pripreme za državnu maturu (matematika - osnovna razina 13) - trinom

1 www.trinom.hr

TRINOM d.o.o. ,:=;, pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

Trinom d.o.o., D. Brozovi, prof. matematike, studeni 2013.

Nijedan dio ove skripte ne smije se preslikavati niti umnoavati na bilo koji nain, bez pismenog doputenja nakladnika.

Za internu upotrebu.

MATEMATIKA NA DRAVNOJ MATURI U RH

OSNOVNA RAZINA

ll. OSNOVE ARITMETIKEI Pojmovi i injenice koje trebate znati za prve dvije cjeline (osnove aritmetike i algebre): ADICIJA - zbrajanje ALGEBRA - je grana matematike koja se bavi opim brojevima (slovima!), APROKSIMACIJA - priblino izraunavanje neke matematike veliine pomou drugih, u pravilu jednostavnijih matematikih veliina,

Tako je 3, 14 racionalan broj koji je "dobra" aproksimacija iracionalnog broja TC ARAPSKE BROJKE (znamenke, cifre) - naziv za matematike znakove 0, 1, 2, 3,4,5,6, 7, 8, 9, pomou kojih se, u dekadskom zapisu,

moe zapisati svaki prirodan broj. Nastale su u Indiji prije 5. stoljea. Arapi su ih u srednjem vijeku prenijeli u Europu pa se zato nazivaju arapskima,

ARITMETIKA - grana matematike koja se bavi brojevima, ponajvie prirodnim, cijelim i racionalnim, Aritmetika se tradicionalno naziva kraljicom matematike,

ASOCIJATIVNOST (zdruivanje) - vano svojstvo nekih operacija, koje u sluaju operacije zbrajanja realnih brojeva glasi: (a+b)+c=a+(b+c), a u sluaju mnoenja: (ab)c=a(bc). Operacije oduzimanja i dijeljenja nisu asocijativne,

BINOM - dvolan, algebarski izraz koji se sastoji od dva lana povezana znakom + ili - , Tako je a + b binom. U skladu s tim se (a + by naziva kvadratom binoma, a jednakost (a+b)2 = a 2 +2ab+b 2 formulom za kvadrat binoma,

BROJNIK razlomka m jest broj m n

CIFRA - isto to i znamenka (brojka), a

DIJEUENJE - - = a : b = e Broj a naziva se djeljenikom (dividendom), broj b djeliteljem (divizorom), a broj e kolinikom (kvocijentom), b

DISTRIBUTIVNOST - svojstvo dviju operacija koje u sluaju zbrajanja i mnoenja realnih brojeva glasi: a (b + e) = a' b + a' e ELEMENT - relacija na skupovima. Da je x element skupa A, oznaava se oznakom x E A , Pojam je vrlo star, a intuitivno znai da x

pripada skupu A. IRACIONALAN BROJ - broj koji nije racionalan, Realan je broj iracionalan ako i samo ako mu decimalni zapis nije periodski. KOMUTATIVNOST - svojstvo raunske operacije koje u sluaju zbrajanja realnih brojeva glasi. a + b = b + a, a u sluaju mnoenja: ab = ba, KONSTANTA - veliina u matematici koja se ne mijenja nego ima vrstu vrijednost. Na primjer u funkciji j(x) = ax + b, brojevi Q, b su

konstante (ne mijenjaju se), a x je varijabla (mijenja se), NAJMANJI ZAJEDNiKI VIEKRATNIK dvaju prirodnih brojeva a, b jest najmanji prirodan broj koji je djeljiv i s a i s b,

NAJVEI ZAJEDNiKI DJELlTEU (najvea zajednika mjera) dvaju prirodnih brojeva a, b jest najvei prirodan broj s kojim su djeljivi i a i b. NAZIVNIK razlomka!!" je broj b,

b OMJER dvaju brojeva a i b je rezultat dijeljenja a:b. OSNOVNI TEOREM ALGEBRE - tvrdnja da algebarska jednadba stupnja n openito ima n rjeenja, Znaenje izraza openito jest u

tome to je za ispravnost osnovnog teorema algebre potrebno brojiti ne samo realna nego i kompleksna rjeenja, OSNOVNI TEOREM ARITMETIKE - tvrdnja da se svaki prirodan broj moe na jednoznaan nain napisati kao umnoak prostih brojeva

(rastaviti na proste faktore),

2 www.trinom.hr

TRINOM d.o.o. pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

PERIODSKI DECIMALNI BROJ - decimalan broj kod kojega se, od nekog mjesta nadalje, znamenke ponavljaju. Tako je 3,245131313 ... periodski decimalan broj. Kod njega je 3 cijeli dio, 245 neperiodski, 13 periodski dio (skupina znamenaka 13 stalno se ponavlja). Taj se broj krae zapisuje 3,24513. Racionalni brojevi su periodski decimalni brojevi, a iracionalni neperiodski.

PI - broj jednak kvocijentu opsega i promjera krunice (ima oznaku ff). ff je iracionalan broj. POSTOTAK - stoti dio neega. Oznaava se oznakom %. Tako pet posto od tristo znai isto to i pet stotnina od tristo tj. _5_. 300 = 15 .

100 PRAVILA DJEUIVOSTI- pravila koja omoguuju brzu provjeru djeljivosti prirodnog broja s nekim drugim prirodnim brojem.

Broj je djeljiv s 2 ako mu je zadnja znamenka paran broj ili O. Broj je djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3. Broj je djeljiv s 4 ako mu je dvoznamenkasti zavretak djeljiv s 4. Broj je djeljiv s 5 ako mu je zadnja znamenka O ili 5. Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv i s 2 i s 3. Broj je djeljiv sa 8 ako mu je troznamenkasti zavretak djeljiv s 8. Broj je djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Broj je djeljiv s 10 ako mu je zadnja znamenka O. Broj je djeljiv sa 25 ako mu je dvoznamenkasti zavretak djeljiv s 25.

PRODUKT -7umnoak-rezultat mnoenja PROMIL - tisuiti dio neega, oznaka %0. Tako 7%0 od 200 znai _7_. 200 = 1.4.

1000 PROST BROJ - prirodan broj koji ima tono 2 djelitelja (brojevi djeljivi samo s brojem 1 i sa samim sobom). Najmanji prost broj je 2.

m RACIONALAN BROJ - kolinik (rezultat dijeljenja) - ,cijelog broja m i prirodnog broja n (m se naziva brojnikom, a n nazivnikom).

n

RACIONALIZACIJA - postupak kojim se neki razlomak koji ima iracionalan nazivnik pretvara u razlomak s racionalnim nazivnikom. RAZMJER (proporcija) - jednakost izmeu dvaju ili vie omjera. Tako je a: b = e : d razmjer. RAZMJERNOST (proporcionalnost) - pojam koji se odnosi na meusobnu ovisnost dviju veliina na nain da poveanje jedne uzrokuje

poveanje druge ili smanjenje jedne uzrokuje smanjenje druge. RECIPRONA VRIJEDNOST realnog broja a"* je realan broj.!., tj. broj a-l (-7inverz). Reciprona vrijednost razlomka!!.. je razlomak!!...

a b a RELATIVNO PROSTI BROJEVI- prirodni brojevi koji nemaju zajednikih djelitelja razliitih od 1. Tako su 4 i 15 relativno prosti, a 4 i 14 nisu

jer su oba djeljiva s 2. SEGMENT je zatvoreni interval. SKUP - osnovni pojam teorije skupova i u aksiomatskoj izgradnji te teorije on se ne definira. Skup ine njegovi elementi. SLOEN BROJ - prirodan broj razliit od broja 1 koji nije prost.

1.1. Skup realnih brojeva R i njegovi podskupovi

Skup prirodnih brojeva: N = {1,2,3,4, ... n, ... } . Skup cijelih brojeva: Z = { ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... }.

Skup racionalnih brojeva (razlomci i): Q = {: : m,n E Z,n "* O} . Svi brojevi iz ovoga skupa mogu se zapisati i u decimalnom obliku ako podijelimo brojnik s nazivnikom. Ti e decimalni brojevi uvijek biti periodini! Iza decimalne toke neprekidno e se pojavljivati uvijek ista grupa znamenaka.

2 . . . . 122178 1234 12 Primjer -=0.285714285714285... Primjer 1.23412=---=--+--,

7 99000 1000 99000 Skup iracionalnih brojeva. Decimalni broj koji je neperiodian (iza decimalne toke je

beskonaan niz znamenaka u kojem nema periodinog pojavljivanja iste grupe znamenaka) kao npr ff = 3.141592654 ... ne moe se dobiti kao rezultat dijeljena dvaju cijelih brojeva. Svi ne periodini decimalni brojevi ine skup koji zovemo skup iracionalnih brojeva i oznaavamo s I.

Primjeri iracionalnih brojeva su mnogi korijeni i logaritmi kao npr .fi,V7,log2 3 ... Skup realnih brojeva: R = Q U I .

I (iracionalni)

~ R (realni brojevi) ~ Q (racionalni) - u decimalnom prikazu imaju beskonaan neperiodian zapis

- u decimalnom prikazu imaju konaan ili beskonaan periodian zapis

JIZ gore navedenoga slijedi N e Z e Q e R .J

+oc

. .".. = n.lfi707!Jfi:12... 3 20 _ = 015

0.1234937 ...

0.1231492 ...

0.1228345 ...

-0.1228345 ...

-0.1231492 ...

20 .

0.1234444 ...

0.1231 0.123 O. 12292929 ...

0.1227227227 ...

o

-0.1227227227 ...

-0.12292929 ... -0.123 -0.1231

-0.1234937... -0.1234444 ...

t t Iracionalni brojevi Racionalni brojevi (G)

-(lC

www.trinom.hr

1. Zadatak. (2011-2) Kojemu skupu brojeva pripada broj 3.12 ? a. skupu prirodnih brojeva b. skupu cijelih brojeva

56kupu racionalnih brojeva d. skupu iracionalnih br. 2. Zadatak. (2013-2) Koji od navedenih brojeva ne pripada skupu racionalnih brojeva? a.-3

19 c.-

4 d.13.5

3. Zadatak Samo je jedan od navedenih brojeva racionalan. Koji?

a) 0.10100100010000... b) -.JO"j c) 0.4 d) j;2 4. Zadatak:* Koji od brojeva pripada skupu iracionalnih brojeva? a) 4.33 b) -.J16 c) -4/7 @ Fs 5. Zadatak Meu navedenim brojevima jedan je uljez. Koji? a) 1.41 b) 3.14 c) .Jo.8l d) 2.Ji 6. Zadatak Koliko iracionalnih brojeva sadri skup

3/ 0.13 . >-- 4 :.== -ml 0.11 " r;:; Jl2l } -; 3.14, -,0.1234567, ,,7, --, 0, lO1!3, Jr al; 4 cJ 5 d) 6 7. Zadatak. (2012-2) Ako se broj 391 podijeli brojem 37, dobiva se decimalan broj. Koja je znamenka na 104. mjestu iza decimalne toke? a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 8. Zadatak :* Koju vrijednost ima razlomak ~ ?

b) 2. 30

~.!.! \J 30

630 d) 2.

10 9. Zadatak :* Kojemu je razlomku jednak mjeoviti broj 2~?

7 5 6 12 ~ 17

a) - b) - c) - ~.))-7 7 7 7

10. Zadatak Sljedee brojeve zapii u obliku maksimalno skraenog razlomka: 0.125, 2.625, -1.18, 2.3 11. Zadatak. (2010-2) Koji od navedenih brojeva, zaokruivanjem na dvije decimale, daje broj 5.78? a.5.7699 b.5.7731 05.7791 d.5.7866 12. Zadatak. (2010-3) Broj 3.54273 zaokruen je na jednu, dvije, tri i etiri decimale. Koja je od navedenih tvrdnji netona?

3

a. na jednu decimalu iznosi 3.5 b. na dvije decimale iznosi 3.54 ena tri decimale iznosi 3.542 d. na etiri decimale 3.5427

TRINOM d.o.o. ~ pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

13. Zadatak. (2011-3) Broj TI = 3.1415926 ... zaokruen je na dvije, tri, etiri i pet decimala. U kojem je od tih zaokruivanja

nainjena pogrjeka? a.3.14 b. 3.142 ~3.1415 d.3.14159

'-o

14. Zadatak. (2011-2) Broj TI s Vaega depnoga raunala zaokruite na etiri decimale pa izraunajte vrijednost izraza p = 2rrr(r + 30.21) za r = 2.154. Rezultat zaokruite na dvije decimale. 15. Zadatak:* Koji je od navedenih brojeva najblii broju 3? a) 1[ b) 4-~ c) .,flO d) 1.53

3 16. Zadatak Usporedi sljedee parove brojeva: a) 2.7104 i 2.71 b) 3.723 i 3.722999 c) -5.133 i -5.129 d) -2.130777 ... i -2.1307 17. Zadatak:* Koji je broj manji:

a. -.Ji ili -1.41? b. -1[ ili -3.1415? 18. Zadatak. (2012-1) Koja je nejednakost tona? a. 5 < ~ b. ~ < ~ c. ~ < 1 ~

5 3 2 2 2 !97

www.trinom.hr

26. Zadatak. (2011-3) Koja je oznaka za skup svih realnih brojeva veih od -2 7

4

a. (-oo, -2) b. (-00,-2] 0-2, +(0) d. [-2,+(0) 27. Zadatak. (2011-1) Kojemu intervalu pripada broj lI3 - 33 7 a. [0,1.5) b. [1.5,2.5) e. [2.5,3.5) d. [3.5,5) 28. Zadatak:*: Kojemu intervalu pripadaju brojevi -! i 1 7

2

e) [-1,] d) [_.!. .!.] 2'2 29. Zadatak:* Koliko je prirodnih brojeva u intervalu (2, 121] 7 a) 2 3 e) 4 d) 5


TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

30. Zadatak:* Koliko je prirodnih brojeva u intervalu [2, 1:] 7 a) 3 b) 4\C))s d) 6

\/ 31. Zadatak. (2012-1) Navedite sve cijele brojeve iz [-2,3).

