problemas de geometría y cómo resolverlos racso

roblemasde Geometra

y cmo resolverlosPor: Ernesto Quispe Rodrguez

Luis Ubaldo Caballero

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C o le c c i n R a c s o JX

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Geometray c m o r e s o C v e r o s

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Dirigido por:

F elix A u c a ll a n c h i V e l sq u e z

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Primera edicin en espaol Copyright 2000 por RACSO Editores

Prohibida la reproduccin total o pare I de esta obra por cualquier mtodo de publicau >n y/o almacenamiento de informacin, tanto del textn como de logotipos y/o ilustraciones sin autorizacin escrita del autor y los editores. Caso omiso se proceder a denunciar al infractor a la 1NDECOPI de acuerdo a la Ley N 13714 y al artculo N 221 del Cdigo Penal vigente.

Printed in Peru - Impreso en HeruImprenta MAQUETI E.I.R.L. - Jr. Carlos Arretu 1319 - Lima 1

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SERIE DE LIBROS Y C O M P E N D IO S

CIENTIFICOSCOLECCION RACSO

PROBLEMAS DE GEOMETRIA Y COMO RESO/ERLCS

1^ EDICION

COLABORADORES:

Lic. Hctor Ortz Becerra UNILic. Javier Reynaga Alarcn. UNILic. Juan C. Sandoval Pea UNIIng. James Monge Jurado UNCPIng. Manuel Inga de la Cruz UNPRGIng. Carlos Carbonell Romero UNPRGLic. Roberto Choquehuayta M. UNSA

RACSO EDITORES LIMA

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Ttulo Original de la obra:Problemas de Geometra y cmo resolverlos 2000, por RACSO EDITORES

Primera edicinPublicada por RACSO EDITORES - ABRIL 2000

Supervisin general:Ing. Martn Casado Mrquez (UNI)Profesor de la Facultad de Ingeniera Mecnica de la Universidad Nacional de Ingeniera

Revisin de estilo:Dr. Carlos Chvez Vega

Revisin Tcnica:Javier Reynaga Alarcn Luis Vallejos Velsquez

Composicin, Diagramacin e Ilustraciones:Compaa Editorial. RACSO EDITORES

Supervisin de la edicin:Miguel Angel Daz lorenzo

Compaa Editorial: RACSO EDITORES Dirigida por: Flix Aucallanchi Velsquez

Primera edicin en espaolCopyright 2000 por RACSO EDITORESLos derechos autorales de sta obra son de propiedad de Racso Editores. Hecho el depsito legal en la Direccin de Derechos de Autor de INDECOPI, y amparado a la Ley N 13714 y al Cdigo Penal (Artculo 221).

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier mtodo de publicacin y/o almacenamiento de informacin, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorizacin escrita del autor y los editores. Caso omiso se proceder a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley N 13714 y el artculo N 221 del cdigo penal vigente.

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PRLOGO

Resulta importante reconocer las veces en que nuestros trabajos tienen un enorme significado en nuestra vida profesional, uno de ellos es, qu duda cat>e, e1 culminar un libro y ms an cuando nos corresponde presentarlo. Por tanto es esta una excelente oportunidad para dar testimonio de nuestra dedicacin ofreciendo a quienes nos leen, un trabajo acadmico de mucha importancia para quienes forman parte de aquel inmenso nmero de estudiantes que confiesan tener un especial inters por aprender los secretos de una ciencia tan interesante y til como la Geometra.

Por centurias una de las dedicaciones favoritas de los matemticos ha sido la Geometra, sus demostraciones y sus aplicaciones. A todo estudiante de secundaria en todos los tiempos, le ha sido imposible poder encontrar en una sola obra toda la informacin terica > as mismo una enorme cantidad de ejercicios de fcil acceso para su solucin. Al iniciar este trabajo la editorial nos propuso el reto de elaborar un texto con tales caractersticas, es decir, alcanzar el sueo dorado.

En principio, debemos reconocer que la tarea de seleccin tanto de los fundamentos tericos como de las aplicaciones prcticas, fue ardua y prolongada. Muchas cosas han quedado en el tintero, entre ellas algunas demostraciones y tambin problemas, que las postergamos con la ilusin de verlas publicadas en un trabajo posterior y ms especializado.

El presente texto ha sido elaborado pensando especialmente en los modelos de problemas que son en la actualidad los considerados en los exmenes de ingreso, por ello hemos establecido una gran relacin entre la parte terica expuesta y los ejercicios resueltos. Esto servir para que el lector p'ieJa recorrer un captulo completo sin la engorrosa necesidad de memorizar o demostrar teoremas o algunas propiedades particulares.

Publicar un texto de esta envergadura en las actuales circunstancias, de abundante informacin y de contenidos cambiantes, provoc en nosotros una ambicin tanto en el nmero de tenias a desarrollar como el de aplicaciones a mostrar. Tal vez por esta razn, inicialmente pensamos que nuetro trabajo sera muy tedioso de leer, sin embargo al iniciar su lectura, el investigador se sentir animado Je continuarla por que notar de nuestra parte un sutil ablandamiento de la parte axiomtica del curso. Esto nos demuestra una vez ms, que no existe una materia que pudiera considerarse imposible de aprender, pues todo depende de la voluntad que demuestren no solo el estudiante sino tambin la sencillez del material didctico que se emplee.

Hemos tratado de incluir en esta obra todos los artificios, mtodos y procedimientos en general que hemos logrado conocer, aplicar y dominar durante nuestros aos dedicados a la docencia pre universitaria. Se apreciar en muchos casos que nuestra voluntad ae pedagogos ser insuficiente para los logros posteriores como es el dominar un tema para pasar al siguiente, si de parte del lector existe una notable deficiencia en el dominio de las materias bsicas de un curso de Geometra Elemental.

Esperamos que nuestro trabajo pueda contribuir a mejorar el nivel acadmico de los estudiantes de nuestro pas, en especial de aquellos que aspiran a lograr un ingreso a las instituciones educativas de prestigio, que son finalmente las ms exigentes en sus exmenes de admisin.

Los autores.

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PROLOGO DEL EDITOR

Como en cada oportunidad en que me toca el inmenso honor de presentar un trabajo nuevo, producido con muchsimo profesionalismo, esta es una muy especial, tanto po> las caractersticas de la obra, como por el volumen que ella posee. Es que se trata de un trabajo que se inici con mucha anterioridad y se dej de hacer por las divergencias en los enfoques de ios autores con el editor, las mismas que se superaron con el dilogo tan paciente con este servidor.

Debo agradecer a los autores que tuvieron a bien ser persuadidos por la filosofa de nuestra casa editorial, la que tiene poi propsito elaborar una coleccin de textos con caractersticas especiales cuyo plato fuerte es la resolucin de una variada y rica cantidad de ejercicios resueltos y propuestos. Nos es muy grato verlo culminado, y es un texto que estoy seguro marcar un hito entre la enonne produccin nacional de textos de ciencias.

Luego de revisar los ms exigentes prospectos de admisin y apreciar los exmenes de ingreso , nos propusimos elaborar un libro que reuniese las caractersticas de los de la misma coleccin, pero esta vez haba que hacerlo sin tener muchas referencias de otros con similares caractersticas, pues es cierto, la mayor abundancia de trabajos en relacin a cuestiones de Geometra se da en fascculos o bibliografa incompleta, tal vez por que los autores nacionales reconocen que hacer un libro completo de esta materia es una tarea muy ardua y por que no decirlo muy ambiciosa, la que muchas veces choca con nuestras posibilidades de tiempo por la dedicacin que ella demanda. Nosotros nos la propusimos, y estamos orgullosos de presentarla ya terminada.

Nuestra misin de revisar el material antes de su publicacin se volvi muchas veces impertinente, pues sin damos cuenta nos veamos contagiados de seleccionar lo mejor p an su publicacin , sin embargo la tolerancia y el buen nimo de los autores nos hicieron ver en muchos casos las bondades de su trabajo y los horizontes de su estrategia. Celebro que todas estas circunstancias se hallan superado para dar paso a una obra verdaderamente completa en su concepcin y estoy plenamente convencido que calar entre los lectores ms exigentes.

Acerca de los autores debo decir que se trata de prestigiados profesionales que llevan muchos aos de ejercicio docente y tambin como cuajados autores de libros y compendios de calidad probadas. Es una garanta que ellos elaboraran una obra como la que nos habamos propuesto, nos entendieron y se pusieron a trabajar en este proyecto desde hace aproximadamente tres aos, la tarea se ve culminada ahora y estamos segaros que formar parte de la bibliografa obligada de todos los estudiantes de esta materia.

Es nuestro propsito poner en vuestras manos, libros de excelente calidad y de gran nivel, tanto por la didctica que estas transmiten, as como por la amplitud de los contenidos, Nuestra coleccin se ve ahora incrementada con un trabajo que contribuir en la formacin de nuevas mentes cientficas, ahora en un momento en que nuestro pas reclama de sus hombres y mujeres sus mejores cualidades, debiendo recordar y/o hacer saber que los aos noventa han sido declarados como la "dcada del cerebro", por ende la riqueza de un pas ser en este nuevo siglo la que provenga del conocimiento.

Esperamos alcanzar el mismo xito que tuvieron nuestras publicaciones anteriores y estaremos atentos a te Jas las observaciones y sugerencias que nos hagan llegar nuestros lectores.

El Editor

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AL PROFESOH

El texto Problemas de Geometra y cmo resolverlos, es un trabajo que el profesor podr emplear como complemento de sus sesiones tericas, pues en ella se encontrar un abundante material de aplicaciones como los ejercicios de aplicacin directa y los de mayor nivel de dificultad en la seccin denominada Miscelnea.

Todos estos ejercicios han sido serenamente seleccionados, pues es fcil ser seducidos por aquellos problemas de gran dificultad y prolongadas resoluciones, sin embargo los que se encuentran aqu publicados son a nuestro juicio los mas adecuados por serformativos y por que responden a las actuales tendencias en los exmenes de ingreso .

Usted podr apreciar que las secciones tericas se exponen de manera que cada tema ha quedado dividido en varias partes con la finalidad de insertar al final de cada una de ellas , un determinado grupo de problemas denominados "Ejercicios re aplicacin". Esto se ha hecho as por que consideramos que la prolongada exposicin de la teora resulta agotadora para un estudiante vido de ver las aplicaciones correspondientes, quin al hacerlo sentir que lo recientemente expuesto es de fcil retencin y uso.

Estamos convencidos que la secuencia de los tems es el mismo que se emplea en la mayora de institucioners educativas de nuestro pas, muy especialmente en los centros de preparacin preuniversitaria. Por ello creemos que este material puede ser utilizado independientemente del lugar de preparacin as como de la especialidad a a que se va a postular.

En cuanto se refiere a los problemas resueltos de mayor nivel de dificultad, debemos indicar que stos se encuentran expuestos en la seccin denominada "Miscelnea ", all los problemas se han ubicado tanto por el orden de la teora como por su nivel de dificultad. Asimismo en cada resolucin se hace referencia a los resmenes tericos , nombrndose la propiedad y/o el item al cual pertenece la propiedad a emplear.

Es importante destacar que uno de los principales obstculos a los que nos solemos enfrentar los docentes de Geometra es a la variada aplicacin que se puede encontrar en cada tema, por ello con la finalidad de abarcar el mayor nmero de problemas tipos, hemos credo conveniente resolver dichos ejercicios del modo mas breve posible sin omitir las rigurosidades que demanda una solucin matemticamente convincente y correcta posible.

El grupo de problemas propuestos se ha dividido en tres niveles de dificultad, lo cual es un estilo propio de esta casa editorial, empezando con los de nivel 1 que son siempre los mas sencillos, pasando luego a los de nivel 2 que son de mayor dificultad y finalmente los de nivel3 que a nuestro juicio demandaran del estudiante una mayor dedicacin y tiempo.

