Unit – I (Random Variables)

• Problems on Discrete & Continuous R.Vs

1) A random variable X has the following probability function: 

X  0  1  2  3  4  5  6  7 

P(X)  0  K  2K  2K  3K  K2 

2K2 

7K2 + K 

 

a) Find  K . 

b) Evaluate  (((( )))) (((( ))))6 , 6P X P X< ≥< ≥< ≥< ≥ . 

c) Find (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 , 3 , 1 5P X P X P X< > < << > < << > < << > < < . 

d) If  (((( )))) 12

P X C≥ >≥ >≥ >≥ > , find the minimum value of C . 

e) (((( ))))1.5 4.5 / 2P X X< < >< < >< < >< < >  

2) The probability function of an infinite discrete distribution is given by 

(((( )))) 1, 1,2,3...

2 jP X j j= = = ∞= = = ∞= = = ∞= = = ∞ .  Find the mean and variance of the distribution. 

Also find  (((( ))))X is evenP ,  (((( ))))5P X ≥≥≥≥ and  (((( ))))X is divisible by 3P . 

3) Suppose that X is a continuous random variable whose probability density function is 

given by (((( ))))24 2 , 0 2

( )0, otherwise

C x x xf x

− < <− < <− < <− < <====

 (a) find C  (b) find (((( ))))1P X >>>> . 

4) A continuous random variable X has the density function 

2( ) , 1

Kf x x

x= − ∞ < < ∞= − ∞ < < ∞= − ∞ < < ∞= − ∞ < < ∞

++++.  Find the value of  K ,the distribution function and 

(((( ))))0P X ≥≥≥≥ . 

Probability & Random Process

Problems

5) A random variable X has the p.d.f 2 , 0 1

( )0, otherwise

x xf x

< << << << <====

. Find (i) 12

P X >>>>

 (ii) 

1 32 4

P X < << << << <

 (iii)3 1

/4 2

P X X > >> >> >> >

 (iv) 3 1

/4 2

P X X < >< >< >< >

. 

6) If a random variable X has the p.d.f 

1, 2

( ) 40, otherwise

xf x

<<<<====

. Find (a)  (((( ))))1P X <<<<  

(b)  (((( ))))1P X >>>>  (c)  (((( ))))2 3 5P X + >+ >+ >+ >  

7) The amount of time, in hours that a computer functions before breaking down is a 

continuous random variable with probability density function given by 

100, 0( )0, 0

x

e xf xx

λλλλ−−−− ≥≥≥≥====

<<<<

. What is the probability that (a) a computer will function 

between 50 and 150 hrs. before breaking down (b) it will function less than 500 hrs. 

8) A random variable X has the probability density function 

, 0( )

0, otherwise

xxe xf x

λλλλ −−−− >>>>====

. Find  (((( )))) (((( )))), . . , 2 5 , 7c d f P X P Xλλλλ < < ≥< < ≥< < ≥< < ≥ . 

9) If the random variable X takes the values 1,2,3 and 4 such that 

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))2 1 3 2 3 5 4P X P X P X P X= = = = = = == = = = = = == = = = = = == = = = = = = . Find the probability 

distribution. 

10) The distribution function of a random variable X is given by 

(((( ))))( ) 1 1 ; 0xF x x e x−−−−= − + ≥= − + ≥= − + ≥= − + ≥ .  Find the density function, mean and variance of X. 

11) A continuous random variable X has the distribution function 

4

0, 1

( ) ( 1) , 1 3

0, 30

x

F x k x x

x

≤≤≤≤= − < ≤= − < ≤= − < ≤= − < ≤ >>>>

.  Find  k , probability density function  ( )f x , (((( ))))2P X <<<< . 

12) A test engineer discovered that the cumulative distribution function of the lifetime 

of an equipment in years is given by51 , 0( )

0, 0

x

e xF xx

−−−− − ≥− ≥− ≥− ≥==== <<<<

. 

i) What is the expected life time of the equipment? 

ii) What is the variance of the life time of the equipment? 

 

• Moments and Moment Generating Function

1) Find the moment generating function of R.V X whose probability function 

1( ) , 1,2, ...

2xP X x x= = == = == = == = = Hence find its mean and variance. 

2) The density function of random variable X is given by  ( ) (2 ), 0 2f x Kx x x= − ≤ ≤= − ≤ ≤= − ≤ ≤= − ≤ ≤ . 

Find K, mean, variance and rth moment. 

3) Let X be a R.V. with p.d.f31

, 0( ) 3

0, Otherwise

x

e xf x

−−−−>>>>====

. Find the following  

a) P(X > 3). 

b) Moment generating function of X. 

c) E(X) and Var(X). 

4) Find the MGF of a R.V. X having the density function, 0 2

( ) 20, otherwise

xx

f x ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤====

.  Using 

the generating function find the first four moments about the origin. 

