pro s ình ọc hông ian tập 1 - moon.vn - học để khẳng định...

PRO S – Hình Học Không Gian Tập 1

1


2

Lời giới thiệu

, ọc sinh thân m ! đa a ốn

sách chuyên khảo dành cho học sinh THPT – m t cuố đ đ ợ x là “

kim chỉ a ” ỳ thi THPT QG.

Những đổi mới trong kỳ thi THPT QG với việc đánh giá năng lực học sinh bằng hình thức thi

trắc nghiệm khách quan nhiều môn khiến nhiều phụ huynh, học sinh “nháo nhác” đi tìm sách

tham khảo đ l m quen với hình thức thi mới. Hơn nữa, tổ chức áp dụng đổi mới nên đ tìm

v chọn đ ợc tài liệu đúng, chuẩn, vừa ý thì khá gian nan, “mò kim đáy b ”.

Trong 10 năm qua, Moon.vn luôn l cổng luyện thi trực tuyến tin cậy của nhiều thế hệ học

sinh trên chặng đ ờng chinh phục cánh cổng đại học. Moon.vn luôn tiên phong trong việc cập

nhập cấu trúc lại bài giảng phù hợp với những đổi mới của Bộ GD&ĐT. Đặt vào tâm thế của

ng ời học, Moon.vn hi u rõ những khó khăn v trở ngại mà học sinh đang gặp phải trong việc

ôn thi, đặc biệt là về tài liệu ôn tập. Những file bài giảng v đề luyện đính kèm dạng PDF rất

khó cho việc theo dõi, sử dụng (phải in ấp, đóng tập) và không thống nhất đ tra cứu, ôn

luyện.

Với mong muốn giúp các học sinh tiếp cận những cuốn sách tham khảo: Chất l ợng – Khoa

học – Chuẩn hóa – Mô phạm, đ ng thời tiếp cận với ph ơng pháp giảng dạy trực tuyến tiên

tiến của các tr ờng ĐH h ng đ u trên thế giới nh Havard, MIT, ambrige Moon.vn cho ra

mắt dự án sách Moonbooks song song với các khóa học trực tuyến của Moon. Một sự kết hợp

ho n hảo giữa sách tham khảo truyền thống v giải pháp công nghệ, giúp các em chủ động

học tập ở mọi lúc, mọi nơi. ác video b i giảng, b i tập luyện tập s đ ợc m hoá v gắn một

m số, gọi l ID, m số n y đ ợc in v o các đề mục, các em ch c n nhập m ID của b i giảng

hoặc b i tập lên pp hoặc website l s có ngay video b i giảng hoặc lời giải chi tiết của b i

tập.

Các bài giảng theo chủ đề trong sách s t ơng ứng với chủ đề trong khóa học trực tuyến trên

website Moon.vn, đ ợc biên soạn một cách chi tiết, khoa học, bám sát theo khung chuẩn

ch ơng trình thi của Bộ GD&ĐT do các chuyên gia gi u kinh nghiệm biên soạn.

Đ y l dự án mới, l n đ u tiên xuất hiện tại Việt Nam, đánh dấu một sự đột phá trong việc

giảng dạy v học trực tuyến c ng nh ng nh xuất bản sách. Hi vọng rằng, cuốn sách này s là

“T i Liệu Giáo Khoa Ôn Thi THPT Quốc Gia” của bạn v đ ng hành cùng các bạn trong

chặng đ ờng chinh phục cánh cổng v o Đại học.

MOON.VN – HỌC ĐỂ KHẲNG ĐỊNH MÌNH


3

HƢỚNG DẪN TRA MÃ ID

Mỗi video b i giảng v bài tập trong sách đều đ ợc m hoá bởi một d y k tự gọi l ID. ác

em có th xem lời giải của b i tập v video b i giảng t ơng ứng trên website Moon.vn v trên

điện thoại thông minh, máy tính bảng.

ƣớc 1 Đ tra cứu đ ợc m ID tr ớc hết c n có tài khoản đăng nhập trên Moon.vn, sau đó

sử dụng mã cào ở bìa sau cuốn sách (cào vào ph n tráng bạc đ có mã kích hoạt)

ƣớc Sau đó truy cập vào link http://moon.vn/tracuuid v l m theo h ớng dẫn d ới đ y

đ kích hoạt tài khoản

http://moon.vn/tracuuid


4


5


6

HỦ

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – Phần 1 (ID: TV4001)

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

ớ C

ệ TV4001

)

Phƣơng pháp giải

Công thức tính thể tích khối chóp là 1

. .3

V B h với B là di đ à h là chiều cao

của khối chóp ( khoảng cách từ đỉ đ n m đ ).

Xét khối chóp 1 2. ... nS AA A A có đáy 1 2... nAA A A l đa giác diện tích B . Cạnh SA vuông góc

với mặt phẳng đáy 1 2... nAA A A . Th tích khối chóp 1 2. ... nS AA A A là

1 2 1 2. ... ...

1. .

3n nS AA A A AA A AV SA S

Đáy 1 2... nAA A A l các hình đa giác, th ờng gặp là tam giác (

vuông, c n, đều ), hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình

thang, có diện tích nh sau:

ABC vuông tại A , có 1

2ABC

AB aS ab

AC b

ABC cân tại A , có

21. .sin

2sin

AB AC aS a

BAC

.

Với 060 tam giác ABC đều cạnh

2 3.

