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Preparado por: Prof. Roberto O. Rivera Rodríguez

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Preparado por: Roberto O. Rivera RodríguezCoaching de matemática

Escuela Eduardo Neumann Gandía


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Sistema de ecuaciones

Def. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales en las mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones es la intersección de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema.


3

Con frecuencia es necesario determinar una solución común a dos o más ecuaciones lineales. Nos referimos a estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales en las mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones es la intersección de los conjuntos de soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo,

3x + 2y = - 3¾y – 4x = 0 sistema de ecuaciones lineales.


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Una solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado (o pares) que satisfacen todas las ecuaciones del sistema

y =x + 5 -2x + y = 4

y =x + 5

(1,6)

-2x + y = 4

(1,6)

6=1 +5

6=6 verdadero

-2(1) +6 = 4

-2 + 6 =4

4=4 verdadero

El par ordenado (1,6) satisface ambas ecuaciones y es la solución del sistema de ecuaciones.


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Resolver gráficamentePara resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables de manera gráfica, grafique todas las ecuaciones del sistema en el mismo sistema de coordenadas. La solución del sistema será el par o pares ordenados comunes a todas las rectas del sistema.

solución


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Cuando graficamos dos rectas , existen tres situaciones posibles ; si las rectas se intersecan en exactamente un punto, tiene exactamente una solución y el sistema es CONSISTENTE.

Solución

Consistente


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Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución y decimos que el sistema es INCONSISTENTE.

No tiene solución

INCONSISTENTE


8

Si las ecuaciones representan la misma recta, entonces cada punto de la recta satisface a ambas ecuaciones . Este sistema tiene un número infinito de soluciones y se conoce como un sistema DEPENDIENTE.

Infinitas soluciones


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Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en forma gráfica

y – x =2

Y + x = 4

(1,3)Solución (1,3)

Sistema consistente


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Resuelve gráficamente

gráficamente2x – y = -5

x + 2y = 0

(-2,1)


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Resolver por el método de SUSTITUCIÓN

Principio de sustitución: Si a = b, entoces a puede intercambiarse por b o vice versa en cualquier expresión.

Si y=3x + 6 y 2y – 4x = -2, entonces 2(3x + 6)-4x=-2


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El método de SUSTITUCIÓN

1. Resuelva una de las ecuaciones respecto de una variable en términos de la otra.

2. Sustituya la expresión hallada para la variable del paso 1 en la otra ecuación. Con esto obtendrá una ecuación con una sola variable.

3. Resuelva la ecuación obtenida en el paso 2 para determinar el valor de esta variable.


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Continuación

4. Sustituya el valor encontrado en el paso 3 en la ecuación del paso 1. Resuelva la ecuación para determinar la variable restante.

5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.


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y – 2x = 5

Y + 4x = 2

y=2x + 5 2x + 5 + 4x = 2

6x + 5 =2

6x = - 3

x = -½

y –2(-½) = 5

y + 1 = 5

y =5-1

y=4

La solución es (-½,4)


15

2x + y – 11=0

x + 3y = 18

x + 3y = 18

x = -3y + 18

2(-3y + 18) + y – 11=0

-6y + 36 + y – 11=0

-5y + 25 =0

-5y = -25

y = 5

X +3(5)=18

x + 15 =18

x =18-15

x = 3

La solución es el par ordenado (3,5).


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Si al resolver un sistema de ecuaciones ya sea por sustitución o por el método de suma, se llega a una ecuación falsa, como 5=6 ó 0=3, el sistema es inconsistente y no tiene solución.

Si se obtiene una ecuación verdadera, como 7=7 o 0=0, el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones.


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Un tercer método (y con frecuencia el más sencillo) para resolver un sistema de ecuaciones es el método de la SUMA o de eliminación.

El objetivo de este proceso es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una sola variable.


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Método de la SUMA

1.En caso necesario, reescriba la ecuación el la forma general ( ax + by = c).

2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante ( o constantes) para que al sumar las ecuaciones, la suma contenga sólo una variable.

3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto se obtiene una sola ecuación con una variable.

Continuación


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Continuación

4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3.

5. Sustituya el valor determinado en el paso 4 en cualquiera de las ecuaciones originales. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la variable restante.

6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.


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Resuelva el (los) siguientes ejemplos:

x + y = 6

2x – y = 3

x + y = 6

2x – y = 3

3x + 0 = 9

3x = 9

x = 3

x + y =6

3 + y = 6

y = 3

La solución es (3,3)


21

2x + y = 11

x + 3y = 18

2x + y = 11

-2[x + 3y = 18] 2x + y = 11

-2x – 6y =-36

2x + y = 11

-2x – 6y =-360 – 5y =-25

y = 5

2x + y = 11

2x + 5 =11

2x = 6

x = 3

La solución es (3,5).


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2x + 3y =7

5x – 7y = -3

-5[2x + 3y =7]

2[5x – 7y = -3]

-10x + -15y =-35

10x – 14y = -6

-10x + -15y =-35

10x – 14y = -6

-29y = -41

29

41y 7

29

4132x

729

1232x

29

123

29

2032x

2

1

29

80x

29

40x

La solución es 40 41, .

29 29


23


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Determinante • Asociado a cada sistema de ecuaciones

cuadrado hay un número que se conoce como el determinate de ese sistema. El símbolo para denotar al determinante de la matriz A es o det (A). Por ejemplo si entonces el

determinante del sistema se denota como

5 10 4

0.5 3 2

x y

x y

A

5 10det

0.5 3A


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Definición de determinante de orden 2

Sea el determinante está dado por

ax by e

cx dy f

det a b

A ad bcc d


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Ejemplos:

Halla los siguientes determinantes:1) 2)

Solución: 1) (3)(2) – (4)(-5) = 6 + 20 = 262) (3)(4) – (1)(5) =12 – 5 = 7

3 5

4 2

A

3 5

1 4B


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Regla de Cramer para matrices 2 x 2

Considera las siguientes matrices con sus determinantes e inversas:

¿Puedes ver alguna razón entre la matriz original, su determinante y su inversa?

3 1

4 2

M det( ) 2M 1

11

23

22

M

1 3 7

2 5

Bdet( ) 1B5 7

2 3

B


28

Regla de Cramer para matrices 2 x 2

• A continuación se verá cómo surgen los detereminantes de manera natural en el proceso para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de la forma tradicional.

• Luego, halla los siguientes determinantes:

• ¿Existe alguna relación entre la solución al sistema de ecuaciones y los determinates hallados?

7 3

7 1

2 3 7

3 7

x y

x y

2 7

3 7

2 3

3 1


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Regla de Cramer para matrices 2 x 2 (cont.)

• Dado el sistema de ecuaciones y el determinante entonces la solución

al sistema está dado por

y

e b

f dx

D

ax by e

cx dy f

a e

c fy

D

0a b

c d


30Preparado por: Roberto O. Rivera

Rodríguez

Ejercicios

Instrucciones: Utiliza la regla de Cramer para hallar la solución a los siguientes sistemas de ecuaciones:

1) 2)

Solución:1) x = 1 y = -12) x = -1 y = 1

2 1

5 3 2

x y

x y2 3

3 4

x y

x y

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