problemas admisibles gobernados por ecuaciones de hamilton

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  • Problemas admisibles gobernados porecuaciones de HamiltonJacobi

    G. Daz

    Matematica AplicadaUCM

    Jornada Interdisciplinar HamiltonJacobi.F. Matematicas. UCM.19 de Octubre. 2007

    http://www.mat.ucm.es/gdiaz/docencia/ProbAdmisJHJ.pdf

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 1 / 138

    http://www.mat.ucm.es/~gdiaz/docencia/ProbAdmisJHJ.pdf

  • IntroduccionLos personajes

    W.R.Hamilton (18051865) C.G.J. Jacobi (18041851)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 2 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB (propagacion de frentes).regularidad mnima: ((u0))

    = (u0).

    D+ soluciones: las superdiferenciales verifican la ecuacion.limitacion de la regularidad: u(, t) C, t > 0 aunque u0 C. u(x , 0) = `|x |1+, x RN

    U(x , t) = ` sup|yx |Rt

    |y |1+ =

    ` ([|x | Rt]+)1+ , si < 1,`, si = 1,` (|x |+ Rt)1+ , si > 1.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 5 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , t) = u0(x), x RN.

    u(x , t) = supyRN

    {(u0)

    (y) (m 1)(|y x |m

    Rmmt

    ) 1m1

    }, (x , t) RN]0,T[

    traza: u0 C es muy excluyente deja fuera 1IB,regularidad mnima: ((u0))

    = (u0)

    efecto regularizante limitado: u(, t) W1,(RN), t > 0

    problema admisible lm sup|x |

    (u0)(x)

    |x |m

    m1

    .= ` < +. (1)

    T =1

    Rmm

    (m 1

    `+

    )m1 = 0, ` =, no admisible

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , 0) = `|x |1+, x RN.

    Comportamiento

    < 1 problema no admisible = 1 u(x , t) `

    1 < < 1m 1

    lmt+

    u(x , t)

    t1+

    1(m1)= Cm,, Cm,1 = `

    =1

    m 1u(x , t) = `

    (T

    T t

    )|x |

    mm1 , 0 t < T

    >1

    m 1problema no admisible

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 7 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , 0) = `|x |1+, x RN.

    Comportamiento

    < 1 problema no admisible = 1 u(x , t) `

    1 < < 1m 1

    lmt+

    u(x , t)

    t1+

    1(m1)= Cm,, Cm,1 = `

    =1

    m 1u(x , t) = `

    (T

    T t

    )|x |

    mm1 , 0 t < T

    >1

    m 1problema no admisible

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 7 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut + u

    q = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = `|x |1+, x RN.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 8 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut + u

    q = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = `|x |1+, x RN.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 9 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut + u

    q = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , 0) = `|x |1+, x RN.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 10 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut + u

    q = R|xu|m en RN]0,T[ (R > 0, m > 1),u(x , 0) = `|x |1+, x RN.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 11 / 138

  • Indice

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 12 / 138

  • Indice

    1 Algunos modelosLa ecuacion eikonalMedios continuos

    2 Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobiSoluciones de viscosidad

    3 Problemas admisiblesPropiedades intrnsecasLa formula de LaxOleinikEl problema de CauchyExistencia y unicidad

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 13 / 138

  • Indice

    1 Algunos modelosLa ecuacion eikonalMedios continuos

    2 Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobiSoluciones de viscosidad

    3 Problemas admisiblesPropiedades intrnsecasLa formula de LaxOleinikEl problema de CauchyExistencia y unicidad

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 13 / 138

  • Indice

    1 Algunos modelosLa ecuacion eikonalMedios continuos

    2 Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobiSoluciones de viscosidad

    3 Problemas admisiblesPropiedades intrnsecasLa formula de LaxOleinikEl problema de CauchyExistencia y unicidad

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 13 / 138

  • Algunos modelos

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 14 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    El calculo de traveltimes a partir de la funcion velocidad es requerido enmuchos procesos ssmicos, siendo la ecuacion eikonal uno de los metodosmas frecuentes.Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 15 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    El calculo de traveltimes a partir de la funcion velocidad es requerido enmuchos procesos ssmicos, siendo la ecuacion eikonal uno de los metodosmas frecuentes.Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 15 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    El calculo de traveltimes a partir de la funcion velocidad es requerido enmuchos procesos ssmicos, siendo la ecuacion eikonal uno de los metodosmas frecuentes.Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 15 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    El calculo de traveltimes a partir de la funcion velocidad es requerido enmuchos procesos ssmicos, siendo la ecuacion eikonal uno de los metodosmas frecuentes.Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 15 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    El calculo de traveltimes a partir de la funcion velocidad es requerido enmuchos procesos ssmicos, siendo la ecuacion eikonal uno de los metodosmas frecuentes.Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    Lnea del frente en t+ t