-.2~_\.:,O) \\:{./ 7 32. Zadatak. (2013-1) Koliko je cijelih brojeva u intervalu (-2, 3) 7 a. 3 @4 e. 5 d. 6

33. Zadatak. (2012-2) Koji od ponuenih intervala sadri tono etiri cijela broja7 ~(-10,-5) b. [-2,2] 34. Zadatak:* Koliko cijelih brojeva sadri zajedniki dio zatvorenih intervala prikazanih

e. [-1,2) d. (4,9] -5 2

------~G~------~~ -3/2 4

Nije predvieno za osnovnu razinu:

LI na brojevnim pravcima na sliei7 e J a)s @4 e)3 d)2

DEFINICIJA: Unija skupova A i B, A u B, je skup koji sadri tono one elemente koji se nalaze barem u jednom od ta dva skupa. Presjek skupova A i B, A n B, je skup koji sadri samo zajednike elemente ta dva skupa. Razlika skupova A i B, A\B, je skup koji sadri samo one elemente skupa A koji nisu istovremeno i u skupu B.

IPrimjer2:lza skupove A i B odredi AuE, AnE, A\B, B\A. a) A={1,2,4,6,7,8} B={2,4,6,8,10} b) A = (- 3,4), B = [1,5) e) A = {1,2,3}, B = [0,3) d) A = {0}u(1,21 E = (-2,1]

1.2. Raunske operacije u skupu R I A. ZBRAJANJE I MNOENJE

G]zadatak. (2010-3) Koja je vrijednost izraza ad - be ako je a = 3, b = -4, e = -5, d = -67 - '1:, '

5 www.trinom.hr

TRINOM d.o.o. ,:=;, pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

~zadatak. (2011-3) U tablici je prikazano vrijeme polaska, olaska I trajanje vonje nekih vlakova. Popunite Vrijednosti kOje

nedostaju.

(~: Zadatak. (2012-2) Energetska vrijednost 100 g kiselog vrhnja iznosi 135 kcal. Jedno pakiranje sadri 200 g kiselog vrhnja. Koliko smo kcal unijeli u organizam ako smo pojeli dvije treine' pakiranja?

,s.k ~J;'m a. 155 kcal b. 162 kcal @I80 kcal /fs:.2z-adatak. (2012-2) Sir ribanac prodaje se u dvama

Polazak Dolazak Trajanje vonje 5:20 11:40 6 sati i 20 minuta

i3; ~\ 10:27 56 minuta d. 203 kcal

21:39 4:48 (sljedeega dana) "i-h

6 www.trinom.hr

TRINOM d.o.o. Go:> pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

IPrimjer 4:llzraunaj a) 123.456789.103 = 123.456789 1000 = 123456.789 c) 123.456.10-2 = 123.456 = 1.23456

100

b) 0.00123.104 =0.0012310000=12.3

d) 0.0123.10-5 = 0.0123 = 0.000000123 100000

1. Zadatak Zapii u obliku decimalnog broja. a) 5.10-1 b) 0.05.10-2 c) 8.4.10-3

d) 0.012.105 e) -1001.234.10-6 ;f')Zadatak :* Jedna tableta sadri 5.2.107 korisnih bakterija. '-Dijete od 10 godina smije pOPiti najvIse dVIJe takve tablete tn

puta na dan. Koliko najvie tih bakterija dijete smije unijeti u organizam u jednome danu?

Wzadatak. (2010-1) Ljudsko srce tijekom jednoga dana otkuca oko 100 tisua puta. Koliko puta otkuca tijekom 70 godina ivota?

tj a. 2.6 . 107 b. 2.6 . 108 ~2.6 . 109 d. 2.6 . 1010 \O~ l7 -f kA/Zadatak. (2011-~) U silosu se nalazi 1.2 . 1010 zrna ita. Ako

,0 se etvrtina sa9n~l]e u brano, a estina od preostaloga ita proda, koliko je zrna ita ostalo u sil~~ a. 4.5 . 109 b. 6.55 . 109 '\SJl.5 . 109 d. 8.55 . 109

a.5.20l08 b.1.04108 c. 1.56.108 d.3.12108

DEKADSKI ZAPIS - pozicijski zapis brojeva zasnovan na sustavu s bazom 10. Nastao je u Indiji vjerojatno u 5. st. Nazivi: milijun za 106, milijarda za 109, bilijun za 1012, bilijarda za 1015 , trilijun za 1018,

kvintilijarda za 1033 trilijarda za 1021 , kvadrilijun za 1024, kvadrilijarda za 1027 , kvintilijun za 103, 5. Zadatak: Proitaj sljedee brojeve: a) 98 654000000 b) 5 123400432 100

7. Zadatak:* Jedna astronomska jedinica iznosi 1.49.108 km. To je:

c)98765432123000000 d)9876543210123456000 a) 149 milijardi km b) 14.9 milijardi km c) 149 milijuna km d) 14.9 milijuna km

6. Zadatak:* Jedna astronomska jedinica iznosi 4.25 .10 13 km. To je: 8. Zadatak:* Jedna astronomska jedinica iznosi 1.49.1011 m. To je: a) 425 bilijuna km b) 42.5 bilijuna km c) 42.5 milijuna km d) 42.5 milijardi km

IPrimjer 5:1 a) 34 .3 5 = b) 34 : 35 = c)3 4 +3 5 = d) 34 _3 5 =

e)3 5 45 = f)3 5 :45 = g) 35 + 4 5 = h)3 5 -45 =

TEOREM: Pravila za raunanje spotencijama:

Potencije moemo mnoiti ili dijeliti ako imaju ISTE BAZE

Potencije ne moemo zbrajati ni oduzimati x - x ... {

n + m =???

xn yn = ???

*Nije predvieno za ispitivanje na osnovnoj razini mature.

~ MNOENJE I DIJEUENJE POTENCIJA istih baza 9. Zadatak. Napii u obliku potencije koristei se pravilom za mnoenje potencija istih baza: am . an = am+n

(3 )22 (3 )43 b) _ ._ 4 4 10. Zadatak. Napii u obliku potencije koristei se pravilom za dijeljenje potencija istih baza: am : an = am-n.

a) 149 milijardi km b) 14.9 milijardi km c) 149 milijuna km d) 14.9 milijuna km

i) 34 .45 = j)34 :45= k) 34 + 4 5 = 1)34 _45 =

{

nam n+m a =a n ~=an-m

am

m) 2.3 4 .3 4 = n)234 :3 4 = 0)2.3 4 +3 4 = p)234 _3 4 =

{~bY m ISTE EKSPONENTE' ~ osim potpuno jednakih

12. Zadatak. (2011-3) Jedna galaksija udaljena je od Zemlje 150 megaparseka (1 megaparsek = 106 parseka, al parsek = 3.09,1016 metara). Koliko iznosi ta udaljenost izraena u kilometrima? A. 4.854'1020 km B. 4.635,1021 km C. 4.635,1022 km D. 4.854'1023 km

13. Zadatak :* Masa Zemlje je 5.976 . 1024 kilograma. Masa Zemlje jednaka je 3.137 . 10-3 mase Jupitera. Kolika je masa

26 .2 7 1011 312 5 8 Jupitera izraena u kilogramima? a. 1.9 . 1021 a. --- b. c. __

d. a a 212 103 .106 35 .3 4

11. Zadatak. (2012-1) Masa elektrona je 9.1094 . 10-31 kg. Koliko je to grama? A. 9.1094 . 10-34 grama C. 9.1094' 10-29 grama

B. 9.1094 . 10-33 grama D. 9.1094 . 10-28 grama

c. 1.9 1027 b. 1.9 . 1025 d. 1.9 . 1031

14. Zadatak. (2013-1) Masa elektrona iznosi 9.109,10-31 kg, a masa protona 1.674.10-27 kg. Koliko je puta masa protona vea od mase elektrona? a. 184 puta c. 1838 puta

b. 544 puta d. 5442 puta

7 www.trinom.hr


TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333 333

Teorem: Produkt m jednakih potencija an . an ..... an je potencija (an r . Pritom vrijedi: ,an. a: .00 a~ = (an r = an.m Ovakva se situacija zove potenciranje potencije. fi faktora

18. Zadatak. Izraunaj. 15. Zadatak. Napii u obliku potencije s bazom 2. b. (25 t c. a._2 2 .(_2 2) b.-3 2 .(-3Y C.(_23) d.-(-32)

16. Zadatak. (2011-2) emu je jednak broj (_32)3 ?

17. Zadatak. (2013-1) Zadani su brojevi K = 3-2 , L = -r2, M = -32, N = (-3 )2. to je od navedenoga tono? a. K = L b. K < M c. L> N d. M ct N

~ ZBRAJANJE I ODUZIMANJE POTENCIJA 16. Primjer:llzraunaj bez modificiranja izraza: a) 102 + 103 = ne moe b) 32 + 4 2 = ne moe

20 -21 +2 2 -2 3 20. Zadatak. (2012-2) Neka je a= (O 1) 2 3 . Koliki je broj a?

2:2 '(2:2)

19. Zadatak. Zapii kao potenciju: a) o.rl b) 1

0.Q1-2

a. -24 b.-20

Zakljuak: Zbrajati (oduzimati) moemo samo potpuno identine potencije:,an + a: + u. + qn = f' an k lanova koeficijent

c) -0.0012 1000.1

c.O

8 d)_2S_ S3 .12S4

d. 1

21. Zadatak. Izraunaj. a) 54 +54 +5 4 +54 +54

22. Zadatak. Izraunaj. a) 11 x3 - 5 x3 + 2 . x3 - x3 b. 45 +45 +45 +2.45

b) 11.83 -5.83 +2.83 -83 c.

c)

lO-I + 10-2 + 10-3

7.3 9 +2.39

23. Zadatak :* Svemirska sonda putuje prema planeti udaljenoj 4.109 km od Zemlje. Nakon to je prola etvrtinu puta, izgubila je vezu s bazom na Zemlji. Veza je ponovno uspostavljena na udaljenosti 1.3.109 km od Zemlje. Koliko je kilometara sonda preletjela bez kontakta s bazom? a. 3.108 km b. 3.107 km c.130km d.13km

Zadaci za napredne:

I/\Ik' -n 1 . .v X d b' , r' o u Izrazu a = - umjesto a pisemo - o lt cemo. an Y

24. Zadatak. Izraunaj

a. 4-1 +3{ir2 s+Gf 3

c) r 3 _(~)-4 -( -~J r

2 +6ur

e. (3:~' r~a'b-' T' f. (8a-2j3 .(16a-3j-3 b-3 b-2 25. Zadatak. Zapii u obliku potencije. a.62 11 +546 b.0.11O-3 +910-4

C. KORJENOVANJE

DEFINICIJA: Ako je a pozitivan realan broj, a n prirodan broj onda je n-ti korijen iz a, pozitivan broj ija je n-ta potencija jednaka a. Oznaava se oznakom rf; . Ako je n neparan, onda postoji n-ti korijen iz negativnih brojeva.

Primjeri: ~ = -2, VS = 2, V625 = 5, dok npr. V- 625 nije realan broj. m

Napomena: Pomou formule x -; = 'if? moete prelaziti iz potencija u korijene i obratno. Radite s onim to vie volite. 1. Zadatak. (2010-1) Kolika je vrijednost broja m zaokruena na tri decimale?

3 a.1.760 b.1.763

2. Zadatak. (2011-3) Zadani su brojevi a = 4 i b = ~. Izraunajte broj M = J 1 + a: i zapiite ga na tri decimale. 4 b

c.1.764 d.1.770

www.trinom.hr 8

TRINOM d.o.o. (o> pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

3. Zadatak. Sljedee korijene zapiite u obliku potencija i u decimalnom obliku:

a) .fi c) ?fi4 d)~ e)~ f) V_24 gl v(- ;7 r 4. Zadatak. Sljedee potencije zapiite u obliku korijena i u decimalnom obliku:

1 2 1 3 3 a)3 2 b)3 3 c)(-64}3 d) (-16}z e)-9 2

2 -2

-

f) -8 3 g) (-2)3

( )

-3 1

s.Zadatak.Akoje x= ~ +3.42 (-5tl +12.(-5t2 +(-5t3 ,kolikoje x 3 : a) 19/5 b) 21/5 c) 23/5

D. APSOLUTNA VRIJEDNOST (MODUL) REALNOG BROJA

{X x>O

DEFINICIJA: lxi = ' -. -x, x

www.trinom.hr

5. Zadatak. (2010-2) Koji je rezultat sreivanja izraza x(5 - 2x) + 2X2 - 9 ?

a) 2X2 + 3x - 9 e) 3x - 9

b) 4x2 + 5x - 9 d) 5x - 9

6. Zadatak:* Izraunajte i sredite izraz (x + 1 Xx - 2) = 7. Zadatak:* Pomnoite i pojednostavnite izraz (x - 4 X3 + x) . 8. Zadatak. (2011-2) Izraunajte i sredite izraz (a + 2) . (2a + 3). 9. Zadatak. (2013-2) Izraunajte i sredite a(a - l)(a + 2). a. a3 + a2 - 2a b. a3 + a - 2 C. a3 - 2a

9

Kvadrat binoma:

(xy)2 =x2 2xy+ y2 Razlika kvadrata:

x 2 - y2 = (x - y Xx + y)

13. Zadatak :* (2x - 3 f = 14. Zadatak :* Popuni:(3+ )2= + +4X2

15. Zadatak :* Izraz (3 + 2x? jednak je: a) 9+6x+2x2 b) 9+l2x+2x2 e) 9+6x+4x2 d) 9+l2x+4x2 16. Zadatak :* Izraz (3m - 2) 2 jednak je a) 3m2-6m+2 b) 9m2-6m+4 e) 9m2 -12m+4 d) 3m2 -12m+2 17. Zadatak. (2013-1) emu je, nakon sreivanja, jednak izraz (x-l)2- x -l?

v (3a+1)2 18. Zadatak. (2010-1) Cemu je jednak izraz -3- ? 3a2+6a+1

a)---9

9a2+3a+1 e)---

3

9a2+6a+1 b)---9

3a2+3a+1 d)---3

19. Zadatak. (2010-2) emu je jednak izraz (a3 + 2)2 ? a) a 6 + 4a3 + 4 b) a 6 + 2a3 + 4 e) a 5 + 4a3 + 4 d) a 5 + 2a3 + 4 20. Zadatak. (2011-1) emu je jednak izraz (aS - 2)2? a) alO - 4as + 4 b) alO + 4as + 4 e) a 7 + 4as + 4 d) a7 - 4as + 4 21. Zadatak. (2011-3) Koja je jednakost tona za svaki a E ~ ? a. (a - 1)2 + 2a = a2 - 1 b. (a + 1)2 - 2a = a2 + 1 c. (a - l)(a + 1) = 1 - a2 d. (a + l)(a + 1) = 1 + a2

22. Zadatak Izraz (2 - 4x)2 je jednak izrazu a) 4-16x2 b) 4+16x2 e) (4x-2)2 d) 2(1-2xf 23. Zadatak :* emu je jednak izraz 2X2 + 12x + 18? a) (2x + 3)2 b) (2x + ~y e) 2(x + 3)2 d) (x + ~y

2 2

24. Zadatak Koji od sljedeih trinoma nije mogue zapisati kao kvadrat binoma? a) a2b2 +2ab+1 b) O.2Sa2 +a+l e) O.2Sa4 -2a2 +1 d) O.2Sa4 +2a2 +4 25. Zadatak :* Za sve realne brojeve x i y vrijedi: a) y-x=-(x+y) b) y-x=-(x-y) e) y-x=-(-y-x) d) y-x=-(y-x)

TRINOM d.o.o. ,~ pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333 333

10. Zadatak. (2012-2) Sredite i pojednostavnite izraz (a + 3)(2a - 1) - 3a(a + 1).

11. Zadatak. (2010-3) emu je, nakon sreivanja, jednak izraz (2x - l)(x - 3)(x + 2) ? a) 2x3 - 3x2 - llx + 6 e) 2x 3 - x 2 - llx - 6

b) 2x3 - 3x2 + 13x + 6 d) 2x3 - 3x2 + 13x - 6

12. Zadatak. Ako je a = -4 x = rs, izraunaj vrijednost izraza .fi' -y15

l(ax 2 + 8)- (2ax 2 + 13)- (- ax2 - ax - 6 )j.(ax -1).

