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Analisi delle reti resistive

Principi di ingegneria elettrica

Lezione 6a


L’analisi di una rete elettrica (risoluzione della rete) consiste nel determinare tutte le correnti incognite nei rami e tutti i potenziali incogniti ai nodi allo scopo di descrivere istante per istante il funzionamento della rete.In linea generale una rete si risolve operativamente con un sistema di equazioni che legano funzionalmente le variabili.Le tecniche risolutive sono approntate per l’individuazione del piùpiccolo insieme di equazioni (e/o alla loro più semplice formulazione) sufficienti a ricavare tutte le variabili incognite.


Questa rete presenta 4 nodi e 5 lati .

Per risolvere la rete si può procedere:

con il calcolo dei valori equivalenti delle resistenze (per combinazioni serie-parallelo) per poi applicare la regola del partitore di tensione e/o del partitore di corrente

oppure

calcolare le cadute di tensione su ciascun componente man mano che si determinano le correnti nei rami.

Più in generale si possono fare le considerazioni seguenti.


La rete presenta 5 lati e quindi una corrente e una tensione incognite per ciascuno di essi, per un totale di 10 variabili incognite.

Per 3 dei 4 nodi si può applicare la LKC.

Alle 2 maglie si può applicare la LKV.

Per ciascun lato si applica la relazione costitutiva.

Si ottiene un sistema di 10 equazioni in 10 incognite che risolve la rete.

Le equazioni espresse dalle LKC e LKV sono sempre lineari.

Le relazioni costitutive dipendono invece dai componenti e sono lineari per le resistenze ohmiche e in generale per i parametri lineari.

Topologia dei circuiti elettrici

Un circuito elettrico è un insieme connesso di bipoli generatori e utilizzatori.

La topologia del circuito è descritta dal "grafo" e cioè da un disegno stilizzato in cui i diversi bipoli del circuito sono rappresentati da tratti che uniscono i nodi (punti di connessione tra i morsetti dei bipoli).

Questi tratti, denominati lati del circuito, vengono numerati in successione.

Anche i nodi vengono numerati a partire da un nodo qualsiasi cui si assegna il numero zero (nodo di massa).

I grafi “connessi” sono privi di parti separate.

Per studiare una rete occorre fissare le convenzioni di misura delle correnti e delle tensioni nei lati.

Una volta scelta la convenzione di misura della corrente per ogni lato si otterrà un "grafo orientato”.

Il teorema fondamentale delle reti elettriche afferma che una rete di llati è risolubile: è possibile individuare le 2l incognite, corrispondenti alle tensioni e correnti di lato, avvalendosi delle equazioni linearmente indipendenti relative alle LKC e LKT e ai legami costitutivi.

Se n sono i nodi della rete è possibile scrivere (n−1) equazioni indipendenti ai nodi basate sulla LKC.

Considerando l'insieme di tutte le equazioni ai nodi si può osservare che la corrente di ogni lato, essendo quest'ultimo inserito tra due nodi, compare in due equazioni ma con segni opposti.

Poiché la sommatoria delle equazioni ai nodi risulta nulla, si deduce che esse sono linearmente dipendenti.

Il teorema fondamentale delle reti elettriche

Escludiamo il nodo di massa e mettiamo in evidenza i lati che lo collegano con la parte restante della rete.

Le (n−1) equazioni che si deducono dalla LKC per i nodi 1, 2 e 3 non possono più dare somma nulla, perché le correnti dei lati 1, 7 e 8 connessi con il nodo di massa compaiono una sola volta nel sistema di equazioni.

Si può dunque affermare che tali (n−1) equazioni sono tra loro indipendenti.


Dimostriamo ora che se a sono gli anelli di una rete planare èpossibile scrivere (a−1) equazioni indipendenti agli anelli basate sulla LKT.Numeriamo gli anelli del grafo partendo da quello "esterno" cui assegniamo il numero zero orientandolo in senso antiorario. Orientiamo poi gli anelli interni in senso orario.


Ogni lato del grafo fa parte di due anelli e viene percorso in senso opposto (nei due anelli) per cui la tensione ai sui capi compare con segni opposti nelle corrispondenti LKT dei due anelli. Conseguentemente la somma delle tensioni che compaiono nelle LKT di tutti gli anelli è nulla e questo indica che tali equazioni sono linearmente dipendenti.


Escludiamo ora l'anello esterno e mettiamo in evidenza i lati che fanno parte contemporaneamente degli anelli interni e di quello escluso. Le tensioni di tali lati compariranno una sola volta nelle equazioni agli anelli interni e pertanto esse non potranno più avere somma nulla: si evince che (a−1) sono le equazioni agli anelli tra loro indipendenti.


Albero: insieme di rami che unisce tutti i nodi senza formare maglie.

Se l sono i lati della rete allora (a−1) = l-(n-1).


Complessivamente per una rete ad l lati e quindi con 2l incognite (la corrente e la tensione di ogni lato) abbiamo a disposizione l equazioni corrispondenti ai legami costitutivi di ogni lato, n-1 equazioni indipendenti corrispondenti alla LKC ai nodi ed (a−1) = l-(n-1) equazioni indipendenti corrispondenti alla LKT agli anelli: il numero delle equazioni indipendenti 2l è pari quindi al numero delle incognite.