4

aa S

Hình vuông ABCD cạnh 2.a S a

Hình thoi ABCD có 1

2ABCD

AC aS ab

BD b

. Với góc 090BAD ABCD là

hình chữ nhật có diện tích .ABCDS AB AD .

Hình thang ABCD có hai cạnh đáy ,AB a CD b v độ d i đ ờng cao là h .

Diện tích hình thang ABCD là 1

2ABCDV h a b .


7

Chú ý: Khi giải các bài toán về thể tích khố óp a ờng g p các giả thi t về góc,

khoả d đó n xem lại cách dựng góc giữa đ ờng thẳng và m t phẳng, góc giữa hai

m t phẳng, khoảng cách từ m đ ể đ n m t m t phẳng và khoảng cách giữa a đ ờng

thẳn é a …

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , , 2AB a AC a .

Cạnh SA a vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính th tích khối chóp .S ABC .

A. 3 3

.6

a B.

3 2.

6

a C.

3 2.

3

a D.

3 2.

2

a

Lời gi i

Diện tích của tam giác ABC là 21 2

. . .2 2

ABC

aS AB AC

Th tích của khối chóp .S ABC là 2 3

.

1 1 2 2. . . .

3 3 2 6S ABC ABC

a aV SA S a . Chọn B.

ài toán tƣơng tự [Bạn đọc tự giải]:

BT1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng ABCD , 3SC a . Tính th tích khối chóp . .S ABCD

A. 32

.3

a B.

3 3.

3

a C.

3

.3

a D.

32 2.

3

a

BT2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tam giác ABC đều.

Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , 045SBA . Gọi V là th tích khối chóp

.S ABCD . T số 3:V a bằng

A. 3

.3

B. 3

.2

C. 2

.3

D. 3

.6

BT3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

1AB BC , 2AD . Cạnh bên 4SA và vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính th

tích khối chóp .S ABCD .

A. 2. B. 6. C. 4. D. 3.

Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy l hình chữ nhật ABCD , SA vuông góc với đáy,

cạnh , 2 SA AB a AD a . Gọi ,E F l n l ợt l trung đi m của AD và SC , I là giao


8

đi m của AC và BE . Tính th tích tứ diện FBIC .

A. 32.

18V a B. 32

.6

V a C. 32.

2V a D. 32

.12

V a

Lời gi i

Vì I là trọng tâm của tam giác ABD nên 1

3AI AC .

Do đó 22 2 1 2

. . . 23 3 2 3

BIC ABC

aS S a a .

Vì F l trung đi m của SC nên

1

; ; .2 2 2

SA a

d F IBC d S IBC

Suy ra 2

3

.

1 1 2 2. . . . .

3 3 3 2 18 F IBC BIC

a aV d S a Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với hai cạnh đáy ,AD BC .

2AD a , AB BC CD a , 060 .BAD Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và

SD tạo với mặt phẳng đáy một góc 045 . Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3 3

.4

aV B.

3 3.

2

aV C.

3 3.

12

aV D.

3 3.

6

aV

Lời gi i

Ta có 045 ; ; . SD ABCD SD AD SDA Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A

nên suy ra 2 .SA AD a


9

Trong hình thang ,ABCD kẻ .BH AD H AD

Do ABCD là hình thang cân nên

2 .2 2

AD BC aAH BC AD AH

Tam giác ,AHB có 2 2 3.

2

aBH AB AH

Diện tích 21 3 3

.2 4

ABCD

aS AD BC BH

Vậy 3

.

1 3. .

3 2S ABCD ABCD

aV S SA Chọn B.

Ví dụ 4: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh ; 2AB a AD a .

Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tam giác ABC vuông tại A và mặt phẳng

SCD tạo với đáy một góc 030 . Th tích khối chóp .S ABCD bằng

A. 3 3.a B. 3 3

.2

a C.

3 3.

3

a D.

3 3.

6

a

Lời gi i

Ta có 090AB CD BAC ACD .

Lại có 2 22 3AD BC a AC BC AB a .

Mặt khác CD AC và CD SA CD SAC .

0; ; 30SCD ABCD SC AC SCA .

Xét tam giác SAC vuông tại A , có tanSA

SCAAC

.

0.tan 3.tan30 .SA AC SCA a a

Vậy 3

.

1 3. .

3 3S ABCD ABCD

aV SA S Chọn C.

Ví dụ 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a , 060ABC .


10

Hình chiếu của S lên mặt đáy l trung đi m của OB . Cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng

góc ABC . Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3 7

.8

a B.

3 21.

8

a C.

3 63.

48

a D.

3 3.

8

a

Lời gi i

Gọi H l trung đi m của OB SH ABCD .

Ta có HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy.

Nên 0; ; 60 SC ABCD SC HC SCH ABC .

Lại có 3

;2 4 2 2

OB a AC a

OH OC .

Suy ra

2 2

2 2 3 7

4 2 4

a a aCH OH OC .

20 21 3

.tan 60 ; 24 2

ABCD ABC

a aSH CH S S .

Vậy th tích 2 3

.

1 1 21 3 7. . . .

3 3 4 2 8S ABCD ABCD

a a aV SH S . Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ,

2AD BC , AB BC . Cạnh bên SA a vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi E là trung

đi m của SC và khoảng cách từ E đến mặt phẳng SAD bằng a . Tính th tích khối chóp

.S ABCD .

