i

M

a h m u t

KO Ç A K

ii 0.

Içindekiler

21 Stokes ve Gauss (Diverjans)Teoremi 1

21.1 Stokes Teoremi . . . . . . . . 1

21.2 Gauss (Diverjans) Teoremi . . . . 821.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . 12

1

1

BÖLÜM

21 Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

21.1 Stokes TeoremiStoke teoremi, sınır egrisi basit kapalı bir C egrisi olan bir S yüzeyi üzerindeki yüzey

integrali ile C egrisi üzerinden egrisel integral arasındaki iliskiyi vermektedir.

TEOREM 21.1 (Stokes Teoremi). S ⊆R3 yönlendirilmis parçalı-düzgün bir yüzey, yani basitkapalı parçalı-düzgün ve pozif yönde yönlendirilmis bir C sınır egrisine sahip olsun. Uaçık ve S ⊆ U olmak üzere F : U → R3 vektör alanının bilesenleri sürekli kısmi türevleresahip olsun. Bu durumda

∮

∂ S=C

F ·d s =

∫∫

S

curl F ·dS

olur. Sekil 21.1 e bakınız.

x

y

z

b

S C

C1

D

n

SEKIL 21.1:

ISPAT. Bu teoremin özel bir halini ispatlayalım.D, x y -düzleminde birinci ve ikinci tip böl-gelerden olusan bir bölge olmak üzere S, ikinci mertebeden sürekli türevleri olan z =g (x , y ) fonksiyonunun grafigi ve ∂ S =C nin sınırladıgı bölge D olsun.

F= Pi+Qj+Rk= (P,Q , R)diyelim. Bu durumda

∫∫

S

(curl F) ·dS =

∫∫

D

−�

Ry −Qz�

g x − (Pz −Rx ) g y +�

Qx −Py�

g z d A

olur.

x = x (t ), y = y (t ), t ∈ [a ,b ],

D nin sınır egrisi C1 in bir parametrizasyonu olsun. Bu durumda x = x (t ), y = y (t ), z =g (x (t ), y (t )), t ∈ [a ,b ] de C egrisinin bir parametrizasyonu olur.

P(x , y , z ) = P(x , y , g (x , y )), Q(x , y , z ) =Q(x , y , g (x , y )), R(x , y , z ) =R(x , y , g (x , y ))

2 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

oldugundan Zincir kuralı geregince∂ P

∂ x= Px

∂ x

∂ x+Py

∂ y

∂ x+Pz

∂ z

∂ x= Px +Pz

∂ z

∂ x= Px +Pz g x

∂Q

∂ x=Qx

∂ x

∂ x+Qy

∂ y

∂ x+Qz

∂ z

∂ x=Qx +Qz

∂ z

∂ x=Qx +Qz g x

∂ R

∂ x=Rx

∂ x

∂ x+Ry

∂ y

∂ x+Rz

∂ z

∂ x=Rx +Rz

∂ z

∂ x=Rx +Rz g x

olur. Bu durumda∮

C

F ·d s =

b∫

a

�

Pdx

d t+Q

d y

d t+R

d z

d t

�

d t =

b∫

a

�

Pdx

d t+Q

d y

d t+R

�

g xdx

d t+ g y

d y

d t

��

d t

=

b∫

a

�

�

P +R g x� dx

d t+�

Q +R g y� d y

d t

�

d t =

∫

C1

�

P +R g x�

dx +�

Q +R g y�

d y

=

∫∫

D

�

∂∂ x

�

Q +R g y�

− ∂∂ y�

P +R g x�

�

d A (D üzerinde Green Teoremi geregince)

=

∫∫

D

�

Qx +Qz∂ z∂ x +

�

Rx +Rz∂ z∂ x

�

g y +R g y x −Py −Pz∂ z∂ y −

�

Ry +Rz∂ z∂ y

�

g x −R g x y

�

d A

=

∫∫

D

�

Qx +Qz g x +�

Rx +Rz g x�

g y +R g y x −Py −Pz g y −�

Ry +Rz g y�

g x −R g x y�

d A

=

∫∫

D

�

Qx +Qz g x +Rx g y +Rz g x g y +R g y x −Py −Pz g y −Ry g x −Rz g y g x −R g x y�

d A

=

∫∫

D

�

Qx +Qz g x +Rx g y +R g y x −Py −Pz g y −Ry g x −R g x y�

d A

=

∫∫

D

�

−�

Ry −Qz�

g x − (Pz −Rx ) g y +�

Qx −Py�

g z�

d A =

∫∫

S

curl F ·dS

olur.4

NOT 21.2. (a). C basit kapalı bir egri (yada basit kapalı egrilerin toplamı) ve F bir vektöralanı olmak üzere

∮

C

F ·d s

integrali iki sekilde hesaplanabilir.

