presstern puska matematika 1 geometria es matematikai analizis

8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis

1/22


2/22

Tartalomjegyzék

GEOMETRIA

1. Vektorok . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Irányított szakaszok. Vektorok . . . . . 1

1.2. Műveletek vektorokkal . . . . . . . . 3

1.3. Kollineáris vektorok . . . . . . . . . 8

1.4. Helyzetvektor . . . . . . . . . . . 10

1.5. Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás . 12

1.6. Skaláris szorzás . . . . . . . . . . . 18

2. Analitikus geometria . . . . . . . . . . . 243. Trigonometria . . . . . . . . . . . . . 37

3.1. A trigonometria elemei . . . . . . . . 37

3.2. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . 47

3.3. Trigonometria síkmértani alkalmazásai . 57

MATEMATIKAI ANALÍZIS

1. Valós számok, valós számhalmazok . . . . . 62

2. Valós számsorozatok . . . . . . . . . . . 65

2.1. Valós sorozatok . . . . . . . . . . . 65

2.2. Műveletek valós sorozatokkal . . . . . 68


3/22

2.3. Egyenlőtlenségek és határértékek . . . 73

2.4. Konvergencia, monotonitás, korlátosság . 75

2.5. Részsorozatok . . . . . . . . . . . 77

2.6. Néhány fontos határérték . . . . . . . 78

2.7. Határozatlansági esetek feloldása . . . . 80

3. Függvényhatárértékek . . . . . . . . . . 83

3.1. Függvény határértéke . . . . . . . . 83

3.2. Határértékekkel végzett műveletek . . . 87

3.3. Határértékek tulajdonságai . . . . . . 89

3.4. Fontos határértékek . . . . . . . . . 92

4. Folytonos függvények . . . . . . . . . . 96

4.1. A folytonosság értelmezése . . . . . . 96

4.2. Műveletek folytonos függvényekkel . . . 100

4.3. Folytonosság és Darboux tulajdonság . . 101

5. Deriválható függvények . . . . . . . . . . 1045.1. A derivált értelmezése . . . . . . . . 104

5.2. A derivált mértani jelentése . . . . . . 109

5.3. Műveletek deriválható függvényekkel . . 110

5.4. Elemi függvények deriváltjai . . . . . 113

5.5. Összetett függvény deriváltja . . . . . 115

5.6. Magasabb rendű deriváltak . . . . . . 117


4/22

5.7. A differenciálszámítás középértéktételei . 120

5.8. Függvény grafikus képe . . . . . . . 133

6. A határozatlan integrál . . . . . . . . . . 141

6.1. Primitív függvény. A határozatlan integrál 1416.2. Primitiválható függvények . . . . . . 145

6.3. A parciális integrálás módszere . . . . 149

6.4. Első helyettesítési módszer . . . . . . 152

6.5. Második helyettesítési módszer . . . . 157

6.6. Törtfüggvények integrálása . . . . . . 159

7. A határozott integrál . . . . . . . . . . . 174

7.1. Riemann-integralható függvények . . . 174

7.2. Integrálható függvények tulajdonságai . . 180

7.3. A parciális integrálás módszere . . . . 182

7.4. Első helyettesítési módszer . . . . . . 185

7.5. Második helyettesítési módszer . . . . 187

7.6. Középértéktételek . . . . . . . . . . 189

7.7. Az integrálszámítás alaptétele . . . . . 192

7.8. A határozott integrál alkalmazásai . . . 194


5/22

1. Vektorok

1.1. Irányított szakaszok. Vektorok

rtelmezés. Az (A,B) rendezett pontpárt irányí-

tott szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB.

rtelmezés. Az AB és CD irányított szakaszokat

ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB∼CD),

ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egy- beesnek.Megjegyzés. HaAB∼CD, akkor azAB szakasztpárhuzamos eltolással aCDszakaszra lehet helyezni.Tulajdonság. Az irányított szakaszok halmazán az ek-

vipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz AB∼AB (reflexív), ha AB∼CD, akkor CD∼AB (szim-

metrikus), ha AB∼CD és CD∼EF , akkor

AB∼EF (tranzitív).

Irányított szakaszok

A

B

D

C

AB ésCD pontosan akkorekvipolensek, ha ABDCegy paralelogramma vagy azA,B,C,D pontok kolline-árisak és az [AD], [BC]

felezőpontja megegyezik.

A

B

C

D

1


6/22

rtelmezés. Egy adott irányított szakasszal ekvipo-lens irányított szakaszok halmazát vektornak nevez-zük.Jelölés. Az AB irányított szakasz által meghatáro-

zott vektort−−→AB-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük:−−→AB=

CD|CD∼AB

.