A. 38 .V a B. 34 .V a C. 32 .V a D. 36 .V a

Lời gi i

Ta có 1

; ; ; 22

d E SAD d C SAD d C SAD a .

Gọi M l trung đi m của AD ABCM là hình vuông.

CM AD mà SA vuông góc với mặt phẳng ABCD .

Suy ra SA CM kết hợp với CM AD CM SAD


11

4

; 2 22

AD ad C SAD CM a AB a

BC a

.

Diện tích hình thang ABCD là

21. 6 .

2ABCDS AB AD BC a

Th tích khối chóp .S ABCD là 3

.

1. . 2 .

3S ABCD ABCDV SA S a Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh 2a . Cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SBC

bằng 2

a. Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 32 2

.3

aV B.

32 2.V a C. 32 .V a D. 32

.3

aV

Lời gi i

Ta có 1

; ; ; .2

d O SBC d A SBC d A SBC a

Lại có SA ABCD SA BC và ABCD là hình vuông.

BC AB BC SAB . Kẻ AH SB H SB .

Khi đó ;AH SB

AH SBC d A SBC AHAH BC

.

Tam giác SAB vuông tại A , ta có 2 2 2

1 1 1

SA AB AH

2 2 2

2

. 2. 2.2.

2

AB AH a a a aSA a

aAB AH a a

Vậy th tích khối chóp .S ABCD là 3

.

1 2 2. . .

3 3S ABCD ABCD

aV SA S Chọn A.

Ví dụ 8: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC l tam giác đều cạnh 3a . Hình chiếu vuông góc

của đ nh S xuống mặt đáy trùng với đi m H thuộc cạnh AC sao cho 2HC HA . Biết

khoảng cách từ H đến mặt phẳng SAB bằng 3

4

a. Th tích khối chóp .S ABC là


12

A. 33 3.a B. 33 3

.6

a C.

33 3.

4

a D.

33 3.

8

a

Lời gi i

Dựng HK AB mà 1 SH AB AB SHK .

Kẻ 2HE SK . Từ 1 , 2 HE SAB

3

; .4

a

d H SAB HE Vì ; 2 HA a HC a

0 3.sin .sin 60

2

aHK HA A a ( AHK vuông )

Xét SHK vuông tại H , có 2 2 2

1 1 1

SH HK HE.

3

.2 2

. 1 3 3. .

2 3 8

S ABC ABC

HK HE a aSH SH V SH S

HK HE. Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác không tù. Cạnh bên SA vuông góc

với mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng SAB , SBC vuông góc với nhau. Cạnh 3SB a ,

0 045 , 30 . BSC ASB Tính th tích khối chóp .S ABC .

A. 3 3

.3

aV B.

33.

8

aV C. 33 3

.8

V a D.

3

.2

aV

Lời gi i

Ta có SA ABC và SAB SBC suy ra BC SAB .

BC AB ABC vuông tại B1

. .2

ABCS AB BC


13

Tam giác SBC vuông tại B nên tanBC

BSCSB

.

0tan 45 . 3 3.BC a a

Tam giác SAB vuông tại A nên

0

0

3sin sin 30 . 3 .

2

3cos cos30 . 3 .

2

AB aASB AB a

SB

SA aASB SA a

SB

Vậy th tích khối chóp .S ABC là

3

.

1 1 1 3. . . . . . .

3 3 2 8S ABC ABC

aV SA S SA AB BC Chọn B.

Ví dụ 10: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc

với đáy, 2 2SA AB a . Gọi N l trung đi m của SD , đ ờng thẳng AN tạo với đáy một

góc 045 . Tính th tích khối chóp . .S ABCD

A. 3 3.a B. 3

.3

a C. 3.a D.

34.

3

a

Lời gi i

Gọi M l trung đi m của AD 1 .2

ADAM

Mà N l trung đi m của SD MN SA và .2

SAMN

Ta có SA ABCD MN ABCD AM là hình

chiếu của AN trên mặt phẳng ABCD .

0; ; 45AN ABCD AN AM MAN .

MAN vuông cân tại 2 .2

SAMN AM a

Từ 21 , 2 2 2 . 2 .ABCDAD AM a S AB AD a

Vậy th tích khối chóp 3

.

1 4. . .

3 3S ABCD ABCD

aV SA S


14

Chọn D.

Ví dụ 11: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , SD vuông góc

với mặt phẳng ABCD , 0, 120AD a AOB , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD

bằng 045 . Tính theo a th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3 3.a B. 3

.3

a C. 3.a D.

3

.3

a

Lời gi i

Vì SD ABCD và DC BC nên SC BC .

Suy ra 0; 45SCD SBC ABCD .

( do SCD vuông tại D nên 090SCD ).

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA OD , kết hợp với 0 0180 60AOD AOB . Suy ra OAD đều.

0 0, 60 .tan 60 3OA OD a ADO AB AD a .

Suy ra 2. 3ABCDS AB AD a và 0.tan 45 3SD CD a

Vậy th tích 2 3

.

1 1. . . 3. 3

3 3S ABCD ABCDV SD S a a a . Chọn C.

Ví dụ 12: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 2BC a , 060DAC .

Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đ ờng thẳng SC tạo với mặt phẳng ABCD

một góc 045 . Biết th tích khối chóp .S ABCD bằng 3 3a , tính khoảng cách từ đi m C đến

đ ờng thẳng AD .

A. .2

a B.

3.

2

a C. .

2

a D.

3.