Suma kvadrata: x 2 + y2 = nema rastava nad R

26. Zadatak :* Koja od sljedeih tvrdnji nije uvijek tona za realne brojeve a i b? a) a - b = -(b - a) e) a2 _b2 =(a-b)2

b) (a-b)2 =(b-af d) (a+b)2 =(_a_b)2

27. Zadatak. (2010-3) emu je jednak izraz 4p2 - 9 ? a) (2p - 3)(2p - 3) b) (2p - 3)(2p + 3) e) - (2p + 3)(2p + 3) d) - (2p - 3)(2p - 3)

2 2 28. Zadatak. (2011-1) Koliko je umnoak (V3 - 1) . (V3 + 1) ? a. v3 - 1 b. v3 + 1 c.4 d. 8

29. Zadatak. (2010-3)Koji je rezultat skraivanja razlomka~, xy-x

za x:;t: O,y:;t: l? all b)-~

y-x x y

e)-y-1

1 d)--y

4-2a 30. Zadatak. (2013-1) Razlomak --2 skratite do kraja. 2a-a

2_4 31. Zadatak. (2012-1j to je rezultat sreivanja izraza -;-- za 2y -4y sve y za koje je izraz definiran?

y+2 1 a.- b.-2y 2y

1 C. -

Y

y-2 d.-2y

v 2a2+4a 32. Zadatak. (2012-2) Sto je rezultat sreivanja izraza -2- za

a -4 sve a za koje je izraz definiran? a.2 + a b.2 - a

2a C.-

a+2 2a d.-

a-2 a2 +6a+9

33. Zadatak. (2013-2) Koliko je, nakon skraivanja, 2 ?

x(X+I)- y(x+I) 34. Zadatak Skrati razlomak 2 .

x -1 x-y

a)--x+ 1

b)-y-x 2 -1

x-y e)--

x-l

a +3a

9-(a-4)2 35. Zadatak :* Skraivanjem izraza dobivamo:

14-2a l-a 2

a)--14-2a

b) 3a+2 2

l-a e)-

2

36. Zadatak:* Koji je rezultat oduzimanja ~-~ =? a b

a-b a)--

ab b) b-a

ab 1

e)--a-b

d) a-l 2

d)_l_ b-a

www.trinom.hr 1 2

37. Zadatak. (2011-2) Koliki je rezultat zbrajanja - + -? 3-a 3a

10

3 2 a+2 d) a+6 a)- b)- e)-- ---3-2a 3-a a(3-a) 3a(3-a)

111 38. Zadatak :* ---+-=

ab ac bc a) -a+b+c

abc b) a-b+c

abc e) a+b-c

abc

39. Zadatak :* 3x-2

a)--

Sx Koliki je rezultat oduzimanja - - 2 ? l+x

6x-2 l+x

4x-2 b)-

l+x e)--

l+x

-a-b+c d)---abc

7x-2 d)-

l+x

1+2a 40. Zadatak :* Koliki je rezultat oduzimanja 3 ---?

a

a-l a)-

a ) a+l b-

a

l 6 41. Zadatak :* --- -- = a-3 a2 -9

-5 a) 2

a +a-12 a-9

b)-2-a -9

5a-l e)--

a

d) 5a+l a

d) _1_ a+3

2x 1 42. Zadatak. (2010-1) Koliko je -2- - -, za x =t= Z?

x -4 x-2 1

a)-x+2

2x-1 b)-

x+2 1

e)-x-2

43. Zadatak. (2011-1) Koji je rezultat oduzimanja 2(x-2) 3 ----,zax =t= 1? x2-1 x+l

1 1 1 a)- b)- e)-l-x x-l l+x

-1 d)-x+l


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

44. Zadatak. (2010-2) Koji je rezultat dijeljenja

(3a-b 1) 6a hz + J; : b' za a =t= o, b =t= O ? 2 2 1 1

a); b) J; e)2a d)2b 45. Zadatak. (2011-3) emu je, nakon sreivanja, jednak izraz ( X-s x+S) x --- :--akojex=t= +S,x=t= O? x+S x-s x2-2S -a.-l0 b.-20 c.5x d.2x

46. Zadatak: Izraunaj

a) 2a-2 _ a+3 2a-6 3a-9

b 4a c) -::---

2a2 -ab 2ab-b2

47. Zadatak: Izraunaj a) a-2_~

a2 - a l-a2

c)[a-~l_8 4 4-a2

Zadaci za napredne:

48. Zadatak. Pojednostavi

a.O b. -1

3a2 2 b)-----6a+4 9a+6

4b 9a d) ---::---3a2 +2ab 3ab+2b 2

a-6 2 b) --2 + 2

4-a 2a-a

d) l-4x2 . (2x-l)2 x 2 -4x x 2 -l6

x+1 x+--

l x -l + 1- x(x + 1)

x -l c.l/x+l d. 1

.... . a-3 +a-2 l 49. Zadatak: KOJa je vrijednost Izraza -2 : 2 ?

a a.--

l-a b._a_

a-l

a -1 a a-l

c.--a

l-a d.--

a

2.2. Transformacije formula (Rjeavanje jednadbi!)

1 Zadatak :* Ako je x - y - 3 = O, tada je y jednako: a)y=-x-3 b)y=-x+3 e) y =x-3 d) y=x+3

2. Zadatak :* Ako je 9x + 3y - 4 = O, koliko je y? l 4 4

a) y=-x-- b) y=-3x+-3 3 3

1 4 e) y=--x+-

3 3 4

d) Y =3x--3

3. Zadatak. (2010-2) Ako je kx + l = O i x =t= O, emu je jednako k? a) k = -l + x b) k = -l - x

x l e) k = - - d) k = --

l x

4. Zadatak :* Ako je 1 = 3a + Zb, koliko je b? 1 3 1 3

a) b = - - -a b) b = - +-a 2 2 2 2

1 1 e) b = - - + 3a d) b = - - - 3a

2 2

5. Zadatak :* Ako je ~ +..L = 1 tada je y jednako: 3 -2

2 2 a) y=--x+2 b) y=-x-2

3 3 3

e) y=--x+2 2

3 d) y =-x-2

2

6. Zadatak. (2012-1) Koliko je x ako je ~ + ~ = 1 2 4

1 1 A. x = Z - -y B. x = 1 --y 2 2 1 1 C. X = Z - -y D. x = 1 --y 8 8

NI 7. Zadatak. Iz formule B = f-l-- odredi: a) L

L 1 Q.Q

8. Zadatak Iz F =-.~ odredi: 4;r&" r

E mOJ 2 . 9. Zadatak Iz formule - = -- odredi: a) m

y2 2

b) &"

b) y

av 10. Zadatak :* Ako je P = 10 i ako je P = --, tada je a v:

2 a) 1/5 b) 5 e) 12 d) 20

11. Zadatak :* Ako je P = a + c . V , tada je v: 2

2P a) V=--

a-c b) V= 2P

a+c e) V= a+c

2P d) V= 2P-a

c

12. Zadatak:* Akoje P=6 iakoje p=a+c.v,tadaje a+c: 2

a) 3/v b) 12/v e) 3 - v d) 12 - v

www.trinom.hr

13. Zadatak. (2010-3) emu je jednako a ako je S = ~ (a + b) ? 2

l+x 14. Zadatak. (2011-3) Iz jednadbe - =b izrazite x.

a

a+b+c 15. Zadatak. (2010-1) Ako je s= -2-' emu je jednako a ?

s-b-c a)a=--

2

e) a = 2s - b - e

b) a = 2(s - b - e) b+c

dIa = 2s+-2

a 16. Zadatak. (2011-2) Ako je - = 2, koliko je K? K-l

11

a)k= a+l b)k= a+2 e)k = a-l a-2 d)k=-2 2 2 2

17. Zadatak. (2011-1) Ako je ms + B = P, emu je jednako s ? p p P P-B

a)- b)--B e)- d)-rrr+B fTI fTI-B fTI

3b 18. Zadatak. (2012-2) Koliko je b ako je - = 1 - a?

2 v k

19. Zadatak. (2013-2) Cemu je jednako k ako je m = '2 -3p? a. k = m + 3p b. k m + 6 P c. k = 2m + 3p d. k = 2m + 6 P

20. Zadatak. (2013-1) emu je jednako Z iz formule s = !!:.(t - z)?

m

a. z = ht - ms b. z = ht + ms ht-ms C.z= --

h ht+ms d.z= --

h

21. Zadatak. Odredite h iz formule S = rn-(r + 2h) .

a)h=..!..(~-rl b)h=..!..(~+rl 2 rn ) 2 rn )

l (rn I d) h="2 S+r) 22. Zadatak. (2010-3) Zadana je formula (S + g): (100 + p) = S: 100. Koliko je S ako je p = 2.65

g = 864.96? a) 22 143 b) 29 881 e) 32 640 d) 36485

1 2 23. Zadatak. Iz formule h = vot +- gt odredi g. 2

24. Zadatak. Izrazite a iz izraza p = ab + (a + b)V . 1

25. Zadatak. Odredite Vo iz formule s=vot+-(v-vo)t 2

TRINOM d.o.o. ;> pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

26. Zadatak. Odredite s ako je t = s + r (s *- r,t *- l). s-r

27. Zadatak: Iz sljedeih jednakosti odredi x (rijei jednadbe). 2x+ 7 1 2bv 1

a) --=- b) 5u=-- c) 4a=-+5a+2 3 2 3mx x

28. Zadatak. (2012-2) Naknada za obavljeni dio posla u nekoj d' .. v f I' d + (p-307)'20 d" ra 10nlcI racuna se prema ormu I n = 1.76' g Je Je

p broj izraenih proizvoda, a d dodatak na sloenost posla. Koliko je proizvoda izradio Josip ako je dobio 3 417 kuna, a dodatak na sloenost posla bio mu je 42 kune? A.582 B.593 C. 604 D.615

29. Zadatak. (2011-3) Mjerenjem je ustanovljeno da visinu uenika i duljine njegove podlaktice povezuje formula 3v - 20p + 10 = O gdje je p duljina podlaktice u cm, a v visina uenika u cm.

a. Koliko je visok uenik kojemu je podlaktica 26.3 cm? b. Kolika je duljina podlaktice uenika koji je visok 168 cm?

30. Zadatak. (2011-2) Kvocijent inteligencije osobe oznauje se fi

s IQ, rauna prema formuli IQ = 100 . - i izraava zaokruen na s

najblii cijeli broj. Veliina fi oznaka je za mentalnu dob, a s oznaka za starost osobe i obje se mjere u godinama.

a. Koliki je kvocijent inteligencije osobe stare 19 godina koja ima mentalnu dob od 22 godine?

b. Koliko godina ima osoba koja ima kvocijent inteligencije 120, a mentalnu dob od 18 godina?

31. Zadatak :* Formulom F = ~ K - 459.67 povezani su s

stupnjevi Fahrenheita (OF) sa stupnjevima Kelvina (K). a. Odredite koliko je 200 K izraeno u stupnjevima

Fa hren heita? b. Odredite koliko je O oF izraeno u stupnjevima Kelvina?

32. Zadatak :* Formula koja povezuje stupnjeve Celzijeve (0C) sa stupnjevima Fahrenheita (OF) je e = 5(F -32) .

9 a. Odredite koliko je 451 oF izraeno.u Celzijevima. b. Na kojoj se temperaturi Fahrenheitova i Celzijeva skala

podudaraju? c. Iz gornje formule izvedi novu pomou koje se stupnjevi

Celzijusa preraunavaju u stupnjeve Fahrenheita. d. Na koliko se stupnjeva Fahrenheita voda smrzava, a na

koliko vrije?

13. FUNKCIJEl Pojmovi i injenice koje trebate znati za ovu cjelinu: APSCISA - prva koordinata toke u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Obino se oznaava slovom x. EKVIVALENTNE JEDNADBE - jednadbe koje imaju jednak skup rjeenja. IDENTITET - jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabla koje sudjeluju u toj jednakosti. Identitet se naziva i identinom jednakosti.

Da bi se ukazalo na to da se radi o identitetu, esto se umjesto znaka jednakosti = rabi znak identine jednakosti ==. KONSTANTA - veliina u matematici koja se ne mijenja nego ima vrstu vrijednost. Na primjer u funkciji j(x) = ax + b, brojevi Q, b su

konstante (ne mijenjaju se), a x je varijabla (mijenja se). KOORDINATNI SUSTAV u ravnini - dva brojevna pravca u ravnini koji se sijeku u toki O koja je ishodite oba pravaca. Pravci se nazivaju

koordinatnim osima, a toka O ishoditem koordinatnog sustava. Obino se misli na pravokutan (Kartezijev) koordinatni sustav kojemu su koordinatne osi okomite. Horizontalna os je os apscisa - x os, a vertikalna os je os ordinata - y os.

