarse clasicamente? Discuta sus resultados.

    La expresion de Planck para la densidad espectral del campo esta dada por(T1.12)2

    () =~3

    2c31

    e~/kBT 1, (I.1)

    donde = 2 representa la frecuencia angular. Con ayuda del desarrollo enserie de la funcion exponencial,

    ex =

    n=0

    1n!xn, (I.2)

    puede escribirse

    e~/kBT 1 =

    n=1

    1n!

    (~kBT

    )n. (I.3)

    Consideremos una temperatura T fija, finita y diferente de cero. En el caso/T 0 solo el termino de orden mas bajo contribuye efectivamente, por lo quepuede aproximarse

    e~/kBT 1 ' ~kBT

    . (I.4)

    De aqu sigue

    () ~3

    2c3kBT

    ~=

    2

    2c3kBT, (I.5)

    1El prefijo T de las ecuaciones se refiere al libro de texto Introduccion a la mecanica cuantica,de Luis de la Pena, unam/fce, Mexico, 1991.

    2Esta expresion no contiene el termino contribuido por la energa del punto cero y correspon-de a la ley obtenida por Planck en su llamada primera teora (termodinamica, con elementosheursticos).

    1

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    que es precisamente la expresion obtenida por Rayleigh y Jeans. Notese que/T 0 puede interpretarse como 0 con T fija, o bien T con fija,caso que corresponde al lmite clasico.

    Si se compara la ultima expresion con la ley de Wien, ecuacion (T1.10)3

    () = 3f(T

    ), (I.6)

    resulta que para frecuencias bajas (o altas temperaturas)

    f(T

    )=

    kBT

    2c3. (I.7)

    Por otro lado, a frecuencias altas (o bajas temperaturas), e~/kBT 1, porlo que la distribucion de Planck se puede aproximar por la llamada distribucionde Wien,

    () ' ~3

    2c3e~/kBT . (I.8)

    Comparando de nuevo con la ecuacion (T1.10) vemos que ahora

    f(T

    )=

    ~2c3

    e~/kBT . (I.9)

    Como este resultado depende de manera esencial de la constante de Planck,no es posible derivarlo de consideraciones clasicas, a diferencia del caso corres-pondiente a bajas frecuencias. De hecho, el fsico aleman Wilhelm Wien propusosu distribucion en 1896 sobre bases heursticas.

    Los resultados anteriores muestran que para cualquier temperatura se tiene

    f(T

    )=

    ~2c3

    1e~/kBT 1

    . (I.10)

    Es claro que las dos expresiones obtenidas anteriormente no son sino el valorlmite de esta funcion cuando /T 0 o . Aqu tambien notamos que ladependencia en la constante de Planck explica la imposibilidad de determinaresta funcion con metodos puramente clasicos. De hecho, hemos seguido aqu elcamino inverso al tomado por Planck: de su distribucion obtuvimos los dos valoresasintoticos, para T (lmite clasico de altas temperaturas, aplicable solo abajas frecuencias para evitar la catastrofe ultravioleta y dado por la distribucionde Rayleigh-Jeans) y para altas frecuencias (libre de tal catastrofe, pero aplicablesolo a bajas temperaturas y dado por la distribucion de Wien), mientras quePlanck interpolo heursticamente entre estas dos distribuciones para construiruna nueva, con la esperanza de que correspondiera (como sucedio) a la realidad.

    I.2 Obtenga la ley de Stefan-Boltzmann u = cte T 4 a partir de la distribucion dePlanck.

    La densidad de energa de un campo electromagnetico en equilibrio contenidadentro del intervalo de frecuencias d = d/2 es

    T () d =83hc3

    1eh/kBT 1

    d. (I.11)

    3A este resultado fundamental se le llama tambien en ocasiones ley de desplazamiento deWien, aunque con este nombre se distingue con frecuencia una consecuencia especfica y muyimportante de ella, que mencionaremos mas adelante en el problema I.3.