2

a

Lời gi i


15

Gọi H là hình chiếu của C trên AD CH AD .

Khi đó, khoảng cách ;d C AD CH v đặt CH x .

Xét ACH vuông tại H2

sin3

HC xHAC AC

AC

Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABCD .

0; ; 45SC ABCD SC AC SCA .

Xét SAC vuông tại A tanSA

SCA SA ACAC

.

Diện tích hình bình hành ABCD là . 2 .S CH BC a x

Th tích 3

.

1 1 2 3. . . .2 . 3

3 3 23S ABCD

x aV SA S a x a x . Chọn D.

Ví dụ 13: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2 ,AB a BC a . Hình

chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD l đi m H nằm trên đoạn AB . Các mặt bên

,SBC SCD cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau. Tính th tích khối chóp

.S ABC biết 5

2

aSA .

A. 3 5

.24

a B.

3 5.

6

a C.

3

.6

a D.

3

.12

a

Lời gi i

Kẻ HM CD CD SHM và BC SAB .

Theo giải thiết, ta có ; ; . SBC ABCD SB AB SBA

; ; SCD ABCD SM HM SMH .

tan2

SH SH AB

HM BH aHM BH

H l trung đi m AB HA HB a .

Xét SHA vuông, có

2

2 2 25

2 2

a aSH SA AH a

.


16


3

.

1 1 1. . . . .2 . .

3 3 2 2 6 S ABC ABC

a aV SH S a a Chọn C.

Ví dụ 14: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , đ nh S cách đều các

đi m , ,A B C . Biết 2 , AC a BC a ; góc giữa đ ờng thẳng SB v đáy bằng 060 . Tính th

tích khối chóp .S ABC .

A. 3

.9

aV B.

3

.12

aV C.

3

.2

aV D.

3

.6

aV

Lời gi i

Gọi H l trung đi m .AC Do tam giác ABC vuông tại B nên H l t m đ ờng tròn ngoại

tiếp tam giác .ABC Đ nh S cách đều các đi m , ,A B C nên hình chiếu của S trên mặt đáy

ABC trùng với t m đ ờng tròn ngoại tiếp tam giác ,ABC suy ra .SH ABC

Do đó 060 ; ; . SB ABC SB SH SBH

Trong tam giác vuông ,SHB ta có

. tan .tan 3.2

ACSH BH SBH SBH a

Trong tam giác vuông ,ABC ta có 21 3

. .2 2

ABC

aS BA BC


3

.

1. .

3 2S ABC ABC

aV S đH tS v t Chọn C.

Mở rộng bài toán: n u giả thi đ a a ạnh bên , ,SA SB SC cùng tạo vớ đ t góc

thi hình chi u vuông góc của đỉnh S trên m t phẳng ABC ũ là â đ ờng tròn

ngoại ti p tam giác ABC .

Ví dụ 15: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AD a . Hình chiếu

vuông góc của đ nh S trên mặt phẳng ABCD trùng với giao đi m O của AC và BD .

Cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc 045 , hình chiếu vuông góc của đi m O trên mặt

phẳng SCD trùng với trọng tâm SCD . Tính th tích của khối chóp .S ABCD .

A. 32 2

.3

aV B.

34 2.

3

aV C.

34.

3

aV D.

3 2.

3

aV


17

Lời gi i

Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD và M l trung đi m của CD2

3SG SM .

Đặt 2SG x GM x , tam giác SMO vuông tại 2.O SG GM OG .

2 2 2 2 2 223

ax OG OM GM a x x .

2 2 2 29 2SO SM OM x OM a

Mà 0 0; 45 45 2.SA ABCD SAC SO AO a

2 2 22 2 2 4 .ABCDAC a AB AC BC a S a

Vậy th tích khối chóp .S ABCD là

32

.

1 1 4 2. . . 2.4 .

3 3 3S ABCD ABCD

aV SO S a a Chọn B.

Ví dụ 16 [THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI]: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là

hình thoi tâm O ,0, 60 AB a BAD , cạnh SO ABCD và mặt phẳng SCD tạo với mặt

đáy một góc bằng 060 . Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3

.

3.

12S ABCD

aV B.

3

.

3.

24S ABCD

aV

C. 3

.

3.

8S ABCD

aV D.

3

.

3.

48S ABCD

aV

Lời gi i

Hình thoi ABCD cạnh a , 060BAD 3

AC a

BD a.

Kẻ OM CD mà SO ABCD SO CD .

; ; CD SMO SCD ABCD SM OM SMO

Xét OCD vuông tại O , có 2 2

. 3.

4

OC OD aOM

OC OD


18

Xét SMO vuông tại O , có 03 3 3tan tan . tan 60 . .

4 4 4

SO a a aSMO SO SMO

OM

Th tích khối chóp .S ABCD là 3

.

1 3. .

3 8S ABCD ABCD

aV SO S . Chọn C.

Ví dụ 17: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm , 1O BD . Hình chiếu

vuông góc H của đ nh S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung đi m của OD . Đ ờng

thẳng SD tạo với mặt đáy một góc bằng 060 . Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3

.24

V B. 3

.12

V C. 3

.8

V D. 3

.6

V

Lời gi i

Vì SH ABCD nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ABCD là .HD

Do đó 060 ; ; .SD ABCD SD HD SDH

Trong tam giác vuông ,SHD ta có

3.tan .tan .

4 4

BDSH HD SDH SDH

Trong hình vuông ,ABCD ta có

12 .