Todos los esfuerzos que hagamos para que nuestros alumnos puedan encarar con xito sus pruebas nos harn merecedores de sus halagos y gratitudes, es este el fin que nos mueve a superarnos cada da mas, para estar a la altura de las nuevas exigencias y mirar con esperanza los nuevos retos de la enseanza actual.

Atentamente:

Los Autores

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AL ESTUDIANTE

Resulta interesante observar que uno de los cursos de mayor aceptacin por parte de la mayora de los postulantes es Geometra, tal vez por que ustedes tienden a relacionar rpidamente lo visto en el colegio con lo que observan en tos Centros de Preparacin Preuniversitaria, aunque tambin no es menos cierto afirmar que este inicial apego se va diluyendo a medida que van tocando temas nuncc antes vistos por ustedes.

Debemos recomendarles que as como puede parecer f c l la primera parte del curso, lo son tambin los ltimos, todo consiste en no perder la ilacin de los temas iniciales en los que se sugiere ser atentos y no dejarse llevar poi la opinin casi general ds que aquello es fcil, pues como en toda ciencia, lo difcil se presenta cuando empezamos a relacionar temas, es decir, cuando los ejercicios se resuelven empleando propiedades anteriormente vistas.

El desarrollo de problemas en Geometra demanda del estudiante una visin especial de cada caso, pues en mas de una ocasin se comprobar que las resoluciones obedecen a un determinado patrn de procedimientos, los que solo con la prctica se vuelven rutinarios. Es menester de cada alumno estar siempre predispuestos a resolver primero cada ejercicio que aqu se presenta resuelto, pues debes saber que las resoluciones aqu mostradas son nuestras, es decir son la manera como nosotros hemos considerado resolverlas, sin emba go , t tienes tu forma de verlas cosas que no tiene porqu coincidir con la nuestra, por lo dems solo debemos estar de acuerdo en que tu solucion y la nuestra deben ser las mismas.

El texto "Problemas de Geometra y cmo resolverlos" se pone a tu disposicin, con la finalidad de satisfacer tus requerimientos con respecto al curso. El resumen terico que se expone en el inicio de cada captulo no debe ser necesariamente memorizado, debes dejar es n al ejercicio continuo, para lo cual se han presentado una gran variedad de problemas resueltos y propuestos que han sido cuidadosamente ordenados teniendo en cuenta el nivel de dificultad que presentan cada uno de ellos; esto te permitir tener un amplio dominio del captulo tratado.

Recomendamos al estuaiant, para un mejor manejo del texto, seguir las siguientes normas:1) Repasar atentamente el resumen terico del capitulo a tratar.2) Repasarlos ejercicios y problemas resueltos, observando en cada uno de ellos, la aplicacin

de su resumen terico.3) Intentar por tu propia cuenta los ejercicios y problemas resueltos y luego comparar tus pasos

con aciertos y/o desaciertos con la resolucin que presentamos pare cada problema.4) Entrenarse con los ejercicios y problemas propuestos y consultar con tu profesor sobre tus

dificultades y nuevos mtodos.

Finalmente esperando que "Problemas de Razonamiento Matemtico y cmo resolverlos " logren en t una mayor capacidad de raciocinio, no me queda mas que desearte xitos en tu meta trazada.

Atentamente :Las Autores

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NDICE GENERAL

Pgina

CAP. 1.- Nmero de Puntos de Interseccin (N .P .I .) ................................................................ 11CAP. 2.- Segmentos de Recta.................................................................................................. 39CAP. 3.- ngulos........................................................................................................................ 67CAP. 4.- Tringulos I ................................................................................................................ 99CAP. 5 .-Tringulos I I ............................................................................................................ 139 CAP. 6.- Polgonos..................................................................................................................... 181CAP 7.- C uadrilteros.............................................................................................................. 213CAP 8.- Circunferencia I ..................................................................................................... 259CAP. 9.- Circunferencia I I .................................................................................................... 301CAP. 10.- Puntos N otables......................................................................................................... 343CAP. 11.- Proporcionalidad....................................................................................................... 375CAP. 12.- Semejanza de T ringulos..........................................................................................409CAP. 13.- Relaciones Mtricas en Tringulos Rectngulos.......................................... 443CAP. 14.- Relaciones Mtricas en Tringulos O blicungulos...................................... 477CAP. 15.- Relaciones Mtricas en la Circunferencia I ................................................... 507CAP. 16.- Relaciones Mtricas en la Circunferencia I I .................................................. 537CAP. 17.- Polgonos Regulares: Potencia y Eje R adical..................................................... 571CAP. 18.- reas de Regiones Triangulares............................................................................ 607CAP. 19.- Relacin entre las reas de dos T ringulos........................................................ 655CAP. 20.- reas de Regiones Cuadrangulares.................................................................... 691CAP. 21.- reas de Regiones Poligonales........................................................................... 731CAP. 22.- reas de Regiones C irculares............................................................................... 767CAP. 23.- Geometra del Espacio: Rectas y Planos.............................................................. 807 CAP. 24.- ngulos Poliedros..................................................................................................... 843CAP. 25.- Poliedros Regulares................................................................................................... 877CAP 26 .-Slidos Polidricos....................................................................................................... 911CAP. 27.- Cilindro y C ono ........................................................................................................... 947CAP. 28.- Slidos Truncados..................................................................................................... 983CAP. 29.- La Esfera y sus Partes.................................................................................................1017CAP. 30.- Superficies y Slidos de Revolucin....................................................................... 1051

Claves de R espuestas................................................................................................................... 1087

Bibliografa........................................................................................................................................1090

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SMBOLOS

|1 :2 ;3 ( conj. con elementos 1, 2 y 3 si y solo siN conj. de los nmeros naturales: 0; 1; 2; 3; ... / tal queN* conj. de los nmeros naturales sin cero: 1; 2; 3 ;... = igualZ conj. de los nmeros enteros:...; -2: - I ; 0; 1; 3 desigual, distinto

z + conj. de los nmeros enteros positivos 3 idntico

Z- conj. de los nmeros enteros negativos = aproxi madamente

Q conj. de los nmeros racionales 2n nmero par (n * 0)

0 ' conj de los nmeros irracionales2n + 1 nmero impar (n 6 Z)

& conj. de los nmeros reales 2xi - 1 nmero impar (n e N)

tf+ conj. de los nmeros reales positivosOC proporcional a

w valor absoluto de aconj. de los nmeros reales negativos

conj. de los nmeros complejosa > b a es mayor que b

ca < b

smbolo que representa a -J-la es menor que b

ia ^ b a es mayor o igual que b

( ) O 0 conjunto nulo o vaco a < b a es menor o igual que b6 pertenece a ... a b a es mucho mayor que be no pertenece a ... a b a es mucho menor que b

A c B A es subconjunto de B a < c < b c es mayor que a y menor que bA n B A interseccin B ~ semejante

A u B A unin B = congruente

equivalente

3 existe A y no existe V o

3! existe un nico /(*> funcin de x

* no existe un nico / - ' M funcin inversa de x

V para todo n! factorial de n = n .(n l).(n 2).

no para todo sen x seno del nmero x

Z suma, o, sumatoria eos x coseno del nmero x

(*;?) un par ordenado de nmeros tg * tangente del nmero x

d (A B) distancia entre los puntos A y B C tg A cotangente del nmero x

> O .. implica, luego, por lo tanto sec x secante del nmero x

es equivalente a, implica en ambos sentidos CSC Jt cosecante del nmero x

=> entonces Km lmite

Intersectar es producir uno o ms puntos comunes entre dos figuras geomtricas, sin embargo cuando stas son rectas, curvas cerradas o figuras poligonales, se generan un determinado nmeio de puntos comunes llamados puntos de interseccin.

Una adecuada disposicin de figuras geomtricas puede producir un mximo nmero de puntos de interseccin . Ser nuestra tarea atender todas aquellas situaciones en las que se presenten dichos casos.

Los problemas que se desarrollaran en este captulo son aquellos en los que generalmente se buscar encontrar un Nmero de Puntos de Interseccin Mximo (N.P.I.mx), para un conjunto definido de figuras geomtricas.

Para el estudio del presente captulo, utilizaremos las siguientes frmulas :

1.1 F R M U L A S PKINCLEA LI S

A) PARA "n" RECTAS SECANTES.-

Contabilizando los puntos de interseccin entre dos rectas, se tendr que para V rectas el mximo nmero de puntos de interseccin estar dado p o r :

N.P.I. =n ( n - 1 )

... ( 1.1)

Ejemplo : Hallar el N.P.I.mx de cuatro rectas secantes.

Resolucin :

En el grfico mostrado se ilustra el caso de n= 4 rectas secantes, las chales se han dispuesto de modo que el nmero de puntos de corte sea mximo, contabilizndose 6 :

N.P.I. . = 6mxSi aplicamos la relacin (1.1) tendremos para n = 4 rectas secantes :

_ 4^4-1} _N.P.I. . =m x

Este resultado nos permite comprobar la veracidad de la relacin daaa

12 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Qulspe R.

B) PARA "n" CIRCUNFERENCIAS SECANTES.-

En este caso los puntos se obtienen inteisec- tando las circunferencias de dos en dos, de este modo para "n" de ellas el mximo nmero de puntos de interseccin estar dado p o r:

N .P.I. . = n (n -1 )max '

F ig. 1.2

Ejemplo: Hallar el N.PI . de 3 circunferencias secantesJ r maxResolucin.-

En el grfico puede observar que el N.P.I. mx =6 .

A continuacin, aplicamos la relacin (1 2 ) , para n 3 circunferencias secantes, en donde tendremos que :

N.P.I * = 3 (3 -1 ) N.RI . = 6mxResultado que nos permite confirmar la veracidad de la ralacin d a d a .

C) PARA "n" TRINGULOS SECANTES.-

Dos tringulos tienen como mximo 6 puntos de interseccin, y "n" tringulos tiene un mximo nmero de puntos de interseccin que est dado por

N .F .I .n f a = 3 n (n . l ) . . . (1 .3 )

Ejemplo: Hallar el N.P.I . de 3 tringulos secantes .* r max 3

Resoiucin.-

En el crfico mostrado se puede observar que el N.RI. . =18 r ^ maxAhora si aplicamos la relacin (1.3) para n = 3 tringulos secantes, tendremos

N.RI = 3.3 (3 -1 ) N.P.I . = 18max

Luis Ubaldo C Numero de Puntos de nteiseccin (N.P.I.) 13

fc)6 K c i a o s o t u r L k H ' i o n ' ( i ; P A i . r t ' i

1.- Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin de 16 rectas secantes.

Resolucin.-

Para calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de "n" rectas secantes se utiliza la relacin ( 1 .1 ):

n (n - l)NPI . = ----~ puntos

Luego para nuestro problema se trata de : n = 16 rectas secantes, de este modo el mximo nmero de puntos de interseccin, se obtendr a s :

NPU , = 16 96 ' U = 120 puntos

2.- Si se retira una recta de n rectas secantes, el mximo nmero de puntos de interseccin disminuir en 14. Hallar n". _ , * _ p _ l r , - l ' T '

Resoiucin.-

ParaW rectas, el mximo nmero de puntos de interseccin estar dado por la relacin (1.1):P P - M -Y ) r . Jrl.

