Filtri passivi 1

Progetto di filtri Filtri di Butterworth Filtri di Chebishev

Filtri passivi 2

?

scattering di matrice

)(2)(s

tensionedi guadagno )(

2221

1211

21

1

2

ss

ssS

sAs

E

VsA

V

V

Filtri passivi 3

Le H possibili sono infinite, ma esistono un

certo n. di caratteristiche standard

Procedura di progetto e sintesi di una rete

1. Approssimazione

Generare una funzione di trasferimento che soddisfi certe specifiche

(ampiezza o fase etc.,).

Metodi in forma chiusa: il problema è risolto attraverso un certo numero

di passi utilizzando formule e trasformazioni in forma chiusa

(Butterworth, Chebyschev, etc) per la risposta in ampiezza.

• Soluzioni molto precise

• Pochi calcoli

• Adatti per caratteristiche con distorsione in ampiezza costante a

tratti, all’interno di certe tolleranze.

Metodi iterativi: a partire da una soluzione iniziale attraverso un metodo

di ottimizzazione si ottengono una serie di soluzioni migliori finché un

certo criterio non è soddisfatto.

• Molti calcoli

• Adatti per caratteristiche arbitrarie

2. Realizzazione

Conversione delle caratteristiche del filtro nella corrispondente rete

elettrica (ne esiste generalmente più di una).

3. Studio delle imperfezioni

Al passo 1. i coefficienti della funzione di trasferimento sono

determinati con elevata precisione; la realizzazione al punto 2. è

ottenuta assumendo gli elementi ideali (C senza perdite, L senza C

parassite, amplificatori con larghezza di banda infinita, etc.)

Occorre studiare l’effetto delle imperfezioni (tolleranze, non linearità,

etc.) mediante analisi di tolleranza, analisi di sensibilità, analisi del

rumore, etc..

4. Implementazione

Filtri passivi 6

Filtri passivi 7

La frequenza a -3 dB è indipendente dall’ordine del filtro.

L’ attenuazione fuori banda è pari a N*20db/decade.

Soddisfano bene i requisiti in banda passante, meno bene in banda oscura

o proibita (i filtri di Chebyschev distribuiscono l’accuratezza in modo

uniforme su banda passante e proibita).

La risposta in fase in banda passante è “abbastanza” lineare.

Filtri passivi 8

N crescente, > selettività

1/2

1

1 w

Questa caratteristica e l'ideale nelle applicazioni audio ad alta fedeltà in cui è assolutamente necessario che il filtro amplifichi

della stessa quantità tutti i segnali con frequenza compresa nella banda passante.

n

n

Pulsazione

normalizzata

wn=w/wt

Pulsazione di taglio

wnt=1 (w=wt)

per qualunque n n

Filtri passivi 9 .....

!2

)1(1

1

1 2xxx

n

n n

n

n

n

n

n

n n

Filtri passivi 10

n n

n

Filtri passivi 11

Progetto di un filtro di Butterworth

In fase di progetto vengono fornite come specifiche

•L’ ATTENUAZIONE

• I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura.

A partire dalle specifiche occorre determinare

•il grado del filtro N (il numero dei componenti)

•la frequenza di taglio ft

presenti nelle formule di trasformazione.

Filtri passivi 12 0

ws-wp

wt

Filtri passivi 13

piccola attenuazione

grande attenuazione

massimo al rispetto

dB 3αff t 2N

N

tf

f2

1

1

tt

nf

f

w

ww

N

tf

f2

1log10

Filtri passivi 14

Specifiche Specifiche

Il progettista deve ottenere un filtro che rispetti le specifiche

Filtri passivi 15

10/221

21

10/221

21

10)(

)(log20

10)(

)(log20

s

p

js

js

js

js

ss

pp

w

w

w

w

I valori riportati in ordinate si ricavano dall’espressione di

Si definisce inoltre la selettività del filtro

1s

p

f

fk

Filtri passivi 16

110

110

10

10

s

p

P

xx

x

xx

xxx

P

P

xxOx

dx

dx

23.0110

3.21)(3.2101010

3.210)10ln(1010

essendo ,10/ Posto

10/

20

0

Filtri passivi 17

ft

Filtri passivi 18

Progetto il filtro che rispetti le specifiche.

N

t

p

f

f2

1log10

N

t

s

f

f2

1log10

N

t

p

f

f2

N

t

s

f

f2

Filtri passivi 19

In cui e’ tutto noto tranne N

110

110

10

10

s

p

Filtri passivi 20

Caratteristica

più ripida

ft

Filtri passivi 21

N

t

p

f

f2

tf

'tf

tf 'tf

Filtri passivi 22

Noto wt e N, conosco la risposta in ampiezza. Devo risalire alla funzione di

trasferimento corrispondente s21(s).

