presentació objectius de l'assignatura filecklcul de solucions particulars d'equacions...

3
28002 Models arnb equacions diferencials Tipus: Troncal Crkdits: 7'5 Curs 2002-2003 Presentació i Objectius de l'assignatura La modelització consisteix en la formulació matemitica dels fenbmens del món real amb l'objectiu de poder fer prediccions. Podem dir que en aquest procés hi ha dues etapes. En la primera s'estableix el model i en la segona, utilitzant eines matemitiques, s'estudia el seu comportament. Partint d'hipbtesis més o menys precises sobre els factors i les lleis que regeixen un determinat fenbmen, el model s'obté com a resultat de la conversió d'aquestes lleis en formules matemitiques molt precises. Cal tenir present que els models matematics així obtinguts no són representacions exactes de la realitat sino només aproximacions d'aquesta realitat. La bondat d'un model dependri de la seva capacit at per oferir prediccions fiables. Una bona part dels problemes de les cihncies es poden modelitzar mitjancant equacions diferencials. En aquest curs es fari una introducció a les equacions diferencials, tant ordiniries com en derivades parcials. .Donat que es tractari d'un curs introductori només es veuran casos senzills, posant emfasi en la deducció de l'equació diferencial que regeix un determinat procés o sistema i en la seva resolució explícita. En els casos (la gran majoria) en que l'equació no es pot resoldre explicitament s'introduiran tecniques qualitatives i algunes de les thcniques numeriques més senzilles. Coneixement S matematics previs És necessari haver seguit les assignatures d7AlgebraLineal, Cafcul 1, Cilcul 11, Cilcul 111 i Anilisi 1 del pla vell. També és aconsellable haver seguit o fer-ho simultheament l'assignatura d7Anilisi Matemitica 11 del pla nou. En aquesta assignatura es fari referencia a resultats o teories de la Física o de les cikncies en general, pero no se'n pressuposa més que un coneixement elemental per part de l'alumne. Programa 1. Introducció 2. Equacions diferencials ordinaries de primer ordre Problema de valor inicial. Metodes analitics de resolució: equacions separables; equacions lineals, equacions exactes, factors integrants, canvis de variable. Metodes qualitatius: camps de direccions. Aplicacions: problemes de mescles en un compartiment, models per una població.

Upload: lamdat

Post on 10-May-2019

213 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Presentació Objectius de l'assignatura fileCklcul de solucions particulars d'equacions lineals no hornogeneas: metode de coeficients inde- terminats, ... singular regular, metode

28002 Models arnb equacions diferencials Tipus: Troncal Crkdits: 7'5

Curs 2002-2003

Presentació i Objectius de l'assignatura

La modelització consisteix en la formulació matemitica dels fenbmens del món real amb l'objectiu de poder fer prediccions. Podem dir que en aquest procés hi ha dues etapes. En la primera s'estableix el model i en la segona, utilitzant eines matemitiques, s'estudia el seu comportament. Partint d'hipbtesis més o menys precises sobre els factors i les lleis que regeixen un determinat fenbmen, el model s'obté com a resultat de la conversió d'aquestes lleis en formules matemitiques molt precises. Cal tenir present que els models matematics així obtinguts no són representacions exactes de la realitat sino només aproximacions d'aquesta realitat. La bondat d'un model dependri de la seva capaci t at per oferir prediccions fiables. Una bona part dels problemes de les cihncies es poden modelitzar mitjancant equacions diferencials. En aquest curs es fari una introducció a les equacions diferencials, tant ordiniries com en derivades parcials. .Donat que es tractari d'un curs introductori només es veuran casos senzills, posant emfasi en la deducció de l'equació diferencial que regeix un determinat procés o sistema i en la seva resolució explícita. En els casos (la gran majoria) en que l'equació no es pot resoldre explicitament s'introduiran tecniques qualitatives i algunes de les thcniques numeriques més senzilles.

Coneixement S matemat ics previs

És necessari haver seguit les assignatures d7Algebra Lineal, Cafcul 1, Cilcul 11, Cilcul 111 i Anilisi 1 del pla vell. També és aconsellable haver seguit o fer-ho simultheament l'assignatura d7Anilisi Matemitica 11 del pla nou. En aquesta assignatura es fari referencia a resultats o teories de la Física o de les cikncies en general, pero no se'n pressuposa més que un coneixement elemental per part de l'alumne.

Programa

1. Introducció

2. Equacions diferencials ordinaries de primer ordre Problema de valor inicial.

Metodes analitics de resolució: equacions separables; equacions lineals, equacions exactes, factors integrants, canvis de variable.