KOORDINATNA RAVNINA - ravnina u koju je uveden koordinatni sustav. KORIJEN JEDNADBE - isto to i rjeenje jednadbe. ORDINATA - druga koordinata toke u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Obino se oznaava slovom y.

12 www.trinom.hr


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

PARAMETAR- veliina o ijim vrijednostima ovise formule, funkcije ili neki drugi matematiki objekti. Tako opa kvadratna jednadba ax

2 + bx + e = O . ovisi o parametrima a *- O, b i c. Drugim rijeima, gornjom je jednadbom zadan skup svih kvadratnih jednadbi. Ako se zadaju parametri, onda je jednadba poznata.

SKUP VRIJEDNOSTI funkcije f: A ~ B jest skup \RV) = {j (x ): x E A}. Ovaj skup je podskup kodomene. SLIKA funkcije - isto to i skup vrijednosti funkcije.

3.1. Koordinatni sustav u ravnini.

TEOREM: Neka su A(xI' YI ),B(X2 ,h) bilo koje dvije toke u ravnini. Tada je njihova udaljenost jednaka d(A,B) = IABI = ~(X2 - xI)2 + (Y2 - YI)2

1. Zadatak. (2013-1) Koja od navedenih toaka koordinatnoga sustava lei na osi apscisa (osi x )? a. (-1,1) b. (0,-3)

3. Zadatak :* Udaljenost toaka S(3,0) i T(O,l) iznosi: a) S b) J10 c) 4 d) fi

I

c. (1,-1) d. (3,0) 2. Zadatak. (2013-2) Odredite sjecita pravca, prikazanoga na slici, s koordinatnim osima.

4. Zadatak. (2013-2) Kolika je udaljenost toaka K(-2,3) i L(5,1) u koordinatnome sustavu? a. m b.5 c . ..J53 d. 9 5. Zadatak :* Zadane su toke A(- 6,-2),B(- 2,1), C(4,S). Zadane toke ucrtajte u koordinatni sustav.

Odgovor: ( __ , __ ) i (-, __ )

Izraunajte meusobne udaljenosti toaka A, B i C te odredite broj IABI + IBCI-IACI zaokruen na tri decimale.

6. Zadatak. (2010-1) Karmela i Karlo krenuli su skupa od kue prema koli. Ili su zajedno do mjesta K ucrtanim putem, a onda je Karmela otila preicom (isprekidana crta), a Karlo okolnim putem (puna crta). Koordinate na crteu dane su u metrima.

.------.,---~-- KOLA

a. Odredite koordinate toke K. Odgovor: K (-, ___ ) b. Odredite koliki je ukupni put preao Karlo od kue do kole.

Odgovor: ________ m 50--'.

c. Za koliko je Karmela prela krai put od Karla, hodajui od KUA 100 kue do kole? Odgovor: ________ m

7. Zadatak. (2010-2) Na timskome radu grupa je dobila zadatak u kartu ucrtati svoj .A poloaj. U tome trenutku nalaze se u toki T (150,-75) . Koordinate njihova poloaja dane su u metrima.

a. Ucrtajte njihov poloaj u kartu i oznaite ga tokom T . b. Odredite udaljenost toaka A i T i zaokruite je na cijeli broj. c. Iz svojega poloaja grupa moe doi do poloaja A izravno ili preko toke B.

Za koliko je dulji put preko toke B ?

8. Zadatak :* Opseg jednakostraninog trokuta ABC, gdje je A(3,6), B(7,2), c(s + .Ji2,4 + .Ji2), jednak je:

a) hss b) Jl92 c) 24 d) 12 .B

(0.25)

(25, O)

9. Zadatak: Odredi opseg trokuta ABC ako je A(-2,!), B(-2,5) i C(-6,-2). Rezultat zaokruite na dvije decimale. 10. Zadatak: Duina AB, A(-3,-1), B(2,2) podijeljena je tokama r; ,T2 , T3, T4 na 5 jednakih dijelova. Odredi duljinu r;T3

11. Zadatak. Na maturi iz matematike kandidati su imali 10 zadataka. Prolaznu su ocjenu dobili svi koji su tono rijeili barem pola testa.

a. U jednoj reenici opiite to prikazuje graf. b. Koliko je na ispitu bilo kandidata? c. Objasnite to pokazuju toka B . d. Koliko % kandidata je dobilo ocjenu 1, a koliko S? e. Je li test bio lagan ili teak? Argumentiraj.

1 Broj rijeenih zadataka 9 8 7 6 5 4 3 2 1 o

.1 O 1 2 3 4 5 6 7

D c

B

A

Bro' maturanata 8 9 10 12 14 16 18 20

13 www.trinom.hr

12. Zadatak. (2012-1) Na dijagramu na osi x prikazane su toke strujnog kruga A, B, e, D, E, F i G, a na osi y prikazani su potencijali u tim tokama izraeni u voltima (V). Napon izmeu dviju toaka strujnog kruga jednak je razlici potencijala promatranih toaka.

a. Koliko volti iznosi napon izmeu toaka e iF? Odgovor: V

b. Izmeu kojih dviju toaka strujnog kruga je napon jednak 60 V? Odgovor: _______ _

13. Zadatak :* Biljeeno je vrijeme potrebno uenicima da odigraju raunalnu igricu. Podaci su uneseni u koordinatni sustav na sljedei nain: Toka A oznauje da je 20 uenika odigralo igricu do kraja za vie od O, a manje od 5 minuta. Toka B oznauje da je 25 uenika odigralo igricu do kraja za vie od 5, a manje od 15 minuta. Toka e oznauje da je 20 uenika odigralo igricu do kraja za vie od 15, a manje od 20 minuta i tako dalje.

Pitanja: a. to oznauje toka G? b. Koliko je uenika igralo raunalnu igricu? c. Koliki je postotak uenika trebao manje od 5 min da zavri igricu?

14. Zadatak. (2011-2) Na slici je prikazan priblian broj stanovnika nekih hrvatskih upanija prema popisu iz 2001. godine.

a. Koliko priblino stanovnika ima upanija s oznakom E? b. Koliko ima upanija na slici koje imaju manje od 250000

stanovnika? c. Uoite upaniju sa slike s najveim i onu s najmanjim brojem

stanovnika. Za te upanije procijenite koliko puta vea upanija ima vie stanovnika od manje.

15. Zadatak. (2011-3) Nastavnik je rezultate uenika na ispitu prikazao sljedeim grafom.

a. Koliko je uenika postiglo 6 bodova? b. Koliko je uenika pisalo ispit? c. Koliki je prosjean broj bodova po ueniku?


TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333333

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

POL:lh:i:,:i ,\ , -.---~---- .. -.--;-

_____________________ .!. ______ l_

- ---------.--~--- --~--. --1-: i lO - - ~ - - -- - - - - - - ~ - - -- - - T - - - - - -"'1-

A

ll}

,[ li e I> r /' (i

B

e

D

E

t(Jl'h- ~lnlJ[)u~ h.rtl~a

F

G

minute 5 O 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6!

broj i i ! I l j i i stanovnika' --i---'---i---t---t---t---t----~-

! ! ! ! ! i l i --........:---+----+----~---4-------!---+---!--

! ! ! ! ! l ; -_+__--t-___J_--t-----i------r---r-

i i i i i i i ---r---r----j---1----t-----r--r

500000 .-.-. ---r---"1"---l--t------l------t----r------ ----"*----.4.-----1--. --.-l-.---~-----j.._

:c:~: ==:~i -=:~:f:=:~ l ---- -----l-:~:~:t=~:-f= ! '

100 000 - -----i-----

A

broj

8 e D G H upanije

uenj~a. ----I---j----..1.-----I-.--1---- ----L---1--.-J.-.. 1.----L----l.-6 ---.l---j-----L----L---L--- ----.l---t--.J----.L----L---l--5 _\_+_+----\----t--_ ---+--t--- i ._+ .. _.\-----\--4' _1--\_+_1-- ._.. -j-t- ----t--'-'j-'" .-3 ___ 1_._J _____ 1 _____ I-___ ---- -----~--__+--- .-.. ~-----~-.-- --

I I I ';"

2 .. _-j-._! .---- --..j---- ---- -----~---+-. -f_! 1- j i i 1 i

.. - .. ._ ..... _. ..- ._.. "-T-- _.- ----r'-' ... .-9 10 11 12

broj bodova

, I ! ,

! ! : 16. Zadatak. (2013-2) Na slici su grafiki prikazana vremenska razdoblja u FiHp kojima su navedene osobe bile zaposlene.

Ena ,--

r : , ! Dragica a. Koliko je navedenih osoba bilo zaposleno 1990. godine?

I Odgovor: _______ _ Cvita .-

b, Koliko je godina Ava bila zaposlena dulje od Borisa? Boris Odgovor: god. :

AVlt ,

I ! I

190tJ. 1920. 1940. 1960. 1980, 2000, 2020.

14 www.trinom.hr


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

17. Zadatak. (2013-1) Na slici su prikazani rezultati pismenoga ispita u nekoj koli. Pravokutnik na intervalu od 10 do 20 bodova predouje da su 2 uenika imala vie od 10, a manje ili jednako 20 bodova, a primjerice, pravokutnik na intervalu od 40 do 50 bodova predouje da je 15 uenika imalo vie od 40, a manje ili jednako 50 bodova.

a. Koliko je ukupno uenika pisalo ispit? b. Koliko je najmanje bodova bilo potrebno za pozitivnu ocjenu ako

31 uenik nije dobio pozitivnu ocjenu?

BROJ L'E~"]K-\'

45

40

35

31 )

25

20

15

10

:

= = = = = = = =

: = ;::::= f= f= 10 20 30 40 50 60 70 80 90 LOO BODO\ 1

3.2. Pojam funkcije i njeno zadavanje. Graf funkcije.

Ukoliko postoji veza izmeu elemenata dvaju precizno definiranih skupova, tada pod odreenim uvjetima tu vezu zovemo funkcijom. Funkcija je zadana ako postoji pravilo po kojem je svakom elementu iz prvog skupa pridruen tono jedan element iz drugog skupa.

Prvi skup zovemo podruje definicije ili domena (oznaka D), a drugi skup podruje vrijednosti funkcije ili kodomena (oznaka K). Tu injenicu zapisujemo ovako: f: D ~ K .

Element skupa D obino oznaavamo slovom x i zovemo ga argument ili (nezavisna) varijabla funkcije, a element y iz skupa K u koji se taj x preslikao zovemo vrijednost funkcije za argument x (ili zavisna varijabla) i oznaavamo ga y = f(x). Skup svih vrijednosti funkcije (skup svih y-a) zovemo slika funkcije i oznaavamo s SJ. Vrijedi S J ~ K .

U raznim zadacima elementarne matematike vrlo su este funkcije kojima je domena ili kodomena skup R. Takve funkcije imaju i posebna imena:

Ako je domena skup R, funkciju zovemo funkcija realnog argumenta; Ako je kodomena skup R, funkciju zovemo realna funkcija.

Primjer: f: R ~ R, f(x) = 2x - 3. Za ovu funkciju kaemo da je realna funkcija realnog argumanta. Funkcije u matematici moemo zadati na 3 naina:

Formulom - najprecizniji i najei nain zadavanja iz kojeg se lako dobivaju dva preostala; f

x fix) 2 -1

Primjer: f(x) = -x + 1 => 1 O O 1

=>

2 1 -1 -2 kA .. j un cIJe domena f -1

slika funkcije Tablicom - ovakav nain zadavanja najee je posljedica razliitih mjerenja iji se rezultati zapisuju u obliku tablice; Grafiki - rijetko se koristi za zadavanje funkcije.

1. Zadatak :* Graf na slici prikazuje kretanje cijene jedne dionice tvrtke "MATA" tijekom nekog radnog dana. Za prikazano razdoblje odredite:

a. Koliko je puta tijekom tog radnog dana cijena dionice bila 7 kn? b. Koliko se sati cijena dionice nije mijenjala? c. Od kojeg do kojeg sata je cijena dionice najbre rasla? d. Koliki je bio najvei mogui gubitak po dionici kupljenoj i

prodanoj toga dana? e. Koliki je bio najvei mogui dobitak po dionici kupljenoj i

prodanoj toga dana? f. Koliko je na kraju dana zaradila osoba koja je dionicu kupila u 8

h?

