Tautologías, Contradicciones y

Razonamientos Válidos

Recordemos

O Una expresión lógica es una tautología sies verdadera para todas lascombinaciones posibles en una tabla deverdad.

O Una expresión lógica es una contradicciónsi es falsa para todas las asignacionesposibles en una tabla de verdad.

O Una expresión lógica es una contingenciasi no es ni una tautología ni unacontradicción.

Tautologías

Consideremos la expresión � �ʌ� vQ

Es esta expresión una tautología?Para demostrar eso utilizaremos la tabla de verdad.

P Q PʌQ ¬(PʌQ) ¬(PʌQ)v Q

0 0 0 1 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 0 1

Vemos algunos Ejemplos

O Ley del medio Excluido

�v��

P ¬ PP v ¬

P0 1 1

1 0 1

Idea Interesante

O Si A es una tautología que contiene a lavariable P, se puede crear una nuevaexpresión sustituyendo todas lasapariciones de P por una expresiónarbitraria.

O La expresión resultante será también unatautología

Ejemplo

O Supongamos que tenemos la expresiónP ʌ Q

Tomemos como ejemplo la ley del medio excluidoEs decir

P v ¬ PDe lo expuesto en la idea anterior la expresión(P ʌ Q) v ¬(P ʌ Q) Será también una tautología.

Probemos

P Q PʌQ¬(PʌQ

)(PʌQ) v ¬(PʌQ)

0 0 0 1 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

1 1 1 0 1

Tautologías y Razonamientos Válidos

O Un argumento lógico es válido si la conclusiónse deduce lógicamente de las premisas.

O Si todas las premisas son verdaderas(ejemplo, la conjunción de todas las premisasproduce verdadero), entonces la conclusióndebe ser verdadera.

O Si la conjunción de las premisas es A y si laconclusión es C, entonces A → C debe serverdadera para todas las asignacionesposibles, esto es, debe ser una tautología.

Ejemplo

Estudiemos el siguiente razonamientoPremisa 1: José estuvo en la iglesia a la hora indicada o José miente.Premisa 2: José no miente.Conclusión: José estuvo en la iglesia a la hora indicada.

En la primera premisa existen dos proposiciones simples:P : José estuvo en la iglesia a la hora indicadaQ: José mienteEsa premisa en lenguaje de lógica proposicional la podemos escribir

P v Q

Tomando como base lo anterior elrazonamiento completo lo podemos escribirde la siguiente manera según la lógicaproposicionalPremisa 1: P v QPremisa 2: ¬ QConclusión: P¿Es esta una forma de razonamiento válida?

Según lo planteado esta es una forma derazonamiento valida, si la conjunción de laspremisas implicación la conclusión es unatautología.Es decir, si la expresión

((P v Q) ʌ ¬ Q)→ P

Es una tautología

P Q P v Q ¬Q (P v Q) ʌ ¬Q ((P v Q) ʌ ¬Q ) → P

0 0 0 1 0 1

0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 1

Por lo tanto al ser esto una tautología el razonamiento es valido.QED

Ejercicio

Muestre utilizando la forma expuestaanteriormente, si el siguiente es unrazonamiento válido

Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta.Si no voy a la fiesta, no me divertiré.Entonces, si no me despierto no medivertiré.

Contradicciones

O Una expresión lógica es una contradicciónsi esta produce falso para todas lascombinaciones posibles en la tabla deverdad.

O Por ejemploP ʌ ¬ P

P ¬ PP ʌ ¬

P0 1 01 0 0