probabilitats. problemes i més problemes ( text editable )

Download Probabilitats. Problemes i Més Problemes ( Text Editable )

If you can't read please download the document

Post on 14-Sep-2015

43 views

Category:

Documents

18 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Libro Problemas Probabiliddad

TRANSCRIPT

  • l/) w ~ W --l cc o o:::: 0-l/) 'W

    ~ -

    l/)

    ~ PROBABI LlfA:rS: --l cc

    ~ PROBLEMES l/)

    ~ I MS PR

  • PROBABILITATS: PROBLEMES

    I MS PROBLEMES

    Olga Juli de Ferran David Marquez-Carreras

    Carles Rovira Escofet Mnica Sarr Rovira

    Publicacions i Edicions

    ~ UNIVERSITAT I)E BARCELONA .,

  • UNIVERSITAT DE BARCELONA. Dades catalogrfiques

    Probabilitats: problemes i ms problemes

    Bibliografia ISBN 84-475-2906-1

    I. Juli de Ferran, Olga 11. Ttol I. Probabilitats 2. Problemes i exercicis

    PUBLICACIONS I EDICIONS DE LA UNIVERSITAT DE BARCELONA, 2005 Adolf F1orensa, s/n; 08028 Barcelona; Tel. 934035 442; Fax 934035 446; lcuenca@ub.edu; http://www.publicacions.ub.es

    Impressi: Graficas Rey, S.L.

    Dipsit legal: B-I 67 14-2005

    ISBN: 84-475-2906-1

    Imprs a Espaa 1 Printed in Spain

    Aquesta publicac, ha comptat amb l'ajut de la Generalitat de Catalunya.

    Queda rigorosament prohibida la reproducci total o parcial d'aquesta obra. Cap part d'aquesta publicaci, incls el disseny de la coberta, pot ser reproduda, emmagatzemada, transmesa o utilitzada per cap tipus de mitj o sistema, sense l'autoritzaci prvia per escrit de l'editor.

  • ,

    Index

    1 Introducci

    2 Probabilitats 2.1 Espais de probabilitat ...... .

    2.1.1 Esdeveniments o successos. 2.1.2 Definici de probabilitat .. 2.1.3 Espais de probabilitats finits 2.1.4 Propietats de la probabilitat

    2.2 Probabilitat condicionada . . 2.3 Esdeveniments independents. 2.4 Frmula de Bayes 2.5 Problemes..... .... 2.6 Problemes amb indicaci.

    2.6.1 Indicacions ....

    3 Variables aleatries unidimensionals 3.1 Variable aleatria . . . . . . . 3.2 Llei i funci de distribuci ..... . 3.3 Tipus de variables aleatries. . . . . 3.4 Transformacions de variables aleatries. 3.5 Esperana matemtica . . . . . 3.6 Variables aleatries ms usuals 3.7 Problemes......... 3.8 Prohlemes amb indicaci.

    3.8.1 Indicacions

    4 Vectors aleatoris 4.1 Funcions de distribuci conjunta i marginals. 4.2 Independncia............... 4.3 Vectors aleatoris discrets ........ . 4.4 Vectors aleatoris absolutament continus 4.5 Transformaci de vectors aleatoris

    3

    5

    7 7 7 8 9 9

    10 11 11 12 42 46

    55 55 56 57 58 59 61 63

    108 111

    121 121 122 123 124 125

  • 4

    4.6 Moments 125 4.7 Vectors aleatoris ms usuals 127 4.8 Suma de distribucions 128 4.9 Problemes. 128 4.10 Problemes amb indicaci . 182

    4.10.1 Indicacions 186

    5 Successions de variables aleatries 195 5.1 Lemes de Borel-Cantelli 195 5.2 Convergncies de variables aleatries 196

    5.2.1 Convergncia quasi segura . 196 5.2.2 Convergncia en probabilitat 197 5.2.3 Convergncia en LP o mitjana d'ordre p 198 5.2.4 Convergncia en llei 198

    5.3 Relacions entre les convergncies 199 5.4 Llei forta dels grans nombres 200 5.5 Teorema del lmit central 201 5.6 Problemes. 201 5.7 Problemes amb indicaci . 236

    5.7.1 Indicacions 240

    6 Apndix 251 6.1 Combinatria 251 6.2 Llista de smbols 254

  • Captol 1

    Introducci

    La teoria de la probabilitat s possiblement una de les rees de la matemtica amb un desenvolupament ms intens des de la segona meitat del segle Xx. Aix es deu a diverses raons: d'una banda, la probabilitat forma el cos metodolgic bsic necessari per a l'estadstica i, d'altra banda, les seves aplicacions sn molt diverses i en camps de gran actualitat com les finances o la gentica. Per tant, la probabilitat ha esdevingut una de les rees ms rellevants de la matemtica i una part fonamental del seu estudi, aix com tamb d'altres com la informtica o enginyeries superiors.

    L'objectiu d'aquest llibre s omplir un buit dins el mn editorial en el camp de les probabilitats. Els estudiants universitaris que cursen assignatures que tracten probabilitats a un nivell elemental, poden trobar fcilment un bon grapat de llibres per consultar, tant terics com prctics. En canvi, quan una assignatura no t aquest carcter tan bsic, l'estudiant no disposa d'aquesta oferta: malgrat que pot trobar fora llibres de consulta terics, hi ha una manca bastant gran de referncies dedicades a la resoluci de problemes. El llibre que teniu a les mans vol solucionar aquesta mancana.

    Aquest s, per tant, un llibre de problemes de probabilitats resolts destinat a estudiants d'un primer cicle d'enginyeries o de llicenciatures en matemtiques o estadstica.