(i). F fazlaca karısık degilse

∮

C

F ·d s integrali egrisel integralin tanımı kullanılarak

hesaplanabilir.

(ii). ∂ S = C olacak sekilde C ile aynı yönlü bir S yüzeyi bulunur ve Stokes teoremi

21.1. Stokes Teoremi 3

kullanılırsa∮

∂ S=C

F ·d s =

∫∫

S

curl F ·dS

olur. Bu metod daha çok curl F, F den daha basit ve S yüzeyi basit bir yüzeysekullanılır.

(b). S, sınır egrisi basit kapalı ∂ S = C egrisi olan bir yüzey ve F bir vektör alanı olmaküzere

∫∫

S

curl F ·dS

integrali iki sekilde hesaplanabilir.

(i). Yüzey integralinin tanımı kullanılarak

∫∫

S

curl F ·dS hesaplanabilir. Bu metod

S yüzeyi karısıksa pek kullanıslı olmaz.

(ii). ∂ S =C kolay bir egri ise

∮

∂ S

F ·d s integrali bulunur. Stokes teoremi geregince

∮

∂ S

F ·d s =

∫∫

S

curl F ·dS

olur.

(iii). ∂ S ile ∂ S′ aynı yönlü ve ∂ S′ = ∂ S özelliginde bir S′ yüzeyi bulunarak

∮

∂ S′

F ·d s

integrali bulunur. Bu durumda Stokes teoremi geregince∫∫

S

curl F ·dS =

∮

∂ S

F ·d s =

∮

∂ S′

F ·d s =

∫∫

S′

curl F ·dS

olur.�

ÖRNEK 21.1. F = (−y ,x , z ) ve α(u , v ) = (u cos v, u sin v, 1−u 2), u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π] olmaküzere

∫∫

S

curl F ·dS

integralini bulalım.

ÇÖZÜM.

curl F = ∇×F=

�

�

�

�

�

�

�

�

i j k∂

∂ x

∂

∂ y

∂

∂ z−y x z

�

�

�

�

�

�

�

�

=�

∂ z

∂ y−∂ x

∂ z

�

i+�

∂ (−y )∂ z

−∂ z

∂ x

�

j+�

∂ x

∂ x+∂ y

∂ y

�

k

4 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

= 0i+0j+(1+1)k= 0i+0j+2k

yani curl F= (0, 0, 2) olur. Digeryandan ∂ S birim çemberdir ve parametrizasyonu

β (t ) = (cos t , sin t , 0) (t ∈ [0, 2π])dir. Bu durumda

x = cos t , y = sin t , z = 0 ve β ′(t ) = (−sin t , cos t , 0)oldugundan

∫∫

S

curl F ·dS =

∮

∂ S

(−sin t , cos t , 0) · (−sin t , cos t , 0)d t =

2π∫

0

(sin2 t + cos2 t +0)d t

=

2π∫

0

d t = t�

�

�

2π

0= 2π

olur. Sekil 21.2 a bakınız.-

x

y

z

b

n

Sαu

αv

x

y

z

D

∂ S11

1

SEKIL 21.2:

ÖRNEK 21.2. S yüzeyi pozitif yönlendirilmis x 2+ y 2+ z 2 = 9, z ≥ 0 yarım küresi ve

F = (2y , 3x ,−z 2)

olmak üzere

∫∫

S

(curl F) ·dS integralini bulalım.

ÇÖZÜM. S nin sınır egrisi x 2+ y 2 = 9 çemberidir. Yani

∂ S =C = {(x , y )∈R2 : x 2+ y 2 = 9}dür.