    Lnea del frente en t

    A B

    C

    x

    s

    y

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 16 / 138

  • la ecuacion eikonalEl Teorema secreto de Pitagoras

    A B

    C

    ab

    c

    hA

    b2+c2 = a2 (Teorema de Pitagoras).

    bc

    2= (area del triangulo) =

    ahA2

    ,

    de donde

    b2 + c2 =

    (bc

    hA

    )2y(

    1

    b

    )2+

    (1

    c

    )2=

    (1

    hA

    )2(Teorema secreto de Pitagoras)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 17 / 138

  • la ecuacion eikonalEl Teorema secreto de Pitagoras

    A B

    C

    ab

    c

    hA

    b2+c2 = a2 (Teorema de Pitagoras).

    bc

    2= (area del triangulo) =

    ahA2

    ,

    de donde

    b2 + c2 =

    (bc

    hA

    )2y(

    1

    b

    )2+

    (1

    c

    )2=

    (1

    hA

    )2(Teorema secreto de Pitagoras)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 17 / 138

  • la ecuacion eikonalEl Teorema secreto de Pitagoras

    A B

    C

    ab

    c

    hA

    b2+c2 = a2 (Teorema de Pitagoras).

    bc

    2= (area del triangulo) =

    ahA2

    ,

    de donde

    b2 + c2 =

    (bc

    hA

    )2y(

    1

    b

    )2+

    (1

    c

    )2=

    (1

    hA

    )2(Teorema secreto de Pitagoras)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 17 / 138

  • la ecuacion eikonalEl Teorema secreto de Pitagoras

    A B

    C

    ab

    c

    hA

    b2+c2 = a2 (Teorema de Pitagoras).

    bc

    2= (area del triangulo) =

    ahA2

    ,

    de donde

    b2 + c2 =

    (bc

    hA

    )2y(

    1

    b

    )2+

    (1

    c

    )2=

    (1

    hA

    )2(Teorema secreto de Pitagoras)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 17 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    Lnea del frente en t+ t

    Lnea del frente en t

    A B

    C

    x

    s

    y

    (1

    x

    )2+

    (1

    y

    )2=

    (1

    s

    )2

    (t

    x

    )2+

    (t

    y

    )2=

    (t

    s

    )2G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 18 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    Lnea del frente en t+ t

    Lnea del frente en t

    A B

    C

    x

    s

    y

    (1

    x

    )2+

    (1

    y

    )2=

    (1

    s

    )2

    (t

    x

    )2+

    (t

    y

    )2=

    (t

    s

    )2G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 18 / 138

  • la ecuacion eikonalGeofsica Aplicada. [Robinson & Clark]

    Propagacion del frente de onda normal al rayo, despues de t 1

    Lnea del frente en t+ t

    Lnea del frente en t

    A B

    C

    x

    s

    y

    |t(x , y)| =

    lentitud ssmica1

    |v |G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 19 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 20 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 20 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 20 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion.

    (x)=t1

    (x)=0

    (x)=t2

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 21 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion. Para C1(R2), con(z) 6= 0 si (z) = 0, la frontera del abierto regular

    = {x R2 : (x) < 0},

    es una hipersuperficie , dada por el nivel (x) = 0, con

    ~v(z) = |~v(z)| (z)|(z)|

    , z ,

    1 = (x), ~v(x) = |~v(x)| |(x)|, (regla de la cadena).

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 22 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion. Para C1(R2), con(z) 6= 0 si (z) = 0, la frontera del abierto regular

    = {x R2 : (x) < 0},

    es una hipersuperficie , dada por el nivel (x) = 0, con

    ~v(z) = |~v(z)| (z)|(z)|

    , z ,

    1 = (x), ~v(x) = |~v(x)| |(x)|, (regla de la cadena).

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 22 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Frentes de onda, (x) = t, propagandose en un medio isotropo. El frentese propaga normalmente a s mismo,

    (x) = t (x + h~v(x))) = t + h, h 1,

    donde ~v aporta la direccion normal de propagacion. Para C1(R2), con(z) 6= 0 si (z) = 0, la frontera del abierto regular

    = {x R2 : (x) < 0},

    es una hipersuperficie , dada por el nivel (x) = 0, con

    ~v(z) = |~v(z)| (z)|(z)|

    , z ,

    1 = (x), ~v(x) = |~v(x)| |(x)|, (regla de la cadena).

