prilog modeliranju koeficijenta otpora …repozitorij.fsb.hr/2083/1/06_12_2012_disertacija.pdf ·...

Download PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA OTPORA …repozitorij.fsb.hr/2083/1/06_12_2012_Disertacija.pdf · fakultet strojarstva i brodogradnje radoslav korbar prilog modeliranju koeficijenta

If you can't read please download the document

Upload: lycong

Post on 06-Feb-2018

248 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

  • FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

    Radoslav Korbar

    PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA

    OTPORA TRENJA U NESTACIONARNOM

    STRUJANJU FLUIDA U CIJEVIMA

    DOKTORSKI RAD

    Zagreb, 2012.

  • FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING AND NAVAL

    ARCHITECTURE

    Radoslav Korbar

    CONTRIBUTION TO MODELING OF FRICTION

    COEFFICIENT FOR TRANSIENT FLOW IN PIPES

    DOCTORAL THESIS

    Zagreb, 2012

  • FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

    RADOSLAV KORBAR

    PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA

    OTPORA TRENJA U NESTACIONARNOM

    STRUJANJU FLUIDA U CIJEVIMA

    DOKTORSKI RAD

    Mentor: ZDRAVKO VIRAG

    Zagreb, 2012

  • FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING AND NAVAL

    ARCHITECTURE

    Radoslav Korbar

    CONTRIBUTION TO MODELING OF FRICTION

    COEFFICIENT FOR TRANSIENT FLOW IN PIPES

    DOCTORAL THESIS

    Supervisor: Zdravko Virag

    Zagreb, 2012

  • PODACI ZA BIBLIOGRAFSKU KARTICU:

    UDK: 532.51

    Kljune rijei: Hidrauliki udar; Nestacionarno strujanje; Strujanje u cijevi;

    Dvodimenzijski model; Trenje; Proraunske metode

    Znanstveno podruje: TEHNIKE ZNANOSTI

    Znanstveno polje: Druge temeljne tehnike znanosti

    Institucija u kojoj je rad izraen: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb

    Mentor rada: Prof. dr. sc. Zdravko Virag, dipl. ing.

    Broj stranica: 140

    Broj slika: 67

    Broj tablica: 5

    Broj koritenih bibliografskih jedinica: 58

    Datum obrane: 18.07.2012.

    Povjerenstvo:

    1. Prof. dr. sc. Zdravko Virag, dipl. ing.,

    Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb

    2. Prof. dr. sc. Mario avar, dipl. ing.,

    Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb

    3. Prof. dr. sc. Veljko Filipan, dipl. ing.,

    Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologije, Zagreb

    Institucija u kojoj je rad pohranjen: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb

  • Zahvaljujem mentoru, prof. dr. sc. Zdravku Viragu na mnotvu

    korisnih savjeta, a posebno na nesebinom trudu, portvovnosti i

    dobroj volji kojom je uvijek spremno priskakao u pomo kad su

    se u radu pojavile potekoe.

    Posebnu zahvalnost dugujem prof. dr. sc. Mariju avaru na

    zdunoj pomoi i podrci, te naroito na potpori i optimizmu u

    trenucima kad bi se inilo da se s radom ulo u slijepu ulicu.

  • 1

    SADRAJ

    Sadraj....................................................................................................................................... 1

    Predgovor.................................................................................................................................. 4

    Saetak....................................................................................................................................... 5

    Summary ................................................................................................................................... 5

    Klju ne rijei ............................................................................................................................ 6

    Keywords................................................................................................................................... 6

    Popis oznaka ............................................................................................................................. 7

    Popis slika................................................................................................................................ 11

    Popis tablica ............................................................................................................................ 14

    1. Uvod................................................................................................................................. 15

    Cilj i hipoteza rada................................................................................................................. 17

    2. Pregled postojeih modela i metoda ............................................................................. 18

    2.1 Modeli hidraulikog udara osnovne jednadbe i pretpostavke ............................. 18

    2.1.1. 2D i kvazi-2D modeli ........................................................................................ 19

    2.1.2. 1D modeli.......................................................................................................... 23

    2.2 Modeli trenja za klasini 1D model hidraulikog udara ..........................................25

    2.2.1. Kvazi-stacionarni model................................................................................... 27

    2.2.2. Izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela koji se baziraju na trenutnoj

    akceleraciji ....................................................................................................... 28

    2.2.3. Analitiki izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela................................ 30

    2.3 Modeli trenja za kvazi-2D model modeli turbulencije.......................................... 35

    2.4 Stabilnost strujanja ................................................................................................... 36

    2.5 Pretpostavka 'zamrznute' i kvazi-stacionarne turbulencije....................................... 37

    2.6 Numeriko rjeavanje 1D modela, numerike sheme.............................................. 38

  • 2

    2.7 Numeriko rjeavanje kvazi-2D modela, numerike sheme.................................... 40

    3. Predloeni model i metoda rjeavanja ......................................................................... 42

    3.1 Metoda karakteristika............................................................................................... 42

    3.1.1. Openito............................................................................................................ 42

    3.1.2. Primjena MK na aksijalno simetrian model strujanja.................................... 47

    3.2 Postojei kvazi-2D modeli ....................................................................................... 53

    3.2.1. Matematiki modeli .......................................................................................... 54

    3.2.2. Diskretizacija.................................................................................................... 55

    3.3 Predloeni matematiki model i metoda rjeavanja................................................. 58

    3.3.1. Predloeni matematiki model.......................................................................... 58

    3.3.2. Jednadba za brzinu ......................................................................................... 60

    3.3.3. Jednadba za tlak.............................................................................................. 61

    3.3.4. Usporedba s metodom Vardy i Hwang............................................................. 62

    3.3.5. Predloena diskretizacija i metoda rjeavanja................................................. 68

    3.4 Rubni i poetni uvjeti ............................................................................................... 70

    3.4.1. Rubni uvjeti....................................................................................................... 70

    3.4.2. Poetni uvjeti .................................................................................................... 73

    3.5 Model turbulencije za hidrauliki glatke cijevi........................................................ 74

    3.6 Rjeavanje 3-dijagonalnog sustava jednadbi.......................................................... 80

    4. Rezultati .......................................................................................................................... 82

    4.1 Simuliranje i odravanje stacionarnog strujanja...................................................... 82

    4.1.1. Laminarno strujanje ......................................................................................... 83

    4.1.2. Turbulentno strujanje, glatke cijevi..................................................................84

    4.2 Hidrauliki udar........................................................................................................ 89

    4.2.1. Hidrauliki udar u laminarnom reimu............................................................ 91

    4.2.2. Hidrauliki udar u turbulentnom reimu hidrauliki glatka cijev............... 105

    5. Analiza rezultata .......................................................................................................... 118

    6. Zaklju ak ...................................................................................................................... 122

    Literatura.............................................................................................................................. 123

    Prilog 1: Jednadbe kontinuiteta i koliine gibanja.......................................................... 129

  • 3

    ivotopis................................................................................................................................ 133

    Curriculum vitae .................................................................................................................. 134

  • 4

    PREDGOVOR

    Istraivanje nestacionarnog strujanja u cijevima i cijevnim mreama ve ima duu tradiciju na

    Fakultetu strojarstva i brodogradnje Sveuilita u Zagrebu. Iz tog podruja napisano je niz

    znanstvenih radova, te vei broj magistarskih radova i doktorskih disertacija. U ovom

    trenutku u tijeku su projekti koji obuhvaaju istraivanja nestacionarnog strujanja u krvnim

    ilama [1], [2] kao i model hidraulikog tuka i s njim povezan hidrauliki udar [3].

    Potreba da se istrae i kvalitetnije rijee problemi trenja prilikom hidraulikog udara prisutna

    je u svim institucijama koje istrauju hidrauliki udar ili pulzirajue strujanje, pa je tako ve

    due prisutna i na ovom Fakultetu.

    Kvazi-2D modeli predstavljaju najtonije modele koji se praktiki koriste za simulaciju

    hidraulikog udara. Zbog sloenosti, najee se koriste za verifikaciju jednostavnijih (1D)

    modela. Kao poetak istraivanja trenja, ovdje se predlae novi kvazi-2D model. Predloena

    metoda rjeavanja trebala bi spadati u red najtonijih metoda. No istovremeno brzina

    rjeavanja trebala bi biti toliko velika da metodu svrsta u jednu od najbrih.

    Daljnja istraivanja mogla bi zatim ii u dva smjera. Prvi smjer vezan je uz potrebu za

    kvalitetnim jednostavnim (1D) modelom, pa bi predloena metoda mogla posluiti u

    istraivanju koje bi konano rezultiralo s takvim jednim modelom, kao i za njegovu

    verifikaciju.

    Drugi smjer vezan je uz nestabilnost koja je uoena u nestacionarnom strujanju. Zbog te

    nestabilnosti modeli koji se danas koriste ne daju dovoljno tona rjeenja u svim potrebnim

    reimima strujanja. Temeljito istraivanje uzroka tih pogreaka tek predstoji. U cilju

    iznalaenja tonijih modela i temeljitog razumijevanja fizike pri hidraulikom udaru, morat e

    se sve vie imbenika uzimati u obzir, a sve manje njih zanemarivati. U tom smislu e se u

    buduim istraivanjima moda ak morati odustati i od pretpostavke osne simetrije strujanja u

    cijevi.

  • 5

    SAETAK

    U proraunima nestacionarnog strujanja u cijevi sve ee je potrebno precizno odreivanje

    trenja fluida, to uvjetuje da se uz 1D modele strujanja koriste i toniji kvazi-2D modeli. Za

    proraun hidraulikog udara najee se koriste 2D modeli Vardy i Hwang (koji je toniji i

    pouzdaniji) i Pezzinga (koji zahtijeva manje raunanja). Ovdje je predloen novi kvazi-2D

    model koji posjeduje tonost metode Vardy i Hwang i brzinu raunanja metode Pezzinga.

    Ujedno je ponuena i originalna numerika metoda koja je u osnovi metoda karakteristika, ali

    ima i neke elemente metode konanih volumena.

    Najprije se daje pregled postojeih modela za proraun hidraulikog udara od sloenijih

    prema jednostavnijima uz postupno uvoenje pretpostavki. Zatim je sustavno izloena metoda

    karakteristika za viedimenzijske situacije. Koristei se karakteristinim jednadbama,

    detaljnom analitikom usporedbom predloene metode i metode Vardy i Hwang pokazuje se

    da obje metode moraju davati iste rezultate pod uvjetom da se koristi potpuno implicitna

    shema interpolacije za radijalnu brzinu. Na kraju su rezultati predloene metode usporeeni s

    eksperimentalnim rezultatima za sluaj laminarnog i turbulentnog strujanja, kao i s

    rezultatima prorauna pomou metode Vardy i Hwang za te iste strujne situacije. U svim tim

    usporedbama predloena metoda pokazuje izvrsno poklapanje rezultata.

    SUMMARY

    Pipe flow transient calculations demand increasingly precise friction models. Therefore, more

    accurate quasi-2D flow models are used in addition to simpler 1D models. The most

    commonly used quasi-2D models for water hammer calculations are those of Vardy and

    Hwang (more accurate and reliable) and Pezzinga (demands less calculation steps). Here a

    new quasi-2D model is proposed that combines the accuracy of Vardy and Hwang method

    and the calculation speed of Pezzingas method. Furthermore, an original numerical method is

    offered. The method essentially relies on the method of characteristics, but it also comprises

    some finite volume method features.

  • 6

    First an overview of existing models is given, that goes from complex models towards simpler

    ones, and introduces assumptions progressively. Then a detailed description is given of the

    method of characteristics for multidimensional situations. Applying characteristic equations, a

    detailed analytical comparison of the proposed and the Vardy and Hwang method shows that

    both methods must give the same results, provided that a fully implicit interpolation scheme is

    used for radial velocities. Finally the proposed method results are compared to the

    experimental ones for situations of laminar and turbulent flow, as well as to the Vardy and

    Hwang method results for the same flow situations. Results of the proposed method show

    excellent agreement in all these comparisons.