Nprr = n (n - l )/2

NPImx = (n - 1) (n - 2)/2

Pero si se retira una (1) de estas rectas, entonces empleando la misma relacin diremos que el mximo nmero de intersecciones, est dado a s : ___ ^

e*.Q P P - 2 & = -? 0 4 X

De acuerdo con la condicin del problema se debe verificar que :2 , n p - n 4 3 0

NPImx NPImx = 14 f j ("I ^ J

n ( n - 1) ( n - 1) ( n - 2) _2 ' 2

Efectuando las operaciones indicadas : (n -1) (n - n + 2) = 28

De donde: 2 (n -1 ) = 28 => n -1 = 14

n = 15

14 Problema.r de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Quispe R.

3.- Hallar el nmero de rectas secantes, tal que al aumentar una de ellas, el mximo nmero de puntos de interseccin se duplica.

y . n p - 1 ~ x ' TResolucin.-

Segn el dato del problema, al aumentar una recta el mximo nmero de puntos de interseccin se duplica, esto quiere decirque si n es el nmero de rectas, tendremos :

(n- 1) (n + 1 - 1) _ 0 n ( n - 1)2 2

Efectuando : n (n + 1) = 2 n (n -1)

Luego: n + 1 = 2n - 2 => n = 3

4.- Hallar el nmero de rectas que se intersectan entre si, sabiendo que si se quitara una, el nmero de puntos de interseccin disminuir en 4.

Resolucin.-

Sea "n" el nmero de rectas que se intersectan entre si, luego de la relacin (1.1) tendremos :

( n - 1) ( n - 1- 1) _ n ( n - 1) .2 2

Efectuando : (n 1) (n - 2) = n (n -1 ) - 8

De donde : n -1 = 4 => n = 5

5.- El mximo nmero de puntos de interseccin ms el nmero de vrtices de n" tringulos que se intersectan entre si es 588. Hallar n.

Resolucion.-

E1 mximo nmero de puntos de interseccin en que se intersectan "n" tringulos se obtiene utilizando la relacin (1.3) :

NP1 = 3n (n -1)m ax JPuesto que el nmero de vrtices de "n" tringulos es 3n, segn el dato del problema planteamos la siguiente ecuacin :

3 n ( n - l ) + 3n = 588

Efectuando: n2 - n + n = 196 ........(196 = 142)

Luego : n2 = 142

n = 14

Luis Ubaldo C. Nmero de Puntos de Interseccin (N.P.I.) 15

J fc& PJCJ AJ

D) PARA "n" POLIGONOS CONVEXOS DE "L" LADOS

Al observar la relacin (1.3) encontramus que en sta se presenta el coeficiente 3 que representa al nmero de lados del po.iyono. Por lo tanto cuando dicho nmero sea L, tendremos:

N.P.I. . = L n (n - 1 )max ... (1.4)

Donde : n = nmero de polgonos secantes L = nmero de lados

Ejemplo : Hallar el N.P.I maxde 2 polgonos de 6 lados.

Resolucin.-

Er. el grfico mostrado observamos que hay 12 puntos de intersecin. Si a continuacin em pleamos la relacin (1.4), tendremos :

N R 1 -mx = 6 - 2 t2 - n N.P.I . = 12max

E) PARA "n" ELIPSES SECANTESSi observamos la interseccin de dos elipses comprobaremos que el nmero de puntos

de interseccin es el doble del que se presenta entre dos circunferencias, por lo tanto y en base a la relacin ( 1 .2), tendremos que :

N.P.Lroj[= 2 n ( n - l ) ...(1.5)

Donde : n = nmero de elipses secantes.

Ejemplo: Hallar el N.P.I mij de 3 elipses secantesResolucin.-E1 grfico muestra que hay 12 puntos, luego en la relacin (1.5)

N.P.I. . =2.3 (3 -1 ) => N.P.I . =12mav '

F) PARA "n CUADRILATEROS NO CONVEXOS SECANTES

Al observar la intersecccin de dos cuadrilteros no convexos, comprobamos que estos lo hacen hasta en 8 puntos como m xim o, luego paran figuras como stas se tendr que :

N. P. 1 .^ = 8 n (n -1) . . . ( 1 . 6 )

I

16 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Quispe R.

Ejemplo : Hallar el N.RImxde 2 cuadrilteros convexos no secantes

Resolucin.-Como se puede observar, en el grfico dado hay 16 puntos. Si empleamos la relacin (16) para n = 4 , tendremos que :

N.PI . = 8 - 2 ( 2 - 1 ) => N.P.I = 16max v itm:

SUGERENCIAS.

Es frecuente encontrar problemas en los que los puntos de interseccin lo producen varios conjuntos distintos de figuras geomtricas.

Rectas + Circunferencias + Tringulos

En estos casos se recomienda proceder a encontrar los puntos de interseccin por parejas y por separado, para luego proceder a una adicin entre todas las obtenidas

6.- Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin de 8

Resolucin.-

Sabemos que con "n" polgonos convexos de "L" lados cada uno, se intersectan como mximo, en un nmero de puntos que viene dada por la relacin (1.4):

N P. r max = L n (n - 1) puntos

Por tratarse de cuadrilteros, entonces : L = 4 , y por ser ocho las figuras que se intersectan, se tiene que : n = 8.

Luego el nmero mximo de puntos de interseccin de 8 cuadrilteros se r :

N. P. I.mx =4 (8) (8 1) = 224 puntos

7.- El mximo nmero de puntos de interseccin de un grupo de circunferencias secantes es igual al dcuplo del nmero de circunferencias. Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin entre igual nmero de icosgonos convexos secantes.

Resolucin.-

cuadrilteros.

Empleando la frmula 1.2 se tiene : NPI = n (n -1) , donde n = Nc de circunferencias

Luis Ubaldo C. Numero de Puncos de Interseccin (N.P.I.) 17

Igualando: 1 On = n (n -1)

=> n = 11

Nos piden el NPI . entre 11 incgnitas secantes para ello recurrimos a la frmula 1.4r max Donde : L = 20 (nmero de lados del icosgono) y n = 11

Luego: NPI . =20 .11(11-1)3 max

NPI . = 2 200max

8.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de 10 rectas secantes, 15 paralelas y 20 circunferencias secantes.

Resolucin.-

En primer lugar, hallaremos el mximo nmero de puntos de interseccin de cada conjunto de figuras iguales o semejantes A continuacin calcularemos el mximo nmero de puntos de interseccin de la combinacin de cada dos de estos conjuntos y finalmente sumaremos estos resultados, obtenindose as el mximo nmero de puntos de interseccin de todas las figuras dadas. Veamos:

a) Entre las 10 rectas secantes se encontrar el mximo nmero de puntos de interseccin aplicando la relacin ( 1 .1), es d ec ir:

NPI i* = 45 puntos => NPI . = 45 puntosmax max

b) Entre las 15 rectas paralelas no existe interseccin alguna , luego el nmero de puntos de interseccin se considera igual a Ceio (0).

c) Entre las 20 circunferencias se sabe que el mximo nmero de puntos de interseccin viene dada por la relacin ( 1 2 ), donde n = 20, es dec ir:

NPImx = (20 -1) = 380 puntos => NPImax = 380 puntos

A continuacin nos corresponde efectuar las combinaciones entre estos grupos, tomados de dos en dos. Veamos :

1ro.- Entre (a) y (>) , el nmero mximo de interseciones viene dado por el siguiente producto:

1 10 15 = 150 puntosA A /j|__

Nmero de rectas oaralelas.

Nmero de rectas secantes

Nmero de puntos entre una recta y una paralela.

NPI . =150puntosmax r

2d". Entre (>) y (c) el nmero de intersecciones est dado por el siguiente producto :

2 15 20 = 600 puntos.A A i

I________ Nmero de circunferencias

---------------Nmero de rectas paralelas

Nmero de puntos entre una paralela y una circunferencia

=> NPI . = 600 puntosmax r

3ro.- Entre (a) y (c)el nmero de intersecciones lo da el siguiente producto :

2 10 20 = 400 puntos.A A

18 Problema de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Qulspe R.

t Nmero de circunferencias Nmero de rectas secantes

Nmero de puntos entre una recta secante y una circunferencia

=> NPlmx = 400 puntos

Finalmente, para obtener el mximo nmero de puntos de interseccin de todas ellas, debemos efectuar la suma de los resultados obtenidos en los pasos anteriores :

N = 45 + 0 + 380 + 150 + 600 + 400

N = 1 575

9.- Si a un grupo de cuadrilteros se le quitan 4 entonces el N.P.I. mximo disminuye en 288 puntos, pero si se le agregan 4, el N.P.I. mximo aumentar e n :

Resolucin.-

Sea "n" el nmero de cuadrilteros no convexos, luogo en base a la relacin 1.6 tendremos que: NHmAx = 8n (n - 1) (l.l.f) al quitar 4 cuadrilteros no convexos quedarn (n - 4) los cuales producirn : 8 (n - 4) (n - 5) puntos

Luego : 8n (n - 1) - 8 (n - 4) (n - 5) = 288

n2 - n - (n2 - 9 n + 20) = 36

8n - 20 = 36 => n = 7

El N.P.l.mx para los 7 cuadrilteros no convexos es : 8 7 (7 -1) = 336

Y el N.P.I. . para 11 cuadrilteros no convexos es : 8 11(11.1) = 880max r

El aumento de puntos de puntos de interseccin ser : 880 - 336 = 544

10.- Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin entre 5 octgonos y 6 decgonos convexos.

Resolucin.-

a) Para los 5 octogonos secantes aplicaremos la relacin 1.6 la cual permite determinar:

8 5 (5 - 1) = 1G0 puntos

b) Para los 6 decgonos secantes aplicaremos la relacin 1.6 la cual permite determinar:

10 6 (6 - 1) = 300 puntos

Luego intersectando los octogonos con los decgonos, tendremos :

2 8 5 6 = 480 puntos.

La suma total nos dar el mximo nmero de puntos de interseccin de todas ellas, es decir:

N = 160 + 300 + 480

N = 940

11.- Se tienen "n " dodecgonos secantes con la caracterstica de tener el mismo nmero de puntos de interseccin mximo que 8 nongonos. Hallar el valor de n".

Resolucln.-

Del enunciado podemos extrar los siguientes datos :

Dodecgonos: L = 12 , n = ?

Nongonos : L = 9 , n = 8

A partir de la relacin (1.4) se puede establecer que :

12 . n ( n-1) = 9 - 8 (8-1)

n2-n = 42

n2 - n - 42 = 0

" y 7n / ^ + 6

Resulviendo encontramos que : n = 7

Luis ubaldo C. Numero de Putuos de Interseccin (N.P.I.) 19


1 3 PROPD5D COM Pl^M ENT^R^S

1) El mnimo nmero de puntos de interseccin (N.P.I. . ) entre "n" rectas secantes es 1 y esto ocu-min Jrre cuando las rectas son concurrentes tal como se muestra en el grfico adjunto.

N.P.I. . = 1vnin (1.7)

2d*) El mnimo nmero de puntos de interseccin (N.P. I ) entre "n" circunferencias secantes es 2,min *tal como se muestra en el grfico adjunto.

N.P.I. t = 2mn . . . ( 1 . 8 )

tig. 1.8

3r*) El N.P. I. que se produce al intersectar un polgono convexo de "m" lados, con otro polgono convexo de "n" lados (m < n), es 2m. Esto se explica porque en cada uno de losm lados existen dos (2) puntos de interseccin, luego :

N.P.I. = 2 m ...(1.9)

4U) El N.P.I.mx entre un polgono convexo de "n" lados y una circunferencia o elipse, es 2n. Esto es as dado que en cada uno de los n lados existen dos (2) puntos de interseccin.

