preuniversitario - geometria 2°

7/25/2019 PREUNIVERSITARIO - GEOMETRIA 2

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COLEGIO PREUNIVERSITARIO SSeegguunnddooAAoo

GGeeoommeettrraa 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Ao

EL SATELITE SPUTNIK 1

Sputnik 1 Lanzado el 4 de octubre de 1957, el Sputnik 1 fue la primera naveen rbita alrededor de la Tierra. Llamado as por la frase rusa "compaerode viaje por el mundo" (Sputnik Zemli), era un pequeo satlite que slomeda 58 cm de ancho. Completaba una rbita en torno a la Tierra una vezcada 96,2 minutos y transmita informacin sobre la atmsfera terrestre.

Tras un vuelo de 57 das, volvi a entrar en la atmsfera y se destruy.


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GGeeoommeettrraa 2

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADOV.L.E.B.

TELF.: 5400814 / 98503121

DPTO. DE PUBLICACIONES


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GGeeoommeettrraa 3

A B

C

D E

F

G

H

I

T

R M

N

O

TangenteSecante

TEMA: CIRCUNFERENCIA

DEFINICION.-

Es la figura geomtrica que esta formado por todos los puntos de un mismo

plano que se encuentran a una misma distancia de otro punto de ese mismo

plano denominado centro.

A la distancia constante de estos puntos al centro de le denomina radio de la

circunferencia.

Se denomina crculo a la regin interior del plano limitada por una

circunferencia.


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GGeeoommeettrraa 4

ELEMENTOS:

- CENTRO (O): Punto equidistante de todos los puntos de circunferencia.

Dos o ms circunferencias con el mismo centro se dice que son

concntricas.

- RADIO ( )OA : Segmento que une el centro de la circunferencia con unpunto cualquiera de la misma.

- CUERDA ( )BC : Segmento que une dos puntos de una misma

circunferencia.

- DIAMETRO( )DE : Es la cuerda de mayor longitud que pasa por el centro

de la circunferencia dividindola en partes iguales.

- SECANTE ( )FG : Es toda recta en el plano de la circunferencia en dos

puntos. Cabe notar que la secante contiene a la cuerda.

- TANGENTE ( )HI : Es toda recta en el plano de la circunferencia que

tiene solo un punto comn con este (T), el cual recibe el nombre de punto

de tangencia


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GGeeoommeettrraa 5

- FLECHA ( )MN : Segmento levantado perpendicularmente del punto

medio de una cuerda al arco. La prolongacin de la flecha siempre pasa

por el centro.

- ARCO ( )AN : Es la porcin de circunferencia limitada por los extremos

de una cuerda. En particular, una semicircunferencia es un arco limitado

por los extremos de un dimetro.

PROPIEDADES:

1ra Propiedad.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular

al radio trazado por el punto de contacto.

TL1 (Punto de Tangencia)

2da Propiedad.- El segmento que une el centro de una circunferencia es

perpendicular a la cuerda. Esta divide a los arcos que

subtiene en dos partes congruentes.

1LOT


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GGeeoommeettrraa 6

A B

C D N

MM // N mAC = mBD

B

E

M

O

A

3ra Propiedad.- En toda circunferencia, a arcos congruentes corresponden

cuerdas congruentes.

A

B

O

C

D

a a

4ta Propiedad.- En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre

paralelas son congruentes.

Si ABOM

AM = MB

mEBmAE=

Si =CDAB

mCDmAB=


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GGeeoommeettrraa 7

5ta Propiedad.-

B

Posiciones Relativas de dos circunferencias.

Dos circunferencias situadas en un mismo plano, con centros O y O y radios

R y r respectivamente, pueden tener las siguientes posiciones relativas:

a) Exteriores.- Cuando todos los puntos de una son exteriores a la otra. La

distancia entre sus centros es mayor que la suma de los radios.

dO O

Rr

d> R + r

B=


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GGeeoommeettrraa 8

d r

OO

B

A

R

b) Tangentes Exteriormente.- Cuando tiene un punto comn y los dems

puntos de una son exteriores a la otra. En este caso, sus centros estn a

lados opuestos de la tangente comn y la distancia entre ellos es igual a

la suma de los radios.

O OR r

P

Q

E

F

d

c) Secantes.- Cuando tienen dos puntos comunes. La distancia entre sus

centros es menor que la suma de los radios, pero mayor que su

diferencia.

d = R + r

AB : CuerdaComn

AB'OO

R r< d< R + r


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GGeeoommeettrraa 9

rO

R

Od

rOO

d

R

d) Tangentes Interiormente.- Cuando tienen un punto comn y todos los

puntos de una de ellas son interiores a la otra. Sus centros estn al mismo

lado de la tangente comn y la distancia entre ello es igual a la diferencia

de los radios.

e) Interiores.- Cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la

otra. La distancia entre sus centros es menor que la diferencia de los

radios.

d = R - r

d = R - r


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GGeeoommeettrraa 10

AB

CD

OO

O O

O

r

r r

r

rr

f) Concntricos.- Cuando tienen el mismo centro, esto es, la distancia entre

sus centros es cero.

Por otro lado, para tres circunferencias es importante considerar el caso

de circunferencias tangentes exteriores dos a dos.

d = 0

AB = CD


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GGeeoommeettrraa 11

OO

A

BC

D

D

B

A

C

g) Tangentes comunes interiores.

h) Tangentes comunes exteriores.

AB = CD

AB = CD


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GGeeoommeettrraa 12

C

A

B

x

A B

x

r

R

M

i) Si A, B y C son puntos de tangencia.

j) Si M es punto medio de AB.

x = 90

x = 90


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GGeeoommeettrraa 13

A

B

C

D

0O

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

1ra Propiedad.- Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados

desde un punto exterior a esta son congruentes y determinan ngulos

congruentes con el segmento que une el punto exterior y el centro de la

circunferencia.

P

r

r

O

A

B

2da Propiedad.- Los segmentos tangentes comunes externos a dos

circunferencias son congruentes.

PBPA=

BDAC=


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GGeeoommeettrraa 14

TEOREMA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusa

ms el dimetro de la circunferencia inscrita.

r

CB

A

a b

c

TEOREMA DE PITOT

Es aquel cuadriltero cuyos lados son tangentes a una misma circunferencia.

Siendo la suma de sus lados opuestos iguales a la suma de los otros lados

opuestos.

ab

x

y

p = semipermetro del cuadriltero.

a + b = c + 2r

a + b = x + y = p


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GGeeoommeettrraa 15

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Si la mediana de un trapecio

circunscrito a una

circunferencia mide 6. Calcular

el permetro del trapecio.

B

A

C

D

Rpta.:

02) En el grfico O es centro y

BP // AQ, adems A y B son

puntos de tangencia, calcular x.

P

O

QA

B

x

Rpta.:

03) En un tringulo ABC, sus lados

miden AB = 5, BC = 7, AC = 8.

Calcular la medida del

segmento que une el vrtice A

y el punto de tangencia de la

circunferencia inscrita sobre el

ladoAC .

Rpta.:

04) Si CD = 12 y AF = 8; calcular

FB + GE, si T, G, A, B, C y D

son puntos de tangencia.

R

ABF

EDC

G

T

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 16

05) Dado un ngulo recto XOY se

traza una circunferencia

tangente a OX y secante aOY

en A y B. si OA = 2 y OB =

8, calcular el radio de la

circunferencia.

Rpta.:

06) T es punto de tangencia; AT =

TC, O es centro, calcular x.

O C

T

xBA

Rpta.:

07) En la figura CP PQ = 18.

calcular el valor de r.

O

Q

P

BA

CD

r

Rpta.:

08) Del grfico, calcular FE, si

AB + CD = 40 y BC + AD = 78.

FA

EBC

D

Rpta.:

09) Un trapecio escaleno de

permetro 40, esta circunscrito

a una circunferencia. Si la

distancia entre los puntos

medios de sus diagonales mide

3. calcular la medida del la

base mayor de dicho trapecio

escaleno.

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 17

C

Q

P

BA

10) Si O es centro, AO = CF:

calcular x.

O Cx

BA

F

D

78

Rpta.:

11) Calcular PQ, si AC BC = 16.

Rpta.:

12) Calcular ; T punto de

tangencia y O es centro.

O C

T

A

D

32

Rpta.:

13) En la figura r = 1; R = 3.calcular BE.

r

R

D

B C

A

E

Rpta.:

14) Si el permetro del tringulo

ABC es 18 y AT y AP sontangentes.

A

B

C P

T

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 18

CA

x

B

15) Calcular x si a m A = 60 ym C = 40.

Rpta.:

16) En la figura BC = 13, AB = 7,

AD = 15 y AT = 3. calcular

CD.

B

A

C

DT

Rpta.:

17) Del grfico mostrado calcular

.

Rpta.:

18) Por un punto A exterior a una

circunferencia se trazan la

tangente AC y la secante

diametral ABD . Si la medida

del ngulo BAC es igual a 40.

calcular la medida del ngulo

BCA .

19) Si O es centro y T es punto de

tangencia.

Hallar x


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GGeeoommeettrraa 19

x

x

T

0

Rpta.:

20) En un tringulo ABC cuyo

permetro es 44. calcular la

distancia del punto A al punto

de tangencia del lado AB con la

circunferencia inscrita. Si el

lado BC mide 15.

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 20

PROBLEMAS PARA LA CASA

01) Si sabemos que P es punto de

tangencia: AP = PC y O es el

centro de la semicircunferencia.

