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Universidad Andres Bello Teorema de Euclides

Teorema de EuclidesClase # 17

Universidad Andres Bello

Octubre 2014

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Teorema de Pitagoras

Teorema general de Pitagoras para el triangulo rectangulo

Si ABC es triangulo rectangulo en C, con a y b, catetos, y chipotenusa, entonces:

a2 + b2 = c2

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Teorema de Pitagoras

Ejemplo

En la figura, ABC rectangulo en C. Con las medidas dadas, elvalor del cateto x es igual a:

Aplicando Pitagoras:

152 + x2 = 172 → x2 = 172 − 152

x2 = 64 → x = ±8

Se considera 8 positivo, porque x representa el cateto del triangulo.

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Teorema de Euclides

Teorema de Euclides para la altura del triangulo rectangulo:

Si ABC es triangulo rectangulo en C, y h su altura, que definesobre la hipotenusa los segmentos p y q, entonces:

h2 = p · q

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Teorema de Euclides

Ejemplo

En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R. Calcular la alturah:

Aplicando el teorema de Euclides:

h2 = 4 · 9 → h2 = 36

h = ±6

Se considera 6 positivo, porque h representa la altura del triangulo.

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Teorema de Euclides

Teorema de Euclides y los lados del triangulo rectangulo

Si ABC es triangulo de catetos a y b e hipotenusa c, rectanguloen C y h es altura, entonces, segun el teorema de Euclides secumple que:

a2 = p · (p+ q)

b2 = q · (p+ q)

Ademas:

h =a · bc

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Teorema de Euclides

Ejemplo:

En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R. Si PR = 6 yQR = 8 , calcular la altura h.

Solucion: Por el teorema de Pitagoras se calcula PQ:

PQ =√62 + 82 → PQ = 10

Entonces, por el teorema de Euclides:

h =6 · 810

→ h = 4, 8

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Teorema de Euclides

Teorema de Euclides y proporcionalidad en el triangulo rectangulo

En la figura, ABC es triangulo rectangulo en C, y h su alturaproyectada sobre la hipotenusa.

Si en un triangulo ABC rectangulo en C se traza la altura hcorrespondiente a la hipotenusa, los triangulos rectangulos queresultan son semejantes entre sı y semejantes al triangulo dado.

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Teorema de Euclides

Esto es:

•�ADC � �CDB •�ADC � �ACB •�CDB � �ACB

Es decir, se cumplen las proporcionalidades:

• AD

h=

h

DB• AD

h=

h

DB• AC

AB=

AD

AC

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Teorema de Euclides

Ejemplo: En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R.

Si PR = 7 y QR = 24 , calcule PQ y h. Ademas, calcule PSaplicando semejanza de triangulos.

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Teorema de Euclides

Ejemplo: En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R.

Si PR = 7 y QR = 24 , calcule PQ y h. Ademas, calcule PSaplicando semejanza de triangulos.

PQ puede ser calculado mediante el teorema de Pitagoras

PQ =√72 + 242 = 25

Ahora, para calcular la altura h:

PS

6, 72=

7

24→ PS =

6, 72 · 724

= 1, 96

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Ejercicios

Ejercicio 1:

En la figura, ABC triangulo rectangulo en C, con altura h = 6cm.Si AD = 4, el valor de DB es:

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Ejercicios

Solucion: Incorporamos los datos en la figura

Aplicando el Teorema de Euclides:

62 = 4x

x =36

4

x = 9cm

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Ejercicios

Ejercicio 2:

En la figura, PQR triangulo escaleno, con altura h. Es posibledeterminar si PQR es o no rectangulo en R, si:

(1)h : b = c : h

(2)a+ d > b+ c

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Ejercicios

Ejercicio 3:

En la figura, se ven los triangulos ABC y PQR .Es posibledeterminar si �ABC � �PQR, sabiendo que:

(1)h : b = c : h

(2)a+ d > b+ c

A) (1) por sı sola.B) (2) por sı sola.C)Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sı sola (1) o (2)E) Se requiere informacion adicional

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Ejercicios

Solucion Ejercicio 3:

Utilizando(1) h : b = c : hSi se despeja h, queda: h2 = b · c, que es el teorema de Euclides,valido para triangulos rectangulos.

Conclusion:

Por lo tanto (1) por sı misma, permite lo solicitado

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Ejercicios

Solucion Ejercicio 3:

Utilizando(2) (2)a+ d > b+ cEste enunciado, aunque es verdadero para todo triangulo, nopermite establecer si R es o no angulo recto.

Conclusion:

Por lo tanto (2) por sı sola, no permite determinar lo solicitado. Laalternativa correcta es A.

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Ejercicios

Ejercicio 1:

En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas intersectadas por lastransversales L3 y L4, que a su vez se intersectan en P . Con losvalores de la figura encuentre el valor de x.

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Ejercicios

Solucion:

De acuerdo a la figura, se trata de proporcionalidad de trazos,solucionable mediante el teorema de Thales.

5

6=

x

9

5 · 96

= x

15

2= x

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Ejercicios

Ejercicio 2:

En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas. Las transversales L3yL4se intersectan en P . Con los valores dados en la figura, encuentreel valor de x

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Ejercicios

Solucion:

De acuerdo a la figura, se trata de proporcionalidad de trazosmediante el teorema de Thales.

5

x=

6

18

x =90

6

x = 15

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Ejercicios

Ejercicio 3:

En la figura, ABC es triangulo. Si DE es paralelo a BC ,entonces, con los valores dados, la medida de x, es:

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Ejercicios

Solucion:

Como DE//BC , es aplicable el teorema de Thales:

2, 5

2=

7, 5

x

x =15

2, 5

x = 6

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