1

Probabilità

2

•obiettivi•dare all’alunno, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio, la consapevolezza che anche l’ambito del fortuito può essere analizzato razionalmente;

•  far valutare quantitativamente la probabilità di un evento secondo la definizione classica di probabilità come rapporto;

•  far acquisire la capacità di operare con semplici proposizioni di calcolo e risolvere problemi con eventi aleatori composti;

 

•-  studiare, con strumenti probabilistici alcuni problemi delle scienze sperimentali (ereditarietà, fattore Rh);

 

3

obiettivi

• avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi numeri, facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che eventi casuali, al crescere del numero delle prove, seguono una “ crescente regolarità”

• recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concetti matematici: frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni, calcolo letterale, logica.

4

Contenuti

Probabilità di eventi semplici Probabilità di eventi composti Applicazione della Probabilità alla genetica 

5

Metodo

Si è scelto di non presentare definizioni, assiomi e teoremi, ma di far ricavare le proprietà della probabilità attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su schede.

 La presentazione propone varie situazioni legate a giochi di fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete):  

6

metodo

si chiederà di congetturare il risultato, di indovinare l’esito delle prove aleatorie

e poi si passerà al tentativo di spiegazione, mediante il ragionamento volto a chiarire perché certe cose accadono “più facilmente” di altre

Si è preferito occuparci di probabilità in giochi di fortuna invece che in situazioni più legate alla vita reale, le situazioni reali sono troppo complesse

7

metodo

Non si inizia parlando di eventi certi, impossibili, probabili, come in alcuni libri di testo Neppure considerando le frequenze di un evento su di un certo numero di prove  

ma il metodo seguito è quello di far scoprire dagli alunni le proprietà della probabilità a partire da esempi opportuni.

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Probabilità di eventi semplici

Si cerca di far comprendere che nel caso che gli eventi elementari siano un numero finito N e tutti ugualmente possibili: 

ogni evento elementare ha probabilità 1/N

se un evento A è costituito da m eventi elementari la sua probabilità è m/N

 

9

Proprietà della probabilità:•P(AB)= P(A)+P(B) se AB=

•Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma della loro probabilità.

•P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB)

•Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma della loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione.

•P()=0•Probabilità dell’evento impossibile.• 

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Probabilità dell’evento certo

P()=1Probabilità dell’evento certo.

P(CA)=1- P(A)La probabilità dell’evento A e quello dell’evento contrario (non A) danno somma 1. Dove A, B indicano eventi, indica l’evento certo, l’evento impossibile e CA l’evento contrario di A.  

11

URNEConsidera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella 1°urna ci sono una pallina bianca e una nera, nella 2°urna una bianca e nove nere.

Prima urna Seconda urna

12

Vinci un premio

Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da una delle due urne.

Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell’estrazione.1) In quale urna ti conviene pescare?2) E se le urne fossero così composte?In quale pescheresti?

Prima urna Seconda urna

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Scheda 1. Per rispondere alla prima domanda notiamo che con nessuna delle due urne la vincita è sicura, con nessuna è impossibile, è tuttavia ovvio scegliere la prima urna, perché entrambe le urne contengono 1 pallina bianca, ma la seconda contiene molte più nere della prima

Per rispondere alla seconda domanda notiamo che l’uscita della biglia vincente non è sicura, è chiaramente incerta, ma è più facile estrarre la bianca dalla seconda urna: cominciamo a dire che sebbene incerta in entrambi i casi, l’estrazione della bianca è più probabile dalla seconda urna che dalla prima. Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa di probabilità.

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Scheda tre

Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda precedente è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di perdere:Considera, ora, la seguente situazione

1B2N

2B5N

1°urna 2°urna1)In quale urna pescheresti?Scegli e completa una di queste risposte:a) Pesco nella prima perché.........b) Pesco nella seconda perché.........

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Scheda 3

Nelle risposte alle domande della prima scheda l’intuizione suggerisce le corrette risposte, mentre nella scheda tre il confronto non è così immediato

• è richiesto il confronto tra due rapporti,

 

•non è più così intuitivo

 

• nella scheda tre deve essere calcolato il rapporto

16

misura

Si giunge all’idea di misurare o meglio di esprimere quantitativamente la probabilità dell’estrazione mediante un rapporto tra le palline bianche e il totale delle biglie.

Si ha così un valore numerico che ci consentirà di paragonare facilmente la probabilità di eventi diversi non immediatamente confrontabili tra loro

17

Definizione di probabilità di un evento

Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili;  si richiede il numero dei casi possibili sia finito

gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili  

18

definizioneIl rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili è la “misura” della possibilità che si verifichi un certo evento. La probabilità viene introdotta come misura definita in un insieme. I sottoinsiemi di questo vengono detti eventi;  gli elementi dell’insieme vengono detti eventi elementari.

