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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
Presentación 3
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Muchos problemas en administración y
economía envuelven dos o mas
ecuaciones en uno o más variables.
Decimos que ecuaciones que describen
una misma situación forman un sistema
de ecuaciones.
El objetivo es resolver el sistema de
ecuaciones, para hallar la solución común.
La solución de un sistema Decimos que el punto
(a, b) es una solución
del sistema de
ecuaciones
El punto(a, b)
pertenece a todas las
gráficas del sistema.
El punto(a, b)
satisface todas las
ecuaciones del sistema.
Ejemplo (3,1 ) es la solución del siguiente sistema
porque satisface ambas ecuaciones.
723
52
yx
yx
x + 2y = 5
3 + 2(1)= 5 √
3x - 2y = 7 3(3) – 2(1) 9 – 2 = 7√
Verificación:
Ejemplo (cont)
Observemos la
gráfica del sistema
anterior
Notamos que tienen
el punto de
intersección en
(3, 1) .
Solución del sistema
(3, 1)
723
52
yx
yx
Ejemplo Observemos la gráfica del
siguiente sistema
Las coordenadas del punto
de intersección no se
distinguen con exactitud ya
que no son valores enteros.
Necesitamos un método
que nos de resultados más
exactos. Solución aproximada del sistema es:
1032
653
yx
yx
Método de sustitución
1. Resolver una ecuación para y en términos de
x (o x en términos de y)
2. Sustituir la expresión que representa y (ó x)
en la ecuación que no se ha usado y resolver.
3. Finalmente, reemplazar el valor obtenido en
el paso anterior en cualquiera de la ecuaciones
originales para obtener el valor de la variable
que falta.
Ejemplo Resolver el sistema usando el método de
sustitución.
723
52
yx
yx
Despejar para x una ecuación. Sustituir el
resultado en la otra ecuación y resolver. Reemplazar el valor de y para determinar x.
Ejemplo Resolver el sistema usando el método de
sustitución.
62
2443
xy
yx
Despejar para y una ecuación. Sustituir y resolver.
Sustituir el valor de x = 0 para determinar y.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Cuando las ecuaciones que forman el sistema
son lineales, podemos utilizar otros métodos
además del método de sustituición.
Método de reducción o eliminación: consiste
en utilizar operaciones lícitas para reducir el
sistema
Método de la igualación: consiste en igualar las
ecuaciones y resolver.
Sistemas equivalentes
Manipulaciones lícitas incluyen:
intercambiar ecuaciones
multiplicar o dividir una ecuación por una
constante diferente de cero.
sumar una ecuación a otra.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
Solución:
52
13
yx
yx
Ejemplo (cont)
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
Solución (cont):
52
13
yx
yx
Reemplazar en 𝒙 + 𝟑𝒚 = −𝟏
𝟐 + 𝟑𝒚 = −𝟏 𝟑𝒚 = −𝟑
𝒚 = −𝟏
La solución es (2, -1).
Ejemplo (cont)
Otra forma de aplicar el método de reducción es:
52
13
yx
yx
Ejemplo (cont’d)
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
Solución:
2743
24
yx
yx
Ejemplo (cont’d)
4x – y = 2
3x + 4y = 27
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema utilizando el método de reducción.
1334
1253
qp
qp
Multiplicar la primera por 3 y la segunda por 5 y sumar las dos ecuaciones.
Solución:
Ejemplo (cont’d)
3x + 5y = -12
4x - 3y = 13
Sistemas de ecuaciones lineales
sin solución
Resolver el sistema:
Solución:
Usando el método de eliminación, podemos multiplicar la primera ecuación por -2 y sumárselo a la segunda.
𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟔
𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟎
𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟔
𝟎 = 𝟖
+−𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟐𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟎
---------------------------------- 𝟎𝒙 + 𝟎𝒚 = 𝟖
Esto es falso para todo par ordenado (x,y). El sistema NO tiene solución.
Sistemas de ecuaciones lineales
sin solución (cont)
Resolver el sistema:
Solución:
Si expresamos las ecuaciones en la forma pendiente intercepto tendríamos:
y = 6 – 3x
y = 10 – 3x
Notemos que las ecuaciones tiene la misma pendiente, por lo tanto son rectas paralelas. Las rectas paralelas NO tienen intersección. Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
No Soluciones (cont’d)
Un sistema compuesta por rectas paralelas NO tiene solución. Un sistema sin solución se conoce como un sistema inconsistente.
Ejemplo
Resolver el sistema:
Solución:
Si multiplicamos la segunda ecuación por ½
nos da
Aplicando cualquier método llegaremos al enunciado 0=0,
que es cierto siempre. (sistema dependiente)
Para describir el conjunto de soluciones, despejamos para
y en términos de x, y = 6 – 3x
Luego, asignamos un valor a la x, y calculamos la
expresión que representa y: (a, 6 – 3a) (solución general)
Ejemplo (cont’d)
Tres posibilidades
Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales en dos variables –
método gráfico
Hemos mencionado ya que si un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tiene solución, las rectas se cortan y tiene UN punto de intersección.
Si podemos identificar claramente el punto de intersección en la gráfica, podemos identificar con exactitud la solución.
Ejemplo gráfico
Identifique la solución del sistema.
La solución es (5,4)
Ejemplo gráfico
Identifique la solución del sistema.
Sabemos que el sistema es consistente por que las rectas no son paralelas ni, tampoco, coincidentes.
Ejemplo gráfico Utilizaremos la calculadora gráfica.
Ejemplo gráfico Utilizaremos la calculadora gráfica.
La solución del sistema es (10, 23).
Ejemplo El propietario de una tienda de televisores desea
expandir su negocio comprando y poniendo a la venta
dos nuevos modelos de televisores.
Cada unidad del primer modelo cuesta $300 y del
segundo, $400. El propietario tiene $2000 para gastar en
la compra de equipo.
El primer modelo ocupa 4 pies cuadrados de espacio y
el segundo ocupa 5. El propietario puede expandir su
tienda a los más 26 pies cuadrados.
¿Cuántos modelos de cada tipo debe comprar si desea
hacer uso completo del capital y del espacio
disponibles?
Ejemplo (cont.)
1. Definir variables x: cantidad del primer modelo que se comprará y: cantidad del segundo modelo que se comprará
2. Formular ecuaciones
3. Determinar solución del sistema
Ejemplo (cont.) 4. Determinar solución del sistema
5. Determinar valores faltantes
Ejemplo
Una empresa fabrica dos productos, A y B utilizando dos
tipos de máquinas, I y II.
El producto A requiere 1 hora de procesamiento en la
máquina I y 1.5 horas de procesamiento en la máquina II.
El producto B requiere 3 horas de procesamiento en la
máquina I y 2 horas de procesamiento en la máquina II.
La máquina I está disponible 300 horas al mes mientras
que la máquina II está disponible 350 horas.
¿Cuántas unidades de cada producto se podrán fabricar si
se utiliza todo el tiempo disponible de las máquinas?
Ejemplo
1. Definir variables A: número de unidades del primer producto B: número de unidades del segundo producto
2. Formular ecuaciones
3. Determinar solución del sistema
Ejemplo (cont)
3. Determinar solución del sistema