5) Define Binomial distribution and find the M.G.F, Mean and Variance of the Binomial 

distribution. 

6) Define Poisson distribution and find the M.G.F, Mean and Variance of the Poisson 

distribution. 

7) Define Geometric distribution and find the M.G.F, Mean and Variance of the 

Geometric distribution. 

8) Write the pdf of Uniform distribution and find the M.G.F, Mean and Variance. 

9) Define Exponential distribution and find the M.G.F, Mean and Variance of the 

Exponential distribution. 

10) Define Gamma distribution and find the M.G.F, Mean and Variance of the Gamma 

distribution. 

11) Define Normal distribution and find the M.G.F, Mean and Variance of the Normal 

distribution. 

• Problems on distributions 

1) The mean of a Binomial distribution is 20 and standard deviation is 4.  Determine the 

parameters of the distribution. 

2) If  10%  of  the  screws  produced  by  an  automatic  machine  are  defective,  find  the 

probability that of 20 screws selected at random, there are (i) exactly two defectives 

(ii)  atmost  three  defectives  (iii)  atleast  two  defectives  and  (iv)  between  one  and 

three defectives (inclusive). 

3) In  a  certain  factory  furning  razar  blades  there  is  a  small  chance  of  1/500  for  any 

blade  to be defective. The blades are  in packets of 10. Use Poisson distribution  to 

calculate  the  approximate  number  of  packets  containing  (i)  no  defective  (ii)  one 

defective (iii) two defective blades respectively in a consignment of 10,000 packets. 

4) The  number  of monthly  breakdown  of  a  computer  is  a  random  variable  having  a 

Poisson  distribution  with  mean  equally  to  1.8.    Find  the  probability  that  this 

computer will function for a month  

a) Without a breakdown 

b) With only one breakdown and  

c) With atleast one breakdown. 

5) Prove that the Poisson distribution is a limiting case of binomial distribution. 

6) If the mgf of a random variable X is of the form 8(0.4 0.6)te ++++ , what is the mgf of  

3 2X ++++ . Evaluate  (((( ))))E X . 

7) A discrete R.V. X has moment generating function 

51 3

( )4 4

tXM t e

= += += += +

.  Find 

(((( ))))E X ,  (((( ))))Var X and  (((( ))))2P X ==== . 

8) If X is a binomially distributed R.V. with  ( ) 2E X ==== and 4

( )3

Var X ==== , find  [[[[ ]]]]5P X ==== . 

9) If X is a Poisson variate such that  [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]2 9 4 90 6P X P X P X= = = + == = = + == = = + == = = + = , find the 

mean and variance.  

10) The number of personal computer (PC) sold daily at a CompuWorld is uniformly 

distributed with a minimum of 2000 PC and a maximum of 5000 PC.  Find the 

following  

(i) The probability that daily sales will fall between 2,500 PC and 3,000 PC. (ii) What is the probability that the CompuWorld will sell at least 4,000 PC’s? 

(iii) What is the probability that the CompuWorld will exactly sell 2,500 PC’s? 

 

11) Suppose that a trainee soldier shoots a target in an independent fashion.  If the probability that the target is shot on any one shot is 0.8.  (i) What is the probability 

that the target would be hit on 6th attempt? (ii) What is the probability that it takes 

him less than 5 shots?  (iii) What is the probability that it takes him an even number 

of shots? 

12) A die is cast until 6 appears.  What is the probability that it must be cast more than 5 

times? 

13) The length of time (in minutes) that a certain lady speaks on the telephone is found 

to be random phenomenon, with a probability function specified by the function. 

5 , 0( )0, otherwise

x

Ae xf x

−−−− ≥≥≥≥====

.  (i) Find the value of A that makes f(x) a probability 

density function. (ii) What is the probability that the number of minutes that she will 

talk over the phone is (a) more than 10 minutes (b) less than 5 minutes and (c) 

between 5 and 10 minutes.  

14) If the number of kilometers that a car can run before its battery wears out is 

exponentially distributed with an average value of 10,000 km and if the owner 

desires to take a 5000 km trip, what is the probability that he will be able to 

complete his trip without having to replace the car battery?  Assume that the car has 

been used for same time.  

15) The mileage which car owners get with a certain kind of radial tyre is a random 

variable having an exponential distribution with mean 40,000 km. Find the 

probabilities that one of these tyres will last (i) atleast 20,000 km and (ii) atmost 

30,000 km. 

16) If a continuous random variable X follows uniform distribution in the interval  (((( ))))0,2  

and a continuous random variable Y follows exponential distribution with 

parameter αααα , find αααα  such that  (((( )))) (((( ))))1 1P X P Y< = << = << = << = < . 

17) If X is exponantially distributed with parameter λλλλ , find the value of  K there exists 

(((( ))))(((( ))))

P X ka

P X k

>>>>====

≤≤≤≤. 

18) State and prove memoryless property of Geometric distribution. 