2 2

BDBD AB AB

Diện tích hình vuông ABCD là 2 1.

2ABCDS AB

Vậy .

1 3. .

3 24S ABCD ABCDV S tSH đvt Chọn A.

Ví dụ 18: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Tam giác ABC đều. Hình

chiếu vuông góc H của đ nh S trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Đ ờng thẳng SD hợp với

mặt phẳng ABCD góc 030 . Tính th tích khối chóp .S ABCD theo a .

A. 3 3

.3

aV B.

3

.3

aV C.

3 3.

9

aV D.

32 3.

9

aV

Lời gi i

Gọi ;O AC BD M l trung đi m .AB Suy ra .H BO CM


19

Theo giả thiết SH ABCD nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy ABCD là .HD

Do đó 030 ; ; .SD ABCD SD SH SDH

Tam giác ABC và ADC l các tam giác đều cạnh ,a suy ra

3

2

1 3

3 6

aOD

aOH BO

2 3.

3

aHD OD OH

Trong tam giác vuông ,SHD ta có

2.tan .

3

aSH HD SDH

Diện tích hình thoi ABCD là

2 23 32 2. .

4 2ABCD ABC

a aS S

Vậy 3

.

1 3. .

3 9S ABCD ABCD

aV S S tH đvt Chọn C.

Ví dụ 19: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác

vuông tại S . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD l đi m H thuộc AD sao

cho 3HA HD . Biết rằng 2 3SA a và SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 030 . Tính

th tích khối chóp .S ABCD .

A. 38

.6

aV B.

38 6.

9

aV C.

38 6.

12

aV D.

38 6.

3

aV

Lời gi i

Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt đáy l HC nên 030 ; ; .SC ABCD SC HC SCH


20

Trong tam giác vuông ,SAD ta có

2 2 23 3. 12 . .

4 4SA AH AD a AD AD AD

Suy ra 4 , 3 , ,AD a HA a HD a

. 3, .cot 3 ,SH HA HD a HC SH SCH a

2 2 2 2.CD HC HD a

Diện tích 2. 8 2 .ABCDS AD CD a

Vậy 3

.

1 8 6. .

3 3S ABCD ABCD

aV S SH Chọn D.

Ví dụ 20: Cho hình chóp .S ABC có đáy 0 090 , 2 , 30BAC BC a ACB . Hình chiếu vuông

góc của đ nh S trên mặt phẳng ABC trùng với trung đi m H của cạnh AB , tam giác SBC

vuông tại S . Tính theo a th tích khối chóp .S ABC .

A. 3 3

.2

a B.

3 3.

12

a C.

3 3.

6

a D.

3 3.

4

a

Lời gi i

Ta có H l trung đi m của AB SH ABC .

SBC vuông tại S và .sin

.cos 3

AB BC C a

AC BC C a

.

Đặt SH x , ta có 2

2 2 2

4

aSB SH HB x .

Và 13

2

aHC

22 2 2 13

4

aSC SH HC x .

Mà 2 2 2SB SC BC

22 214

2 44 2

a ax a x .

Vậy 2 3

.

1 1 3 3. . . . .

3 3 2 2 12S ABC ABC

a a aV SH S Chọn B.


21

Ví dụ 21: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, 060ABC , cạnh 5

3

aSA .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , biết SG ABCD và mặt bên SCD tạo với mặt

phẳng đáy góc 060 . Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3 6

.3

a B.

3 6.

6

a C.

3 6.

24

a D.

3 3.

6

a

Lời gi i

Gọi G là trọng tâm của ABD SG ABCD .

Kẻ GH CD tại 0; ; 60 .H SHG SH GH SCD ABCD

Đặt 0; 60AB x ABC ABC đều

2, .

3 3

x xAC x AG CG

GHC vuông tại 3

.sin .3

xH HG CG ACD

SGH vuông tại .tan .G SG HG SHG x

Tam giác SAG vuông tại G nên 2 2 2SG AG SA .

22 2 2 21 5 2

9 9 2 2

a ax x a x x .

Vậy .

1 1. . . .2.

3 3S ABCD ABCD ABCV SG S SG S

232 2 3 6

.2. . .6 2 4 24

a a a

Chọn C.

Ví dụ 22: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB là

đáy lớn và tam giác ABC đều. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, 2SC a và tạo với mặt

phẳng SAB một góc 030 . Tính th tích khối chóp . .S ABCD

A. 3 2

.3

a B.

3 6.

6

a C.

3 3.

2

a D.

3 3.

6

a

Lời gi i


22

Gọi M l trung đi m của AB , ABC đều CM AB .

SA ABCD SA CM CM SAB SM là hình

chiếu của SC trên mặt phẳng SAB .

0; ; 30 .SC SAB SC SM MSC

Đặt 2 22 3AB AC x CM AC AM x .

AMCD là hình chữ nhật AD CM và AM CD x .

Xét SMC vuông tại M , có sinMC

CSMSC

.

0sin . sin30 .2 3 .3

aCM CSM SC a a x x

Xét SAC vuông tại A , có 2 2 2 2 2 2 6

3

aSC SA AC SA SC AC .

Diện tích hình thang ABCD là 2 21 3 3 3

. .2 2 2

ABCD

x aS AD AB CD .

Vậy th tích 2 3

.

1 1 2 6 3 2. . . . .