Calcular x.

O Cx

A

P

a) 30 b) 45

c) 37 d) 22,5

e) 15

02) En un tringulo ABC sus lados

miden: AB = 10, BC = 14; AC =

16. Calcular la medida del

segmento que une el vrtice A

y el punto de tangencia de lacircunferencia inscrita sobre el

ladoAC .

a) 3 b) 4

c) 15 d) 6

e) 7

03) Si sabemos que O es el centro

de la circunferencia y AO = CF.

m AOD = 7. calcular x.

OC B A

F

D

x 72

a) 39 b) 38

c) 36 d) 37

e) 40

04) Calcular , T punto de

tangencia y O es centro.

T

OC

A

B

36

D

a) 20 b) 18

c) 24 d) 22

e) 16


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GGeeoommeettrraa 21

05) Si el permetro del tringulo

MNP es 22 y MR y MS son

tangentes. Calcular MS.

PM

N

R

S

a) 12 b) 9

c) 13 d) 10

e) 11

06) P, Q y R son punto de

tangencia m ABP = 40.

Calcular x.

Q

A

B

C

P

x

40

R

a) 60 b) 30

c) 70 d) 40e) 50

07) Hallar

50

a) 40 b) 30

c) 50 d) 20

e) 60

08) Hallar MC. Si en la figura M, N, P y

Q son puntos de tangenciaadems; AB + CD = 20, AD = 12.

B

A

C

D

P

Q N

M

a) 5 b) 3

c) 4 d) 2

e) 6


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GGeeoommeettrraa 22

09) Si CD = 12 y AF = 8. calcular

FB + GE, adems A, B, C, D, T

y G son puntos de tangencia.

B F

E DC

G

T

A

a) 6 b) 7

c) 10 d) 8

e) 9

10) En la figura. Calcular x

xr r

a) 42,5 b) 82,5

c) 112,5 d) 118,5

e) 123,5

11) Calcular PQ, si AC BC = 16.

A

C

B

PQ

a) 8 b) 7

c) 6 d) 10

e) 9

12) En el grfico O es centro y

BP // AQ.

P

O

Q

A

B

T

Hallar :

a) 290 b) 280

c) 270 d) 260

e) 300


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GGeeoommeettrraa 23

13) En la figura S, M y T: puntos de

tangencia. Calcular x.

M

S

x

40

T

r

0

a) 60 b) 70

c) 80 d) 50

e) 40

14) En la figura: C y D son puntos

de tangencia. Calcular + B.

40

B

D

C

a) 450 b) 440

c) 460 d) 430

e) 420

15) En la figura: M, N, P son puntos

de tangencia. AC = 15 y el

radio de la circunferencia

inscrita es 3. calcular la

semisuma de los lados AB y

BC.

A P C

B

r

NM

a) 11,5 b) 11

c) 12 d) 12,5

e) 10,5


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GGeeoommeettrraa 24

xO

A

B

x

A

B

C

TEMA: CIRCUNFERENCIAS NGULOS

a. ngulo Central.- Es aquel que tiene como vrtice el centro de la

circunferencia y como lados dos radios de la misma. Su medida es igual a

la del arco interceptado.

b. ngulo Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia y

sus lados son dos cuerdas. Su medida es igual a la mitad de la medida

del arco interceptado.

2

ABx =

ABx =


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GGeeoommeettrraa 25

A

B

CO

A

B

C

DE 2

Propiedades:

1) El ngulo inscrito en una semicircunferencia mide 90.

2) Todos los ngulos inscritos en un mismo son iguales.

=90B

=== CBA


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GGeeoommeettrraa 26

x

CA

B D

m n

x

AT T

O

B

c. ngulo Semi Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la

circunferencia y sus lados son una cuerda y una tangente. Su medida es

igual a la mitad de la medida del arco interceptado.

d. ngulo Interior.- Es aquel que tiene su vrtice dentro de la circunferencia

y sus lados son dos cuerdas que se cortan. Su medida es igual a la

semisuma de las medidas de los arcos interceptados.

2

nmx

+=

2

ABx =

2

CDABx

+=


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GGeeoommeettrraa 27

e. ngulo Exterior.- Es aquel formado por dos secantes; por una secante y

una tangente, o por dos tangentes a una circunferencia, que se intersecan

en un punto fuera de la misma. Su medida es igual a la semicircunferencia

de las medidas de los arcos interceptados.

Caso I: ngulo formado por dos secantes.

x

AB

C

b

D

a

Caso II: ngulo formado por una tangente y una secante.

x

B

C b

a A

2

bax

=

2

bax

=

2

BDACx

=

2

ABACx

=


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GGeeoommeettrraa 28

Caso III: ngulo formado por dos tangentes.

x

A

B

Cba O

En este caso, el ngulo recibe el nombre de ngulo circunscrito y

se cumple que:

< >

f. ngulo Ex Inscrito.- Es aquel que tiene su vrtice sobre la

circunferencia y sus lados son una cuerda y la parte exterior de una

secante. Su medida es igual a la semisuma de los arcos comprendidos

entre los lados del ngulo y entre los lados del ngulo opuesto por el

vrtice.A

C

x

BD

2

bax

=

x180b ===+

=+

180xb

180x

2

ABCx=

2

ABACBx

=


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GGeeoommeettrraa 29

A

B

C

D

E2

xx

x

x

Cabe sealar que el ngulo ex - inscrito es adyacente al ngulo inscrito,

por lo que su medida es igual al suplemento de este.

ARCO CAPAZ DE UN NGULO

Se llama arco capaz de un ngulo dado, al arco tal que los ngulos inscritos

en el tengan la misma medida que el ngulo dado.

ACE: arco capaz de los ngulos x

2

AC180x =

x2360ACE =


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GGeeoommeettrraa 30

x

A C

B D

En la figura el arco de circunferencia ABCDE es el arco capaz de los ngulos

x. El segmento AE que une los extremos del arco se denomina segmento

capaz.

PROPIEDADES:

1. De un ngulo exterior

2. Si AB = CD; entonces: AB CD

x + y = 180


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GGeeoommeettrraa 31

B

C

A

A

C

B

D

T

P Q

3. Si CD//AB ; entonces AC BD

Si AB//PQ ; entonces AT TB

4. En toda circunferencia


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GGeeoommeettrraa 32

AB

T

x

y

A

B

NM

5. Si T es punto de tangencia.

6. En las circunferencias secantes congruentes

x = y

mAMB = mANB


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GGeeoommeettrraa 33

O

x

x

y

7. En toda semicircunferencia

EN TODO CUADRILTERO INSCRITO

a. Los ngulos opuestos son suplementarios

x = 90

x + y = 180


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GGeeoommeettrraa 34

y

x

y

x

b. Un ngulo interior es congruente al opuesto exterior

c. Las diagonales con los lados opuestos forman ngulos congruentes.

x =

x + y


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GGeeoommeettrraa 35

A

B

C

P

Q

Circunferencia inscrita en un tringulo

A

B

C

P

R

Q

ac

b

r

Circunferencia ex inscrita a un tringulo.

rc: exradios relativo a AB

AP = AR = a

BP = BQ = b

CQ = CR = c

Siendo: a, b y c: los ladosr: radiosp: semiperimetro

2

cbap

++=

CP = CQ = p

2

CABCABp

++=


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GGeeoommeettrraa 36


01) En la figura, calcular x, si O es

centro.

O

x

Rpta.:

02) Calcular x, si mPRQ = 132.

A

a

P

BQ

r

R

ar

x

Rpta.:

03) En la figura, calcular x si

m n = 60

xm n

Rpta.:

04) En la figura, calcular x.

130

120x

Rpta.:


37/160


GGeeoommeettrraa 37

30

05) Calcular, si P y Q son puntos

de tangencia.

Q

P

2

5

Rpta.:

06) En la figura, calcular x

(T = punto de tangencia)

70

T

2x

Rpta.:

07) En la figura. Calcular x

Rpta.:

08) Si O es centro de la

semicircunferencia, hallar la

medida del ngulo D C O. Si

adems 2m PBO = m OPB.

O BA

DP

C

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 38

09) Hallar la medida del arco EF. Si

m P es igual a 40.

B

C

D

A

E

F

P

Rpta.:

10) Hallar la medida del ngulo

P Q S, si mAB = 2mBC.

A

C

P

B

Q

S

Rpta.:

11) En la figura mostrada, hallar el

valor de m PRQ. Si los

puntos P y Q son puntos de

tangencia y adems la medida

del ngulo P SQ es 68.

Q

P

SR

Rpta.:

12) Del grfico hallar la medida del

ngulo P R S, siendo P y Q

puntos de tangencia.

x

80

S

P

Q

R

O

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 39

13) En la figura A es punto de

tangencias, la m ADC = 40 y

la medida del arco BC = 100.

Hallar m ACB.

B

C

A

D

Rpta.:

14) Hallar AE, AD = 5, D es punto

de tangencia. Si DF es bisectriz

del BDC.

BC

D

E

F

A

Rpta.:

15) En la figura. Calcular x.

x x

x

Rpta.:

16) Si ABCD es un romboide.

Calcular x.

C

B

DAx

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 40

17) En la figura. Calcular el valor de

x.

5xx

Rpta.:

18) En la figura mostrada

determinar el valor de x. si lamAE = 100.

2x 3x

EA

Rpta.:

19) En la figura mostrada. Calcular

el valor de x.

5x

3x

4x

Rpta.:


x.