19) State and prove memoryless property of Exponential distribution. 

20) The time required to repair a machine is exponentially distributed with parameter ½.  

What is the probability that the repair times exceeds 2 hours and also find what is 

the conditional probability that a repair takes at least 10 hours given that its 

duration exceeds 9 hours? 

21) The weekly wages of 1000 workmen are normall distributed around a mean of Rs. 70 

with a S.D. of Rs. 5. Estimate the number of workers whose weekly wages will be (i) 

between Rs. 69 and Rs. 72, (ii) less than Rs. 69 and (iii) more than Rs. 72. 

22) In a test on 2000 electric bulbs, it was found that the life of a particular make, was 

normally distributed with an average life of 2040 hours and S.D. of 60 hours. 

Estimate the number of bulbs lilkely to burn for (i) more than 2150 hours, (ii) less 

than 1950 hours and (iii) more than 1920 hours but less than 2160 hours. 

• Function of random variable 

1) Let X be a continuous random variable with p.d.f, 1 5

( ) 120, otherwise

xx

f x < << << << <====

, find the 

probability density function of 2X – 3. 

2) If X is a uniformly distributed RV in ,2 2π ππ ππ ππ π−−−−

, find the pdf of  tanY X==== . 

3) If X has an exponential distribution with parameter 1, find the pdf of Y X==== . 

4) If X is uniformly distributed in  (((( ))))1,1−−−− , find the pdf of  sin2X

Yππππ ====

. 

5) If the pdf of X is  ( ) , 0xf x e x−−−−= >= >= >= > , find the pdf of 2Y X==== . 

6) If X is uniformly distributed in (((( ))))0,1 find the pdf of 1

2 1Y

X====

++++. 

Unit – II (Two Dimensional Random Variables)

• Joint distributions – Marginal & Conditional

1)  The two dimensional random variable (X,Y) has the joint density function 

2( , ) , 0,1,2; 0,1,2

27x y

f x y x y++++= = == = == = == = = .  Find the marginal distribution of X and Y 

and the conditional distribution of Y given X = x.  Also find the conditional 

distribution of X given Y = 1. 

2) The joint probability mass function of (X,Y) is given by 

(((( ))))( , ) 2 3 , 0,1,2; 1,2,3P x y K x y x y= + = == + = == + = == + = = .  Find all the marginal and conditional 

probability distributions. Also find the probability distribution of  X Y++++ and 

(((( ))))3P X Y+ >+ >+ >+ > . 

3) If the joint pdf of a two dimensional random variable (X,Y) is given by 

(6 ) ,0 2, 2 4( , )

0 ,otherwise

K x y x yf x y

− − < < < <− − < < < <− − < < < <− − < < < <====

.  Find the following (i) the value of K; 

(ii)  (((( ))))1, 3P x y< << << << < ; (iii)  (((( ))))3P x y+ <+ <+ <+ < ; (iv)  (((( ))))1/ 3P x y< << << << <  

4) If the joint pdf of a two – dimensional random variable (X,Y) is given by 

2 ,0 1, 0 2( , ) 3

0 ,otherwise

xyx x y

f x y + < < < <+ < < < <+ < < < <+ < < < <====

.  Find (i) 12

P X >>>>

; (ii)  (((( ))))P Y X<<<< ; (iii) 

1 1/

2 2P Y X < << << << <

.   Check whether the conditional density functions are valid. 

5) The joint p.d.f of the random variable (X,Y) is given by 

(((( ))))2 2

( , ) , 0 ,x y

f x y Kxye x y− +− +− +− += < < ∞= < < ∞= < < ∞= < < ∞ . Find the value of  K and Prove that  X  and Y  

are independent. 

6) If the joint distribution function of  X  and Y is given by 

(((( )))) (((( ))))( , ) 1 1 , 0, 0x yF x y e e x y− −− −− −− −= − − > >= − − > >= − − > >= − − > >  and "0" otherwise .  (i) Are  X  and Y  

independent? (ii) Find  (((( ))))1 3, 1 2P X Y< < < << < < << < < << < < < . 

• Covariance, Correlation and Regression

1) Define correlation and explain varies type with example. 

2) Find the coefficient of correlation between industrial production and export using the following data: 

 

Production (X)  55  56  58  59  60  60  62 

Export (Y)  35  38  37  39  44  43  44 

 

3) Let X and Y be discrete random variables with probability function 

( , ) , 1,2,3; 1,221

x yf x y x y

++++= = == = == = == = = . Find (i)  (((( )))),Cov X Y (ii) Correlation co – 

efficient. 

4) Two random variables X and Y have the following joint probability density function.  

2 , 0 1, 0 1( , )

0, otherwise

x y x yf x y

− − ≤ ≤ ≤ ≤− − ≤ ≤ ≤ ≤− − ≤ ≤ ≤ ≤− − ≤ ≤ ≤ ≤====

.  Find  (((( ))))Var X ,  (((( ))))Var Y  and the 

covariance between X and Y. Also find Correlation between X and Y. ( ( , )X Yρρρρ ). 