Metodes qualitatius: camps de direccions.

Aplicacions: problemes de mescles en un compartiment, models per una població.

Page 2: Presentació Objectius de l'assignatura fileCklcul de solucions particulars d'equacions lineals no hornogeneas: metode de coeficients inde- terminats, ... singular regular, metode

Els teoremes fonament*: existencia, unicitat i continuitat de solucions, aplicació al cas au tbnom, dependencia respecte parhetres.

Sistemes d'equacions de primer ordre i equacions d'ordre n: aplicacions.

3. Equacions lineals d70rdre n Propietats generals de les equacions lineals d70rdre n: equacions lineals d'ordre n hornogeneas, no homogeneas. Forrnulació usant ol?eradors.

Equacions lineals d'ordre n amb coeficients constants hornogeneas.

Cklcul de solucions particulars d'equacions lineals no hornogeneas: metode de coeficients inde- terminats, mktode de variació de pafbetres.

Aplicacions: sisternes mecanics, circuits eledrics, mil-lacions periodiques forpies.

Transformada de Laplace: propietats, resolució de problemes de valor inicial, funció de Heaviside, convolució, impulsos i Delta de Dirac.

Resolució per series: solucions en serie de potencies a l'entorn d'un punt ordinari i d'un punt singular regular, metode de Frobenius.

4. Sistemes d'equacions diferencials a FL2 El retrat de fase.

Sistemes lineals amb coeficients constants: classificació, el pla trqa-determinant.

Estabilitat.

Sistemes integrables: integrals primeres, sistema conservatius, el model de Lotka-Volterra.

Sisternes no integrables: el teorema de Grobman-Hartmann, el teorema de Bendixon-Poincaré, models de cornpetbcia.

Funcions de Lyapunov .

5. Equacions en derivades parcial5 Equacions de primer ordre: model del t r s c a una carretera.

Equacions de segon ordre: l'equació de la corda vibrant, solució de d'Alembert. Solució per separació de variables: 17equació de la calor en una dimensió. L'equació de Laplace en dominis simetrics.

Bibliograña bhica

R. Borrelli, C. Coleman Differential Equations Wiley, 1998.

M. Braun Differential Equations and Tjheir Applications Springer-Verlag, 1993.

Bibliograña complementiiria 2 -

P. Blanchard, R.L. Devaney, G.R. Hall Ec&ones diferenciales International Thomson Editores, 1999.

W.E. Boyce, R.C. Diprima Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la Gontera Limusa, Mkxico. 1978.

Page 3: Presentació Objectius de l'assignatura fileCklcul de solucions particulars d'equacions lineals no hornogeneas: metode de coeficients inde- terminats, ... singular regular, metode

R.K. Nagle, E.B. Safí Fundamentos de ecuaciones diferenciales Addison-Wesley, 1992

P. Puig Adam Ecuaciones Diferenciales Biblioteca de Matemáticas, Madrid, 1970.

G.F. Simmons Ecuaciones diferenciales con aplicaciones McGraw-Hill, Madrid, 1993.

H.F. Weinberger Partial Differentiai Equatíons Dover Publications Inc., 1995.

Professors

Teoria: Regina Martínez. Despatx C1/-158. Horari de consultes: dilluns i dimecres de 18 a 19h. Problemes i practiques: Silvia Cuadrado. Despatx C1/-154. Horari de consultes: dime- cres d711 a 13h.

Avaluació

L7avaluació es fari arnb un examen final sobre tot el programa. T U ?==-

..&,m y-Z , .& - IY ::i<-:,i i r ~ ~ t : t : : ~ ñitd ' . ...clpIIiw& - - ~~,

3rtilr- p r t ? ~ ~ , n .- - 5 ..-

as@$-&j!I ~ r ; ~~ZiitJt- 9L uv?bt, a -w a xino reir *

_ _-m-- mq bümb¿! . si 3b oi p'l .a+w

y a h m m w * ~ ~ ~ m ~ ~ r i ) fi&%lfciF. "4 i Asdisil ' ' d s ~ & ; . L O b ( + r -.I-i-!*bay ,y)

. ' '& - --

. - . . ' ,&#l *- b*-'tti,- .--...

Gv-m~&q2 anoiidtqqh M bao d u p 3 bita >fep:rici& ordir;acja .Sr( prir,is?r't tnirc. dnr ia ' Ei.gs4--**

E? ,-$!W{% wer ;»w

9

irqin --A! 1