" 10 cijena dionice (kn)

~~~i O 2 3 4 5 6 8 9 10 ii 12 13 14 15 16 17 vrijeme (h)

15 www.trinom.hr

2. Zadatak :* Graf prikazuje visinu snijega izmjerenoga na Zavianu tijekom jednog tjedna.

a. Kolika je visina snijega na poetku mjerenja prikazanih grafom? b. Snijeg je padao u dva navrata. Koliko je centimetara snijega

ukupno napadalo u ta dva navrata? c. Napiite kada se visina snijega spustila na lm. d. Opiite rijeima to se dogaa sa snijegom od petka u 6:00 do

nedjelje u 6:00. e. Kolika je visina snijega izmjerena u nedjelju u 6:00 sati? f. Kada je prvi put izmjerena visina snijega od 120 cm?

3. Zadatak :* Ana i Marko rodili su se istoga dana. Na grafu su krivulje koje pokazuju kako se mijenjala visina Ane i Marka u prva 24 mjeseca ivota.

a. Koliko je Ana bila visoka s 23 mjeseca ivota? b. Koliko je mjeseci imao Marko kada je bio visok 80 cm? c. Za koliko je Marko bio vii od Ane na njihov prvi roendan? d. U kojem mjesecu ivota je Marko bio 5 cm vii od Ane?

4. Zadatak. (2012-2) Graf prikazuje vezu cijene (u kunama) i koliine jagoda (u mjericama).

a. Kolika je cijena 12 mjerica jagoda? b. Koliko se mjerica moe kupiti za 100 kn? c. Svaka mjerica ima masu od 40 dag. Koliko stoji 9 kg jagoda?

5. Zadatak. (2010-3) Na slici je prikazana ovisnost trenutane brzine gibanja tijela v i vremena t. Brzina je izraena u kilometrima na sat (km/h), a vrijeme u satima (h).

a. Koliko je iznosila trenutana brzina tijela u 1.2 sata nakon poetka gibanja? Odgovor: km/h

b. Koliko se ukupno minuta gibalo tijelo kojem je graf prikazan na slici? Odgovor: minuta

c. Koliko se dugo tijelo gibalo konstantnom (istom) brzinom? Odgovor: sati

6. Zadatak :* Na slici je prikazana ovisnost prijeenoga puta i potroenih litara benzina ako se vozilo kree brzinom 60 km/h, odnosno 90 km/h.

a. Koliko je kilometara prelo vozilo koje je vozilo brzinom od 60 km/h i potroilo 30 I benzina?

b. Koliko je litara benzina potroilo vozilo koje je vozilo brzinom od 90 km/h i prelo 300 km?

c. Koliko vie litara benzina potroi vozilo koje vozi 90 km/h od vozila koje vozi 60 km/h na putu od 375 km?

TRINOM d.o.o.

16 www.trinom.hr

Zadaci za napredne: 7. Zadatak: Funkcija iji je graf prikazan na slici, postie najmanju vrijednost: a. za x = 2 b. za x = -1 c. za x = -2 d. za x =-4

a. Kakvog je predznaka vrijednost funkcije za x = -1 ? b. Gdje funkcija ima vrijednost -2? c. Za koje x funkcija ima negativne vrijednosti? d. Na kojem skupu funkcija poprima pozitivne vrijednosti? e. Oznai na slici vrijednost funkcije za argument l? f. Gdje funkcija ima vrijednost O? g. Navedi sve nultoke funkcije.

8. Zadatak. Funkcija je zadana grafom. a. Kakvog je predznaka vrijednost funkcije za x = -1 ? b. Za koje x funkcija ima negativne vrijednosti? c. Na kojem skupu funkcija poprima pozitivne vrijednosti? d. Kolika je vrijednost funkcije za argument l? e. Gdje funkcija ima vrijednost O? f. Gdje funkcija ima najveu vrijednost? g. Koliki je priblino maksimum funkcije? h. Koliko puta e funkcija imati vrijednost -1/2?


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

3.3. Linearna funkcija. I DEFINICIJA: Funkciju j: R ~ R zadanu formulom j(x) = kx+ b, k,b E R zovemo afina ili linearna funkcija.

Graf te funkcije je pravac.

1. Zadatak. (2013-2) Za funkciju [ex) = 3x - 2 popunite tablicu:

2. Zadatak :* Vrijednosti funkcije j(x) = 2. x - 5 prikazane su u: 2

a) I ;(x) I -~ I -: b) I ;(x) I -~ I ~~ 3. Zadatak. (2010-2) Koja tablica pripada funkciji fex) = 2x - 3?

c)

a) x fex) b) x fex) c) -1 -5 -1 -5 2 1 2 1 3 3 3 -3

4. Zadatak :* Graf linearne funkcije zadane tablicom I~ I ~1 v ", i c.

5. Zadatak :* Pravcu zadanom tablicom I ;(x) I ~1 I ~

a) (-2,-3) b) (-2,-4) c) (-2,-5) d) (-2,-6) 6. Zadatak :* Koja od navedenih toaka pripada pravcu na slici?

a) (-1,3) b) (3,-1) c) (4,3) d) (4,-4)

x

[ex)

-2 -8 d)

x fex) d) -1 -3 2 -1 3 5

3 prikazan je na slici: 2

;,j i d.

pripada toka:

4 Y

4 3 2

2 2

x fex) -1 3 2 -1 3 -5

www.trinom.hr

7. Zadatak :* U koordinatnom sustavu nacrtajte pravce: a)* y=-x+l b)* f(x)=-2x-1 c)f(x)=x-2 d)*y=3x

8. Zadatak. Nacrtajte pravac zadan jednadbom: a. (2012-2) y = 2x b. (2011-2) Y = -2x + 5. c. (2010-1) 2x + 3y = 6 d. (2011-3) y = -3x + 2

1 1 e. (2012-1) y = -x + 3. f. (2013-2) Y = --x + 2

2 2

17 TRINOM d.o.o. '''> pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite

UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

Napomena: jedan od njih skicirajte u ovu koordinatnu mreu. Vano je popuniti cijelu mreu da bi se zadatak priznao!

\.

,

I , ,

, ,

(l

, I ,

" , -~-_~ ____ I __ ~ ___ -

I I I I I I I r I I l

I ,x , ,

,

,- ,-,

I I I I __ : __ 1. __ " __ .L_..J_

, " , " I I I

9. Zadatak. (2013-1) Koja slika prikazuje graf funkcije f ex) -x + 17 Yi

V IV!

lV I V ~: II I x

V : ! V I

l'

"-i ! I~I I I I

--

J""! i I I"" ~

I~ ,

'" /

! 1'\' A. B.

1 10. Zadatak :* Na kojoj je slici prikazan pravac y = - x - 27

2

1 2 3 4 3 -2

a. -3 b.

Y I I

: v l V

i oj VI l l 1 IV L LI V I

C.

4 Y

o -2 -~1 o 1 2 3 4

-2

c. -3

11. Zadatak :* Koji graf prikazuje funkciju f(x) = 2x -17 Odredi funkcije kojima pripadaju ostali grafovi.

:V \1 x.

-2 -1 2 -2 -1 -1

a. b. c.

12. Zadatak: (2010-3) Na kojoj je slici prikazan pravac y = ax + b , za koji vrijedi a < O i b > O 7

X.

-2 -2 -1

a. b.

13. Zadatak. (2010-1) Graf funkcije fex) = 2x - 4 sijee os apscisa u toki A, a os ordinata u toki B. Koje su koordinate toaka A i B 7 a. A(2,O) , B(O,-4) b. A(O,2) , B(-4,O) c. A(-4,O) , B(O,2) d. A(O,-4) , B(2,O)

14. Zadatak. (2012-1) Koje dvije istaknute toke na slici desno pripadaju pravcu ija je jednadba 7x - 8y - 4 = 07 a. toke K i L b. toke L i N c. toke M i K d. toke N i M

2

-2

c.

yi

I~ I I i"J I I_h-J"'! I Il~1

I o l", ix I I", I I i ~ i

D.

4 Y

-3

d.

l ~ \>

-2 2

d.

-2

d.

, , '/;' ---:----:----:---*--

, , , , , ,

-------,-- I

--_' ____ 1 ____ 1

www.trinom.hr

18 TRINOM d.o.o. pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite

UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

TEOREM Jednadba pravca kojem su poznate dvije toke A(XI' YI)' B(X2' Y2) moe se dobiti po formuli Y - YI = Y2 - YI (x - Xl) X2 -Xl

Pri tome razlomak Y2 - YI zovemo koeficijent smjera i oznaavamo s k. Tada imamo Y - YI = k . (x - Xl) X2 -Xl

15. Zadatak. (2011-3) Napiite jednadbu pravca koji prolazi tokama A(-2,0) i B(2, 2). 16. Zadatak. (2013-1) Zadane su toke A( -1,6) i B (2,5) u koordinatnome sustavu.

a. Odredite udaljenost izmeu toaka A i B. Rezultat zaokruite na etiri decimale.

b. Odredite jednadbu pravca koji prolazi tokama A i B. 17. Zadatak :* Zadane su toke A(-1,2) i B(3, -1). Odredite koeficijent smjera pravca odreenoga tokama A i B. 18. Zadatak (2011-2) Kako glasi jednadba pravca prikazanoga na slici?

19. Zadatak :* Napiite eksplicitnu i implicitnu jednadbu pravca prikazanoga grafom.

Izraunajte povrinu trokuta kojega pravac zatvara s koordinatnim osima.

20. Zadatak. (2012-1) Linearna funkcija zadana je sljedeom tablicom.

x 1 2 f(x) 1 4

Koju vrijednost ima ta funkcija za x = 8 ?

2

3 7

21. Zadatak :* Zadan je pravac p kojemu je jednadba 3 y=-x-2. 4 a. Nacrtajte pravac p u koordinatnom sustavu. b. Odredite udaljenost izmeu toaka u kojima pravac p

sijee koordinatne osi. c. Odredite jednadbu po volji odabranog pravca q koji u

toki (2,y) sijee pravac p.

TEOREM Dva su pravca paralelna ako imaju jednake koeficijente smjera.

22. Zadatak :* Jednadba pravca koji je usporedan s nacrtanim pravcem i prolazi tokom (0,7) je:

l a) y=-x-7

2

b) l y=--x+7 2

c) y=2x-7 d) d) y=-2x+7

-2

23. Zadatak. (2010-2) Nacrtajte pravac ija je jednadba Y = 3x - 2. Napiite jednadbu pravca koji je s tim pravcem usporedan i koji prolazi tokom T(0,-7).

24. Zadatak. (2010-3) U koordinatnome sustavu nacrtajte pravac ija je jednadba y = 2x + 3 . Napiite jednadbu pravca koji je s tim pravcem usporedan i koji prolazi tokom T(0,-2). 25. Zadatak :* Zadan je pravac Y = -...!.x+4. Odredite pravac

2 koji prolazi tokom (4,0) i usporedan je sa zadanim pravcem. 26. Zadatak. (2011-1) Pravac p prolazi tokom M(l,l) i paralelan je s pravcem koji je odreen tokama A( -3,4) i B(5,8). U koordinatnome sustavu nacrtajte pravac p i napiite mu jednadbu.

27. Zadatak :* Formulom T(t) = -OAt + 22 prikazana je veza temperature u ledenici i vremena koje je proteklo od njezinoga ukljuivanja. Pri tom je temperatura T izraena u cC , a vrijeme t u minutama.

a. Kolika je temperatura u ledenici pola sata nakon ukljuenja? b. Nakon koliko je minuta poslije ukljuenja termometar u ledenici izmjerio cC ?

28. Zadatak. (2011-2) Telefonski operater naplauje mjesenu naknadu od 20 kuna i svaku minutu poziva po 0.21 kn. a. Koliko iznosi telefonski mjeseni raun obitelji koja je razgovarala telefonom 7 sati i 32 minute? b. Telefonski mjeseni raun neke druge obitelji iznosi 54.23 kn. Koliko su minuta ukupno trajali njihovi razgovori?

29. Zadatak. (2012-1) Radionica tijekom proizvodnje ima mjeseni troak od 300 kuna i za svaki proizvedeni artikl troak od 1.50 kuna. a. Koliki je troak imala radionica ako je jednog mjeseca proizvela 600 artikala? b. Koliko je najmanje artikala radionica proizvela ako je mjeseni troak radionice bio vei od 2900 kuna?

30. Zadatak :* Kad je penica ukljuena 5 minuta dosei e temperaturu od 55C. Kad je ukljuena 10 minuta temperatura e joj biti 87. Pretpostavimo da temperatura penice linearno ovisi o vremenu.

a. Odredite linearnu funkciju koja opisuje kako temperatura penice ovisi o vremenu. b. Kolika je temperatura penice nakon pola sata? c. Kola treba staviti u penicu kada joj je temperatura izmeu 150 i 180. U kojem vremenskom intervalu nakon ukljuenja

penice treba u nju staviti kola? Navedite granice intervala zaokruene na cijeli broj minuta.

19 www.trinom.hr

TRINOM d.o.o. ,o;, pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 0116672 404, GSM: 095 1333 333

31. Zadatak. (2010-2) Veza izmeu kilometara i milja dana je formulom y = 1.609x, gdje y oznauje kilometre, a x milje. a. Koliko je kilometara 12.3 milja? Odgovor: km b. Koliko je milja 100 km? Odgovor: milja

32. Zadatak. (2010-3) Veza izmeu litara ( y ) i galona ( x ) dana je formulom y = 4.54 . x. a. Koliko je litara 12.5 galona? Odgovor: litara b. Koliko je galona 68 litara? Odgovor: galona

33. Zadatak. (2011-1) Veza izmeu centimetara (y) i incha (x) dana je formulom y = 2.54 x. a. Koliko je centimetara 40 incha? Odgovor: _______ _ b. Koliko je incha 1 cm? Odgovor: _______ _