5) Let X and Y be random variables having joint density function. 

(((( ))))2 23, 0 , 1

( , ) 20, otherwise

x y x yf x y

+ ≤ ≤+ ≤ ≤+ ≤ ≤+ ≤ ≤====

. Find the correlation coefficient ( , )X Yρρρρ . 

6) The independent variables X and Y have the probability density functions given by 

4 , 0 1( )

0, otherwiseX

ax xf x

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤====

 4 , 0 1

( )0, otherwiseY

by yf y

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤====

.  Find the correlation 

coefficient between  X and Y . 

 

(or) 

 

The independent variables X and Y have the probability density functions given by 

4 , 0 1( )

0, otherwiseX

ax xf x

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤====

 4 , 0 1

( )0, otherwiseY

by yf y

≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤====

.  Find the correlation 

coefficient between  X Y++++ and  X Y−−−− . 

7) Let X,Y and Z be uncorrelated random variables with zero means and standard 

deviations 5, 12 and 9 respectively.  If U X Y= += += += + and V Y Z= += += += + , find the 

correlation coefficient between U and V . 

8) If the independent random variables X and Y have the variances 36 and 16 

respectively, find the correlation coefficient between  X Y++++ and  X Y−−−− . 

9) From the data, find  

(i) The two regression equations. (ii) The coefficient of correlation between the marks in Economics and 

Statistics. 

(iii) The most likely marks in statistics when a mark in Economics is 30. 

 

Marks in Economics  25  28  35  32  31  36  29  38  34  32 

Marks in Statistics  43  46  49  41  36  32  31  30  33  39 

 

10) The two lines of regression are 8x – 10y + 66 = 0, 40x – 18y – 214 = 0.  The variance 

of X is 9.  Find (i) the mean values of X and Y (ii) correlation coefficient between X 

and Y  (iii) Variance of Y . 

11) The joint p.d.f of a two dimensional random variable is given by 

1( , ) ( ); 0 1, 0 2

3f x y x y x y= + ≤ ≤ ≤ ≤= + ≤ ≤ ≤ ≤= + ≤ ≤ ≤ ≤= + ≤ ≤ ≤ ≤ . Find the following 

(i) The correlation co – efficient.  

(ii) The equation of the two lines of regression (iii) The two regression curves for mean 

• Transformation of the random variables 

1) If X is a uniformly distributed RV in ,2 2π ππ ππ ππ π−−−−

, find the pdf of  tanY X==== . 

2) Let (X,Y) be a two – dimensional non – negative continuous random variables having 

the joint probability density function (((( ))))2 2

4 , 0, 0( , )0, elsewhere

x yxye x yf x y

− +− +− +− + ≥ ≥≥ ≥≥ ≥≥ ≥====

. Find the 

density function of 2 2U X Y= += += += + . 

3) X and Y be independent exponential R.Vs. with parameter 1.  Find the j.p.d.f of 

U X Y= += += += + andX

VX Y

====++++

. 

(Or) (The above problem may be ask as follows) 

       The waiting times X and Y of two customers entering a bank at different times are     

      assumed to be independent random variables with respective probability density   

     functions. , 0

( )0, otherwise

xe xf x

−−−− ≥≥≥≥====

and , 0

( )0, otherwise

ye yf y

−−−− ≥≥≥≥====

 

      Find the joined p.d.f of the sum of their waiting times, U X Y= += += += +  and the fraction of    

     this time that the first customer spreads waiting, i.e X

VX Y

====++++

.  Find the marginal   

     p.d.f’s of U and V and show that they are independent. 

 

(Or) 

If X and Y are independent random variable with pdf  , 0xe x−−−− ≥≥≥≥ and  , 0ye y−−−− ≥≥≥≥ , find the 

density function of X

UX Y

====++++

and V X Y= += += += + .  Are they independent? 

4) If X and Y are independent exponential random variables each with parameter 1, 

find the pdf of U = X – Y. 

5) Let X and Y be independent random variables both uniformly distributed on (0,1).  

Calculate the probability density of X + Y. 

6) Let X and Y are positive independent random variable with the identical probability 

density function ( ) , 0xf x e x−−−−= ≥= ≥= ≥= ≥ .  Find the joint probability density function of 

U X Y= += += += + andX

VY

==== .  Are U and V independent? 

7) If the joint probability density of X1and X2 is given by (((( ))))1 2

1 21 2

, 0, 0( , )

0, elsewhere

x xe x xf x x

− +− +− +− + > >> >> >> >====

, find the probability of  1

2 2

XY

X X====

++++. 

8) If X is any continuous R.V. having the p.d.f2 , 0 1

( )0, otherwise

x xf x

< << << << <====

, andXY e−−−−==== , find 

the p.d.f of the R.V. Y. 