    KLJU NE RIJEI

    Hidrauliki udar; Nestacionarno strujanje; Strujanje u cijevi; Dvodimenzijski model; Trenje;

    Proraunske metode.

    KEYWORDS

    Water hammer; Transients; Pipe flow; Two-dimensional models; Friction; Computational

    methods.

  • 7

    POPIS OZNAKA

    A koeficijent teinske funkcije W, s-0,5

    aj komponenta vektora brzine kretanja vala u smjeru njegovog prostiranja; koeficijent 3-

    dijagonalnog sustava jednadbi, m/s

    aijk koeficijenti PDJ

    ijk koeficijenti PDJ zapisanih za svojstvene varijable wi

    B koeficijent teinske funkcije W, s-1

    b debljina graninog sloja dvoslojnog modela turbulencije, m

    bj koeficijent 3-dijagonalnog sustava jednadbi

    CA koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (CA=0,19)

    CB koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (CB=0,011)

    CC koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (0,05 CC0,07)

    Cm koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (Cm=0,077)

    c brzina zvuka, m/s

    cj koeficijent 3-dijagonalnog sustava jednadbi

    D promjer cijevi, m

    dj slobodni lanovi 3-dijagonalnog sustava jednadbi

    E istoni vor (i,j+1 ,n) iz kojeg se pomou MK raunaju nove vrijednosti funkcija

    E Youngov modul elastinosti cijevi, Pa

    Ef volumenski modul elastinosti fluida, Pa

    e(j)i jedinini (bazni) vektor u smjeru koordinatne osi xj

    f specifina masena sila, N/kg

    f karakteristina frekvencija vala, Hz

    g konstanta gravitacije, m/s2

    H piezometarska visina, m

    i imaginarna jedinica 1

    i Cartesijev indeks; indeks radijalnog koraka

    j Cartesijev indeks; indeks aksijalnog koraka

    K matrica za odreivanje svojstvenih vektora sustava PDJ u smjeru vektora i

    K koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (K=0,41)

    k Cartesijev indeks; koeficijent doprinosa trenja uslijed akceleracije fluida

  • 8

    kr ekvivalentna visina hrapavosti, m

    ku broj PDJ

    L -1 matrica komponenti svojstvenih vektora

    L duljina cijevi, m

    l i komponenta svojstvenog vektora

    Ma Machov broj

    Nr broj podjela po osi r

    Nx broj podjela po osi x

    n indeks vremenskog koraka

    ni komponenta gradijenta na karakteristinu hiper povrinu S(i)

    P vor (i,j,n+1) u kojem se pomou MK raunaju nove vrijednosti funkcija

    P tlak (1D polje tlaka P = P(t,x) ), Pa

    P0 konstantni tlak u spremniku, Pa

    p tlak (polje tlaka p = p(t,xi) ), Pa

    pj koeficijenti za izraunavanje 3-dijagonalnog sustava jednadbi

    Q volumenski protok fluida kroz cijev, m3/s

    q kvocijent geometrijskog niza

    qi izvorski lanovi PDJ; protok kroz povrinu x=const i-tog elementa po r; koeficijenti za

    izraunavanje 3-dijagonalnog sustava jednadbi

    iq~ izvorski lanovi PDJ zapisanih za svojstvene varijable wi

    R polumjer cijevi, m

    Re Reynoldsov broj

    Re0 Reynoldsov broj u stacionarnom strujanju

    R* bezdimenzijski polumjer cijevi (R* = Ru*/)

    r radijalna koordinata, m

    S popreni presjek cijevi, m2

    S(xi,t)=S(i) karakteristina hiper povrina

    s kompleksna varijabla

    s(j)i proireni izvorski lan prikladan za metodu karakteristika

    Td karakteristino vrijeme difuzije u radijalnom smjeru (Td = R2/), s

    t vrijeme, s

    U srednja protona brzina, m/s

    U0 srednja protona brzina u stacionarnom strujanju, m/s

  • 9

    u aksijalna komponenta brzine, m/s

    uc brzina u jezgri dvoslojnog modela turbulencije, m/s

    uj nepoznate funkcije (rjeenja) PDJ

    ju amplitude rjeenja PDJ

    u* karakteristina brzina turbulentnog gr. sloja brzina trenja, m/s

    v brzina, m/s

    v radijalna komponenta brzine, m/s

    vi'vj' dvojna korelacija turbulentnih pulsacija brzine, m2/s2

    W matrica svojstvenih varijabli; zapadni vor (i,j1,n) iz kojeg se pomou MK raunaju

    nove vrijednosti funkcija

    W teinska funkcija

    W' Laplaceov transformat teinske funkcije

    w cirkularna komponenta brzine, m/s

    wi svojstvene varijable

    x aksijalna koordinata, m

    xi koordinata Cartesijevog sustava, m

    y udaljenost od stjenke (y = Rr), m

    y* bezdimenzijska udaljenost od stjenke (y* = yu*/)

    z koordinata ija je os usmjerena vertikalno uvis (suprotno od gravitacije), m

    koeficijent dvoslojnog modela turbulencije, m-1

    bezdimenzijska znaajka utjecaja trenja u hidraulikom udaru

    P gubitak tlaka pri strujanju u cijevi, Pa

    r radijalni korak, m

    S povrina jednog elementa pri x = const, m2

    t vremenski korak, s

    x aksijalni korak, m

    debljina stjenke cijevi, m

    ij Kroneckerov simbol

    faktor za odabir eksplicitne odn. implicitne sheme za v (01)

    bezdimenzijsko vrijeme simulacije (ctsimulacije/L)

    supstitucijska varijabla za analitiku integraciju profila brzine

    polarna koordinata

  • 10

    faktor za odabir eksplicitne odn. implicitne sheme za u (01)

    koeficijent teinske funkcije W

    i komponenta vektora valnog broja tj. gradijenta povrine S(xi,t=const), m-1

    dijagonalna matrica svojstvenih vrijednosti

    Darcyjev koeficijent stacionarnog trenja pri strujanju u cijevi; svojstvena vrijednost

    MT vrijednost koeficijenta trenja proraunata koritenjem modela turbulencije

    dinamiki koeficijent viskoznosti fluida, Pas

    ef dinamiki koeficijent efektivne viskoznosti (ef = + T), Pas

    T dinamiki koeficijent turbulentne viskoznosti, Pas

    v koeficijent volumenske viskoznosti, Pas

    1, 2, 3 proizvoljne konstante svojstvenih vektora (odabrano 1=2=3=1)

    kinematiki koeficijent viskoznosti fluida, m2/s

    c ef na rubu graninog sloja dvoslojnog modela turbulencije, m2/s

    ef kinematiki koeficijent efektivne viskoznosti, m2/s

    w ef na stjenci u dvoslojnom modelu turbulencije, m2/s

    k nezavisne varijable PDJ

    gustoa fluida, kg/m3

    dio tenzora naprezanja (blizak devijatorskom dijelu), Pa

    tenzor naprezanja, Pa

    koeficijent dvoslojnog modela turbulencije

    tangencijalno naprezanje; bezdimenzijsko vrijeme za teinsku funkciju W, Pa

    c tangencijalno naprezanje na rubu graninog sloja dvoslojnog modela turbulencije, Pa

    w tangencijalno naprezanje na stjenci, Pa

    w' Laplaceov transformat tangencijalnog naprezanja na stjenci

    ws tangencijalno naprezanje na stjenci u stacionarnom strujanju, Pa

    wu nestacionarni doprinos tangencijalnom naprezanju na stjenci, Pa

    karakteristina kruna frekvencija, Hz

  • 11

    POPIS SLIKA

    Sl. 2.1 Profili brzine pri hidraulikom udaru [4] 28

    Sl. 2.2 Tijek piezometarske visine pri hidraulikom udaru, eksperiment i modeli [4] 29

    Sl. 2.3 Stacionarni profil brzine i efektivne viskoznosti [17] 32

    Sl. 3.1 Machov konus i svojstvena ravnina za 2D situaciju 45

    Sl. 3.2 Machov konus i karakteristike za kvazi-2D model 53

    Sl. 3.3 Reetka diskretizacije za predloenu metodu i metodu Vardy i Hwang, uz r=const 56

    Sl. 3.4 Prostorna reetka za metodu Vardy i Hwang 63

    Sl. 3.5 Rubni uvjeti i prostorne oznake vorova za obje metode 65

    Sl. 3.6 Prostorna reetka za predloenu metodu 69

    Sl. 3.7 Definiranje rubova podruja i rubnih vorova 71

    Sl. 3.8 Aproksimacija koeficijenta Cc 76

    Sl. 3.9 Kinematiki koeficijent efektivne viskoznosti ef odabranog modela turbulencije;

    provjera implementacije modela 77

    Sl. 3.10 Kinematiki koeficijent efektivne viskoznosti ef odabranog modela turbulencije u

    blizini stjenke; provjera implementacije modela 78

    Sl. 3.11 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=4000 79

    Sl. 3.12 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=23000 79

    Sl. 3.13 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=110000 80

    Sl. 3.14 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=1100000 80

    Sl. 4.1 Postizanje i odravanje laminarnog profila brzine 83

    Sl. 4.2 Koeficijent trenja prema Colebrookovom izrazu i MT dobiven integracijom modela

    turbulencije na mrei od 30 elemenata, te njegovo odstupanje () od , za vrijednosti

    Reynoldsovog br.: 4000 (q=1,05), 23000 (q=1,08) i 110000 (q=1,15) 85

    Sl. 4.3 Koeficijent trenja prema Colebrookovom izrazu i MT dobiven integracijom modela

    turbulencije na mrei od 60 elemenata, te njegovo odstupanje () od , za vrijednosti

    Reynoldsovog br.: 4000 (q=1,05), 23000 (q=1,08), 110000 (q=1,1) i 1100000

    (q=1,15) 85

    Sl. 4.4 Koeficijent trenja prema Colebrookovom izrazu i MT dobiven integracijom modela

    turbulencije na mrei od 100 elemenata, te njegovo odstupanje () od , za

  • 12

    vrijednosti Reynoldsovog br.: 4000 (q=1,05), 23000 (q=1,08), 110000 (q=1,1) i

    1100000 (q=1,1) 86

    Sl. 4.5 Usporedba profila brzine pri Re=4.000 dobivenih numerikom integracijom modela

    turbulencije na mreama s 30, 60 i 100 elemenata u radijalnom smjeru (q=1,05 za

    sve tri mree) s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 87

    Sl. 4.6 Usporedba profila brzine pri Re=23.000 dobivenih numerikom integracijom

    modela turbulencije na mreama s 30, 60 i 100 elemenata u radijalnom smjeru

    (q=1,08 za sve tri mree) s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 87

    Sl. 4.7 Usporedba profila brzine pri Re=110.000 dobivenih numerikom integracijom

    modela turbulencije na mreama s 30 (q=1,15), 60 (q=1,1) i 100 (q=1,1) elemenata u

    radijalnom smjeru s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 88

    Sl. 4.8 Usporedba profila brzine pri Re=1.100.000 dobivenih numerikom integracijom

    modela turbulencije na mreama s 60 (q=1,15), 100 (q=1,1) i 150 (q=1,1) elemenata

    u radijalnom smjeru s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 88

    Sl. 4.9 Shema ureaja za ispitivanje hidraulikog udara [58] 89

    Sl. 4.10 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou dvije mree 92

    Sl. 4.11 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka kod ventila 92

    Sl. 4.12 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou predloene metode i metode