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 22 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Mediante el metodo de las caractersticas se prueba que en lasproximidades de

    .= [(x) = 0] las curvas de nivel vienen dadas por

    [(x) = t] =

    [d (x , )

    v= t

    ](|v (x)| v)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 23 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Mediante el metodo de las caractersticas se prueba que en lasproximidades de

    .= [(x) = 0] las curvas de nivel vienen dadas por

    [(x) = t] =

    [d (x , )

    v= t

    ](|v (x)| v)

    De hecho esos son los conjuntos de nivel tambien lejos de y paravelocidades no constantes, ahora mediante la teora de soluciones deviscosidad.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 24 / 138

  • la ecuacion eikonalConjuntos de nivel

    Mediante el metodo de las caractersticas se prueba que en lasproximidades de

    .= [(x) = 0] las curvas de nivel vienen dadas por

    [(x) = t] =

    [d (x , )

    v= t

    ](|v (x)| v)

    De hecho esos son los conjuntos de nivel tambien lejos de y paravelocidades no constantes, ahora mediante la teora de soluciones deviscosidad.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 24 / 138

  • la ecuacion eikonalGeometra computacional. M. Peternell & T. Steiner

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 25 / 138

  • la ecuacion eikonalGeometra computacional. M. Peternell & T. Steiner

    Pensemos en el problema{|f | = a en R2,

    u = g en

    se requiere|g | < a puntos de frontera regulares

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 26 / 138

  • la ecuacion eikonalGeometra computacional. M. Peternell & T. Steiner

    Pensemos en el problema{|f | = a en R2,

    u = g en

    se requiere|g | < a puntos de frontera regulares

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 26 / 138

  • la ecuacion eikonalGeometra computacional. M. Peternell & T. Steiner

    Pensemos en el problema{|f | = a en R2,

    u = g en

    se requiere|g | < a puntos de frontera regulares

    Mediante Geometra Computacional se estudian la equivalencia entre lassoluciones clasicas cerca de y la superficies desarrollables hasta lassingularidades.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 27 / 138

  • la ecuacion eikonalGeometra computacional. M. Peternell & T. Steiner

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 28 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalOptica Geometrica. [Landau & Lifschtiz]

    Estudio de las pequenas longitudes de onda en la propagacion de uncampo electrico o magnetico

    utt div(k(x , t)u) = 0 en RN R+,

    u(x , 0) = eiS0(x)v0(x) en RN,

    ut (x , 0) = w0(x) en RN.

    u(x , t) = e

    iS(x ,t)v(x , t)

    vtt = k(x , t)v +k v (ondas generalizada)1 St =

    k(x , t)|S | (eikonal generalizada)

    i vStt + 2vtSt = k(x , t) (vS + 2v S) + vk S(transporte generalizada)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 29 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito

    El operador

    F(q,Z).= Zq, q, q RN, Z SN, N 1,

    u = ij

    DiuDijuDju

    F(q,Z) es elptico eventualmente degenerado

    F(q,Y) F(q,X ) 0 q RN, X Y SN+ ,

    (pero no es uniformemente elptico

    F(q,Y) F(q,X ) (traza (X Y)), q RN, X Y SN+ ,

    para algun > 0).Por tanto, en general, 6 u C2 con u = 0.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 30 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito

    El operador

    F(q,Z).= Zq, q, q RN, Z SN, N 1,

    u = ij

    DiuDijuDju

    F(q,Z) es elptico eventualmente degenerado

    F(q,Y) F(q,X ) 0 q RN, X Y SN+ ,

    (pero no es uniformemente elptico

    F(q,Y) F(q,X ) (traza (X Y)), q RN, X Y SN+ ,

    para algun > 0).Por tanto, en general, 6 u C2 con u = 0.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 30 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito

    El operador

    F(q,Z).= Zq, q, q RN, Z SN, N 1,

    u = ij

    DiuDijuDju

    F(q,Z) es elptico eventualmente degenerado

    F(q,Y) F(q,X ) 0 q RN, X Y SN+ ,

    (pero no es uniformemente elptico

    F(q,Y) F(q,X ) (traza (X Y)), q RN, X Y SN+ ,

    para algun > 0).Por tanto, en general, 6 u C2 con u = 0.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 30 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito

    El operador

    F(q,Z).= Zq, q, q RN, Z SN, N 1,

    u = ij

    DiuDijuDju

    F(q,Z) es elptico eventualmente degenerado

    F(q,Y) F(q,X ) 0 q RN, X Y SN+ ,

    (pero no es uniformemente elptico

    F(q,Y) F(q,X ) (traza (X Y)), q RN, X Y SN+ ,

    para algun > 0).Por tanto, en general, 6 u C2 con u = 0.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 30 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito

    El operador

    F(q,Z).= Zq, q, q RN, Z SN, N 1,

    u = ij

    DiuDijuDju

    F(q,Z) es elptico eventualmente degenerado

    F(q,Y) F(q,X ) 0 q RN, X Y SN+ ,

    (pero no es uniformemente elptico

    F(q,Y) F(q,X ) (traza (X Y)), q RN, X Y SN+ ,

    para algun > 0).Por tanto, en general, 6 u C2 con u = 0.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 30 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito

