problemas stiff & reação química -...

Problemas Stiff & Reação Química

Guilherme Aguiar

Análise Numérica II, 1o Semestre 2013

Guilherme Aguiar Problemas Stiff & Reação Química

Problemas Stiff

Stiff em português significa rígido, duro, inflexível.Não existe um consenso sobre a definição matemática deum problema stiff.Mas podemos entender que um problema stiff é umproblema duro de resolver com métodos explícitos.Em geral as solução tem uma estabilidade rápida.Ou seja,ficam inflexíveis a partir de um ponto


Exemplo de problema Stiff em uma dimensão

Vamos pegar um exemplo em uma dimensão.Considere a equação y ′ = −50(y − cos(t)).A equação é uma E.D.O linear de primeira ordem.Uma solução analítica para o problema é dada por:

y(x) = c1e−50x +50 sin(x)

2501+

2500 cos(x)2501

.

O gráfico da solução

Figura : Gráfico do exemplo


Exemplo de problema Stiff em uma dimensão

Vamos resolver o problema no Matlab.Os dois principais solvers de problemas stiff no Matlab são“ODE15S” e “ODE23S”.

ODE15S : É um solver variável, baseado nas fórmulas dediferenciação numérica NDFs.Utiliza várias etapas emcada iteração.ODE23S : É baseado na na fórmula modificada deRosenbrockde ordem 2.Utiliza apenas uma etapa em cadaiteração, podendo ser mais eficiente em alguns casos.


ODE15S

Resolvendo o problema com “ODE15S” obtemos o seguintegráfico:



ODE23S

Resolvendo o problema com “ODE23S” obtemos o seguintegráfico:



Exemplo de um sistema de equações diferenciais Stiff

Como o problema que será abordado será um sistema deequações diferenciais, vamos tratar um exemplo antes,com um sistema de duas equações.Considere o problema:

y ′1(t) = −100y1(t) + y2(t)y ′2(t) = −0.1y2(t)y(0) = 2.

(1)


Exemplo de um sistema de equações diferenciais Stiff



Robertson Problem

O sistema de equações abaixo descreve como ocorre umareação química.

y ′1(t) = −0.04y1 +104y2y3 y1(0) = 1y ′2(t) = 0.04y1 −104y2y3 −3 × 107y2

2 y2(0) = 0y ′3(t) = 3 × 107y2

2 y3(0) = 0.(2)

É um problema clássico da análise numérica.Sua solução foi proposta em 1966 por H.H. Robertson.


Robertson Problem

No Matlab há códigos que resolvem esse problemas como:hb1dae.hb1ode.

Ambos utlizam a função odebim para resolver oproblema.Odebim também é um solver de equaçõesdiferenciais ordinárias, para equações de ordem máxima iguala 3.


HB1DAE

Figura : Gráfico resultante do comando hb1dae


HB1ODE

Figura : Gráfico resultante do comando hb1ode


Usando “ODE15S” e “ODE23S” vamos a algumasanálises.


Primeiramente vamos utlizar os métodos nas configuraçõespadrões.

ode15s ode23sTempo Médio (s) 0.065 0.045

Iterações 172 72Avaliações de função 382 435

Cálculo de derivadas parciais 10 72Fatorações LU 51 72

Solução de Sistemas Lineares 340 216

A seguir trazemos os gráficos das soluções.Podemos obervarque não há uma diferença visível.


Figura : Gráfico da solução usando ode15s na configuração padrão


Figura : Gráfico da solução usando ode23s na configuração padrão


Agora, vamos mudar o ponto inicial e mantermos aconfiguração padrão. Vamos considerar o ponto inicialy(0) = (0.8,0.2,0).





A seguir os gráficos.


Figura : Gráfico da solução usando ode15s na configuração padrãocom ponto inicial (0.8,0.2,0)


Figura : Gráfico da solução usando ode23s na configuração padrãocom ponto inical (0.8,0.2,0)


Vamos considerar o ponto inicial y(0) = (0,1,0).







Figura : Gráfico da solução usando ode15s na configuração padrãocom ponto inicial (0,1,0)


Figura : Gráfico da solução usando ode23s na configuração padrãocom ponto inical (0,1,0)


Agora, vamos alterar a tolerância relativa para 10−6, a mesmaque a absoluta.







Figura : Gráfico da solução usando ode15s com a tolerância relativaalterada


Figura : Gráfico da solução usando ode23s com a tolerância relativaalterada


Agora, vamos manter a tolerância relativa em 10−6 e alterar atolerância absoluta para 10−12





Os gráficos apresentaram os mesmos comportamento dosdemais.


Agora, vamos usar a tolerância relativa em seu padrão 10−3 eamanter a tolerância absoluta em 10−12.





Os gráficos apresentaram os mesmos comportamento dosdemais.


Vamos,então manter a tolerância relativa no padrão e alterar atolerância absoluta para 10−4





Agora, os gráficos tiveram alteração.


Figura : Gráfico da solução usando ode15s com a tolerânciaabsoluta alterada


Figura : Gráfico da solução usando ode23s com a tolerânciaabsoluta alterada


Há outros dois solvers para problemas stiffs, também da famíliaode23.São:

ode23t : Deve ser usado quando a "queda"ocorre semamortecimento.Para o problema ele não apresentou umbom desempenho.Utiliza a regra dos trapézios.ode23tb : Deve ser usado quando precisa uma tolerânciapequena.O desempenho foi muito próximo aodesempenho do ode23s(esse desempenho próximo éconfirmado pela literatura).É uma implementação dométodo TR-BDF2.O método trabalha em duas etapas emcada iteração, a primeira baseada nas regra dos trapézios,a segunda é uma regra regressiva de diferenciação.Emambos as etapas é utilizado a mesma matriz de iteração.


O problema resolvido com o ode23t:

Figura : Gráfico gerado ode23t


O problema resolvido com o ode23tb:

Figura : Gráfico gerado ode23tb


Bibliografia

C. B. Moler.Numerical Computing with MATLAB.SIAM, Philadelphia, 2004.

U. M. Ascher & L. R. Petzold.Computer Metholds for Ordinary Differential Equations andDifferential-Algebraic Equations.SIAM, Philadelphia, 1998.

E. Hairer & G. Wanner.Solving Ordinary Differential Equations II. Second RevisedEdition.Springer, Berlim, 1996.


problemas stiff & reação química -...

Documents