80

x 30

Rpta.:


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GGeeoommeettrraa 41


01) Si AC es dimetro, T es punto

de tangencia, mAT = 48 y

LT//AB , calcular x.

B

A

T

L

x

a) 66 b) 42

c) 60 d) 64

e) 67

02) Calcular la mAB, si + = 100.

A y C son puntos de tangencia.

B

C

A

a) 68 b) 76

c) 80 d) 86

e) 90

03) en la figura calcular x, si O es

centro.

0x

100

a) 70 b) 40

c) 80 d) 60

e) 50

04) Se tiene 2 circunferencias

tangentes exteriores en A. setraza la tangente comn

exterior FG. calcular la medida

del ngulo F A G.

a) 75 b) 80

c) 85 d) 95

e) 90


42/160


GGeeoommeettrraa 42

05) Si ABCD es un romboide.

Calcular el valor dex.

B

AC

D x

a) 60 b) 30

c) 45 d) 70

e) 90

06) En la figura. Calcular . Si a

b = 80.

b

a

a) 60 b) 70

c) 80 d) 75e) 65

07) Calcular si P y Q son puntos

de tangencia.

Q

P5

2

a) 16 b) 14

c) 22 d) 18

e) 20

08) Calcular . Si la medida del

arco PRQ es 140.

AP

BQ

R

r

r

1O

2O

a) 37 b) 33

c) 34 d) 36

e) 35


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GGeeoommeettrraa 43


el valor de x.

x

75

a) 37 b) 37 5

c) 36 30 d) 37 60

e) 37 60

10) En la figura, APE = 92 y

BFD = 50.

Hallar BRD

B

D

C

E

A

P F R

a) 42 b) 44

c) 46 d) 48

e) 40

11) Hallar la medida del ngulo

A B C. si E, F, H, L y T son

puntos de tangencia.

Si m ABC = m EFT =m THL

CA

B

E LT

HF

a) 76 b) 78

c) 72 d) 74

e) 90

12) En la figura mostrada la medida

del arco BE = 70 y AB = BC.

Calcular.

CA

B

E

a) 30 b) 35

c) 50 d) 40

e) 45


44/160


GGeeoommeettrraa 44

13) En la figura mostrada calcular

el valor de x.

20

x

a) 80 b) 70

c) 65 d) 60

e) 75

14) Si P , Q y R son puntos de

tangencia y adems la

m A B P = 42. Calcular x.

Q

A

B

C

Px

R

a) 40 b) 42

c) 44 d) 46

e) 48

15) En el grfico mostrado.

Calcular + . Si sabemos que

mAB = 110.

E

D

C

A

B

a) 110 b) 100

c) 90 d) 120

e) 130


45/160


GGeeoommeettrraa 45

TEMA: SEMEJANZA DE TRINGULOS

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres ngulos interiores

congruentes (ngulos respectivamente de igual medida) y las longitudes de

sus lados homlogos son directamente proporcionales. Los lados homlogos

son aquellos que se oponen a los ngulos congruentes.

A

a

B

b C

c

akck

P

Q

Rbk

El ABC PQR


46/160


GGeeoommeettrraa 46

Nota 1: m ABC = m PQR

m BCA = m QRP

m CAB = m RPQ

Nota 2: KRP

CA

QR

BC

PQ

AB===

k = constante de proporcionalidad

CASO DE SEMEJANZA

Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente de igual

medida.

Caso I: Angulo Lado ngulo (ALA)

a ak


47/160


GGeeoommeettrraa 47

Ejm:

a 4a

8

Caso II: Lado ngulo Lado (LAL)

bkb

a ak

Caso III: Lado Lado Lado

bkb

a c ak ck

ax

a4

a

8

x

=

=


48/160


GGeeoommeettrraa 48

RAZN DE SEMEJANZA (r)

Es aquel nmero real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes

homologas de dos tringulos semejantes.

Ejm:

3

4

5

h2h1

8 6

10

2h

h

5

10

4

8

3

6Razn

2

1 ======

SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE PRESENTAN TRINGULOS

SEMEJANTES

1. Si AC//MN ABC MBN

NM

A C

B


49/160


GGeeoommeettrraa 49

B

CA

N

M

2. Si AC//MN ABC MBN

B

NM

A C

3. Si MBN ABC


50/160


GGeeoommeettrraa 50

4. ABD ABC

C

B

A D

x

bn

5.

x

ab

ba

abx

+=

Se cumple: x = nb


51/160


GGeeoommeettrraa 51

6. Cuadrado inscrito en un tringulo

x

x

x

xA C

B

h

b

7. ABCD: Trapecio issceles AD//EF

x

b

a

A

C

y

B

D

E F

hb

hbx

+

=

ba

abyx

+==


52/160


GGeeoommeettrraa 52

8. x = ab

ab

x

9. Cuadrado inscrito en un rombo.

x

x

D

d

D y d son diagonales.

dD

Ddx

+=

1. x = ab


53/160


GGeeoommeettrraa 53

ALGUNAS PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

1. TEOREMA DE THALES

Si: 321 l//l//l

a

b

m

n

l1

l2

l3

Si: 321 l//l//l

ml1

l2

l3

n

a

b

n

m

b

a=

n

m

b

a=


54/160


GGeeoommeettrraa 54

2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES

NM

A C

B

b

am

n

3. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES

a m

nb

Si: AC//MN

n

m

b

a=

nm

m

ba

a

+=

+

n

m

b

a=


55/160


GGeeoommeettrraa 55

4. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

|

a

b

nm

5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

ba

m n

n

m

b

a=

n

m

b

a=

n

b

m

a=


56/160


GGeeoommeettrraa 56

6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

ba

nm

7. TEOREMA DEL INCENTRO

a

A C

B

b

cI

D

n

m

b

a=

ID

BI

b

ac=

+


57/160


GGeeoommeettrraa 57

8. PROPIEDAD

A B C D

B

BP

9. TEOREMA DE CEVA

B

b

a

x

Z C

CD

AD

BC

AB=

zyxcba =


58/160


GGeeoommeettrraa 58


01) Del grfico: PQ // AC ,

calcular PQ.

A

B

C

P Q

2a

12

3a

Rpta.:

02) Si AE = 7; BE = 3; CD =

2x + 12, FD = 21. calcular x.

DA

B C

E F

Rpta.:

03) Calcular el valor de x en el

grfico sgte.:

A

B

D C3 1

x

Rpta.:

04) De la figura mostrada las

rectas L1, L2 y L3 son paralelas

adems:4

BC

3

OB

2

AO== ;

MP = 15. Calcular MO.

L1

L2

L3

B

A

OP

M

N

Rpta.:


59/160


GGeeoommeettrraa 59

A

B

C DO

E

05) En la figura, BP = 2;

AD = 6; DC = 5. Calcular AB.

P

D

B

A C

Rpta.:

06) En un tringulo ABC; si AB = 8;

BC = 6; AC = 7. Se trazan la

bisectriz interior BD y la

bisectriz exterior BE (E en la

prolongacin de AC ). Calcular

DE.

Rpta.:

07) Del grfico mostrado OA = 2;

BE = 12: AC // BD ;

BC //ED . Calcular AB.

Rpta.:

08) De la figura mostrada, se pide

calcular x + y, si y x = 6.

C

D

BA x

y10

8

Rpta.:


60/160


GGeeoommeettrraa 60

09) En un tringulo ABC, la medida

del ngulo C es el doble del

ngulo A y BC = 6, se prolonga

CB hasta P de modo que

BP = 4 y m PAB es igual a la

medida del ngulo B A C.

Calcular AC.

Rpta.:

10) ABCD es un paralelogramo

BM = MC. Si PD = 6. calcular

BP.

A D

CB M

P

Rpta.:

11) Si sabemos que PQRS, es un

cuadrado y adems AP = 4 y

SC = 9, calcular QR.

PA

B

C

Q R

S

Rpta.:

12) Los lados de un tringulo miden

54 y 36 y 70. Calcular la

medida de los segmentos

determinados en el mayor lado

por la bisectriz del ngulo

opuesto.

Rpta.:


61/160


GGeeoommeettrraa 61

P

B

Q

CA

C

B

A

E

F

D a

b

C

A D

B C

P

Q

13) Del grfico P es punto de

tangencia y AD = 3, BC = 1.

Rpta.:

14) Calcular el valor del segmento

AP. Si sabemos que BP = 4 y

BQ = 3. adems el segmento

BC mide 8.

Rpta.:

15) En un tringulo ABC, BC = 18,

la mediana BM y la bisectriz

interior AD son

perpendiculares. Calcular BD.

Rpta.:

16) En el grfico AB = X,

BC = x + 2, DE = 10 y EF = 14.

calcular x, a // b // c .

Rpta.:

17) Si sabemos que:3

BC

2

AB= ,

si AC = 10, calcular AD.


62/160


GGeeoommeettrraa 62

A C

B

D

Rpta.:

18) En un tringulo rectngulo

ABC, AB = 6 y AC = 10. La

bisectriz del BAC corta a BCen P. calcular BP.

Rpta.:

19) En un tringulo ABC, AB = 8;

BC = 10; AC = 9. se traza la

bisectriz interior BD . Calcular

PD

BP. Si P es el incentro del

tringulo ABX.

Rpta.:

20) En un tringulo ABC: AB = 8,

BC = 4 y AC = 6. Se traza la

bisectriz interior BD . Calcular

AD CD.

Rpta.:


63/160


GGeeoommeettrraa 63


01) Si sabemos que PQ es paralelo

a AC y PB = 2, PA = 3 y

QC = 5. Calcular BQ.