    2

  • La mecanica cuantica primitiva

    Al integrar esta cantidad sobre todas las frecuencias obtenemos la densidadde energa de un cuerpo negro a temperatura T . Con el cambio de variableq = h/kBT , queda

    u(T )

    0T () d =

    8k4BT4

    c3h3

    0

    q3

    eq 1dq =

    8k4BT4

    c3h3

    4

    15, (I.12)

    donde se tomo en cuenta que (Gradshteyn y Ryzhik (1980), 3.411) 0

    x3

    ex 1dx = (4)(4) = 6(4), (I.13)

    con una funcion Zeta de Riemann,

    (4) =

    n=1

    1n4

    =4

    90. (I.14)

    Es costumbre escribir este resultado, conocido como ley de Stefan-Boltzmann, enla forma

    u =4cT 4, (I.15)

    con la constante de Stefan-Boltzmann dada por

    =25k4B15c2h3

    . (I.16)

    As, la ley de Planck explica la ley de Stefan-Boltzmann y permite determinar elvalor de la constante que aparece en ella.4

    I.3 Muestre que la ley de Planck predice que la densidad espectral de la radiacionde cuerpo negro tiene un maximo para cada temperatura, que ocurre a la longitudde onda

    m =2c~4.965

    1kBT

    .

    Calcule m y explique por que m 6= c/m. Este resultado conocido como ley dedesplazamiento de Wien muestra que al elevarse la temperatura del cuerpo negro,el maximo de intensidad de la radiacion se desplaza hacia las longitudes de ondacortas.

    Reescribimos la densidad espectral de radiacion de cuerpo negro en la forma(I.11), donde el subndice T indica que consideramos una temperatura constante.Conviene primero expresar esta densidad en terminos de la longitud de onda, paralo cual debemos determinar T (). De la teora general de cambio de variable setiene f (x) dx = f(x(y)) |J | dy, con J = (xy) el jacobiano de la transformacion.De = c/ sigue

    d = c2d

    4La ley de Stefan-Boltzmann fue establecida como una relacion emprica por J. Stefan en1879 y derivada teoricamente por L. Boltzmann en 1884. Una discusion detallada puede verse,por ejemplo, en L. Garca-Coln, La Naturaleza Estadstica de la Teora de los Cuantos (UAM-I, Mexico, 1987) y la bibliografa que ah se menciona. Vease tambien E. Braun, Una facetadesconocida de Einstein, Coleccion La Ciencia desde Mexico, No. 19 (FCE, Mexico, 1986).

    3

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    (el signo menos indica que a un aumento en la frecuencia corresponde una dismi-nucion en la longitud de onda, al ser estas variables inversamente proporcionales),lo que conduce a

    T () =c

    2T (c/) =

    8hc5

    1ehc/kBT 1

    (I.17)

    como la expresion para la densidad espectral de la radiacion de cuerpo negro enterminos de la longitud de onda.

    Para encontrar el maximo de esta funcion se debe determinar el valor m quesatisface la condicion

    dT ()d

    m

    = 0, (I.18)

    o sea5mkBT

    (ehc/mkBT 1

    )+ hcehc/mkBT

    2mkBT(ehc/mkBT 1

    )2 = 0.El denominador de esta expresion es siempre diferente de cero para m y T finitas.Por lo tanto, solo nos interesa la condicion

    5mkBT(ehc/mkBT 1

    )+ hcehc/mkBT = 0,

    es decirex + 15x 1 = 0, (I.19)

    en donde hemos sustituido x = hc/mkBT. Esta ecuacion trascendente puederesolverse por aproximaciones sucesivas, obteniendose

    x ' 5(1 e5) = 4.965 . . .

    Por lo tanto,

    m =2~c4.965

    1kBT

    . (I.20)

    En terminos de la constante

    b hc4.965kB

    = 2.8978 103 m K, (I.21)

    la ley de desplazamiento de Wien (I.20) toma la forma

    mT = b. (I.22)

    Esta ley establece que a medida que la temperatura de un cuerpo negro aumenta,el maximo de su distribucion de energa se desplaza hacia longitudes de ondamas cortas, lo que se observa como un cambio en el color del cuerpo (y explicael nombre dado a este resultado). La teora permite as fijar h en terminos delvalor experimental de la constante de Wien b, que fue el metodo empleado porPlanck para la determinacion experimental de su constante. Es claro que b no esdeterminable por metodos clasicos.

    El factor jacobiano diferente de la unidad en la transicion de () a () haceque la ecuacion que determina la frecuencia a la que ocurre el maximo difiera de(I.19), por lo que en efecto no se cumple la relacion m =c/m. Esto se comprueba

    4

  • La mecanica cuantica primitiva

    calculando la frecuencia m para la cual la derivada de () dada por (I.11) seanula, lo que conduce a la ecuacion

    ex + 13x 1 = 0, x = hm/kBT. (I.23)

    La ley de desplazamiento de Wien se utiliza ampliamente para investigar latemperatura de cuerpos calientes (con espectro similar al de cuerpo negro),5 puespara ello basta conocer la longitud de onda a la cual la intensidad de radiaciones maxima. Por ejemplo, aceptando que el espectro solar corresponda al de uncuerpo negro, del hecho de que la energa radiada por el Sol presenta un maximoa m ' 5 103A sigue que la temperatura de la superficie solar es

    T = 2.9 103 15 103 1010 5800 K.