α(u , v ) = (3 sin u cos v, 3 sin u sin v, 3 cos u ), 0≤ u ≤π

2, 0≤ v ≤ 2π

olmak üzere α, S nin pozitif yönlü bir parametrizasyonudur. Bu durumda

αu (u , v ) = (3 cos u cos v, 3 cos u sin v,−3 sin u ),

αv (u , v ) = (−3 sin u sin v, 3 sin u cos v, 0)oldugundan

αu (u , v )×αv (u , v ) = (9 cos v sin2 u , 9 sin2 u sin v, 9 cos u sin u )

21.1. Stokes Teoremi 5

olur. Digeryandan

curl F=∇×F=

�

�

�

�

�

�

�

�

i j k∂

∂ x

∂

∂ y

∂

∂ z2y 3x −z 2

�

�

�

�

�

�

�

�

= 0i+0j+(3−2)k= 0i+0j+k= (0, 0, 1)

yani curl F= (0, 0, 1) olur. Böylece∮

S

curl F ·dS =

∫∫

D

(0, 0, 1) · (9 cos v sin2 u , 9 sin2 u sin v, 9 cos u sin u )d u d v

=

∫∫

D

9 cos u sin u d u d v =

2π∫

0

π2∫

0

9 cos u sin u d u d v

= 9

2π∫

0

�

−1

4cos 2u

�

�

�

�

π2

0d v = 9

2π∫

0

�

−1

4cos 2

π

2+

1

4cos 0

�

d v

= 9

2π∫

0

�

1

4+

1

4

�

d v =9

2

2π∫

0

d v =9

2v�

�

�

2π

0= 9π

olur. Sekil 21.3 a bakınız.

x

y

z

n

S

∂ S =C

D

n

x

y

z

SEKIL 21.3:

Simdi

∮

∂ S=C

F ·d s integralini bulalım.

α(t ) = (3 cos t , 3 sin t , 0)seklinde tanımlı α : [0, 2π]→ R3 fonksiyonu ∂ S = C nin pozitif yönlü bir parametrizasy-onudur ve

α′(t ) = (−3 sin t , 3 cos t , 0)

dir. Buna göre

∮

∂ S=C

F ·d s =

2π∫

0

F(α(t )) ·α′(t )d t =

2π∫

0

F((3 cos t , 3 sin t , 0)) · (−3 sin t , 3 cos t , 0)d t

6 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

=

2π∫

0

(2×3 sin t , 3×3 cos t ,−02) · (−3 sin t , 3 cos t , 0)d t

=

2π∫

0

(6 sin t , 9 cos t ,−02) · (−3 sin t , 3 cos t , 0)d t

=

2π∫

0

(−18 sin2 t +27 cos2 t )d t =

2π∫

0

(−18(1− cos2 t )+27 cos2 t )d t

=

2π∫

0

(45 cos2 t −18)d t = 45

2π∫

0

cos2 t d t −

2π∫

0

18 d t

= 45

2π∫

0

�

1

2cos 2t +

1

2

�

d t −18t�

�

�

2π

0= 45

�

1

2t +

1

4sin 2t

�

�

�

�

2π

0−36π

= 45

�

1

22π+

1

4sin 4π

�

−36π= 45π−36π= 9π

olur.-

ÖRNEK 21.3. S yüzeyi pozitif yönlendirilmis x 2 + y 2 = z , z ≤ 4 paraboloidi olmak üzere∫∫

S

�

−3x z 2i+ z 3k�

·dS integralini Stokes teoremini kullanarak bulalım.

ÇÖZÜM. Stokes teoremini kullanabilmek içim curl F=−3x z 2i+z 3k özelligini saglayan F=Pi+Qj+Rk vektör alanını bulmalıyız.

curl F = ∇×F=

�

�

�

�

�

�

�

�

i j k∂

∂ x

∂

∂ y

∂

∂ zP Q R

�

�

�

�

�

�

�

�

=�

∂ R

∂ y−∂Q

∂ z

�

i+�

∂ P

∂ z−∂ R

∂ x

�

j+�

∂Q

∂ x−∂ P

∂ y

�

k=−3x z 2i+ z 3k

olması gerektiginden∂ R

∂ y−∂Q

∂ z=−3x z 2,

∂ P

∂ z−∂ R

∂ x= 0,

∂Q

∂ x−∂ P

∂ y= z 3

olmalıdır. Bu durumda

P =R = 0

alınırsa∂Q

∂ z= 3x z 2,

∂Q

∂ x= z 3

olur. Buradan

Q = x z 3

21.1. Stokes Teoremi 7

olur. Bu durumda F=Qj= x z 3j= (0,x z 3, 0) olur. Gerçekten

curl F = ∇×F=

�

�

�

�

�

�

�

�

i j k∂

∂ x

∂

∂ y

∂

∂ z0 x z 3 0

�

�

�

�

�

�

�

�

=�

−∂

∂ zx z 3

�

i+0j+�

∂

∂ xx z 3

�

k

= −3x z 2i+0j+ z 3k=−3x z 2i+ z 3k

olur. Böylece ∂ S =C , S nin sınır egrisi olmak üzere Stokes teoremi geregince∫∫

S

�

−3x z 2i+ z 3k�

·dS =

∮

∂ S=C

F ·d s

olur. Digeryandan

x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 4 (0≤ t ≤ 2π)