    El llibre tracta els temes fonamentals de les probabilitats com sn els espais de probabilitat, les probabilitats condicionades, les variables i els vectors aleatoris, els moments, les successions de variables aleatries i les seves convergncies i els teoremes lmit. Hem agrupat aquests temes en quatre captols que hem titulat com segueix: probabilitats, variables aleatries unidimensionals, vectors aleatoris i successions de variables aleatries.

    Cadascun d'aquests captols consta de tres parts ben diferenciades. A la primera, per tal d'ajudar a la comprensi dels problemes i facilitar la feina dels lectors, hem incls un resum dels aspectes terics ms destacats &"lsociats al tema,

    5

  • 6 CAPTOL 1. INTRODUCCI

    obviant les demostracions dels resultats enunciats. Si el lector est interessat en un estudi ms exhaustiu d'aquests aspectes terics o en la demostraci dels resultats presentats, li recomanem la consulta d'algun dels llibres citats a la bibliografia. A la segona part del captol es plantegen entre vint-i-cinc i trenta-cinc problemes i se'n dna la resoluci detallada, fent tots els passos per comprendre'ls. Finalment, en l'ltima secci es proposen els enunciats de deu a vint problemes, esmentant desprs unes indicacions per solucionar-los.

    Voldrem destacar la diferncia entre els problemes resolts i els indicats. La resoluci dels problemes resolts est pensada per ensenyar com s'han d'aplicar les diverses tcniques del clcul probabilstic, intentant presentar el raonament abstracte i lgic que s necessari per resoldre qualsevol problema matemtic. Es-tarem particularment contents, a ms, si el lector hi troba tamb el plus d'in-tuci o imaginaci que cal per posar-se davant d'un problema matemtic i que hem intentat reflectir a la nostra presentaci. Els problemes indicats estan menys desenvolupats i es proposen ms aviat com un complement per tal que l'alumne pugui practicar i comprovar el seu nivell.

    Esperem, per tant, que aquest llibre sigui d'utilitat al lector, i que l'ajudi en la comprensi de les probabilitats.

  • Captol 2

    Probabilitats

    En aquest captol, el nostre objecte d'estudi sn els anomenats experiments aleatoris, aquells experiments que tenen diferents resultats possibles i pels quals no podem saber quin es produir.

    2.1 Espais de probabilitat El primer pas per definir un espai de probabilitat s considerar el conjunt dels resultats possibles de cada experiment, conjunt que anomenarem espai mostral.

    L'espai mostral n es defineix com el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment aleatori.

    L'espai mostral pot ser de molts tipus, no ha de ser sempre numric i tant pot ser finit com infinit.

    Associat a tot experiment aleatori tenim una famlia :F de subconjunts de n, que anomenarem esdeveniments o successos, i que t estructura de a-lgebra, s a dir,

    n E:F,

    si A E :F, aleshores AC E :F,

    si {Ai, i 2 I} :F, aleshores U:1 Ai E :F. Observeu que si en la darrera condici canviem les unions numerables per

    unions finites, obtenim l'estructura d'lgebra.

    2.1.1 Esdeveniments o successos Alguns casos particulars:

    7

  • 8 CAPTOL 2. PROBABILITATS

    el succs segur, s el format per tots els resultats possibles, s a dir, el mateix n.

    el succs impossible s el que no es dna mai, s a dir, 0. els successos elementals sn aquells formats per un nic element de n.

    Donats dos esdeveniments A i B podem definir diverses operacions i relacions entre ells:

    l'esdeveniment format per tots els resultats de A i tots els resultats de B (incloent els que estan a A i B alhora) s'anomena A uni B i s'escriu com AUB,

    l'esdeveniment format pels resultats de A i B alhora s'anomena A inter-secci B i s'escriu com A n B,

    l'esdeveniment format pels resultats que no sn de A s'anomena comple-mentari de A i s'escriu com AC.

    Tenim tamb les definicions segents:

    dos esdeveniments A i B sn disjunts si no tenen resultats en com, s a dir, si A n B = 0,

    si tot resultat de B tamb s un resultat de A es diu que B est incls en A i s'escriu B A.

    2.1.2 Definici de probabilitat La definici axiomtica segent d'espai de probabilitat la va donar Kolmogorov l'any 1933.

    Definici 2.1.1 Un espai de probabilitat s una terna (n,F, P) tal q71e: n s el conjut de res71ltats possibles o espai mostral, F s la famlia d'esdeveniments amb estmct71ra de er-lgebra i P s 71na aplicaci

    de manera q71e

    p(n) = 1,

    P: F -------+ [0,1] A -------+ P(A)

    si {A;,i:::: I} F, tals que Ai n Aj = 0 per a tot i # j, aleshores

    p (;Q Ai) = ~ P( Ai) (er - additivitat).

  • 2.1. ESPAIS DE PROBABILITAT 9

    2.1.3 Espais de probabilitats finits Quan l'espai mostral s finit, 1 = {Wl,W2, ... ,wd, parlarem d'espai de proba-bilitat finit. En aquests casos considerem com a a--lgebra :F la formada per tots els subconjunts de 1, denotada per P(1).

    En aquest cas una probabilitat P queda definida assignant a cada resultat Wi una probabilitat Pi, o dit d'una altra manera, P(Wi) = Pi, 1

  • 10 CAPTOL 2. PROBABILITATS

    En particular, per a A, B E F disjunts, aleshores P(A U B) = P(A) + P(B).

    3. Si A E F, aleshores P(AC) = 1 - P(A). 4. Monotonia: si A, B E F, amb A e B aleshores

    P(A) 0, l'aplicaci PB: F --)