N.P.Lm4x = 2 n ...(1.10)

n lados

Luis ibaldo C. Numero de Puntos de Interseccin (N.P.I.) 21

5ta) Si se agregan "m"rectas secantes a un grupo de "n tedas secantes.se puede probar que el N.P.I. aumentar e n :max

N P.I. = y ( m - l ) + m n ...(1.11)

6,a) Si se quitan "m" rectas secantes a un grupo de "n" rectas secantes, entonces el N.P.I. disminuir, de tal forma que el nuevo N.P.I.m, estar dado p o r :

A N.P.I. =m n - ~ (m + 1) ...(1.12)

y 1111) El mximo nmero de rectas que cJpLjrminan "rt" puntos en los que no hay tres (3) colineales, de forma tal que cada ftcta pase solo por 2 puntos, esta aado p o r:

# rectas = ^ ...(1.13)

8) El mximo nmero de tringulos que se pueden determinar con "n" puntos o rectas, en los que jio hay 3 puntos colineales, ni rectas concurrentes, est dado por :

# tringulos = ~ ... (1.14)O

9) El nmero de partes en que queda dividido el plano por "n rectas secantes en los que no hay 3 rectas concurrentes, est dado por :

# partes = ^ ( n + l ) + l . (1.15)


cjeRucis oe Aplicacin rare)12.- Si se retiran 3 elipses de un grupo que se estn intersectando, el N.P.. mximo disminuir

en 96. Determinar cual sera la disminucin de puntos si se trataran de rectas secantes.

Resolucin.-

Para hallar el NPImj( entre lasn elipses secantes emplearemos la frmula 1.5 .

Luego: NPlmx = 2n (n -1) :

Al retirarse 3 elipses, quedarn (n - 3) ; las que producen :

Nplmx = 2tn -* tn -4 )

La disminucin de puntos se obtiene por la diferencia : 2/7 (n - 1) - 2 (n - 3) (n - 4) = 96

De donde : 2n2 - 2n - 2n2 + 14n - 24 = 96

Resolviendo : n = 10

Para hallar la disminucin de puntos al tratarse de rectas secantes empleamos la frmula :

m (m + 1)m n ------- g----- O-12)

. 3(3 + n)Donde : m = 3 yn = 10 , reemplazando : 3(10) ------- ----- = 3 0 -6

Disminucin de puntos = 24

13.-Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin entre 4 circunferencias secantes y 6 cuadrilteros no convexos secantes.

Resolucin.-

a) 4 circunferencias secantes se intersectan en :

4 (4 - 1) = 12 puntos, (relacin 1.2)

b) 6 cuadrilteros no convexos secantes se intersectan en :

8 6 (6 - 1) = 240 puntos (relacir 1.6)

Luego (a) y (b) : 8 - 4 6 = 192 puntos

Finalmente la suma nos dar el mximo nmero de puntos de interseccin entre todas ellas, es decir:

N = 12 + 240 + 192

N = 444

Luis Uhu'do C. Nmero de Puntos de Interseccin (N.P.I.) 23

Observacin : La frmula general, para calcular el mximo nmero de puntos de interseccin entre "n" cuadrilteros no convexos seca.ites s e r :

N = 8n ( n - 1)

14.-El nmero de puntos de interseccin mximo que producen un grupo de pentadecgo- nos secantes (incluyendo sus vrtices) es 6 000. Cuntos peni decgonos hay en dicho grupo?

Resoluein.-

Recorriendo a la frmula l .4

Se tiene NPI . = L n ( n - l ) ; L = 15max 1

Luego NPImx = 15n(n -1)

Como hay que incluii sus vrtices y teniendo en cuenta que cada pentadecgono posee 15 vrtices, se tiene :

# de vrtices = 15n

Luego : 15n (n -1) + 15n = 6 000

Factorizando: 15n (n - 1 + 1) = 6 000

Por consiguiente : 15n2 = 6 000

n = 20

15.- Se tienen "n" tringulos secantes. Si se quitan 3 tringulos, el numero mximo de puntos de interseccin, disminuye en 54. Hallar el valor de "n".

Resolucin.-

Si a "n tringulos secantes se quitan 3 tringulos, entonces queoaran (n - 3) tringulos.

De acuerdo con la relacin (l .3), el mximo nmero de puntos de interseccin de estos ser-

3 (n - 3) (n - 3 - 1) puntos

Sf-gn las condiciones del problema se tiene que : 3 (n - 3) (n - 4) = 3n (n -1) - 54

De donde : 3n2 - 21 n + 36 = 3n2 - 3n - 54 => 18 n = 90

Simplificando: n = 5

24 Problemas de Geometra v cmo resolverlos Ernesto Quispe R

. ' A

1.- Hallar el mnimo nmero de puntos de interseccin entre 3 rectas y 1 circunferencia (las rectas deben ser secantes a la circunferencia).

Resolucin.-

Tres rectas secantes determinan tres puntos de interseccin y si por ellas hacemos pasar una sola circunferencia lograremos que el nmero de puntos de intersecciones sea mnimo, tal como lo muestra el grfico:

En consecuencia, el mnimo nmero de puntos de interseccin entre 3 rectas secantes y una circunferencia es de 3 puntos. ^

NPI = 3m ax

2.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin entre 3 circunferencias, 4 paralelas y 6 rectas secantes.

Resolucin.-

a) 3 circunferencias se intersectan en :

b) 4 rectas paralelas en :

c) 6 rectas secantes se intersectan en :

Intersectando las circunferencias con las paralelas:

Intersectando las paralelas con las secantes :

Intersectando las circunferencias con las secantes :

Luedo el mximo nmero de puntos de interseccin estar dado p o r :

N = 6 + 0 + 15 + 24 + 24 + 36

En consecuencia: N = 105 puntos

3 (3 - 1) = 6 puntos

= 0 puntos.

6 (6 - 1 )/2 = 15 puntos.

2 3 - 4 = 24 puntos

1 4 6 = 24 puntos

2 3 - 6 = 36 puntos

3 - Se tiene dos circunferencias concntricas y 12 rectas paralelas. Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin.

Resolucion.-

En el grfico observam os que una recta y dos circunferencias concntricas determinan 4 puntos de interseccin :

.-. 1 recta y 2 circunferencias concntricas < > 4 puntos de interseccin

Luis Ubnto C. Nmero de Puntos de Interseccin (N.P.I.) 25

Esto significa que con dos rectas paralelas tendremos: 2 x 4 puntos; con tres (3) rectas paralelas: 3 x 4 puntos,. . . . etc. Este breve anlisis nos permite concluir que 12 rectas paralelas y dos circunferencias concntricas, determ inarn:

1 2 x 4 = 48 puntos de interseccin

4.-Cul es el mximo numero de rectas que pasan por 50 puntos sabiendo que no hay 3 de ellos alineados y que cada recta debe pasar por dos de estos puntos?

Resolucin

Con fines didcticos te muestro a continuacin sucesivos poder deducir una reglade formacin entre ellas :

Para 3 puntos, 3 rectas har 4 puntos , 6 rectas Para 5 puntos , 10 rectasLuego, para 50 puntos no alineados, el mximo nmero de rectas que pasan por ellas ser obtenido respetando la condicin de que stas no pasen por 3 puntos alineados, lo que equivale a decir que debemos hacer combinaciones de 50 puntos tomados de 2 en 2. No cabe duda que esto amerita la utilizacin del nmero combinatorio, es decir:

50 _ 50! 50 _ 50 49 48!2 2! (50-2)! = 2 2(48)!

*0C 2 = 1 225 rectas

5.- Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin entre 30 tringulos secantes y 18 rectas secantes.

Resolucin.-

a) Los 30 tringulos secantes generan: 3 30 (30 - 1) = 2 610 puntos

b) Las 18 rectas secantes producen : 18(18-1 )/2 = 153 puntos

Intersectando los tringulos con las rec tas: 2 - 30 -1 8 = 1 080

De este modo el mximo nmero de puntos de interseccin viene dado a s :

N = 2610 + 153 + 1 080

conjuntos de puntos y rectas para

N = 3 843


6.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de 3 circunferencias secantes y 1 tringulo equiltero.

Resolucin.-

a) 3 circunferencias secantes se intersectan en: 3 (3 - l) = 6 puntos.

b) I tringulo equiltero por ser nico genera : 0 puntos

Intersectindo las circunferencias con el tringulo : 6 3 1 = 18 puntos

Finalmente el mximo nmero de puntos de interseccin entre ellas s e r :

N = 6 + 0 + 18 = N = 24 puntos

7.- En un plano se dibujan "n " rectas, si de este grupo de rectas 5 fuesen paralelas y el resto rectas secantes entre si, el mximo nmero de puntos de interseccin sera 45. Hallar n.

Resolucin.-

a) De acuerdo con la relacin (1.1), se sabe que (n - 5) rectas secantes 3e intersectan en:(n - 5) (n - 6)/2 puntos.

b) 5 rectas paralelas de interseccin en : 0 puntos.Intersectando las paralelas con las secantes : 1 (n - 5) (5) puntos

Finalmente tendremos : + 0 + 5 (n - 5) = 45

Efectuando las operaciones indicadas: n2 -n -1 1 0 = 0

n "U ' ( n - 1 l)(n + 10) = 0n +10

n = 1 1

8.- Hallar el nmero de puntos de interseccin entre 10 circunferencias concntricas y 20 rectas que pasan por el centro comn.

Resolucin.-

En el grfico observamos que el mximo nmero de puntos de interseccin de 10 circunferencias concntricas y 20 rectas concurrentes en el centro comn, estar dada por la siguiente expresin :

2-10-20 + 1 = 401^------ Las rectas concurrentes determinan este nico punto

---------- Nmero de rectas concurrentes-----------Nmero de circunferencias concntricas.---------- Nmero de puntos de interseccin de una circunferenca y una secante

NPI= 401

9.- 7 rectas secantes, 8 circunferencias y 9 tringulos se intersectan como mximo, en:

Resolucin.-

b) Por la relacin (1.2) 8 circunferencias secantes se intersectan en : 8 (8 - 1) = 56 puntos

c) Por la relacin (1.3) 9 tringulos secantes se intersectan en : 3 (9) (9 - 1) = 216 puntos

La suma nos dar el mximo nmero de puntos de interseccin entre todas ellas, es d ec ir:

10.- Si al mximo nmero de puntos de interseccin entre "m" rectas secantes se le aumenta 16 puntos, el resultado equivale al nmero de rectas elevado al cuadrado y aumentado en uno. Determinar el mximo nmero de puntos de interseccin de "m " hexgonos secantes:

Resolucin.-.......................... ..... . m ( m - 1)Segn la relacin (1.1) sabemos que m rectas se intersectan en ------ puntos

Por condicin del problem a: m + 16 = m 2 + 1

Resolviendo : m (m -1 ) + 30 = 0

De donde : m2 + m - 30 = 0

a) Por la relacin (1.1)7 rectas secantes se intersectan en : 7 (7 -1 )/2 =21 puntos

Intersectando rectas con circunferencias se obtienen: 2 7 8 = 112 puntos

6 8 9 = 432 puntosIntersectando circunferencias con tringulos se obtienen :

Intersectando rectas con tringulos se obtienen : 2 7 9 = 126 puntos

N = 21 + 56 + 216 + 112 + 432 + 126

N = 963 puntos

m +6=* (m -5 )(m + 6) = 0

m -5

Luego el NPImx de m hexgonos estar dado por la relacin (1.4) :

6/7, (m -1) = 6 -5 (5 -1 ) = 120

Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Qulspe R.

11.- Calcular el mnimo nmero de puntos de interseccin entre 3 rectas paralelas y 5 rectas secantes.

Rei olucion.-

Si ubicamos convenientemente las rectas secantes sobre las rectas paralelas como el que muestra el grfico adjunto, obtendremos el menor nmero de puntos de corte, luego :

NPI . . = 10m nim o

12.- En un plano se tienen n rectas secantes; al duplicar el nmero de ellas el mximo nmero de puntos de interseccin aumenta en 145. Calcular el nmero de rectas.

Resolucin.