    El operador

    F(q,Z).= Zq, q, q RN, Z SN, N 1,

    u = ij

    DiuDijuDju

    F(q,Z) es elptico eventualmente degenerado

    F(q,Y) F(q,X ) 0 q RN, X Y SN+ ,

    (pero no es uniformemente elptico

    F(q,Y) F(q,X ) (traza (X Y)), q RN, X Y SN+ ,

    para algun > 0).Por tanto, en general, 6 u C2 con u = 0.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 30 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Al minimizar, en una clase funcional adecuada, el funcional

    (|Du|)dx

    Para funciones regulares, se obtiene la ecuacion no divergente, elpticadegenerada

    1

    |Du|

    (((|Du|)|Du|

    (|Du|))

    u + (|Du|)u

    )= 0 en ,

    ecuacion de EulerLagrange correspondiente.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 31 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Al minimizar, en una clase funcional adecuada, el funcional

    (|Du|)dx

    Para funciones regulares, se obtiene la ecuacion no divergente, elpticadegenerada

    1

    |Du|

    (((|Du|)|Du|

    (|Du|))

    u + (|Du|)u

    )= 0 en ,

    ecuacion de EulerLagrange correspondiente.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 31 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Dos elecciones:

    a) (q).=

    1

    p|q|p, 1 p

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Dos elecciones:

    a) (q).=

    1

    p|q|p, 1 p

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Dos elecciones:

    a) (q).=

    1

    p|q|p, 1 p

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Dos elecciones:

    b) (|q|) .=(1 + |q|2

    )2 , 1 (superficie mnima)

    0 = Mu.=

    (1 + |Du|2

    )22

    (( 2) u

    1 + |Du|2+ u

    )en ,

    dondeelptico si = 1 y uniformemente elptico si > 1, = 2 (operador de Laplace), = 1 (superficie mnima, curvatura media, capilaridad), 6= 1, 2 en roturas de placas y fundiciones a temperaturas elevadas.

    Formalmente,

    (1 + |Du|2

    ) 42

    ( 2)Mu u, cuando .

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 33 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Dos elecciones:

    b) (|q|) .=(1 + |q|2

    )2 , 1 (superficie mnima)

    0 = Mu.=

    (1 + |Du|2

    )22

    (( 2) u

    1 + |Du|2+ u

    )en ,

    dondeelptico si = 1 y uniformemente elptico si > 1, = 2 (operador de Laplace), = 1 (superficie mnima, curvatura media, capilaridad), 6= 1, 2 en roturas de placas y fundiciones a temperaturas elevadas.

    Formalmente,

    (1 + |Du|2

    ) 42

    ( 2)Mu u, cuando .

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 33 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en el Calculo de Variaciones

    Dos elecciones:

    b) (|q|) .=(1 + |q|2

    )2 , 1 (superficie mnima)

    0 = Mu.=

    (1 + |Du|2

    )22

    (( 2) u

    1 + |Du|2+ u

    )en ,

    dondeelptico si = 1 y uniformemente elptico si > 1, = 2 (operador de Laplace), = 1 (superficie mnima, curvatura media, capilaridad), 6= 1, 2 en roturas de placas y fundiciones a temperaturas elevadas.

    Formalmente,

    (1 + |Du|2

    ) 42

    ( 2)Mu u, cuando .

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 33 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalLaplaciano infinito en la ecuacion eikonal

    0 = u = D2uDu,Du =1

    2D(|Du|2),Du

    es decir,|Du| = 1 u = 0.

    Algunas soluciones particulares en RN de la ecuacion eikonal:

    u(x) = p, x regular,u(x) = a |x z | regular en RN \ {z},distancia a un segmento rectilneo regular en RN \ {cto. unidimensional}.

    Consideremos

    |Du| = 1 en RN salvo un conjunto de medida unidimensional nula (L. Caffarelli & M.G.Crandall)

    u(x) = p, x o u(x) = a |x z |.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 34 / 138

  • La ecuacion eikonalProblema de Backus. [Backus], [Heiskanen & Moritz], [G. Daz, J.I. Daz & J.Otero]

    Suponemos conocida la superficie de la Tierra (S = G), el Problema deBackus trata de la determinacion del potencial externo gravitatorio de laTierra a partir de medidas en la superficie del modulo del campogravitatorio. Denotando por u el potencial newtoniano de la Tierra y por g el modulode la fuerza de la gravedad el problema queda en la forma

    u = 0 en R3 \G,|u| = g en S ,u(x) 0 cuando |x | +.