La definizione nasce in un ambiente teorico, anche se legato ad oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato opportuno ricorrere a situazioni sperimentali, anche se in molti testi di scuola media inferiore questo è un punto di partenza per lo studio della probabilità.  

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Problemi didatticipuò succedere, che rispondendo alle domande di queste prime schede, gli alunni possano essere indotti a considerare il rapporto tra le palline bianche e quelle nere, invece di costruire un rapporto tra le palline bianche (o nere) e il totale delle palline. Si può, attraverso una discussione in classe con gli alunni, fare presente che per convenzione la frazione, che si utilizza per misurare la probabilità, ha come denominatore il totale delle palline dell’urna, e che la frazione così costruita è più opportuna perché in questo modo si evita di poter avere lo zero a denominatore o frazioni improprie. (Se, nell’introduzione della probabilità, dovesse apparire poco opportuno far sorgere questo problema, esso può essere evitato presentando altri esempi.)

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Esempio

ci sono due insiemi di buste :

nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un premio,

nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenenti un premio.

Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio in quale pescheresti?

(Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel lancio di un dado.)

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Scheda sei

Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso per interrogare un ragazzo.

Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i numeri corrispondenti sul registro di classe agli alunni presenti.

1) Qual è la probabilità che tu sia interrogato?2) Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il cui

cognome inizia con la lettera....? E con la lettera...?3) E’ più facile che sia interrogato un maschio o una femmina?4) Supponi che in una delle prossime lezioni l’insegnante usi

ancora lo stesso modo di interrogare.Se quel giorno sei presente a scuola la probabilità che tu sia

interrogato sarà ancora uguale a quella di oggi o potrà cambiare? Giustifica la tua risposta.

22

Scheda 6

si vuole far scoprire P()=0.  La domanda 4 si propone di far osservare che la probabilità di uno stesso evento può cambiare se si modifica l’esperimento.  Con questa scheda e con gli esercizi si vuole arrivare a far comprendere che la probabilità di un evento è un numero tale che 0p1, e si cerca di chiarire il significato della parola “evento”.

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Esercizi

1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità di estrarre:

a) il fante di cuorib) un fantec) una figura2) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come

probabilità di un evento il numero 4/3.Ti sembra un risultato possibile?3) In un’urna ci sono 5 palline nere. Quante palline bianche devi

aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/7? E perché sia 2/3?

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Scheda 8

la situazione viene rappresentata con un grafo ad albero, dove alla fine di ciascun ramo è scritto l’evento considerato lungo ogni ramo si deve leggere la probabilità dell’evento corrispondente.

La somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve essere uguale a uno. Per la probabilità dell’unione di eventi viene presentata prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.  

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Grafo ad albero In un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse,

2 nere e 1 verde. Come puoi facilmente verificare la probabilità di estrarre una palina bianca è 2/5.Rappresentiamo la situazione con il seguente schema che si chiama”grafo ad albero:

Bianca Rossa Nera Verde

2/5 …. …. ….

Completa il grafo mettendo al posto dei puntini le probabilità .

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Lancio di un dado

Un dado ha tre facce rosse, due blu e una bianca.

Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu?

Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.

27

scheda 9

fa scoprire “la regola della somma “ nel caso di eventi disgiunti.

28

Scheda nove

A una lotteria si vendono 150 biglietti.Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi 15. Nessun altro nella

loro famiglia ha acquistato biglietti.1) Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio? P(G)=2) Qual è la probabilità che lo vinca Luigi? P(L)=3) Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro

famiglia?(Scrivi il calcolo) P(F)=4) Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati ottenuti

rispondendo alle domande precedenti:

P(G)+P(L)=P(F)

29

Scheda dieci

In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all’arancia, 5 al miele.

1) Qual è la probabilità di estrarre:a) Una caramella alla ciliegia;b) Una caramella alla arancia;c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)?2) Rappresenta la situazione completando il seguente grafo ad

albero:

.... ... .....

C A M

Osserva che la somma delle probabilità dei primi due rami è uguale al numero ottenuto rispondendo alla domanda1 c

30

Somma la probabilità di tutti i rami del grafo

a) Quale numero ottieni?

b) Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità?

c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla definizione di probabilità? Perché?

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scheda 10

si arriva al concetto di eventi incompatibili e si vuole anche far riflettere sull’uso di “o” nel senso latino “vel” e dell’unione fra insiemi. Se indichiamo con C, l’evento “uscita di una caramella alla ciliegia”, con A, l’evento “uscita di una caramella alla arancia”,  calcolare l’evento “uscita di una caramella alla frutta”, cioè alla ciliegia o alla arancia,  la probabilità è P( CA)=P(C)+P(A)=7/12 Con il gruppo di domande al punto 3 si vuole far scoprire che la probabilità dell’evento certo è 1 (cioè P()=1).  

