VECTORES EN EL PLANO R2 Y EN EL ESPACIO R3 

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”

SEDE BARCELONA INGENIERÍA DE SISTEMAS (47)

MATEMATICA III

Profesora: Ing. Ranielina Rondón Mejias

Bachiller :

Diego Suarez C.I: 20360976

Barcelona, Junio 2014

INTRODUCCIÓN

Un vector es una herramienta parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. Empleando mucho más fácil, problemas que tienen que ver con:

-Velocidades -Desplazamientos -Fuerzas y -Aceleraciones. Los vectores se pueden representar

geométricamente como segmentos de recta dirigidos en el plano R2  o en el espacio R3.

¿Que es un vector?

Definición: Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto “O” hasta un punto “P”

Notación: Denotamos al vector con punto inicial O y punto final P, por OP 

Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.

Características de un vector en R2  1) Módulo: Es la longitud o tamaño del

vector. Para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Características de un vector en R2 2) Dirección: Viene

dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

3) Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

¿Como se grafica un vector en R2?

En el siguiente grafico mostramos todos los elementos del el vector (1,1) en R2

Véase como para representarlo trazamos el vector que parte del origen y llega hasta el punto (1,1).

La dirección correspondiente a (1,1) es la marcada por la recta sobre la que se halla. Para cada dirección existen dos sentidos posibles y cada vector señala solo uno de ellos.

¿Como se grafica un vector en R2? Los valores de las variables (3,2) y

(2, −1) en R2 se representan en forma de vectores del siguiente modo: En realidad, un vector no

tiene que situarse necesariamente en el origen sino que puede, por el contrario,situarse en cualquier otro punto al que se denominara origen o punto de aplicación del vector..

Cómo se grafica un punto en R3 Cada elemento de R3 tiene 3 componentes Para representarlos necesitamos un espacio

tridimensional en el que trazamos tres ejes perpendiculares que se cruzan en un punto que llamamos origen.

Cada una de las tres componentes X,Y,Z se representara en el eje que le corresponde.

Los dos ejes horizontales son para las dos primeras componentes y el eje vertical es para la tercera.

El signo negativo de las componentes indica a que lado del origen, en cada eje, se sitúa el punto que representa.

Cómo se grafica un punto en R3

De hecho, los tres ejes suelen denominarse ejes x, y, z, siendo el eje x el que se utiliza para representar la primera componente, el eje y para la segunda y el eje z para la tercera.

características de un vector en R3 Similares conceptos a los planteados en R2

pueden aplicarse a R3. Vector de R3 es toda terna ordenada de

N°reales. v = (v1,v2,v3) Para su representación se utilizan tres ejes

ortogonales llamados ejes cartesianos X,Y,Z Se pueden plantear dos esquemas de

representación, denominados “mano derecha” y

mano izquierda. Generalmente se usa el de la mano derecha

características de un vector en R3 En el primero, el índice de la

mano derecha representa al eje X, el pulgar al eje Z

y el anular al eje Y (en posición de la mano propia enfrentada al observador). El sentido

de rotación X → Y → Z es anti-horario, como el empleado para medir ángulos

En el segundo, se considera el mismo esquema, pero con la mano izquierda. El

sentido de rotación X → Y → Z es horario, o sea contrario al utilizado para medir

ángulos

Como se grafíca un vector en R3 Geométricamente a un vector de R3 se lo representa

en el Espacio como un segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos P1(x1,y1,z1) y

P2(x2,y2,z2) . Si trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacia P2 tenemos una representación del vector.

Como se grafíca un vector en R3 Este vector puede tener muchas otras representaciones

equivalentes en el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.

Ejemplo completo de un vector en R2El vector A = (4 , 3) tiene

magnitud

El vector A es la representación posicional, por ejemplo, del vector con punto inicial P = (-1 , 2) y punto final Q = (3 , 5)

1) Magnitud de PQ

para ello usamos la fórmula de distancia entre dos puntos. Esto es

Ejemplo completo de un vector en R3

Obtener el modulo del siguiente vector unitario. Los puntos son (3, 4, 5)Primero se hace la grafica, concluimos que 3=i, 4=j y 5=k.

Ejemplo completo de un vector en R3 Teniendo la grafica y el modulo trazado (El

vector modulo es la ARISTA que parte DEL PUNTO DEL ORIGEN al ULTIMO PUNTO, es decir de (0,0) a K = 5) se realiza la ecuación, sustituyendo 3, 4 y 5 en la formula por X, Y y Z.

Ejemplo completo de un vector en R3 El resultado es 7.07, y se representa

en la grafica…

Bibliografía

Raphael Alarkon - Vectores en el espacio.

http://ingenieriaensistemasuat.wordpress.com/2011/02/21/vectores-en-el-espacio-obtencion-del-modulo-de-un-vector-unitario/

Moises Villena – Vectores en R3

http://www.slideshare.net/KikePrieto1/vectores-en-r3-34130883?qid=5ffb6447-f503-452b-8c6d-12a6dffd9d8d&v=qf1&b=&from_search=1

Mariela Sarmiento - VECTORES EN EL PLANO http://www.ceidis.ula.ve/cursos/nurr/algebra_matricial/unidad_1/sesion_1/pdf/sesion1.pdf

Nilsa Toro Jiménez - Vectores en R2 y R3

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/vectores%20en%20r2%20y%20r3.htm

Antonio Jesús López Moreno- Puntos y vectores en Rn

http://www4.ujaen.es/~ajlopez/asignat/fm_ambientales/apuntes/vectores.pdf