    No se han considerados los efectos de la rotacion de la Tierra. Puestoque la gravedad puede ser facilmente medida tanto en la tierra como en elmar el problema es bastante realista. Un problema analogo surge en Geomagnetismo. Control Optimo dereflexiones.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 35 / 138

  • La ecuacion eikonalProblema de Backus. [Backus], [Heiskanen & Moritz], [G. Daz, J.I. Daz & J.Otero]

    Suponemos conocida la superficie de la Tierra (S = G), el Problema deBackus trata de la determinacion del potencial externo gravitatorio de laTierra a partir de medidas en la superficie del modulo del campogravitatorio. Denotando por u el potencial newtoniano de la Tierra y por g el modulode la fuerza de la gravedad el problema queda en la forma

    u = 0 en R3 \G,|u| = g en S ,u(x) 0 cuando |x | +.

    No se han considerados los efectos de la rotacion de la Tierra. Puestoque la gravedad puede ser facilmente medida tanto en la tierra como en elmar el problema es bastante realista. Un problema analogo surge en Geomagnetismo. Control Optimo dereflexiones.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 35 / 138

  • La ecuacion eikonalProblema de Backus. [Backus], [Heiskanen & Moritz], [G. Daz, J.I. Daz & J.Otero]

    Suponemos conocida la superficie de la Tierra (S = G), el Problema deBackus trata de la determinacion del potencial externo gravitatorio de laTierra a partir de medidas en la superficie del modulo del campogravitatorio. Denotando por u el potencial newtoniano de la Tierra y por g el modulode la fuerza de la gravedad el problema queda en la forma

    u = 0 en R3 \G,|u| = g en S ,u(x) 0 cuando |x | +.

    No se han considerados los efectos de la rotacion de la Tierra. Puestoque la gravedad puede ser facilmente medida tanto en la tierra como en elmar el problema es bastante realista. Un problema analogo surge en Geomagnetismo. Control Optimo dereflexiones.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 35 / 138

  • La ecuacion eikonalProblema de Backus. [Backus], [Heiskanen & Moritz], [G. Daz, J.I. Daz & J.Otero]

    Suponemos conocida la superficie de la Tierra (S = G), el Problema deBackus trata de la determinacion del potencial externo gravitatorio de laTierra a partir de medidas en la superficie del modulo del campogravitatorio. Denotando por u el potencial newtoniano de la Tierra y por g el modulode la fuerza de la gravedad el problema queda en la forma

    u = 0 en R3 \G,|u| = g en S ,u(x) 0 cuando |x | +.

    No se han considerados los efectos de la rotacion de la Tierra. Puestoque la gravedad puede ser facilmente medida tanto en la tierra como en elmar el problema es bastante realista. Un problema analogo surge en Geomagnetismo. Control Optimo dereflexiones.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 35 / 138

  • La ecuacion eikonalProblema de Backus. [Backus], [Heiskanen & Moritz], [G. Daz, J.I. Daz & J.Otero]

    Suponemos conocida la superficie de la Tierra (S = G), el Problema deBackus trata de la determinacion del potencial externo gravitatorio de laTierra a partir de medidas en la superficie del modulo del campogravitatorio. Denotando por u el potencial newtoniano de la Tierra y por g el modulode la fuerza de la gravedad el problema queda en la forma

    u = 0 en R3 \G,|u| = g en S ,u(x) 0 cuando |x | +.

    No se han considerados los efectos de la rotacion de la Tierra. Puestoque la gravedad puede ser facilmente medida tanto en la tierra como en elmar el problema es bastante realista. Un problema analogo surge en Geomagnetismo. Control Optimo dereflexiones.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 35 / 138

  • La ecuacion eikonalReferencias

    Backus, G.E. (1968). Application of a non-linear boundary-valueproblem for the Laplaces equation to gravity and geomagneticintensity surveys, Quart. J. Mech. Appl. Math. XXI, 195-221.

    Daz,G., Daz,J.I. and Otero,J. (2006). On an oblique boundary valueproblem related to the Backus problem in geodesy, Nonlinear Anal.Real World Appl. (7), 147166.

    Heiskanen, W.A. and Moritz, H. (1967). Physical Geodesy,W.H.Freeman and Co.

    Landau, L.D. y Lifschtiz, (1987). Teora Clasica de Campos, Vol. 2,Reverte.

    Robinson, E.A. and Clark, D. (2003). The eikonal equation and thesecret Pythagorean theorem, The Leanding Edge, 22 (8), 749750.