9) If the joint p.d.f of the R.Vs X and Y is given by 2, 0 1

( , )0, otherwise

x yf x y

< < << < << < << < <====

find the 

p.d.f of the R.V. X

UY

==== . 

10) Let X be a continuous random variable with p.d.f, 1 5

( ) 120, otherwise

xx

f x < << << << <====

, find the 

probability density function of 2X – 3.  

• Central Limit Theorem 

1) If   1 2, , ... nX X X  are Poisson variables with parameter 2λλλλ ==== , use the Central Limit 

Theorem to estimate  (120 160)nP S< <  where  1 2 ...n nS X X X= + + +  and 

75n = . 

2) The resistors  1 2 3 4, , and r r r r  are independent random variables and is uniform in 

the interval (450 , 550).  Using the central limit theorem, find 

1 2 3 4(1900 2100)P r r r r≤ + + + ≤ . 

3) Let  1 2 100, ,...X X X  be independent identically distributed random variables with 

2µ =  and2 1

4σ = .  Find 1 2 100(192 ... 210)P X X X< + + + ≤ . 

4) Suppose that orders at a restaurant are iid random variables with mean  .8Rsµ =  

and standard deviation .2Rsσ = .  Estimate (i) the probability that first 100 

customers spend a total of more than Rs.840  (ii)  1 2 100(780 ... 820)P X X X< + + + ≤ . 

5) The life time of a certain brand of a Tube light may be considered as a random 

variable with mean 1200 h and standard deviation 250 h.  Find the probability, using 

central limit theorem, that the average life time of 60 light exceeds 1250 h. 

6) A random sample of size 100 is taken from a population whose mean is 60 and 

variance is 400.  Using Central limit theorem, with what probability can we assert 

that the mean of the sample will not differ from  60µ =  by more than 4. 

7) A distribution with unknown mean µ  has variance equal to 1.5.  Use central limit 

theorem to determine how large a sample should be taken from the distribution in 

order that the probability will be at least 0.95 that the sample mean will be within 

0.5 of the population mean.  

Unit – III (Classification of Random Processes)

• Verification of SSS and WSS process

1) Define the following: a) Markov process. 

b) Independent increment random process. 

c) Strict – sense stationary process. 

d) Second order stationary process. 

2) Classify the random process and give example to each.   

3) Let  cos( ) sin( )nX A n B nλ λλ λλ λλ λ= += += += + where  A and B are uncorrelated random variables 

with  (((( )))) (((( )))) 0E A E B= == == == = and (((( )))) (((( )))) 1Var A Var B= == == == = .  Show that  nX is covariance 

stationary. 

4) A stochastic process is described by  ( ) sin cosX t A t B t= += += += + where  A and B are 

independent random variables with zero means and equal standard deviations show 

that the process is stationary of the second order. 

5) If ( ) cos sinX t Y t Z tω ωω ωω ωω ω= += += += + , where Y and Z are two independent random variables 

with 2 2 2( ) ( ) 0, ( ) ( )E Y E Z E Y E Z σσσσ= = = == = = == = = == = = = and ωωωω is a constants.  Prove that 

{{{{ }}}}( )X t is a strict sense stationary process of order 2 (WSS).  

6) At the receiver of an AM radio, the received signal contains a cosine carrier signal at 

the carrier frequency  0ωωωω with a random phase θθθθ  that is uniformly distributed over 

(((( ))))0,2ππππ .  The received carrier signal is  (((( ))))0( ) cosX t A tω θω θω θω θ= += += += + .  Show that the 

process is second order stationary. 

7) The process {{{{ }}}}( ) :X t t T∈∈∈∈ whose probability distribution, under certain conditions, 

is given by (((( )))) (((( ))))1

1

( ), 1,2...

1( )

, 01

n

n

atn

atP X t nat

nat

−−−−

++++

====

++++= == == == = ==== ++++

.  Show that it is not stationary . 

 

• Ergodic Processes, Mean ergodic and Correlation ergodic

1) Consider the process  ( ) cos sinX t A t B tω ωω ωω ωω ω= += += += + where A andB are random variables 

with ( ) ( ) 0E A E B= == == == = and ( ) 0E AB ==== . Prove that {{{{ }}}}( )X t is mean ergodic. 

2) Prove that the random processes  (((( ))))( ) cosX t A tω θω θω θω θ= += += += + where  A  and ωωωω  are 

constants and θθθθ  is uniformly distributed random variable in  (((( ))))0,2ππππ  is correlation 

ergodic. 

3) Consider the random process {{{{ }}}}( )X t with (((( ))))2( ) cosX t A A t φφφφ= += += += + , whereφφφφ  is a 

uniformly distributed random variable in (((( )))),π ππ ππ ππ π−−−− . Prove that {{{{ }}}}( )X t is correlation 

ergodic. 

Note: The same problem they may ask by putting 10A ==== . 