    Vardy i Hwang [9] 93

    Sl. 4.13 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi 93

    Sl. 4.14 Tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode

    i metode Vardy i Hwang [9] 94

    Sl. 4.15 Tijek srednje brzine kod spremnika proraunat pomou predloene metode 95

    Sl. 4.16 Tijek srednje brzine na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode95

    Sl. 4.17 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou dvije mree 96

    Sl. 4.18 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene

    metode i metode Vardy i Hwang [9] 97

    Sl. 4.19 Tijek koeficijenta trenja, nestacionarnog (odreen iz sminog naprezanja w) i kvazi-

    stacionarnog (odreen prema vrijednosti Re) 98

    Sl. 4.20 Profil brzine na sredini duljine cijevi u trenutku tc/L = 4 proraunat pomou etiri

    razliite mree 99

    Sl. 4.21 Profili brzine na sredini duljine cijevi 'ubrzo' nakon prolaska prva dva poremeaja,

    proraunati prema predloenoj metodi i prema metodi Vardy i Hwang [9] 100

    Sl. 4.22 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska prvog poremeaja 101

  • 13

    Sl. 4.23 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska drugog i treeg

    poremeaja 101

    Sl. 4.24 Profili brzine na sredini duljine cijevi neposredno nakon prolaska (prva etiri)

    poremeaja 102

    Sl. 4.25 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom etvrtom

    vremenskom koraku 103

    Sl. 4.26 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom

    vremenskom koraku 103

    Sl. 4.27 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) u zavisnosti od pozicije x i

    vremena t 104

    Sl. 4.28 Raspored srednje brzine du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom

    etvrtom vremenskom koraku 104

    Sl. 4.29 Raspored srednje brzine du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom

    vremenskom koraku 105

    Sl. 4.30 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou dvije mree 106

    Sl. 4.31 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka kod ventila 106

    Sl. 4.32 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou predloene metode i metode

    Vardy i Hwang [9] 107

    Sl. 4.33 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi 107

    Sl. 4.34 Tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode

    i metode Vardy i Hwang [9] 108

    Sl. 4.35 Tijek srednje brzine kod spremnika proraunat pomou predloene metode 108

    Sl. 4.36 Tijek srednje brzine na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode109

    Sl. 4.37 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou dvije mree109

    Sl. 4.38 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene

    metode i metode Vardy i Hwang [9] 110

    Sl. 4.39 Tijek koeficijenta trenja, nestacionarnog (odreen iz sminog naprezanja w) i kvazi-

    stacionarnog (odreen prema vrijednosti Re) 111

    Sl. 4.40 Jedan profil brzine na sredini duljine cijevi proraunat pomou tri razliite mree 111

    Sl. 4.41 Profili brzine na sredini duljine cijevi 'ubrzo' nakon prolaska prva dva poremeaja,

    proraunati prema predloenoj metodi i prema metodi Vardy i Hwang [9] 112

    Sl. 4.42 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska prvog poremeaja 113

    Sl. 4.43 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska prvog poremeaja

    detalj A sa prethodne slike 113

  • 14

    Sl. 4.44 Profili brzine na sredini duljine cijevi neposredno nakon prolaska (prva etiri)

    poremeaja 114

    Sl. 4.45 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom drugom

    vremenskom koraku 114

    Sl. 4.46 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) u zavisnosti od udaljenosti x i

    vremena t 115

    Sl. 4.47 Raspored tlaka u blizini stjenke du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u

    svakom vremenskom koraku 115

    Sl. 4.48 Raspored tlaka u blizini stjenke du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) proraunat

    pomou mree sa 100 elemenata u aksijalnom smjeru 116

    Sl. 4.49 Raspored srednje brzine du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom

    drugom vremenskom koraku 117

    Sl. 4.50 Raspored srednje brzine u blizini simetrale du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01)

    prikazan u svakom vremenskom koraku 117

    POPIS TABLICA

    Tablica 3.1 Broj jednadbi predloene metode 66

    Tablica 3.2 Broj nepoznanica predloene metode 66

    Tablica 3.3 Broj jednadbi metode Vardy i Hwang (moguih i *iskoritenih) 67

    Tablica 3.4 Broj nepoznanica metode Vardy i Hwang 68

    Tablica 4.1 Podaci o eksperimentima hidraulikog udara [58] 90

  • 15

    1. UVOD

    Potreba da se razumije nestacionarno strujanje fluida javila se u pradavno vrijeme s pojavom

    prvih sustava za navodnjavanje i opskrbu vodom. Meutim, ozbiljan napredak sustavnog

    razumijevanja zakonitosti strujanja fluida dogodio se tek u dvadesetom stoljeu, kao

    posljedica snanog razvoja matematikog aparata, a kasnije razvoja digitalnih raunala. Prva

    ozbiljnija istraivanja nestacionarnog strujanja vezana su uz probleme koji su se pojavili u

    cjevovodima i vodnim turbinama hidroelektrana, a koristio se model neviskoznog fluida.

    U dananje vrijeme, zbog razvitka tehnologije problemi nestacionarnog strujanja fluida

    postaju sve znaajniji u irokom podruju primjene, od cjevovoda za transport i opskrbu

    fluida do ubrizgavanja goriva u automobilske motore [4]. Pri tome je najee potrebno

    obraunati i gubitke energije, tj. uzeti u obzir trenje. Osim trenja, uzima se prema potrebi u

    obzir i elastinost materijala cijevi i/ili pojava kavitacije (koja naroito utjee pri zagaivanju

    pitke vode [5], [6]), a posebnu kategoriju problema donosi simulacija dinamikog ponaanja

    cijevnih mrea (npr. za detekciju puknua cijevi [7]). Iako se naglo zatvaranje ventila

    izbjegava, a hidrauliki udar koji time nastaje se ne doputa i dogaa se iznimno, ipak

    prouavanje priguenja oscilacija pri takvom udaru ima praktini znaaj. Naime, saznanja o

    takvom priguenju mogu biti od koristi i u drugim oscilatornim strujanjima. Utjecaj trenja

    bitan je npr. prilikom simulacije cijevnih mrea, kavitacije, dugotrajnijih simulacija, zatim

    ako su bitni amplituda i oblik valova (kao u eljeznikim tunelima [8]), ili kad je potrebno

    odrediti maksimalno smino naprezanje (kao u analizi kvalitete pitke vode).

    Donedavno nestacionarno trenje nije bilo dovoljno istraeno, pa se nije uzimalo u obzir ili se

    koristio kvazi-stacionarni model (Darcy-Weisbachov obrazac). Danas se za simulaciju pojava

    izazvanih hidraulikim udarom preteno koriste 1D ili kvazi-2D modeli nestacionarnog

    strujanja. U okviru 1D modela koriste se modeli trenja na bazi trenutne brzine i akceleracije

    ili sloeniji modeli s integralom konvolucije (s teinskom funkcijom). U kvazi-2D modelima

    pretpostavlja se 1D polje tlaka i 2D polje brzine. Promjena brzine u poprenom smjeru rauna

    se prvenstveno za odreivanje trenja. Za turbulentno strujanje koriste se uglavnom algebarski

    kvazi-stacionarni modeli turbulencije.

    Pri odabiru modela hidraulikog udara znaajnu ulogu ima kriterij ekonominosti prorauna,

    odn. nastojanje da se proraun obavi u to kraem vremenu i uz koritenje to manje

  • 16

    raunalnih resursa, pa se modele u pravilu nastoji maksimalno pojednostaviti. Toniji (2D)

    modeli esto se koriste za verifikaciju novih 1D modela ili za bolje razumijevanje fizikalne

    pozadine pojave, a rjee za komercijalnu simulaciju. Od potreba zadatka, ali i od parametara

    ispitivane pojave zavisi da li e rezultati dobiveni pomou ovih modela biti zadovoljavajui ili

    ne.

    U ovom radu se za hidrauliki udar primjenjuje originalni kvazi-2D model koji se rjeava

    pomou takoer originalne varijante numerike metode karakteristika. Numerika metoda

    nastala je integracijom karakteristinih jednadbi po poprenoj povrini elementa, pa ima i

    neka svojstva metode konanih volumena. Korak mree u uzdunom smjeru odabire se tako

    da se egzaktno zadovoljava kriterij Lewy-Couranta, to znai da je metoda na samoj granici

    stabilnosti. Zbog stabilnosti se za interpolaciju brzine koristi ista implicitna shema. U

    praktinom smislu proraun je jednostavan i vrlo brz; zasebno se uvijek rjeava samo sustav

    jednadbi za jedan popreni presjek. Sustav tih jednadbi je 3-dijagonalni, to omoguava

    primjenu brzog Thomasovog algoritma (TDMA).

    Predloeni model analitiki je usporeen s jednim od najtonijih suvremenih modela,

    modelom Vardy i Hwang [9]. Pokazuje se da se predloeni model dobiva analitikom

    manipulacijom modela Vardy i Hwang, a takoer i algebarskom manipulacijom tog modela

    zapisanog u diskretiziranoj formi, ali uz uvjet da se koristi potpuno implicitna shema za

    radijalnu brzinu. Meutim u okviru predloenog modela nije potrebno rjeavati jednadbe za

    radijalnu brzinu, ime se potreban broj raunskih operacija prepolavlja.

    U okviru rada izraen je kompjuterski program za rjeavanje ovako definiranog modela.

    Tonost metode testirana je usporedbom rezultata predloene metode s eksperimentalnim

    rezultatima za laminarni i turbulentni sluaj strujanja. Takoer je izvrena usporedba s

    rezultatima metode Vardy i Hwang. Zbog ove posljednje usporedbe, koriten je u okviru ovog

    istraivanja isti algebarski model turbulencije s pet zona kakav se primjenjuje u toj metodi.

    Poklapanje rezultata predloene metode s eksperimentalnim i proraunskim rezultatima

    pokazalo se izuzetno dobro u svim situacijama.

  • 17

    CILJ I HIPOTEZA RADA

    CILJ RADA

    Cilj rada je stvaranje novog kvazi-dvodimenzijskog modela i metode za proraun

    nestacionarnog strujanja u cijevi. Model e imati dvodimenzijsku jednadbu za aksijalnu

    brzinu i integralnu (jednodimenzijsku) jednadbu za tlak, zbog ega se gubi potreba za

    odreivanjem radijalne komponente brzine. Metoda e se bazirati na metodi karakteristika uz

    uvoenje elemenata metode konanih volumena.

    HIPOTEZA RADA

    Novopredloeni model i numerika metoda, koji e se temeljiti na metodi karakteristika, e

    davati tonije rezultate i/ili imati krae vrijeme prorauna nestacionarnog strujanja od

    postojeih dvodimenzijskih modela. Predloena metoda e biti dovoljno brza da se moe

    koristiti u praktinoj primjeni umjesto jednostavnijih i netonijih jednodimenzijskih modela.

  • 18

    2. PREGLED POSTOJEIH MODELA I METODA

    Ovdje su rezimirani aktualni modeli i metode za raunanje hidraulikog udara slabo stlaivog

    fluida. Pri tome je posebna pozornost posveena nainu uzimanja u obzir utjecaja trenja u

    fluidu. Nisu uzeti u obzir kavitacija i odvajanja stupca fluida, niti ravanja i sloenije cijevne

    geometrije (cijevnih mrea). Oni modeli koji su stekli veu popularnost i zastupljenost

    detaljno su objanjeni.