A

P

B

Q

C

a) 10/3 b) 20/3c) 8/3 d) 4/3

e) 25/3

02) Si PR // AQ y PQ // AC ,

BR = 2, RQ = 3. Calcular QC.

A

B

C

P Q

R

a) 10,5 b) 9,5

c) 8,5 d) 8,5

e) 6,5

03) Si sabemos que:

6

BC

5

AB= .

Si RS = 12, calcular AR.

A

B

D

C

R

S

a) 7 b) 9

c) 8 d) 6

e) 10


64/160


GGeeoommeettrraa 64

04) En un tringulo ABC, la

m A = 2m C, la mediatriz

de AC interseca a BC . En el

punto F, si BF = 8 y FC = 10.

calcular AB.

a) 16 b) 12

c) 24 d) 9

e) 8

05) Se tiene que a // b // c // d ,

AB = 5, CD = 7, EG = 15 y

FH = 19. calcular FG.

C

B

A E

F

G

D H

a

b

c

d

a) 2 b) 3

c) 4 d) 1

e) 5

06) Si sabemos que MB = 2AM,

MN // AC , si AC = 12,

calcular MN.

A

B

C

M N

a) 6 b) 7

c) 8 d) 9e) 10

07) En un tringulo ABC, AB = 8,

BC = 10; AC = 9. se traza la

bisectriz interior BD. Calcular el

valor dePD

BP, si P es el

incentro del tringulo ABC.

a) 2 b) 3/2

c) 4/3 d) 5/4

e) 3


65/160


GGeeoommeettrraa 65

08) Calcular el valor de x en el

grfico mostrado.

CA

B

E Dx

12

15

6

a) 5 b) 7,5

c) 9 d) 10

e) 12,5

09) Dado el cuadriltero ABCD,

m A = 75 y m ADB = 30, la

bisectriz interior del ngulo C

intercepta a BD , en el punto

E. si BC = 20, AD = 36 y

CD = 28, calcular BE.

a) 12 b) 10

c) 12,5 d) 16

e) 15

10) Calcular x. siI es incentro.

6

x

CA

B

D

I

7k5k

8k

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6

e) 2

11) Calcular AT, si T es punto de

tangencia, AB = 4 y TC = 3TB.

C

BA

T

a) 6 b) 8

c) 12 d) 12

e) 16


66/160


GGeeoommeettrraa 66


el valor de x.

4

6

x

4

a) 12 b) 6

c) 10 d) 7

e) 8

13) La altura de un trapecio

escaleno mide 15. las bases

estn en la relacin como 1 es

a 4. Cunto dista el pomo d

interseccin de las diagonalesa la base menor?

a) 2 b) 1

c) 3 d) 6

e) 4

14) SiMN //AC , calcular x.

A

B

C

x + 2

5k

x - 2

M N3K

a) 5 b) 7

c) 9 d) 12

e) 10

15) En la figura mostrada O escentro, OE = 9 y OF = 16.

calcular OA.

A

FT

E

O

a) 12,5 b) 12

c) 8 d) 15e) 18


67/160


GGeeoommeettrraa 67

TEMA: RELACIONES MTRICAS EN EL TRINGULO

RECTNGULO

Tenemos la siguiente figura en la que se grafica el tringulo ABC recto en B

indicando las principales proyecciones que en el se originan. Analicemos el

grfico.

B

m n C

a

h

HA

c

Ahora procederemos a formular los principales teoremas que nos permitirn

realizar una sencilla resolucin de los tringulos rectngulos.

TEOREMA N 1:

La longitud de cada cateto (en el grfico AB y BC ) al cuadrado, es igual al

producto entre la hipotenusa, su respectiva proyeccin sobre este lado.

Tenemos que:

AH : Proyeccin de AB

sobre el ladoAC

HC : Proyeccin de BC

sobre el ladoAC


68/160


GGeeoommeettrraa 68

B

C

ac

A

m n

b

Es decir: c2 = bm v a2 = bn

TEOREMA N 2:

La suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, es igual al

cuadrado, de la longitud de la hipotenusa.

B

C

ac

Ab

Es decir: c2 + a2 = b2 .


69/160


GGeeoommeettrraa 69

TEOREMA N 3:

La longitud de la altura relativa a la hipotenusa al cuadrado es igual al

producto entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

B

m n C

h

A

Es decir: h2 = m . n .

TEOREMA N 4:

El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto entre las

longitudes de la hipotenusa y de la altura relativa a dicha hipotenusa.

B

C

ac

Ab

h

Es decir: ac = hb


70/160


GGeeoommeettrraa 70

ALGUNAS OBSERVACIONES IMPORTANTES

1. En una semicircunferencia se cumple lo sgte.:

nm

rX

dm

X

O

Tambin se cumple lo sgte.:

Se tiene 2 circunferencias tangentes exteriores en el punto T. Se traza la

tangente comn a las circunferencias en los puntos P y T. Se cumple la

siguiente relacin

O2O1

R

T

Q

P

r

El segmento PQ se calcula: Rr2PQ =

x = m . n x = dm


71/160


GGeeoommeettrraa 71


01) La bisectriz del ngulo recto de

un tringulo rectngulo, cuyo

permetro es 60. Divide a la

hipotenusa en 2 segmentos

tales que la medida de uno de

ellos es 2,4 veces la medida del

otro. Cunto mide la

hipotenusa?

Rpta.:

02) Calcular AE, si ABCD es un

cuadrado, BE = 12 y CE = 7.

A

CB

D

Rpta.:

03) En el grfico mostrado. AB = 6

y HC = 5. Calcular BH

B

CA

H

Rpta.:

04) En un tringulo rectngulo ABC

recto en B, se traza BH

perpendicular a BH . Hallar

CH/AH , si se sabe que: AB = 1

y BC = 3.

Rpta.:


72/160


GGeeoommeettrraa 72

05) En el grfico mostrado O es

centro y AB es dimetro,

DE = 3 y BC = 4, calcular AO.

OA B

E

C

Rpta.:

06) En el grfico mostrado O es

centro y AC es dimetro. Si

AB . AC = 72. Calcular r.

r

O

A B C

Rpta.:

07) En la figura mostrada. Sabe

que AB = 9, CD = 16. Calcular

R.

A

B

C

D

R

T

Rpta.:

08) En el grfico mostrado se sabe

que AH = HC, BP = 8 y

PC = 17. Calcular AB.

B

CA H

P

Rpta.:


73/160


GGeeoommeettrraa 73

09) Si ABCD es un cuadrado

BE = 1 y EC = 9. Calcular el

valor del segmento EF.

A

C

D

BE

F

r

Rpta.:

10) Se tiene una

semicircunferencia de dimetro

AB y en ella se ubica un punto

P, desde el cual se traza unatangente. Calcular AP. Si

AB = 9 y la distancia de B a

dicha tangente es 5.

Rpta.:

11) En una semicircunferencia de

dimetro AC se toma el punto

B y se traza BH (BH AC ).

En BC se considera el punto

Q y se trazan AQ y ( BP AQ)

donde P esta en AQ , Si AP =

5, AH = 4 y AC = 10.

Calcular PQ .

Rpta.:

12) Si OA = OB. Y ademssabemos que AM = 1, NB = 2.

Calcular MN.

P

B

A

M

O

Rpta.:


74/160


GGeeoommeettrraa 74

13) En el siguiente grfico calcular

AQ. Si sabemos que r = 3.

P

B

A

M

O N

Rpta.:

14) Si sabemos que: ABCD y

DEFG son cuadrados. Hallar

BF. Si DG = 3 y CG = 4.

D EA

B C

FG

Rpta.:


AB. Si PQ = 12.

QP

G

B

1A

Rpta.:

16) Calcular: r si el lado del

cuadrado ABCD mide 16.

r

A D

B C

Rpta.:


75/160


GGeeoommeettrraa 75

17) En la figura mostrada se sabe

que BQ = QH y tambin

HP = 1. Calcular PC.

B

CA

Q

PH

Rpta.:

18) Del grfico mostrado O, O1 y O2

son centros, adems AO = 6.

Calcular: O2B.

A

B

OO1

O2

Rpta.:

19) Exteriormente al cuadrado

ABCD, se construye el tringulo

rectngulo AHB, recto en H, tal

que AH = 6 y HB = 2. Calcular

el valor del segmento DH.

Rpta.:

20) Del grfico mostrado, se sabe

que: AF y DC son dimetros.

DB = 4, BC = 16 y AB = 8.

Calcular EF.

B

C

A

D

E

F

Rpta.:


76/160


GGeeoommeettrraa 76


01) De la figura mostrada. Calcular

el valor de 3x+ .

B

CA

x

94

a) 3 b) 4

c) 5 d) 6

e) 7

02) De la figura mostrada. Calcular x.

B

CA

x

8 1H

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

03) En el grfico mostrado.

Calcular el valor de:BH

B

CA H

a) 2 b) 3

c) 52 d) 4

e) 32

04) En la figura, hallar el valor del

segmento BE. Si AC = 28,

AB = 15 y CE = 6.

A

B

C

E

D


77/160


GGeeoommeettrraa 77

a) 30 b) 32

c) 38 d) 35

e) 40

05) Calcular el valor den

m, si

AB = 7 BC = 11.