parametrik denklemi ∂ S =C nin pozitif yönlü bir parametrizasyonudur. Üstelik,

x ′ =−2 sin t , y ′ = 2 cos t , z ′ = 0 (0≤ t ≤ 2π)dır. Böylece

∮

∂ S=C

F ·d s =

∮

∂ S=C

(0,x z 3, 0) · (−2 sin t , 2 cos t , 0′)d t

=

2π∫

0

(0, 2 cos t ×43, 0) · (−2 sin t , 2 cos t , 0′)d t

=

2π∫

0

(0, 128 cos t , 0) · (−2 sin t , 2 cos t , 0′)d t

=

2π∫

0

128 cos t ×2 cos t d s = 256

2π∫

0

cos2 t d t

= 256

�

1

2t +

1

4sin 2t

�

�

�

�

2π

0= 256

�

1

22π+

1

4sin 4π

�

= 256π

olur. Sekil 21.4 a bakınız.-

x

y

z

x

y

z

b

nb

n

b

n

S

C

SEKIL 21.4:

8 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

TEOREM 21.3. F :R3→R3 bir vektör alanı ve P,Q ve R fonksiyonlarının birinci mertebedensürekli kısmi türevleri olmak üzere

F= Pi+Qj+Rk= (P,Q , R)olsun. Bu durumda curl F= 0 ise F konserativdir.

ISPAT. Stokes teoremi geregince R3 deki basit kapalı her C egrisi için∮

C

F ·d s =

∫∫

S

(curl F) ·dS = 0

dır. Herhangi bir kapalı egri sonlu sayıda basit kapalı egriye bölünebileceginden her egriüzerinden integral sıfırdır. Bu durumda F konservatif olur.4

21.2 Gauss (Diverjans) TeoremiGauss teoremi, R3 de kapalı bir S yüzeyi üzerindeki yüzey integrali ile sınırı kapalı S

yüzeyi olan R3 deki bir V bölgesi üzerindeki hacim integrali arasındaki iliskiyi verir.D, R2 de elemanter bir bölge olsun.

(a). α1,α2 : D→R3 fonksiyonları sürekli ve (x , y )∈D için

α1(x , y )≤α2(x , y )olmak üzere

Vz = {(x , y , z )∈R3 : (x , y )∈D, α1(x , y )≤ z ≤α2(x , y )}seklindeki bir bölgeye z -tüp denir.

(b). α3,α4 : D→R3 fonksiyonları sürekli ve (x , z )∈D için

α1(x , z )≤α2(x , z )olmak üzere

Vy = {(x , y , z )∈R3 : (x , z )∈D, α3(x , z )≤ y ≤α4(x , z )}seklindeki bir bölgeye y -tüp denir.

(c). α5,α6 : D→R3 fonksiyonları sürekli ve (y , z )∈D için

α5(y , z )≤α6(y , z )olmak üzere

Vx = {(x , y , z )∈R3 : (y , z )∈D, α5(y , z )≤ x ≤α6(y , z )}seklindeki bir bölgeye x -tüp denir.

(d). R3 de her üç bölge ile verilen bir V bölgesine simetrik bölge veya simetrik cisimdenir.

TEOREM 21.4 (Gauss (Divergence) Teoremi). Simetrik bir bölge V ve S de V nin pozitifyönlü sınırı olsun. U açık ve V ⊆ U olmak üzere F : U → R3 vektör alanının bilesenlerisürekli kısmi türevlere sahip olsun. Bu durumda

∫∫

S

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V

dir.