3 3 3 2 3S ABCD ABCD

a a aV SA S Chọn A.

Ví dụ 23: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a .

Hình chiếu vuông góc của đ nh S trên mặt phẳng ABCD l đi m H thuộc đoạn AC sao

cho 4

ACAH . Gọi CM l đ ờng cao của tam giác SAC . Tính th tích khối tứ diện SMBC .

A. 3 14

12

a B.

3 14

24

a C.

3 14

6

a D.

3 14

48

a

Lời gi i


23

Gọi H là hình chiếu của S trên mp ABCD .

SH ABCD SHC vuông tại H .

Ta có 2 22 14.

4 4

a aAH SH SA AH .

Và 2 23 22

4

aHC SC SH HC a .

Suy ra AC SC SAC cân tại C CM SA

M l trung đi m của SA .

Khi đó 1 1

2 2SCM SAC SMBC SABCS S V V .

2 31 1 14 14. . . .

6 6 4 2 48SMBC ABC

a a aV SH S . Chọn D.

Ví dụ 24: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A . Góc giữa đ ờng

thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 045 , diện tích tam giác SBC bằng 22 3a . Tính th

tích của khối chóp .S ABC .

A. 32 2

.3

a B.

38 2.

3

a C.

38.

3

a D.

34 2.

3

a

Lời gi i

Gọi M l trung đi m của BC , ABC cân AM BC .

Có SA ABC AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng

ABC 0; ; 45 .SB ABC SB AB SBA

Đặt 2AB x SB SC x SBC cân SM BC

2 21. . 2 3 . 4 3 1

2SBCS SM BC a SM BC a

Mà 2BC x và 2 2 62

2

xSM SC BM

Từ 2 2 261 , 2 2. 4 3 4 2

2

xx a x a x a .

Vậy th tích 3

.

1 1 8 2. . . . . .

3 6 3S ABCD ABC

aV SA S SA AB AC Chọn B.


24

Mở rộng bài toán: Khối chóp .S ABC có ba cạnh , ,SA SB SC đ t vuông góc với nhau

và , , SA a SB b SC c thì thể tích khối chóp .S ABC bằng .

1 1. . .

6 6 S ABCV SA SB SC abc .

Ví dụ 5 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD l hình vuông cạnh bằng 2a . Gọi O là

t m của hình vuông ABCD , biết SO ABCD v khoảng cách giữa hai đ ờng thẳng SA ,

CD bằng 3a . Th tích khối chóp .S ABCD bằng

A. 33

3

a. B.

34 3a . C. 33a . D.

34 3

3

a.

Lờ

Gọi O l t m của hình vuông ABCD .

Ta có AB CD CD SAB .

; ; 2. ; 3d SA CD d CD SAB d O SAB a

.

Gọi M l trung đi m của AB , kẻ OK SM K SM .

Khi đó 3

; .2

aOK SAB d O SAB OK

Xét SMO vuông tại M , có

2 2 2

1 1 13SO a

SO OM OK 31 4 3

. . .3 3

ABCDV SO S a Chọn D.

Ví dụ 26: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a mặt bên SAB là

tam giác đều, mặt bên SCD l tam giác vuông c n đ nh .S Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 3 3

.12

a B.

3

.6

a C.

3 3.

4

a D.

3 3.

6

a

Lời gi i


25

Gọi ,M N l n l ợt l trung đi m của ,AB CD .

Ta có SM AB và MN AB suy ra AB SMN .

Kẻ SH MN H MN mà AB SMN AB SH .

Suy ra .

1. . .

3 S ABCD ABCDSH ABCD V SH S

Mà 2 2 23; ;

2 2

a aSM SN MN a MN SM SN .

SMN vuông tại . 3

.4

SM SN a

S SHMN

Vậy th tích 3

2

.

1 1 3 3. . . . .

3 3 4 12 S ABCD ABCD

a aV SH S a Chọn A.

Ví dụ 27: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , 2AD a .

Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M l trung đi m của BC , biết khoảng cách giữa hai

đ ờng thẳng SB và DM bằng 10

5

a. Tính th tích khối chóp .S ABCD .

A. 32 2 .a B. 32 2

.3

a C. 32.

3a D. 32

.3

a

Lời gi i

Gọi P l trung đi m của AD suy ra BP DM .

Do đó ; ; ; d SB DM d D SBP d A SBP .

Hạ AH BP BP SAH . Kẻ AT SH .

Suy ra AT SBP nên 10

; .5

a

AT d A SBP

Tam giác vuông ABP , có 2 2

..

2

AB AP aAH

AB AP

Tam giác vuông SAH , có

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 12.SA a

SA AH AT SA AT AH


26

Vậy th tích khối chóp .S ABCD là 2 3

.

1 1 2 2. . . 2.2 .

3 3 3 S ABCD ABCDV SH S a a a Chọn B.

III. ÀI TẬP TỰ LUYỆN (ID: TT4001).

ớ C ờ ớ

ệ

Moon.vn . V

Câu 1: [340488] [ THI MINH HỌA THPT QG – 2017] Cho hình chóp tứ giác .S ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh ,a cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy v

2 .SA a Tính th tích V của khối chóp . .S ABCD

A. 32

.6

aV B.

32.

4

aV C.

32 .V a D. 32

.3

aV

Câu 2:[340489] Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ,ABC tam giác

ABC vuông tại B và , 3.AB a AC a Tính th tích khối chóp .S ABC biết 5.SB a

A. 3 2

.3

a B.