4) Let {{{{ }}}}( )X t  be a WSS process with zero mean and auto correlation function 

( ) 1XXRT

ττττττττ = −= −= −= − , where T  is a constant. Find the mean and variance of the time 

average of {{{{ }}}}( )X t  over  (((( ))))0,T . Is {{{{ }}}}( )X t mean ergodic? 

Note: The same problem they may ask by putting 1T ==== . 

5) Given that the autocorrelation function for a stationary ergodic process with no 

periodic components is  2

4( ) 25

1 6XXR ττττττττ

= += += += +++++

. Find the mean and variance of the 

process {{{{ }}}}( )X t . 

• Problems on Markov Chain

6) Consider a Markov chain{{{{ }}}}; 1nX n ≥≥≥≥ with state space  {{{{ }}}}1,2S ==== and one – step 

transition probability matrix0.9 0.1

0.2 0.8P

====

. 

i) Is chain irreducible? 

ii) Find the mean recurrence time of states ‘1’ and ‘2’. 

iii) Find the invariant probabilities. 

 

7) A raining process is considered as two state Markov chain.  If it rains, it is considered 

to be state 0 and if it does not rain, the chain is in state 1.  The transitions probability 

of  the Markov  chain  is  defined as0.6 0.4

0.2 0.8P

====

.    Find  the probability  that  it will 

rain for 3 days.  Assume the initial probabilities of state 0 and state 1 as 0.4 and 0.6 

respectively. 

8) A person owning a  scooter has  the option  to  switch over  to  scooter, bike or a car next time with the probability of (0.3, 0.5, 0.2).  If the transition probability matrix is 

0.4 0.3 0.3

0.2 0.5 0.3

0.25 0.25 0.5

.    What  are  the  probabilities  vehicles  related  to  his  fourth 

purchase? 

9) Assume  that  a  computer  system  is  in  any  one  of  the  three  states:  busy,  idle  and 

under repair respectively denoted by 0, 1, 2. Observing  its state at 2 pm each day, 

we  get  the  transition  probability matrix  as

0.6 0.2 0.2

0.1 0.8 0.1

0.6 0 0.4

P

====

.    Find  out  the  3rd 

step transition probability matrix.  Determine the limiting probabilities. 

10) Two boys  1B  and  2B  and two girls  1G  and  2G  are throwing a ball from one to the 

other. Each boys throws the ball to the other boy with probability 1/2 and to each 

girl with  probability  1/4. On  the  other  hand  each  girl  throws  the  ball  to  each  boy 

with probability 1/2 and never to the other girl. In the long run, how often does each 

receive the ball? 

11) A  housewife  buys  3  kinds  of  cereals  A,  B,  C.  She  never  buys  the  same  cereal  in 

successive weeks. If she buys cereal A, the next week she buys cereal B. However if 

she buys B or C the next week she is 3 times as likely to buy A as the other cereal. 

How often she buys each of the 3 cereals? 

12) Three boys A, B, C are throwing a ball each other. A always throws the ball to B and B always throws the ball to C, but C is just as likely to throw the ball to B as to A. Find 

the transition matrix and classify the states. 

13) The transition probability matrix of a Markov chain {{{{ }}}} 1,2,3...n nX

====having 3 states 1, 2 

and 3 is 

0.1 0.5 0.4

0.6 0.2 0.2

0.3 0.4 0.3

P

====

and the initial distribution is (((( ))))(0) 0.7,0.2,0.1P ==== .  Find 

(((( ))))2 3P X ==== and (((( ))))3 2 1 02, 3, 3, 2P X X X X= = = == = = == = = == = = = . 

14) The tpm of a Markov chain with three states 0, 1, 2 is 

3 / 4 1 / 4 0

1 / 4 1 / 2 1 / 4

0 3 / 4 1 / 4

P

====

and 

the initial state distribution of the chain is  (((( ))))0 1 / 3, 0,1,2P X i i= = == = == = == = = .  Find (i) 

(((( ))))2 2P X ==== and  (ii)  (((( ))))3 2 1 01, 2, 1, 2P X X X X= = = == = = == = = == = = = . 

 

• Poisson process 

1) Define Poisson process and obtain its probability distribution. 2) Prove that the Poisson process is Covariance stationary. 3) Show that the sum of two independent Poisson process is a Poisson process. 

4) Suppose that customers arrive at a bank according to a Poisson process with a mean 

rate of 3 per minute; find the probability that during a time interval of 2 mins. 

(i) Exactly 4 customers arrive and  

(ii) More than 4 customers arrive. 

5) If customers arrive at a counter  in accordance with a Poisson process with a mean 

rate of  3 per minute,  find  the probability  that  the  interval  between 2  consecutive 

arrivals is  

(i) more than 1 minute 

(ii) between 1 minute and 2 minutes 

(iii) 4 minutes or less 

6) A radar emits particles at the rate of 5 per minute according to Poisson distribution. 