Sabemos que si se duplica el nmero de rectas se obtendrn 2n rectas.Luego aplicando la relacin ( l . l) se tendr

2 n ( 2 n - l )N.RI. . =mx = n (2n - 1)

Entonces : N.P.l. . = n (2n -1)mav ' /

A continuacin el aumento de puntos se obtiene mediante la siguiente diferencia :

n (2n - 1) -n = 145

Efectuando operaciones:

Transponiendo trm inos:

2n (2n -1) - n (n -1 ) = 290

3n2 - n - 290 = 0

3 n 29

10(3n + 29)(n-10) = 0

n = 10

13.- Si a un conjunto de "n " rectas secantes se le quitan 4 rectas. su NPI mx. disminuye en 90, pero si se agregan 4 rectas al conjunto, el nmero de puntos de interseccin mximo aumentara e n :

Resolucin. -

"n" rectas rectas secantes determinan un :

(n - 4) rectas secantes determinan un :

NPI , =mx

NPI . =max

n (n - 1)

( n - 4) ( n - 5)

La disminucin de puntos se obtiene por la diferencia entre (1) y (2) :

n (n -1 ) ( n - 4) ( n - 5 ) =

(1)

(2)


Efectuando laas operaciones indicadas: n - n - n' t- 9n - 20 = 180De donde al resolver la ecuacin, se obtiene : n = 25

25 (25-1)Dt este modo encontramos que : NP1 . = -------~------ = 300^ m ax 2

29 (29-1)Al agregar 4 rectas se tenarn 29, lu k ( * + 1 ) = | k ( * - 1 )

Simplificando "k" y efectuando operaciones: 6(ft -1 ) = 5 (/? + 1)

Finalmente al despejar obtenemos : k = 11

11(12)Luego hallamos el NP1 . a partir de la relacin (1.1): NPI . = - max r v ' max 9

NPI . = 66mx

V

30 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Quispe R

16.- En la figura se tienen "n " rectas concurrentes y 2n elipses. Si el nmero total de puntos de interseccin es21n+ 12 ; calcular el valor de "n

Resolucin.'

De acuerdo con lo expuesto en el item 1.3 sabemos que n rectas concurrentes se ntersectan en 1 pun to .Asimismo podemos reconocer .segn el grfico adjunto, que n elipses secantes dispuestas en forma de eslabones determ inan:

2 (n - 1) puntos

Adems cada recta al interceptar a cada elipse en 2 puntos, nos permite deducir que cada recta determine : 2 (2n) = 4n puntos sobre todas las elipses

De este modo es fcil predecir que con n rectas se obtendrn : n . n = 4 n2 puntos.

Luego el NPI mx ser : 1 + 2 (n + 1) + 2(n - 1) + 4n2 = 21 n + 12

Efectuando operaciones : 4n2 + 4 n -3 = 21n + 12

Transponiendo trminos : 4n2 - 17n -15 = 0

Factorizando :

De donde :

4 n

n X +3 -5 n = 5

(4i? + 3)(n - 5) = 0

17.- Si 3 un grupo de tringulos secantes se le agregan 4, entonces el mximo nmero de puntos de interseccin se le triplica. Cuntos tringulos conforman dicho grupo?

Resolucin.-

Segn la relacin (1.3) los "n tr ingulos , producirn: NPImx = 3n (n -1 ) ....(*)

Si se agregan 4 tringulos: 3 (n + 4) (n + 4 -1 ) = 3 (n + 4) (n + 3) puntos

Segn el problema esta ltima cantidad resulta ser el triple de (*).

Luego por condicin del problema :

Efectuando operaciones obtenemos:

Resolviendo:

3 (n + 4) (n + 3) = 3 [3n (n - 1)1

n2 - 5n - 6 = 0

V 3n / ^ + 2

n = 6

(4n + 3 )(n -5 ) = 0


18.- Calcular el numero de puntos de interseccin mximo entre 8 rectas secantes, 8 circunferencias secantes y 8 tringulos secantes.

Resolucin.-

En el esquem a adjunto se m uestra la forma como se estn intersectando las figuras . Primeramente calculamos los puntos que determinan solo las figuras de la misma especie, luego los puntos producidos por las figuras tomados de 2 en 2.

I Por la relacin 1.1 las 8 rectas tienen un mximo de puntos de interseccin d e :

NPI, = o = 28 puntos

2o Por la relacin 1.2 las 8 circunferencias se intersectan en :

NPI,

3o Por la relacin 1.3 los 8 Tringulos:

4o Intersectando las rectas con las circunferencias:

5o Intersectando las rectas con los tringulos :

6o Intersectando las circunferencias con los tringulos; (6) 8 8 = 384 puntos

Los nmeros ubicados entre parntesis er. los pasos 4o, 5o y 6o, representan el NP1 mj entre una figura de cada clase ,para lo cual hemos recurrido al item 1.10. De este modo se tendr q u e :

N = 28 + 56 + 168 + 128 + 128 + 384

= 8 (8 - 1 ) = 5 6 puntos

NPlmx = 3 -8 ( 8 -1 ) = 168 puntos

(2) 8 8 = 128 puntos

(2) 8 8 = 128 puntos

Finalmente sumamos las cantidades parciales : NPI . = 892m ax

19.- Calcular la N.P.I. mximo entre 10 cuadrilteros convexos secantes, 12 hexgonos secantes y 6 circunferencias secantes.

Resolucin.-

I Por la relacin 1.4 para los cuadrilteros :

2o Por la relacin 1.3 para los hexgonos :

3o Por la relacin 1.2 para las circunferencias :

4o Intersectando los cuadrados y los hexgonos:

5o Intersectando los cuadrados y las circunferencias:

6o Intersectando los hexgonos y las circunferencias (12)- 1 2 -6 = 864

Finalmente : NPI , = 3486m ax

NPI = 4.10(10-1) =360

NPI = 6.12 (12-1) = 792

NPI = G (6 -1) = 30

(8)-1 0 -1 2 = 960

(8) 10-6 = 480


NPI = 8 - 5(5 - 1 ) = 160

NPI = 2 6(6 - 1) = 60

NPI = 7 (7- ,) 1 2 = 21

NPI = (8) 5 6 == 240

NPI = (4) 5 7 == 140

NPI = (2) - 6 7 == 84

NPI . = 705mx

20.- Calcular la N.P.I. mximo entre 5 cuadrilteros no convexos secantes, 6 elipses secantes y 7 rectas secantes.

Resolucin.-

Io Intersectando los 5 cuadrilteros :

2o Intersectando las 6 elipses :

3o Intersectando las 7 rectas secantes :

4o Intersectando los cuadrilteros con las elipses :

5o Intersectando los cuadrilteros con las rectas :

6o Intersectando las elipses con las rec tas:

21.- En un mismo plano, un nmero igual de rectas secantes y circunferencias secantes se intersectan determinando un N.P.I. mximo igual a 117. Calcular el nmero de figuras geomtricas que se intersectan.

Resolucin.-

Sea x el nmero de rectas, entoncesx tambin ser nmero de circunferencias. Para obtener el NPIn4j,entre ellas se debern hacer 3 tipos de intesecciones :

Io Entre lasx rectas: N P l= X ^* ^

2o Entre las jr circunferencias : NPI = x ( x - 1)

3o Entre lasx rectas yx circunferencias : NPI = (2) (jr) (x) = 2x2

Luego por condicin : -----^---- + x (x - 1) + 2x* =117

OEfectuando operaciones : x(x -1) + 2X2 =117

Despejando se obtiene : 7x2 - 3x - 234 = 0

7x n. *f+3S 1xX-6 j =* (7* + 39)(*"6) = x = 6

Finalmente el nmero de figuras geomtricas ser : 2(6) = 12


22.- Se dan "m" rectas coplanares de las cuales "n" son paralelas. Calcular NPmx que pueden producir al intersectarse estas rectas.

Resolucln.-

Si n rectas son paralelas, entonces (m - n) sern secantes luego nuestro problema se reduce a calcular el NPImji que producen n rectas paralelas y k n -n) rectas secantes.

Io La interseccin de las paralelas produce: NPI = 0

2o La interseccin de las rectas secan tes: NPI = ^ n ^

3o La interseccin ae las rectas paralelas y las secantes : NPI = (1) (n) (m - r)

(m -n ) (m -n -Y ) , .Finalmente : NPI . = ---------- ------------ + n (m -n )max 2

N p i = ' nlSJL _ J2m x 2

23.- Calculare! N.P.I. mximo entre "n" circunferencias concntricas y "n" rectas secantes de las cuales m" pasan por el centro de las circunferencias.

Rpsolucion.-

Es fcil reconocer que sim iecta> son concurrentes entonces de las n rectas secantes dadas .existen (n-m) rectas que son secantes pero no concurrentes. Para ello el grfico adjunto nos da una idea de las intersecciones establecidas A continuacin estableceremos 6 tipos de intersecciones entre estas figuras :

1 Entre las n circunferencias: NPI = 0

2o Entre las m rectas concurrentes (R.C) : NPI = 1

3o Entre las (n - m) rectas no concurrentes: NPI = ^

4C Entre las n circunferencias y m R.C: NPI = (2)si.m

5 Entre las n circunferencias y (n -m } rec tas: NPI = (2 ).n (n - rri)

6o Entre la s m P C y (n -m ) rectas : NPI = (1 ).m (n - rri)

Luego : NPImj = 1 + + 2 mn + 2 n(_n - m) + m ( n -m )

NPI f r i - l ) - m ( m - l )m x 2

( n - m - 1)

24.- Si a un conjunto de rectas secantes se le agregase una cantidad igual de rectas, su nmero mximo de puntos de intersec cin aumentar en 330. Calcular el nmero de rectas del conjunto.


Resolucin.-

Sea "n" el nmero de rectas dado; si a ste le agregamos la misma cantidad, es decir "n", entonces por condicin del problema se tendr que :

2n rectas n rectas

M f j Z o = + 330

Efectuando operaciones : 3n2 - n - 660 = 0

V 15 1 => (n - 15)(3n + 44) = 0 3 n / X + 4 4 J

En consecuencia el nmero de rectas s e r : n = 15

25.- Determinar el NPImit entre m rectas secantes si k de ellas son concurrentes.

Resolucin.-

Se trata de calcular el NPI . entre (m - k) rectas secantes y k rectas concurrentes.max v J JIo Entre las k rectas concurrentes (R.C.): NPI = 1

2o Entre las (m - k) rectas secantes : NPI = ^ ^ -

3o Entre las 'k" R.C. y (m -k) rectas secantes : NPI = (1) k (m - k) = k (m - k)

Luego : NPI ^ ^ ^ - + k (m -k)

(m .k ) ( n l + k - l )max 2

26.- Calcular el mnimo nmero de puntos de interseccin entre "n" rectas secantes y n" circunferencias secantes.

ReQlycion.-

Para obtener el NPImln, debemos hacer que las "n" circunferencias se intersecten en los mismos puntos, los que como sabemos sern como mnimo dos. Sean estos puntos A y B,ahora dichos puntos sern a su vez pertenecientes a una de lasn rectas dadas y si la condicion es que el nmero de puntos de interseccin sea el mnimo posible , entonces las (n - 1) rectas restantes las haremos pasar por uno de dichos puntos, por ejemplo A , tal como se indica en el grfico adjunto. Luego los puntos de interseccin estaran distribuidos a s :

Io n circunferencia : NPI = 2t


2o n rec tas: NPI = 1 (A)

3o n circunferencias y n rec tas: NPI = (1) (n -1) n

N P U . = " ( n - 1 ) + 2

27.- Hallar el mximo nmero de puntos de corte en la figura mostrada. Si hay "n " circu ; ferencias concntricas y otras "n" circunferencias menores formando una argolla.

Resolucln.-

1 El nmero de puntos de corte entre las n" circunferencias que forman la argolla se obtiene a s :

2o Una circunferencia de la argolla corta en dos puntos en a una de las concntricas. Entonces n circunferencias de la argolla cortan a las n concntricas en :

NPI = 2 Ji .n = 2 n2

Luego : NPImx = 2 n + 2 n2

36 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Gkiispe R

POBLMAS PR0PU6ST0S

1.- Hallar el mximo nmeiu de puntos de interseccin para 2 tringulos, 6 circunferencias y 10 rectas si conocemos que todas las figuras tienen 1 pi.nto comn.