34. Zadatak. (2012-2) Mjera kuta moe se izraziti u radijanima i gradima. Veza meu njima dana je formulom g = 200. r, gdje je g mjera TI

kuta u gradima, a r mjera kuta uradijanima. a. Kolika je mjera kuta od 2 radijana izraena u gradima? Rezultat zaokruite na tri decimale. b. Koliko je radijana 150 gradi?

35. Zadatak. (2010-1) Rijeite jednadbu 2(x + 1) + 4 = 2 - x . 36. Zadatak. (2011-1) Rijeite jednadbu 3(2 - x) = 8x.

3 37. Zadatak. (2013-2) Rijeite jednadbu 5(2x + 1) - 3 =-.

2

38. Zadatak. (2010-2) Rijeite jednadbu x = ; ex - 3). 39. Zadatak. (2011-2) Rijeite jednadbu ~ (4x + 1) = 3.

2

v 2-x 4x+1 40. Zadatak. (2010-3) Rijeite jednadzbu -2- = -3-'

41. Zadatak. (2012-2) Rijeite jednadbu x+1 - 1 = X-2. 2 3

x+1 42. Zadatak. (2013-1) Rijeite jednadbu 3(x - 1) - - =1

2

43. Zadatak :* Rijeite jednadbu 2y - ~ = 2 . (2 +;'y). 44. Zadatak. (2011-3) Rijeite jedn. ~ (x - 1) + 4x = 5x-2 - 7.

3 6

45. Zadatak :* Rijeite jednadbe a) -5+4(x-2)=19-4x l 5 b) 5x -- = -- x

2 2 46. Zadatak :* Rijeite jednadbu a) (4-xX3+x)=1-(x-3)2 b) 2x-3 =-2.

x+5 1 4 1

c) ------=0 2x-6 x-3 2

2x+1 x2 -1 d) (2012-1) - = -

2 x

47. Zadatak. (2013-1) Broj x = 2 je rjeenje jednadbe 1

m - 3x = 5' Koliki je realan broj m? a. -29 b. - 29 c. 31 d. 31

5 5

PRIMJENA JEDNADBI. 48. Zadatak. (2011-1) Zbroj broja i njegove polovice za tri je manji od dvostruke vrijednosti broja. Koji je to broj? a. 6 b. 16 c. 20 d. 28

SS. Zadatak :* Rijeite sustave jednadbi

14x + 5 Y = 20 {2X + 3 Y = 3

a) 1 b) y=-x-2 4x+y=5

2 {

5X+4Y = 24 c) -3x+6y = 15

56. Zadatak :* Nepoznanica y iz sustava je: {3X+4Y +5 = O 7x-8y+16=0

a.3 b. X c. -1/4 d. -3

49. Zadatak. (2011-1) Otac je star 52 godine, a njegovi sinovi 24 i 18. Za koliko e god. otac biti star koliko oba njegova sina zajedno? a. 5 b. 7 c. 10 d. 12

SO. Zadatak. (2013-1) Tri sestre, Ana, Dijana i Marija, zajedno su sakupile 1500 potanskih maraka.

a. Ana je sakupila dvostruko vie maraka od Dijane, a Dijana trostruko vie od Marije. Koliko je maraka sakupila Ana?

b. Sestre su svih 1 500 maraka stavile u album koji ima paran broj stranica. Na svakoj neparnoj stranici ima mjesta za 17 maraka, a na svakoj parnoj za 30 maraka. Koliko stranica ima taj album ako im nedostaju jo etiri marke da bude popunjen?

Sl. Zadatak. (2011-3) PO dolasku na cilj grupa planinara provodila je slobodno vrijeme tako da je treina grupe otila na oblinji izvor, etvrtina je igrala drutvenu igru, estina se bavila sportskim aktivnostima, a preostalih 12 planinara sjeli su u krug i zaplakali. Koliko je ukupno bilo planinara? a.45 b.46 c.47 d.48

52. Zadatak. (2012-1) U jednome razredu petina je uenika dobila ocjenu odlian, treina vrlo dobar, tri desetine dobar, a desetina dovoljan. Dva su uenika dobila negativnu ocjenu. Koliko je uenika dobilo ocjenu odlian? a. 5 b. 6 c. 7 d. 8

53. Zadatak :* Ana, Cvita i Ivan zajedno su igrali novanu nagradnu igru. Dogovorili su se oko podjele nagrade ukoliko ju osvoje. Ana e dobiti dvije petine nagrade, od ostatka treinu e dobiti Cvita, a sve ostalo pripada Ivanu.

a. Koji e dio nagrade dobiti Cvita? Odgovor napiite u obliku razlomka.

b. Koliki postotak nagrade pripada Ivanu?

54. Zadatak. (2010-1) Marin je iao kupiti kolski pribor. Treinu novca potroio je za biljenice, onda je etvrtinu ostatka potroio za olovke i na kraju je pola onoga to je ostalo potroio za sok. Preostalo mu je 18 kn. Koliko je novaca Marin ponio sa sobom? a. 68 kn b. 72 kn c. 90 kn d. 102 kn

57. Zadatak. (2011-1) Kolika je vrijednost nepoznanice x u . d dVb {lOY - 2x + 4 = O ?

sustavu Je na z i y + 2x + 7 = O .

8 d k ( ) V. {X = 2y + 4 S . Za ata. 2010-1 Izracunajte nepoznanicu x y = 2x + T

{X = ~ + 2y

59. Zadatak. (2010-2) U sustavu jednadbi 5 2 X = -5+ 7y izraunajte nepoznanicu y .

www.trinom.hr

v {4X = 3 - 4y 60. Zadatak. (2010-3) U sustavu jednadzbi Zx = 5 _ 4y izraunajte nepoznanicu y . 61. Zadatak. (2013-1) Kolika je vrijednost nepoznanice yu

v. {-ZX + 7 = 3y ? rJesenJu sustava 3x + 50 = y .

a.11 b.12 351

c.-iZ

{y=x-z

62. Zadatak. (2011-2) Rijeite sustav 3yX = 7 .

d. 4Z1 11

63. Zadatak. (2011-3) Kolika je vrijednost nepoznanice yu sustavu jednadbi { x = y~l ?

x + Zy + 9 = O a. -6 b. -4 c. -3 d. -2

64. Zadatak. (2012-1) Odredite vrijednost nepoznanice x u v {X - 3y = Za

rJesenJu sustava Zx + y = 1 a. x = 3+2a b. x = 1+2a c. X = Za - 4 d. x=2a-1

7 5

{X - 3y = a

65. Zadatak. (2012-2) Odredite x iz sustava 3x + 5y = a'

66. Zadatak:* Koliko rjeenja ima sustav jednadbi {Y = -x + 1 ? y=3x

Zadatak rijeite grafiki!

67. Zadatak :* Sustav ima beskonano {(a + 3 )x - 3 Y = -1 8x+12y=4

mnogo rjeenja ako je: a. a=-5 b. a=-l c. a = l d. a = 5

PRIMJENA SUSTAVA.

68. Zadatak :* (2011-3) Zadana su dva cijela broja od kojih je jedan trostruko vei od drugoga. Njihov je zbroj 168. Kolika je razlika tih brojeva? a.80 b.84 c.106 d.112

69. Zadatak. (2012-2) Ukupni broj maturanata u jednoj koli je 216. Djevojaka je trostruko vie nego mladia. Koliko je vie djevojaka nego mladia meu maturantima te kole? a. 103 b. 108 c. 139 d. 144

70. Zadatak :* Zbroj dvaju cijelih brojeva je 96, a njihova je razlika 60. Jedan od tih brojeva je: a.68 b.73 c.78 d.86

71. Zadatak. (2012-2) Zbroj dvaju brojeva je 3, a njihov umnoak je 1. Koliki je zbroj kvadrata tih dvaju brojeva? a. 6.5 b. 7 c. 7.5 d.8

72. Zadatak. (2011-3) Prije tri godine Lucija i Tamara imale su zajedno 25 godina. Ako Lucija sada ima 17 godina, za koliko e godina Tamara imati 18 godina? a. za dvije b. za tri c. za etiri d. za pet 73. Zadatak. (2011-1) U avionu ima 108 mjesta. Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno. Koliko je putnika u avionu? 74. Zadatak. (2011-2) U putnikome zrakoplovu ima 108 mjesta. Na svaka dva popunjena mjesta jedno je prazno. Ako devetinu putnika ine djeca, koliko je odraslih osoba u zrakoplovu? a. 64 b. 76 c.82 d. 88

75. Zadatak :* U koari je 89 kuglica - neke su male, a neke velike. Svaka mala kuglica tei 2 g, a svaka velika 5 g. Ukupna teina kuglica u koari je 256 g. Koliko je malih kuglica u koari? a. 115 b, 63 c. 26 d. 25



76. Zadatak. (2010-1) Cijena c iznajmljivanja bungalova na TI tjedana dana je formulom c = t TI + ct (t je iznos tjednoga najma, ct je sigurnosni depozit). Martina je za 3 tjedna platila 2092 kn, a Maja za 5 tjedana 3412 kn. Koliki je sigurnosni depozit? a. 112 kn b. 224 kn c. 308.70 kn d. 639.80 kn

77. Zadatak :* Marija je za sedamnaesti roendan dobila na dar buket od 17 rua, bijelih i crvenih. Cijena bijele rue je 8 kn, a crvene 9 kn. Koliko je u buketu bilo crvenih, a koliko bijelih rua ako je buket plaen 142 kn? 78. Zadatak. (2012-1) Darija je 2 dana kupovala ukrasne

kamenie za ogrlice. Prvi je dan kupila 56 plavih i 6 utih, a drugi dan 12 plavih i 37 utih kamenia. Oba je dana platila po 400 kn. Za koliko se kn razlikuju cijene plavog i utog kamenia? a. za 2.30 kn b. za 2.45 kn c. za 2.60 kn d. za 2.75 kn

79. Zadatak. (2011-1) Na testu inteligencije svaki toan odgovor vrijedio je 15 bodova, a za netone odgovore oduzimalo se 5 bodova. Uenik je odgovarao na svih 40 pitanja i osvojio 280 bodova.

a. Koliko se najvie bodova moglo osvojiti na testu? b. Na koliko je pitanja uenik tono odgovorio?

80. Zadatak. U toru su smjetene koze i ovce. Ukupno ih je 72. Kad bi izalo 8 ovaca, koza bi bilo tri puta vie nego ovaca. Koliko ima koza, a koliko ovaca?

81. Zadatak. (2010-1) Mlijeni proizvod dolazi u pakiranju od 330 g ili od 500 g. Trgovac je dobio koliinu od 55 550 g toga

mlijenoga proizvoda u ukupno 140 pakiranja. Koliko je dobio manjih pakiranja? a. 35 b. 50 c. 70 d. 85

82. Zadatak :* Dnevna potreba pri unosu hrane iznosi 250 g ugljikohidrata i 45 g bjelanevina. Kilogram neke hrane A ima 10 g ugljikohidrata i 160 g bjelanevina, dok kilogram neke hrane B ima 220 g ugljikohidrata i 20 g bjelanevina. Nina je pojela najmanju koliinu i hrane A i hrane B tako da njezine dnevne potrebe za ugljikohidratima i bjelanevinama budu zadovoljene. Koliko je kilograma hrane B Nina pojela? a. 0.78 kg b. 0.99 kg c. 1.06 kg d. 1.13 kg

83. Zadatak. (2010-1) Za 120 kn mogle su se kupiti dvije okolade vie nego nakon njihova poskupljenja od 25%.

a. Koliko se okolada moglo kupiti prije poskupljenja? b. Kolika je cijena jedne okolade nakon poskupljenja?

84. Zadatak. (2010-2) U djejoj kasici bile su ukupno 132 kune u kovanicama od 5 kuna, 2 kune i 50 lipa. Kovanica od 2 kune bilo je dvostruko vie nego kovanica od 5 kuna, a kovanica od 50 lipa bilo je tri puta vie nego kovanica od 2 kune. Koliko je u toj kasici bilo kovanica od 2 kune? a. 22 b. 33 c. 44 d. 55

85. Zadatak. (2010-3) Razred 4. B ima jednoga uenika manje od 4. A. U svaki od tih dvaju razreda stigao je paket s 224 olovke. U 4. A razredu sve su olovke podijeljene i svaki je uenik dobio isti broj olovaka. U 4. B razredu takoer je svaki uenik dobio isti broj olovaka kao i svaki uenik u 4. A razredu, ali je 8 olovaka ostalo nepodijeljeno. Koliko je uenika u 4. B razredu? a. 24 b. 25 c.26 d. 27

86. Zadatak. (2010-2) Cijena jedne ulaznice je za 10 kn via na dan igranja utakmice, nego u pretprodaji. Na dan igranja utakmice za 600 kn moe se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Kolika je cijena ulaznice na dan igranja utakmice? a. 40 kn b. 50 kn c. 60 kn d. 70 kn

21 www.trinom.hr

TRINOM d.o.o. ,~ pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite UREDI i NASTAVA: Strojarska cesta 24, Zagreb

TEL.: 0116672 404, GSM: 0951333333

87. Zadatak :* Koji je interval rjeenje nejednadbe 1- 2x < 3 ? a) (1,+00) b) (-00,-1) e) (-1,+00) d) (-00,1) 88. Zadatak. (2011-2) Koji je skup rjeenje nejednadbe 3x + 5 < x + l? a) (-CXJ, -2) b)(-CXJ,2) e)(-2, +(0) d)(2, +CXJ) 89. Zadatak. (2012-2) Rijeite nejednadbu 1 - 7x :2: 2 - 5x. 90. Zadatak. (2013-1) Rijeite nejednadbu 4(2 - x) - x - 7 ::; O. 91. Zadatak. (2012-1) Koji je interval skup svih rjeenja nejednadbe 3x -.!: :2: 2 - x?

2

a. (-CXJ,-;] b. [-;,~] c. [-~,;] d. [;,+CXJ) 92. Zadatak :* Rijeite nejednadbe a) 3.{2+x2 b) _ 2x -0.1 0.2 0.3

93. Zadatak. (2010-3) Rijeite nejednadbu 5(x+3)+2x 3 - (x + x 2 ).

x-4 2x 95. Zadatak. (2010-2) Rijeite nejednadbu - - - >

3 5 5x-3 _ 3x > 1 96. Zadatak. (2010-1) Rijeite nejednadbu

6 2 5x-2 _ 3x < 1 97. Zadatak. (2011-1) Rijeite nejednadbu 5 4 -

98. Zadatak. (2011-3) Koji od navedenih brojeva pripada skupu ll-x x-3

rjeenja nejednadbe -- + - >2 3 4

66 55 33 22 a~ b~ c~ d~ 99. Zadatak Rijeite nejednadbe a). 3 -[2. 1; x ] :::>: 3x

l-x b) 1--~4 3

c) 1- x-3 1.

2 3

3.4. Kvadratna funkcija.

a) KVADRATNA JEDNADBA