La procedura è detta Sintesi di Darlington. La funzione di trasferimento che

si ottiene è a soli poli del tipo, per il filtro normalizzato,

wnt=1

n n

Il filtro passabasso prototipo

Filtri passivi 23

Esistono diverse realizzazioni possibili per la funzione di

trasferimento di Butterworth AV=V2/V1

Rete

a scala

LC

R01=R02=R0=1W

Realizzazione tipica: rete a scala LC

E1 V2

+

V1

-

Filtri passivi 24

L4 C4

C5 L5

k pari

k dispari

Lk ( )

Ck ( )

Posso ottenere i coefficienti anche con Matlab (‘butter’)

wtn=1rad/s

R0=1W

Filtri passivi 25

Filtri passivi 26

gn+1 è

• R del carico, se gn è una capacità

• G del carico, se gn è una induttanza

Passa-basso prototipo – valori degli elementi

Filtri passivi 27

Filtri passivi 28

Per esempio,

•per R0=1 kW, per mantenere inalterata la risposta in

frequenza devo moltiplicare tutte le impedenze per 103.

•per wt=10 krad/s cambio la scala delle w di un fattore 104.

wt

Filtri passivi 29

Scaling dei moduli: modificare le impedenze di una rete di un dato

fattore (R0) mantenendo invariata la risposta in frequenza. Questa

operazione produce nuove impedenze con nuovi valori dei componenti

Filtri passivi 30

wt

wtL wt

wt wt

wt

wt

wt

wt

Imponendo che l’impedenza non muti

Scaling in frequenza: operare una traslazione della risposta in

frequenza verso l’alto/basso lungo l’asse delle frequenze, lasciando

inalterata l’impedenza. Questa operazione produce nuove impedenze

con nuovi valori dei componenti, per i componenti dinamici.

Filtri passivi 31

ft wt

Filtri passivi 32

Hf

LLL

Ff

CCC

t

n

t

n

t

n

t

n

w

w

1082

2162

n

n

L

C

Filtri passivi 33

Specifiche

p

s

f

fk

110

110

10

10

s

p

Filtri passivi 34

wn w

wt wt wt

wt

wt

Filtri passivi 35

L’induttanza diventa una capacità

La capacità diventa una induttanza

wt

wt

Filtri passivi 36

N.B. I filtri passa-basso avevano zeri di trasmissione all’infinito.

Ora gli zeri sono nell’origine.

wt

wt wtN

wt2

wt

Filtri passivi 37

Si trasformano le specifiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo

ww

1' e

f

1f'

Le specifiche del passa-basso sono

'

s

s

'

p

p

f

1 ' f

f'

1per

f

1 ' f

f'

1per

ss

pp

ff

ff

Si calcolano N e wt’ per il passa-basso imponendo

'

s

'

p

ff'per

ff'per

s

p

Si realizza la rete e si effettuano le trasformazioni per tornare al passa-alto

ntnt

n

ntnt

n

t

ttn

CCfLC

LLfCL

sfs

f

ss

w

w

w

1

2

1

1

2

1

22'

Omettiamo il segno –

vista la simmetria.

Filtri passivi 38

Esempio Progettare un filtro passa-alto che soddisfi le seguenti specifiche

1kHz fper 50

10kHzfper 1

dB

dB

Le specifiche del passa-basso corrispondente

Hz10 fper 50

Hz10f'per 1-3

-4

dB

dB

382.21

)1052.1log(

log

log

1052.110

23.0

110

110

1.010

10

31

3

2/510/

10/

1

3

4

'

'

Nk

KN

k

f

f

f

fk

s

p

p

s

s

p

Sovraspecificare in banda passante

Filtri passivi 39

Sovraspecificando in banda passante, si impone

4t

3

't

4't

6

t

's

's

1028.4 Hz;10813.61

f

Hz101.468ff

f110log50

cui da

ff'per

w

t

s

f1 1

2

10-4/4.28 10-4/4.28

10-4/8.56

Passa-basso normalizzato Passa-alto

Filtri passivi 40

Specifiche

p

s

f

fk

110

110

10

10

s

p

Filtri passivi 41 s s

p p

ffper αα

ffper αα

(ft/f)2N

(ft/f)2N]

ft

ft

Filtri passivi 42

(ft/fp)2N]

(ft/fs)2N]

ft

ft

Filtri passivi 43

ft’

ft

ft’ ft

ft

Filtri passivi 44

Filtri passivi 45

Filtri passivi 46

Filtri passivi 47

arccos(x)]cos[N(x)TN

Filtri passivi 48

T0(x)

Filtri passivi 49

T1

T2

…

TN

Filtri passivi 50

Filtri passivi 51

Filtri passivi 52

Chebyshev rispetto a Butterworth rilassa la richiesta di in banda passante per aumentare la pendenza

nella banda di transizione: a parità di ordine del filtro e di parametri di tolleranza, si ottengono

transizioni più ripide rispetto a Butterworth.