21.2. Gauss (Diverjans) Teoremi 9

ISPAT. F= Pi+Qj+Rk= (P,Q , R) olsun. Bu durumda div F= Px +Qy +Rz ve∫∫∫

V

div F d V =

∫∫∫

V

Px d V +

∫∫∫

V

Qy d V +

∫∫∫

V

Rz d V

olur. n, S nin birim normal vektörü olsun. Bu durumda∫∫

S

F ·dS =

∫∫

S

(Pi+Qj+Rk) ·n dS =

∫∫

S

Pi ·n dS+

∫∫

S

Qj ·n dS+

∫∫

S

Rk ·n dS

olur. Önce∫∫

S

Rk ·n dS =

∫∫∫

V

Rz d V,

∫∫

S

Qj ·n dS =

∫∫∫

V

Qy d V,

∫∫

S

Pi ·n dS =

∫∫∫

V

Px d V

oldugunu gösterelim.V, z -tüp cisim oldugundan D, V cisminin x y -düzlemindeki izdüsümü olmak üzere

V = {(x , y , z ) :α1(x , y )≤ z ≤α2(x , y ), (x , y )∈D}seklinde yazılabilir. Sekil 21.5 a bakınız. V nin sınırı S1, S2, S3 den olusmaktadır.

S3 üzerinde n birim normal vektörü ile k dik oldugundan

∫∫

S

Rk ·n dS = 0 olur.

S2, z =α2(x , y ) ((x , y )∈D) fonksiyonunun grafigidir ve n birim normal vektörü yüzey-den dısa dogrudur. Bu durumda

∫∫

S

Rk ·n dS =

∫∫

D

R(x , y ,α2(x , y ))d A

olur.S1, z =α1(x , y ) ((x , y )∈D) fonksiyonunun grafigidir ve n birim normal vektörü yüzey-

den içe dogrudur. Bu durumda∫∫

S

Rk ·n dS =−∫∫

D

R(x , y ,α1(x , y ))d A

olur. Böylece

x y

zn

V

S1

S2

S3

n

n

D

SEKIL 21.5:

10 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi∫∫

S

Rk ·n dS =

∫∫

D

R(x , y ,α2(x , y ))d A −∫∫

D

R(x , y ,α1(x , y ))d A

=

∫∫

D

R(x , y , z )�

�

�

α2(x ,y )

α1(x ,y )d A =

∫∫

D

α2(x ,y )∫

α1(x ,y )

R(x , y , z )d A =

∫∫∫

V

Rz d V

olur. Benzer sekilde V nin y -tüp ve x -tüp oldugu kullanılarak∫∫

S

Qj ·n dS =

∫∫∫

V

Qy d V ve

∫∫

S

Pi ·n dS =

∫∫∫

V

Px d V

oldugu gösterilir. Bu durumda∫∫

S

F ·dS =

∫∫

S

Pi ·n dS+

∫∫

S

Qj ·n dS+

∫∫

S

Rk ·n dS

=

∫∫∫

V

Px d V +

∫∫∫

V

Qy d V +

∫∫∫

V

Rz d V

olur.4

NOT 21.5. (a). S yönlendirilmis kapalı bir egri (yada kapalı egriler kolleksiyonu) ve F bir

vektör alanı olmak üzere

∫∫

S

F ·dS integrali iki sekilde hesaplanabilir.

(i). Integral fazla karısık degilse

∫∫

S

F · dS integrali yüzey integralin tanımı kul-

lanılarak hesaplanabilir.

(ii). ∂ V =S olacak sekilde S nin yönünü koruyan V ⊆R3 bölgesi bulunur ve∫∫∫

V

div F d V

integrali bulunur. Stokes teoremi kullanılırsa∫∫

S

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V

olur.

(b). S kapalı olmayan yönlendirilmis bir yüzey ise

∫∫

S

F ·dS integrali iki sekilde hesapla-

nabilir.

(i). Integral zor degilse

∫∫

S

F ·dS integrali tanım kullanılarak hesaplanır.

(ii). ∂ V nin birlesenlerinden biri S yüzeyi olacak sekilde bir V ⊆ R3 bölgesi bu-lunur. S′, ∂ V nin pozitif yönlü diger parçası (parçaları) olsun. V bölgesi S′

21.2. Gauss (Diverjans) Teoremi 11

basit olacak sekilde seçilir. Bu durumda Gauss teoremi geregince∫∫

S

F ·dS+

∫∫

S′

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V

olur. Buradan∫∫

S

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V −∫∫

S′

F ·dS

olur.�

ÖRNEK 21.4. z = 0 düzlemi, x 2+y 2 = 4, 0≤ z ≤ 3 silindiri ve z = 3 düzleminin olusturduguyüzey S ve