Megjegyzés. Ha AB∼CD, akkor−−→AB=−−→CD. Az −→u=−−→AB=−−→CD jelöléssel az AB (vagy a

CD) az−→u egy reprezentánsa.rtelmezés. Az−→u hossza modulusza az őt repre-zentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlőés |−→u |-val jelöljük.rtelmezés. A nulla hosszúságú

−−→AA vektort nullvek-

tornak nevezzük.

Vektorok

rtelmezés. Az −−→AB és −−→CD vektorok egyenlőek

(jelölés:−−→AB=−−→CD),haazAB ésCD irányított

szakaszok ekvipolensek.

Megjegyzés. Két vektor akkor egyenlő, ha irá-nyuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak),hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk.Tétel. ( Adott kezdőpontú reprezentáns létezése)Ha adott az −→u vektor és egy tetszőleges M pont,akkor létezik egyetlen olyan M ′ pont, amelyre−→u=−−−→MM ′ .Következmény. Az egyértelműség alapján, ha−−→MA=−−→MB, akkorA=B.

2


7/22

Az irányított szakaszok halmaza

A

B

C

D

−→u

=

F

E

H

G

−→v

=

A mellékelt ábrán −→u=−−→AB=−−→CD=..., −→v =−−→EF ==−−→GH=..., CD az−→u egy reprezentánsa, EF a−→v

egy reprezentánsa,−−→AB=−−→CD.1.2. Műveletek vektorokkal

Az −→u és −→v vektorok összegét a következőképpenszerkesztjük meg.

( Háromszög-szabály): egy tetszőlegesM pontból kiindulva megszerkesztjük az−−→MN =−→u majd az −−→NP =−→v vektorokat.

Ekkor az−→u és−→v összege az⃗ u+⃗v =−−→MP vektor. ( Paralelogramma-szabály): ha ⃗ u és⃗v nem

kollineárisak, egy tetszőleges M pontból ki-

indulva megszerkesztjük az−−→MN =−→u és az−−→

MP =−→v vektorokat, majd az MNQP

paralelogrammát. Ekkor az−→u és−→v összegeaz⃗ u+⃗v =−−→MQ vektor.

Vektorok összeadása

3


8/22

⃗ u

v⃗

⃗ u

v⃗

⃗u+⃗ v

M

N

P

Háromszög-szabály

⃗ u

v⃗

⃗u+⃗ v

M

N

P

Q

Paralelogramma-

szabály

rtelmezés.

Az −−→AB vektor ellentétes vektora a

−

−−→AB=−−→BA vektor.

Tulajdonság. A vektorok összeadásának tulajdonsá-gai (⃗a ,⃗ b,⃗c tetszőleges vektorok):

asszociatív: (⃗a +⃗ b)+⃗c =⃗a +(⃗ b+⃗c ); kommutatív:⃗a +⃗ b=⃗ b+⃗a ; a nullvektor ⃗ 0 az összeadás semleges

eleme:⃗a +⃗ 0=⃗ 0+⃗a =⃗a ; minden ⃗a vektornak van ellentettje (−⃗a ):a⃗ +(−⃗a )=(−⃗a )+⃗a =⃗ 0.

A vektorok összeadásának tulajdonságai

Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD pa-ralelogramma síkjának bármely M pontja esetén−−→MA+−−→MC=−−→MB+−−→MD.

M. Az ABCD paralelogrammában−−→AB=−−→DC=−−−→CD és−−→AD=−−→BC=−−−→CB.

M

A

B

C

D

−−→MA+−−→MC==(−−→MB+−−→BA)+

+(−−→MD+−−→DC)=

4


9/22

=−−→MB+−−→MD+−−→BA+−−→DC=−−→MB+−−→MD.

Az−→u és−→v vektorok különbségén az⃗ u−v⃗ =⃗ u+

(−⃗v ) vektort értjük és a következőképpen szer-kesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva

felvesszük az−−→MN =−→u és−−→MP =−→v vektorokat.

Ekkor⃗ u−⃗v =−−→PN .

Vektorok kivonása

⃗ u

v⃗

⃗ u

v⃗

⃗ u −

⃗ v

M

N

P

Tetszőleges M,N,P

pontok esetén−−→MN −−−→MP =−−→MN +−−→PM =−−→PN .

Feladat. Az ABC háromszögben az −−→AB+−−→AC és

−−→AB−−−→AC vektorok modulusza egyenlő. Bizonyítsuk be,hogy az ABC háromszög derékszögű!