    Sethian, J.A. (1996). Level Set Methods, Cambridge Uniersity Press.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 36 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    Version simplificada de la ecuacion de NavierSokes de la Mecanica deFluidos

    ut + u,u inercia

    =

    presion 1

    p + 1

    f

    fuerzas exteriores

    +

    fuerzas interiores (viscosidad)u

    donde u es el campo de velocidades, es la densidad y p la presion en unfluido incompresible y homogeneo y Re = 1 es el numero de Reynolds .Para el caso escalar a presion constante

    vt + vvx = vxx (ec. Burgers viscosa)

    Introducida por A. R. Forsyth (1906), analizada con detalle por J. M.Burgers en 1940, (huersticamente), para una distribucion inicial que eraruido blanco.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 37 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    Version simplificada de la ecuacion de NavierSokes de la Mecanica deFluidos

    ut + u,u inercia

    =

    presion 1

    p + 1

    f

    fuerzas exteriores

    +

    fuerzas interiores (viscosidad)u

    donde u es el campo de velocidades, es la densidad y p la presion en unfluido incompresible y homogeneo y Re = 1 es el numero de Reynolds .Para el caso escalar a presion constante

    vt + vvx = vxx (ec. Burgers viscosa)

    Introducida por A. R. Forsyth (1906), analizada con detalle por J. M.Burgers en 1940, (huersticamente), para una distribucion inicial que eraruido blanco.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 37 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    Version simplificada de la ecuacion de NavierSokes de la Mecanica deFluidos

    ut + u,u inercia

    =

    presion 1

    p + 1

    f

    fuerzas exteriores

    +

    fuerzas interiores (viscosidad)u

    donde u es el campo de velocidades, es la densidad y p la presion en unfluido incompresible y homogeneo y Re = 1 es el numero de Reynolds .Para el caso escalar a presion constante

    vt + vvx = vxx (ec. Burgers viscosa)

    Introducida por A. R. Forsyth (1906), analizada con detalle por J. M.Burgers en 1940, (huersticamente), para una distribucion inicial que eraruido blanco.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 37 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    Version simplificada de la ecuacion de NavierSokes de la Mecanica deFluidos

    ut + u,u inercia

    =

    presion 1

    p + 1

    f

    fuerzas exteriores

    +

    fuerzas interiores (viscosidad)u

    donde u es el campo de velocidades, es la densidad y p la presion en unfluido incompresible y homogeneo y Re = 1 es el numero de Reynolds .Para el caso escalar a presion constante

    vt + vvx = vxx (ec. Burgers viscosa)

    Introducida por A. R. Forsyth (1906), analizada con detalle por J. M.Burgers en 1940, (huersticamente), para una distribucion inicial que eraruido blanco.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 37 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    Version simplificada de la ecuacion de NavierSokes de la Mecanica deFluidos

    ut + u,u inercia

    =

    presion 1

    p + 1

    f

    fuerzas exteriores

    +

    fuerzas interiores (viscosidad)u

    donde u es el campo de velocidades, es la densidad y p la presion en unfluido incompresible y homogeneo y Re = 1 es el numero de Reynolds .Para el caso escalar a presion constante

    vt + vvx = vxx (ec. Burgers viscosa)

    Introducida por A. R. Forsyth (1906), analizada con detalle por J. M.Burgers en 1940, (huersticamente), para una distribucion inicial que eraruido blanco.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 37 / 138

  • J.M. Burgers (19231981)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 38 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    ut + |ux |2 = uxxv=ux vt + (v

    2)x = vxx (ec. Burgers viscosa)

    El metodo de la viscosidad evanescente

    (ec.viscosas)

    ut + f (ux ) = u

    xx

    v=ux vt + (f (v

    ))x = vxx

    ( 0)

    ut + f (ux) = 0v=ux vt + (f (v))x = 0

    HamiltonJacobi ley de conservacion(ec. no viscosas)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 39 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    ut + |ux |2 = uxxv=ux vt + (v

    2)x = vxx (ec. Burgers viscosa)

    El metodo de la viscosidad evanescente

    (ec.viscosas)

    ut + f (ux ) = u

    xx

    v=ux vt + (f (v

    ))x = vxx

    ( 0)

    ut + f (ux) = 0v=ux vt + (f (v))x = 0

    HamiltonJacobi ley de conservacion(ec. no viscosas)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 39 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosLa ecuacion de Burgers

    ut + |ux |2 = uxxv=ux vt + (v

    2)x = vxx (ec. Burgers viscosa)

    El metodo de la viscosidad evanescente

    (ec.viscosas)

    ut + f (ux ) = u

    xx

    v=ux vt + (f (v

    ))x = vxx

    ( 0)

    ut + f (ux) = 0v=ux vt + (f (v))x = 0

    HamiltonJacobi ley de conservacion(ec. no viscosas)

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 40 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 40 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 40 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 40 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 40 / 138

  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Mecanica de Medios ContinuosMedios porosos. [Vazquez], [Zeldovich & Raizer]

    ut = div ku ecuacion de transmision del calor k = mum1 (m > 1) difusividad

    ut = um ecuacion de los medios porosos

    Modela flujo de un gas isentropico a traves de un medio poroso, radiacionde calor en plasma, biologa matematica, filtracion en aguas subterraneas,

    ut = um

    v =m

    m 1um1

    = vt = (m 1)vv + |v |2

    {

    {u = 0}vt = |v |2

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  • Medios continuosReferencias

    Burgers, J. M. (1974). The Nonlinear Diffusion Equations, Reidel.