v bl'k 2 b o k d . d dVb . v f I - b ~ b 2 - 4ac TEOREM: Jednadzbu o I a ax + x + c = zovemo va ratna Je na z a, a rJesavamo Je ormu om Xl2 = . , 2a

Pri tome su a,b,c ER. Zovemo ih koeficijentima jednadbe; a zovemo vodei koeficijent, a c slobodni lan.

1. Zadatak :* Rijeite jednadbe:

I

a) 2x2 - 2 = O b) lOx2 - 3x = O c) x{x-2)=0 d) t 2 -t - 2 = O e) (2013-1) 36 - 9x - x 2 = O. 2. Zadatak. Odredite negativno rjeenje jednadbe: a. (2011-2) x 2 - 2x = B. b. (2011-3) 3x2 - 6 = 3x 3. Zadatak. Odredite oba rjeenja jednadbe: a. (2012-1) 5x = 2x2 b. (2012-2) 25 = (x + 4)2 4. Zadatak. (2010-1) Rijeite kvadratnu jednadbu x 2 - 2..J3 x + 2 = O. U zapisu rjeenja rabite ..J3 ne raunajui njegovu vrijednost. 5. Zadatak. (2010-2) Rijeite kvadratnu jednadbu x 2 - VS X + 1 = O . U zapisu rjeenja rabite VS ne raunajui njegovu vrijednost. 6. Zadatak. (2010-3) Rijeite kvadratnu jednadbu x 2 - 2,[5 x + 4 = O. U zapisu rjeenja koristite VS ne raunajui njegovu vrijednost. 7. Zadatak. (2011-1) Rijeite kvadratnu jednadbu x 2 - 2-17 x + 6 = O. U zapisu rjeenja rabite -17 ne raunajui njegovu vrijednost. 8. Zadatak :* Jednadba 3x2 + bx - 30 = O ima rjeenja x = -2 i x = 5 . Tada je b jednako: a) 9 b) 1/9 c) -1/9 d)-9 9. Zadatak :* Ako je xI = 3 jedno rjeenje jednadbe 2{x - 3m). (x + 5) = O, tada je m jednako: a)-3 b)-l c)l d)3 10. Zadatak. (2013-2) Zadana je kvadratna jednadba mx 2 - 5x - (m + 1) = O. Jedno rjeenje te jednadbe je 3. Koje je drugo rjeenje? a. -3 b.-~ c.l d.~

2 2

11. Zadatak. Skup rjeenja jednadbe 1 = _1_ je: x2 -6x+9 x-3

a. {3} b. {4} e. {3,4} d. {-3,4}

d k d dVb 1 1 2.. v 12. Za ata . Je na z a --- -- = -- Ima rJesenJe: 2x + 1 2x -1 8x + 1

a.O b. 1 e.O,l d.0,-2

13. Zadatak. (2013-2) Rijeite sustav jednadbi {;2: 3:X Odgovor: x1= ___ , Yl= __ _ x2 = ___ , Y2 = __ _ DEFINICIJA: Diskriminanta kvadratne jednadbe je broj D = b2 - 4ac. (U gornjoj formuli pojavljuje se ispod korijena).

www.trinom.hr

ll. Primjer.) Rijei slijedee 3 jednadbe. a) x 2 + 3x + 2 = O

22

b) 2X2 + 4x + 2 = O


TEL.: 01/6672 404, GSM: 095 1333 333

Jednadba ima 2 realna razliita rjeenja Jednadba ima jedno dvostruko realno Jednadba nema realna rjeenja ako je : ako je: rjeenje ako je:

14. Zadatak :* Koja od navedenih tvrdnji vrijedi za kvadratnu jednadbu 4x2 -12x + 9 = O? a) Jednadba ima dva (razliita) realna rjeenja. e) Jednadba ima samo jedno (dvostruko) realno rjeenje. b) Jednadba nema realnih rjeenja. d) Broj 1 je jedno od rjeenja jednadbe.

15. Zadatak. Za koji m E R jednadba Sx 2 + 2x + m = O nema realna rjeenja? a} m>1/5 b) m

www.trinom.hr

23. Zadatak :* Odredite koordinate tjemena grafa funkcije j(x) = x2 + 2x - 8 i sjecita grafa s koordinatnim osima te nacrtajte graf. 24. Zadatak. Nacrtajte graf funkcije a. (2012-1) y = -x2 b. (2013-1) [ex) = -x2 + 1. c. (2012-2) y = x 2 - 1 d. (2010-2) fex) = x 2 + 1. e. (2010-3) fex) = x 2 + 2

23

26. Zadatak :* Koja slika prikazuje graf funkcije fex) = ex - 2)ex - 4)7 3 Y 3 Y v 2 o

o 2 1 .,

a) b)


TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333 333

25. Zadatak :* U koordinatnom sustavu prikaite graf funkcije j(x) = -(x + lXx -3). (Obvezno ucrtajte nultoke i tjeme.) Vano je popuniti cijelu mreu da bi se zadatak priznao!

1 Y 1 Y

o

1 1 (\ d)

2

3

2

3

e)

: 1

() ,I

27. Zadatak :* Na kojoj je slici prikazan graf funkcije j(x) = -2(x + 2 Xx -1) 7 Za sve grafove odredi kojim funkcijama pripadaju.

a) b)

28. Zadatak :* Koja od navedenih slika prikazuje graf funkcije j(x) = _x2 - x 7 2 Y

2 3 2 -,

-2 2 a) b) e)

29. Zadatak. (2013-2) Na kojoj je slici prikazan graffunkcije [ ex) I Y

\

\ 1"'"-" """-"---\ \ / \ l /

1,,-0 /1

A. B. C.

Koji graf prikazuje funkciju fex) = ax2 - 2 7

d)

I I

/

il 1----;" I x

2 Y

d)

y

i i

i !

"", i V i'" I /

'" V

N Vll D.

I I r I I I ++: .. --f---+.+_ .. -~.--t..... --~.-~ ... -!---!! !!! -+-~... --r-;-' 1--I I l I I I

3

x

www.trinom.hr

31. Zadatak :* Funkcija j(x) == ax 2 + e prikazana je grafom na slici. Koeficijent G jednak je:

a. -3 b. -1/3 c. 1/3 d. 3



37; Zadatak. Funkcija j(x) == _x2 + bx + e ima nultoke 1 i 7. Maksimalna vrijednost funkcije je: a) -9 b) 4 c) 9 d) 23 38. Zadatak. (2011-3) Graf funkcije f(x) = ax2 + bx + c sijee koordinatne osi u A(-3,0); B(0,3); C(2,0). Koja je to funkcija? a. f(x) = 0.5x2 + 0.5x - 3 b. f(x) = 0.5x2 - O.5x + 3 c. f(x) = -0.5x2 + 0.5x - 3 d. f(x) = -0.5x2 - 0.5x + 3

2 ., .,

2

32. Zadatak :* Koju funkciju prikazuje graf na slici desno?

a) j(x)==(x+3)2+4 b) j(X)== (x+3)2_4 c) j(x) == (x - 3)2 + 4 d) j(x) == (x - 3)2 - 4

33. Zadatak :* Koja od navedenih funkcija nema niti jednu nultoku? a) j(x) == 2(x -1 y c) j(x)== 2(x-1Y-2

b) j(x)==2(x-1)2 +2 d) j(x)== 2(x-1Xx-2)

34. Zadatak :* Zadana je funkcija j(x) == ax2 + 3x - 4.5 . a. Odredite sjecite grafa s V-osi. b. Najvea vrijednost funkcije je -1 . Odredite G.

35. Zadatak :* Odredite drugu nultoku funkcije j(x) == a(x - 3)2 + 2 ako joj je jedna nultoka -L

36. Zadatak. Ako graf funkcije !(x)=wt+bx-14 sijee os x u -7/3 i 2, tada je apscisa vrha te parabole a)-1/9 b)-1/8 c)-1/7 d)-1/6

ZAKUUAK: \ / \/ V D>O D=O 1\ / \ /\

42. Zadatak: Na slikama su grafovi funkcija j(x) == ax 2 + bx + e .

39. Zadatak :* Raunala u jednoj uionici meusobno su povezana optikim linijama. Ukupan broj optikih linija odreen je funkcijom t(n) == n(n - 3) + n gdje je n broj raunala u uionici.

2 Ako je ukupan broj linija 28, tada je broj raunala u uionici: a)-8 b)-7 c)7 d)8 40. Zadatak. Na nogometnoj utakmici vratar ispucava loptu. Putanja lopte opisana je funkcijom h == -0.0126x2 + 0.635x gdje je h visina lopte iznad zemlje, a x horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja. Veliine h i x su izraene u metrima.

a) Na kojoj je visini lopta kad je njezina horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja 15 m?

b) Na kojoj udaljenosti od mjesta ispucavanja lopta pada na zemlju?

c) Koju najveu visinu lopta postie?

41. Zadatak. Temperatura T (u 0c) u stakleniku t sati nakon poetka sumraka dana je formulom r(t) == 0.25t 2 - 5t + 30, O:::; t :::; 12 . Uzima se da sumrak poinje u 19:00 sati.

a) Kolika je temperatura bila u 21:00 sat? b) U koliko je sati temperatura bila minimalna? c) Koliko je iznosila minimalna temperatura u stakleniku?

V I Otvor prema gore jer je a>O ) D C. a < 0, D>

B. a > 0, D < D. a < 0, D <

1 Y

o -1 o

c)

2

d) 44. Zadatak. (2012-2) Na slici je prikazan graf funkcije f (x) = ax 2 + bx + c. to vrijedi za diskriminantu D te koeficijente a ic?

A. D = 0, a < Oi c < B. D = 0, a > ic> C. D > 0, a < i c < D. D > 0, a > Oi c >

I

I

~~N~ www.trinom.hr

25 TRINOM d.o.o. ':o> pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite


45. Zadatak. Zadane su dvije funkcije: JI (X) = 2X2 - 4x + 5 J2 (x) = x 2 + 6x + 10 . Jedna je tvrdnja tona. Koja? al niti jedna funkcija nema realnih nultoaka

bl jedna funkcija ima, a druga nema nultoke

cl zbroj nultoaka jedne funkcije dvostruko je vei od zbroja nultoaka druge

46. Zadatak. Za funkcija J(x) = x 2 + X + 12 tona je samo jedna tvrdnja. Koja? al ima maksimum u prvom bl ima maksimum u prvom cl ima maksimum u drugom kvadrantu i dvije pozitivne nul- kvadrantu i po jednu pozitivnu i kvadrantu i po jednu pozitivnu i toke negativnu nul-toku negativnu nul-toku 47. Zadatak. Graf funkcije J(x) = x 2 + (m + l)x + 100 dodiruje os apscisa ako je

dl nita od navedenog nije tono

dl ima graf koji ne sijee os apscisa

a) ml = -5, m2 = 4 b) ml = 5, m2 = -4 c) ml = 3, m 2 = O d) ml =-21, m2 =19

3.5. Eksponencijalna funkcija.

DEFINICIJA: Funkciju J: R ~ (O, oo) zadanu formulom J(x) = aX, (o> O i o ot 1) zovemo eksponencijalna funkcija baze a. 1. Zadatak. (2011-1) Kolika je vrijednost funkcije f(x) = 102x+1 za x = l?

a. 100 b. 1000 c. 10000 d. 100000 S.94105-0.25X

2. Zadatak. (2011-3) Zadana je funkcija f(x) = . Izraunajte f(8) . 27

3. Zadatak. (2012-1) Zadan je broj ill = 10k+2. Koliki je broj ...!!!:..., ako je k = -1.3? (Rezultat zaokruite na dvije decimale.) 0.36

Primjer. Skiciraj grafove funkcija a) J(x) = 10x bl j(x) = C~ r c) J(x) = 10 x + 1 Svojstva eksponencijalne funkcije: 1. Ako je o > l, funkcija je rastua. To znai: xl < x2 q J(Xl) < J(X2)' to je baza vea, graf je strmiji.

I

2. Ako je O < a < l, funkcija je padajua. To znai: Xl < x2 q J(x1 ) > J(x2). to je baza manja, graf je strmiji. 3. Grafovi funkcija j(x) = aX i j(x) = a -x simetrini su obzirom na y os . 4. Funkcija J(x) = aX nema nultoaka, os apscisa je asimptota.

l

4. Zadatak Skup svih nultoaka funkcije J(x) = 10 -:t je a. {O} b. {0,-3} c.0 d.C 5. Zadatak. Ako je X E R i 10x + 10 = O onda je x jednak a.O b. 1 c. -1 d.0

EKSPONENCIJALNE JEDNADBE 6. Zadatak :* Napiite neki ureeni par realnih brojeva (a,b) tako da bude 10a = b - 3 .

7. Zadatak. (2012-1) Zadan je broj ill = 10k+2. Koliki je broj k, ako je m = 1000? 8. Zadatak :* Koja je od navedenih vrijednosti nepoznanica x rjeenje jednadbe lOx+l = 0.1 ? a. x = -2 b. x = -1 c. x = O d. x = 1

9. Zadatak. (2013-2) Rijeite jednadbu 101- x = 0.1.

10. Zadatak :* U jednadbi 1001 OX = 0.01, nepoznanica x jednaka je: a. -4 b. -3 c. -2 d. -1

11. Zadatak. (2013-1) Odredite broj x tako da vrijedi jednakost 100 x+l = 1000 10-2x .

12. Zadatak:* Odredi x iz

a. 310x =300 b . ..22.=1000 100x

13. Zadatak :* Koje je rjeenje jednadbe 10x - (0.001)2 = O? a. -6 b. -3 c.3 d. 6

14. Zadatak. (2012-2) Za koji realan broj x je 3 . l01+X - 0.3=0?

15. Zadatak:* Rjeenje jednadbe 5 9X+l = 15 je u intervalu: a. (-00,-2] b. (-2,-1] c. (-1,2] d. (2,00) 16. Zadatak. (2011-3) Ako je 3 . ~; jednako ~ , koliko je a ? a. O b. 1 c. 2 d. 3

17. Zadatak:* Rijei jednadbu 22x+l = J8 18. Zadatak. Umnoak rjeenja jednadbe 4x2_X+l = 8x iznosi a) 8 b) 63/8 cl 65/8 d) 17/2 e) 1

2 5

19. Zadatak. Zbroj realnih rjeenja jednadbe 2x

-7x

= v4 je a) 2/7 b) 3/7 c) 4/7 d) 5/7 20. Zadatak. Rijei jednadbu 0.lx2+6x+l .102x-1 = 100-2x-3 al nema rjeenja b) 7 c) 2 d) 1,6 21. Zadatak. Odredi x iz

lO-x a. = 0.01-1

10-1 .1O X b. =10

1000000 0.001

26 www.trinom.hr

Zadaci za napredne:

22. Zadatak. 1000000 napii kao potenciju s bazom: a) 0.1 b) 0.01 e) 100

23. Zadatak. Ulaganjem 1000 kn u banku nakon n godina dobiva

se 1000 .(1 +22)n kn. Koliki je iznos na raunu nakon 5 godina? 100


TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

24. Zadatak: Broj bakterija B u nekoj populaciji mijenja se s vremenom t na sljedei nain B(t) = 1000.231 , gdje je t vrijeme u satima od poetka mjerenja.

a) Koliko je bilo bakterija 40 min nakon poetka mjerenja? b) Koliko je bilo bakterija 1 sat prije poetka mjerenja? e) Nakon koliko je sati bilo 4 096 000 bakterija?