Each particles emitted has probability 0.6. Find the probability that 10 particles are 

emitted in a 4 minutes period. 

7) Queries presented in a computer data base are following a Poisson process of rate 

6λλλλ ====  queries per minute.  An experiment consists of monitoring the data base for  

m  minutes and recording  ( )N m  the number of queries presented 

i) What is the probability that no queries in a one minute interval? 

ii) What is the probability that exactly 6 queries arriving in one minute 

interval? 

iii) What is the probability of less than 3 queries arriving in a half minute 

interval? 

• Normal (Gaussian) & Random telegraph Process 

1) Let {{{{ }}}}( )X t is a Gaussian random process with  {{{{ }}}}( ) 10X tµµµµ ==== and 

1 2

1 2( , ) 16 t tXXC t t e− −− −− −− −==== . Find the probability that (i)  (10) 8X ≤≤≤≤  (ii)  (10) (6) 4X X− ≤− ≤− ≤− ≤ . 

2) Prove  that  a  random  telegraph  signal  process  ( ) ( )Y t X tαααα====   is  a  wide  sense 

stationary  process  when  αααα   is  a  random  variable  which  is  independent  of ( )X t , 

assume values  1−−−−  and  1++++ with equal probability and 1 22 ( )1 2( , ) t t

XXR t t e λλλλ− −− −− −− −==== . 

Unit – IV (Correlation and Spectral densities)

Section – I

1) Determine the mean and variance of process given that the auto correlation 

function (((( )))) 2

425

1 6XXR ττττττττ

= += += += +++++

. 

2) A stationary random process has an auto correlation function and is given by 

(((( ))))2

2

25 366.25 4XXR

ττττττττττττ

++++====++++

. Find the mean and variance of the process. 

3) If {{{{ }}}}( )X t and {{{{ }}}}( )Y t  are two random processes then 

( ) (0) (0)XY XX YYR R Rττττ ≤≤≤≤ where  ( )XXR ττττ  and  ( )YYR ττττ are their respective auto 

correlation function. 

4) If {{{{ }}}}( )X t and {{{{ }}}}( )Y t  are two random processes then 

1( ) (0) (0)

2XY XX YYR R Rττττ ≤ +≤ +≤ +≤ + where  ( )XXR ττττ  and  ( )YYR ττττ are their respective auto 

correlation function. 

Section – II 

5) State and Prove Wiener – Khinchine theorem. 

6) The auto correlation of a stationary random process is given by 

( ) , 0bXXR ae bττττττττ −−−−= >= >= >= > . Find the spectral density function. 

7) The auto correlation of the random binary transmission is given by 

1 , ( )

0, XX

for TR T

for T

ττττττττττττ

ττττ

− ≤− ≤− ≤− ≤====

>>>>

 . Find the power spectrum. 

Note: By putting T = 1, the above problem can be ask1 , 1

( )0, 1XX

forR

for

τ ττ ττ ττ τττττ

ττττ − ≤− ≤− ≤− ≤====

>>>>. 

8) Show that the power spectrum of the auto correlation function  1e ατατατατ α τα τα τα τ−−−− −−−− is 

(((( ))))3

22 2

4ααααα ωα ωα ωα ω++++

. 

9) Find the power spectral density of a WSS process with auto correlation function 2

( ) , 0XXR e αταταταττ ατ ατ ατ α−−−−= >= >= >= > . 

10) Find the power spectral density of the random process, if its auto correlation 

function is given by ( ) cosXXR e α τα τα τα ττ βττ βττ βττ βτ−−−−==== . 

11) Find the power spectral density function whose auto correlation function is given by 2

0( ) cos( )2XX

AR τ ω ττ ω ττ ω ττ ω τ==== . 

Section – III 

12) If the power spectral density of a WSS process is given by 

(((( )))) , ( )

0, XX

ba a

aSa

ω ωω ωω ωω ωωωωω

ωωωω

− ≤− ≤− ≤− ≤==== >>>>

, find the auto correlation function of the process. 

13) The power spectral density of a zero mean WSS process {{{{ }}}}( )X t is given by 

1, ( )

0, elsewhereXX

aS

ωωωωωωωω

<<<<====

. Find ( )XXR ττττ and show that  ( )X t and  X taππππ ++++

are 

uncorrelated. 

14) Find the autocorrelation function of the process {{{{ }}}}( )X t , for which the spectral 

density is given by

21 , 1( )

0, 1S

ω ωω ωω ωω ωωωωω

ωωωω

+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤==== >>>>

. 

15) The cross – power spectrum of real random processes {{{{ }}}}( )X t and {{{{ }}}}( )Y t is given by 

, 1( )

0, elsewhereXY

a jbS

ω ωω ωω ωω ωωωωω

+ <+ <+ <+ <====

. Find the cross – correlation function. 