33 6.

4

a C.

3 6.

6

a D.

3 15.

6

a

Câu 3: [340490] Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ,ABC tam giác

ABC vuông tại B và , 3.AB a AC a Tính th tích khối chóp .S ABC biết 6.SC a

A. 3 6

.6

a B.

3 6.

2

a C.

3 6.

3

a D.

3 15.

6

a

Câu 4: [340491] Cho hình chóp .S ABC có đáy l tam giác ABC đều cạnh .a Hai mặt phẳng

SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABC biết

3.SC a

A. 32 6

.9

a B.

3 6.

12

a C.

3 3.

4

a D.

3 3.

2

a

Câu 5: [340492] Cho hình chóp .S ABCD có đáy l hình chữ nhật tâm , 2 2 ,O AC AB a

SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD biết 5.SD a

A. 3 6

.3

a B.

3 15.

3

a C.

3 6.a D. 3 6

.2

a


27

Câu 6: [340493] Cho hình chóp .S ABCD có đáy l hình chữ nhật, 2 2 .AD AB a Gọi H

l trung đi m của ,AD biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp

.S ABCD biết 5.SA a

A. 32 3

.3

a B.

34 3.

3

a C.

34.

3

a D.

32.

3

a

Câu 7: [340494] Cho hình chóp .S ABCD có đáy l hình vuông cạnh 2 .a Gọi H là trung

đi m của ,AB biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD biết

tam giác SAB đều.

A. 32 3

.3

a B.

34 3.

3

a C.

3

.6

a D.

3

.3

a

Câu 8: [340495] Cho hình chóp .S ABC có đáy có SA vuông góc với mặt phẳng ,ABC

tam giác ABC vuông tại B và , 3.AB a AC a Tính th tích khối chóp .S ABC biết góc

giữa SB và mặt phẳng ABC bằng 030 .

A. 3 6

.9

a B.

3 6.

6

a C.

3 6.

18

a D.

32 6.

3

a

Câu 9: [340496] Cho hình chóp .S ABC có đáy l tam giác ABC đều cạnh .a Hai mặt phẳng

SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABC biết

SB hợp với đáy một góc 030 .

A. 3 3

.6

a B.

3 3.

12

a C.

3

.4

a D.

3

.12

a

Câu 10: [340497] Cho hình chóp .S ABC có đáy l tam giác ABC đều cạnh .a Hai mặt

phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABC

biết SM hợp với đáy một góc 060 , với M l trung đi m .BC

A. 3 6

.8

a B.

3 3.

4

a C.

3 3.

8

a D.

3 6.

24

a


ABC vuông tại A và 2 2 .BC AB a Tính th tích khối chóp .S ABC biết góc giữa SC và

ABC bằng 045 .

A.

3

.2

a B.

3 3.

2

a C.

33 3.

2

a D.

3

.6

a


28


ABC vuông tại A và 2 2 .BC AB a Tính th tích khối chóp .S ABC biết góc giữa SM và

ABC bằng 060 , với M l trung đi m .BC

A.

3

.2

a B.

3 3.

6

a C.

3 3.

2

a D.

3

.6

a


SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD biết góc giữa SC với

mặt phẳng ABCD bằng 045 .

A. 32 3

.3

a B.

34 3.

3

a C. 3.a D.

3

.3

a


SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD biết góc giữa SO với

mặt phẳng ABCD bằng 060 .

A. 32 3

.3

a B.

3 3.

3

a C. 3.a D.

3

.3

a

Câu 15: [340502] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh .a Hai mặt

phẳng SAB , SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD

biết SC hợp với đáy một góc 045 .

A. 3 2

.6

a B.

3 2.

3

a C.

3

.6

a D.

3

.3

a

Câu 16: [340503] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh .a Hai mặt

phẳng SAB , SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD

biết SM hợp với đáy một góc 060 , với M l trung đi m của .BC

A. 3 15

.6

a B.

3 15.

3

a C.

3

.6

a D.

3

.3

a

Câu 17: [340504] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 .a H là

trung đi m của AB và SH vuông góc với đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD biết SC

hợp với đáy một góc 060 .

A. 32 15

.3

a B.

34 15.

3

a C.

3

.6

a D.

3

.3

a


29

Câu 18: [340505] Cho khối chóp .S ABCD có đáy l hình chữ nhật, 2 , .AD a AB a H là

trung đi m của AD và SH vuông góc với đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD biết SD

hợp với đáy một góc 45 .o

A. 32 3

.2

a B. 3 3.a C.

32.

3

a D.

3

.3

a

Câu 19: [340506] Cho khối chóp .S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, 2 , .AD a AB a

Gọi H l trung đi m của AD và SH vuông góc với đáy. Tính th tích khối chóp .S ABCD

biết SC hợp với đáy một góc 60 .o

A. 34 6

.3

a B.

32 6.

3

a C.

3

.6

a D.

3

.3

a

Câu 20: [340507] Đáy của hình chóp .S ABCD là một hình vuông cạnh .a Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy v có độ dài là .a Th tích khối tứ diện .S BCD bằng

A.

3

.6

a B.

3

.3

a C.

3

.4

a D.

3

.8

a

Câu 21: [340508] Cho hình chóp .S ABC có tam giác SAB đều cạnh ,a tam giác ABC cân

tại .C Hình chiếu của S trên ABC l trung đi m của cạnh ;AB góc hợp bởi cạnh SC và

mặt đáy l 30 .o Tính th tích khối chóp .S ABC theo .a

A. 33

.4

a B.