M. Az−−→AB+−−→AC megszerkesztése érdekében megrajzol-

juk az ABDC paralelogram-mát: −−→AB+−−→AC=−−→AD,

így |−−→AB

+−−→AC|=|−−→

AD|=AD.

B

A

C

D

−−→AB−−−→AC=−−→AB+−−→CA=−−→CA+−−→AB=−−→CB, így

|−−→AB−−−→CA|=|−−→CB|=CB.

|−−→AB+−−→AC|=|−−→AB−−−→AC|⇒AD=BC, vagyis az ABCD paralelogramma egy téglalap. Tehát

m(BAC)=90◦ .5


10/22


11/22

=−−→AB+−−→AC+−−→BM +−−→CM

=⃗ 0

=−−→AB+−−→AC,

ahonnan−−→AM

=

1

2 −−→AB+−−→AC.Feladat. Az E, F , G, H pontok az ABCD négyszög[BC], [DA], [AB] illetve [CD] oldalainak a

felezőpontjai. Bizonyítsuk be, hogy−−→EF +−−→HG=−−→CA.

M. G az [AB] felezőpontja, így −−→AG=−−→GB=

1

2

−−→AB.

Hasonlóan,−−→BE=−−→EC=

1

2

−−→BC,

−−→CH=−−→HD=

1

2

−−→CD,−−→DF =−−→FA=

1

2

−−→DA.

A

B

C

D

E

F

G

H

−−→EF +−−→HG==(−−→EC+−−→CD+−−→DF )+

(−−→HD+−−→DA+−−→AG)=

=(−−→CD+−−→DA)+(−−→EC+

−−→HD+−−→DF +−−→AG)==−−→CA+

1

2

−−→BC+

1

2

−−→CD+

1

2

−−→DA+

1

2

−−→AB=

=−−→CA+

1

2 −−→BC+−−→CD+−−→DA+−−→AB=

=−−→CA+

1

2·⃗ 0=−−→CA.

7


12/22

3. Trigonometria

3.1. A trigonometria elemei

rtelmezés. Egy kör félkerületének és sugarának ará-nya állandó ésπ≈3,1415-tel egyenlő.rtelmezés. A kör sugarával megegyező hosszúságú

körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián.Megjegyzés. Egy szögnek fokban illetve radiánban

való mértéke közt fennáll azα

xr

=180

πösszefüg-

gés, aholα a szög fokban kifejezett, xr a szög radi-ánban kifejezett mértéke.

Szög-mértékegységek

O

A

P 0

P π/6

P π/3

P π/2

P 2π/3

P 5π/6

P π

P 7π/6

P

4π

/3

P 3π/2

P

5π

/3

P 11π/6

I.

II.

III.

IV.

37


13/22

rtelmezés. Adott egy xOy derékszögű koordináta-rendszer. AzO középpontú, egységsugarú kört, ame-lyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óra-mutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus

körnek nevezzük.Jelölés. Legyen t∈R egy szám. Ekkor egyetlen olyanP t-vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely

m( AOP t)=t.

A trigonometrikus kör

Legyen t egy valós szám ésP t a hozzátartozó pont akörön.

rtelmezés. A P t pont ordinátáját at valós szám szi-nuszának nevezzük és így jelöljük: sint.rtelmezés. A P t pont abszcisszáját a t valós számkoszinuszának nevezzük és így jelöljük: cost.

Szinusz és koszinusz

O

A

P t

t

cost

sint

O

A

P t

t

tgt

T

ctgt

T

′

38


14/22

rtelmezés. Az x=1 egyenletű függőleges egye-nest tangens-tengelynek, az y=1 egyenletű vízszin-tes egyenest pedig kotangens-tengelynek nevezzük.

rtelmezés. Ha t∈R\π2

+kπ|k∈Z}, P t at-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és atangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátájátt tangensének nevezzük és így jelöljük: tgt.rtelmezés. Ha t

∈R

\{kπ

|k

∈Z

}, P t a t-

nek megfelelő pont és T ′ az OP t egyenes és akotangens-tengely metszéspontja, akkor T ′ absz-cisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük:ctgt.