14. MODELIRANJE (PROBLEMSKI ZADACI)I ~.1. OMJERII 1. Zadatak. Omjer 22.: S..!. jednak je:

7 4 a.21:228 b.52:131 e.68:147 d.69:241

2. Zadatak. Pjeak prijee 70 m u minuti, a patka 70 km na sat. Kako se odnose njihove brzine? a.1:1 b.1:4 e.3:50 d.4:75 3. Zadatak. (2011-2) Ana je prela 20 kilometara za 4 sata i 57 minuta. Kolika joj je bila prosjena brzina izraena u metrima u minuti? Napomena: Prosjena brzina rauna se prema formuli v = ~ gdje je s prijeeni put, a t vrijeme.

t a. 67.34 m/min b. 72.94 m/min e. 83.76 m/min d. 90.28 m/min

4. Zadatak. Biciklist prijee neki put za % sata. Za koje e vrijeme taj put prijei auto koji je 7..!. puta bri od bicikla?

2 5. Zadatak. (2012-1) Gustoa naseljenosti nekog podruja definira se kao omjer broja stanovnika koji ivi na tome podruju i povrine tog podruja.

a. Povrina kopnenog dijela Republike Hrvatske iznosi 56 542 km2. Sredinja Hrvatska zauzima treinu kopnenog dijela. Na tome podruju ivi 2.16 milijuna stanovnika. Kolika je gustoa naseljenosti Sredinje Hrvatske? (Rezultat zaokruite na najblii cijeli broj.) Odgovor: stanovnika/km2

b. Grad ima 310000 stanovnika, a gustoa naseljenosti mu je 2 160 stanovnika/km2. Kolika je povrina tog grada? (Rezultat zaokruite na dvije decimale.) Odgovor: km2

e. Grenland s 57 000 stanovnika i povrinom od 2 175600 km2 je zemlja s najmanjom gustoom stanovnitva. Povrina Islanda je 103 000 km2, a gustoa naseljenosti mu je 118 puta vea od gustoe naseljenosti na Grenlandu. Koliko je stanovnika na Islandu?

6. Zadatak. (2011-1) Za brojeve a i b vrijedi a : b = 5 : 7. Koliki je broj a ako je b = 9 ?

35 11 a.- b.-

9 2 45

e.-7

d. 63 5

3 7. Zadatak. (2013-1) Voda ini "5 mase odrasloga ovjeka. Koliko je kilograma bjelanevina u tijelu ovjeka mase 60 kg ako je omjer bjelanevina i vode u njegovu tijelu 3 : lO?

8. Zadatak. (2010-3 ) U jednu smjesu kolaa ide 28 dag eera i 86 dag brana. Koliko treba staviti eera, a koliko brana za jednu i pol smjesu kolaa? 9. Zadatak. (2010-1) Omjer eera i maslaca u kolau je 4:3. U

kola smo stavili 15 dag maslaca. Koliko emo staviti dag eera?

10. Zadatak. (2010-2) Omjer brana i eera u kolau je 5:2. U kola smo stavili 150 g eera. Koliko emo staviti grama brana? 11. Zadatak :* Za brojeve a i b vrijedi a: b = 3: 4, a + b = 21. Odredite a. 12. Zadatak. Broj a je za 3 vei od pozitivnoga broja b. Njihov je omjer 5:3. Tada je a jednak: a.3/2 b.9/2 e. 15/2 d. 21/2 13. Zadatak. (2010-3) Mjera jednoga kuta trokuta iznosi 101, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 2:5. Kolika je mjera manjega od tih dvaju kutova? a.2234'17" b. 2751'49" c. 3136' d. 3930'

14. Zadatak. (2012-1) Mjera jednog kuta trokuta iznosi 138, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 2:5. Kolika je mjera manjeg od tih dvaju kutova? a. 8 b. 12 e. 19 d. 21

15. Zadatak. (2013-1) U pravokutnome trokutu mjera jednoga iljastog kuta je sedam puta vea od mjere drugoga iljastog kuta. Kolika je mjera najmanjega kuta toga trokuta? a. 1115' b. 1251' e.2230' d. 2542'

16. Zadatak. (2013-2) Mjera jednoga kuta etverokuta iznosi 82, drugoga kuta 114, a mjere preostalih dvaju kutova odnose se kao 1: 2. Kolika je mjera manjega od tih dvaju kutova? a. 41 b.49 e. 5440' d.6520'

Zadaci za napredne:

17. Zadatak. Ako se tri broja meusobno odnose kao 11:13:105 i ako im je zbroj 14190, tada je najmanji broj jednak: a) 1210 b) 1430 c) 1419 d) 1529 18. Zadatak. Tri osobe uloile su u neki posao ove svote: A 12000 kn, B 90000 kn, e 150000 kn. Ako je ukupna zarada od tog posla 2 100000 kn, osobi e e pripasti dio zarade u iznosu:

a) 1160000 kn b) 1150000 kn c) 1 206 000 kn d) 1 250 000 kn

www.trinom.hr

~.2. PRAVilO TROJNOi 1. Zadatak. PRERAUNAVANJE MJERNIH JEDINICA Masa => kilogram

1 kg = 1000 g 1 kg = 100 dag

1 dag = 10 g 1 g = 1000 mg

1 t = 1000 kg

Duljina => metar 1 m=10 dm 1 m=100em 1 m=1000 mm

1 km=1000 m

27

~Izrazi u gramima 0.15 dag ~Izrazi u mm 0.000123 cm ~Izrazi u dekagramima 0.0092 kg ~Izrazi u cm 0.00987 m fc.lzrazi u kilogramima 0.123 g t..lzrazi u m 0.0987 dm


TEL.: 01/6672 404, GSM: 0951333333

Povrina=> metar kvadratni

1 m2=1 m'l m 1 m2=10 dm'10 dm=100 dm2

1 m2=100 em'100 em=10000em2

1 m2=1000000 mm2

~Izrazi u mm2 0.0345 m2 ~Izrazi u cm2 0.0567 dm2 J.,..lzrazi u dm2 14 mm2

Obujam=> metar kubni 1 m3 =1 m'l m'l m 1 m3=(10 dm)3 1 m3=(100 em)3 1 m3=(1000 mm)3 1 dm3= 1 L => 1 em3=1 mL

1Jzrazi u mm3 0.987 dm3

hlzrazi u cm3 17 I

~Izrazi u litrama 0.123 m3

.!h (2013-2) Koliko je 132 g/cm3 izraeno u kg/m3? Odgovor: ________ kg/m3

2. Zadatak. (2010-1) Masa 256 jednakih olovaka iznosi 4.24 kg. Kolika je masa 20 takvih olovaka? a. 3.3125 g b. 33.125 g c. 331.25 g d. 3312.5 g

3. Zadatak. (2011-3) Masa okolade je 9 unca (oz). Koliko je to dekagrama ako je 1 gram jednak 0.035274 unca? a. 25.5 dag b. 31.7 dag c. 255.1 dag d. 317.2 dag

4. Zadatak. (2010-3) Jedna je obitelj za potronju 33 m3 plina platila 80.32 kn. Koliko e iznositi raun za potronju 127 m 3 plina? a. 309.11 kn b. 416.64 kn c. 521.78 kn d. 632.44 kn

5. Zadatak. (2013-2) Koliko kota 7 kg jabuka ako 2.5 kg jabuka kota 18 kn i 50 lp? Odgovor: kn i lp 6. Zadatak :* Filip je platio 3 kg jabuka 16 kuna i 50 lipa. Koliko

e platiti za 8 kg jabuka? 7. Zadatak :* Ana je platila 5 kg narani 42 kune i 50 lipa. Koliko

e platiti za 4 kg narani. 8. Zadatak :* Za 13 m3 vode treba platiti 127.27 kn. Koliko treba platiti 10 m3 vode?

9. Zadatak. (2011-2) Sreko je visok 187 cm. Koliko je to stopa ako 1 stopa iznosi 0.3048 m?

a. 4.8271 stopa c. 6.1352 stopa

b. 5.6998 stopa d. 7.9413 stopa

10. Zadatak. (2012-1) Amerike mjere za tekuinu su bareli i galoni. Veza meu njima je: 100 galona = 3.1746 barela.

a. Koliko je barela 1300 galona? Rj: ___ barela b. Koliko je galona dvije treine barela? Rj: ___ galona

11. Zadatak. (2013-2) Una iznosi 28.35 g, a arroba 14.69 kg. a. Koliko je arroba jednako 5 kg?

Odgovor: arroba b. Koliko una ima jedna arroba?

Odgovor: una 12. Zadatak :* U 100 ml sirupa za sniavanje temperature sadrano je 2.4 g paracetamola. Koliko miligrama paracetamola ima u 5 ml sirupa? a. 12 mg b. 24 mg c. 120 mg d. 240 mg

13. Zadatak. Auto s 52 litre goriva moe prijei 560 km. Kolika mu je prosjena potronja na 100 km? 14. Zadatak. Za 3~ sata iz pipe iscuri 273. litre vode. Koliko

2 5 litara istee za: a. dvije min b. 4 min i 20 sek

15. Zadatak :* Cijena mandarina proporcionalna je njihovoj masi. Dopunite tablicu:

r---,-~--,----.-~-, Masa 3 kg cijena

16. Zadatak. (2010-1) Sljedea tablica povezuje duljine izraene

Metar (m) 17. Zadatak. (2013-1) Sljedea tablica povezuje duljine izraene u inima i milimetrima. Popunite vrijednosti koje nedostaju.

10 130.5

18. Zadatak. (2010-2) Sljedea tablica povezuje novane iznose izraene u eurima i kunama. Popunite vrijednosti koje nedostaju.

EURO () KUNA (HRK)

19. Zadatak. (2011-1) Tablica povezuje novane iznose izraene u US dolarima i kunama. Popunite vrijednosti koje nedostaju.

US DOLAR ($) KUNA (HRK)

20. Zadatak. (2010-3) Tablica povezuje novane iznose izraene u razliitim valutama. Popunite vrijednosti kOje nedostaju.

EURO () 1 VICARSKI FRANAK (CHF) 1.5462 50 BRITANSKA FUNTA (GBP) 22.235157

21. Zadatak. (2011-2) Za lijepljenje 1 m2 ploica potrebno je 3 kg ljepila u prahu. Ljepilo u prahu mijea se s vodom tako da na

koliinu od 100 kg ljepila dolazi 261 vode. Koliko ljepila u prahu i vode treba pomijeati za lijepljenje 2.5 m2 ploica? 22. Zadatak. Kolika je zrana udaljenost izmeu Osijeka i Ploa ako su na zemljovidu mjerila 1:1750000 ta dva grada udaljena 16.5 cm?

23.Zadatak. Dva izvora udaljena su u prirodi 2 km. Kolika e biti njihova udaljenost na topografskoj karti mjerila 1:50000? 24. Zadatak. Udaljenost od 15 cm na zemljovidu odgovara udaljenosti od 180 km u prirodi. Mjerilo zemljovida je: a) 1:120000 b) 1:1200000 e) 1:12 000 d) 1:1200

www.trinom.hr

~.3. POSTOCII l

28 TRINOM d.o.o. ~ pripreme za dravnu maturu i prijemne ispite


l %= WO ( l posto je sinonim za jednu stotninu) Napomena. Svi se zadaci mogu svesti na oblik p' x = y , l

1%0=1000 (l promil je sinonim za jednu tisuinu)

1. Zadatak. (2012-1) emu je jednak broj 0.3825 ako ga zapiemo kao postotak? a. 3.825% b. 38.25% c. 382.5% d. 3 825%

2. Zadatak. (2011-1) Koliko je 2.7% zapisano kao decimalan broj? a.0.0027 b.0.027 c.0.27 d.2.7

3. Zadatak:* Ana je proitala ~, Nina !..-, a Petra 77% iste 17 9

knjige. Tko je proitao najvie, a tko najmanje? 4. Zadatak. (2011-3) Koliko je 16% od 16 ? a.0.01 b. 1.00 c. 2.56

5. Zadatak:* Koliko je: a. 23% od 4 356? b. 17% od 250?

d.3.20

Zakljuak. {

X je smanjen za 25% Primjer a. 0.75 x = ili

ovo je 75% od x

7. Zadatak. (2011-3) Nakon unosa podataka na memorijski kljui kapaciteta 8 GB ostalo je na njemu jo 34% slobodnoga prostora. Koja je koliina podataka izraena u GB na memorijskome kljuiu? 8. Zadatak. (2013-1) U 4.a razredu je 32 uenika. Deset uenika toga razreda s najboljim rezultatima postiglo je sljedee bodove: 82, 84, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 98. Ocjenu odlian dobilo je 12.5 % uenika 4.a razreda. Koliko je najmanje bodova bilo potrebno za ocjenu odlian? 9. Zadatak. (2013-1) Pri izradi vilica nastaje u prosjeku 0.9 % vilica s grjekom.

a. Koliko se komada vilica s grjekom oekuje pri izradi 2000 komada vilica?

b. Koliko se najmanje komada vilica treba izraditi da bi se dobilo 10 000 vilica bez grjeke?

10. Zadatak. (2011-3) Mijeano meso dobiva se mljevenjem svinjskoga i goveega mesa. Ako je udio svinjskoga mesa u mijeanome mesu 40%, koliko je svinjskoga mesa u 2 kg mijeanoga mesa? 11. Zadatak. (2011-1) Obiteljska primanja u mjesecu svibnju iznosila su 8 750 kuna. Mjeseni trokovi reija iznosili su 24% obiteljskih primanja. Za podmirenje preostalih potreba, u mjesecu svibnju, obitelji je potrebno 6 200 kuna. Koliko je kuna preostalo obitelji? a. 250 kn b. 450 kn c. 650 kn d. 850 kn

12. Zadatak. (2010-2) U Hrvatskoj je 2004. godine roeno 20 875 djeaka. Godine 2005. roeno je 4.19% vie djeaka u odnosu na 2004. godinu. Koliko je djeaka roeno 2005. godine? a. 20964 b. 21 750 c. 24875 d. 29 626

16. Zadatak:* Ruksak je stajao 300 kn. Damir ga je kupio na snienju i platio 240 kn. Snienje je: a.40% b.30% c. 20% d. 10%

pri emu je x vrijednost (ukupni iznos ili osnovica) od koje raunamo postotak, y je postotni iznos, a p postotak pretvoren u decimalni broj.

6. Zadatak:*

pripreme za državnu maturu (matematika - osnovna razina 13) - trinom

Documents