“Hay una fuerza motriz más poderosa que el

vapor, la electricidad y la energía atómica. Esa

fuerza es la voluntad. (Albert Einstein)”

Medardo Galindo

6.1 Expresiones Racionales

• Determinar el dominio de funciones

racionales

• Reducir expresiones racionales

• Multiplicar expresiones racionales

• Dividir expresiones racionales

Determinar dominio en

funciones racionales • Una expresión racional es una expresión

de la forma p/q, donde p y q son

polinomios y q ≠ 0

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

2

𝑥, 𝑥 + 3

𝑥, 𝑥2 + 4𝑥

𝑥 − 3,

𝑎

𝑎2 − 4,

𝑡2 − 5𝑡 + 7

𝑡3 + 𝑡2 − 3𝑡

• Al escribir una expresión racional con

variable en el denominador, siempre

suponemos que el valor o valores de la

variable que hagan el denominador igual a

0 queden excluidos.

• En la expresión:

5

𝑥 − 3, 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ≠ 3

• Una función racional es aquella con la

forma f(x) = p/q o y = p/q, donde p y q son

polinomios y q ≠ 0

• El dominio de una función racional será el

conjunto de valores que pueden utilizarse

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑓 𝑥 =5

𝑥, 𝑦 =

𝑥2 + 9

𝑥 + 3,𝑇 𝑎 =

𝑎 + 1

𝑎2 − 4

Resolver

Conjunto solución es

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥2,𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4

𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥

𝑓

𝑔 𝑥 =

𝑥2

𝑥2 − 4

= 𝑥2

𝑥 + 2 (𝑥 − 2)

𝑥 𝑥 ≠ 2 𝑦 𝑥 ≠ −2

Resolver

𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2,𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 − 10

𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥,𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 6

Reducir expresiones racionales

• Factorizar como sea posible el numerador

y el denominador

• Divida el denominador y el numerador

entre los factores comunes

Simplificar

𝑎)𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑥 + 3

𝑥2 + 4𝑥 + 3

𝑥 + 3=

𝑥 + 3 𝑥 + 1

𝑥 + 3 = 𝑥 + 1

𝑏)3𝑥3 − 3𝑥2

𝑥3 − 𝑥

𝑐)27𝑥3 − 8

2 − 3𝑥

Multiplicar expresiones

racionales• Factorizar como sea posible el numerador

y denominador

• Divida entre todos los factores comunes

• Multiplique usando la regla anterior

• Cuando sea posible, simplifique la

respuesta (No es necesario si se realiza

bien el paso 2)

Multiplicar

𝑎)𝑥 − 5

6𝑥∙

𝑥2 − 2𝑥

𝑥2 − 7𝑥 + 10

𝑥 − 5

6𝑥∙

𝑥(𝑥 − 2)

𝑥 − 2 (𝑥 − 5)=

1

6

𝑏)𝑥2 − 𝑦2

𝑥 + 𝑦∙

𝑥 + 2𝑦

2𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2

𝑐)𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑐𝑑

𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑∙𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑

𝑏2 + 𝑏𝑑 − 𝑏𝑐 − 𝑐𝑑

Dividir Expresiones Racionales

• Para dividir expresiones racionales,

invertimos el divisor (la segunda fracción,

o fracción inferior) y procedemos como

cuando multiplicamos expresiones

racionales

Dividir

1)12𝑎2 − 22𝑎 + 8

3𝑎÷

3𝑎2 + 2𝑎 − 8

2𝑎2 + 4𝑎

12𝑎2 − 22𝑎 + 8

3𝑎∙

2𝑎2 + 4𝑎

3𝑎2 + 2𝑎 − 8

2 6𝑎2 − 11𝑎 + 4

3𝑎∙

2𝑎 𝑎 + 2

3𝑎 − 4 𝑎 + 2

2 3𝑎 − 4 2𝑎 − 1

3𝑎∙

2𝑎 𝑎 + 2

3𝑎 − 4 𝑎 + 2

4(2𝑎 − 1)

3

Resolver

2)𝑥4 − 𝑦4

𝑥 − 𝑦÷

𝑥2 + 𝑥𝑦

𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2

6.2 Suma y Resta De

Expresiones Racionales• Sumar y restar expresiones con un

denominador común

• Determinar el mínimo común denominador

• Sumar y restar expresiones sin

denominadores comunes

• Analizar aplicaciones de expresiones

racionales

Sumar y Restar con un

denominador común• Sume o reste los numeradores, tal como

indican las reglas de la pagina anterior

• Si es posible, simplifique las expresiones

• Resolver

1)3

𝑥 + 2+𝑥 − 4

𝑥 + 2=

3 + (𝑥 − 4)

𝑥 + 2=

𝑥 − 1

𝑥 + 2

Resolver

2)𝑥2 + 3𝑥 − 2

𝑥 + 5 (𝑥 − 3)+

4𝑥 + 12

𝑥 − 5 (𝑥 − 3)