 

32

Riflettere su eventi compatibili o non

si possono richiamare, con opportune domande e presentando esempi, le operazioni di unione e di intersezione tra insiemi e riprendere in considerazione i connettivi logici “o” e “e”.

33

Scheda undici

Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle

Evento

Elenco

dei casi favorevoli

Numero

dei casi favorevoli Probabilità

Uscita di un n°<3

Uscita del n°1

Uscita del n°2 2 P1=2/6=1/3

Uscita di un n°>4 P2 =

Uscita di un n°<3 o >4 P3 =

Verifica che:

P3 = P1+P2

34

Verifica che P6 P4 +P5

Evento

Elenco

dei casi favorevoli

Numero

dei casi favorevoli Probabilità

Uscita di un numero primo

Uscita del n°2

Uscita del n°3

Uscita del n°5

3 P4=3/6=1/2

Uscita di un n°>3 P5 =

Uscita di un numero primo

o >3P6=

Sai spiegare perché, in questo caso, non si possono sommare P4 e P5 ?

35

Scheda 11

Si formula la regola della probabilità dell’unione di eventi sia nel caso in cui siano disgiunti, sia nel caso più generale.  A: uscita di un numero <3 B: uscita di un numero >4 AB: uscita di un numero <3 o >4  Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita del 6, quindi: P(B)=2/6=1/3

36

P(AB)

Gli eventi elementari di AB sono: uscita del numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha: P(AB)= 4/6=2/3=1/3+1/3

37

P6P4+P5

A: uscita di un numero primo  B: uscita di un numero >3 AB: uscita di un numero primo o >3 Gli eventi elementari di A sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, quindi si ha: P(A)= 3/6=1/2

38

P(B)

Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha: P(B)= 3/6=1/2 Gli eventi elementari di uscita AB sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6, quindi si ha:

P(AB)=5/61/2+1/2l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei casi di A che nei casi di B  i casi AB non possono essere la somma dei rispettivi casi, l’evento “uscita del numero 5” va contato solo una volta.

 

39

Queste considerazioni hanno validità generale:

se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o più eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel conteggio dei casi di AB occorre fare attenzione a contare una volta sola gli eventi in comune.  Eventi elementari di AB= eventi elementari di A + eventi elementari di B  eventi elementari AB. In termini di Probabilità

P(AB)= P(A)+ P(B) - P(AB).

         

40

Scheda dodici

Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato P(F) cioè la probabilità dell’evento”vincita della famiglia 1/60.

Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi in quella famiglia cioè la probabilità dell’evento contrario.

Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la differenza1-P(F)

1) In un’urna ci sono 20 palline, alcune sono bianche, altre rosse e 4 nere.

La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35.a) Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad ogni

ramo la probabilità di ciascun eventob) Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera.

41

Scheda 12

Si giunge al concetto della probabilità dell’evento complementare.    Se si prendono in considerazione due eventi che sono “uno il contrario dell’altro” cioè due eventi che sono uno complementare dell’altro,   le loro probabilità hanno somma 1.  

42

Probabilità dell’evento complementare

Se indichiamo con A un evento e con CA il suo complementare si scrive allora:    P(A)+P(CA)=1 da cui P(CA)= 1 - P(A)

43

Esercizi

1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la probabilità di estrarre:

a) una carta di fiori;b) una figura;c) una carta di fiori o una figura;d) una carta di fiori o di cuori.2) E’ stato accertato che in una confezione di 1.500 viti, 4 sono

difettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso questa non sia difettosa?

44

Esercizi3) Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto).

Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto:a) il n°12; b) un n°dispari; c ) un n° primo o un n° pari; e) un

n°multiplo contemporaneamente di 2 e di 73) Hai a disposizione due urne: nella prima sono contenute 12

palline bianche e 8 nere, nella seconda 15 palline bianche. Quante palline nere devi aggiungere come minimo nella seconda urna perché sia più probabile estrarre una pallina nera dalla seconda urna piuttosto che dalla prima?

45

Probabilità eventi casuali composti

Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari che possono verificarsi contemporaneamente.   due eventi A e B si dicono indipendenti se

P(AB)=P(A)P(B) P(AB)P(A/B)=_______=P(A) P(B)    

46

Lancio di due dadi

Consideriamo il lancio di due dadi, le cui facce sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi possibili?

Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo n°si riferisce all’esito del primo dado e il secondo n° si riferisce all’esito del secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata)

47

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2°dado

1°dado

Casi possibili

48

Somme

gli esiti possibili nel gioco sono 36: la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36.