A) 139 B) 143 C) 156 D)161 E)179

2.- Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin de 10 cuadrilteros convexos secantes y 20 circunferencias que no se intersectan entre si.

A) 1960 B) 1940 C) 1950D) 1 830 E) 1770

3.- Se tiene "n" tringulos y n cuadrilteros convexos Si al mximo nmero de puntos de interseccin de los tringulos se aumenta el nmero total de los lados de los tringulos, ms el mximo numero de puntos de interseccin de los cuadrilteros, ms el nmero total de los ngulos de los cuadrilteros se obtiene 1008. Hallar "n".

A) 12 B) 18 Q 2 4 D)36 E)48

4.- Con cuntos tringulos deben intersectarse 8 circunferencias para que el mximo nmero de interseccin tea 806?

A) 10 B)20 C)30 D)40 E)50

5.- Calcular el mximo nmero de puntos de. ntersecciii de 10 tringulos con 6 circunferencias secantes.

A) 900 B)930 C)940 D)96d E)980

6.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de 100 circunferencias con 100 cuadrilteros como se muestra en la figura.

A) 80198 B) 80140 C) 70130

7.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de .8 rectas secantes con 11 paralelas y con 6 circunferencias secantes.

A) 370 B)371 C)372 D)373 E)374

8.- Si el mximo nmero de puntos de interseccin de "N" polgonos de 5 lado:; ms el nmero de vrtices es 500. Calcular N.A) 5 B) 10 Q 12 D) 18 E)30

9.- Calcular el nmero total de puntos de interseccin de 100 circunferencias con 100 cuadrilteros tal como los mostramos.

A) 746 B)750 C)784 D)794 E)840

10.- Cuntas rectas se intersectan sabiendo que si se quitan 4. el nmero de puntos disminuye en 54.

A) 15 B) 20 C)25 D) 30 F

11.- Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin entre 5 elipses y 11 cuadrilteros no convexos.A) 1360 B )1260 C)1460D )1560 E)960

12.- Si a un conjunto de rectas secantes, se le agreda una cantidad igual de rectas, su nme ro mximo de puntos de interseccin aumentara en 330 Calcular cuntas rectas tiene el conjunto.A) 10 B)25 C) 15 D) 12 E)18

13.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de 10 rectas paralelas, 12 rectas secantes y 16 circunferencias.

A )1130 B)3006 C )1240D) 90170 E)8030 D) 1314 E) 10 17

Luis Ubaldo C Nmero de Puntos de Interseccin (N.P.I.) 37

14.- Se tienen "n" circunferencias secantes. Si se quitan 2 circunferencias, el nmero mximo de puntos de interseccin disminuye en30. Hallar.A) 9 B) 8 C)6 D) 10 E)12

15.- Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin que producen 2 polgonos convexos: Uno de 2 y otro de 2 lados (n> 1)

A) 2n+1 B)2n" C )2 n" D)2n+2 E,22+n

16.- En un plano se dibujan f" elipser. secantes y 2k cuadniteros cncavos secantes. Si el mximo nmero de puntos de interseccin es 182 Hallar A'.

A) 4 B)6 C)9 D)5 E)8

17.- En un plano el mximo nmero de puntos de interseccin entre n elipces secantes, n tringulos secantes, y n cuadrilteros secar tes es 339/2. Hallar.A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E)26

18.- Si a un conjunto de "n" rectas secantes se le quita 4 rectas, su mximo nmero de punto? de interseccin disminuir en 90, pero si se agregan 4 rectas al conjunto el mximo nmero de puntos de interseccin aumentara en:

A) 90 B)96 Q 100 D)106 E)108

19.- En un plano se dibujan "n" rectas secan tes, si el mximo nmero de puntos de interseccin que determinaron (n - 4) rectas secantes es 6. Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin entre n tringulos secantes.

A) 2 960 B) 1960 0 3 9 6 0

D;3660 E) 1140

20 - Hallar el mximo nmero de puntos de interseccin entre "n" circunferencias,"2n" rectas secantes, y "n" tringulos al intersectarse todas esta figuras entre si.

A)5n (4n- 1) B )4n (5/2- l ) C)5n(4n + 1)

D) 4/2 (5/2+ 1) E) n (6/2 + 2)

21.- Calcular el N.P.I. mx entre 10 rectas secantes, 10 circunferencias secantes y lOelipces secantes.

A )100 B )1005 C )1015D )1115 E) 1111

22.- El N PI. entre 8 tringulos secantes y n cuadrilteros no convexos secantes, incluyendo los vrtices es 560. Hallar n.

A)4 B)6 C)8 D) 10 E)12

23 - Detemr'nese el mximo nmero de circunferencias que se pueden forman con 10 puntos coplanares, donde no hay 3 alineados.

A) 90 B) 100 Q 110 D; 120 E)130

24.- Calcular cuntos pentgonos convexos se pueden determinar con 10 puntos, donde no hay 3 alineados.

A) 152 B) 176 C)202 D)222 E)211

25.- En cuntas partes queda dividido el plano por 20 rectas secantes donde no hay 3 rectas concurrentes?

A) 200 B)201 C)209 D)210 E)211

26.- Calcular el N.P.I. mx entre 12 rectas coplanares de las cuales son paralelas.

A) 50 B)51 C)52 D)53 E)54

27.- Calcular el N.P.I.Inx entre 20 circunferencias concntricas y 20 rectas secantes de las cuales 10 pasan por el centro de la circunferencia.

A) 946 B)947 C)948 D)949 E)950

28.- Hallar el N.P.I. mx entre 15 rectas secantes si 8 de ellas son concurrentes.

A) 74 B)75 C)76 D)77 E)78

29.- Calcular el N.P.I. mn de 7 rectas secantes y 8 circunferencias secantes.

A) 43 B)44 C)45 D)46 E)47

38 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Qu!spe R.

30.- Del grfico adjunto calcular el nmero de puntos de interseccin si hay 30 tringulos y 15 cuadrados.

A) 146 B) 147 C) 148 D)149 E)150

31.- Calcular el mximo nmero de circunferencias que pueden determinar 20 reatas secantes, donde no hay 3 concurrentes

A) 1140 B) 1260 C) 1310

D) 410 E) 1520

32.- Si a un grupo de rectas secantes se le agregan "k" entonces el N.P.I. mx aumentara en "A" si a este mismo grupo se le disminuye "k" rectas secantes, entonces el N.P.I. disminuye en "D". Calcular: A - D

A ) k + 1 B ) k ( k - l ) C) 2+ -1 *

D j*2-1 E)*2

33.- Hallar el N.P.I. mx entre "n" rectas secan

tes, ^ rectas concurrentes y y recias pai alelas.

A ) | ( 3 / i - I ) + l D ) ^ ( 5 / i - l ) + l

B ) (2 n + 1 )+ 1 E) (5n + 1) + 1

C ) f (n+ l) + 2

34.- Calcular el N .P .I .^ entre 3 rectas secantes, 3 circunferencias secantes, 3 tringulos secantes, 3 elipces secantes y 3 cuadrilteros no convexos secantes.A) 527 B)537 C)547 D)557 Ep67

35.-S elN PI. mx entre k polgonos de (k + 2) lados y (k + 2) polgonos de k lados cada uno es 8064 puntos Calcular k

36.- Se toman "ni" puntos sobre una circunferencia y "k puntos sobre otra circunferencia, interior a la primera. Si el mximo nmero de rectas determinadas al unir todos los puntos tomados es 4(m + k). Calcular el nmero total de tringulos que se podrn forman con dichos puntos.A; 92 B)84 C)80 D)70 E)64

37.- En un mismo plano circunferencias y tringulos se estn intersectando, se sabe que el NPI mx disminuye en 96 si se retiran a la vez 5 de stas figuras de las cuales 3 no son polgonos y se sabe adems que si se ajmen- tan igual cantidad de figuras retiradas de las cuales 3 no son circunferencias entonces el N.P.I. mx aumenta en 234, calcular el N.P.I. mix.

A) 99 B) 102 C)122 D)130 E)136

38.- Hallar el N.P.I. que existen en la figura adjunta asumiendo que hay n pentgonos y n circunferencias concntricas.

A) 2n(n - 1)

B)n(n + 1)

C) 2u(n + 1 )

D) 3n(n+ 1)

E)4n(n +1)

39 - Calcular el mximo nmero de puntos de interseccin de 10 rectas secantes, 15 paralelas y 20 circunferencias secantes.A) 1675 B )1775 C )1875D) 1975 E )1575

40,- En la siguiente figura se tienen "n" cuadrilteros, "n" circunferencias y rectas paralelas, si el numero total de puntos de interseccin es (61/2 + 9). Hallar n

/ V W W T V ^| o Mi o n o r > i

A) 6 B) 8 0 10 D) 12 E)14 A) 40 B)30 Q 20 D) 15 E)10

2.1 UNEARECT*

B

2.1 A) NOTACION :

AB ; se lee "rerta AB ", , L que se lee "recta L"

2.1B) CARACTERISTICAS :

- Dos puntos determinan una recta .

- Toda recta contiene infinitos puntos .

- Una recta es ilimitada en extensin .

- Todos los puntos de una recta siguen una misma direccin.

2.1 RATOPorcin de lnea recta limitada en un extremo e ilimitada por el otro.

O Ao o ^

2.2A) NOTACIN :>OA; se lee "rayo OA

2.2B) CARACTERSTICAS :

- Se origina a partir de un punto (O) llamado origen.

- Es limitada en extensin

- Todos sus puntos siguen una misma direccin.

OBSERVACIN :

La figura formada por todos los puntos del rayo OA sin el punto "O" se llama semirecta OA y se >

denota as OA.

40 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Qulspe R

2.3 SEGMENTO DE RECTAPorcin de lnea recta limitada por ambos extremos.

A BO.... - . - r2.3A) NOTACIN :

AB, se lee "segmento de recta AB .

2.3B) CARACTERSTICAS :

- Es una porcin limitada de una recta.

- Los extremos de AB son los puntos A y B .

- La medida de AB es un nmero real y positivo representado a s : m AB AB .