    Modeli i njihove osnovne matematike jednadbe najprije su po kategorijama navedeni

    redoslijedom od sloenijih prema jednostavnijima, kako bi se mogao pratiti i sagledati

    redoslijed uvoenja pretpostavki i ogranienja. U nastavku, redoslijedom od jednostavnijih

    prema sloenijima, ti modeli su razraeni detaljnije. Prihvaena je sljedea osnovna podjela

    aktualnih modela

    a) Jednodimenzijski (1D) modeli

    idealni modeli (bez trenja)

    kvazi-stacionarni model trenja

    modeli s korekcijom na bazi trenutne akceleracije

    modeli s analitikom korekcijom

    b) Dvodimenzijski (2D) i kvazi dvodimenzijski modeli

    2.1 Modeli hidrauli kog udara osnovne jednadbe i pretpostavke

    Osnovne jednadbe strujanja Newtonovskog fluida su

    jednadba kontinuiteta

    0=

    +j

    j

    x

    v

    Dt

    D (2.1)

  • 19

    jednadba koliine gibanja

    j

    ji

    ii

    i

    xx

    pf

    Dt

    Dv

    += , (2.2)

    +

    +

    = ''32

    ijj

    i

    i

    j

    jk

    kjivji vvx

    v

    x

    v

    xx

    v . (2.3)

    Tenzor turbulentnih naprezanja esto se modelira pomou turbulentne viskoznosti T, (v.

    odjeljak o modelima turbulencije) tj. putem izraza

    +

    =j

    i

    i

    jTij x

    v

    x

    vvv '' , (2.4)

    ef = + T (2.5)

    2.1.1. 2D i kvazi-2D modeli

    Prijelazom na cilindarski koordinatni sustav (koordinatne osi x, r, , komponente brzine u, v,

    w) i zanemarujui lanove iji utjecaj nije znaajan odn. uvoenjem sljedeih pretpostavki:

    v=0;

    032 =

    k

    kji

    j x

    v

    x ;

    aksijalna simetrija obzirom na os x ( 0=

    );

    v=w=0;

    osnovne jednadbe poprimaju sljedeu formu:

    jednadba kontinuiteta

    0)(11 =

    +

    +

    +

    +

    r

    rv

    rx

    u

    rv

    xu

    t

    , (2.6)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    r

    r

    rxx

    pf

    r

    uv

    x

    uu

    t

    u rxxxx

    ++

    =

    +

    +

    )(111

    , (2.7)

  • 20

    r-komponenta jednadbe koliine gibanja

    rr

    r

    rxr

    pf

    r

    vv

    x

    vu

    t

    v rrxrr

    +

    +

    =

    +

    +

    )(111

    , (2.8)

    pri emu

    ''2 uux

    uxx

    = , (2.9)

    ''vux

    v

    r

    uxrrx

    +

    == , (2.10)

    ''2 vvr

    vrr

    = , (2.11)

    ''2 wwr

    v = , (2.12)

    odn. ukoliko se koristi model turbulentne viskoznosti

    x

    uefxx

    = 2 , (2.13)

    +

    ==

    x

    v

    r

    uefxrrx , (2.14)

    r

    vefrr

    = 2 . (2.15)

    r

    vef 2= . (2.16)

    Uvode se daljnje relacije i pretpostavke odn. pojednostavljenja:

    xx= rr= xr=0, rx=rx (tangencijalno naprezanje komponenta tenzora naprezanja);

    0=

    x

    v

    r ;

    1D model tlaka tlak P nije funkcija od r-koordinate, tj. P=P(t,x), pa vie nije potrebno

    rjeavati r-komponentu jednadbe koliine gibanja, ovom pretpostavkom 2D model

    postaje kvazi-2D model;

  • 21

    brzina napredovanja tlanog poremeaja (brzina zvuka)

    ddP

    c = , (2.17)

    dakle Dt

    DP

    cDt

    D2

    1= (napomena: u 1D modelima koristi se openitiji izraz za brzinu

    napredovanja tlanog poremeaja, v. nie);

    x

    zgfi

    = , tj. masena gravitacijska sila se tretira jednodimenzijski, z=x3 je geodetska

    visina;

    piezometarska visina

    zg

    PH +=

    0, (2.18)

    gdje je 0=const poetna gustoa fluida; nadalje

    ;1

    2220

    x

    zu

    c

    g

    Dt

    DH

    c

    g

    x

    zu

    Dt

    DH

    c

    g

    Dt

    D

    =

    =

    0=x

    zu , tj. ovdje se unutar jednadbe kontinuiteta zanemaruje dio (v. [10]) konvektivne

    promjene gustoe; inae se obino u toj jednadbi zanemaruje kompletna konvektivna

    promjena gustoe, odn. uzima se t

    H

    Dt

    DH

    = ;

    i dobivaju se sljedee jednadbe koje se esto koriste kao polazne jednadbe za kvazi-2D

    modele

    jednadba kontinuiteta

    0)(1

    2 =+

    +

    +

    r

    rv

    rx

    u

    x

    Hu

    t

    H

    c

    g, (2.19)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    r

    r

    rx

    Hg

    r

    uv

    x

    uu

    t

    u rx

    +=

    +

    +

    )(1

    , (2.20)

  • 22

    pri emu

    ''vur

    urx

    = , (2.21)

    ili uz koritenje modela turbulentne viskoznosti

    r

    uefrx

    = . (2.22)

    Ghidaoui et al. [4] pokazali su usporedbom reda veliine pojedinih lanova da je u sluaju

    Ma

  • 23

    dobiva se pojednostavljeni kvazi-2D model koji je uveo Pezzinga [11]:

    jednadba kontinuiteta

    02

    =+

    x

    Q

    gS

    c

    t

    H, (2.25)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    r

    r

    rx

    Hg

    t

    u rx

    =+

    )(1

    . (2.26)

    Ovakvo uklanjanje radijalnih brzina iz modela u nekim situacijama uzrokuje nefizikalne

    oscilacije.

    Silva-Araya i Chaudry [12] Ohmi et al. [13] takoer su integrirali kvazi-2D jednadbu

    koliine gibanja, ali samo za odreivanje korekcije nestacionarnog sminog naprezanja wu u

    okviru modela koji se dalje svodi na 1D model.

    Wood i Funk [14] takoer su numeriki integrirali kvazi-2D jednadbu koliine gibanja i na

    taj nain odreivali profile brzina.

    2.1.2. 1D modeli

    Za laminarno strujanje vrijedi:

    r

    urx

    = , =const;

    pa se u tom sluaju x-komponenta jednadbe koliine gibanja moe zapisati u formi

    )(111

    2

    2

    tfx

    P

    t

    u

    r

    u

    rr

    u

    =

    =

    +

    . (2.27)

    Ovdje su prisutne derivacije brzine u samo po koordinati r i vremenu t, pa je integraciju ove

    jednadbe mogue provesti u svakom presjeku nezavisno od koordinate x. Zielke [15] je

    izvrio takvu analitiku integraciju, ime je dobiven popularni 1D analitiki model.

    Vardy et al. [16] su na analogni nain sainili model prikladan za nestacionarno turbulentno

    strujanje u glatkim cijevima pri niskim Reynoldsovim brojevima. Vardy i Brown [17] su

  • 24

    kasnije taj model proirili i na sluajeve turbulentnog strujanja u glatkim cijevima pri visokim

    Reynoldsovim brojevima, te [18] na turbulentno strujanje u potpuno hrapavim cijevima.

    isti 1D model dobiva se uvoenjem srednje brzine:

    =S

    dSuS

    txU1

    ),( .

    Uzimajui osim toga u obzir da vrijedi

    DrDr

    r

    rwrxwrx 4

    2

    )(1 =

    =

    , (2.28)

    gdje w oznaava smino naprezanje na stjenci cijevi, dobivaju se klasine jednadbe

    hidraulikog udara:

    jednadba kontinuiteta

    02

    =+

    x

    U

    g

    c

    t

    H , (2.29)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    04 =+

    +

    Dx

    Hg

    t

    U w

    . (2.30)

    Isti izrazi mogu se dobiti odn. vrijede i kad se dopusti promjena presjeka cijevi S uslijed

    elastine deformacije cijevi (v. npr. [10]). Meutim, tada se brzina napredovanja tlanog

    poremeaja definira sljedeim openitijim izrazom:

    DEEdP

    dS

    SdP

    d

    c f +=+=2

    1, (2.31)

    pri emu su E Youngov modul elastinosti cijevi, Ef volumenski modul elastinosti fluida, a

    je debljina stjenke cijevi.

  • 25

    Kad se u gornjem modelu zanemari trenje, dobiva se tradicionalni Allievijev model

    hidraulikog udara:

    jednadba kontinuiteta

    02

    =+

    x

    U

    g

    c

    t

    H , (2.32)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    0=+

    x

    Hg

    t

    U . (2.33)

    Integracijom Allijevijevih jednadbi po pominom kontrolnom volumenu, koji obuhvaa

    frontu hidraulikog udara po cijelom poprenom presjeku cijevi i uz koritenje Leibnizovog

    pravila moe se dobiti izraz ukovskog za visinu prvog tlanog udara

    g

    UcH

    = . (2.34)

    2.2 Modeli trenja za klasini 1D model hidraulikog udara

    Poetkom dvadesetog stoljea ukovski je postavio najpoznatiju jednadbu nestacionarnog

    strujanja koja se ponekad naziva osnovnom jednadbom hidraulikog udara.

    g

    UcH

    = . (2.35)

    Dobivena je uz pretpostavku neviskoznog fluida i zanemarivo male brzine strujanja u odnosu

    na brzinu zvuka.

    Otprilike u isto vrijeme Allievi je pokazao da je opravdano zanemariti konvektivne lanove u

    jednadbama i postavio opu teoriju hidraulikog udara. Allievijev idealni model obuhvaa

    jednadbu kontinuiteta

    02

    =+

    x

    U

    g

    c

    t

    H , (2.36)

  • 26

    x-komponentu jednadbe koliine gibanja

    0=+

    x

    Hg

    t

    U . (2.37)

    Nakon to je jo uzeto u obzir i trenje na stjenci cijevi, polovicom dvadesetog stoljea

    openito su prihvaene sljedee klasine jednadbe jednodimenzijskog (1D) modela

    hidraulikog udara:

    jednadba kontinuiteta

    02

    =+

    x

    U

    g

    c

    t

    H , (2.38)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    04 =+

    +

    Dx

    Hg

    t

    U w

    . (2.39)

    Te jednadbe vrijede za jednodimenzijsko strujanje (aksijalno simetrino strujanje uz

    dominantnu komponentu brzine u smjeru osi) stlaivog fluida u elastinoj cijevi uz relativno

    malu vrijednost Machovog broja.

    Prema [4] utjecaj sminog naprezanja na stjenci cijevi w poveava se s poveanjem

    vrijednosti bezdimenzijske znaajke

    cL

    T

    D

    L d +=2

    Ma , (2.40)

    gdje je sa oznaeno bezdimenzijsko vrijeme simulacije (omjer vremena simulacije i

    vremena L/c etvrtine ciklusa), je koeficijent stacionarnog viskoznog trenja u cijevi, a

    Td = R2/ je karakteristino vrijeme difuzije u radijalnom smjeru. Prema tome utjecaj trenja

    znaajan je u sluajevima kad vrijeme simulacije znatno premauje periodu ciklusa (velik ),

    ili je cijev relativno velike duljine L odn. malog promjera D, ili je koeficijent trenja relativno

    velik, ili kad je karakteristino vrijeme radijalne difuzije Td vee od vremena L/c putovanja

    poremeaja u jednom smjeru. Poznato je da se kod relativno kratkog vremena simulacije

    (mali ) zadovoljavajui rezultat dobiva uz koritenje bilo kojeg modela trenja. Praktini

    zadaci kod kojih je modeliranje trenja od bitnog znaaja ukljuuju analizu i sintezu

    cjevovodnih mrea i regulacije nestacionarnog strujanja; simulaciju opskrbe pitke vode s

    ciljem izbjegavanja zagaenja; izradu programa za obradu mjernih podataka u svrhu

  • 27

    kalibracije parametara, dijagnostike i otkrivanje proputanja; modeliranje kavitacije i

    odvajanja stupca kapljevine.