 Supponiamo di sommare , ad ogni lancio, i punteggi dei due dadi;

utilizziamo una tabella a doppia entrata;

in ogni casella scriviamo la somma dei punteggi rispettivi:  

49

7 8 9 10 11 12

6 7 8 9 10 11

5 6 7 8 9 10

4 5 6 7 8 9

3 4 5 6 7 8

2 3 4 5 6 7

2° dado

1° dado

Tabella

50

Commento

E’ chiaro che gli esiti non sono equiprobabili

Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi ”equidistanti “dalla diagonale disegnata:

P(2) =P(12)=1/36

P(3) =P(11) =2/36=1/18

Infine P(7) )=6/36=1/6

51

Scheda sedici prima estrazione

In un’urna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si estrae a caso una pallina e poi, senza rimetterla dentro, se ne estrae una seconda.Rappresentiamo con un grafo la prima estrazione

..... .......

R N

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Seconda estrazione

Nella seconda estrazione bisogna distinguere due casi, a seconda che nella prima sia uscita una pallina rossa o nera, in quanto nell’urna c’è una pallina in meno.Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo:

5/8 3/8 R N

4/7 3/7

R NRR RN

... ...R N NR NN 1) Completa il grafo 2)Calcola la probabilità di RN;NR;NN.

3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno una pallina rossa

53

scheda 16. Prima estrazione 

Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la prima estrazione si hanno due possibilità  uscita di una pallina rossa con probabilità 5/8 uscita di una pallina nera con probabilità 3/8.  

54

Seconda estrazione

Alla seconda estrazione occorre distinguere due casi  perché la situazione è diversa in relazione al fatto che si sia pescata una pallina rossa o nera (nella prima estrazione). I quattro eventi elementari possibili sono: RR, RN, NR, NN.  

55

Se si vuole calcolare la probabilità

dell’evento elementare RR si può ragionare così:se la prima pallina estratta è rossa con probabilità 5/8, cioè

nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda pallina rossa con probabilità 4/7, quindi avere due palline rosse significa averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi ,con probabilità:

4 5— — 7 8Si utilizza il concetto di frazione di frazione, che si traduce

nella moltiplicazione delle due frazioni. Si procede analogamente anche per calcolare la probabilità

degli altri eventi elementari P(RN),P(NR),P(N,N) 

56

Reimbussolamento ?

Nell’esempio appena visto si parla di estrazione “senza reimbussolamento” perché la pallina una volta estratta non viene messa nell’urna.Si può pensare di rimettere la pallina estratta nell’urna e in questo caso l’estrazione si dice “con reimbussolamento”.

57

La soluzione di un problemaviene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani, le probabilità di ciascun evento sono scritte accanto a ciascun ramo del grafo:  si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul grafo in termini di eventi, così che nelle varie situazioni, i ragazzi si rendono conto quale percorso o quali percorsi devono considerare per calcolare la probabilità di un evento richiesto.Con una rappresentazione precisa e completa si pensa che si possa meglio evidenziare che la probabilità che si ottiene alla fine di ogni percorso è il prodotto della probabilità degli eventi di ogni ramo.  

 

58

La strategia di soluzione

La strategia di soluzione che si è individuata, che si può dire di moltiplicazione “lungo i rami”, è molto efficace perché consente di affrontare situazioni anche abbastanza complicate è chiaro che il momento più importante della soluzione di un problema diventa la schematizzazione della situazione con un corretto grafo ad albero e questo non è sempre così immediato..

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Esercizi

• Sto giocando a tombola :nella mia cartella manca solo il numero 75 e i numeri ancora da estrarre sono 24. Con che probabilità faccio tombola entro le prossime due estrazioni?

• Nel gioco della tombola qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 15 e il secondo 43?

60

Esercizi

1) a) Come nel gioco del lotto da un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque senza reimbussolamento.

Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti dispari?b) Calcola ora la probabilità di ottenere 5 teste in 5 lanci successivi di

una monetac) Senza svolgere i calcoli avresti potuto prevedere quale dei due

eventi è più probabile?2) Due ragazzi giocano a “pari o dispari” con le dita di una mano( nel

gioco è escluso lo zero)Conviene puntare sul “pari” o sul “dispari”?3) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di cui 3 sono scariche.a) Se prendo a caso una penna qual è la probabilità che scriva? E quale

che non scriva?b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la probabilità che la seconda

scriva?

61

Esercizi

In un gioco di fortuna un concorrente deve scegliere una casella da un tabellone di 12 caselle così composto:

1 casella copre il primo premio di un viaggio a Venezia, 4 caselle coprono il premio di un televisore, 7 caselle non coprono nessun premio.