2 .4 UI'LKAtJ 1 JVt S CXJJVSL CjMETVTUS C O L JN ^ M jEL

Ubiquemos en una recta 3 puntos A, B y C en forma consecutiva . determinndose entonces 2 segmentos consecutivos AB y BC, con lo cual quedan establecidos tres segmentos : AB, BC y AC, tal como se muestra en la Figura. Si a continuacin utilizamos las medidas de cada uno de estos segmentos , se podrn establecer las siguientes relaciones :

a) ADICIN : AC =* AB = BC => x = a + b ... (*)

D) SUSTRACCIN: A B =A C -B C => a = x - b

BC = AC - AB = b = x - a

Donde : AC = x , AB = a a BC = b

Observaciones:

a] Si en una recta se consideran "n" puntos consecutivos, el nmero de segmentos (N) que quedan determinados por dichos puntos, est dado por la siguiente relacin :

N = (2 .1)

b) La relacin de Adicin se puede generalizar a s : Tomemos "n" puntos consecutivos A ,, A2, A j...... Ap en una misma recta, entonces se verificar la siguiente relacin :

Luis Ubaldo C Segmentos de Recta 41

A este resaltado se conoce como la "recia de la cadena" el Teorema de Charles . Debemos notar que los segmentos considerados son consecutivos

ACc) Se establece que B es el punto medio de AC, Si y solo si : AB = BC = - y . (2.3)

Cu a t EkjvaakjvISiiCA

4o-2o 3o

A B C D

Los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D forman una cuaterna armnica si y solo si se cum ple:

AB AD /-o 4-BC CD

Observacin:Si consideramos los segmentos determinados (en el grfico mostrado) de izquierda a derecha, entonces AB es el 1ro ; BC el 2do, CD el 3ro y AD el 4* , luego la relacin anterior se podr expresar tambin co m o :

2 ~ 30 ... (2.5)

Z S PROPIEDADES jOE LA CUATERNA ARMNICASabiendo aue A, B, C y D forman una cuaterna armnica se cumplen las siguientes propie

dades :

B

a) AB > BC

2 1 1b) Relacin de Descartes :

c) Relacin do Newton . Si "O" es el punto medio de AC entonces :

(OC)2 = OB. OD

d) Silos segmento determinados por la cuaterna armnica verifica la siguiente relacin :

AD . .gQ n y donde n ^ u n + 1AC ~ AB ' ADn + 1

42 Problemas de Geometra y como resolverlos Ernesto Quispe R.

z ' i m ic c i n A u r e a d e u n s e g m e n to

El segmento AP del grfico adjunto se dice que es la seccin urea del segmento AB, si y slo s se verifican las siguientes relaciones:

- A F> PB

- (AP)2 = AB . PB

B

2A PROPIEDADES DE LA SECCIN UREA

Siendo AP la seccin urea de AB, se cumplen las siguientes propiedades :

'I n AB a) AP >

b) AB = AP

c) AP = AB

(J5 + 1)2

(V 5-1)

d) PB , es la seccin urea de AP

(>/5+l)e) AP = PB

0 Nmero ureo :V5+1

Luis Ubaldo C. Segmentos de Recta 43

1.-Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, yD; tal que AC =19 y BD = 23. Hallar la lotigitud del segmento que une los puntos medios de A B yC D . P

Resolucin.-

O O ;i i |

Primero ubicamos los puntos dados sobre la lnea rec- 19ta, luego los datos en el mismo grfico y lo que nos A M Bpiden para tener mayor visualidad. m i As, en el grfico, sr pide hallar: MN = a + b + c ... (a)Datos: 2a + c = 19 ... (1)Tambin: 2b + c = 23 ... (2JSumando (1) y ( 2 j : 2a + 2b + 2c = 42 => a + b + c = 21

Luepo reemplazando en ( a ) : MN = 21 u

N(-

23

2 - Sobre una lnea recte se consideran los pantos colineales y consecutivos A, B C y D; siendo C punto medio de BD ; y AD = 12. Hallar CD.

ResolucinCB 2Por condicin ^ = esto se puede descomponer a s : CB = 2x y CA = 3x

Entonces AB = x, todo esto colocamos en el grfico luego observamos que :

x + 2x + 2x= 12Ahora: 5x = 12 =

2x

C

Com o: CD = 2x

x = 2,4

CD = 4,8

12

D- t

2x

3.- Sobre una lnea recta se toman los puntos colineales M ,N ,P y Q ; 1uege los puntos A y B puntos medios de MP y NQ respectivamente, s i : MN = 5 y PQ =11. Hallar AB.

Resolucion.-

Del grfico: jf = o + l l - ...(1)

. . . (2)Sumando (1) y (2) : Ahora :

x = a + 11 -b

x = 5 + b -a

2 x= 5 + 11 2x= 16

x = 8

MA

T-

11B

N P-x


4.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que:

AC + 2 DC + BD = 28 y AB = DC. Hallar AD.

Resolucin.-

Por dato : AC + 2 DC . + BD = 28, nos piden hallar AD

Segn la condicin del problema colocamos en el grfico letras minsculas, luego reemplazamos en el dato:

o

(a + n ) + 2 (q) + (n + a) 28 ^- <

Sumando: 4a + 2n = 28 -JSimplificando: 2 a + n = 14

Luego : AD = 2a + n = 14

AD = 14

5.-Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B y C, tal que:

^ = f y 2 AB + 3 BC = AC + 96. Hallar AB.

Resolucin.-

Si ^ ^ = a este puede ser : AB = 2a y BC = 3a ^ ^

Colocamos estos valores en el grfico. ' 2a 3a

Luego en el dato reemplazamos : 2 (2a) + 3 (3a) = (2a + 3a) + 96

Efectuando : 13a = 5a + 96Donde : 8a = 96 => a = 12

En consecuencia: Alt = 24

6.- Sjbre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F. Hallar AF, s i : DE = AB; AD = | AF y AC + BD + CE + DF= 35.

Resolucin.-

Dato: AC + BD + CE + DF 35oac A B C D E F

Condicin: AB = DE y AD = ~ * * * *

Se pide hallar AF, el dato agrupamos convenientemente :

(AC + CE) = (BD + DF) = 35 ; AC + CE = AE y BD + CE = AE y BD + DF = BF

Tambin : AE = AD + DE (Ver grfico)


Entonces : (AD + DE) + BF = 35i

Pero: DE = AB

Luego : AD + AB + BF = 35J .

Reemplazando: ^ AF + AF =35

Efectuando ^AF = 35

AF = 25

7.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E tal que F sea punto medio de B y H punto medio de DE. S i: AB = BC, CD = DEyAB + DE = 40. Hallar FH.

Resolucin.-' q j a i 2a 1 2b i b ! >J_

Dato: AB + DE = 40, nos piden hallar FH l I i I ! F H

Del grfico en el d a to : 2a + 25 = 40 ^ -* -I * ------- 1 -------* H *A B C D E

=> a + b = 20Luego : FH = a + 2a + 2b + b

Entonces : FH = 3 ( a + 5)^~2u

FH = 60

8.- A, B, C y D son puntos colineales y consecutivos. SI M es el punto medio de AD, y se verifica que : AB + CD = 10 m y BM - MC = 2m; calcular CD.

Res alucion.

B M C D-o--------- o------------ ---------------U----JC----

Por dato del problem a: AM = MD => AB + BM = M C + x ... (1)

Por dato, podemos deducir que : AB = 10 - CD =* AB = 10 - x ... (2)

Reemplazando (2) en (1) y transponiendo MC al primer m iem bro: 10 - x + BM- MC = x

Sustituyendo lo indicado por el dato, tendremos : 10 + 2 = 2x

Efectuando, obtenemos : x = 6m


9.- Sobre un recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, luego se toman los puntos medios M y N de AB y MC respectivamente. Hallar MB + NC en funcin de AN.

Resolucin.-

Sea:

Del grfico:

Luego :

Donde :

Pero:

k = AB + NC - AM

AB = 2a ; NC = b y AM = a

k = 2 a + b - a = a + b

k = a + b

AN = a + b AV

k = AN

M- v -

!>* a - ^ r - a -B

- v -N

10.-A ,B yC son puntos colineales y consecutivos. Sobre AB se ubican los puntos P yQ

y sobre BC se ubica el punto medio M de modo que :AP=BM, QB = - , AB = 7 y PC = 8. Hallar: OP.

ResoluHv/n.-

2a 2 a 2a

B M

Hacem os:

Adems :

Del grfico:

De otro lado: Reemplazando:

Luego

QB = a

PQ =jr

AC = 2a + 8 = 7 + 4a

AB = AP h PQ + QB

7 = 2a + x + a

BM = MC = AP = 2a

a =

x = 5 5

11.- Dado los puntos colineales y consecutivos P, A, B, C y D tal que: 7PD = 5PC + 2PB, y, 5AC + 2AB = 14; calcular: AD.

Resolucin.-


Inculcaremos nuestra resolucin con la expresin: 7PD = 5PC + 2PB

Y del grfico: 7 (PA + AD) = 5 (PA + AC) + 2 (PA + ABj

Efectuando las operaciones indicadas: 7AD = 5 AC + 2AB ...(*)

Pero por condicin se sabe que : 5AC + 2AB = 14

Reemplazando en (*) : 7AD = 14

AD = 2

12.- Sobre una semirecta OX, se toman los puntos A, B y C consecutivamente, de modo que los puntos A y B disten del origen 0 : a y b metros respectivamente. Hallar la longitud de OC, s i: 2 (AC + BC) = 3 AB.

Resolucin.-

Hagamos: OC = x

En el dato : 2 (5 - a + x - b + x - ti) = 3 (b - a)

Luego : ix -2 a -2 b 3b -3a

En consecuencia: Ax = 5b - a

5 b - ax = .

-=H

O A B Cj o >j< b-a-*?*-x-b^i !*-------b -------- i

13.- En una recta se consideran los puntos consecutivos A, B, P y C de modo que P es el punto medio se BC. Si (A B f + ( A c f = 40. Hallar (A P f + (B P f .

Resolucln.-

Hacem os: AB = 2b y AC = 2aI26-4 - a - b -+- a - b H

Luego: BP = PC = a - b A __B______P ______

Por dato del problem a: AB2 + AC2 = 40

Reemplazando: 4 b? + 4 a2 = 40 = a2 + b2 = 10

Nos piden: AP2 + BP2 = (a + ti)2 + (a - ti)2

AP2 + BP2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 - 2ab

Finalmente : AP2 + BP2 = 2 ( a 2 +b2 )10

AP2 + BP2 = 20

2a


14.-En una lnea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, Dde modo que AB + CD=20. Calcular la medida del segmento cuyos extremos son los puntos medios de AC y BD

Resolucin.-

Sean P y Q los puntos medios de AC y BD.

Luego: AP = PC = o a BQ = QD = b h 5----- b -------------- b H

Del d a to : AB + CD = 20 ... (a) A B h_X _ 11 C DQ

- c i -Pero : AB = a - BP = a - (b -x)

CD = o - QC = b - ( a -x)

Sustituyendo en ( a ) : a b + x + b - a + x = 20

Donde : 2x = 20

x = 10

15.- Sobre una lnea recta se ubican los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D, E y F.Si AC + BD + CE + DF =91 y BE = 5/8 AF. Hallar AF.

Resolucin. -

Del dato : AC + BD + CE + DF = 91

Pero: DF = DE + EF

Entonces : AC + BD + CE + DE + EF

Luego: (AC + CE + EF) + (BD + DE) = 91 B C DAF BE

AF + BE = 91

Y aque: BE = | aF8

Se tiene : AF + ^ AF = 91

l ^ A FEn consecuencia: gg- =91 = 13AF = 91(8)

AF= 56

1 6 A, B, C, D y E son puntos clmeles y consecutivos. Si AE = 5 BD, AD = 5 CD y DE = 5. Hallar: BC.

Resolucin.-

Hacemos : BD = o y CD = b => AE = 5a a AD = 5b


Del grfico obtenemos : k s ------------------------ 5a-K ---------- a x = a -b ( 1)

Tambin : 5 = 5 a-5 b .... (2)

De (2) : 1 = a - b - (3)

De (1) y (3) : x = 1

A B C D E

H JC + - b H-K -------- 5b----------------S H

17.- Sobre una lnea ~cta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D. Si M es punto medio de AD ; si AB + CD =10 y BM - MC = 2. Hallar CD.

Resolucin.-

Si: AB = o , MC = b y C D = x q + b + 2 b xPor d a to : a + x = 10 M |

Despejando: a = 10-x ...(1) BTambin : BM = 2 + MC => BM = 2 + b a b + 2 bLuego: AM = MD => a + b + 2 = b + x

Siniplificando: a = x - 2 ... (2)De (1) y (2): * - 2 = 1 0 - * => 2* =12

x = 6 u

18.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A ,B ,C y D tal que : A B . CD = A D . BCSi adems: AB + AD = 2 A B . ADHallar AC

Resolucin.-

Dado el siguiente esquem a :B

Nos dicen q u e : AB CD = AD . BC ... (1)

Asimismo se sabe que : AR -y AD = 2 . AB . AD ., 12)

no fo'i - AB AD _ _ L . 1 _ 9( ) ' AB.AD AB.AD AB AD

Del grfico: BC = AC - AB

CD = AD- AC

Reemplazando en (1) : AB (AD - AC) = AD (AC - AB)

Efectuando : AB . AD - AB . AC = AD . AC - AB . AD


Luego : 2 . AB . AD = AC (AB + AD)

2 1 1En consecuencia : = + AC AB AD2

Comparando: = 2AC

AC = 1

19.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F ;BE

sabiendo que: AB = EF= . Hallar BE, si adems : AC + BC + CE + D F=24.