E’ caratterizzato da una risposta in ampiezza con oscillazioni di ampiezza costante in banda passante

(ripple) e la riposta viene anche chiamata equi ripple. Questa caratteristica fa si che il filtro presenti in

prossimità della frequenza di taglio una pendenza molto elevata.

E’ utilizzato soprattutto nelle telecomunicazioni quando è necessaria un'elevata pendenza di taglio e

si e disposti a sacrificare sia la massima piattezza che la presenza di un ritardo temporale variabile

con la frequenza.

Filtri passivi 53

[ Per N pari, s21(0)=1/(1+2) ]

Filtri passivi 54

Filtri passivi 55

pulsazione caratteristica

n n n n

n

n

wnw/w0; w0 pulsazione caratteristica/ di transizione, puls. estrema

della banda passante. Non è la pulsazione di taglio a 3db.

Filtri passivi 56

(ovvero da p come vedremo).

Specifiche

wp ws

wwp

wws

w

Filtri passivi 57

Passa-basso normalizzato

2

21

2

21 )1(s)(s passante banda la in tutta che nota Si w

Filtri passivi 58

.

210

222p

1

110

)1log(10))1(1log(10)1(

Dim.

p

w

Nnp T

Filtri passivi

Filtri passivi 60

Filtri passivi 61

p

Filtri passivi 62

Filtri passivi 63

0.83 H

1.68 F

1.68 F

2.83

Filtri passivi 64

0 )1(6 N

2N-2 2N

20N*log(f/f0)

N

TN N

N-1

Chebyshev funziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono

ottenute con meno componenti (N minore). Ad esempio, per avere una “piattezza” nella

banda passante di 0.1 dB e un’attenuazione di 20 dB per f =1.25⋅f0, è sufficiente un filtro di

Chebyshev di ordine 8, contro un filtro di Butterworth di ordine 19.

Filtri passivi 65

Filtri passivi 66

Filtri passivi 67

Filtri passivi 68

Specifiche

w wp

w ws

w wp ws

Filtri passivi 69

per il passa-basso era

k=fp/fs p

Filtri passivi 70

sono apici, non esponenti

p p p

Filtri passivi 71

Filtri passivi 72

Filtri di Chebyscev inversi

N

Filtri passivi 73

Utilizzano un Chebyshev ed un Chebyshev inverso.

Permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande,

col n. minore di componenti.

Ciò si ottiene ammettendo ripple sia in banda passante che in stopband.

Filtri ellittici (di Cauer)

N=5 RN è la funzione razionale ellittica di ordine N,

troppo complessa per essere

studiata in maniera qualitativa; La

complessità dell’espressione di RN rende

difficile fare considerazioni intuitive

sull’andamento dei filtri ellittici.

Non esiste una procedura semplice per il

progetto dei filtri ellittici. La soluzione

migliore è l’uso di programmi appositi.

w

w22

2

21

1

1

NR

s

Filtri passivi 74

Il filtro di Bessel è caratterizzato da una risposta in fase la più lineare

possibile in banda passante ovvero un ritardo di gruppo massimamente

piatto in banda passante. Questa caratteristica fa si che il filtro introduca un

ritardo temporale uguale per tutti i segnali con frequenza compresa nella

banda passante.

E’ idoneo per ritardare segnali.

Il filtro di Bessel è utilizzato soprattutto nelle telecomunicazioni quando

sono presenti molti filtri in cascata ed il ritardo temporale introdotto è

notevole.

La pendenza nella banda di transizione è bassa in confronto agli altri filtri.

Il filtro di Bessel

75

Filtro Accuratezza guadagno Linearità fase

Butterworth media media

Chebyschev buona cattiva

Ellittico ottima pessima

Bessel cattiva buona

Bontà nell’approssimarne il guadagno:

dimensione della banda di transizione,

attenuazione, oscillazioni

I filtri di Butterworth costituiscono una

famiglia di filtri che soddisfa bene i requisiti

sul guadagno in banda passante e meno

bene in banda di transizione.

Filtri passivi 76

Un filtro di Butterworth dell’ 8° ordine prodotto

dalla “Dallas Maxim” ha un costo di circa 1.98 €.

Mentre un filtro del quarto ordine prodotto dalla

“Texas Instruments” ha un costo (il valore è

fornito in dollari) di circa 1 €.

KSPECIFICATIONS: Active Filters

Filtri realizzati come switched-capacitor in grado di

cambiare il proprio valore di capacità interne.

Filtri passivi 77

Filtri passivi 78

Filtri passivi 79

Filtri passivi 80

Filtri passivi 81