1) Con una sola possibilità di scelta calcola la probabilità:a) di vincere un viaggio a Veneziab) di vincere un premio2) Con due possibilità di scelta calcola la probabilitàa) di non vincere b) di vincere sia il viaggio a Venezia sia il televisorec) di vincere almeno il viaggio a Venezia

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Esercizi

Due amici, Alfredo e Bruno, insieme ad altri 8 ragazzi decidono di giocare a “guardia e ladri”e per decidere chi sarà ”guardia”e chi sarà “ladro”si affidano alla sorte. Sapendo che ci devono essere 3 “guardie” e 7 “ladri”qual è la probabilità che:

a) Alfredo sia una “guardia”b) Alfredo e Bruno siano entrambi “guardie”c) Alfredo e Bruno giochino insieme, cioè siano entrambi

“guardie” o entrambi “ladri”d) Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una “guardia”

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Esercizi

a) Sparando ad un bersaglio ho probabilità 20% di colpirlo. Se sparo due volte qual è la probabilità di colpirlo almeno una volta? Indichiamo con:C= colpito; nC= non colpito;  P(“colpire almeno una volta”)=P(“colpire entrambe le volte” o “colpire la prima volta e non la seconda” o “colpire la seconda e non la prima”=P(CC)+P(CnC)+P(nCC) = 0,20,2+0,20,8+0,80,2=0,36 

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Osservazioni

1)Osserviamo che l’evento” colpire almeno una volta” è complementare di “non colpire né la prima né la seconda volta”, quindi la sua probabilità si può più rapidamente trovare come segue: P(colpire almeno una volta)=1-P(nCnC)=1-0,64=0,36

2) Un’altra osservazione che si può fare è la seguente:nell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” è compreso il risultato che si vuole ottenere con “avere successo in entrambe le volte ”oppure “ colpire la prima volta e non la seconda”.   

65

Osservazioninell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” è compreso il risultato che si vuole ottenere con “avere successo in entrambe le volte ”oppure “ colpire la prima volta e non la seconda”. Si può quindi limitare a disegnare solo una parte del grafo. P(colpire almeno una volta)=P(C)+P(nCC)=0,2+0,2 0,8=0,36 

66

Osservazioni

 3)Un’altra osservazione che si può fare è che, in questo esercizio e in altri in cui viene data la frequenza di un evento,  non è più applicabile la definizione di probabilità data come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili,  ma la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in una visione soggettivista oppure frequentista.  Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il problema di una generalizzazione della definizione di probabilità: allora si può far notare che per probabilità si intende una qualunque funzione che soddisfi le proprietà che si sono viste all’inizio. 

67

Al ristorante

a) In un ristorante la probabilità che un cuoco bruci l’arrosto è 0,02,

la probabilità che dimentichi di salare la pasta è 0,1e quella che sali troppo è anch’essa 0,1.

Qual è la probabilità che il pranzo preparato dal cuoco riesca bene ( supponendo che non possa fare altri errori)? 

68

Schematizzazione

La schematizzazione di tale problema può risultare più difficilein quanto mentre per l’arrosto ci sono solo due possibilità, cioè che bruci (B) oppure che riesca (R),  per l’acqua della pasta ci sono tre possibilità  e cioè che sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata (TS). La probabilità che l’acqua non sia salata è 0,1 e che sia troppo salata è 0,1, quindi che sia giusta è 0,8. Si può schematizzare la situazione con un grafo in cui sono disegnati solo i rami che interessano.

69

Un giudice

c) Un giudice consegna a un condannato 2 palline bianche e 2 nere che egli dovrà collocare in due urne scegliendo tra queste quattro possibilità:    1) una bianca da sola e tutte le altre nell’altra urna;  2) una nera da sola e tutte le altre nell’altra urna; 3) le due bianche in un’urna e le due nere nell’altra;  4) una bianca e una nera in ciascun urna.  Il giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed estrarrà da essa una pallina. Se questa risulterà bianca il condannato sarà graziato.

Qual è la disposizione più favorevole per ottenere la grazia?

1/21/2

1°urna 2° urna

70

Generalizzare 1

Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le disposizioni sono molte di più.Qual è la più favorevole per ottenere la grazia? Risolvendo il problema, si vede che la strategia più conveniente è:  mettere una biglia bianca in un’urna e tutte le nere con le rimanenti bianche nell’altra.   

71

Generalizzare 2

Questo problema può essere stimolante in quanto non è un problema di routine da incasellare in una regola e può essere considerato un problema “di strategia”. In casi di questo tipo davanti a una situazione problematica di incertezza si cerca un comportamento che almeno ottimizzi la probabilità di successo. Si possono, se è il caso, calcolare la probabilità dell’evento favorevole al

variare di n. Si ottiene per n=3, cioè 3 palline bianche e altrettante palline nere, la situazione più favorevole è salvezza con:

Probabilità = ½ +1/5 =7/10Per n=4 è: Salvezza con

Probabilità= ½+3/14=10/14=5/7   

72

Generalizzare 3

 

Nel caso generale (n qualsiasi) questa strategia conduce alla probabilità di avere salva la vita:

½+1/2(n-1)/)(2n-1)=1/2 (3n-2)/(2n-1) Se si vogliono riportare i calcoli su una tabella si vede che al crescere di n, la probabilità p tende al limite ¾=0,75 

73

tabella

N P

1 0,5

2 0,66...