B

CA nm H

a) 9/23 b) 49/21

c) 7/11 d) 35/87

e) 49/121

06) En un trapecio recto en A y en

B, las diagonales son

perpendiculares en O. Si

AO = 3 y OC = 2, calcular OD.

a) 2

63

b) 4

63

c)5

63d)

3

62

e)7

65

07) En un tringulo rectngulo ABC,

AB = a y AC = b. BH es altura.

Calcular la longitud de la proyeccin

de HC sobre el lado BC.

a) a2/b b) a3/b2

c) a4/b3 d) a5/b4

e) a6/b5

08) En el grfico indicar la relacin

correcta:

a b

cd


78/160


GGeeoommeettrraa 78

a) cd2ab =

b) a + c = b + d

c) a2 + c2 = b2 + d2

d) ab = cd

e) a2 + b2 = c2 + d2

09) Si PQRS es un cuadrado y AB

= 10. calcular QR.

A B

Q R

OP S

a) 2 b) 5

c) 3 d) 52

e) 1

10) Los lados de un tringulo miden

8, 25 y 26. Qu longitud se

debe disminuir a cada lado

para que el tringulo resultante

sea tringulo rectngulo?

a) 3 b) 2,5

c) 2 d) 1,5

e) 1

11) Calcular AB, Si AD = 1 y

DC = 2.

B

CA D

45

a)

5

3 b)

5

1

c)5

2 d) 5

e)5

4

12) En un tringulo ABC, se

construye interior entre una

circunferencia tangente a AC y

BC . En los puntos T y P res-

pectivamente y cuyo centro es O.

calcular AT, si m ABO = 90,

AB = 20 y BP = 15.


79/160


GGeeoommeettrraa 79

a) 12 b) 25

c) 15 d) 22

e) 35

13) Calcular el valor de la longitud

de AH en el sgte. Grfico:

B

CA

13

14

15

H

a) 4 b) 52

c) 5 d) 6

e) 62

14) En un tringulo acutngulo

ABC: H es ortocentro. Si AC2

+ BH2 = 100, calcular la medida

del circunradio.

a) 8 b) 4

c) 7 d) 5

e) 10

15) Calcular el valor de R, si

sabemos que: BC = 4 y AD = 9.

D

B

A

R

C

a) 2 b) 4

c) 3 d) 5

e) 6


80/160


GGeeoommeettrraa 80

INDICE

Circunferencia Propiedades .. 03

Circunferencia -ngulos 24

Semejanza. 45

Relaciones Mtricas en el Tringulo 67

Rectngulo


81/160

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Ao

Geometra 81

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Ao

INDICE

rea de un Tringulo . 83

rea de un Cuadriltero. 92 rea de un Crculo .101 Recta y Plano 114 rea de Slidos Cubo 124 rea de Slidos Paraleleppedo 132 rea de Slidos Cono 139 Miscelnea ..146


82/160


Geometra 82

IMPRESIONES Y FOTOCOP.TELF.: 3312667 93283143

DPTO. DE PUBLICACIONES


83/160


Geometra 83

TEMA: REA DE UN TRINGULO

Un tringulo es una figura geomtrica que posee tres lados, que pueden ser rectas, curvos omixtos.

El rea de un tringulo se obtiene dividiendo entre dos al producto de su base por su altura.

Demostracin:

A

C F E

B

h

Db

A = b h 2

xABC ?

Para realizar la demostracin de la frmula para hallar el rea del tringulo haremos uso de una

construccin auxiliar: por el vrtice C, trazaremos una paralela al segmento AB y por el vrtice

B, trazaremos una lnea paralela al segmento AC . El punto donde se cortan estas dos lneas(punto de interseccin) lo llamaremos E. Entonces se formar el cuadriltero ABEC. Asimismo,

trazaremos las alturas CD y FB , perpendiculares a los segmentos AB y CE ,respectivamente.

El rea del tringulo lo podremos hallar por una diferencia de reas:

AABC = AABEC ABCE (1)

Ahora, si analizamos el cuadriltero ABEC, notamos que, como todos sus lados son paralelosdos a dos, entonces el cuadriltero ABEC es un paralelogramo. En consecuencia, si la longitud

del segmento AB es b, por ser ABEC un paralelogramo, entonces la longitud del segmento

CE tambin es b.Adems, como sabemos que el rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando su base porsu altura, entonces:

AABEC = b x h (2)

Ahora, si analizamos los tringulos ABC y BCE, observamos que como los segmentos AB y

CE tienen la misma longitud b, y las alturas CD y BF tienen la misma longitud h, entonceslos tringulos ABC y BCE son figuras equivalentes; y, como son figuras equivalentes, por estemotivo tendrn reas iguales.

AABC = ABCE (3)Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:


84/160


Geometra 84

ABCABC

BCEABECABC

AhxbA

AAA

=

=

Pasando AABC al lado izquierdo de la igualdad

AABC + AABC = b x h

2AABC = b x h

Dividiendo cada trmino de la igualdad entre 2:

A = b h 2

xABC rea del Tringulo

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del tringulo.

Esta frmula del rea del tringulo es aplicable a cualquier tipo de tringulo, el cual puede ser:

a) Tringulo EscalenoAquel que no tiene lados iguales, es decir, la longitud de sus lados es diferente.

ac

b

b) Tringulo IsscelesTiene dos lados iguales, y al tercero se le considera como la base del tringulo.

a a

bc) Tringulo Equiltero:

Es aquel en el cual sus tres lados son iguales.

60

60 60


85/160


Geometra 85

NOTA:El rea del tringulo equiltero se puede hallar directamente si se conoce slo la longitud de su

lado slo la longitud de su altura, haciendo uso de las siguientes frmulas:

A= 3 4

l x2

A h= 3 3

x2

h

La demostracin la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer nociones bsica de una rama dela Ciencia Matemtica: la Trigonometra, curso que recin aprenderemos en Tercero de Secundaria.Por este motivo, consideraremos como vlidas a priori estas dos frmulas anteriores.

Conceptos Importantes1. Teorema de Pitgoras

Este teorema solamente se aplica a los tringulos rectngulos (aquellos que poseen unngulo de 90). En un tringulo rectngulo los lados que se interceptan en un ngulo de 90se llaman CATETOS y al tercer lado se le conoce como HIPOTENUSA.

Hipotenusa h C2

C1 Catetos

El teorema de Pitgoras se enuncia as: La suma de los cuadrados de los catetos es igualal cuadrado de la hipotenusa.

Es decir: 22

2

2

1hCC =+ Teorema de Pitgoras

Ejm.Si tenemos el siguiente tringulo rectngulo

h 3

4La longitud de la hipotenusa la podremos hallar haciendo uso del Teorema de Pitgoras. En efecto:


86/160


Geometra 86

5h25h

25916h

34h

CCh

2222

22

21

2

==

=+=+=

+=

2. Semejanza de Tringulos ( )Se dice que 2 tringulos son semejantes si cumplen con alguna de lo siguientes 3 criterios:

a) Si al menos dos de sus 3 ngulos internos son iguales:

a

b

c

d

a bc d

b) Si dos lados del primer tringulo son proporcionales a dos lados del segundo, y losngulos formados por dichos lados son iguales.

a

b

cm

n

p

Si: a bm n

a pm b

c) Si los tres lados del primer tringulo son proporcionales a los tres lados del segundo.

a

b

c m

n

p

Si:

p

c

n

b

m

a==


87/160


Geometra 87

3) Congruencia de Tringulos ( ) .-

Se dice que dos tringulos son CONGRUENTES (iguales), si cumplen con alguno de estos3 criterios.

a) Si tienen congruentes un lado y los ngulos adyacentes a l.

a

bcm

a

n

b = m

c = n

b) Si tienen congruentes dos lados y el ngulo comprendido entre ellos.

a

b

c ma c = m

b

c) Si los tres lados de cada tringulo son congruentes entre ellos.

a

b

c a

b

c


88/160


Geometra 88


* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada.

01.

4 cm 12 cm

45

02.

45

3 cm 8 cm

03.

3cm

2cm

53

04.

05.

37

10cm

4 cm

06.

7 cm

6 cm

3 cm

07.

08.

10 cm 8 cm

r

r = 6 cm


89/160


Geometra 89

09.

16 cm

60

10. r = 5 cm.

r

13cm

11.

12.

rea ABC = 20 cm2

A M

B

C

13.60

6 cm

14.

6 cm

8 cm

r

15. Encuentre la longitud del lado de untringulo equiltero, si su rea es

72 3 cm2.

16. Si un tringulo equiltero tiene una

altura de longitud 16 3 m. Halle su

rea.

17. En un tringulo issceles sus ladoscongruentes miden 26 cm. y su base,20 cm. Halle su rea.

18. La base de un tringulo es 71 m y sualtura correspondiente mide los (3/5)de la base. Halle su rea.

19. El rea de un tringulo es 3 cm2. La

suma de las longitudes de su basecon su altura respectiva es 5 cm.Encuentre estas longitudes.

20. En un tringulo ABC, la altura y la

mediana relativa a AC trisecan el

ngulo B. Calcular el rea de la

regin triangular si AC =12 cm.


90/160


Geometra 90



01.

A

B

C

rea ABC = 24 cm2

a) 8 cm2 b) 7 cm2 c) 6 cm2

d) 5 cm2 e) 4 cm2

02. rea +ABC = 36 cm2

A

B

C

a) 6 cm2 b) 7 cm2 c) 3 cm2

d) 9 cm2 e) 4 cm2

03.

53

10cm

a) 30 cm2

b) 50 cm2

c) 60 cm2

d) 70 cm2

04.