    2.2.1. Kvazi-stacionarni model

    U stacionarnom strujanju pad tlaka uslijed trenja u cijevi rauna se prema Darcy-

    Weisbachovom obrascu

    2

    2U

    D

    LP = . (2.41)

    Iz uvjeta ravnotee sila na element fluida u stacionarnom strujanja slijedi izraz za smino

    naprezanje na stjenci cijevi

    84

    2

    UU

    DL

    DP

    w

    =

    = . (2.42)

    U kvazi-stacionarnom modelu pretpostavlja se da gornji izraz u svakom asu vrijedi i za

    sluaj nestacionarnog strujanja, pri emu je U trenutna srednja brzina strujanja. Ta

    pretpostavka daje zadovoljavajue rezultate jedino u sluaju vrlo sporih nestacionarnosti.

    Kod hidraulikog udara vremenske promjene su brze, a srednja brzina strujanja nakon npr.

    trenutnog zatvaranja ventila jednaka je nuli. Meutim, potpuno suprotno rezultatu koji daje

    stacionarni model trenja, smino naprezanje je maksimalno upravo odmah nakon prolaska

    fronte vala. Naime pri prolasku tlane fronte brzina fluida smanjuje se u svim tokama

    presjeka otprilike za isti iznos. Zato se upravo u blizini stjenke javljaju najvee brzine (u tom

    podruju mijenja se i smjer brzine), to zajedno s uvjetom lijepljenja rezultira maksimalnim

    gradijentom brzine u blizini stjenke.

  • 28

    Sl. 2.1 Profili brzine pri hidraulikom udaru [4]

    Zato se izraz za smino naprezanje na stjenci cijevi zapisuje kao zbroj kvazi-stacionarnog

    naprezanja ws i nestacionarnog doprinosa naprezanju wu

    )()()( ttt wuwsw += . (2.43)

    Za razliku od ovog modela, preostali 1D modeli trenja uzimaju u obzir ovu korekciju wu, a

    razlikuju se upravo po modelu tog doprinosa.

    2.2.2. Izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela koji se baziraju na trenutnoj

    akceleraciji

    Eksperiment [19] pokazao je da wu poprima pozitivnu vrijednost pri ubrzanju strujanja, a

    negativnu vrijednost pri usporenju strujanja. Daily et al. [19] predloili su relaciju

    t

    UDkwu

    =4 . (2.44)

    Koeficijent k openito zavisi od pozicije x i vremena t, pa se priguivanje oscilacija koje daje

    ovaj model relativno loe poklapa s eksperimentom (v. Sl. 2.2).

    Brunone et al. [20] predlau sljedeu modifikaciju

    =

    x

    Uc

    t

    UDkwu 4

    . (2.45)

  • 29

    Ovaj poznati model jednostavan je za koritenje, a dobiva se zadovoljavajue priguenje

    oscilacija nakon hidraulikog udara (v. Sl. 2.2). Zato se od svih modela trenja na bazi

    akceleracije ovaj model najee koristi. Potrebno je odabrati adekvatnu vrijednost samo

    jednog parametra koeficijenta k. Bergant et al. [21] dobili su najbolje rezultate pri

    vrijednostima k izmeu 0,033 i 0,085. Brunone et al. [20] koristili su vrijednost k=0,04.

    Sl. 2.2 Tijek piezometarske visine pri hidraulikom udaru, eksperiment i modeli [4]

    Takoer su sugerirali da se k odabere prema izrazu

    21 11k

    HH ii += , (2.46)

    pri emu su Hi i Hi-1 maksimalne vrijednosti piezometarske visine u dva konsekutivna titraja.

    Nekoliko autora predloilo je manje modifikacije ovog modela, kao npr. Pezzinga [22]

    =

    x

    Uc

    x

    UU

    t

    UDkwu sign4

    , (2.47)

  • 30

    i Bergant et al. [21]

    ( )

    =

    x

    UcU

    t

    UDkwu sign4

    . (2.48)

    Osim spomenute modifikacije, Pezzinga [22] je odredio vrijednost koeficijenta k za vlastiti

    model i za model Brunone et al. [20] na bazi rezultata sloenijeg kvazi-2D modela Pezzinga

    [11]. Dimenzijskom analizom dobio je i varirao sljedee tri bezdimenzijske znaajke o kojima

    ovisi vrijednost koeficijenta k: poetni Reynoldsov broj (Re0=U0D/), relativnu ekvivalentnu

    hrapavost kr/D i karakteristini parametar cjevovoda y0

    0

    0

    00

    42 DcU

    L

    c

    U

    D

    L

    cU

    gHy wsf

    === , (2.49)

    pri emu Hf oznaava linijski gubitak, a ws smino naprezanje na stjenci; oboje u poetnom

    stacionarnom strujanju. Pokazalo se da se vrijednosti k za oba modela ne razlikuju. Meutim,

    1D model rjeavao se pomou dvije numerike metode, metodom karakteristika (MK) i

    metodom konanih diferencija (MKD), a rezultat (dobiveni k) je zavisio od primijenjene

    numerike metode. Rezultat je takoer zavisio i od vremena simulacije (broja oscilatornih

    ciklusa). Prema tome, mogue je da koeficijent k zavisi od odabranog vremena promatranja

    pojave, ali s druge strane potrebna je temeljitija eksperimentalna verifikacija kako 1D tako i

    kvazi-2D modela.

    Vardy i Brown [23] ponudili su teorijski izraz za odreivanje koeficijenta k. Pri tome se

    pretpostavlja da se koeficijent turbulentne viskoznosti ne mijenja s vremenom i da ima

    raspodjelu istu kao kod stacionarnog strujanja. Zato je pouzdanost takvog modela upitna.

    2.2.3. Analitiki izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela

    Ovi modeli esto se nazivaju modelima s teinskom funkcijom. Koritenje te funkcije

    (integral konvolucije), zahtijeva da se uzmu u obzir podaci od poetka pojave pa sve do danog

    trenutka.

    Modeli iz ove kategorije baziraju se na analitikom rjeenju Zielke [15] paralelnog osno-

    simetrinog strujanja. Integrirajui uzdunu (x) komponentnu jednadbe koliine gibanja

    )(111

    2

    2

    tfx

    P

    t

    u

    r

    u

    rr

    u

    =

    =

    +

    , (2.50)

  • 31

    po podruju poprenog presjeka cijevi pomou Laplaceove transformacije, dobije se za sluaj

    laminarnog strujanja u cijevi (=64/Re=64/DU) sljedei izraz za korekciju sminog

    naprezanja na stjenci cijevi koji sadri integral konvolucije

    dUtWD

    tt

    wu )()(4

    )(0

    = . (2.51)

    Teinska funkcija W(t) za sluaj 0,02 glasi

    22222 17,9598214,7959511,619848,417245,13562)( ++++= eeeeetW , (2.52)

    dok za sluaj

  • 32

    turbulentnog strujanja u glatkim cijevima pri visokim Reynoldsovim brojevima, te [18] na

    turbulentno strujanje u potpuno hrapavim cijevima. Radi se dakle o modelima koji pokrivaju

    sve sluajeve strujanja u glatkim cijevima od laminarnog do razvijenog turbulentnog.

    Model Vardy i Brown [17] dobiva se integracijom dvoslojnog (jezgra i granini sloj) modela

    paralelnog osno-simetrinog turbulentnog strujanja po podruju poprenog presjeka cijevi.

    Primijenjeni dvoslojni model (Sl. 2.3) primjeren je i prilagoen stacionarnom strujanju u

    cijevi. Pretpostavlja se da je u jezgri cijevi brzina stacionarnog strujanja konstantna u=uc, a

    efektivna viskoznost ef beskonano velika.

    Sl. 2.3 Stacionarni profil brzine i efektivne viskoznosti [17]

    Uz pretpostavku da je srednja brzina u graninom sloju jednaka uc/2, pomou jednadbe

    kontinuiteta za stacionarno strujanje dobiva se sljedei izraz za srednju brzinu strujanja U0

    2

    20

    21

    R

    b

    R

    b

    u

    U

    c

    + , (2.55)

    gdje b oznaava debljinu graninog sloja, a R polumjer cijevi (R=D/2). U sluaju relativno

    velikih Reynoldsovih brojeva (npr. Re0>400) moe se staviti Uuc.

    Primjereno stacionarnom strujanju, u graninom sloju pretpostavlja se linearni profil efektivne

    viskoznosti

    )1( ywef += , (2.56)

  • 33

    pri emu su w viskoznost na stjenci (w=), a y je poprena koordinata (granini sloj se tretira

    kao ravninski uz koritenje Cartesijevog koordinatnog sustava). Da se izbjegne koritenje

    koeficijenta smjera , uvodi se oznaka

    )1( bc

    w += , (2.57)

    pri emu je c efektivna viskoznost na rubu graninog sloja (c=ef pri y=b).

    Uzduna komponentna jednadba koliine gibanja za granini sloj glasi

    )(1

    tfx

    zg

    x

    P

    t

    u

    y

    u

    y ef=

    +

    =

    , (2.58)

    a za jezgru cijevi

    )(21

    bRx

    zg

    x

    P

    t

    u cc

    ++

    =

    , (2.59)

    gdje c oznaava tangencijalno naprezanje na rubu jezgre cijevi.

    Integracijom ovih jednadbi za sluaj stacionarnog strujanja i uz pretpostavku da za

    stacionarno strujanje vrijede sljedei izrazi za efektivnu viskoznost c na rubu graninog sloja

    [27]:

    07,0=Ruc

    ; 208

    1Uu ws

    == , (2.60)

    i za koeficijent trenja u glatkim cijevima (Nikuradse)

    8,0)log(21

    0 = Re , (2.61)

    dobiju se za stacionarno strujanje sljedei izrazi za odreivanje i b

    12,100 )(0366,0)02,3log2)((0124,0 ReRe += , (2.62)

    ln116

    00

    =U

    u

    R

    b cRe

    , (2.63)

    koji se koriste kao vaei za sluaj nestacionarnog strujanja, a takoer se dobije i sljedei

    izraz za stacionarni dio sminog naprezanja na stjenci cijevi

  • 34

    +

    ++

    =b

    bRucwws

    1

    ln2

    11

    11

    ln1

    2

    ln1

    . (2.64)

    Jednadbe koliine gibanja za nestacionarno strujanje u graninom sloju i jezgri se nakon toga

    podvrgavaju Laplaceovoj transformaciji. Jednadba za granini sloj se pomou supstitucije

    )1(2

    ys

    w

    += , (2.65)

    (s je kompleksna varijabla) prevodi u Besselovu jednadbu nultog reda kakvu je dobio i

    Zielke [15], pa se zatim integrira. Uzevi u obzir i transformat jednadbe za jezgru, kao

    konani rezultat dobije se Laplaceov transformat sminog naprezanja uz stjenku cijevi w' od

    kojeg se zatim oduzima transformat stacionarnog dijela ws', pa na taj nain preostaje

    transformat nestacionarnog doprinosa sminog naprezanja uz stjenku wu'. Inverznom

    transformacijom dobiva se izraz

    dUtWD

    tt

    wu )()(4

    )(0

    = , (2.66)

    koji sadri teinsku funkciju W(t), a po obliku je identian s Zielkeovim [15] izrazom. Radi

    pojednostavljenja, transformat teinske funkcije W'(s) se najprije zamjenjuje priblinim

    izrazom Wa'(s), ijom inverznom transformacijom se dobije teinska funkcija u sljedeem

    obliku

    tBtAtW /)exp()( = , (2.67)

    4D

    A = , (2.68)

    2054,0

    DB

    Re= , (2.69)

    = 05,0

    0

    3,14log

    Re . (2.70)

    Slino kao to je Trikha [24] uveo aproksimaciju teinske funkcije za model Zielke [15] i time

    izbjegao potrebu da se memoriraju sve vrijednosti brzine od poetnog asa, tako su i Ghidaoui

    i Mansour [28] predloili aproksimativni izraz za teinsku funkciju modela Vardy i Brown

    [17]. Ako se koristi taj izraz, potrebno je memorirati samo vrijednosti brzina iz prethodnog

    vremenskog koraka.