3 0,7

4 0,714

5 0,722

N P

6 0,727

7 0,731

8 0,733

9 0,735

10 0,737

74

tabella

N P

50 0,747

100 0,748

1000 0,749

75

Quadrato

Si consideri il quadrato di lato 1Qual è la probabilità che scegliendo un punto a caso, questo sia nella zona colorata ?

76

Considerazioni

Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel caso dello sparo o del cuoco) riferiti alla definizione di probabilità come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, la quale richiede che il numero di casi possibili sia finito e che gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili. In questo esempio gli eventi possibili sono rappresentati da tutti i punti del quadrato; quelli favorevoli da tutti i punti della zona colorata:  si tratta in entrambi i casi di un numero infinito di punti e venendo a mancare la prima richiesta non è più possibile utilizzare la stessa definizione.   

.

77

Definizione

Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un rapporto tra aree, quella della zona “favorevole” e quella della zona “possibile”.L’area del quarto di cerchio=/4L’area del quadrato è 1

La probabilità richiesta=/4/1 cioè /4Inoltre in questo esempio si fa osservare che mentre sino ad ora la probabilità di un evento era un numero dell’insieme dei numeri razionali, nell’esempio presentato si ottiene /4, un numero irrazionale.  

 

78

Definizione generale

Questo esempio permette di dedurre che in generale  la probabilità di un evento è un numero reale compreso fra zero e uno. 

79

Applicazione della Probabilità alla Genetica

80

Scheda 20

Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni trasmessi da ciascun genitore.

Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi in due forme diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, A, a.Per esempio prendiamo il carattere”colore degli occhi” e indichiamo con “A” il gene responsabile del colore scuro e con “a” il gene responsabile del colore chiaro.

Ciascun genitore trasmette un gene con probabilità 1/2. Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo “a” non manifesti il proprio carattere in presenza di “A”,coloro che possiedono

i due geni AA e Aa hanno occhi scuri,quelli con la coppia aa hanno occhi chiari.

  . 

81

Tabelle

A a

a Aa aa

a Aa aa

Aa

aa

A a

A

a

Aa

Aa

Completa le due tabelle e indica i caratteri che possono avere i figli

A A

a

aaa

AA

82

Grafo ad albero

½ 1/2

A a½ 1/2

a a

Aa Aa

½ 1/2

a aaa aa

padre

madre

Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la trasmissione “colore degli occhi”può essere rappresentata anche così. Gli eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa, la probabilità per ciascun evento elementare di 1/21/2=1/4probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri probabilità 1/2 occhi chiari.

83

Domanda

Riferendoti al terzo esempio della scheda precedente ( genitori : Aa, Aa), in una famiglia di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri e 1 con occhi chiari?

L’ultima domanda della scheda ha l’obbiettivo di far riflettere ancora sul fatto, che il verificarsi di ciascun evento è incerto, ma è possibile misurarne l’incertezza.

84

Scheda 22In una popolazione si conosce la frequenza del gene A che è dell’80% e del gene a, che è del 20%.Gli individui AA, Aa, aa si presentano in percentuali diverse, che possono essere rappresentate con il seguente grafo:

0.8 0,2 1°gene A a

A a A a

AA Aa Aa aa

Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi nella popolazione?

O,8 0,2 0,8 0,2 2° gene

85

Percentuali dei tre diversi tipi

. gli eventi elementari possibili sono: AA, Aa, Aa, aa  probabilità di ciascuno degli eventi elementari:

P(AA)=P(A)P(A)=0,80,8=0,64=64%  P(Aa) =P(aA)= 0,20,8=0,16 =16%

P(aa)= 0,20,2=0,04=4%.

 

86

Rappresentazione in tabella

La situazione presentata con il grafo può essere illustrata anche nel seguente modo: 0,8 0,2

Aa aa

AA Aa

0,2

0,8

0,8 0,2

0,2

0,8

Che cosa rappresentano le aree delle quattro regioni in cui è suddiviso il quadrato?

87

 RiflessioniLe frequenze dei geni si possono interpretare come misure di aree di opportune regioni, si ha un quadrato di lato 0,8+0,2 suddiviso in cinque parti:

ciascuna superficie rappresenta ciascun evento elementare possibile:

q la frequenza del gene A

p quella del gene “a”

AA=q2 Aa=2pq aa=p2

(q+p)2= q2 + 2pq + p2=1 (q+p)2=1

88

Scheda 23

L’assenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad un gene recessivo a, la cui frequenza, nella nostra popolazione, è circa del 40%.Gli individui con i due geni recessivi aa si dicono Rh-, gli altri Rh+.1) Calcola la percentuale degli individui Rh+e Rh- aiutandoti con un grafo.2) Supponiamo che in una particolare popolazione la percentuale degli individui Rh-(aa) sia del 9%.Calcola la frequenza del gene recessivo a utilizzando il seguente disegno: 0,09

aa

3) Aiutandoti con il quadrato calcola la frequenza del gene A e le percentuali degli individui AA e Aa

89

Riflessioni

la frequenza degli individui (aa) è del 9%.

quale è la frequenza del gene “a” (recessivo) ?  Se 0,09 è area di un quadrato,0,09 è la misura del suo lato e corrisponde alla frequenza del gene “a”. la frequenza di A=1-a

90

Esercizi

1) Alcuni individui non sentono l’amaro di una sostanza chimica che si chiama feniltiocarbammide. Questo è dovuto ad un gene recessivo la cui frequenza, nelle nostra popolazione, è 0,6.