Il teorema fondamentale propone un metodo di calcolo del tutto generale per la soluzione di una rete, ma risulta piuttosto oneroso perché richiede di valutare contemporaneamente tutte le correnti e le tensioni. rispetto ai metodi che consentono il calcolo di un numero più ridotto di incogniteEsso comunque fornisce le indicazioni di base per tutti i metodi derivati (p.es. potenziali ai nodi, correnti cicliche) e consente la soluzione "a vista" delle reti più semplici.


Regola generale di risoluzione delle reti

Data una rete con n nodi e l lati si possono scrivere:

n-1 equazioni linearmente indipendenti ai nodi (LKC)

l-(n-1) equazioni linearmente indipendenti alle maglie (LKT)

l relazioni costitutive relative ai lati

Con questo insieme di relazioni si compone un sistema di 2·lequazioni in 2·l incognite che risolve la rete.

Metodo dei potenziali ai nodi

In una rete con n nodi, il potenziale elettrico di uno di essi viene assunto come riferimento per i potenziali nodali dei rimanenti n-1 nodi (di solito al riferimento viene assegnato arbitrariamente il valore zero).

Applicando la LKC a questi n-1 nodi si ottiene un sistema di n-1equazioni linearmente indipendenti.

Se le correnti incognite (avendo presente che le correnti impresse dai generatori sono termini noti) vengono espresse come prodotto tensione×conduttanza, le equazioni presenteranno come incognite gli n-1 potenziali nodali riferiti al nodo “0”.

Risolto il sistema, noti i potenziali nodali, la corrente di ciascun ramo della rete si calcola come prodotto tra la d.d.p. tra i nodi ai quali il ramo è connesso e la conduttanza del ramo stesso.

Metodo dei potenziali ai nodimodalità operative

Si fissa un nodo di riferimento: normalmente quello cui afferiscono il

maggior numero di rami.

Per ogni i-esimo nodo degli n-1 nodi indipendenti, considerati i rami

ad esso afferenti, si applica la LKC.

Posto che il lato li-j sia connesso ai nodi i e j, si sostituisce alla

corrente il di ogni lato il prodotto vij·Gl(*)

.

Si ottengono n-1 equazioni negli n-1 potenziali nodali incogniti.

(*) vij è la d.d.p. tra i nodi i e j; Gl è la conduttanza del lato li-j

La corrente viene espressa in funzione della tensione e della resistenza del bipolo

Per ogni nodo si applica la LKC


)vv(GR

vvi

ba

ba −=−=

0

0

321

321

=−+−+−−=++−

)vv(G)vv(G)vv(G

iii

dbcbba


2222121

1212111

21

21

221

121

3131

2121

303

202

IvGvG

IvGvG

Iv)GG(vG

IvGv)GG(

IvG)vv(G

IvG)vv(G

iiii

iiii

bcbb

abba

bcb

aab

=+=−

=++−=−+

=+−−=+−

=+−=+−−=+=++−

Metodo dei potenziali ai nodiispezione visiva


La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica

Metodo dei potenziali ai nodiesempio

Metodo dei potenziali ai nodireti con generatori di tensione

2 3



4 V

4 V

00

0

32

32

21

21

=−+−−⇒=+−

=−+−⇒=++−

R

vv

R

vviibnodo

iR

vv

R

vviiianodo

cbba

S

baca

S

Poiché vc=0 e iS è un termine noto, si ottiene un sistema di 2 equazioni nelle due incognite va e vb, che in termini di conduttanze si scrive:

( ) ( )( ) ( ) 00 32232

22121

=+⋅+⋅−⇒=⋅+⋅−−=⋅−+⋅⇒=⋅−+⋅GGvGvGvGvv

iGvGGviGvvGv

babba

SbaSbaa


kΩ2R

kΩ10R

kΩ2R

kΩ1R

mA50

mA10

4

3

2

1

2

1

======

I

I


Elettrotecnica - Principi e applicazioniGiorgio Rizzoni

00

2

00

1

2

4

2

3

21

2

21

3

21

2

21

1

11

=+−+−−−−

=−+−+−+−

IR

v

R

vv

R

vvnodo

R

vv

R

vv

R

vInodo

Il segno “–” risultante per i1

indica che il verso

effettivo è opposto a quello attribuito inizialmente in modo arbitrario.

( ) ( )

( ) ( ) 22432132

12321321

2

1

IvGGGvGGnodo

IvGGvGGGnodo

−=⋅+++⋅+−

=⋅+−⋅++

mA5713i

V8652105010111060

V5713101010601061

111

23

23

13

1

3

2

3

1

3

.Gv

.vv.v.

.vv.v.

−=⋅=

−=⋅−=⋅+⋅−

−=⋅=⋅−⋅−−−

−−−


Analisi nodale con sorgenti di tensione


In presenza di generatori di tensioni l’analisi nodale si svolge tenendo presente che i potenziali dei nodi connessi ai generatori sono variabili non più indipendenti, ma dipendenti.

( )( )

Scb

Scb

Sa

S

ccb

cbbba

ivGGvG

vGvGvGGG

vv

iR

v

R

vvcnodo

R

vv

R

v

R

vvbnodo

=⋅++⋅−⋅=⋅−⋅++

=

=−−+−−

=−+−+−−

433

13321

43

321

00

00

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