UNIDAD 2

PROBABILIDAD

Universidad Mariano Gálvez

Estadística y probabilidad para Ingeniería

Sección B.

PRESENTA

DRA. EN ING. RITA VICTORIA DE LEÓN ARDÓN(R) DE LEÓN, 2016.

Recomendaciones

1. Realizar práctica mediante distintos ejercicios

2.Trabajo en equipo

3. Estudio independiente

4. Lecturas complementarias

(R) DE LEÓN, 2016.

INCERTIDUMBRE

• Falta de seguridad, de confianza o de

certeza sobre algo.

• La imperfección en el conocimiento

sobre el estado o los procesos de la

naturaleza.

(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD

• Un marco conceptual para manejar la

incertidumbre.

• Supone la existencia de información perfecta.

• La probabilidad es un método por el cual se

obtiene la frecuencia de un acontecimiento

determinado mediante la realización de

experimentos aleatorios, de los que se

conocen todos los resultados posibles, bajo

condiciones suficientemente estables.(R) DE LEÓN, 2016.

Espacio muestral

Experimento

(R) DE LEÓN, 2016.

EXPERIMENTO

•Algo que pasa, ejemplo: tirar un dado.

(R) DE LEÓN, 2016.

ESPACIO MUESTRAL: LISTA DE TODO LO QUE PUEDE PASAR

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

C

E

1

2

3

4

5

6

J

.

.

.

.

.

.

.M(R) DE LEÓN, 2016.

TIPOS DE ESPACIOS MUESTRALES

• Discretos: son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es

finito. Ejemplo: dados y monedas

• Continuos: espacios en donde el número de sucesos elementales es infinito.

Ejemplo: estatura, longitud de las olas del mar, temperatura.

(R) DE LEÓN, 2016.

ESPACIO MUESTRAL DE UN DADO

(R) DE LEÓN, 2016.

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

(R) DE LEÓN, 2016.

ESPACIO CONTINUO DE PROBABILIDAD

1

1

Ω = 𝑥, 𝑦 |0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1

(R) DE LEÓN, 2016.

COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVO

•No importa lo que pase voy a tener una de las salidas no

olvido a nadie.

MUTUAMENTE EXCLUYENTESSi un resultado se obtiene no se puede obtener otro.

(R) DE LEÓN, 2016.

EVENTO •Subconjunto del espacio muestral.

Ω(R) DE LEÓN, 2016.

AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

P(𝑬𝟏 ∪ 𝑨𝟐) = 𝑷(𝑬𝟏) + 𝑷(𝑬𝟐)

1) P(Ω)= 1

2) 0 ≤P(A) ≤1

3) Para dos eventos A1 y A2

independientes 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 = ∅

(R) DE LEÓN, 2016.

LEY UNIFORME PARA DATOS DISCRETOS

• Todas las salidas tienen la misma probabilidad

𝑃(𝐴) =# 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴

# 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑜

(R) DE LEÓN, 2016.

1

1

Ω = 𝑥, 𝑦 |0 ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ 1

P(x+y ≤ 𝟎. 𝟓) = (𝟏

𝟐)(𝟏

𝟐)(𝟏

𝟐) =

𝟏

𝟖

P(x,y)=(𝟎. 𝟓, 𝟎. 𝟑) = 𝟎

PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS

Área del triángulo

(R) DE LEÓN, 2016.

4

3

2

1

1 2 3 4

Y

P(X,1)=(1,1) ó (1,2)=

P(x=1)=

P(x+y) impar=

P(min (x,y))=2x

(R) DE LEÓN, 2016.Que el mínimo de los dos pares de números sea igual a 2.

Ver donde esta la X para la respuesta.

4

3

2

1

1 2 3 4

Y

P(X,1)=(1,1) ó (1,2)= 2/16

P(x=1)=4/16

P(x+y) impar=8/16

P(min (x,y))=5/16(R) DE LEÓN, 2016.

Que el mínimo de los dos pares de números sea igual a 2.

Ver donde esta la X para la respuesta.

X

X

X

X X

Regla de suma

Regla de Multiplicación

Si A y B son eventos disjuntos

Si A y B son eventos independientes

Para cualquier evento

Reglas de probabilidad

Reglas I.

Reglas II.

Reglas III.

Reglas IV.

Reglas V.

Regla de complemento. Para cualquier evento A

Y

O

(R) DE LEÓN, 2016.

EL ESPACIO MUESTRAL, A VECES ES MUY GRANDE Y HAY QUE USAR:

Permutaciones Combinaciones

Muestras con

orden y sin

reemplazo

Muestras

sin orden y

sin

reemplazo

(R) DE LEÓN, 2016.

PERMUTACIÓN

• Un arreglo de un conjunto de objetos.

• Si importa el orden

(R) DE LEÓN, 2016.

COMBINACIÓN

El número de combinaciones de n objetos

distintos tomados de k a la vez.

• Un arreglo de un conjunto de objetos.

• No importa el orden

(R) DE LEÓN, 2016.

(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

• La probabilidad de que ocurra

un evento B cuando se sabe que

ya ocurrió algún evento A se

llama probabilidad condicional

y se denota con P (B|A). El

símbolo P(B|A) por lo general se

lee como “la probabilidad de

que ocurra B, dado que ocurrió

A”, o simplemente, la

probabilidad de B dado A.

(R) DE LEÓN, 2016.

Carros

rojos Carros negros

Ω

25%defectuosos5%defectuosos

P(D|R)=0.25

P(D|N)=0.05

(R) DE LEÓN, 2016.

(R) DE LEÓN, 2016.

(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

(R) DE LEÓN, 2016.

Probabilidad= Funcione I o Funcione II o Funcionen ambos

I

II

Probabilidad=0.95+0.95-0.9025=0.9975(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

(R) DE LEÓN, 2016.

(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD TOTAL

Partición un evento en

dos eventos mutuamente

excluyentesPartición de un evento en eventos

mutuamente excluyentes

(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD TOTAL

K=𝑷(𝑩 ∩ 𝑨)/P(A)

P(B|A)=𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)/P(A)

P(B|A´)=𝑃(𝐵 ∩ 𝐴´)/P(A´)

P(B|A´)P(A´)+P(B|A)P(A)= P(B)

? ?

(R) DE LEÓN, 2016.

PROBABILIDAD TOTAL

(R) DE LEÓN, 2016.

TEOREMA DE BAYES

P(A|B)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)

𝑃(𝐵)

(R) DE LEÓN, 2016.

GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE BAYES

(R) DE LEÓN, 2016.