    Otra aplicacion interesante ocurre al considerar la radiacion de fondo del universo,cuyo espectro corresponde a una planckiana de temperatura T = 2.7 K. Aesta temperatura el maximo de la densidad de energa radiada corresponde ala longitud de onda m = 0.107 cm, es decir, en la banda de microondas, hechoque facilito la deteccion de esta radiacion empleando precisamente detectores demicroondas (vease el problema I.5).

    I.4 Construya una grafica de la energa media de los osciladores de Planck versusla frecuencia y usela para mostrar que el postulado En = n~ introduce un corteen el espacio de las frecuencias. Determine esta frecuencia de corte. Este resultadomuestra que el postulado mencionado impide que se exciten modos de frecuenciaarbitrariamente alta a una temperatura dada.

    Es conveniente partir de la siguiente observacion. Sea x una variable alea-toria que puede tomar valores x1, x2, . . . , xn con probabilidades p1, p2, . . . , pn yn

    i=1 pi = 1, de tal manera que x1 < x2 < . . . < xn. El valor medio x de x cumpleentonces con

    x1 < x < xn. (I.24)

    En palabras: el valor medio de x esta comprendido entre el menor y el mayor delos valores que esta variable puede alcanzar.

    Consideremos ahora la energa de los osciladores de Planck como una varia-ble aleatoria que puede tomar los valores En() = n~, con n = 1, 2, 3, . . ., conprobabilidades

    pn =1ZeEn/kBT . (I.25)

    La funcion de particion Z(T ) es el factor de normalizacion que garantiza quen=1 pn = 1. Como E1 < E2 < . . ., si E denota la energa promedio de los

    osciladores, de (I.24) sabemos que debe cumplirse que

    E() =~

    e~/kBT 1> E1. (I.26)

    Para escribir la forma explcita de E() como funcion de la frecuencia se utilizo laecuacion (T1.35). En la figura I.1 se ilustran las cantidades E1(), E2(), . . ., y

    5La densidad de energa radiada por un cuerpo no negro es (4/c)a(T )T 4, con a(T ) el poderabsorbente del cuerpo a la temperatura T. La relacion a(T ) = 1 se toma normalmente como ladefinicion de cuerpo negro.

    5

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    E 3 E 2

    E 1

    c

    E

    Figura I.1 Energa media de los osciladores de Planck como funcion de lafrecuencia, a una temperatura dada.

    E() como funcion de la frecuencia, as como la frecuencia c, definida por lainterseccion de las trayectorias de E1() y E(). En esta figura vemos claramenteque para cualquier frecuencia > c, resulta que E < E1, lo que contradice (I.26).Luego a la temperatura dada T los osciladores de frecuencia > c no puedenexcitarse. Asimismo, esto queda claro por el hecho de que E1 = ~ representa lamnima energa posible de los osciladores de Planck; como esta no puede excederla energa media, la frecuencia de los osciladores que se pueden excitar no excedea su vez el valor c = E()/~. En breve, c es una frecuencia de corte para lososciladores.

    La frecuencia de corte c se determina de la condicion E(c) = E1(c); usando(I.26), esto se escribe como

    ~ce~c/kBT 1

    = ~c, (I.27)

    de donde sigue que

    c =kBT

    ~ln 2. (I.28)

    Este resultado muestra que la frecuencia de corte c crece linealmente con latemperatura absoluta del cuerpo.

    I.5 Hay evidencia de que el universo emite radiacion de cuerpo negro correspon-diente a una temperatura de equilibrio cercana a 3 K. Calcule la energa de uncuanto de luz de longitud de onda m (problema I.3) a esta temperatura, y a 300 K(temperatura ambiente).

    Como se vio en el problema I.3, la longitud de onda a la cual la curva espectralde la radiacion de fondo del universo tiene su maximo es de aproximadamente

    6

  • La mecanica cuantica primitiva

    1 mm.6 La energa de un cuanto de esta longitud de onda es

    E = hc/m = 2.057 1022J = 1.284 109 MeV. (I.29)

    En cambio, con T = 300 K en la ecuacion (I.22) se obtiene

    m = 9.66 106 m = 9660 nm, (I.30)

    que se encuentra en la zona del infrarrojo lejano. Un cuanto de esta longitud deonda tiene una energa 100 veces mayor que el anterior:

    E = 2.057 1020J = 1.284 107 MeV.