  • 35

    Pokazuje se da za sluaj konstantne akceleracije u modelu Vardy i Brown [17] nestacionarni

    dio sminog naprezanja wu dolazi u zasienje (maksimum), ako konstantna akceleracija traje

    dulje od minimalnog vremena tmin=3,323. Tada wu zavisi uglavnom od vrijednosti te

    akceleracije, tako da tada ovaj model i izrazi koji se baziraju na trenutnoj akceleraciji npr.

    [20] daju podjednake vrijednosti wu. Vrijeme tmin skrauje se poveanjem Reynoldsovog broja

    (teinska funkcija W tada ima znatne vrijednosti samo u blizini vremena t=0), pa izrazi koji se

    baziraju na trenutnoj akceleraciji daju najbolje rezultate kada se pri visokim Reynoldsovim

    brojevima akceleracija mijenja polako (neko vrijeme je priblino konstantna).

    2.3 Modeli trenja za kvazi-2D model modeli turbulencije

    U kvazi-2D modelima trenje u laminarnom strujanju uzima se u obzir pomou odgovarajueg

    lana Navier-Stokesove jednadbe (odn. koristei Newtonov zakon viskoznosti). Za

    turbulentno strujanje koristi se nekoliko modela turbulencije.

    Iskustvo pokazuje da se ve pomou vrlo jednostavnih profila brzine turbulentnog strujanja

    dobivaju zadovoljavajui rezultati u pogledu osnovnih karakteristika nestacionarnog strujanja.

    S druge strane profili brzine ne nalikuju profilima stacionarnog strujanja, a razlikovanje

    laminarnog i turbulentnog reima oteano je injenicom da se turbulencija javlja samo u fazi

    usporavanja strujanja, dok prilikom ubrzavanja dolazi do relaminarizacije.

    Za Reynoldsova naprezanja uglavnom su se koristili algebarski modeli, npr. Vardy i Hwang

    [9], Pezzinga [11], Silva-Araya i Chaudry [12], Silva-Araya i Chaudry [29], Ohmi et al. [13]

    dok su se sofisticiraniji modeli poput - modela koristili rjee. Rezultati dobiveni -

    modelom i algebarskim modelima nisu se bitnije razlikovali.

    Metoda koju su razvili Vardy i Hwang [9] koristi se 5-zonskim algebarskim modelom

    turbulencije koji su za nestacionarno strujanje razvili Kita et al. [30]. Zone su sljedee:

    laminarni podsloj, dvije prijelazne zone, zona logaritamskog zakona i jezgra. Upotreba ovog

    modela za sluaj nestacionarnog strujanja ponekad stvara potekoe jer u nestacionarnom

    strujanju turbulencija ne zavisi samo od sminog naprezanja na stjenci cijevi w, kao to

    predvia ovaj model turbulencije.

    Metoda koju je razvio Pezzinga [11] koristi algebarski model turbulencije s dvije zone To su

    laminarni podsloj i turbulentna zona u kojoj se koristi Prandtlova hipoteza puta mijeanja.

  • 36

    Iako ta hipoteza uzima u obzir i profil brzine, koeficijenti i izraz za put mijeanja baziraju se

    na stacionarnom strujanju.

    Ghidaoui et al. [31] ustanovili su da ova dva modela daju priblino jednake rezultate za sluaj

    nestacionarnog strujanja u cijevi, kao i da piezometarska visina H ne zavisi od raspodjele

    turbulentne viskoznosti u jezgri cijevi.

    Valjanost Reynoldsovih jednadbi za sluaj nestacionarnog strujanja je upitna jer, za

    pouzdano vremensko osrednjavanje, karakteristino vrijeme za turbulenciju mora biti znatno

    krae od karakteristinog vremena nestacionarne pojave, a to nije uvijek mogue. Moda e

    se zato u budunosti u veoj mjeri koristiti metoda simulacije velikih vrtloga.

    2.4 Stabilnost strujanja

    Suprotno tadanjim oekivanjima, eksperimenti koje je izvrio Shuy [32] pokazali su da se

    smino naprezanje uz stjenku poveava pri usporavanju strujanja i smanjuje pri ubrzavanju.

    Shuy pretpostavlja da pri ubrzavanju turbulentnog strujanja dolazi do relaminarizacije.

    Eksperimenti koje su proveli Das i Arakeri [33] pokazali su da nestacionarno strujanje postaje

    nestabilno kad se prijee kritina vrijednost Reynoldsovog broja i karakteristinog vremena.

    Nestabilnosti u eksperimentu pokuali su objasniti koristei kvazi-stacionarnu analizu

    stabilnosti linearnih sustava. Sa smanjenjem protoka toka infleksije u profilima brzine koji

    imaju recirkulaciju udaljava se od stjenke, ime se smanjuje stabilnost strujanja. Istovremeno

    Reynoldsov broj se smanjuje, poveavajui time stabilnost strujanja. Pojava nestabilnosti

    zavisit e o tome koji od ova dva suprotna utjecaja prevlada. Nestabilnost se oituje u

    nastanku spiralnih vrtloga koji se naglo raspadaju u turbulenciju.

    Brunone et al. [34] snimali su profile brzine u nestacionarnom turbulentnom strujanju u cijevi

    i ustanovili da se nakon prolaska fronte tlanog udara natrano strujanja javlja naizmjenino

    odn. periodiki u gornjem i u donjem dijelu cijevi, ime se znatno naruava aksijalna

    simetrija.

    Kvazi-stacionarna linearna analiza koju su nainili Ghidaoui i Kolyshkin [35], tako da su

    nestacionarne profile brzina s recirkulacijom podvrgli trodimenzionalnim perturbacijama,

    pokazuje da, zavisno od Reynoldsovog broja i bezdimenzijskog vremena, nestacionarno

  • 37

    strujanje u cijevi moe biti unutar stabilne ili nestabilne domene. Dobili su krivulje neutralne

    ravnotee na granici tih dviju domena. To su krivulje na kojima se poremeaji ne poveavaju

    niti smanjuju. Krivulje neutralne ravnotee predstavljaju parove kritinih vrijednosti

    Reynoldsovog broja i vremena. Takoer se pokazalo da je najnestabilniji asimetrini modus

    uz azimutni valni broj jednak jedinici. Eksperimenti koje je izvrio Shuy [32] bili su prvi

    eksperimenti izvreni unutar nestabilne domene. Strujanje se stabilizira ako se u okolici toke

    infleksije profila brzine gradijent brzine s vremenom smanjuje. Taj gradijent poveava se npr.

    znatnim smanjivanjem protoka. Takoer, destabilizirajue djeluje i udaljavanje toke

    infleksije od stjenke cijevi. Nestabilnost se pojavljuje relativno brzo, a izmeu ostalog

    naruava aksijalnu simetriju profila brzine, mijenja strukturu i intenzitet turbulencije.

    Suvremeni 2D modeli nestacionarnog strujanja nisu u stanju simulirati takvu nestabilnost

    strujanja.

    Ghidaoui et al. [31] provjeravali su rezultate dva poznata kvazi-2D modela. Pokazalo se da se

    u podruju u kojem se oekuje nestabilnost i spiralni vrtlozi rezultati dobiveni tim modelima

    do 100% razlikuju od eksperimentalnih rezultata.

    2.5 Pretpostavka 'zamrznute' i kvazi-stacionarne turbulencije

    U modelima sminog naprezanja koji se baziraju na analitikom rjeenju pomou integrala

    konvolucije, Vardy et al. [16], Vardy i Brown [17] pretpostavili su da raspodjela turbulentne

    viskoznosti stacionarnog strujanja ostaje ista, vremenski nepromjenljiva ('zamrznuta'), za

    vrijeme nestacionarnog strujanja. U svojim 2D modelima Vardy i Hwang [9], Pezzinga [11],

    Silva-Araya i Chaudry [12] pretpostavljaju da u nestacionarnom strujanju vrijede izrazi za

    turbulentnu viskoznost stacionarnog strujanja (pretpostavka kvazi-stacionarne turbulentne

    viskoznosti). Predloena metoda koristi kvazi-stacionarni model turbulencije po uzoru na

    metodu Vardy i Hwang.

    Ghidaoui et al. [31], Greenblatt i Moss [36], He i Jackson [37] izvjetavaju da nakon prolaska

    fronte vala dolazi do kanjenja promjene turbulencije izazvane tim valom. Jednoliki pomak

    cijelog profila brzine prilikom prolaska vala ima za posljedicu nepromjenljivost gradijenta

    brzine neposredno nakon prolaska vala. Tada se jedino mijenja gradijent uz stjenku cijevi to

    dovodi do nastanka vrtlone povrine u tom podruju. S vremenom, nakon prolaska fronte, ti

    vrtlozi se difuzijom prenose prema jezgri cijevi, pa u sve veoj mjeri utjeu na gradijent

  • 38

    brzine, intenzitet i strukturu turbulencije u prijelaznoj zoni graninog sloja. He i Jackson [37]

    predloili su nain za procjenu ovog kanjenja.

    Ghidaoui et al. [31] kao kriterij opravdanosti pretpostavke kvazi-stacionarne turbulentnosti

    predlau omjere karakteristinih vremena radijalne difuzije i vremena propagacije vala.

    Prihvatljivim su oznaili situacije u kojima je jedno od vremena znatno vee od drugog, dok

    je pretpostavka upitna u situacijama gdje su ta vremena istog reda veliine.

    U ovom radu primjenjuje se pretpostavka 'zamrznute' turbulencije.

    2.6 Numeriko rjeavanje 1D modela, numerike sheme

    Metoda karakteristika (MK) najprikladnija je i najee koritena numerika metoda za

    rjeavanje 1D modela nestacionarnog strujanja u cijevima. Osim ove metode, u manjoj mjeri

    jo su se koristile metoda konanih diferencija (MKD), metoda konanih volumena (MKV) i

    valna metoda. Metoda konanih elemenata za sada nije koritena u komercijalnim

    programima.

    U MK najee se koristi fiksna reetka. U cjevovodnim sustavima ona zahtijeva istovjetan

    vremenski korak za sve dionice. Obzirom da dionice cjevovoda imaju razliite duljine, a neki

    puta i razliite brzine zvuka, uz istovjetan vremenski korak u principu nije mogue potpuno

    zadovoljiti Courantov kriterij. Ovaj problem rjeava se interpolacijom, pri emu se koristi niz

    interpolacijskih tehnika odn. shema.

    Wiggert i Sundquist [38] koristili su interpolacijsku shemu u kojoj kombiniraju prostornu

    linearnu interpolaciju i implicitnu shemu. Goldberg i Wylie [39] razvili su shemu eksplicitnog

    diferenciranja u kojoj su koristili rjeenja iz veeg broja ranijih vremenskih koraka. Lai [40] je

    u svojoj vie-modusnoj shemi kombinirao eksplicitnu shemu i interpolaciju ili ekstrapolaciju

    po prostoru s klasinom linearnom interpolacijom u prostoru i vremenu. Zavisno od veliine

    vremenskog i prostornog koraka, kao i od broja koritenih prethodnih vremenskih koraka, ova

    shema moe funkcionirati kao jedna ili druga ili proizvoljna kombinacija obje sheme. Time se

    korisniku prua potpuna fleksibilnost. Yang i Hsu [41] takoer koriste eksplicitnu shemu u

    kojoj koriste podatke iz veeg broja ranijih vremenskih koraka. Zatim koriste metodu Holly-

    Preissmann za interpolaciju u prostoru ili u vremenu. Sibertheros et al. [42] uspjeno su

    primijenili spline metodu u jednostavnim problemima i cjevovodima, dok se u sloenijim

  • 39

    situacijama javlja problem definiranja rubnih uvjeta za spline. Radi ubrzanja prorauna i

    smanjenja koritenja raunala Karney i Ghidaoui [43] razvili su sloeni algoritam koji se

    moe koristiti za inicijalni proraun. Njihov hibridni pristup koristi interpolaciju du

    karakteristike, interpolaciju iz najblie toke i metodu prilagodbe putanje vala.