32.

8

a C.

33.

2

a D.

33.

8

a

Câu 22: [340509] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D

thỏa mãn 2 2 2 2AB AC CD a SA và .SA ABCD Khi đó th tích .S BCD là

A. 32 2

.3

a B.

3 2.

6

a C.

32.

3

a D.

3 2.

2

a

Câu 23: [340510] Cho hình chóp .S ABCD có .SA ABCD Biết 2,AC a cạnh SC

tạo với đáy một góc 60o và diện tích tứ giác ABCD là 23

.2

a Gọi H là hình chiếu của A lên

cạnh .SC Tính th tích khối chóp . .H ABCD

A. 3 6

.2

a B.

6.

4

a C.

3 6.

8

a D.

33 6.

8

a

Câu 24: [340511] Cho hình chóp .S ABC có tam giác ABC vuông tại , , 2 ,B BC a AC a

tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung đi m M của

.AC Tính th tích khối chóp . .S ABC


30

A. 3 6

.3

a B.

3

.3

a C.

3

.6

a D.

3

.6

a

Câu 25: [340512] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với .AB a Cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45o và

2 2.SC a Th tích khối chóp .S ABCD bằng

A. 32

.3

a B.

32 3.

3

a C.

3

.3

a D.

3 3.

3

a

Câu 26: [340513] Cho hình chóp tam giác .S ABC với , ,SA SB SC đôi một vuông góc và

.SA SB SC a Khi đó, th tích khối chóp trên bằng

A. 31.

6a B. 31

.9

a C. 31.

3a D. 32

.3

a

Câu 27: [340514] Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh .a Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phăng đáy v có độ dài bằng .a Th tích khối tứ diện .S BCD bằng

A. 3 3

.3

a B.

3

.2

a C.

3

.6

a D.

3

.3

a

Câu 28: [340515] Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC l tam giác đều cạnh ,a biết cạnh SA

vuông góc với đáy ABC và mặt phẳng SBC hợp với đáy ABC một góc 60 .o Tính th

tích hình chóp.

A. 3 3

.8

a B.

3 5.

9

a C.

3

.3

a D. Đáp án khác.

Câu 29: [340516] Cho hình chóp .S ABC với , ,SA SB SC đôi một vuông góc v độ dài các

cạnh , ,SA a SB b SC c Th tích hình chóp bằng

A. 1

.3

abc B. 1

.9

abc C. 1

.6

abc D. 2

.3

abc

Câu 30: [340517] Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC l tam giác đều cạnh ,a SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đ ờng thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 60 .o Tính th

tích của khối chóp.

A. 3 3

.12

a B.

3

.4

a C.

3

.2

a D.

3 3.

6

a

Câu 31: [340518] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh .a Hình chiếu

S lên ABCD l trung đi m H của cạnh .AB Tính th tích của khối chóp biết 13

.2

aSD


31

A. 3 12.a B.

3 12.

3

a C.

32.

3

a D.

3

.3

a

Câu 32: [340519] Một hình chóp tam giác có đ ờng cao bằng 100 cm, các cạnh đáy bằng 20

cm, 21 cm, 29 cm. Th tích khối chóp đó bằng

A. 37000cm B. 36213cm C. 36000cm D. 37000 2 cm

Câu 33: [340520] Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh AB a .

Cạnh bên SA ABCD , góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 060 . Gọi th tích hình chóp

S.ABCD là V thì t số 3

V

a bằng

A. 6

.3

B. 6

.2

C. 6. D. 6

.9

Câu 34: [340521] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , AB AC a

hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC l trung đi m H của BC, mặt phẳng SAB

tạo với mặt đáy một góc bằng 060 . Th tích khối chóp S.ABC bằng

A.

35.

12

a B.

3 3.

12

a C.

3 3.

4

a D.

3

.12

a

Câu 35: [340522] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060ABC ,

cạnh SA ABCD . Biết đ ờng thẳng SC tạo với mặt đáy một góc bằng 060 . Th tích khối

chóp S.ABCD là

A.

3

.3

a B.

3 2.

2

a C.

3

.2

a D.

3

.5

a

Câu 36: [340523] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông, , AB AC a hình

chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC l trung đi m H của BC, mặt phẳng SAB tạo

với mặt đáy một góc bằng 060 . Th tích khối chóp S.ABC bằng

A. 3 6

.12

a B.

3 3.

3

a C.

3 3.

12

a D.

3 3.

6

a

Câu 37: [340524] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh 16AB dm

30 ,AD dm hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD trùng với giao đi m của hai đ ờng

chéo AC, BD. Biết rằng mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy một góc sao cho 5

cos13

.

Th tích khối chóp S.ABCD bằng

A. 5760. B. 5630. C. 5840. D. 5920.


32

ÁP ÁN TRẮC NGHIỆM

01. D 02. A 03. A 04. B 05. A 06. C 07. B 08. C 09. D 10. C

11. A 12. A 13. A 14. C 15. B 16. A 17. B 18. C 19. B 20. B

21. D 22. B 23. C 24. D 25. A 26. A 27. C 28. A 29. C 30. B

31. C 32. A 33. A 34. B 35. C 36. C 37. A

pro s ình ọc hông ian tập 1 - moon.vn - học để khẳng định...

Documents