Resolucin.-A B C D E F----0---------- o-------------o------------o------------o----------o---

Dalo: AC + BD + CE + DF = 24BECondicin : AB = EF =

Del dato : AC + CE + BD + DF = 24

Se escribe como : AB + BE + BE + EF = 24

Agrupando: AB + 2 . BE + EF = 24

Reemplazando: ^ + 2 . BE + = 24O

Efectuando : 2 BE + 6 BE = 3 . 24

Luego : 8 . BE = 3 . 8.3

BE = 9

20.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D ; siendo "M punto medio de BD; A B . CD = A D . BC y 9 (AD - BM) = 2 . AD. AB. Hallar AC.

Resolucin.-

Dato: 9 (AD - BM) = 2 . AD . ABBD/2 BD/2

Condicin: AB . CD = AD . BC !----------------- !-------------M

Luis Utolde C. Segmentos de Recta 51

En el parntesis : 9 (2 . AD - BD) = 4 . AD . AB ; BD = AD - AB

Reemplazando: 9 (2 . AD - AD + AB) = 4 . AD . AB

n a . AB AB _ 4G: AD.AB AD.AB 9

Simplificando: ^ ^AB AD

Pero si los puntos A, B, C y D son armnicos entonces resulta la proporcin armnica delos cual se obtiene la relacin siguiente :

1 + _L _AB AD " AC

A esto se le llama Relacin de Descartes, en honor al gemetra Francs Ren Descartes.

4 2En consecuencia obtenemos por comparacin =

AC = 4,5

21.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B, M yC tal que M es punto medio de BC. Siendo: AM2 + BM2 =17. Hallar AB2 + AC2.

Resolucin.-

Dato: AM2 + BM2 = 17 -M

Nos piden hallar. AB2 + AC2 = ? ' AC-AB ' AC-AB

Donde: AM = AB + BM 2 2

Del grfico reemplazamos en el datu : AB + ^ g ^ B] + 2 = 17

Resolviendo (AB + AC) + (ACAB) - \ - j sabemos que : (AC-AB)2 = (AB- AC)24

Luego : (AB + AC)2 + (AB - AC)2 = 68

Efectuando: 2AB2 + 2AC2 = 68

AB2 + AC2 = 34

22.- Sobre una I ea recta se consideran los puntos consecutivos P, A, B ,C y D; tal que:

7 PC = 2 PD + 5 PB y 2 AD + 5 AB = 7

Hallar AC.

52 Problemas de Geometra y cmo resolverlos Ernesto Quispe P.

> -

Resolucin.-

Datos: 7 . PC = 2 . PD + 5 . PB ...(1)

2 . AD + 5 . AB = 7 ... (2)

Nos piden hallar AC.

Del grfico: AD = PD - PA < A B C D

Tambin : AB = PB - PA

Reemplazando en (2): 2 (PD - PA) + 5 (PB - PA) = 7

Multiplicando: 2 . PD - 2 . PA + 5 . PB - 5 . PA = 7

Luego : 2 . PD + 5 . PB = 7 + 7 . PA ... (3)

Reemplazando (1) en (3) : 7 . PC = 7 + 7 . PA

Simplificando: PC = PA + 1 => PC - PA = 1

Pero : AC = PC - PA

AC = 1

23.- Sobre una lnea recta >e consideran los puntos colineales y consecutivos A, B ,C y D; tal que A B .C D = BC. AD. Hallar A C , S i: ~ r^ = 4-

Resolucin.-

Dato: BC. CD = 4 (CD - BC) ... (1)

Condicin: AB . CD = BC. AD

Nos piden hallar AC.

Del grfico: AB = AC - BC

AD = AC + CD

Reemplazando en la condicin: CD (AC - BC) = BC (AC + CD)

Multiplicando: CD . AC - CD . BC = BC . AC + BC . CD

Donde : AC (CD - BC) = 2 . BC . CD

A B C D------------------- ---------- -------------- > -


24.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos: A, B, C, D, EyF, tal que:

AC+ BD + CE + DF = 40 y 5 BE = 3 A F . Hallar AF.

Resolucin.-

Dato! AC + BD + (LE + DF = 40

Condicin: 5 .B E = 3.A F A B C D E F _

Se escribe co m o : BE = | . AF

Del dato : (AC + CE) + (BD + DF) = 40 ; AC + CE = AE y BD + DF = BF

Tambin : AE = AB + BE (Ver grfico)

Entonces : AB + BE + BF = 40

Agrupando : + (AB + BF) = 40

iA5Reemplazando : + AF = 40

Efectuando : = 40

AF = 25

25.- Dado el segmento AB y un punto M, interior a el. Demostrar que si el producto AM. MB, es mximo entonces M es el punto medio de AB.

Resolucin.-

Dato: AB = a y AM = x, luego bastar demostrar q u e :

M B

Sea : k = AM . MB ; pero : AM = x y MB = a - x

Luego k = x (a - x) = - (x2 - ax) => k = ~

Q QObservamos que como es constante el valor de k depende de x - y para que ste sea mximo en tonces:

x - f = 0

l.q q.d


26.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos corneales y consecutivos A, B ,C ,D y E; tal que :A C = BD; B C = i DE y j, AB + LE = 36. Hallar AE.

Resolucin.-

Luego de hacer el grfico, segn las condiciones del problema, reemplazamos sus valores segn en el dato :

| (a - b) + 3b = 36-+------a ------ f-

Efectuando: 3a - 3b + 66 = 72A B C D E

l-Donde : 3 (a + 6) = 72 Hj- -f-I-r i o*ra -o ; b a -b 3oEn consecuencia: a + b = 24 -------a ------ ^

Luego : AE = a + a - b + 3b = AE = 2 (a + b)

AE = 48

27. Sobre una lnea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B , C y D

tal que A B . CD = n . B C . AD ; adems se cumple: ~ ^ Hallar n.

Resolucin.-

Condicin: AB . CD = n . BC . AD ...(1)

Nos piden "n" e n : ^ ^ ...(2) A B

Del grfico: CD = AD - AC y BC = AC - AB

Reemplazando en (1) : AB (AD - AC) = n (AC - AB) . AD

Multiplicando: AB . AD - AB . AC = n . AC . AD - n . AB . AD

Factorizando: AB . AD (1 + n) = AC (n . AD + AB)

Lueeo -1 - + - n = n . AD . + AB es AC AB . AD AB . AD

Y simplificando de esto resulta : ... (3)

De (2) y (3):7 1 + n

AC AC

En consecuencia: 1 + n = 7

n = 6


28.- Sobre una linea recta se consideran los puntos colineales y consecutivos A, B y C cuyos puntos medios de AB y BC son M y N respectivamente. Si AC = 32, hallar el valor del segmento que tiene por extremos los puntos medios de AN y MC.

Resolucin.-

Del grfico : x + n - b = m --------n ------- i, x i

\--------n

= x = m + b -n ... ( 1 ) i r i a o b i bTambin : n = x + m -a A M B ---------1--------1-.----------- 1 N C >

= x = n + a -m ... (2)

Sum ando(1 )y (2) : 2x = a + b ...(3)

Peio por d a to : AC = 32 = 2a + 2b

Reemplazando (4) en (3) : 2x = 16

x = 8

mP4- m

a + b = 16 ... (4)

29.- Sobre una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B ,C y D. Se sabe que AB = 30 y CD = 10, adems se toman los puntos medios de AB y CD que son P y O respectivamente. Hallar la longitud del segmento que tiene poi extremos los puntos medios de p e y BQ

Resolucin.-

Del grfico: x = / 77+CN ...(1)

x = n + MB ... (2)

Pero. CN = b - n + MB = a - m

Reemplazando y sumando (1) y (2):

2x = m + n + b -n +a - m

Donde : 2x = a + b

Tambin sabemos q u e : 2a = 30 => a = 15

26 = 10 = 6 = 5

Luego: 2x = 15 + 5

En consecuencia : 2x = 20 = jc = 10


30.- Dados los puntos A, B, C, D y E son puntos colineales y consecutivos de modo que AB > BC y BD > DE. Se sabe que AB y BD son secciones ureas de AC y BE respec-

O _ feVivamente. Si BC = 2C D y AE = ; calcular AC.

Resolucin.-

2a

A B C D E

Hagamos CD = a => BC = 2a

Ya que AB es la seccin urea de AC .entonces BC ser tambin la seccin urea de BE, de(i/5+ l)

ello se tendr que : BD = DE----^

Es decir: AB = a ( i/5 + l)

Anlogamente como BD es la seccin urea de BE, tendremos : BD = DE ^

=> 3 a = DE , de donde: DE = - (1/5 - 1)

Del grfico: AE = AB + BD + DE

3 ^ = 0 (y 5 + l) + 3a + ^ ( i / 5 - l )

J J 3 -V 5De donde : a = 5(i/5 + 1)

Como: x = a(i/5 + l) + 2o = a (3 + 1/5 )

Lms *= | ^ i (3+'ra)i / 5 - lx =

31.-A, B, Cy D son puntos colineales y consecutivos tal que: AB.CD = AD .BC; AB. BC = x; AD. CD = y . Calcular BD.

Resolucin.-1 ,

De la 1ra expresin : ^ ---- o - . o-BC CD A B C D

Setiene: a^C D = T-BC

TT


Efectuando : AB . a - AB . BC = AD . a - AD . CD

Reemplazando: AB . a - x = AD.a - y

De donde : y - x = (AD - AB) a

Pero: AU - AB = a

Luego : y -x = a2

a = J y - x

32.- En una lnea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera

que: AB = 2CD; BC2 = AB. CD y ^ ~~3D = 5 ' (' a,cu,ar AC-

Resolucin.-

Por d a to :

Adem s:

Com o:

De donde:

_ L J I BD-CD _ iCD BD 5 ^ CD.BD 5

BC 1 BC 1 1CD.BD 5 CD BD 5

Y de (*) : ^ B) = 5 => 5AB = BC BD

Com o: BD = BC + CD => 5AB = BC (BC + CD)

Luego : 5AB = BC2 + BC , ya que : CD =

AR ARReemplazando: 5AB = AB + ^C * ~2~

Factorizando: 5AB = (AB + BC)

, r AB+ BC ACSimplificando : 5 = ---- ^ =

AC = 10

a b e33.- Los puntos A , B , C y D forman una cuaterna armnica. S i: ; hallar:a + b + c.

Resolucin.-A__________ B_______ C_______ D

AB ADSi A, B, C y D forman una cuaterna armnica entonces : = q j

Pero: BC = AC - AB y CD = AD - ACAR AD

Reemplazando: Xt>-AB = Ap_ C ^ AB . AD - AB . AC = AD . AC - AD . AB

Agrupando y factorizando: 2 AB AD = AC (AD + AB)

. . J 2 _________ 1 _ 1 j ______ a bDe donde . AC ~ AB AD pero ' AC " AB AD

Comprobando: c = 2 ; a = 1 y 6 = 1 a + b + c = 4

34.- Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B , C y D. Si A C . CD = A B . BD, indicar la relacin correcta.

Resolucin.-

Por condicin del problema AC . CD = AB . BD

Pero: AC = AB + BC ^ g q D

Tambin: BD = BC + CD

Luego : (AB + BC) CD = AB (BC + CD)

AB. CD + BC. CD

problemas de geometría y cómo resolverlos racso

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