    Valna metoda koju su primijenili Wood et al. [44] nalikuje MK, ali poremeajne funkcije

    moraju po odsjecima biti konstantne. To povlai da se radi o shemi prvog reda tonosti u

    prostoru i vremenu. Takoer i trenje se mora aproksimirati funkcijama konstantnim po

    odsjecima. To u rjeenju izaziva nefizikalne oscilacije male amplitude. Problem predstavlja i

    injenica da nije rijeen nain na koji bi se u shemu ukljuio integral konvolucije (teinska

    funkcija).

    Pokuaj da se pomou MKD i implicitne sheme centralnih diferencija na raun stabilnosti

    implicitnih shema omogue vei vremenski koraci esto ne daje zadovoljavajue rezultate, jer

    implicitne sheme iskrivljuju propagaciju vala i nisu posebno pogodne za raunanje

    propagacije valova. Takoer, implicitna metoda zahtijeva rjeavanje relativno velikih sustava

    jednadbi. Zato se za numeriko rjeavanje hiperbolikih jednadbi preteno koriste

    eksplicitne sheme. Chaudhry i Hussaini [45] primijenili su tri eksplicitne MKD-sheme drugog

    reda tonosti po prostoru i vremenu (sheme MacCormak, Lambda i Gabutti) za jednadbe

    hidraulikog udara. Pokazalo se da ove metode daju bolje rezultate nego MK sa shemom

    prvog reda tonosti, ali se u profilu vala pojavljuju sumnjive oscilacije.

    MKV se nije esto koristila za rjeavanje problema hidraulikog udara. Guinot [46], Hwang i

    Chung [47] rjeavali su model hidraulikog udara bez difuzije (bez trenja). Oni rjeavaju

    Riemannov problem i koriste Godunove sheme. Guinot [46] koristei Godunovu shemu prvog

    reda tonosti dobiva metodu nalik MK s prostornom linearnom interpolacijom. Hwang i

    Chung [47] koriste metodu drugog reda tonosti. Pri tome su kao nepoznanicu umjesto

    piezometarske visine odabrali gustou, to zahtjeva da se definira veza piezometarske visine i

    gustoe, te izaziva probleme pri definiranju rubnih uvjeta.

  • 40

    2.7 Numeriko rjeavanje kvazi-2D modela, numerike sheme

    Osnovne jednadbe kvazi-2D modela

    jednadba kontinuiteta

    0)(1

    2 =+

    +

    +

    r

    rv

    rx

    u

    x

    Hu

    t

    H

    c

    g , (2.71)

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    r

    r

    rx

    Hg

    r

    uv

    x

    uu

    t

    u rx

    +=

    +

    +

    )(1

    , (2.72)

    predstavljaju sustav hiperbolikih-parabolikih parcijalnih diferencijalnih jednadbi. Uz

    zanemarivanje konvektivnih lanova, Vardy i Hwang [9] ovaj model rjeavaju na hibridni

    nain hiperbolini dio pomou MK, a parabolini dio pomou MKD. Taj nain je u suglasju

    s fizikalnom pozadinom hidraulikog udara, jer se MK koristi za proraun valnog dijela

    jednadbi, a centralne diferencije za difuzijski dio. Takoer, iako su radijalni maseni protoci

    relativno mali, njihovo ukljuenje u jednadbu kontinuiteta ima opravdanje u tonosti,

    stabilnosti i fizikalnoj korektnosti. Koritenje MK openito omoguava istraivaima da

    koriste analize, metode, interpolacijske sheme i iskustva razliitih 1D MK modela.

    Karakteristini oblik ovih jednadbi je

    r

    r

    rg

    c

    r

    rv

    rg

    c

    dt

    du

    g

    c

    dt

    dH rx

    =

    )(1)(12

    , (2.73)

    du karakteristika

    cdt

    dx = . (2.74)

    Diskretizacijom ovog sustava Vardy i Hwang [9] dobili su 5-dijagonalni sustav 2Nr2Nr

    jednadbi, gdje je Nr broj podjela u radijalnom smjeru. Za rjeavanje tog sustava potrebno je

    vrijeme centralnog procesora reda veliine Nr3. Zhao i Ghidaoui [48] taj sustav su sveli na

    dva 3-dijagonalna sustava NrNr jednadbi ime se vrijeme centralnog procesora svelo na

    red veliine Nr.

  • 41

    Pezzinga [11] odreuje tlak rjeavanjem jednadbe kontinuiteta koristei eksplicitnu MKD

    shemu. Nakon toga odreuje profile brzine rjeavanjem jednadbe koliine gibanja, pri emu

    koristi implicitnu MKD shemu. Na kraju se ukupni protok rauna integracijom brzine po

    povrini presjeka cijevi. Proraun je brz jer su jednadbe kontinuiteta i koliine gibanja

    razdvojene pa se rjeavaju zasebno, a radijalna diskretizacija jednadbe koliine gibanja

    dovodi do 3-dijagonalne matrice. Naalost raunanje protoka integracijom brzine neki puta

    uzrokuje nefizikalne oscilacije proraunatog tlaka. Da bi se oscilacije izbjegle, potrebna je

    fina diskretizacija u radijalnom smjeru.

    Ohmi et al. [13] rjeavanjem 1D modela odreuje tlak i srednju brzinu. U nastavku, dobiveni

    gradijent tlaka koristi se u kvazi-2D jednadbi koliine gibanja za odreivanje profila brzine.

    Profil brzine se nakon toga koristi za raunanje tangencijalnog naprezanja na stjenci cijevi

    potrebnog u 1D modelu.

    Slina je i metoda koju koriste Silva-Araya i Chaudhry [12], [29]. Nakon to se izrauna

    profil brzine, on se koristi za raunanje protoka i disipacije energije. Iz te disipacije dobije se

    omjer disipacija, na temelju kojeg se odreuje korekcija lana s trenjem u 1D jednadbi.

    Korigirani 1D model rjeava se za tlak i protok. Zatim se korigira gradijent tlaka i proraun se

    ponavlja sve dok se dovoljno ne smanji razlika protoka dobivenog integracijom profila brzine

    i onog dobivenog 1D modelom.

  • 42

    3. PREDLOENI MODEL I METODA RJEAVANJA

    3.1 Metoda karakteristika

    Primjena metode karakteristika za situacije 2D i 3D strujanja fluida opisana je u Hirsch [49],

    [50], a primjer uspjene realizacije na katedri za Mehaniku fluida FSB-a Zagreb dan je u

    avar [51], avar et al. [52], [53], [54]. Metoda karakteristika primjenjuje se za parcijalne

    diferencijalne jednadbe (PDJ) kojima se opisuju pojave dominantno konvektivnog odn.

    valnog karaktera, tj. za PDJ prvog reda hiperbolikog tipa. Za primjenu metode karakteristika,

    fizikalni model treba prikazati u obliku sustava PDJ prvog reda (vie derivacije u principu se

    obraunavaju putem izvorskog lana).

    U odlomku 3.1 daje se opi prikaz metode karakteristika prikladan za 2D i 3D modele (tj.

    prikladan i za daljnji rad). Metoda e se primijeniti na primjer potpunog 2D modela, tj. na

    sluaj aksijalne simetrije strujanja slabo stlaivog fluida. Kasnije e se potpuni 2D model

    reducirati na kvazi-2D model kakav se razmatra u ovom radu.

    3.1.1. Openito

    Sustav PDJ zapisuje se kao sustav ku jednadbi (i = 1,ku) oblika

    ik

    jijk q

    ua =

    , (3.1)

    u ku nepoznatih funkcija uj (dakle j = 1,ku). k oznaava nezavisnu varijablu (k = 1,kx+1, kx je

    broj prostornih koordinata xk), aijk je koeficijent, a qi je izvorski lan.

    Homogeni dio gornjeg sustava ima valno rjeenje oblika

    )( llnjj euui= , (3.2)

    pri emu ju oznaava amplitudu, i= 1 , nl je komponenta vektora. Oito je da je rjeenje uj

    konstantno kada je skalarni produkt nll konstantan.

  • 43

    Za nestacionarne sustave uobiajeno je posebno izraziti vremensku koordinatu t i vremenske

    promjene. Tada je i=xi, (i = 1,kx; kx je broj prostornih koordinata xk); txk

    =+1 , pa se sustav

    (3.1) zapisuje u obliku

    ik

    jijk

    i qx

    ua

    t

    u =

    +

    , (i,j = 1,ku; k = 1,kx), (3.3)

    gdje je koeficijent aijk element Jacobijeve matrice.

    Rjeenje homogenog sustava (3.2) obino se zapisuje u obliku

    )( txjjiieuu = i , (3.4)

    pri emu je karakteristina kruna frekvencija vala (=2f, f je karakteristina frekvencija

    vala), a i je vektor valnog broja ija apsolutna vrijednost je

    2= , (3.5)

    gdje je valna duljina. Takoer vrijedi relacija

    =iia , (3.6)

    pri emu ai oznaava vektor brzine kretanja vala u smjeru njegovog prostiranja, pa u sluaju

    kolinearnosti vektora ai i i vrijedi

    =a , (3.7)

    i

    2 i

    ia = . (3.8)

    Nadalje, ako S(i)=S(xi,t)=const oznaava svojstvenu hiper povrinu odn. povrinu fronte vala,

    tada za hiper prostor (koji ukljuuje vrijeme t kao jednu od dimenzija i) vrijedi

    neS

    Sgrad jj

    ii

    =

    = )()()(

    )( , (3.9)

    tj. gradijent-vektor ni normalan je na hiper povrinu S(i), dok za fiziki prostor vrijedi

    =

    = jxj

    iix ex

    txStxSgrad )()(

    ),(),( , (t=const) (3.10)

  • 44

    tj. gradijent-vektor i normalan je na pod-povrinu koja nastaje presijecanjem S(xi,t) ravninom

    t=const. Oito je da vrijedi relacija

    ==

    t

    i nt

    txS ),(, (3.11)

    pri emu nt oznaava komponentu vektora ni u smjeru koordinatne osi t, kao i da se rjeenje

    (3.2) alternativno moe zapisati u obliku

    )()(

    tt

    Sx

    x

    S

    jtx

    jn

    jj

    kkkkkk eueueuu

    +

    ===i

    ii . (3.12)

    Pri tome e vrijednost uj biti konstantna u smjeru okomitom na nj (tj. kad je unutranji produkt

    nkk=0), a to znai tangencijalno na povrinu S(i)=const orijentiranu gradijentom nj. Gornji

    izraz je rjeenje homogenog sustava PDJ

    0=

    +

    k

    jijk

    i

    x

    ua

    t

    u, (i,j = 1,ku; k = 1,kx), (3.13)

    pa se njegovim uvrtenjem u taj sustav, nakon dijeljenja s )(i txkke i dobiva

    0)( =

    +

    =+ jijk

    kijjijkkij uax

    S

    t

    Sua . (3.14)

    Ovaj sustav jednadbi moe imati rjeenja razliita od trivijalnog rjeenja ( 0 =ju ) jedino u

    sluaju kad je determinanta sustava jednaka nuli

    0detdet =+

    =+ ijk

    kijijkkij ax

    S

    t

    Sa . (3.15)

    Iz tog uvjeta odreuje se karakteristina kruna frekvencija . Za svaki odabrani smjer i,

    jednadba e imati kx ne-trivijalnih rjeenja (i), ((i), i=1,kx). Vidljivo je da ona zapravo

    predstavljaju svojstvene (eigen) vrijednosti matrice kaijk. Ako se jednadba podijeli s ,

    dobiva se jednadba za odreivanje karakteristine brzine prostiranja vala a u smjeru normale

    na svojstvenu povrinu S(xi, t)=const. odn. u smjeru gradijenta na tu povrinu.