Tangens és kotangens

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

sinx 0 1

2

√ 2

2

√ 3

2

1

cosx 1

√ 32√ 2

212

0

tgx 0

√ 3

3 1√

3 |

ctgx

|

√ 3 1

√ 3

3

0

Fontosabb értékek

39


15/22


16/22

1. Valós számok, valós szám-halmazok

rtelmezés. AzA⊆R halmaz véges, ha létezik egy ntermészetes szám és egy f :A→{1,2,...,n} bi- jektív függvény. rtelmezés. AzA⊆R hamaz alul-rólkorlátos, ha létezik olyanm∈R, amelyrem≤x,∀x∈A. Azm azA egy alsó korlátja.rtelmezés. AzA⊆R hamaz felülről korlátos, ha lé-tezik olyan M ∈R, amelyre M ≥x,∀x∈A. Az

M azA egy felső korlátja.rtelmezés. Ha A̸=∅ alulról korlátos, akkorA alsókorlátai között van egy legnagyobb, melyet az A alsóhatárának vagy infimumánaknevezünk ésh=inf A- val jelölünk.Tétel. Legyen∅̸

=A⊆R. Egyenértékű a következő

két állítás:1.h∈R azA alsó határa;2.a≥h,∀a∈A és∀ε>0,∃aε∈A,

amelyreaε0, ∃aε∈A, amelyreaε>H−ε.

62


17/22

rtelmezés. Ha az A halmaz alulról (felülről) nemkorlátos, akkor azt mondjuk, hogy A alsó (felső) ha-

tára

−∞(+

∞). AzR=R

∪{−∞,+

∞}hal-

mazt azR lezártjának nevezzük.Tulajdonság. AzR halmazon végzett

”műveletek” tu-

lajdonságai: x+(+∞)=(+∞)+x=

=(+∞)+(+∞)=+∞,∀x∈R; x

−(+

∞)=

−(+

∞)+x=

x+(−∞)=(−∞)+(−∞)=−∞,∀x∈R; x·(+∞)=(+∞)·x=

+∞, hax>0−∞, hax0úgy, hogy (x0−ε,x0 +ε)⊆V (x0 ).

Valós szám környezete

63


18/22

Tulajdonság. Azx0 valós szám környezeteinek tulaj-donságai:

azx0 minden környezete tartalmazzax0-t;

haV azx0 egy környezete ésV ⊆U , akkorazU is egy környezete azx0-nak; azx0 két környezetének metszete szintén kör-

nyezetex0 -nak; azx0 egy tetszőlegesV környezete esetén lé-

tezik azx0 olyanU környezete úgy, hogy V

azU minden pontjának is környezete.Tétel. Ha x̸=y, akkor léteznek aV x ésV y halma-zok, V x környezete x-nek, V y környezete y-nak

úgy, hogy V x∩V y=∅.

Valós szám környezete - folytatás

LegyenA⊆R egy halmaz.rtelmezés. Az x0∈R pontot az A halmaz torló-dási pontjának nevezzük, ha az x0 tetszőleges kör-

nyezete azAhalmaz végtelen sok elemét tartalmazza. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát A′-tel jelöljük.rtelmezés. Hax0∈A ésx0 nem torlódási pontjaA-nak, akkorx0 azA egy izolált pontja.

Torlódási pont, izolált pont

Példa. Ha A véges, akkor A-nak nincs torlódásipontja, A minden pontja izolált pont. Az A=(a,b)

intervallum torlódási pontjainak halmazaA′=[a,b].64


19/22


20/22


21/22

rtelmezés. Ha az f :D→R függvény az x0∈Dpontban nem folytonos, akkor f szakadásos az x0pontban ésx0 szakadási pont.

rtelmezés. Ha

∃ limx→x0

f (x)=l

∈R, de

l̸=f (x0 ), akkor x0 megszüntethető szakadásipont.rtelmezés. Ha ∃ lim

x→x0xx0

f (x)=lj∈R, de lb̸=lj , akkorx0 elsőfajú szakadási pont.

rtelmezés. Minden más szakadási pont másodfajúszakadási pont.

Szakadási pontok

Példa.

f :R→R,

f (x)=

2x−1 , hax


22/22

⇒x2=3 másodfajú szakadási pont.Feladat. Tanulmányozzuk az f :R→R,

f (x)=

sinx

x, hax0

függvény

folytonosságát az x0 =0 pontban.M. Megvizsgáljuk, hogy teljesül-e a lim

x↗x0f (x)=

=limx↘x0

f (x)=f (x0

) egyenlőségsor.

limx↗x0

f (x)= limx↗0

sinx

x=1

limx↘x0

f (x)= limx↘0

x2−2x+2=1

f (x0)=f (0)=1

⇒

lb(x0)=lj(x0)=f (x0)⇒f folyt. x0-ban.Feladat. Határozzuk meg az a∈R paraméter értékét úgy, hogy f folytonos legyen R-n, ahol f :R→R,

f (x)=ax2 +x+a+1 , hax

presstern puska matematika 1 geometria es matematikai analizis

Documents