Calcola la percentuale di individui che hanno questo carattere e di individui che ne sono portatori.

2) Un particolare modo di arrotolare la lingua è dovuto a un gene recessivo a. Sapendo che in una popolazione gli individui che non hanno questa caratteristica sono il 49%, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a, del gene A e degli individui Aa, AA.

91

Scheda 24

Nella scheda 23 hai trovato che gli individui Rh+ sono l’84% della nostra popolazione e gli individui AA sono il 36%.

1) Tra gli Rh+ qual è la percentuale degli individui AA?

Il risultato ottenuto è la probabilità che scegliendo a caso un individuo, tra gli Rh+ della nostra popolazione, questi risulti AA.

2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un individuo tra gli Rh+ questo risulti Aa.

92

Padre Rh+ madre Rh-

Consideriamo il caso che da un padre Rh+ e da una madre Rh- nasca un figlio. Dato che il gene trasmesso dalla madre, che è Rh- , è sicuramente a, la situazione del figlio è determinata solo dal gene del padre, ed è diversa a seconda che il padre sia AA oppure Aa.

Il padre è AA il padre è Aa

Trasmette trasmette trasmette A A aCalcola la probabilità che il figlio sia Rh+ completando il grafo

93

Esercizi

3) L’albinismo è dovuto a un gene recessivo aa. Sapendo che in una popolazione gli individui albini sono 1 su 10.000, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a e degli individui portatori di albinismo.

4) Consideriamo il caso che da un padre albino e da una madre non albina nasca un figlio. Utilizzando i risultati dell’esercizio 3 e procedendo come suggerito dalla scheda precedente, calcola la probabilità che il figlio sia albino

94

Esercizi

5) In una popolazione la frequenza del gene recessivo a è del 30%. Calcola:a) la frequenza del gene dominante Ab) la percentuale degli omozigoti AAc) la percentuale degli omozigoti aad) la percentuale degli eterozigoti Aa

6) Un gene recessivo a responsabile di una malattia ha, in una determinata popolazione, la frequenza del 30%.

Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale degli individui sani e quella degli individui malati.

Supponiamo che in un’altra popolazione la percentuale degli individui malati, e quindi omozigoti per il carattere aa, sia del 4%. Calcola :

a) la frequenza del gene recessivo ab) la frequenza del gene dominante Ac) la percentuale degli omozigoti AAd) la percentuale degli eterozigoti.

95

Esercizi

7)L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un gene recessivo a, che non si manifesta quando il gene recessivo a è accompagnato dal gene dominante A ( si parla in questo caso di portatore sano).

a) Nella popolazione di un paese, costituita da 5.000 persone, il 4% è ammalato: quante sono le persone ammalate?

Da due genitoridi tipo (A;A),(A;a) può nascere un figlio ammalato? Perché?Con quale probabilità può nascere un portatore sano?b) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due genitori (A;a), e

calcola la probabilità che nasca:• Un figlio ammalato• Un figlio portatore sano• Un figlio sano

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Esercizi

8) Considera le famiglie che hanno due figli, dì se è più probabile che i due figli siano entrambi femmine, oppure che siano di sessi diversi.9) Immagina che in una certa popolazione, la probabilità di avere un figlio maschio sia più piccola di quella di avere una figlia femmina, e cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60 per la femmina.Calcola ora, con questi dati, la probabilità che una famiglia con due figli li abbia di sesso diverso.a) Pensa di far variare la probabilità di avere un figlio maschio, e disegna un grafico riportando sull’asse x alcuni valori di questa probabilità, e sull’asse y i corrispondenti valori della probabilità di avere due figli di sesso diverso.

97

Commento

b) Prova a scoprire per quale valore di x si ottiene il massimo valore di y, e rifletti sul valore trovato.E’ questa la situazione che si verifica in natura?c) Osserva, che per un dato valore di x, il corrispondente valore di y è uguale al doppio dell’area di un rettangolo di lati x e (1-x).In base alle considerazioni che hai svolto prima, sai dire quale, fra i rettangoli che hanno un perimetro fissato ha area massima?