F= 0i+ y j+0k= (0, y , 0)

olmak üzere

∫∫

S

F ·dS integralini hesaplayalım. Sekil 21.6 a bakınız.

x

y

z

b

b

b

b

SV

x

y

z

3

22

SEKIL 21.6:

ÇÖZÜM.∫∫

S

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V

oldugundan E cismi S yüzeyinin sınırladıgı bölgedir. Digeryandan

div F=∂ P

∂ x+∂Q

∂ y+∂ R

∂ z= 0+1+0= 1

oldugyndan∫∫

S

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V =

∫∫∫

V

1 d V =π(2)23= 12π

olur.-

ÖRNEK 21.5. z = 0 düzlemi, x 2+ y 2 = 1, 0≤ z ≤ 1 düzlemi ve z = 4− 3x 2− 3y 2, 1≤ z ≤ 4düzleminin olusturdugu yüzey S ve

F(x , y , z ) = x y i−1

2y 2j+ z k=

�

x y ,−1

2y 2, z

�

12 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

olmak üzere

∫∫

S

F ·dS integralini hesaplayalım. Sekil 21.7 a bakınız.

x

y

z

b

b

b

b

SV

x

y

z

4

1

11

SEKIL 21.7:

ÇÖZÜM.∫∫

S

F ·dS =

∫∫∫

V

div F d V

oldugundan E cismi S yüzeyinin sınırladıgı bölgedir. Silindirik koordinatlar kullanılırsa

0 ≤ r ≤ 4−3r 2

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2π

olur. Digeryandan

div F=∂ P

∂ x+∂Q

∂ y+∂ R

∂ z= y − y +1= 1

olur. Buna göre

∫∫

S

F ·dS =

2π∫

0

1∫

0

4−3r 2∫

0

div F d V =

2π∫

0

1∫

0

4−3r 2∫

0

1 d z d r dθ =

2π∫

0

1∫

0

z�

�

�

4−3r 2

0d r dθ

=

2π∫

0

1∫

0

(4−3r 2)d r dθ =

2π∫

0

(4r − r 3)�

�

�

1

0dθ =

2π∫

0

(4−1)dθ = 3θ�

�

�

2π

0= 6π

olur.-

21.3 Alıstırmalar

21.1. F(x , y , z ) = (y 2,x ,−x z ) ve C = {(x , y , 0) : x 2+ y 2 = 4} egrisi verilsin.∮

C

F ·d t integralini egrisel integral tanımını kullanarak bulunuz.

21.3. Alıştırmalar 13

(a).(b).

∮

C

F ·d t integralini Stokes Teoremini kullanarak bulunuz.

21.2. F(x , y , z ) = (z ,x , y ) olsun.

(a). div F i bulunuz.

(b). S = {(x , y , z ) : 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 2, 0≤ z ≤ 3} olmak üzere Gauss teoremini kullanarak

∮

∂ S

F ·n d s integralini bulunuz.

21.3. C negatif yönlendirilmis x 2+ y 2 = 1 silindiri ile x + y + z = 1 düzleminin arakesiti olmak üzere Stokes teoremini kullanarak∮

C

(−y 3,x 3,−z 3)d s integralini bulunuz. Sekil 21.8 e bakınız.

x

y

z

SEKIL 21.8:

21.4. F(x , y , z ) = (x y z , y 2,x z 2) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2+ z 2 = 1} yüzeyi verilsin.

(a).

∫∫

S

F ·dS integralini integralini kullanarak bulunuz.

(b).

∫∫

S

F ·dS integralini Gauss Teoremini kullanarak bulunuz.

21.5. F(x , y , z ) = (x 2y , 2x z , y z 3) olsun. M , z = x 2+ y 2+2 parabolidinin x 2+ y 2 ≤ 1 silindiri içerisinde kalan parçası olsun.

(a). curl F i bulunuz.

(b). M nin parametrizasyonunu yazınız. Stokes teoremini kullanarak

∮

∂ S

F ·d s integralini bulunuz.

21.6. F(x , y , z ) = (x , y ,x 2 + y 2) ve C = {(x , y , z ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1} egrisi z = 1− x 2 − y 2 paraboloidinin birinci bölgedeki pozitif

yönlendirilmis sınır egrisi olsun.

∫

C

F ·d s integralini Stokes teoremini kullanarak bulunuz.