    0detdet =+=+ ijkkijijkkij aaa

    . (3.16)

    Za proizvoljni smjer i0 = i/ svojstvene povrine postoji kx svojstvenih vrijednosti

    (i) = a(i) = (i)/ (a(i), i=1,kx).

  • 45

    Anvelopa svih svojstvenim povrina (orijentiranih svim smjerovima i) tvori Machov konus.

    Obzirom na toku vrha konusa, Machov konus u prolosti omeuje zonu ovisnosti, a u

    budunosti zonu utjecaja te toke. Svojstvena povrina dodiruje Machov konus po liniji koja

    se naziva karakteristika (bikarakteristika u smjeru vektora bi). Machov konus, te svojstvena

    povrina i karakteristika za odabrani smjer i0 prikazani su na sl. 3.1 Ako se u jednadbu

    svojstvene povrine ixi t = 0 odabere t=1, usporedbom s definicijom brzine ai dobiva se

    xi=ai.

    Sl. 3.1 Machov konus i svojstvena ravnina za 2D situaciju

    Izrazom

    )()()( mi

    mkijk

    mj lal

    = , (3.17)

    (ne sumira se po indeksu u zagradi, tj. u ovom sluaju po m) definiran je lijevi svojstveni

    (eigen) vektor l(m)i koji odgovara svojstvenoj vrijednosti (m).

    Ako se sve svojstvene vrijednosti zapiu u obliku dijagonalne matrice

    [ ] [ ]mnmmn )(== , (3.18)

    x 1

    x 2

    t

    b

    1

    a

  • 46

    i uvede oznaka za matricu

    [ ]

    ==k

    ijkij aKK , (3.19)

    mogue je izraz za jedan svojstveni vektor (3.17) matrino zapisati za sve svojstvene vektore

    11 = LKL , (3.20)

    gdje l i(m) svojstveni vektor predstavlja m-ti redak matrice L -1. Dijagonalizacija matrice K

    provodi se tako da se gornja jednadba pomnoi matricom L s lijeve strane, pa se dobije

    1= LLK . (3.21)

    Ako se osnovni sustav PDJ pomnoi svojstvenim vektorom s lijeve strane

    im

    ik

    jijk

    mi

    imi qlx

    ual

    t

    ul )()()( =

    +

    , (3.22)

    dobiva se jednadba kompatibilnosti. Zapisom ove jednadbe za sve svojstvene vektore

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] mimk

    pjpnjmnkim

    mim qx

    ua

    t

    u 1111 =

    +

    LLLLL , (3.23)

    omoguava se prijelaz na svojstvene varijable wi

    ik

    jijk

    i qx

    wa

    t

    w ~~ =

    +

    , (3.24)

    pri emu su uvedene oznake

    [ ] [ ]njmnkimijk aa LL 1~ = , (3.25) [ ] mimi qq 1~ = L , (3.26)

    ki

    ki ulw )(= , (3.27)

    a simbol oznaava odgovarajuu (vremensku ili prostornu) promjenu. Treba naglasiti da

    dobivene karakteristine varijable wi zavise od odabranog smjera propagacije i.

    Ukoliko se odabere vektor i u smjeru koordinatne osi xj,

    i=e(j)

    i, (3.28)

    pri emu je e(j)i jedinini (bazni) vektor u smjeru koordinatne osi xj, jednadba svojstvene

    povrine kroz ishodite ixi t = 0 daje jednadbu karakteristike za taj smjer

  • 47

    x(j) = (m)t = a(m)t, (3.29)

    pri emu indeks m oznaava razne svojstvene vrijednosti za taj smjer. Deriviranjem ove

    jednadbe po vremenu t dobiva se uobiajeni zapis dane karakteristike

    )()( mj adt

    dx= . (3.30)

    Du ove karakteristike moe se jednadba (3.24) izraena pomou svojstvenih varijabli

    zapisati u obliku

    )(

    )(

    )()(

    )(

    )()()(m

    ij

    imij

    j

    mi

    mi

    mi s

    x

    wa

    t

    w

    dt

    dx

    x

    w

    t

    w

    dt

    dw =+

    =

    +

    = , (3.31)

    pri emu su preostali lanovi jednadbe prebaeni u novi izvorski lan s(j)i.

    3.1.2. Primjena MK na aksijalno simetrian model strujanja

    Osnovne jednadbe aksijalno simetrinog modela za slabo stlaivi fluid

    Brzina napredovanja tlanog poremeaja (brzina zvuka)

    ddp

    c = , (3.32)

    dakle Dt

    Dp

    cDt

    D2

    1= ;

    Pretpostavlja se da vrijedi Boussinesqova hipoteza, tj. Reynoldsova naprezanja izraavaju se

    pomou koeficijenta turbulentne viskoznosti T, a ukupna naprezanja modeliraju se pomou

    koeficijenta efektivne (ukupne) viskoznosti ef = +T.

    Osnovne jednadbe strujanja za aksijalno simetrinu situaciju zapisane u cilindarskom

    koordinatnom sustavu (koordinatne osi x, r komponente brzine u, v):

    jednadba kontinuiteta

    0)(22 =

    +

    +

    +

    +

    r

    rv

    r

    c

    x

    uc

    r

    pv

    x

    pu

    t

    p , (3.33)

  • 48

    x-komponenta jednadbe koliine gibanja

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    x

    v

    r

    ur

    rrx

    u

    xx

    pf

    r

    uv

    x

    uu

    t

    uefefx

    12

    1 , (3.34)

    r-komponenta jednadbe koliine gibanja

    2

    221

    r

    v

    r

    vr

    rrr

    u

    x

    v

    xr

    pf

    r

    vv

    x

    vu

    t

    v efefefr

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    , (3.35)

    Model zapisan u karakteristinom obliku

    Za dvodimenzijski (kx=2) model definiran jednadbama (3.33)(3.35) vektor nezavisnih

    varijabli glasi

    [ ]

    =

    r

    xxk , (3.36)

    pa se model sukladno jednadbi (3.3) moe zapisati u obliku

    ij

    ijj

    iji q

    r

    ua

    x

    ua

    t

    u =

    +

    +

    21 , (3.37)

    pri emu su (uz i,j = 1,ku; ku=3)

    [ ]

    =v

    u

    p

    u j , (3.38)

    [ ]

    =u

    u

    cu

    aij00

    01

    02

    1

    , (3.39)

    [ ]

    =v

    v

    cv

    aij01

    00

    0 2

    2

    , (3.40)

  • 49

    [ ]

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    =

    2

    2

    22

    12

    r

    v

    r

    vr

    rrr

    u

    x

    v

    xf

    x

    v

    r

    ur

    rrx

    u

    xf

    r

    vc

    q

    efefefr

    efefxi

    . (3.41)

    Kad se uvede oznaka 0i=i/ za jedinini vektor normale, svojstvene vrijednosti raunaju se

    iz uvjeta

    ( ) 0det)det( 0 == ijkijka IK , (3.42) pri emu

    ++

    +=

    )(000

    )(000

    0202)(00

    0

    0m

    rxr

    mrxx

    rxm

    rx

    vu

    vu

    ccvu

    IK , (3.43)

    gdje su uvaeni smjerovi koordinatnih osi 1=x; 2=r. Odabire se normala i=0i (tj. =1) u

    smjeru koordinatne osi u smjeru osi cijevi i=(1,0) tj. x=1; r=0, tako da gornji izraz postaje

    =

    )(

    )(

    2)(

    00

    01

    0

    m

    m

    m

    u

    u

    cu

    IK , (3.44)

    pa svojstvene vrijednosti (m) moraju zadovoljavati uvjet

    [ ] 0)()()det( 22)()( == cuu mm IK , (3.45) koji ima sljedea 3 rjeenja

    (1) = u+c, (3.46)

    (2) = uc, (3.47)

    (3) = u. (3.48)

    Linije karakteristika (bikarakteristike) dobivaju se iz uvjeta

    0ixi (m)t = 0, (3.49)

    pa se uvrtenjem gornjih svojstvenih vrijednosti (m) dobiva

    x(1) = (u+c)t , (3.50)

    x(2) = (uc)t , (3.51)

    x(3) = ut . (3.52)

  • 50

    Svojstveni vektori l(m)i odreuju se rjeavanjem singularnog sustava jednadbi

    [ ] ( ) 0)(0)()( == jimkjikmjjimj all IK , (3.53)

    [ ] 000

    01

    0

    )(

    )(

    2)(

    )(3

    )(2

    )(1 =

    m

    m

    m

    mmm

    u

    u

    cu

    lll

    . (3.54)

    Uvrtavanjem svake od 3 svojstvene vrijednosti (m) (m=1,3) dobivaju se odgovarajua 3

    svojstvena vektora

    l(1)i = 1(1, c, 0), (3.55)

    l(2)i = 2(1, c, 0), (3.56)

    l(3)i = 3(0, 0, 1), (3.57)

    gdje 1, 2, 3, oznaavaju proizvoljne konstante za koje se odabire vrijednost 1=2=3=1.

    Ovi vektori tvore matricu

    =

    100

    01

    011 c

    c

    L , (3.58)

    s determinantom

    det(L-1) = 2c, (3.59)

    i inverznom matricom

    =

    100

    02

    1

    2

    1

    02

    1

    2

    1

    cc L , (3.60)

    Odgovarajue svojstvene varijable odreuju se prema izrazu

    ==

    v

    u

    p

    c

    c

    100

    01

    011 ULW , (3.61)

  • 51

    i glase

    +

    =v

    ucp

    ucp

    W . (3.62)

    Transformirane Jacobijeve matrice su

    [ ]

    ==

    100

    02

    1

    2

    1

    02

    1

    2

    1

    00

    01

    0

    100

    01

    01~

    2

    11

    1 ccu

    u

    cu

    c

    c

    aa mnij

    LL , (3.63)

    +

    =u

    cu

    cu

    aij00

    00

    00~

    1 , (3.64)

    [ ]

    ==

    100

    02

    1

    2

    1

    02

    1

    2

    1

    01

    00

    0

    100

    01

    01~

    2

    21

    2 ccv

    v

    cv

    c

    c

    aa mnij

    LL , (3.65)

    =

    v

    cv

    cv

    aij

    2

    1

    2

    10

    0~ 2

    2

    2 . (3.66)

    Transformirani izvorski lanovi glase

    [ ] [ ]

    ==

    3

    2

    11

    100

    01

    01~

    q

    q

    q

    c

    c

    qq ji

    L , (3.67)

    [ ]

    +

    =

    3

    21

    21

    ~

    q

    cqq

    cqq

    qi

    . (3.68)

    Zapis modela pomou karakteristinih varijabli

    ik

    jijk

    i qx

    wa

    t

    w ~~ =

    +

    , (3.69)

  • 52

    u raspisanom obliku glasi

    - du karakteristike C+: x(1) = ct vrijedi

    2121 )()( cqq

    r

    vc

    r

    ucv

    r

    pv

    x

    uccu

    x

    pcu

    t

    uc

    t

    p

    dt

    dw x ++

    =

    ++

    ++

    +

    = , (3.70)

    - du karakteristike C: x(2) = ct vrijedi

    2122 )()( cqq

    r

    vc

    r

    ucv

    r

    pv

    x

    uccu

    x

    pcu

    t

    uc

    t

    p