30

20 cm

2cm

a) 30 cm2 b) 40 cm2 c) 50 cm2

d) 80 cm2 e) 10 cm2

05.

25 cm

53 74

a) 400 cm2 b) 200 cm2 c) 300 cm2

d) 100 cm2 e) 390 cm2

06)

a) 100 cm2

b) 400 cm2

c) 20 cm2

d) 32 cm2 e) 64 cm2


91/160


Geometra 91

07) A+ABC = 40 cm2

a) 30 cm2 b) 80 cm2 c) 40 cm2

d) 160 cm2 e) 18 cm2

08)

4 cm

Cuadrado

a) 2 cm2 b) 3 cm2 c) 4 cm2

d) 5 cm2 e) 6 cm2

09.

A

B

C

rea ABC = 36 cm2

a) 3 cm2

b) 4 cm2

c) 5 cm2

d) 6 cm2 e) N.A.

10.

A

B

C

a) 24 cm2 b) 32 cm2 c) 46 cm2

d) 36 cm2 e) 12 cm2

11.

37

8 cm

Paralelogramo

a) 5 cm2 b) 6 cm2 c) 7 cm2

d) 8 cm2 e) 9 cm2

12. El rea de un tringulo es 60 m2

.Calcular el rea del tringulo que tienepor vrtices los puntos medios de doslados y el baricentro del tringulo.

a) 5 m2 b) 10 m2 c) 12 m2

d) 15 m2 e) N.A.

13. El rea del tringulo ABC es 30 m2. Se

traza la bisectriz interior BD , de tal

modo que AD = 3m. y DC = 7 m.Calcular el rea del tringulo ABD.

a) 5 m2 b) 9 m2 c) 12 m2

d) 15 m2 e) N.A.

14. En un tringulo obtusngulo ABC,obtuso en B, por el punto medio M de

AC se traza MN , perpendicular a

BC . Si AB = 10u; BN = 1 m y NC =7u. Calcular el rea de la regin

triangular ABC.

a) 30 u2 b) 40 u2 c) 36 u2

d) 32 u2 e) N.A.

15. En un tringulo issceles ABC,

AC = BC ; se traza la mediana BM y

la altura CH , interceptndose en F.Calcular el rea AHFM, si el rea deltringulo ABC es 72 m2.

a) 6 m2 b) 12 m2 c) 24 m2

d) 36 m2 e) N.A.


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Geometra 92

TEMA: REA DE UN CUADRILTERO

Una vez conocidos estos teoremas importantsimos, estamos en condiciones de definir (y tambin dedemostrar) el rea de las principales figuras geomtricas. Empezaremos por los cuadrilteros.

Los cuadrilteros son figuras geomtricas que poseen cuatro lados. Los cuadrilteros pueden ser:

* Rectngulo. * Cuadrado * Rombo * Paralelogramo * Trapecio

A continuacin, pasaremos a detallar (y en algunos casos demostrar) el rea de cada uno de estoscuadrilteros.

1. rea del rectnguloUn rectngulo es una figura geomtrica que posee 4 lados paralelos dos a dos, e interceptados

bajo un ngulo de 90. Los lados paralelos tienen igual longitud. El rea de cualquier rectngulo seobtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

A = B hXRECTNGULOH

B

Demostracin: AABCD = h x b?

B

A

C

DA

h

M

N P

Q

H

B

A1

b

Para realizar la demostracin de que el rea del rectngulo ABCD es A = h x b, haremos unaconstruccin auxiliar: dibujaremos un rectngulo MNPQ de altura H y base B, donde H = B = 1;es decir, tenemos un rectngulo de lado unitario. Este rectngulo ser la unidad de rea, es decirA1 = 1. (Ntese que como la base y altura son iguales, este rectngulo recibe el nombre decuadrado).

Sabemos, por el Cuarto Teorema, que las reas de 2 rectngulos son proporcionales al productode su base por su altura respectiva.

Entonces:

BxH

bxh

A

A

1= . (1)

Pero sabemos que A1 es uno, y que H = B = 1.

Entonces reemplazando estos valores en la ecuacin (1).

bxhA = : rea del rectngulo

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del rectngulo.


93/160


Geometra 93

2. rea del Cuadrado

Un cuadrado es un tipo particular de rectngulo, donde la longitud del la base es igual a la longitudde la altura. El rea del cuadrado se obtiene elevando al cuadrado la longitud de la base, oelevando al cuadrado la longitud de la altura. Es decir, multiplicando h x h b x b.

LD

L

Demostracin:Puesto que conocemos que el rea del rectngulo es:

A = h x b

Y como hemos dicho, en un cuadrado: h = b = L

2LLxLA == rea del Cuadrado

Obs.El rea del cuadrado tambin puede obtenerse as:

Donde D es la diagonal del cuadrado2

DA

2=

3. rea del Paralelogramo

Un paralelogramo es una figura de 4 lados, donde sus lados son paralelos dos a dos, pero donde elngulo de interseccin de los lados es distinto a 90.

El rea de un paralelogramo se obtiene multiplicando la longitud de su base por la longitud de sualtura; es decir, igual que el rea del rectngulo, puesto que el paralelogramo es un tipo de rectnguloal cual se le han inclinado dos lados.

Demostracin:

hxbAABCD =

A

h

C

DE Fb

B

Primero, debemos notar que tanto los segmentos BCyAD tienen la misma longitud, as como los

segmentos .CDyAB Para demostrar que el rea del paralelogramo es A = b x h haremos una

construccin auxiliar: prolongaremos el segmento AB y trazaremos las perpendiculares BEyCF .Entonces se formarn los tringulos rectngulos ABE y CDF y el cuadriltero EBCF.Ahora, hallaremos el rea del paralelogramo ABCD mediante el uso de suma y diferencia de reas.

Entonces: AABCD = AEBCF + AABE ACDF (1)


94/160


Geometra 94

Ahora, analicemos el cuadriltero EBCF: observamos que los segmentos CFyEB son paralelos y

sabamos que los segmentos ADyBC eran paralelos, y como el ngulo de interseccin de loslados es 90, entonces el cuadriltero EBCF es un rectngulo.

Entonces: AEBCF = EBxBC = b x h (2)

Ahora, analicemos los tringulos rectngulos ABE y CDF: como los segmentos CDyAB soniguales y los ngulos interiores de los tringulos son iguales, entonces los dos tringulos sonidnticos, (figuras equivalentes), por lo que tendrn la misma rea.

Entonces: AABE = ACDF (3)

Si reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtendremos:

hxbAABCD = rea del Paralelogramo

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea del paralelogramo.

Notas:a. Un tringulo rectngulo es aquel que tiene un ngulo de 90 como ngulo interior.b. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano son PARALELOS si,

por ms que extendamos dichas rectas o segmentos, estas dos nunca, se cortarn. Unejemplo de rectas paralelas son las lneas horizontales de un cuaderno cuadriculado.

c. Se dice que dos rectas o segmentos que pertenecen a un mismo plano sonPERPENDICULARES si dichas rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Unejemplo de rectas o segmentos se cortan en un ngulo de 90. Un ejemplo de rectasperpendiculares sera el cruce de una lnea horizontal de un cuaderno cuadriculado con unalnea vertical del mismo,

d. Cada vez que hablemos de la altura se considerar que la altura es perpendicular a la base dela figura analizada.

4. rea del Rombo:Un rombo es una forma particular del paralelogramo, en donde las diagonales de steparalelogramo se cortan perpendicularmente (en un ngulo de 90).El rea de un rombo se obtiene multiplicando las longitudes de sus diagonales y dividiendo elresultado entre dos. Es decir:

M P

Q

A1

2

3

4

A

A A

d

Si la diagonal MP es d yla diagonal NQ es D

Entonces

A = D d 2

x

N

D

ABEABEDABC

CDFABEEBCFABCD

AAhxbA

AAAA

+=

+=


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Geometra 95

Nota:

A1 = A2 = A3 = A4 si el rombo es simtrico

5. rea del TrapecioUn trapecio es un cuadriltero que posee dos lados paralelos conocidos como base mayor (el lado msgrande) y base menor (el lado ms pequeo) y dos lados no paralelos.

El rea de un trapecio se obtiene sumando la base mayor con la base menor dividiendo elresultado entre dos y, finalmente, multiplicando este resultado por la longitud de la altura deltrapecio.

A = b + B HxTRAPECIO

2

2

B

b

bm

2

Donde:

b : base menorB : base mayorbm : base mediaH : altura

Nota:A esta semisuma (suma dividida entre 2) de la base mayor y la base menor se le conoce como

BASE MEDIA. La base media viene a ser un segmento que se encuentra a la misma distancia dela base mayor y la base menor (H/2); es decir se encuentra en el medio de las 2 bases, ademses paralela a ellas.

2

Bbbm

+=

Por lo que el rea del trapecio tambin se puede formular as:

ATRAPECIO = bm x H .


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Geometra 96



01.

Paralelogramo ABCD

02.

Paralelogramo ABCD

03. Paralelogramo ABCD


A

B C

D E

8 cm 6 cm

h

rea DEC = 15 cm2


A

B

D

12 cm

C

82

cm

45

06.

A

B C

D

rea del Paralelogramo ABCD = 80

07. ABCD: Paralelogramo

A

B C

Drea del Rectngulo APCQ = 80 cm2

P

Q

8 cm

4 cm

08.

A

B C

D

rea del Paralelogramo ABCD = 30 cm2


97/160


Geometra 97

09.