21.7. F(x , y , z ) = (x y z ,x , e x y cos z ) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2+ z 2 = 4, z ≥ 0} yarı küresi pozitif yönlendirilmis olsun.

∫∫

S

curl F ·dS

integralini Stokes teoremini kullanarak bulunuz.

14 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi

21.8. C = {(x , y , z ) : x 2+ y 2 = 4, z =−3} egrisi pozitif yönlendirilmis olmak üzere∮

C

(y ,x z 3,−z y 3)d s

integralini

(a). Egrisel integral tanımını kullanarak bulunuz. (b). Stokes teoremini kullanarak bulunuz.

21.9. F(x , y , z ) = 3z i +5x j −2y k ve S, z = x 2+ y 2 yüzeyinin z = 4 düzlemi altında kalan yüzey parçası olsun.

(a). S nin bir parametrizasyonunu yazınız. (b).

∫∫

S

curl F·dS integralini bulunuz.

21.10. F(x , y , z ) = (y z ,x z ,x y ) ve C = {(x , y , z ) : z = 6−x 2− y 2, z ≥ 2} pozitif pozitif yönlendirilmis olsun.

∫∫

S

curl F ·dS integralini

Stokes teoremini kullanarak bulunuz.

21.11. F(x , y , z ) = (x , y , 0) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2+ z 2 = a 2, z ≥ 0} olsun. Gauss teoremini kullanarak∫∫

S

F ·dS =4

3πa 3

oldugunu gösteriniz. (Yol gösterme: S1 = {(x , y ) : x 2+ y 2 = a 2} olmaküzere∫∫∫

V

div F d V =

∫∫

S

F ·dS+

∫∫

S1

F ·dS

oldugunu kullanınız.)

21.12. F(x , y , z ) = (x 2, z 2,−y 2) ve S = {(x , y , z ) : z = 4−x 2− y 2, z ≥ 0} olsun.

(a). curl F i bulunuz. (b).

∫∫

S

curl F·dS integralini bulunuz.

21.13. F(x , y , z ) = (x 3,x 2y ,x 2z ) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2 ≤ a 2, 0≤ z ≤b} olmak üzere

∫∫

S

F ·dS integralini

(a). Yüzey integralinin tanımını kullanarak bulunuz. (b). Gauss teoremini kullanarak bulunuz.

21.14. F(x , y , z ) = (y , 2x ,x ) ve S = {(x , y , z ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0} pozitif yönlendirilmis olmak üzere

∫∫

S

curl F · dS integralini

bulunuz.

21.15. F(x , y , z ) = (2πy z 4−y , 2πx z 4+x , 8πx y z 3) ve C = {(x , y ) : x 2+y 2 = 4}pozitif yönlendirilmis çember olsun.

∮

C

F·d s integralini

(a). Egrisel integralin tanımını kullanarak bulunuz. (b). Stokes teoremini kullanarak bulunuz.

21.16. W = {(x , y , z ) :−1≤ x ≤ 1, −1≤ y ≤ 1, −y 2 ≤ z ≤ x 2} ve S, W nun pozitif yönlendirilmis yüzeyi ve F(x , y , z ) = (0, 0, z ) olsun.

(a).

∫∫

S

F ·dS integralini yüzey integralinin tanımını kullanarak bulunuz. (b). Gauss teoremini kullanarak bulunuz.

21.3. Alıştırmalar 15

21.17. C , parametrizasyonu β (t ) = (cos t , sin t , cos t + 2 sin t ) olan pozitif yönlendirilmis egri ve F(x , y , z ) = (e x 2,x + z , sin3 z ) ol-

sun.

∮

C

F ·d s integralini Stokes teoremini kullanarak bulunuz. (Yol gösterme: S, C egrisini üzerinde bulunduran z = x + 2y

düzleminin parçası olmak üzere

α(r,θ ) = (r cosθ , r sinθ , r (cosθ +2 sinθ )) (0≤ r ≤ 1, 0≤ θ ≤ 2π),S nin bir parametrizasyonu ve

∮

C

F ·d s =

∫∫

S

curl F ·dS

oldugunu kullanınız.)

Dizin

Bölgesimetrik, 8x -tüp, 8y -tüp, 8z -tüp, 8

Gauss Teoremi (Divergence Teoremi), 8

Kümesimetrik, 8x -tüp, 8y -tüp, 8z -tüp, 8

Stokes Teoremi, 1

. 171

1