98

Legge dei grandi numeri

Bibliografia

•Angela Pesci- Maria Reggiani- L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate.-Statistica e Probabilità .Collana di formazione professionale n°4. Pag.85-90

• Nucleo di Ricerca didattica di Pavia. Schede di Calcolo delle Probabilità per la scuola media inferiore

99

Prove ripetute

Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte volte, ad esempio,10.000 volte, quante volte ci aspettiamo di avere testa?

L’intuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza relativa dell’evento considerato (cioè il rapporto tra il numero di uscita testa e il numero dei lanci) si avvicini alla probabilità, cioè un mezzo.

E’ corretto attendersi questo? E’ corretto attendersi che la frequenza, dopo un numero elevato di prove sia esattamente un mezzo? Cosa significa dire che la frequenza “si avvicina” ad un mezzo?

100

Scheda 26

Un amico ti propone di lanciare 100 volte una moneta e di scommettere su uno dei due seguenti eventi:

A: Escono 50 Teste e 50 CrociB: Il numero di Teste è diverso dal numero di Croci.

Su quale scommetteresti?

Questa domanda è stata posta per avviare il lavoro che segue:arriveremo ad enunciare uno dei risultati fondamentali del

calcolo della probabilità, noto col nome “legge dei grandi numeri”.

101

Scheda 27

1) Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta e calcola la probabilità di ottenere:

a) nessuna Testab) una volta Testac) due volte Testa

2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale, le probabilità calcolate in precedenza:

Nessuna 1 Testa 2 TestaTesta

102

Scheda 28

1) Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il grafico relativo.

2) Calcola la probabilità che escaa) TTTb)TCTc) 2 volte T3) Come hai fatto precedentemente scrivi la probabilità in

forma decimale

0 T 1 T 2 T 3 T

103

Scheda 29

In quattro lanci... Traccia il grafo relativo e otterrai nel completamento delle caselle:

0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625

0 T 1 T 2 T 3 T 4 T

1) Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T quanti percorsi del grafo hai considerato?

2) Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle diverse caselle aumentano dagli estremi verso il centro?

104

Grafico

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 2 3 4 5 6

n° lanci

P(1/3fr(T)2/3)

105

Se n diventa più grande

n=50 0,007673

(da 0 a 16T)

0,984653

(da 17 a 33T)

0,007673

(da 34 a 50T)

N=100 0,000437

(da 0 a 33T)

0,999126

(da 34a 66T)

0,000437

(da 67a 100T)

P(fr(T)<1/3) P(1/3fr(T)2/3) P(fr(T>2/3)

Lancio di 50 e di 100 monete

Quando n diventa “molto grande”, cosa ti aspetti che succeda della probabilità che la frequenza dell’uscita di Testa sia compresa tra 1/3 e 2/3? E della probabilità che escano ugual numero di T e di C?

106

Lanciando molte volte una moneta......

Gli eventi centrali sono quelli in cui la frequenza dell’uscita di testa è “abbastanza vicina” alla probabilità un mezzo, perciò possiamo (per il caso particolare del lancio di una moneta),formulare la cosiddetta “legge debole dei grandi numeri” :

Lanciando molte volte una moneta diventa sempre più grande e si avvicina a 1 la probabilità che la frequenza dell’uscita di Testa

differisca dalla sua probabilità ½ meno di un qualunque numero positivo scelto da noi (nei nostri esempi 1/6,1/12......)

107

Commento

Osservando le caselle attraversate dall’asse di simmetria della tabella dobbiamo notare che la probabilità che la

frequenza dell’uscita di Testa sia esattamente ½ diventa sempre più piccola, anzi, per n molto grande si avvicina a zero

1) Se lanci 10.000 volte una moneta e devi scommettere su uno dei seguenti risultati, quale sceglieresti?

a) 5.000 T e 5.000 Cb) 4825 T e 5175 Cc) un numero di T compreso tra 4.500 e 5.500d) un numero di T compreso tra 4.250 e 5.750

108

Scheda 38

Abbiamo enunciato la “legge dei grandi numeri” a proposito dell’uscita di Testa nel lancio ripetuto di una moneta.La stessa legge vale in una qualsiasi altra situazione di prove ripetute.Considerando ad esempio il lancio di un dado la legge dei grandi numeri ci dice che in un gran numero di lanci sarà molto probabile che la frequenza dell’uscita di un numero prefissato (ad esempio il 2) sia “vicina” a 1/6.Anche qui possiamo osservare che sarà assai poco probabile che la frequenza dell’uscita del 2 sia esattamente 1/6.

109

Esercizi

1) Un urna contiene 5 palline, 4 bianche e 1 nera. Supponi di estrarre 5.000 volte una pallina ( rimettendola ogni volta

nell’urna):Quale dei seguenti risultatiti sembra più probabile?• La pallina nera esce 1.000 volte• La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 950 e 1.050• La pallina nera esce un numero di volte compreso tra 800 e 1.200

2) Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000, 10.000 o anche di più) che cosa puoi dire della frequenza dell’uscita del numero 2?