A

B

O

r=4cm

C

D

T

ABCD = Rectngulo

10. Cuadrado ABCD

A

B C

DA

B C

D

radio = 4 cm

11. rea del cuadrado ABCD = 64 cm2

12.

4 cm 6 cm

4 cm

13.

8cm

6 cm

14. Rombo ABCD

A

B C

D

37

6 cm

15. Trapecio ABCD

A

B C

D

10cm

M N

cm12MN =

16. Trapecio ABCD

A

B C

D4553

16 2 cm


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Geometra 98

17. ABCO: Cuadrado

R = 8 2 cm

A B

CO

R

18.

10cm

11cm

16cm

4cm

19. Rombo ABCD: BD = 30 cm.

A

B

C

D

17cm

20. Rombo ABCDradio = 8 cm

r

10cm


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Geometra 99

A

B

C

D

cm520


* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada

01)

10cm

45

a) 150cm2 b) 140cm2 c) 130cm2

d) 100cm2 e) 90cm2

02) Trapecio ABCD

6cm

20cm

12cm

a) 37cm2 b) 47cm2 c) 57cm2

d) 87cm2 e) 77cm2

03) Trapecio ABCD

A

B C

D37 45

5cm4cm

a) 23cm2 b) 25,5cm2 c) 29,5cm2

d) 30,5cm

2

e) N.A.

04) Rombo ABCD; mABC = 53

a) 1200cm2

b) 1300cm2

c) 1500cm2

d) 1600cm2

e) N.A.

mABC = 53

05) En un rombo, sus diagonales estn enla relacin de 5 a 12. Hallar su rea, sisu permetro es 52m

a) 100cm2 b) 120cm2 c) 140cm2

d) 140cm2 e) 180cm2

06) Trapecio issceles ABCD

A

B C

D

8cm6cm

5cm

a) 40cm2 b) 50cm2 c) 60cm2

d) 80cm2 e) 70cm2

07) Rombo ABCD

16cm

37

A

B C

D


100/160


Geometra 100

DA

CB

45

E

FA

B C

D

12cm

FE

A

B C

D

E

FH

FH

E

DA

B C

J

a) 70cm2 b) 80cm2 c) 30cm2

d) 50cm2 e) N.A.

08) El permetro de un rombo es 272m. La

diagonal menor es los15

8 de la mayor.

Encuentre el rea del rombo.

a) 3840m2 b) 3000m2 c) 3870m2

d) 2860m2 e) N.A.

09) En un rectngulo, su lados son como 3es a 4 y la suma de sus longitudes es20m mayor que la longitud de la

diagonal. Halle su rea.

a) 1000m2 b) 1500m2 c) 1200m2

d) 1900m2 e) N.A.

10) Hallar el rea del trapecio ABCD, si elcuadrado CDEF tiene rea k

a) 5kb) 3kc) 2kd) ke) k/2

11) Hallar el rea del cuadrado ABCD. Si elrea de la regin no sombreada excedeen 12cm2 al rea de la parte sombreada.

B C

A D

E

53

a) 48cm2 b) 36cm2 c) 24cm2

d) 12cm2 e) 6cm2

12) Si las longitudes de un rectngulo son270cm de largo por 30cm de ancho,Cuntos cms habr que aumentar alancho y cuantos disminuir al largo paraque resulte un cuadrado de igual rea?

a) 160cm ; 240cm b) 300cm ; 200cmc) 60cm ; 180cm d) 40cm ; 180cme) 90cm ; 160cm

13) En la siguiente figura se tiene untrapecio issceles ABCD; un cuadrado;EBCF. Adems, mCAD = 37. Hallarel rea de la regin sombreada.

a) 1200m2

b) 810m2

c) 420m2

d) 806m2

e) 900m2

14) Los cuadrados ABCD y BEFH tienereas 81 y 25cm2 respectivamente.

Hallar el rea de la regin sombreada.

a) 19cm2

b) 20cm2

c) 22cm2

d) 21cm2

e) 18cm2

15) En la figura, ABCD y EFHB soncuadrados. JH = 25; JA = 15; JB = 17,Hallar el rea de la regin sombreada

a) 32b) 41c) 16d) 12e) 18


101/160


Geometra 101

TEMA: REA DE UN CRCULO

A continuacin detallaremos como obtener el rea de superficies circulares. La base es el readel crculo, as que aprndete bien la frmula para su rea y las dems te sern fciles.

1. rea del CrculoUn crculo es una figura geomtrica que tiene la particularidad de que la distancia que existeentre su centro (0) y sus extremos es siempre constante; a dicha distancia se le conoce conel nombre de RADIO (r).

B

AO

r

r

r

Figura I

Observacionesa) Hay que tener cuidado de no confundir crculo con circunferencia. La circunferencia es la

lnea que delimita el rea circular, es decir, el borde del crculo; en cambio, el crculo abarcala circunferencia y todo el espacio (rea) que sta encierra.

b) Cuando dos radios forman parte de una misma recta, es decir son colineales (como en el

caso de los radios OByOA ), al segmento que va desde un extremo a otro de la

circunferencia pasando por su centro (segmento AB ) se le denomina DIMETRO (D). D = 2r

c) La longitud de la circunferencia (L) se puede obtener as:

L = 2r L =DEl rea de un crculo es proporcional al cuadrado del radio del crculo. La constante de proporcionalidades un nmero irracional que recibe la notacin de la letra griega (pi).

= 3.1415927 14.3Es decir, el rea de un crculo se puede calcular as:

2rA = rea del Crculo

La demostracin de sta frmula la dejaremos pendiente, pues es necesario conocer conceptosde Matemtica Superior, especficamente en el campo de Lmites de funciones, tema que

(generalmente) se aborda en cursos de lgebra Universitaria. Por este motivo, consideraremoscomo vlida a priori esta frmula.

9. rea de una Corona CircularUna corona circular es una superficie delimitada por las circunferencias de dos crculosconcntricos (dos crculos son concntricos si tienen el mismo centro).

R

r

Corona Circular


102/160


Geometra 102

El rea de una corona circular se obtiene multiplicando por a la diferencia de loscuadrados de los radios de cada crculo. Es decir:

R

r

A

22 rRA x =

Figura II

Demostracin:Sea la corona circular de la figura II, cuyas longitudes de sus radios son r y R para el crculomenor y crculo mayor respectivamente.

Consideraremos que el rea del crculo de radio r es A1 y el rea del crculo del radio R es A2.

Entonces, podemos representar el rea de la corona circular (A) de la siguiente manera:

A = A2 A1 (1)

Pero, como sabemos que el rea de un crculo es igual a por el radio elevado al cuadrado, elrea del crculo de radio r lo podemos expresar as:

A1 = x r

2

(2)Y el rea del crculo de radio R lo podemos expresar as:

A2 = x R2 (2)

Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1) obtenemos:

22

12

rxRxA

AAA

=

=

Factorizando de cada sumando, obtenemos:

= 22 rRxA rea de una corona circular

Por lo que queda demostrada la frmula para obtener el rea de una corona circular.

10. rea de un Sector Circular:

Un sector circular es una porcin del crculo, que tiene la particularidad de estar limitado por 2radios y por la circunferencia asociada al crculo.


103/160


Geometra 103

El rea de un sector circular se obtiene multiplicando la longitud del arco asociado al sector circular por elradio del crculo y dividiendo ste resultado entre dos.

NOTA: El arco de un sector circular viene a ser la porcin de la circunferencia que limita alsector circular. La longitud del arco de un sector circular se denota por l y es igual a:

180.r. =

Donde es la medida del ngulo que forman los 2 radios que delimitan al sector universal.

La medida del ngulo debe darse en grados sexagesimales, los cuales se pueden obtenerempleando cualquier transportador.

Demostracin:

r

rO A

P

Q

A = r 2

bxPOQ ?

Lo primero que debemos saber, previo a la demostracin de sta frmula, es que un crculocompleto tiene 360 (Comprubalo con tu transportador).

Ahora, sabemos que el rea de un crculo se obtienen as: A =r2 y que este crculo barre unngulo de 360. Si usamos una Regla de Tres Simple podremos hallar el rea de un sectorcircular de grados puesto que consideraremos al crculo como un sector circular de 360

NGULO REA

Si: 360 r2

Si: A = ? ?

A =360

rxx 2 (I)

Si arreglamos este resultado convenientemente, obtendremos:


104/160


Geometra 104

)1(...2180

rr

A x

Xxx =

Pero:180

rxx = (2)

Entonces, reemplazando la ecuacin (2) en la ecuacin (1), obtendremos:

2

rA

xl= rea de un Sector Circular

OBSERVACIONES:a. A pesar de que la anterior frmula es la presentacin formal de cmo hallar el rea del

sector circular, podemos hacer uso directamente de la frmula (I), ya que es ms directa.b. Al sector circular tambin se le llama SECCIN CIRCULAR, por ser una parte del crculo.c. El rea de un sector circular es equivalente a la de un tringulo que tenga por base la longitud del

arco que limita al sector y que tenga por altura la longitud del radio de la circunferencia.

En efecto:

r

O

rr

A B A B

O

r

2

rA

2

rA

xx

TRINGULOCIRCULARSECTOR

ll==

Esto se debe a que el sector circular es una clase particular de tringulo, llamadoTRINGULO MIXTILNEO, el cual est formado de lneas rectas y lneas curvas.

11. REA DE UN TRAPECIO CIRCULAR

Un trapecio circular viene a ser una seccin (porcin) de una corona circular.