    Ross,D.S. (1988). Evlutions of material boundaries under Ionbombardment, J.Electrochem. Soc., 135 (5), 12601266.

    Vazquez, J.L. (2006). The Porous Medium Equation. MathematicalTheory, Oxford Univ. Press.

    Zeldovich, Y. B. and Raizer, Y. P. (1966). Physics of Shock Wavesand High-Temperature Hydro- dynamic Phenomena II, AcademicPress.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 41 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobi

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 42 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 43 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Los trabajos de R.W. Hamilton

    W.R.Hamilton (18051865)

    En 1831 W.R. Hamilton

    trayectorias de las partculas en campos potenciales

    l analogacaminos de los rayos de luz en medios con ndice de refraccion que varan

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 44 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Los trabajos de R.W. Hamilton

    W.R.Hamilton (18051865)

    En 1831 W.R. Hamilton

    trayectorias de las partculas en campos potenciales

    l analogacaminos de los rayos de luz en medios con ndice de refraccion que varan

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 44 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Los trabajos de R.W. Hamilton

    W.R.Hamilton (18051865)

    En 1831 W.R. Hamilton

    trayectorias de las partculas en campos potenciales

    l analogacaminos de los rayos de luz en medios con ndice de refraccion que varan

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 44 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    Segunda Ley de Newton: El cambio de la cantidad de movimiento de uncuerpo es igual a la fuerza que actua sobre el

    ddt

    mr (t) =

    F =

    f externas+ 6

    f inerciales+ 6

    f electromagneticas +

    f ligadura

    con velocidades no excesivamente grandes.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 45 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    mr (t) =

    f (t,r (t),

    r (t)) Newton coordenadas

    En general

    sistema mecanico

    { r E3 posicionr E3 velocidad

    estado del sistema

    Para no depender de las coordenadas

    sistema mecanico

    { q En coordenadasq En velocidad

    estado generalizado

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 46 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    mr (t) =

    f (t,r (t),

    r (t)) Newton coordenadas

    En general

    sistema mecanico

    { r E3 posicionr E3 velocidad

    estado del sistema

    Para no depender de las coordenadas

    sistema mecanico

    { q En coordenadasq En velocidad

    estado generalizado

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 46 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    mr (t) =

    f (t,r (t),

    r (t)) Newton coordenadas

    En general

    sistema mecanico

    { r E3 posicionr E3 velocidad

    estado del sistema

    Para no depender de las coordenadas

    sistema mecanico

    { q En coordenadasq En velocidad

    estado generalizado

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 46 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Sistemas mecanicos

    mr (t) =

    f (t,r (t),

    r (t)) Newton coordenadas

    En general

    sistema mecanico

    { r E3 posicionr E3 velocidad

    estado del sistema

    Para no depender de las coordenadas

    sistema mecanico

    { q En coordenadasq En velocidad

    estado generalizado

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 46 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Configuraciones

    Espacio real (E3) Espacio de configuraciones (En)

    (r ,r )

    Estado real (E3 E3)(q ,

    q )Estado de cofiguraciones (En En)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 47 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Configuraciones

    Espacio real (E3) Espacio de configuraciones (En)

    (r ,r )

    Estado real (E3 E3)(q ,

    q )Estado de cofiguraciones (En En)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 47 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)

    Ese pensamiento no es nuevoLas desigualdades isoperimetricas en los griegos clasicos.

    Todo lo superfluo desagrada a Dios y a la naturaleza.Todo cuanto desagrada a Dios y a la naturaleza es malo.Dante Alighieri, hacia 1300.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 48 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)

    Ese pensamiento no es nuevoLas desigualdades isoperimetricas en los griegos clasicos.

    Todo lo superfluo desagrada a Dios y a la naturaleza.Todo cuanto desagrada a Dios y a la naturaleza es malo.Dante Alighieri, hacia 1300.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 48 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)

    Ese pensamiento no es nuevoLas desigualdades isoperimetricas en los griegos clasicos.

    Todo lo superfluo desagrada a Dios y a la naturaleza.Todo cuanto desagrada a Dios y a la naturaleza es malo.Dante Alighieri, hacia 1300.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 48 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)

    Ese pensamiento no es nuevoLas desigualdades isoperimetricas en los griegos clasicos.

    Todo lo superfluo desagrada a Dios y a la naturaleza.Todo cuanto desagrada a Dios y a la naturaleza es malo.Dante Alighieri, hacia 1300.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 48 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)

    Ese pensamiento no es nuevoLas desigualdades isoperimetricas en los griegos clasicos.

    Todo lo superfluo desagrada a Dios y a la naturaleza.Todo cuanto desagrada a Dios y a la naturaleza es malo.Dante Alighieri, hacia 1300.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 48 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)

    Ese pensamiento no es nuevoLas desigualdades isoperimetricas en los griegos clasicos.