Determinar Mínimo Común

Denominador • Escriba como producto de numeros

primos cada coeficiente no primo (distinto

de 1) de los monomios del denominador

• Factorice cada denominador

completamente. Cualquier factor que

aparezca mas de una vez debe

expresarse como potencia

• Liste todos los factores diferentes

(distintos de 1) que aparezcan en

cualquiera de los denominadores. Cuando

aparezca mas de un denominador, escribir

con la mayor potencia

• El mínimo común denominador es el

producto de todos los factores

encontrados en el paso 3

• Determine el M.C.D de:

1)7

𝑥2 𝑥 + 1 +

3𝑧

𝑥 𝑥 + 1 3

2)3

2𝑥2 − 4𝑥+

7𝑥

𝑥2 − 4𝑥 + 4

3) 5𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 12−

6𝑥2

𝑥2 − 7𝑥 + 12

Sumar y Restar expresiones sin

denominadores comunes• Determine MCD

• Escriba cada fracción como una fracción

equivalente con el MCD. Esto se hace

multiplicando el numerador y el

denominador de cada fracción por los

factores necesarios

• Conserve el denominador en forma

factorizada, pero desarrolle el numerador

• Sume o reste los numeradores,

conservando el MCD

• Cuando sea posible reducir la fracción

mediante la factorización del numerador,

hágalo.

• Resolver:

1) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑥 + 2

𝑥 − 4−𝑥 + 5

𝑥 + 4

2)𝑆𝑢𝑚𝑒 2

𝑥 − 3+𝑥 + 5

3 − 𝑥

3)𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 3𝑥 + 4

2𝑥2 − 5𝑥 − 12−

2𝑥 − 3

5𝑥2 − 18𝑥 − 8

4) 𝑥 − 1

𝑥 − 2−𝑥 + 1

𝑥 + 2+

𝑥 − 6

𝑥2 − 4

Aplicaciones

• Una compañía de botes de vela fabrica al

menos 6 botes cada semana.

Suponga que

En donde x es el numero de botes de vela

vendidos. Determine la función de la

utilidad.

𝑅 𝑥 6𝑥 − 7

𝑥 + 2 𝑦 𝐶(𝑥)

4𝑥 − 13

𝑥 + 3

6.3 Fracciones Complejas

• Reconocer fracciones complejas

• Simplificar fracciones complejas

multiplicando por un denominador común

• Simplificar fracciones complejas

simplificando el numerador y el

denominador

Simplificar multiplicando por un

denominador común• Determine el mínimo común denominador

de todas las fracciones que aparecen en

la fracción compleja.

• Multiplique el numerador y el denominador

de la fracción compleja por el mínimo

común denominador

• Simplifique lo mas posible

Simplificar simplificando el

numerador y denominador• Sume o reste, lo que sea necesario, para

obtener una expresión racional en el

numerador

• Sume o reste, para obtener una expresión

racional en el denominador

• Invierta el denominador de la fracción

compleja y multiplique por el numerador

• Simplifique lo mas posible

Resolver

1)𝑎−1 + 𝑎𝑏−2

𝑎𝑏−2 − 𝑎−2𝑏−1

2)

2𝑥2 −

3𝑥

𝑥2

5

6.4 Resolución de Ecuaciones

Racionales• Resolver ecuaciones racionales

• Verificar soluciones

• Resolver proporciones

• Resolver problemas con funciones

racionales

• Resolver problemas de aplicación

• Despejar una variable en una formula

Resolver Ecuaciones

Racionales• Determine el Mínimo Común Divisor

• Multiplique ambos lados por el MCD

• Eliminar paréntesis existentes y reduzca

los términos semejantes de cada lado de

la ecuación

• Resolver ecuación utilizando propiedades

• Verificar solución en ecuación original

Resolver

3𝑥

4+

1

2=

𝑥 − 1

2

4 3𝑥

4+

1

2 = 4 ∙

𝑥 − 1

4

4 3𝑥

4 + 4

1

2 = 2 𝑥 − 1

3𝑥 + 2 = 2𝑥 − 2

𝑥 + 2 = −2

𝑥 = −4

Verificar Soluciones

Resolver

1)3𝑥

𝑥2 − 4+

1

𝑥 − 2=

2

𝑥 + 2

2)22

2𝑝2 − 9𝑝 − 5−

3

2𝑝 + 1=

2

𝑝 − 5

Resolver Proporciones

• Las proporciones son un tipo especial de

ecuaciones con la forma

• Las proporciones se utilizan con

frecuencia para trabajar con figuras

semejantes, estas son aquellas cuyos

ángulos correspondientes son iguales y

cuyos lados correspondientes son

proporcionales

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

Resolver

Problemas que incluyen

funciones racionales• Considerar la función

determine los valores de

𝑓 𝑥 = 𝑥 −2

𝑥

𝑓 𝑎 = 1

𝑎 ∙ 𝑎 −2

𝑎 = 𝑎 ∙ 1

𝑎2 − 2 = 𝑎

𝑎2 − 𝑎 − 2 = 0

𝑎 − 2 𝑎 + 1 = 0

𝑎 − 2 = 0

𝑎 = 2

𝑎 + 1 = 0

𝑎 = −1

Problemas de Aplicación

Despejar una Variable

1)1

𝑝+

1

𝑞=

1

𝑓,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓

2) 𝐴 = 𝑃 + 𝑃𝑟𝑡,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝

3) 𝑑 =𝑓𝑙

𝑓 + 𝑤,𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