    I.6 Calcule la energa de un cuanto de luz visible de longitud de onda de 6000 A.Calcule el numero de cuantos de esta longitud de onda que emite por segundo unafuente de 100 watts.

    La energa de un cuanto de luz esta dada por

    E = h = hc/. (I.31)

    Sustituyendo los valores hc = 1.988 1025 Jm y = 6 107 m, se obtiene

    E = 3.313 1019 J = 2.07 eV.

    Como la potencia de la lampara es de 100 watts, radia 100 J por segundo(suponiendo que toda la energa se transforma en radiacion de la misma longitudde onda, que juega aqu el papel de una longitud de onda promedio) y el numerode cuantos por segundo es

    N =potencia

    energa de un cuanto=

    100 J s1

    3.313 1019 J,

    o seaN = 3.018 1020 s1. (I.32)

    Para la luz en esta region del espectro, el umbral de deteccion del ojo humano esdel orden de cien cuantos por segundo, lo que segun el calculo anterior correspondea una potencia como de 3.3 1017 W.

    I.7 Luz ultravioleta de longitud de onda = 3500 A incide sobre una superficiede potasio; se observa que la energa maxima de los fotoelectrones emitidos es de1.6 eV. Calcule la funcion de trabajo del potasio, despreciando correcciones termicas.

    En una version simplificada del efecto fotoelectrico un foton es absorbidocompletamente por un electron de la superficie metalica, de tal manera quecuando se emite un electron desde la superficie del metal, su energa cineticaes (ecuacion (T1.17))

    K = h W, (I.33)

    donde W es el trabajo necesario para sacar al electron del metal, o sea el trabajonecesario para superar tanto los campos atractivos de los atomos en la superficie,

    6Sobre esta radiacion cosmica de fondo puede encontrarse una amplia literatura. Por ejemplo,una discusion muy amena del tema se presenta en S. Weinberg, The First Three Minutes (BasicBooks, Nueva York, 1988).

    7

  • Problemas y ejercicios de mecanica cuantica

    como las perdidas de energa cinetica del electron debidas a sus colisiones con losatomos de la placa en su trayecto a la superficie.

    En el caso en que el electron reciba toda la energa absorbida por el atomoy las perdidas por colision sean despreciables, el fotoelectron emergera con laenerga cinetica maxima Kmax = h W0, donde W0 es la funcion trabajo delmetal, que representa la energa mnima necesaria para que un fotoelectron lleguea la superficie del metal y escape de las fuerzas que normalmente lo tenan sujetoa este. Vemos que la funcion de trabajo puede determinarse como

    W0 = h Kmax. (I.34)

    Para la luz de longitud de onda = 3500 A= 3.5 107 m, la frecuencia es = c/ = 8.571 1014 s1. De aqu resulta para la funcion de trabajo delpotasio

    W0 = 6.626 1034 8.571 1014 1.6 1.602 1019 J= 3.116 1019 J = 1.945 eV. (I.35)

    De este resultado sigue que la longitud de onda umbral (o de corte) del potasioes

    0 =hc

    W0= 6.379 107 m = 637.9 nm = 6379 A. (I.36)

    I.8 Un foton de 100 MeV choca con un proton en reposo. Calcule la perdida maximade energa del foton.

    Cuando se produce efecto Compton, el cambio en la longitud de onda delfoton dispersado esta dado por la ecuacion (T1.36),

    = 0 =h

    m0c(1 cos ) . (I.37)

    Dado que para un foton

    =hc

    E, (I.38)

    la expresion (I.37) puede ser reescrita en la forma

    E0 EEE0

    =1

    m0c2(1 cos ) . (I.39)

    Si definimos la energa perdida por el foton como E = E0 E, tenemos

    E =(1 cos )E20

    m0c2 + (1 cos )E0, (I.40)

    que es una expresion para la energa perdida por el foton por efecto Compton,en terminos de su energa inicial y del angulo con que es dispersado.

    La formula anterior permite determinar la perdida maxima de energa delfoton como funcion de . Para esto basta encontrar los valores de para loscuales

    dEd

    =E20m0c

    2 sen [m0c2 + (1 co