    Todo lo superfluo desagrada a Dios y a la naturaleza.Todo cuanto desagrada a Dios y a la naturaleza es malo.Dante Alighieri, hacia 1300.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 48 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)Dos pioneros cercanos:

    Pierre de Fermat (16011665) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (16981759)

    Principio de Fermat (1657): el camino entre dos puntos que recorreun rayo de luz es aquel que requiere un tiempo mnimo.Principio de Maupertius (1744): en todo cambio que se produce en lanaturaleza, la cantidad de accion ha de ser la mnima posible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 49 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)Dos pioneros cercanos:

    Pierre de Fermat (16011665) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (16981759)

    Principio de Fermat (1657): el camino entre dos puntos que recorreun rayo de luz es aquel que requiere un tiempo mnimo.Principio de Maupertius (1744): en todo cambio que se produce en lanaturaleza, la cantidad de accion ha de ser la mnima posible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 49 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)Dos pioneros cercanos:

    Pierre de Fermat (16011665) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (16981759)

    Principio de Fermat (1657): el camino entre dos puntos que recorreun rayo de luz es aquel que requiere un tiempo mnimo.Principio de Maupertius (1744): en todo cambio que se produce en lanaturaleza, la cantidad de accion ha de ser la mnima posible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 49 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)Dos pioneros cercanos:

    Pierre de Fermat (16011665) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (16981759)

    Principio de Fermat (1657): el camino entre dos puntos que recorreun rayo de luz es aquel que requiere un tiempo mnimo.Principio de Maupertius (1744): en todo cambio que se produce en lanaturaleza, la cantidad de accion ha de ser la mnima posible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 49 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)Dos pioneros cercanos:

    Pierre de Fermat (16011665) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (16981759)

    Principio de Fermat (1657): el camino entre dos puntos que recorreun rayo de luz es aquel que requiere un tiempo mnimo.Principio de Maupertius (1744): en todo cambio que se produce en lanaturaleza, la cantidad de accion ha de ser la mnima posible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 49 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Principio de Hamilton

    Principio de mnima accion (Hamilton): las trayectorias entre dosinstantes, siguiendo una ley mecanica, no es arbitraria, optimiza algunaaccion (la naturaleza no da puntada sin hilo)Dos pioneros cercanos:

    Pierre de Fermat (16011665) Pierre Louis Moreau de Maupertuis (16981759)

    Principio de Fermat (1657): el camino entre dos puntos que recorreun rayo de luz es aquel que requiere un tiempo mnimo.Principio de Maupertius (1744): en todo cambio que se produce en lanaturaleza, la cantidad de accion ha de ser la mnima posible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 49 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Calculo de Variaciones

    Se trata de optimizar

    I[q ] = t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds accion

    donde L(t,q ,q ) es el Lagrangiano, dado por el sistema mecanico, es

    decir, se trata de encontrar la posicion generalizada cuya primeravariacion, I[q ], sea nula, con

    I[q ] .= t2

    t1

    L(s,q (s)+ q (s),q (s)+

    q )ds t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 50 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Calculo de Variaciones

    Se trata de optimizar

    I[q ] = t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds accion

    donde L(t,q ,q ) es el Lagrangiano, dado por el sistema mecanico, es

    decir, se trata de encontrar la posicion generalizada cuya primeravariacion, I[q ], sea nula, con

    I[q ] .= t2

    t1

    L(s,q (s)+ q (s),q (s)+

    q )ds t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 50 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Calculo de Variaciones

    Se trata de optimizar

    I[q ] = t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds accion

    donde L(t,q ,q ) es el Lagrangiano, dado por el sistema mecanico, es

    decir, se trata de encontrar la posicion generalizada cuya primeravariacion, I[q ], sea nula, con

    I[q ] .= t2

    t1

    L(s,q (s)+ q (s),q (s)+

    q )ds t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 50 / 138

  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Calculo de Variaciones

    Se trata de optimizar

    I[q ] = t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds accion

    donde L(t,q ,q ) es el Lagrangiano, dado por el sistema mecanico, es

    decir, se trata de encontrar la posicion generalizada cuya primeravariacion, I[q ], sea nula, con

    I[q ] .= t2

    t1

    L(s,q (s)+ q (s),q (s)+

    q )ds t2

    t1

    L(s,q (s),q (s))ds

    q (t1) = q (t2) = 0.

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  • Naturaleza de los problemas de HamiltonJacobiTeora de HamiltonJacobi. Calculo de Variaciones

    Se trata de encontrar la posicion generalizada con primera variacion nula,para

    q (t) = (t), R, C1p , (t1) = (t2) = 0.Entonces para q (t;) = q (t) + (t), |