Section – IV 

16) If  ( ) ( ) ( )Y t X t a X t a= + − −= + − −= + − −= + − − ,prove that 

( ) 2 ( ) ( 2 ) ( 2 )YY XX XX XXR R R a R t aτ τ ττ τ ττ τ ττ τ τ= − + − −= − + − −= − + − −= − + − − Hence prove that 

2( ) 4sin ( ) ( )YY XXS a Sω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω==== . 

17) {{{{ }}}}( )X t and {{{{ }}}}( )Y t are zero mean and stochastically independent random process 

having autocorrelation function  ( )XXR e ττττττττ −−−−==== ,  ( ) cos 2YYR τ πττ πττ πττ πτ====  respectively. Find 

(i) the auto correlation function of  ( ) ( ) ( )W t X t Y t= += += += +  and  ( ) ( ) ( )Z t X t Y t= −= −= −= −         

(ii) The cross correlation function of  ( )W t  and  ( )Z t . 

18) If {{{{ }}}}( )X t and {{{{ }}}}( )Y t are independent with zero means. Find the auto correlation 

function of {{{{ }}}}( )Z t where  ( ) ( ) ( )Z t a bX t cY t= + += + += + += + + . 

19) If  (((( ))))( ) 3cosX t tω θω θω θω θ= += += += +  and  ( ) 2cos2

Y t tππππω θω θω θω θ = + −= + −= + −= + −

are two random processes 

where θθθθ  is a random variable uniformly distributed in  (((( ))))0,2ππππ . Prove that 

(((( )))) (((( )))) (((( ))))0 0XX YY XYR R R ττττ≥≥≥≥ . 

20) Two random process {{{{ }}}}( )X t and {{{{ }}}}( )Y t are given by  (((( ))))( ) cosX t A tω θω θω θω θ= += += += + ; 

(((( ))))( ) sinY t A tω θω θω θω θ= += += += +  where  A  and ωωωω  are constants and " "θθθθ  is a uniform random 

variable over 0  to 2ππππ . Find the cross – correlation function. 

21) If {{{{ }}}}( )X t is a process with mean  ( ) 3tηηηη ====  and auto correlation 

(((( )))) 0.2, 9 4XXR t t e ττττττττ −−−−+ = ++ = ++ = ++ = + . Determine the mean, variance of the random variable 

(5)Z X====  and  (8)W X==== . 

Unit – V (Linear systems with Random inputs) 1) Prove that if the input  ( )X t is WSS then the output ( )Y t is also WSS. 

2) If  ( )X t is the input voltage to a circuit and  ( )Y t is the output voltage, {{{{ }}}}( )X t is a 

stationary random process with  0xµµµµ ==== and2( )XXR e ττττττττ −−−−==== . Find yµµµµ , ( )XXS ωωωω and 

( )YYS ωωωω , if the system function is given by1

( )2

Hi

ωωωωωωωω

====++++

. 

3) If {{{{ }}}}( )X t is a band limited process such that  ( ) 0, XXS ω ω σω ω σω ω σω ω σ= >= >= >= > , prove that 

2 22 (0) ( ) (0)XX XX XXR R Rτ σ ττ σ ττ σ ττ σ τ− ≤− ≤− ≤− ≤ . 

4) Let {{{{ }}}}( )X t be a random process which is given as input to a system with the system 

transfer function  0 0( ) 1, H ω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ωω ω ω ω= − < <= − < <= − < <= − < < . If the autocorrelation function of the 

input process is  0 . ( )2

N δ τδ τδ τδ τ , find the auto correlation of the output process. 

5) If  (((( ))))0( ) cos ( )Y t A t N tω θω θω θω θ= + += + += + += + + where  A is a constant, θθθθ is a random variable with a 

uniform distribution in  (((( )))),π ππ ππ ππ π−−−−  and {{{{ }}}}( )N t is a band limited Gaussian white noise 

with a power spectral density  0( )2NN

NS ωωωω ====  for  0 Bω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω− <− <− <− <  and 

( ) 0NNS ωωωω ==== ,elsewhere. Find the power spectral density of  ( )Y t , assuming that 

( )N t and θθθθ  are independent. 

6) Consider a white Gaussian noise of zero mean and power spectral density  0

2N

 

applied to a low pass RC filter whose transfer function is1

( )1 2

H fi fRCππππ

====++++

. Find 

the autocorrelation function of the output random process. 

7) A WSS random process  ( )X t with auto correlation  ( )XXR Ae α τα τα τα τττττ −−−−====  where  A and αααα  

are real positive constants, is applied to the input of an linear time invariant (LTI) 

system with impulse response  ( ) ( )bth t e u t−−−−==== where b is a real positive constant. 

Find the auto correlation of the output  ( )Y t of the system. 

8) An linear time invariant (LIT) system has an impulse response  ( ) ( )th t e u tββββ−−−−==== . Find 

the output auto correlation function  ( )YYR ττττ  corresponding to an input  ( )X t .