El rea de un trapecio circular limitado por 2 arcos y por radios diferentes de dos crculos sepuede calcular mediante la siguiente frmula:

360

rRA

22 =

Trapecio Circular


105/160


Geometra 105

Demostracin:

P QM N

R

A

3 6 0

rRA

22xx

= ?

MN=

PQL

Consideremos que en el anterior grfico el rea del trapecio circular MNPQ es A. El crculomayor tendr un radio de longitud R y la longitud de su arco PQ ser L. El crculo menortendr un radio de longitud r y la longitud de su arco MN ser l. El ngulo entre los radios

OP y OQ ser .

El rea del trapecio circular se puede expresar como la diferencia del rea del sector circularOPQ menos el rea del sector circular OMN.

Entonces: AMNPQ = AOPQ AOMN (1)

Pero sabemos que el rea de un sector circular es2

rxl

AOPQ =2

RL x

AOMN =2

rxl

Pero, usando el concepto de longitud de arco, tenemos:

AOPQ =2

R180

Rx

xx

AOPQ = 360R

2xx (2)

AOMN =2

r180

rx

xx

AOMN =2

r2xx(3)

Esto se debe a que el ngulo para las dos secciones circulares es el mismo y es igual a .Ahora, reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en la ecuacin (1), obtenemos:


106/160


Geometra 106

360

r

360

RA

AAA

22

MNPQ

OMNOPQMNPQ

xxxx

=

=

Factorizando

360

xde cada sumando, obtenemos:

360

rR

A

22

MNPQ

xx

= rea del Trapecio Circular

Por lo que queda demostrada la frmula para hallar el rea de un trapecio circular.

Observaciones:a. La demostracin de sta frmula tambin podra obtenerse mediante una regla de tres simple, haciendo

una comparacin entre el rea de una corona circular (asociada a un ngulo de 360) y el rea de untrapecio circular (asociado a un ngulo ).

b. El rea de un trapecio circular es equivalente a la de un trapecio rectilneo que tenga por bases alos arcos rectificados que limitan al trapecio circular y por altura la diferencia de los radios.

En efecto:

A

DC

O

R

L

B

r

R - r

C D

A BL

R - r

360

rRA

22

CIRCULARTRAPECIO

xx

=

( ) ( )360

rRrRA

xx

CIRCULARTRAPECIO

++=

( )rR180

r

180

R

2

1A x

xxxx

CIRCULAR

TRAPECIO

+

=


107/160


Geometra 107

Pero: L

180

R xx=

y l=

180

Rxx

[ ] ( ) TRAPECIOCIRCULARTRAPECIO ArRxL

2

1A =+= l

12. rea del Segmento CircularUn segmento circular es una porcin de un sector circular que se encuentra delimitada por elarco de la circunferencia asociado al sector circular y el segmento que une lasintersecciones de los radios con la circunferencia.

A B Segmento Circular

El rea de un segmento circular se obtiene mediante la diferencia del rea del sector AOBcon el rea del tringulo AOB.

REA DEL SEGMENTO CIRCULAR AOBTRINGULOAOBCIRCULAR

SECTOR AAA =

Esta formula no necesita mayor demostracin.


108/160


Geometra 108


* En los siguientes ejercicios, hallar elrea de la regin sombreada:

01)

R

R= cm

02)

R

r

R= 4 cmr = 2 cm

03)

04)

OR

R = 6cm

05)

O

R

R = 8cm

06)

60R

=6cm

07)

60

R

O

R=4cm

08)

r

R

4cm


109/160


Geometra 109

09)8cm

10)

60

r

r

O

R = 6cm

11)

r=2cm

cm2

12)

4cm

4cm

13)

8cm

14)

2cm

r

15)

r = 4cm

16)10cm

4cm

r=6cm

O


110/160


Geometra 110

17)

30

cm3

18)

10cm

6cm

19)

6cm3cm

60

20)

8cm


111/160


Geometra 111


* En los siguientes ejercicios hallar el reade la regin sombreada.

01)

10cm

a) 26cm2 b) 25cm2

c) 21cm2 d) 16cm2

e) 9cm2

02)

8cm

15cm

a) 9cm2 b) 7cm2

c) 8cm2 d) 6cm2

e) 5cm2

03)

r = 4cm

6cm

a) 20 b) 20 + 3

c)2

d) 20 4e) 20 + 8

04)

r=6cm

a) 20cm2 b) 18cm2

c) 40cm2 d) 30cm2

e) 8cm2

05)10cm

a) 25cm2 b) 30cm2

c) 10cm2 d) 40cm2

e) 18cm2

06)

5cm

72

a) 6cm2 b) 4cm2

c) 2cm2 d) 5cm2

e)cm2


112/160


Geometra 112

07)

r = 4cm

a) 32 b) 32 8

c) 32 6 d) 42e) 6 20

08)

6cm2cm

O

a) 26cm2 b) 20cm2

c) 14cm2 d) 10cm2

e) 16cm2

09)

4cm

a) 3cm2 b) 4cm2

c) 5cm2 d) 6cm2

e) 8cm2

10) Hallar el rea de la regin sombreada,si el semicrculo menor tiene rea12cm2.

O

a) 18cm2 b) 30cm2c) 12cm2 d) 14cm2

e) 6cm2

11)

8cm

a)4

a2b)

5

a2c)

2

a2

d)3

a2e)

8

a2

12)

7210

cm

15cm


113/160


Geometra 113

a) 25cm2 b) 35cm2

c) 40cm2 d) 80

cm2

e) 30cm2

13)

O45

4cm

cm2

a)cm2 b) 2cm2

3

c) 2cm4

d) 2cm

3

e) 2cm8

3

14) Hallar la relacin de radios del cuartode crculo al crculo, para que las reasde las regiones no sombreada ysombreada sean entre si como 4 a 9.

a) 3/2 b) 4/7

c) 4/9 d) 3/8e) 4/3

15)

4cm

4cm

a) 4cm2 b) 6cm2

c) 8cm2 d) 7cm2

e) 12cm2


114/160


Geometra 114

TEMA: RECTA Y PLANO

I. Introduccin.-Hasta el momento todo el desarrollo del curso ha sido realizado en las dos dimensiones de nuestro cuaderno:a lo largo y ancho del mismo. Pero nuestro mundo tiene tres dimensiones; largo, ancho y alto. Todo lo quehemos desarrollado hasta el momento nos sirve para simplificar nuestro mundo tridimensional a una realidadms accesible, ms fcil de manipular. Pero es momento de empezar a estudiar los fenmenos geomtricostridimensionales.

En geometra bidimensional a las figuras que se nos presentaban las conocamos como polgonos; enla geometra tridimensional (conocida como Geometra del Espacio) todos los entes que se nospresenten los conoceremos como slidos.

La Geometra del Espacio se basa en los PLANOS. Un plano es por ejemplo esta hoja, o el lado de un

cubo; es decir, una superficie bidimensional que se puede mover en el espacio. Puesto que es la baseen que se apoya esta seccin, detallaremos algunas caractersticas de los planos.

II. Planos: Determinacin, posiciones relativas de dos planos. Posiciones relativas de unplano con una recta. Teoremas. Distancias

1. Determinacin de PlanosUn plano viene determinado:a) Por dos rectas que se cortan.b) Por 3 puntos no situadas en lnea recta (no colineales).c) Por una recta y un punto exterior a ella.d) Por 2 rectas paralelas.

2. Posiciones Relativas de dos planosDos planos pueden ocupar las siguientes posiciones:

a) Cortndose:En este caso tienen una recta comn que se llama interseccin de los dos planos.

b) Ser Paralelos:Cuando no tienen ningn punto en comn.

1

2

1

2

Cortndose Paralelos

3. Posiciones Relativas de un Plano con una rectaUna recta y un plano pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Estar la recta en el plano.b) Cortndose. En este caso tienen un punto A en comn.c) Ser paralelas. En este caso no tienen algn punto en comn.

4. Posiciones Relativas de dos rectas en el espacioDos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones:a) Cortndose. En este caso tienen un punto en comn.


115/160


Geometra 115

b) Ser paralelas. En este caso estn en un mismo plano y no tienen algn punto en comn.c) Cruzndose. En este caso no estn en un mismo plano y no tienen ningn punto en comn.

Tambin se les llama RECTAS ALABEADAS.5. Teoremas Importantesa) Las intersecciones a y b de dos planos paralelos y con un tercer plano son rectas

paralelas.

a

b

b) Si dos rectas a y b son paralelas, todo plano que pase por una de las dos rectas esparalelo a la otra recta.

b

a

c) Si un plano corta a una de 2 rectas a y b paralelas corta tambin a la otra.

a b

d) Si una recta corta a uno de dos planos paralelos, corta tambin al otro.

e) Si se cortan dos rectas por un sistema de planos paralelos entonces, los segmentoscorrespondientes son proporcionales.

Imagen I

=

A

B

C

M

N D Entonces:


116/160


Geometra 116

f) Si una recta es perpendicular a un plano, cualquier plano (y todos los planos paralelos a) que pase por la recta es perpendicular a

Distancia entre 2 puntos

Viene a ser la longitud del segmento que une dichos puntos.

6. Recta Perpendicular a un PlanoSe dice que una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las rectas del plano quepasan por la interseccin. Al punto de interseccin se le llama Pie de la perpendicular(punto P).

P

7. Distancia de un punto P a un plano :

Es el segmento PM de perpendicular trazada del punto al plano; se llama as por ser MENOR quecualquier otro seg

preuniversitario - geometria 2°

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